JP2015132790A

JP2015132790A - 水素原子の電子の二、三次元存在確率表示方法

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Publication number: JP2015132790A
Application number: JP2014013783A
Authority: JP
Inventors: 松島　治男; Haruo Matsushima; 治男松島
Original assignee: Individual
Current assignee: Individual
Priority date: 2014-01-09
Filing date: 2014-01-09
Publication date: 2015-07-23

Abstract

【課題】水素原子の電子の存在確率が一次元表示のみであり、立体や平面の表示が皆無であるので、これを提供する。
【解決手段】水素原子ｓ軌道の波動関数をΨ、中心からの距離を小さい順にｒ_１からｒ_ｎまで取り、これらの半径を有するｎ個の同心球１の球表面上に、対応する距離での存在確率ｒ_ｎ ^２Ψ^２に比例した面積の領域４を他と区別して表示した水素原子の電子の三次元存在確率表示方法であり、従来の一次元表示に不可避の半径方向の偏りが取り除かれた存在確率により量子力学の変化発展に貢献できる。
【選択図】図１

Description

本発明は理科教材としての水素原子の電子の存在確率表示方法を改良するものである。

水素原子の電子の存在確率表示方法としては、図５に示す半径方向のグラフが多数の教科書に掲載されており、量子力学の基礎中の基礎として良く知られている。また、図６に示す定性的平面（二次元）分布図、図７に示す定性的立体（三次元）分布図などもある。

しかし量子力学の確率的解釈には、産みの親シュレディンガーを始めアインシュタイン等、創設期の多くの学者が反対したと伝えられており、理論の構築過程やそれらの根拠など、種々の情報が得られる教材が望ましい。

その観点から図５を見ると、単なる半径方向の一次元グラフであり、情報量があまりにも少な過ぎる。そもそも波動関数が三次元座標で表されているのであるから、立体的な存在確率の定量分布が表現可能であるにも関わらず、立体表現としては図７の様な単なる球、平面表現も図６の様な単なる円があるだけである。その為か、基礎中の基礎であるにも関わらず、十分咀嚼していると言うよりも、「昔から言われているから」、「アインシュタインでも覆せなかったから」正しいに違いないと言った、消極的な理解に留まっていると言えるのではなかろうか。

本発明は上記従来の課題を解決するものであり、水素原子の電子の存在確率を三次元あるいは二次元定量表示する方法を提供するものである。

本発明は上記目的を達成する為に、水素原子ｓ軌道の波動関数をΨ、中心からの距離を小さい順にｒ_１からｒ_ｎまで取り、これらの半径を有するｎ個の同心球の球表面上に、対応する距離での存在確率値４πｒ_ｎ ^２・Ψ^２に比例した面積の範囲を他と区別して表示した水素原子の電子の三次元存在確率表示方法である。

本発明の教材としての水素原子の電子の三次元存在確率表示方法は、水素原子ｓ軌道の波動関数をΨ、中心からの距離を小さい順にｒ_１からｒ_ｎまで取り、これらの半径を持つｎ個の同心球表面上に、各々の距離での存在確率値４πｒ_ｎ ^２・Ψ^２に比例した面積の範囲を他と区別して表示したものであり、同心配置された半径ｒ_ｎの球の各々での存在確率値と表面積とが対比定量表示されるので、正に存在確率値の三次元表示であり、量子力学の基礎中の基礎である存在確率の理解に有用であると共に、理科を学ぶ興味を引き起こすことができる。

本発明の実施の形態１の水素原子１ｓ軌道の電子の存在確率を示す斜視図。本発明の実施の形態２の水素原子１ｓ軌道の電子の存在確率を示す平面図。従来の存在確率グラフを併記。本発明の実施の形態３の水素原子１ｓ軌道断面の電子の存在確率分布図。従来の存在確率グラフを併記。本発明の実施の形態３の水素原子２ｓ軌道断面の電子の存在確率分布図。従来の存在確率グラフを併記。従来の水素原子１ｓおよび２ｓ軌道の半径方向の存在確率グラフ。従来の水素原子１ｓ軌道の存在確率を示す平面図。従来の水素原子１ｓ軌道の存在確率を示す立体図。

