JP2015132790A - 水素原子の電子の二、三次元存在確率表示方法 - Google Patents
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Abstract
【課題】 水素原子の電子の存在確率が一次元表示のみであり、立体や平面の表示が皆無であるので、これを提供する。
【解決手段】 水素原子s軌道の波動関数をΨ、中心からの距離を小さい順にr1からrnまで取り、これらの半径を有するn個の同心球1の球表面上に、対応する距離での存在確率rn 2Ψ2に比例した面積の領域4を他と区別して表示した水素原子の電子の三次元存在確率表示方法であり、従来の一次元表示に不可避の半径方向の偏りが取り除かれた存在確率により量子力学の変化発展に貢献できる。
【選択図】図1
【解決手段】 水素原子s軌道の波動関数をΨ、中心からの距離を小さい順にr1からrnまで取り、これらの半径を有するn個の同心球1の球表面上に、対応する距離での存在確率rn 2Ψ2に比例した面積の領域4を他と区別して表示した水素原子の電子の三次元存在確率表示方法であり、従来の一次元表示に不可避の半径方向の偏りが取り除かれた存在確率により量子力学の変化発展に貢献できる。
【選択図】図1
Description
本発明は理科教材としての水素原子の電子の存在確率表示方法を改良するものである。
水素原子の電子の存在確率表示方法としては、図5に示す半径方向のグラフが多数の教科書に掲載されており、量子力学の基礎中の基礎として良く知られている。また、図6に示す定性的平面(二次元)分布図、図7に示す定性的立体(三次元)分布図などもある。
しかし量子力学の確率的解釈には、産みの親シュレディンガーを始めアインシュタイン等、創設期の多くの学者が反対したと伝えられており、理論の構築過程やそれらの根拠など、種々の情報が得られる教材が望ましい。
その観点から図5を見ると、単なる半径方向の一次元グラフであり、情報量があまりにも少な過ぎる。そもそも波動関数が三次元座標で表されているのであるから、立体的な存在確率の定量分布が表現可能であるにも関わらず、立体表現としては図7の様な単なる球、平面表現も図6の様な単なる円があるだけである。その為か、基礎中の基礎であるにも関わらず、十分咀嚼していると言うよりも、「昔から言われているから」、「アインシュタインでも覆せなかったから」正しいに違いないと言った、消極的な理解に留まっていると言えるのではなかろうか。
本発明は上記従来の課題を解決するものであり、水素原子の電子の存在確率を三次元あるいは二次元定量表示する方法を提供するものである。
本発明は上記目的を達成する為に、水素原子s軌道の波動関数をΨ、中心からの距離を小さい順にr1からrnまで取り、これらの半径を有するn個の同心球の球表面上に、対応する距離での存在確率値4πrn 2・Ψ2に比例した面積の範囲を他と区別して表示した水素原子の電子の三次元存在確率表示方法である。
本発明の教材としての水素原子の電子の三次元存在確率表示方法は、水素原子s軌道の波動関数をΨ、中心からの距離を小さい順にr1からrnまで取り、これらの半径を持つn個の同心球表面上に、各々の距離での存在確率値4πrn 2・Ψ2に比例した面積の範囲を他と区別して表示したものであり、同心配置された半径rnの球の各々での存在確率値と表面積とが対比定量表示されるので、正に存在確率値の三次元表示であり、量子力学の基礎中の基礎である存在確率の理解に有用であると共に、理科を学ぶ興味を引き起こすことができる。
以下、本発明の実施の形態について説明する。従来例が半径方向の一次元表示であるのに対し、三次元表示すべくn種類の半径値の同心球上に、各々の球面における存在確率値に比例した面積の表示を実施形態1。三次元量を平面上、二次元表示すべく球表面積に比例した面積を持つ相似平面図形上に、各々の存在確率値に比例した面積の表示を実施形態2。中心を通る任意の断面における、存在確率の二次元定量表示を実施形態3とする。
図1は本発明実施形態1に係る教材としての水素原子1s軌道の存在確率を、ボーア半径aO=1とし、5種類の半径、r1=0.1、r2=0.25、r3=0.5、r4=1、r5=1.5の五つの同心球上に、各々の半径における電子の存在確率に比例した面積を他と区別して表示したものであり、作成手順を以下の表1を用いて説明する。
表1はパソコンの表計算ソフト(マイクロソフト社のエクセル)を用いての計算結果を表したもので、1行は半径rの表示に用い、A列は半径rと記載、B列からF列には上記五つの半径値を記入。2行には球の表面積S=4πr2を当てる。3行には存在確率P,4行は比P/S、5行はα=arcos(1−P/S)の計算結果、6行はその度換算値に用いる。
中心からの距離rとして飛び飛びの値を採用したのは、隙間が無ければ内部を覗けないからであり、その球表面を存在確率の表示に用いる為にその表面積Sを計算した。存在確率Pは次の様に求める。波動関数の二乗を全空間にわたって積分した結果が1になるべく決定されており、極座標(r、θ、φ)では体積素dv=dr・rdθ・r sinθ dφであるから、1s軌道では
