JP2023546590A - 機械学習のためのカーネル法を用いた量子コンピューティング - Google Patents
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Abstract
Description
図2は、投影量子カーネル法を使用して、分類および回帰タスクを実行するための例示的なシステム200を示す。例示的なシステム200は、それにおいて以下で説明するシステム、構成要素、および技法が実装され得る、1つまたは複数のロケーションにおける1つまたは複数の古典的コンピュータおよび量子コンピューティングデバイス上で、古典的および量子コンピュータプログラムとして実装されるシステムの一例である。
図4は、カーネル行列を生成および更新するための例示的なプロセス400のフローチャートである。便宜上、プロセス400について、1つまたは複数のロケーションに位置する1つまたは複数の古典的および量子コンピューティングデバイスのシステムによって実行されるものとして説明する。たとえば、本明細書に従って適切にプログラムされた図2の量子コンピューティングデバイス202は、プロセス400を実行することができる。
カーネル関数が1-RDMのセットに基づく実装形態では、カーネル関数は、線形カーネル関数であり得る。線形カーネル関数は、第1の量子データ点および第2の量子データ点を入力として取り、数値出力を生じる。線形カーネル関数は、項の和を含み得、ただし、和は、N量子ビットの各々にわたって及ぶ。各被加数は、それぞれの量子ビットに対応し、i)それぞれの量子ビットに対応するサブシステム上の第1の量子データ点のための縮約密度行列、ii)それぞれの量子ビットに対応するサブシステム上の第2の量子データ点のための縮約密度行列の積のトレースに等しい。たとえば、線形カーネル関数は、以下の式(1)によって与えられ得る。
繰り返し、および各量子ビットインデックスl=1、...、Nについて、
- 第1のN量子ビット量子状態のコピーを取得または用意すること、たとえば、第1のN量子ビット量子状態におけるN量子ビット量子システムのコピーを取得または用意すること、およびl番目の量子ビットを除いて量子システムにおける各量子ビットを測定して、量子システムの第1の縮約量子状態の古典的表現、たとえば、2行2列の行列を取得することによって、量子ビットlに対応するサブシステム上の第1のN量子ビット量子状態のための1-RDMを計算する、たとえば、Trm≠l[ρ(xi)]を計算する、
- 第2のN量子ビット量子状態のコピーを取得または用意すること、たとえば、第2のN量子ビット量子状態におけるN量子ビット量子システムのコピーを取得または用意すること、およびl番目の量子ビットを除いて量子システムにおける各量子ビットを測定して、量子システムの第2の縮約量子状態の古典的表現、たとえば、2行2列の行列を取得することによって、量子ビットlに対応するサブシステム上の第2のN量子ビット量子状態のための1-RDMを計算する、たとえば、Trm≠l[ρ(xj)]を計算する、ならびに
- 式(1)による古典的演算(たとえば、第1の縮約量子状態および第2の縮約量子状態の古典的表現を乗算し、乗算された値のトレースを計算し、各量子ビットインデックスl=1、...、Nについて、計算されたトレースの平均を加算すること)を実行して、Q(xi,xj)のための数値を取得することができる。
完全なカーネル行列を計算するために、量子コンピューティングデバイスは、トレーニングデータセットにおける量子データ点xi、xjの各ペアについて、上記で説明した手順を反復する。
別の例として、カーネル関数が1-RDMのセットに基づく実装形態では、カーネル関数は、二乗指数カーネル関数であり得る。二乗指数カーネル関数は、第1の量子データ点および第2の量子データ点を入力として取り、数値出力を生じる。二乗指数カーネル関数は、項の和の指数関数を含み得、ただし、和は、N量子ビットの各々にわたって及ぶ。各被加数は、それぞれの量子ビットに対応し、i)それぞれの量子ビットに対応するサブシステム上の第1の量子データ点のための縮約密度行列から、ii)それぞれの量子ビットに対応するサブシステム上の第2の量子データ点のための縮約密度行列を引いたもののノルムに等しい。たとえば、二乗指数カーネル関数は、以下の式(2)によって与えられ得る。
繰り返し、および各量子ビットインデックスl=1、...、Nについて、