以下、本発明の実施の形態について説明する。従来例が半径方向の一次元表示であるのに対し、三次元表示すべくｎ種類の半径値の同心球上に、各々の球面における存在確率値に比例した面積の表示を実施形態１。三次元量を平面上、二次元表示すべく球表面積に比例した面積を持つ相似平面図形上に、各々の存在確率値に比例した面積の表示を実施形態２。中心を通る任意の断面における、存在確率の二次元定量表示を実施形態３とする。

図１は本発明実施形態１に係る教材としての水素原子１ｓ軌道の存在確率を、ボーア半径ａ_Ｏ＝１とし、５種類の半径、ｒ_１＝０．１、ｒ_２＝０．２５、ｒ_３＝０．５、ｒ_４＝１、ｒ_５＝１．５の五つの同心球上に、各々の半径における電子の存在確率に比例した面積を他と区別して表示したものであり、作成手順を以下の表１を用いて説明する。
表１はパソコンの表計算ソフト（マイクロソフト社のエクセル）を用いての計算結果を表したもので、１行は半径ｒの表示に用い、Ａ列は半径ｒと記載、Ｂ列からＦ列には上記五つの半径値を記入。２行には球の表面積Ｓ＝４πｒ^２を当てる。３行には存在確率Ｐ，４行は比Ｐ／Ｓ、５行はα＝ａｒｃｏｓ（１−Ｐ／Ｓ）の計算結果、６行はその度換算値に用いる。

中心からの距離ｒとして飛び飛びの値を採用したのは、隙間が無ければ内部を覗けないからであり、その球表面を存在確率の表示に用いる為にその表面積Ｓを計算した。存在確率Ｐは次の様に求める。波動関数の二乗を全空間にわたって積分した結果が１になるべく決定されており、極座標（ｒ、θ、φ）では体積素ｄｖ＝ｄｒ・ｒｄθ・ｒｓｉｎθ ｄφであるから、１ｓ軌道では
上記数１の右端の項は、半径ｒのみの関数であり、次の様に表現できる。

また、数２は次の様に変形できる。
右から二番目の項が示す様に、存在確率Ｐ（ｒ）は、球の表面積Ｓと波動関数の二乗Ψ^２との積である。また、右端の項は存在確率Ｐ（ｒ）の別の定義、「半径ｒの球表面から微小距離ｄｒの間の空間に電子が存在する確率」を表している。

１ｓ軌道の波動関数の二乗はｒ＝０で最大値１／π＝０．３１８２となり、ｒの増大に伴って単調減少するから、これと球表面積との積である存在確率Ｐ（ｒ）の値は常に球の表面積以下であり、球表面上に表現可能である。Ｐ／Ｓは上記数３から明らかな様に、Ψ^２に等しい。このＰ（ｒ）の値を球面上に表示する方法として、緯度線を用いる。極座標（ｒ、θ、φ）にて、θ方向の角度α（ラジアン）は、地球に対応させると北緯（９０−１８０α／π）度となる。このαより北側の面積は次式となる。
従って角度αはａｒｃｏｓ（１−Ｐ（ｒ）／２πｒ^２）で求められる。

図１はパソコンプログラムによりｒ_１からｒ_５までの五つの同心球１を描き、各々の球表面に角度αの緯線２を描き、その南側には３０度間隔の経線３を描き、北側は空白域４としたものであり、この空白域の面積は前述の如くＰ（ｒ）に等しいので、存在確率の値を、定義された球上に表現した事になる。

図２は本発明実施形態２に係る教材としての水素原子１ｓ軌道の存在確率を平面上に定量表示したものであり、左右の直線上に原子の半径を取り、左端を原点とし、上下にのびる直線を描き、ここから右側の、半径ｒ_１＝０．１、ｒ_２＝０．２５、ｒ_３＝０．５、ｒ_４＝１、ｒ_５＝１．５に比例した各々の位置を中心に、上記表１のＳ（表面積）欄の数値に比例した面積を有する大楕円５と、同じくＰ（ｒ）欄の数値に比例した面積を有する小楕円６とを描く。参考として、後述の図５に示す１ｓ軌道のグラフ７を、半径を一致させて描いた。