上記数1の右端の項は、半径rのみの関数であり、次の様に表現できる。
1s軌道の波動関数の二乗はr=0で最大値1/π=0.3182となり、rの増大に伴って単調減少するから、これと球表面積との積である存在確率P(r)の値は常に球の表面積以下であり、球表面上に表現可能である。P/Sは上記数3から明らかな様に、Ψ2に等しい。このP(r)の値を球面上に表示する方法として、緯度線を用いる。極座標(r、θ、φ)にて、θ方向の角度α(ラジアン)は、地球に対応させると北緯(90−180α/π)度となる。このαより北側の面積は次式となる。
従って角度αはarcos(1−P(r)/2πr2)で求められる。
図1はパソコンプログラムによりr1からr5までの五つの同心球1を描き、各々の球表面に角度αの緯線2を描き、その南側には30度間隔の経線3を描き、北側は空白域4としたものであり、この空白域の面積は前述の如くP(r)に等しいので、存在確率の値を、定義された球上に表現した事になる。
図2は本発明実施形態2に係る教材としての水素原子1s軌道の存在確率を平面上に定量表示したものであり、左右の直線上に原子の半径を取り、左端を原点とし、上下にのびる直線を描き、ここから右側の、半径r1=0.1、r2=0.25、r3=0.5、r4=1、r5=1.5に比例した各々の位置を中心に、上記表1のS(表面積)欄の数値に比例した面積を有する大楕円5と、同じくP(r)欄の数値に比例した面積を有する小楕円6とを描く。参考として、後述の図5に示す1s軌道のグラフ7を、半径を一致させて描いた。
図3は本発明実施形態3に係る教材としての水素原子1s軌道の中心を通る任意の断面において、二千分の一の電子の存在確率を表す小円8を、中心からの距離rと、その位置における平面存在確率2r exp(−2r)の、距離ゼロから累積積分値が収束する距離までの積分値に対する二千分の一比率を四捨五入した数だけ円周上に等角度配置したものである。平面における存在確率は定義されていないが、数3の右端項から類推し、半径rの円の外側の微少距離drの範囲に電子が存在する確率とすると、次式の様になる。
平面の存在確率P(r)=2πrΨ2=2πr exp(−2r)/π=2r exp(−2r)
平面の存在確率P(r)=2πrΨ2=2πr exp(−2r)/π=2r exp(−2r)
前述と同一の表計算ソフトの計算結果を記載した表2を用いて作成方法を説明する。
(1)1s軌道水素原子の中心からの距離を微小距離に等分割する。
表2は表計算ソフトの行列に対応させ、上下に1行から4行まで、左右はA列、B列、C列と続く。ボーア半径aO=1とし、1行A列に半径rと記入し、B列には0.05、C列から右側に0.05刻みで15までの数値を代入する。ただし、表2には0.05から0.6までは連続させ、それ以上は代表値、1.0と13.5および15を記載した。
(2)各々の距離での平面の存在確率2r exp(−2r)を計算する。
2行A列に2r exp(−2r)と記入。同行B列には表計算ソフトの式=2*B1*Exp(−2*B1)を入力し、行の右方にコピーする。
表2は表計算ソフトの行列に対応させ、上下に1行から4行まで、左右はA列、B列、C列と続く。ボーア半径aO=1とし、1行A列に半径rと記入し、B列には0.05、C列から右側に0.05刻みで15までの数値を代入する。ただし、表2には0.05から0.6までは連続させ、それ以上は代表値、1.0と13.5および15を記載した。
(2)各々の距離での平面の存在確率2r exp(−2r)を計算する。
2行A列に2r exp(−2r)と記入。同行B列には表計算ソフトの式=2*B1*Exp(−2*B1)を入力し、行の右方にコピーする。
(3)存在確率の累計を計算する。
3行A列には累計と記入。3行B列には2行B列の数値をコピーし、3行C列は=B3+C2の計算式を代入し、同行の右方向にコピーする。
(4)二千分率を計算する。
4行A列には二千分率と記載。同行B列は、=2000*B2/9.99167を入力、右方向にコピーする。分母の数値はr=13.5およびr=15での存在確率累計値であり、この程度の半径で累計が収束する。表2には小数点1桁まで表示した。
3行A列には累計と記入。3行B列には2行B列の数値をコピーし、3行C列は=B3+C2の計算式を代入し、同行の右方向にコピーする。
(4)二千分率を計算する。
4行A列には二千分率と記載。同行B列は、=2000*B2/9.99167を入力、右方向にコピーする。分母の数値はr=13.5およびr=15での存在確率累計値であり、この程度の半径で累計が収束する。表2には小数点1桁まで表示した。
(5)白紙に同心円を等間隔、例えば約1mm間隔で細線を用いて描く。
(6)同心円周上、上記二千分率の数の小円8を等角度配置する。