- 第1のN量子ビット量子状態のコピーを取得または用意すること、たとえば、第1のN量子ビット量子状態におけるN量子ビット量子システムのコピーを取得または用意すること、およびl番目の量子ビットを除いて量子システムにおける各量子ビットを測定して、量子システムの第1の縮約量子状態(の古典的表現)を取得することによって、量子ビットlに対応するサブシステム上の第1のN量子ビット量子状態のための1-RDMを計算する、たとえば、Trm≠l[ρ(xi)]を計算する、
- 第2のN量子ビット量子状態のコピーを取得または用意すること、たとえば、第2のN量子ビット量子状態におけるN量子ビット量子システムのコピーを取得または用意すること、およびl番目の量子ビットを除いて量子システムにおける各量子ビットを測定して、量子システムの第2の縮約量子状態(の古典的表現)を取得することによって、量子ビットlに対応するサブシステム上の第2のN量子ビット量子状態のための1-RDMを計算する、たとえば、Trm≠l[ρ(xj)]を計算する、
- 第1の縮約量子状態から第2の縮約量子状態を減算して、第3の縮約量子状態を取得し、第3の縮約量子状態のノルムを決定する、たとえば、||Trm≠l[ρ(xi)]-Trn≠l[ρ(xj)]||2を古典的に計算する、ならびに
- 各量子ビットインデックスl=1、...、Nについて、決定されたノルムの平均を加算し、-γによって乗算し、指数を計算して、
完全なカーネル行列を計算するために、量子コンピューティングデバイスは、トレーニングデータセットにおける量子データ点xi、xjの各ペアについて、上記で説明した手順を反復する。
別の例として、カーネル関数がk-RDMのセットに基づく実装形態では、カーネル関数は、線形カーネル関数であり得る。線形カーネル関数は、第1の量子データ点および第2の量子データ点を入力として取り、数値出力を生じる。線形カーネル関数は、項の和を含み得、ただし、和は、N量子ビットから取られたk量子ビットの各サブセットにわたって及ぶ。各被加数は、それぞれのサブセットに対応し、i)k量子ビットのそれぞれのサブセットに対応するサブシステム上の第1の量子データ点のための縮約密度行列、およびii)k量子ビットのそれぞれのサブセットに対応するサブシステム上の第2の量子データ点のための縮約密度行列の積のトレースに等しい。たとえば、線形カーネル関数は、以下の式(3)によって与えられ得る。
繰り返し、およびk量子ビットの各セットKについて、
- 第1のN量子ビット量子状態のコピーを取得または用意すること、たとえば、第1のN量子ビット量子状態におけるN量子ビット量子システムのコピーを取得または用意すること、およびセットK中に含まれる量子ビットを除いて量子システムにおける各量子ビットを測定して、量子システムの第1の縮約量子状態(の古典的表現、たとえば、行列表現)を取得することによって、セットKにおける量子ビットに対応するサブシステム上の第1のN量子ビット量子状態のためのk-RDMを計算する、たとえば、Trm≠K[ρ(xi)]を計算する、
- 第2のN量子ビット量子状態のコピーを取得または用意すること、たとえば、第2のN量子ビット量子状態におけるN量子ビット量子システムのコピーを取得または用意すること、およびセットK中に含まれる量子ビットを除いて量子システムにおける各量子ビットを測定して、量子システムの第2の縮約量子状態(の古典的表現)を取得することによって、セットKにおける量子ビットに対応するサブシステム上の第2のN量子ビット量子状態のためのk-RDMを計算する、たとえば、Trm≠K[ρ(xj)]を計算する、
- 第1の縮約量子状態および第2の縮約量子状態の積のトレースを決定する、たとえば、Tr[Trm≠K[ρ(xi)]][Trn≠K[ρ(xj)]]を決定する、ならびに
- k量子ビットの各セットKについて、決定されたトレースの平均を加算して、
完全なカーネル行列を計算するために、量子コンピューティングデバイスは、トレーニングデータセットにおける量子データ点xi、xjの各ペアについて、上記で説明した手順を反復する。
式(1)~(3)によって与えられるカーネル関数は、関数の限定されたクラスを学習することができ、たとえば、式(1)によって与えられる線形カーネル関数は、単一量子ビット観測量の和である観測量を学習することができる。しかしながら、いくつかの実装形態では、任意の量子モデル、たとえば、完全な量子状態の線形関数
ns個のサンプルのk番目の反復について、
