JP2015176873A - シミュレーション方法、シミュレーション装置、及び、コンピュータ読み取り可能な記録媒体 - Google Patents

Abstract

【課題】計算結果の信頼性及び計算効率を高くする。
【解決手段】実施形態によれば、複数の配線の抵抗ばらつきのシミュレーション方法は、前記配線の断面形状に関する断面形状パラメータの関数である抵抗の数式モデルを、モンテカルロ・シミュレーションにより計算された抵抗に基づいて作成し、前記各配線を長さ方向に対して複数の微小要素に分割し、前記各微小要素の断面形状を特徴付ける前記断面形状パラメータを前記数式モデルに代入して前記各微小要素の抵抗を算出し、前記各配線において前記複数の微小要素の抵抗の総和を算出する。
【選択図】図１０

Description

本発明の実施形態は、シミュレーション方法、シミュレーション装置、及び、コンピュータ読み取り可能な記録媒体に関する。

半導体集積回路において金属配線の微細化が進んでいる。微細化が進むにつれ、配線の抵抗ばらつきが大きくなる。そこで、複数の配線の抵抗ばらつきを見積もることが求められている。

特開２０１０−１６１２９０号公報

本発明が解決しようとする課題は、計算結果の信頼性及び計算効率を高くできるシミュレーション方法、シミュレーション装置、及び、コンピュータ読み取り可能な記録媒体を提供することである。

実施形態によれば、複数の配線の抵抗ばらつきのシミュレーション方法は、前記配線の断面形状に関する断面形状パラメータの関数である抵抗の数式モデルを、モンテカルロ・シミュレーションにより計算された抵抗に基づいて作成し、前記各配線を長さ方向に対して複数の微小要素に分割し、前記各微小要素の断面形状を特徴付ける前記断面形状パラメータを前記数式モデルに代入して前記各微小要素の抵抗を算出し、前記各配線において前記複数の微小要素の抵抗の総和を算出する。

モンテカルロ・シミュレーションにより計算した銅配線の抵抗率と平均配線幅との関係図である。 波長６０ｎｍの正弦波ＬＥＲを有する配線の抵抗率と振幅との関係図である。 モンテカルロ・シミュレーションにより計算した図２に対応する配線の内部の電気伝導度分布を示す図である。 波長１５ｎｍの正弦波ＬＥＲを有する配線の抵抗率と振幅との関係図である。 モンテカルロ・シミュレーションにより計算した図４に対応する配線の内部の電気伝導度分布を示す図である。 図５の配線における電子の軌跡のシミュレーション結果を示す図である。 第１の比較例のシミュレーション方法の流れ図である。 第１の比較例の抵抗率の解析式モデルとそのパラメータとを示す図である。 第２の比較例のシミュレーション方法を示す流れ図である。 第１の実施形態に係る複数の配線の抵抗ばらつきのシミュレーション方法の流れ図である。 配線の断面形状を示す断面図である。 図１１の断面形状に対して数式モデルを作成するための条件表と、各条件に対してモンテカルロ・シミュレータで計算した抵抗とを示す図である。 図１２の条件表と抵抗とから導き出した抵抗の数式モデルを示す図である。 短波長成分及び長波長成分のＬＥＲの波形を有する配線と、短波長成分のみのＬＥＲの波形を有する配線と、長波長成分のみのＬＥＲの波形を有する配線とを概略的に示す図である。 長波長成分のＬＥＲの波形を有する配線に対して、数式モデルと直列抵抗の原理とを用いて全抵抗を求める方法を説明する図である。 第２の実施形態に係るシミュレーション方法の流れ図である。 第３の実施形態に係る複数の配線の抵抗ばらつきのシミュレーション装置の概略構成を示すブロック図である。

本発明の実施形態の説明に先立ち、発明者らが本発明をなすに至った経緯について説明する。

金属の薄膜や配線は、微細化を進めると電気抵抗が断面積の縮小以上に上昇することが知られている。微細化により電流を運ぶ電子が金属表面に衝突する頻度が増し、電気抵抗率が上昇するためである。また、半導体集積回路に用いられる銅配線はダマシン・プロセスで形成されるため、結晶粒界の微細化がサイズ効果の原因となる場合もある。これらの現象は一般に抵抗率のサイズ効果と呼ばれる。

また、微細化がナノスケールまで進むと、ライン・エッジ・ラフネス（Line-Edge Roughness：ＬＥＲ）及びライン・ウィドス・ラフネス（Line-Width Roughness：ＬＷＲ）と称される形状揺らぎが配線抵抗を劣化させることが指摘されている。ＬＥＲは、配線の側壁に生じた微細な凹凸構造を指す。ＬＷＲは、ＬＥＲによって配線幅が局所的に揺らぐことを指す。