最も内側の半径約1mmの円周上には、4行B列の数値の小数点1桁を四捨五入した数値18で360度を分割した角度20度ごとに、直径1mmの小円8を描く。内側から2番目の半径約2mmの同心円上には、4行C列の数値の小数点1桁を四捨五入した数値33で360度を分割した角度10.9度ごとに、同一直径の小円8を描く。同様に、表2には示していないr=2.5まで行う。小円8は円周上に等角度に配置するが、隣接する同心円上の小円8の配置とできるだけ重ならない様に適当にずらす。
(6)同心円周上、上記二千分率の数の小円8を等角度配置する。
最も内側の半径約1mmの円周上には、4行B列の数値の小数点1桁を四捨五入した数値18で360度を分割した角度20度ごとに、直径1mmの小円8を描く。内側から2番目の半径約2mmの同心円上には、4行C列の数値の小数点1桁を四捨五入した数値33で360度を分割した角度10.9度ごとに、同一直径の小円8を描く。同様に、表2には示していないr=2.5まで行う。小円8は円周上に等角度に配置するが、隣接する同心円上の小円8の配置とできるだけ重ならない様に適当にずらす。
(7)目盛として一部の円のみ残し、他は消去する。
等間隔同心円のうち、r=1.0に対応する半径約20mmの円を太線化し、それ以外の細線の同心円は消す。
(8)参考として、後述の図5に示す従来の1s軌道のグラフ7を併記した。
等間隔同心円のうち、r=1.0に対応する半径約20mmの円を太線化し、それ以外の細線の同心円は消す。
(8)参考として、後述の図5に示す従来の1s軌道のグラフ7を併記した。
図4は本発明実施形態3に係る教材としての2s軌道水素原子断面の電子の存在確率分布を図3と同様の方法で、r=3.45まで描いたものであり、r=1.85およびr=2.2二つの円を濃い線で描いた。図3との差は、最大半径をr=30とし、2行B列には=B1*(2−B1)*(2−B1)*Exp(−B1)/16を、4行B列には=2000*B2/2.49895を入力する。分母は累積存在確率積分がほぼ収束するr=30の収束値である。表2に相当する表は省略。図3と同様に従来のグラフ9を併記した。
動作、作用の説明は、図5の従来例と対比させて行う。両者の差は
(A)半径rを、図5では原点からの一次元直線の位置として表現するのに対し、図1は原点を中心とする飛び飛びの同心球として表現。
(B)存在確率P(r)が図5では式4r2Exp(−2r)の計算値のみが表現されているのに対し、図1では球表面上に、緯度線の北側の面積として表現されている。
この結果、図5では半径rの減少に伴い、存在確率そのものが小さくなると感じるが、図1では球の表面積が0に近づく事が理解できる。
(A)半径rを、図5では原点からの一次元直線の位置として表現するのに対し、図1は原点を中心とする飛び飛びの同心球として表現。
(B)存在確率P(r)が図5では式4r2Exp(−2r)の計算値のみが表現されているのに対し、図1では球表面上に、緯度線の北側の面積として表現されている。
この結果、図5では半径rの減少に伴い、存在確率そのものが小さくなると感じるが、図1では球の表面積が0に近づく事が理解できる。
空間内の存在確率の大小を比較するには対象となる空間の大きさが等しい事が必須である。しかるに前述の如く、球極座標(r、θ、φ)の体積素dvは半径の二乗に比例するから、体積が含まれる数式には必然的に半径方向に二乗の偏りが生じる。一方、直角座標(x、y、z)では、体積素dv=dx・dy・dzは常に一定であり、座標位置による偏りは皆無である。直角座標に慣れ親しんだ目でそのまま極座標を取り扱うと、偏りを認識せずに受け取ってしまう危険が伴う。図5の従来例はその典型的な例である。
参考までに、存在確率を直角座標(x、y、z)で表すと、数1の第二項のdvに上記直角座標の値、dv=dx・dy・dzを代入し、
であり、原点で存在確率が最大になる事が明白に示される。つまり1s軌道では電子はr=0の原点に最も多く存在する事になる。
数学的には以上の説明で十分と言えるが、従来から球極座標で表されていた波動関数を突然直角座標で表す事に戸惑いや違和感を覚えるのは当然であろう。教材として最善とは言えない。その点、あくまでも慣れ親しんだ球極座標の範囲内で前述の偏りを正しく認識し、原点付近の存在確率が最も大きいとの正しい知識が得られる教材の方が、優れており、一歩進んでいる。後述の効果も極座標に限定した範囲内のものだけを取り上げた。
図2は、図1の欠点「内側の定量把握が困難」の解消を目的としたもので、大楕円5は球表面積S、小楕円6は存在確率Pに比例した大きさを有するから、半径rの増加に伴い球表面積が急激に増大する事が直視、ならびに定量把握できる。
図3のベースである表2において3行目は、半径0から無限大に向かっての確率値の積分の実行である。その累積値の収束は、半径全域にわたる積分値がr=15程度で得られた事を意味する。各半径における存在確率値をこの収束値で割り、それに二千を掛ければ二千分率が算出される。小円8は、距離に対応させた等間隔同心円上に、360度をこの二千分率値で割った等角度配置されているので、一つ一つが各々二千分の一の存在確率を表す。その結果、小円8の粗密は存在確率を定量表示する。