- ランダムにサンプリングされたパウリ基底、X、Y、またはZにおいて、システムiにおける各量子ビットを測定して、h番目の量子ビットのための
- ランダムにサンプリングされたパウリ基底、X、Y、またはZにおいて、システムjにおける各量子ビットを測定して、h番目の量子ビットのための
- n量子ビットシステムにおけるh番目の量子ビットについて、第1の測定結果および第2の測定結果を比較して、第1のインジケータ関数
- n量子ビットシステムにおけるh番目の量子ビットについて、
- 調節可能なγ>0の場合の値
-
数学的に、量
102 従来の量子カーネル法、方法
104 投影量子カーネル法、方法
200 例示的なシステム
202 量子コンピューティングデバイス
204 制御および測定システム、システム
206 量子ビット
208 結合器
210 制御信号
212 読出し信号
214 古典的プロセッサ、プロセッサ
216 メモリ
218 I/Oユニット、入出力デバイス
250 例示的な古典的プロセッサ、古典的プロセッサ
252 量子ビットアセンブリ
Claims (24)
- 量子コンピューティングデバイスによって、量子データ点のトレーニングデータセットを取得するステップと、
前記量子コンピューティングデバイスによって、前記トレーニングデータセット中に含まれる前記量子データ点間の類似度を表すカーネル行列を計算するステップであって、
前記トレーニングデータセットにおける量子データ点の各ペアについて、カーネル関数の対応する値を計算するステップを含み、
前記カーネル関数が、前記量子データ点のための縮約密度行列に基づく、ステップと、
前記量子コンピューティングデバイスによって、古典的プロセッサに前記カーネル行列を提供するステップと
を含む、コンピュータ実装方法。 - 前記量子コンピューティングデバイスから、前記古典的プロセッサによって、前記カーネル行列を受信するステップと、
前記古典的プロセッサによって、機械学習モデルを構築するために、前記カーネル行列を使用して、トレーニングアルゴリズムを実行するステップと
をさらに含む、請求項1に記載の方法。 - 前記量子コンピューティングデバイスによって、量子データ点の検証データセットを取得するステップと、
前記量子コンピューティングデバイスによって、前記カーネル行列の新しい要素を計算するステップであって、
前記新しい要素が、前記検証データセットにおける前記量子データ点と前記トレーニングデータセットにおける前記量子データ点との間の類似度を表すエントリを備え、
前記新しい要素を計算するステップが、前記トレーニングデータセットおよび前記検証データセットにおける量子データ点の各ペアについて、前記カーネル関数の対応する値を計算するステップを含む、ステップと、
前記量子コンピューティングデバイスによって、前記古典的プロセッサに、前記カーネル行列の前記新しい要素を提供するステップと
をさらに含む、請求項1に記載の方法。 - 前記古典的プロセッサによって、前記カーネル行列の前記新しい要素を処理して、前記検証データセットにおける各量子データ点のための予測を出力するステップをさらに含む、請求項3に記載の方法。
- 前記カーネル関数が、前記トレーニングデータセットにおける前記量子データ点のための単体縮約密度行列に基づく、請求項1から4のいずれか一項に記載の方法。
- 前記カーネル関数が、線形カーネル関数を備える、請求項5に記載の方法。
- 前記線形カーネル関数が、i)第1の量子データ点および第2の量子データ点を入力として取り、ii)数値出力を生じ、iii)項の和を含み、
前記和が、N>1の場合のN量子ビットの各々にわたって及び、
被加数が、
それぞれの量子ビットに対応し、
a)前記それぞれの量子ビットに対応するサブシステム上の前記第1の量子データ点のための縮約密度行列、およびb)前記それぞれの量子ビットに対応するサブシステム上の前記第2の量子データ点のための縮約密度行列の積のトレースに等しい、請求項6に記載の方法。 - 前記線形カーネル関数が、
xi、xjが、第1の量子データ点および第2の量子データ点を表し、
lが、1から量子ビット数Nまでに及び、各量子ビットρ(xi)=|xi〉〈xi|にラベルをつけるインデックスを表し、
Trm≠k[ρ(xi)]が、量子ビットk上の1-縮約密度行列(RDM)を表す、請求項6または7に記載の方法。 - 前記トレーニングデータセットにおける量子データ点のペアについて、前記カーネル関数の値を計算するステップであって、前記ペアが、N>1である第1のN量子ビット量子状態、およびN>1である第2のN量子ビット量子状態を備える、ステップが、