図１は、モンテカルロ・シミュレーションにより計算した銅配線の抵抗率と平均配線幅との関係図である。配線の断面形状は矩形を想定し、配線の断面のアスペクト比（縦横比）は２で固定してある。温度は室温(T=300 K)を想定している。図１において、実線１１はＬＥＲ及びＬＷＲを無視した場合の抵抗率上昇を示し、シンボル１２はＬＥＲ及びＬＷＲを考慮した場合の抵抗率分布を示す。一つの平均配線幅当たりＬＷＲの大きさが異なる１０サンプルの計算結果をシンボル１２としてプロットしてある。

図１の例において、ＬＥＲの波形は、ＬＥＲ波形のパワー・スペクトルをガウス関数型であると想定し、カットオフ波長が６０ｎｍ、振幅の二乗平均平方根（Root Mean Square：以下、ＲＭＳ又はΔと称す）がΔ＝１．２ｎｍであることを想定して生成している。図１に示すように、ナノスケール配線ではＬＥＲによる抵抗率上昇と抵抗率ばらつきとが生じることが分かる。

続いて、ＬＥＲ及びＬＷＲによる抵抗率上昇（抵抗劣化）のメカニズムについて説明する。ＬＥＲ及びＬＷＲによる抵抗率上昇のメカニズムは、ＬＥＲの波長が電子の平均自由行程よりも長い波で構成されるか短い波で構成されるかにより、異なる。電子の平均自由行程とは、配線を構成する金属結晶中において、電子が散乱と散乱との間に走れる平均的な距離であり、サイズ効果の強弱、ＬＥＲ及びＬＷＲによる抵抗劣化に強く関係する。

図２は、波長６０ｎｍの正弦波ＬＥＲを有する配線の抵抗率と振幅との関係図である。図２では、ＬＷＲが最大の配線の抵抗率２１と、ＬＷＲが中間的である配線の抵抗率２２と、ＬＷＲが最小の配線の抵抗率２３とを示している。各配線の平均幅＜ｗ＞は、１０ｎｍであることを想定している。

図３は、モンテカルロ・シミュレーションにより計算した図２に対応する配線３１，３２の内部の電気伝導度分布を示す図である。図３では、ＬＷＲが最大の配線３１の電気伝導度分布と、ＬＷＲが最小の配線３２の電気伝導度分布とを示している。

図２、３の例では、配線材料は銅を想定しており、電子の平均自由行程は４０ｎｍを想定している。ＬＥＲが平均自由行程よりも長い波長の波で構成されるこの場合には、抵抗率上昇はＬＥＲによって生じるボトルネック部３３で電流の流れが阻害されることが原因となる。また、この場合は配線がＬＥＲを有していたとしても、両側面の波形を図３の配線３２のように同位相に揃えてＬＷＲを最小にすることで、図２の抵抗率２３のように抵抗劣化を抑えることが可能である。また、ＬＥＲが平均自由行程よりも長い波長の波で構成されるこの場合は、抵抗率の解析式モデルにより長さ方向の各位置における抵抗を求め、長さ方向にそれぞれの位置の抵抗を積分する方法が、ＬＥＲ付き配線の電気抵抗の妥当な近似解を与える。

図４は、波長１５ｎｍの正弦波ＬＥＲを有する配線の抵抗率と振幅との関係図である。図４では、ＬＷＲが最大の配線の抵抗率４１と、ＬＷＲが中間の配線の抵抗率４２と、ＬＷＲが最小の配線の抵抗率４３とを示している。

図５は、モンテカルロ・シミュレーションにより計算した図４に対応する配線５１，５２の内部の電気伝導度分布を示す図である。図５では、ＬＷＲが最大の配線５１の電気伝導度分布と、ＬＷＲが最小の配線５２の電気伝導度分布とを示している。

この場合、図４に示すように、ＬＷＲの有無に拘わらず、図２と比較して抵抗率が大幅に劣化することが分かる。

図６は、図５の配線５２に対してモンテカルロ・シミュレーションにより求めた電子の軌跡の射影６１の一部を示した図である。図５の配線５２と５１のように電子の平均自由行程よりもＬＥＲを構成する波の波長が短い場合には、図６の破線で囲まれた部分６２のように、凸部において電子の界面多重散乱が生じる結果、配線５２および５１の側面の凸部は電気伝導に寄与しない層（デッドレイヤー）になる。そのため、配線の両側面の波形を揃えることによって抵抗劣化を抑えることができなくなる。また、この場合には、前記デッドレイヤーが存在するため、直列抵抗の原理を使ったＬＥＲによる抵抗上昇の見積もりが妥当でなくなる。例えば、図５の配線５２の場合には、直列抵抗の原理によるとＬＥＲによる抵抗上昇は生じないという、高精度なモンテカルロ・シミュレーションの結果と矛盾が生じる。

以上で説明したように、ナノスケール金属配線の電気抵抗は、配線の材料と、断面形状を特徴付けるパラメータとに加えて、ＬＥＲ及びＬＷＲを特徴付けるパラメータの関数となる。即ち、ナノスケール金属配線の抵抗ばらつきを正確にシミュレーションするためには、ＬＥＲ及びＬＷＲによる抵抗上昇効果も考慮する必要がある。