次に効果を述べる。従来例、図5の1s軌道グラフではr=aoで存在確率が最大を示すが、それに反し本実施例、特に図3によれば半径が小さい程電子が密集している。その原因として図2からは、r=aoで存在確率Pを示す小楕円6が最大になるものの、それは単調減少するΨ2に対して球表面積Sが二乗で増大し、両者の積である存在確率P=S・Ψ2の値がたまたまr=aoで最大になる事が理解できる。
図4を見ると、中心部が密集している事に加え、r=1.8とr=2.2の二つの同心円に挟まれた空間には小円8が皆無である事が分る。r=2で波動関数自体がゼロである事に由来する。本図は電子の中心を通る任意の断面であるから、1断面ではあるが、全断面でもある。全ての断面で半径r=2がゼロであるから、このゼロ領域、球面は閉じている。さすればr=2球面の内外を通過する電子が皆無である事を意味し、2s軌道原子は、r=2球面内部のみを電子が周回する原子と、外部のみを周回する原子の二種類存在する事が本実施例で判明する。
なお図1の空白域4の区別は、30度間隔の経線3と空白とに限定されるものではなく、ハッチングと緯線などとを用いても良い。図2も大楕円5、小楕円6に限定するものではなく、長方形や円でも良い。図3、図4も半径0.05刻みに限定するものでなく、簡略して0.1刻みでも良い。二千分率も千や万でも良い。小円8も+記号や星型など小面積の記号や図形を用いても良い。図4の平面存在確率は前述のr(2−r)2e−r/16であるが、二千分率を求めるには1/16は省略可能である。
以上述べた様に本発明の効果は、従来の、図5に示す様な1次元表示では隠されていた立体的な電子の存在確率分布があぶり出され、量子力学の変化、発展に寄与する事が期待される。
本発明にかかる教材としての水素原子断面の電子の存在確率表示方法は、対象空間を明確にした上での確率定量分布を示す事ができ、教育や研究にも有用である。
1 球
2 緯線
3 経線
4 空白域
5 大楕円
6 小楕円
7 従来のグラフ(1s軌道)
8 小円
9 従来のグラフ(2s軌道)
2 緯線
3 経線
4 空白域
5 大楕円
6 小楕円
7 従来のグラフ(1s軌道)
8 小円
9 従来のグラフ(2s軌道)
Claims (3)
- 水素原子s軌道の波動関数をΨ、中心からの距離を小さい順にr1からrnまで取り、これらの半径を有するn個の同心球の球表面上に、対応する距離での存在確率rn 2Ψ2に比例した面積の領域を他と区別して表示した水素原子の電子の三次元存在確率表示方法。
- 水素原子s軌道の波動関数をΨ、中心からの距離を小さい順にr1からrnまで取り、一直線上のr1からrnまでに対応する各々の位置に、rnの二乗に比例する面積を有する相似図形と、rn 2Ψ2に比例した面積の相似図形とを描いた水素原子の電子の二次元存在確率表示方法。
- 水素原子s軌道の波動関数をΨ、微小距離に等分割された距離の各々の値における平面存在確率r・Ψ2を、距離ゼロから積分値が収束する距離まで累積積分し、収束積分値に対する、各々の平面存在確率値の比率に比例させた個数の小面積図形を、距離に対応させた平面上の等間隔同心円上に、ほぼ等角度に配置した水素原子断面の電子の存在確率表示方法。
Priority Applications (1)
Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
---|---|---|---|
JP2014013783A JP2015132790A (ja) | 2014-01-09 | 2014-01-09 | 水素原子の電子の二、三次元存在確率表示方法 |
Applications Claiming Priority (1)
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Publications (1)
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Cited By (1)
Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
---|---|---|---|---|
CN114047542A (zh) * | 2021-12-10 | 2022-02-15 | 中广核久源(成都)科技有限公司 | 用于中子能谱测量的双层含氢正比计数器 |
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2014
- 2014-01-09 JP JP2014013783A patent/JP2015132790A/ja active Pending
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