繰り返し、および各量子ビットインデックスについて、
量子ビットlに対応するサブシステム上の前記第1のN量子ビット量子状態のための1-縮約密度行列(RDM)を計算するステップであって、前記第1のN量子ビット量子状態におけるN量子ビット量子システムのコピーを取得するステップと、l番目の量子ビットを除いて前記量子システムにおける各量子ビットを測定して、前記量子システムの第1の縮約量子状態を取得するステップとを含む、ステップと、
量子ビットlに対応するサブシステム上の前記第2のN量子ビット量子状態のための1-RDMを計算するステップであって、前記第2のN量子ビット量子状態におけるN量子ビット量子システムのコピーを取得するステップと、l番目の量子ビットを除いて前記量子システムにおける各量子ビットを測定して、前記量子システムの第2の縮約量子状態を取得するステップとを含む、ステップと、
前記第1の縮約量子状態および前記第2の縮約量子状態の積のトレースを決定するステップと、
各量子ビットインデックスについて前記決定されたトレースの平均を加算するステップと
を含む、請求項6から8のいずれか一項に記載の方法。 - 前記カーネル関数が、二乗指数カーネル関数を備える、請求項5に記載の方法。
- 前記二乗指数カーネル関数が、i)第1の量子データ点および第2の量子データ点を入力として取り、ii)数値出力を生じ、iii)項の和の指数関数を含み、
前記和が、N>1の場合のN量子ビットの各々にわたって及び、
被加数が、
それぞれの量子ビットに対応し、
a)前記それぞれの量子ビットに対応するサブシステム上の前記第1の量子データ点のための縮約密度行列から、
b)前記それぞれの量子ビットに対応するサブシステム上の前記第2の量子データ点のための縮約密度行列
を引いたもののノルムに等しい、請求項10に記載の方法。 - 前記二乗指数カーネル関数が、
xi、xjが、第1の量子データ点および第2の量子データ点を表し、
lが、1から量子ビット数Nまでに及び、各量子ビットρ(xi)=|xi〉〈xi|にラベルをつけるインデックスを表し、
Trm≠k[ρ(xi)]が、量子ビットk上の1-RDMを表す、請求項10または11に記載の方法。 - 前記トレーニングデータセットにおける量子データ点のペアについて、前記カーネル関数の値を計算するステップであって、前記ペアが、N>1である第1のN量子ビット量子状態、およびN>1である第2のN量子ビット量子状態を備える、ステップが、
繰り返し、および各量子ビットインデックスについて、
量子ビットlに対応するサブシステム上の前記第1のN量子ビット量子状態のための1-縮約密度行列(RDM)を計算するステップであって、前記第1のN量子ビット量子状態におけるN量子ビット量子システムのコピーを取得するステップと、l番目の量子ビットを除いて前記量子システムにおける各量子ビットを測定して、前記量子システムの第1の縮約量子状態を取得するステップとを含む、ステップと、
量子ビットlに対応するサブシステム上の前記第2のN量子ビット量子状態のための1-RDMを計算するステップであって、前記第2のN量子ビット量子状態におけるN量子ビット量子システムのコピーを取得するステップと、l番目の量子ビットを除いて前記量子システムにおける各量子ビットを測定して、前記量子システムの第2の縮約量子状態を取得するステップとを含む、ステップと、
前記第1の縮約量子状態から前記第2の縮約量子状態を減算して、第3の縮約量子状態を取得し、前記第3の縮約量子状態のノルムを決定するステップと、
各量子ビットインデックスについて前記決定されたノルムの平均を加算し、前記加算された平均の指数を計算するステップと
を含む、請求項10から12のいずれか一項に記載の方法。 - 前記カーネル関数が、前記量子データ点のためのk体RDMに基づき、
kが、予め決定された値未満である、請求項1から4のいずれか一項に記載の方法。 - 前記カーネル関数が、線形カーネル関数を備える、請求項14に記載の方法。
- 前記線形カーネル関数が、i)第1の量子データ点および第2の量子データ点を入力として取り、ii)数値出力を生じ、iii)項の和を備え、
前記和が、N量子ビットから取られたk量子ビットの各サブセットにわたって及び、
各被加数が、
それぞれのサブセットに対応し、