図３は本発明実施形態３に係る教材としての水素原子１ｓ軌道の中心を通る任意の断面において、二千分の一の電子の存在確率を表す小円８を、中心からの距離ｒと、その位置における平面存在確率２ｒｅｘｐ（−２ｒ）の、距離ゼロから累積積分値が収束する距離までの積分値に対する二千分の一比率を四捨五入した数だけ円周上に等角度配置したものである。平面における存在確率は定義されていないが、数３の右端項から類推し、半径ｒの円の外側の微少距離ｄｒの範囲に電子が存在する確率とすると、次式の様になる。
平面の存在確率Ｐ（ｒ）＝２πｒΨ^２＝２πｒｅｘｐ（−２ｒ）／π＝２ｒｅｘｐ（−２ｒ）

前述と同一の表計算ソフトの計算結果を記載した表２を用いて作成方法を説明する。

（１）１ｓ軌道水素原子の中心からの距離を微小距離に等分割する。
表２は表計算ソフトの行列に対応させ、上下に１行から４行まで、左右はＡ列、Ｂ列、Ｃ列と続く。ボーア半径ａ_Ｏ＝１とし、１行Ａ列に半径ｒと記入し、Ｂ列には０．０５、Ｃ列から右側に０．０５刻みで１５までの数値を代入する。ただし、表２には０．０５から０．６までは連続させ、それ以上は代表値、１．０と１３．５および１５を記載した。
（２）各々の距離での平面の存在確率２ｒｅｘｐ（−２ｒ）を計算する。
２行Ａ列に２ｒｅｘｐ（−２ｒ）と記入。同行Ｂ列には表計算ソフトの式＝２＊Ｂ１＊Ｅｘｐ（−２＊Ｂ１）を入力し、行の右方にコピーする。

（３）存在確率の累計を計算する。
３行Ａ列には累計と記入。３行Ｂ列には２行Ｂ列の数値をコピーし、３行Ｃ列は＝Ｂ３＋Ｃ２の計算式を代入し、同行の右方向にコピーする。
（４）二千分率を計算する。
４行Ａ列には二千分率と記載。同行Ｂ列は、＝２０００＊Ｂ２／９．９９１６７を入力、右方向にコピーする。分母の数値はｒ＝１３．５およびｒ＝１５での存在確率累計値であり、この程度の半径で累計が収束する。表２には小数点１桁まで表示した。

（５）白紙に同心円を等間隔、例えば約１ｍｍ間隔で細線を用いて描く。
（６）同心円周上、上記二千分率の数の小円８を等角度配置する。
最も内側の半径約１ｍｍの円周上には、４行Ｂ列の数値の小数点１桁を四捨五入した数値１８で３６０度を分割した角度２０度ごとに、直径１ｍｍの小円８を描く。内側から２番目の半径約２ｍｍの同心円上には、４行Ｃ列の数値の小数点１桁を四捨五入した数値３３で３６０度を分割した角度１０．９度ごとに、同一直径の小円８を描く。同様に、表２には示していないｒ＝２．５まで行う。小円８は円周上に等角度に配置するが、隣接する同心円上の小円８の配置とできるだけ重ならない様に適当にずらす。

（７）目盛として一部の円のみ残し、他は消去する。
等間隔同心円のうち、ｒ＝１．０に対応する半径約２０ｍｍの円を太線化し、それ以外の細線の同心円は消す。
（８）参考として、後述の図５に示す従来の１ｓ軌道のグラフ７を併記した。

図４は本発明実施形態３に係る教材としての２ｓ軌道水素原子断面の電子の存在確率分布を図３と同様の方法で、ｒ＝３．４５まで描いたものであり、ｒ＝１．８５およびｒ＝２．２二つの円を濃い線で描いた。図３との差は、最大半径をｒ＝３０とし、２行Ｂ列には＝Ｂ１＊（２−Ｂ１）＊（２−Ｂ１）＊Ｅｘｐ（−Ｂ１）／１６を、４行Ｂ列には＝２０００＊Ｂ２／２．４９８９５を入力する。分母は累積存在確率積分がほぼ収束するｒ＝３０の収束値である。表２に相当する表は省略。図３と同様に従来のグラフ９を併記した。