（比較例）
続いて、比較例として、ＬＥＲ及びＬＷＲによる抵抗劣化を考慮した抵抗ばらつきのシミュレーション方法を２つ示す。

図７は、第１の比較例のシミュレーション方法の流れ図である。第１の比較例では、抵抗率を配線幅と高さとの関数として表した解析式モデルと、直列抵抗の原理と、を組み合わせた方法に基づいて、抵抗率のサイズ効果とＬＷＲによる抵抗率上昇とを考慮した抵抗ばらつきシミュレーションを実施する。

この方法は、大きく分けて、配線の種類と、抵抗ばらつきを計算すべき複数の配線の配線形状と、を含む条件表を読み込むステップＳ７１と、抵抗率の解析式モデルの諸設定を行うステップＳ７２と、読み込んだ条件表の各条件（各配線）に対して抵抗を計算する抵抗ばらつき計算ステップＳ７３〜Ｓ７５と、を備える。

ステップＳ７１では、全計算で共通である共通パラメータと、配線形状に関する条件表と、を読み込む。共通パラメータは、抵抗ばらつきをシミュレーションしたい配線の種類（材料及びプロセス）や温度等である。条件表は、抵抗ばらつきを計算すべき複数の配線の断面形状に関するパラメータである配線幅及びアスペクト比（縦横比）、ＬＥＲ及びＬＷＲに関するパラメータであるＬＥＲ波形のパワー・スペクトル形状（ガウス関数型、指数関数型など）、ＬＥＲ波形の振幅のＲＭＳ、並びに、エッジ間の波形の相関（またはＬＷＲの標準偏差）が列挙された表である。

続くステップＳ７２では、抵抗ばらつき計算ステップＳ７３〜Ｓ７５で使用する抵抗率の解析式モデルのパラメータの設定を行う。図８は、第１の比較例の抵抗率ρの解析式モデル８１とそのパラメータとを示す図である。図８に示される抵抗率ρの解析式モデル８１では、配線の断面形状は矩形であることが想定されているため、断面形状に関する入力パラメータは配線幅ｗと配線のアスペクト比ＡＲのみである。その他のパラメータは、サイズ効果による抵抗上昇に関係するものであり、金属界面における電子の鏡面反射確率ｐと、結晶粒径および結晶粒界における電子の反射確率Ｒ等である。これらのパラメータは、抵抗ばらつきを計算する配線に近いプロセスで実際に作成された配線の抵抗と断面積の関係を再現するように、指定された配線の種類とパラメータとの関係がテーブル化されていると仮定する。ステップＳ７２では、指定された配線の種類に応じてこれらのパラメータを設定する。

抵抗ばらつき計算ステップＳ７３〜Ｓ７５では、ステップＳ７１で読み込まれた条件表で指定された全ての配線形状に対して、抵抗を計算する。

具体的には、ステップＳ７３では、配線の両側面のＬＥＲ波形を、条件表で指定されたパワー・スペクトル型とそのパラメータに基づき、逆フーリエ級数展開により生成する。

その後、ステップＳ７４では、配線幅がその波形に従って揺らぐと仮定し、解析式モデル８１と直列抵抗の原理とに基づき配線の全抵抗を算出する。

ステップＳ７５では、条件表の全ての条件の配線の抵抗を計算したか否か判定し、計算していない場合にはステップＳ７３に戻り次の条件の抵抗を計算する。全ての条件の抵抗を計算した場合には、処理を終了する。

この第１の比較例で用いられる数値計算技術は、解析式モデル８１による抵抗の計算と１次元の数値積分だけであるため、計算効率が非常に高い。従って、１０万サンプルを超えるような多くの計算条件に対しても簡単且つ高速にシミュレーション可能である。しかしながら、任意の断面形状を取り扱えない、短波長のＬＥＲによる抵抗劣化を考慮できない、という計算精度についての問題点がある。

第２の比較例として、第１の比較例の解析式モデルよりも形状効果についての精度が高い電子輸送のモンテカルロ・シミュレータを用いて抵抗を計算する例を示す。

図９は、第２の比較例のシミュレーション方法を示す流れ図である。全体的な流れは第１の比較例の方法と同様であるが、ステップＳ９１において任意の断面形状（矩形、台形、ポリゴンなど）とその形状を特徴付ける数値パラメータを指定する事が可能である点と、抵抗ばらつき計算ステップＳ９３〜Ｓ９５において、抵抗の計算に配線内の電子の運動を粒子法で模擬する電子輸送のモンテカルロ・シミュレータを用いる点と、が第１の比較例と異なる。

モンテカルロ・シミュレータは、配線の任意の断面形状、及び、配線の３次元形状が与えられると、その形状に応じた抵抗を、予め考慮された物理モデルに従って計算できる。具体的には、図６の６１のように入力された形状に対して、配線内の電子が散乱される様をシミュレーションし、電流の流れやすさ、つまり抵抗を求める。