a)k量子ビットの前記それぞれのサブセットに対応するサブシステム上の前記第1の量子データ点のための縮約密度行列、およびb)k量子ビットの前記それぞれのサブセットに対応するサブシステム上の前記第2の量子データ点のための縮約密度行列の積のトレースに等しい、請求項15に記載の方法。 - 前記線形カーネル関数が、
Sk(n)が、k量子ビットρ(xi)=|xi〉〈xi|のサブセットのセットを表し、
Trm≠K[ρ(xi)]がk-RDMを表す、請求項15または16に記載の方法。 - 前記トレーニングデータセットにおける量子データ点のペアについて、前記カーネル関数の値を計算するステップであって、前記ペアが、第1のN量子ビット量子状態および第2のN量子ビット量子状態を備える、ステップが、
繰り返し、およびk量子ビットのセットごとに、
前記セットにおける量子ビットに対応するサブシステム上の前記第1のN量子ビット量子状態のためのk-RDMを計算するステップであって、前記第1のN量子ビット量子状態におけるN量子ビット量子システムのコピーを取得するステップと、前記セット中に含まれる前記量子ビットを除いて前記量子システムにおける各量子ビットを測定して、前記量子システムの第1の縮約量子状態を取得するステップとを含む、ステップと、
前記セットにおける量子ビットに対応するサブシステム上の前記第2のN量子ビット量子状態のためのk-RDMを計算するステップであって、前記第2のN量子ビット量子状態におけるN量子ビット量子システムのコピーを取得するステップと、前記セット中に含まれる前記量子ビットを除いて前記量子システムにおける各量子ビットを測定して、前記量子システムの第2の縮約量子状態を取得するステップとを含む、ステップと、
前記第1の縮約量子状態および前記第2の縮約量子状態の積のトレースを決定するステップと、
k量子ビットの各セットについて前記決定されたトレースの平均を加算するステップと
を含む、請求項15から17のいずれか一項に記載の方法。 - 前記カーネル関数が、指数カーネル関数を備える、請求項14に記載の方法。
- 前記指数カーネル関数が、
期待値
- 前記トレーニングデータセットにおける量子データ点のペアについて、前記カーネル関数の値を計算するステップであって、前記ペアが、第1のN量子ビット量子状態および第2のN量子ビット量子状態を備える、ステップが、
繰り返し、
第1の測定結果を取得するステップであって、ランダムパウリ基底において前記第1のシステムにおける各量子ビットを測定して、h番目の量子ビットのための値
第2の測定結果を取得するステップであって、ランダムパウリ基底において前記第2のシステムにおける各量子ビットを測定して、h番目の量子ビットのための値
N量子ビットシステムにおける前記h番目の量子ビットについて、前記第1の測定結果および第2の測定結果を比較して、前記第1のインジケータ関数の値を決定するステップと、
前記N量子ビットシステムにおける前記h番目の量子ビットについて、前記第2のインジケータ関数の値を決定するステップと、
前記第1のインジケータ関数および前記第2のインジケータ関数の前記決定された値を乗算し、加算し、平均するステップと
を含む、請求項20に記載の方法。 - 前記量子データ点が、N>1であるN量子ビット量子状態を備える、請求項1から21のいずれか一項に記載の方法。
- 前記量子データ点のトレーニングデータセットを取得するステップが、
古典的データ点のトレーニングデータセットを受信するステップと、
前記量子データ点のトレーニングデータセットを生成するステップであって、それぞれの符号化回路を基準量子状態に適用することによって、各古典的データ点をそれぞれの量子状態に埋め込むステップを含む、ステップと
を含む、請求項1から22のいずれか一項に記載の方法。 - 装置であって、
1つまたは複数の古典的プロセッサと、
前記1つまたは複数の古典的プロセッサとデータ通信している1つまたは複数の量子コンピューティングデバイスと
を備え、前記1つまたは複数の量子コンピューティングデバイスが、
1つまたは複数の量子ビットレジスタであって、各量子ビットレジスタが、1つまたは複数の量子ビットを備える、1つまたは複数の量子ビットレジスタと、
前記1つまたは複数の量子ビットレジスタを動作させるように構成された、複数の制御デバイスと
を備え、
前記装置が、請求項1から23のいずれか一項に記載の方法を実行するように構成される、装置。
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