このように、第２の比較例には、任意の断面形状を取り扱う事が可能である、高精度な物理モデルに基づくため計算結果の信頼性が高い、という利点がある。その一方、モンテカルロ・シミュレーションは３次元の大規模な数値シミュレーション技術であるため、多大な計算機リソースを必要とするという問題がある。即ち、複数の配線の抵抗ばらつきを求めるためには長時間を要する。

発明者らは、上述した独自の知得に基づいて本発明をなすに至った。

以下に、図面を参照して本発明の実施形態について説明する。これらの実施形態は、本発明を限定するものではない。

（第１の実施形態）
図１０は、第１の実施形態に係る複数の配線の抵抗ばらつきのシミュレーション方法の流れ図である。シミュレーション対象の配線は、半導体集積回路の金属配線である。

図１０に示すように、まず、条件表の読み込みを行う（ステップＳ１０１）。この条件表は、第１の比較例で説明した条件表の内容に加え、任意の断面形状（矩形、台形、ポリゴン、円形、楕円形など）の断面形状パラメータと、後述する抵抗の数式モデルの作成に用いられる条件とを含む。

次に、モンテカルロ・シミュレータの諸設定を行う（ステップＳ１０２）。第１の比較例のように、界面における鏡面散乱確率などを入力で指定された配線種に基づいて設定する。

次に、抵抗の数式モデルを、高精度なモンテカルロ・シミュレーションにより計算された抵抗に基づいて作成する（ステップＳ１０３）。この抵抗の数式モデルは、配線の断面形状に関する断面形状パラメータの関数である。

次に、作成された数式モデルを用いて、条件表で指定された各配線について抵抗の計算を行う（ステップＳ１０４〜Ｓ１０７）。

第１の実施形態の特徴の１つは、抵抗の数式モデルを作成するステップＳ１０３を備えている点にある。このステップＳ１０３では、断面形状とＬＥＲに関するパラメータに対して、モンテカルロ・シミュレーションと同等な精度の抵抗を簡単に算出するための抵抗の数式モデルを生成する。

ステップＳ１０３の具体的な処理について、一例として、断面形状が台形である配線に適用することを想定して以下に説明する。

図１１は、配線の断面形状を示す。台形の断面形状を特徴付ける形状パラメータは、下底の幅ｂ、高さｈ、下底と側面との間の角度（テーパー角度）θの３つである。従って、ステップＳ１０３では、単位長さあたりの抵抗をＲとしたとき、下記の数式（１）のように、断面形状パラメータｂ、ｈ、θの関数として抵抗Ｒの数式モデルを作成する。
Ｒ＝ｆ（ｂ，ｈ，θ） ・・・ 数式（１）

この数式モデルは、実験計画法やタグチ・メソッドとリンクした回帰分析技術を用いて作成することができる。

図１２は、図１１の断面形状に対して数式モデルを作成するための条件表（中心複合計画）と、各条件に対してモンテカルロ・シミュレータで計算した抵抗Ｒｓとを示す図である。この条件表は、互いに異なる１５条件を含み、各条件は断面形状パラメータｂ、ｈ、θを含む。

図１３は、図１２の条件表と抵抗Ｒｓと回帰分析から導き出した抵抗Ｒの数式モデル１３１を示す図である。抵抗Ｒは、単位長さあたりの抵抗を表す。この数式モデル１３１は、図１２の各条件の断面形状パラメータｂ、ｈ、θを代入すると、対応する抵抗Ｒｓが計算できるモデルである。数式モデル１３１は、各断面形状パラメータの１次の項や２次の項、断面形状パラメータ間の交互作用項などが含まれるが、抵抗に有意な項だけで数式モデルを作成することができる。

つまり、ステップＳ１０３では、数式モデル１３１を作成するための互いに異なる段面形状を有する複数の基準配線要素を仮定し、複数の基準配線要素のそれぞれの単位長さ当たりの抵抗をモンテカルロ・シミュレーションにより計算し、計算された抵抗と、基準配線要素の断面形状パラメータと、を用いて、数式モデル１３１を作成する。各基準配線要素は、ＬＥＲを有さず、長さ方向に一様な形状を有する。

図１２の例の場合、数式モデル１３１を作成するために１５回モンテカルロ・シミュレーションを実行する必要がある。しかし、本実施形態のステップＳ１０３におけるモンテカルロ・シミュレーションではＬＥＲを有さない２次元的な構造の基準配線要素を取り扱えばよいため、第２の比較例のＬＥＲを有する配線の全長に対するモンテカルロ・シミュレーションと比較して、１回当たりの計算時間は短い。また、断面形状を特徴付ける断面形状パラメータが多くなるに従い、数式モデルの作成に必要な条件数は増える傾向にあるが、条件表として直交表を用いることで、せいぜい１００条件程度で済む。そのため、第２の比較例の抵抗ばらつきの計算で必要とされる１０万条件程度（１０万本程度の配線）をモンテカルロ・シミュレーションすることに比べると、大幅に計算時間を短縮できる。このように、抵抗ばらつきを計算する配線の数は、基準配線要素の数より多く、例えば、基準配線要素の数の１００倍より多くてもよい。

ステップＳ１０４〜Ｓ１０７では、ステップＳ１０１で読み込まれた全パラメータ（つまり複数の配線）に対して、ステップＳ１０３で作成した抵抗の数式モデル１３１と、直列抵抗の原理と、に基づいて配線の抵抗を計算する。具体的には、各配線について、長さ方向の各位置の断面形状パラメータを数式モデル１３１に代入して得られた抵抗の総和を算出する。

図１４は、平均自由行程よりも短い波長と長い波長で構成されたＬＥＲの波形を有する配線１４１と、短波長な波で構成されたＬＥＲの波形（ＬＥＲ波形の短波長成分）を有する配線１４２と、長波長な波で構成されたＬＥＲの波形（ＬＥＲ波形の長波長成分）を有する配線１４４とを概略的に示す図である。配線１４１は、抵抗を計算したい配線である。

まず、ステップＳ１０４にて、図１４に示すように、配線１４１の各ＬＥＲ波形のパワー・スペクトルを用いて、配線１４１の各ＬＥＲの波形を、配線１４１における電子の平均自由行程を基準として、短波長成分の波形と長波長成分の波形を別々に生成する。例えば、短波長成分は平均自由行程以下の波長の波で構成されるＬＥＲの波形であり、長波長成分は平均自由行程より長い波長の波で構成されるＬＥＲの波形である。条件表においてパワー・スペクトルが与えられているため、この処理は簡単にできる。これにより、短波長成分のみを有する配線１４２と、長波長成分のみを有する配線１４４とが得られる。

次に、ステップＳ１０５にて、ＬＥＲ波形の短波長成分のＲＭＳ（＝Δ）を計算する。ＲＭＳは、配線１４２の側面１４２ｌ，１４２ｒ毎に個別に計算する。側面１４２ｌのＲＭＳをΔｌｅｆｔとして、側面１４２ｒのＲＭＳをΔｒｉｇｈｔとする。

続いて、ステップＳ１０６にて、ＬＥＲ波形の長波長成分を有する配線１４４の抵抗を、その幅が短波長成分のＲＭＳの定数倍（短波長成分の振幅に応じた値）だけ狭まったと仮定して、抵抗の数式モデル１３１と直列抵抗の原理とに基づいて算出する。即ち、抵抗を求めたい配線１４１について、各ＬＥＲの波形が長波長成分からなり、且つ、幅が短波長ＬＥＲについてのＲＭＳの定数倍だけ狭まったと仮定して、長さ方向の各位置の断面形状パラメータを数式モデル１３１に代入して得られた抵抗の総和を算出する。このように、短波長成分によるデッドレイヤー１４３を考慮して配線１４４の抵抗を算出するので、得られた抵抗は配線１４１の抵抗と等価である。図１５を参照して、この処理を具体的に説明する。

図１５は、ＬＥＲ波形の長波長成分を有する配線１４４に対して、数式モデル１３１と直列抵抗の原理とを用いて全抵抗を求める方法を説明する図である。

図１５に示すように、まず、配線長Ｌの配線１４４を、長さ方向に複数の微小要素Ｅ１〜ＥＮ（Ｎは正の整数）に分割する。微小要素の長さΔＬｉ（ｉは１からＮの整数）はＬＥＲ波形の長波長成分（即ち電子の平均自由行程）よりも十分短い長さとする。そして、各微小要素Ｅｉの断面形状パラメータと数式モデル１３１とを用いて各微小要素Ｅｉの抵抗Ｒｉを算出する。具体的には、各微小要素Ｅｉの抵抗ΔＲｉを、数式モデル１３１を用いた次の数式（２）から算出する。
ΔＲｉ＝ｆ（ｂｉ−α・Δｌｅｆｔ−β・Δｒｉｇｈｔ，ｈ，θ）・ΔＬｉ ・・・ 数式（２）

つまり、各微小要素Ｅｉの断面形状パラメータ（微小要素Ｅｉの平均幅（即ち下底の幅）ｂｉ、高さｈ及びテーパー角度θ）と、Δｌｅｆｔと、Δｒｉｇｈｔと、微小要素Ｅｉの長さΔＬｉと、を数式（２）に代入して、微小要素Ｅｉの抵抗ΔＲｉを得る。

ここで、αとβは、０以上の定数であり、通常は短波長成分によって生じるデッドレイヤー１４３の厚さに相当する６程度の値とする。また、αとβを共に０に近づけると、短波長のＬＥＲによる抵抗劣化を無視した計算に漸近する。部分的に短波長成分が弱まる、または、消失する部分がある特殊なＬＥＲ波形が付与された配線についての抵抗を計算したい場合には、αとβを部分的に０にした計算も実施することができる。その場合は、シミュレーションの入力として、αとβをどの領域で、どのような値にするかを入力できるようにしておけばよい。

そして、複数の微小要素Ｅ１〜ＥＮの抵抗ΔＲ１〜ＲＮの総和を算出し、この総和を配線１４１の全抵抗とする。

次に、ステップＳ１０７にて、全ての配線についての計算が終了したか否か判定し、終了していない場合にはステップＳ１０４に戻る。

なお、ここでは、一例として配線の側面に付与されたＬＥＲ及びＬＷＲの影響を考慮する場合について示したが、配線の側面だけに限らず、配線の上面と下面にもＬＥＲが付加された場合にも容易に応用が可能である。また、各配線は、側面と、上面と、下面と、の少なくとも何れかにＬＥＲを有していてもよい。各配線は、高さと幅との少なくとも何れかが、長さ方向に沿って変動していてもよい。また、テーパー角度θも、配線の長さ方向の位置に応じて変化してもよい。

また、金属薄膜のような２次元的な構造に対して、上面と下面にＬＥＲが付与された場合にも容易に応用が可能である。これらの場合には、配線の高さｈが短波長成分のＲＭＳの定数倍だけ狭まったと仮定した上で、数式モデルとＬＥＲ波形の長波長成分に従って高さがゆらぐと仮定して、直列抵抗の原理によって抵抗の総和を算出すればよい。また、配線の断面が多角形である場合には、配線を構成する各側面の少なくともいずれかにＬＥＲを有していてもよく、断面形状を特徴付けるパラメータが長さ方向に沿って変動してもよい。

以上で説明したように、第１の実施形態によれば、断面形状パラメータの関数である抵抗の数式モデル１３１を、高精度なモンテカルロ・シミュレーションにより計算された抵抗に基づいて作成するので、任意の断面形状に対して信頼性の高い数式モデル１３１を作成できる。また、モンテカルロ・シミュレーションを数式モデル１３１の作成だけに用いるので、その実行回数を抑えることができる。

また、配線１４１のＬＥＲの波形を短波長成分の波形と長波長成分の波形とに分け、長波長成分のＬＥＲの波形を有する配線１４４の抵抗を、その幅が短波長成分のＲＭＳの定数倍だけ狭まったと仮定して、抵抗の数式モデル１３１と直列抵抗の原理とに基づいて算出するようにしている。これにより、電子の伝導に寄与しないデッドレイヤー１４３の影響を、算出された抵抗に反映させることができる。従って、複雑な波形のＬＥＲを有する配線１４１の抵抗を、モンテカルロ・シミュレーションと同等の精度で求めることができ、且つ、計算効率を高くできる。

つまり、数万サンプル以上の大規模な配線の抵抗ばらつきを、第２の比較例と同等な高精度で、第２の比較例より高速に見積もることができる。

従って、計算結果の信頼性及び計算効率を高くできる。

（第２の実施形態）
第２の実施形態では、短波長成分のＬＥＲの波形を有していない配線の抵抗を計算する点が第１の実施形態と異なる。

ＬＥＲの波長が電子の平均自由行程よりも長いことが予め分かっている場合には、以下に説明するように、第１の実施形態の処理を簡略化できる。

図１６は、第２の実施形態に係るシミュレーション方法の流れ図である。図１６において、ステップＳ１０１〜ステップＳ１０３の処理は図１０と同じ処理である。ただし、条件表に含まれているパワー・スペクトルは、短波長成分を含んでいないか、あるいは無視できる程度の振幅の短波長成分を含んでいる。

ステップＳ１０３の後、作成された数式モデル１３１を用いて、各配線について抵抗の計算を行う（ステップＳ１０４ａ〜Ｓ１０７）。具体的には、各配線について、長さ方向の各位置の断面形状パラメータを数式モデル１３１に代入して得られた抵抗の総和を算出する。

ステップＳ１０４ａでは、配線の両側面のＬＥＲ波形を、条件表で指定されたパワー・スペクトルに基づいて生成する。

ステップＳ１０５ａでは、抵抗の数式モデル１３１と直列抵抗の原理とに基づき、配線の抵抗を算出する。具体的には、図１５と同様に、まず、配線を長さ方向に複数の微小要素Ｅ１〜ＥＮに分割する。そして、各微小要素Ｅｉの断面形状パラメータ（微小要素Ｅｉの平均幅（即ち下底の幅）ｂｉ、高さｈ及びテーパー角度θ）を数式モデル１３１に代入し、得られた抵抗Ｒと微小要素Ｅｉの長さΔＬｉとの積を計算して各微小要素Ｅｉの抵抗ΔＲｉを算出する。そして、複数の微小要素Ｅ１〜ＥＮの抵抗ΔＲ１〜ＲＮの総和を算出し、この総和を配線の全抵抗とする。

次のステップＳ１０７の処理は、図１０と同じ処理である。

このように、第２の実施形態における第１の実施形態との主な相違点は、ＬＥＲの波形を短波長成分と長波長成分とに分けないことである。また、第２の実施形態では、第１の実施形態の数式（２）において定数αとβを０にしていると言うこともできる。

以上で説明したように、第２の実施形態によれば、断面形状パラメータの関数である抵抗の数式モデル１３１を、高精度なモンテカルロ・シミュレーションにより計算された抵抗に基づいて作成するので、任意の断面形状に対して信頼性の高い数式モデル１３１を作成できる。また、モンテカルロ・シミュレーションを、数式モデル１３１の作成だけに用いるので、その実行回数を抑えることができる。

そして、この数式モデル１３１と直列抵抗の原理とを用いて各配線の抵抗を算出するので、計算が簡単であり、計算効率を高くできる。ＬＥＲが平均自由行程よりも長波長な波だけで構成される場合には、ＬＷＲによるボトルネックが抵抗を劣化させる主要因であるため、第２の実施形態の計算方法で、ＬＥＲによる抵抗劣化に関して計算精度を落とすことがない。

つまり、このような形状の配線に限れば、数万サンプル以上の大規模な配線の抵抗ばらつきを、第１の実施形態と同等な高精度で、第１の実施形態より簡単に見積もることができる。

従って、計算結果の信頼性及び計算効率を高くできる。

なお、第２の実施形態においても、側面だけに限らず、各配線は、側面と、上面と、下面と、の少なくとも何れかにＬＥＲを有していてもよい。各配線は、高さと幅との少なくとも何れかが、長さ方向に沿って変動していてもよい。また、配線の断面が多角形である場合には、配線の各側面の少なくともいずれかにＬＥＲを有していてもよく、断面形状を特徴付けるパラメータが長さ方向に沿って変動してもよい。このような配線に対して抵抗ばらつきを計算する場合にも、以上の説明と同様の効果が得られる。

（第３の実施形態）
第３の実施形態は、第１又は第２の実施形態のシミュレーション方法を実行するシミュレーション装置に関する。

図１７は、第３の実施形態に係る複数の配線の抵抗ばらつきのシミュレーション装置の概略構成を示すブロック図である。シミュレーション装置は、入力装置１７１と、記憶装置１７２と、中央演算処理装置（ＣＰＵ）１７３と、一次記憶装置（メモリ）１７４と、出力装置１７５と、記録媒体読み取り装置１７６と、バスライン１７７と、を備える。

入力装置１７１は、キーボードやマウスなどのユーザー・インターフェースであり、条件表等のシミュレーション条件を入力する。

記憶装置１７２は、ハードディスク装置などであり、入力されたシミュレーション条件、及び、第１又は第２の実施形態のシミュレーション方法を実行するためのシミュレーションプログラムを記憶する。

中央演算処理装置１７３と一次記憶装置１７４は、演算装置１７８として機能する。演算装置１７８は、記憶装置１７２に記憶されたシミュレーションプログラムとシミュレーション条件とに従って、第１又は第２の実施形態のシミュレーション方法を実行する。

出力装置１７５は、ディスプレイやプリンタなどであり、演算装置１７８による演算で得られた配線の抵抗を出力する。

記録媒体読み取り装置１７６は、記録媒体からデータを読み取る。これらの各装置１７１〜１７６は、バスライン１７７により接続されている。

このシミュレーション装置により、第１又は第２の実施形態の効果が得られる。即ち、任意の断面形状の配線における抵抗ばらつきシミュレーションを、計算コストを大幅に劣化させずに実施することが可能となる。

なお、光学メディア、磁気メディア、不揮発性メモリ等のコンピュータ読み取り可能な記録媒体に、第１又は第２の実施形態のシミュレーション方法を実行するシミュレーションプログラムを保存し、記録媒体読み取り装置１７６を用いてこの記録媒体からシミュレーションプログラムを読み込ませることにより、第１又は第２の実施形態のシミュレーション方法を実行してもよい。

また、このシミュレーションプログラムを、インターネット等の通信回線（無線通信も含む）を介して頒布してもよい。さらに、同シミュレーションプログラムを暗号化したり、変調をかけたり、圧縮した状態で、インターネット等の有線回線や無線回線を介して、あるいは記録媒体に収納して頒布してもよい。

本発明のいくつかの実施形態を説明したが、これらの実施形態は、例として提示したものであり、発明の範囲を限定することは意図していない。これら新規な実施形態は、その他の様々な形態で実施されることが可能であり、発明の要旨を逸脱しない範囲で、種々の省略、置き換え、変更を行うことができる。これら実施形態やその変形は、発明の範囲や要旨に含まれるとともに、特許請求の範囲に記載された発明とその均等の範囲に含まれる。

１３１ 数式モデル
１４１，１４２，１４４ 配線
Ｅ１〜ＥＮ 微小要素
１７１ 入力装置
１７２ 記憶装置
１７３ 中央演算処理装置
１７４ 一次記憶装置
１７５ 出力装置
１７８ 演算装置

Claims (9)

1. 複数の配線の抵抗ばらつきのシミュレーション方法であって、
   前記各配線は、側面と、上面と、下面と、の少なくとも何れかにＬＥＲ（Line Edge Roughness）を有し、
   前記配線の断面形状に関する断面形状パラメータの関数である抵抗の数式モデルを、モンテカルロ・シミュレーションにより計算された抵抗に基づいて作成し、
   前記各配線の前記各ＬＥＲの波形を、電子の平均自由行程を基準として、短波長成分の波形と長波長成分の波形とに分け、
   前記各配線について、前記各ＬＥＲの波形が前記長波長成分からなり、且つ、幅と高さの少なくとも何れかが前記短波長成分の振幅に応じた値だけ狭まったと仮定した上で、前記各配線を長さ方向に対して複数の微小要素に分割し、前記各微小要素の断面形状を特徴付ける前記断面形状パラメータを前記数式モデルに代入して前記各微小要素の抵抗を算出し、前記各配線において前記複数の微小要素の抵抗の総和を算出し、
   前記短波長成分の振幅に応じた値は、前記短波長成分の振幅の二乗平均平方根の定数倍であり、
   前記短波長成分は、前記平均自由行程以下の波長の波で構成されたＬＥＲ波形であり、
   前記長波長成分は、前記平均自由行程より長い波長の波で構成されたＬＥＲ波形である
   ことを特徴とするシミュレーション方法。
2. 複数の配線の抵抗ばらつきのシミュレーション方法であって、
   前記配線の断面形状に関する断面形状パラメータの関数である抵抗の数式モデルを、モンテカルロ・シミュレーションにより計算された抵抗に基づいて作成し、
   前記各配線を長さ方向に対して複数の微小要素に分割し、
   前記各微小要素の断面形状を特徴付ける前記断面形状パラメータを前記数式モデルに代入して前記各微小要素の抵抗を算出し、
   前記各配線において前記複数の微小要素の抵抗の総和を算出する、
   ことを特徴とするシミュレーション方法。
3. 前記各配線は、側面と、上面と、下面と、の少なくとも何れかにＬＥＲ（Line Edge Roughness）を有し、
   前記各配線の前記各ＬＥＲの波形を、電子の平均自由行程を基準として、短波長成分の波形と長波長成分の波形とに分け、
   前記各配線について、前記各ＬＥＲの波形が前記長波長成分からなり、且つ、幅と高さの少なくとも何れかが前記短波長成分の振幅に応じた値だけ狭まったと仮定した上で、前記各配線の分割と、前記各微小要素の抵抗の算出と、前記複数の微小要素の抵抗の総和の算出と、を行う、ことを特徴とする請求項２に記載のシミュレーション方法。
4. 前記短波長成分の振幅に応じた値は、前記短波長成分の振幅の二乗平均平方根の定数倍である、ことを特徴とする請求項３に記載のシミュレーション方法。
5. 前記短波長成分は、前記平均自由行程以下の波長の波で構成されたＬＥＲ波形であり、
   前記長波長成分は、前記平均自由行程より長い波長の波で構成されたＬＥＲ波形である、ことを特徴とする請求項３に記載のシミュレーション方法。
6. 複数の配線の抵抗ばらつきのシミュレーション装置であって、
   シミュレーション条件を入力する入力装置と、
   前記シミュレーション条件と、シミュレーションプログラムとを記憶する記憶装置と、
   前記記憶装置に記憶された前記シミュレーションプログラムと前記シミュレーション条件とに従って、前記配線の断面形状に関する断面形状パラメータの関数である抵抗の数式モデルを、モンテカルロ・シミュレーションにより計算された抵抗に基づいて作成し、前記各配線を長さ方向に対して複数の微小要素に分割し、前記各微小要素の断面形状を特徴付ける前記断面形状パラメータを前記数式モデルに代入して前記各微小要素の抵抗を算出し、前記各配線において前記複数の微小要素の抵抗の総和を算出する、演算装置と、
   前記演算装置による演算で得られた前記配線の抵抗を出力する出力装置と、
   を備えることを特徴とするシミュレーション装置。
7. 前記各配線は、側面と、上面と、下面と、の少なくとも何れかにＬＥＲ（Line Edge Roughness）を有し、
   前記演算装置は、
   前記各配線の前記各ＬＥＲの波形を、電子の平均自由行程を基準として、短波長成分の波形と長波長成分の波形とに分け、
   前記各配線について、前記各ＬＥＲの波形が前記長波長成分からなり、且つ、幅と高さの少なくとも何れかが前記短波長成分の振幅に応じた値だけ狭まったと仮定した上で、前記各配線の分割と、前記各微小要素の抵抗の算出と、前記複数の微小要素の抵抗の総和の算出と、を行う、ことを特徴とする請求項６に記載のシミュレーション装置。
8. 請求項２に記載のシミュレーション方法をコンピュータに実行させるためのプログラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
9. 請求項３に記載のシミュレーション方法をコンピュータに実行させるためのプログラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体。