動作、作用の説明は、図５の従来例と対比させて行う。両者の差は
（Ａ）半径ｒを、図５では原点からの一次元直線の位置として表現するのに対し、図１は原点を中心とする飛び飛びの同心球として表現。
（Ｂ）存在確率Ｐ（ｒ）が図５では式４ｒ^２Ｅｘｐ（−２ｒ）の計算値のみが表現されているのに対し、図１では球表面上に、緯度線の北側の面積として表現されている。
この結果、図５では半径ｒの減少に伴い、存在確率そのものが小さくなると感じるが、図１では球の表面積が０に近づく事が理解できる。

空間内の存在確率の大小を比較するには対象となる空間の大きさが等しい事が必須である。しかるに前述の如く、球極座標（ｒ、θ、φ）の体積素ｄｖは半径の二乗に比例するから、体積が含まれる数式には必然的に半径方向に二乗の偏りが生じる。一方、直角座標（ｘ、ｙ、ｚ）では、体積素ｄｖ＝ｄｘ・ｄｙ・ｄｚは常に一定であり、座標位置による偏りは皆無である。直角座標に慣れ親しんだ目でそのまま極座標を取り扱うと、偏りを認識せずに受け取ってしまう危険が伴う。図５の従来例はその典型的な例である。

参考までに、存在確率を直角座標（ｘ、ｙ、ｚ）で表すと、数１の第二項のｄｖに上記直角座標の値、ｄｖ＝ｄｘ・ｄｙ・ｄｚを代入し、
であり、原点で存在確率が最大になる事が明白に示される。つまり１ｓ軌道では電子はｒ＝０の原点に最も多く存在する事になる。

数学的には以上の説明で十分と言えるが、従来から球極座標で表されていた波動関数を突然直角座標で表す事に戸惑いや違和感を覚えるのは当然であろう。教材として最善とは言えない。その点、あくまでも慣れ親しんだ球極座標の範囲内で前述の偏りを正しく認識し、原点付近の存在確率が最も大きいとの正しい知識が得られる教材の方が、優れており、一歩進んでいる。後述の効果も極座標に限定した範囲内のものだけを取り上げた。

図２は、図１の欠点「内側の定量把握が困難」の解消を目的としたもので、大楕円５は球表面積Ｓ、小楕円６は存在確率Ｐに比例した大きさを有するから、半径ｒの増加に伴い球表面積が急激に増大する事が直視、ならびに定量把握できる。

図３のベースである表２において３行目は、半径０から無限大に向かっての確率値の積分の実行である。その累積値の収束は、半径全域にわたる積分値がｒ＝１５程度で得られた事を意味する。各半径における存在確率値をこの収束値で割り、それに二千を掛ければ二千分率が算出される。小円８は、距離に対応させた等間隔同心円上に、３６０度をこの二千分率値で割った等角度配置されているので、一つ一つが各々二千分の一の存在確率を表す。その結果、小円８の粗密は存在確率を定量表示する。

次に効果を述べる。従来例、図５の１ｓ軌道グラフではｒ＝ａ_ｏで存在確率が最大を示すが、それに反し本実施例、特に図３によれば半径が小さい程電子が密集している。その原因として図２からは、ｒ＝ａ_ｏで存在確率Ｐを示す小楕円６が最大になるものの、それは単調減少するΨ^２に対して球表面積Ｓが二乗で増大し、両者の積である存在確率Ｐ＝Ｓ・Ψ^２の値がたまたまｒ＝ａ_ｏで最大になる事が理解できる。

図４を見ると、中心部が密集している事に加え、ｒ＝１．８とｒ＝２．２の二つの同心円に挟まれた空間には小円８が皆無である事が分る。ｒ＝２で波動関数自体がゼロである事に由来する。本図は電子の中心を通る任意の断面であるから、１断面ではあるが、全断面でもある。全ての断面で半径ｒ＝２がゼロであるから、このゼロ領域、球面は閉じている。さすればｒ＝２球面の内外を通過する電子が皆無である事を意味し、２ｓ軌道原子は、ｒ＝２球面内部のみを電子が周回する原子と、外部のみを周回する原子の二種類存在する事が本実施例で判明する。

なお図１の空白域４の区別は、３０度間隔の経線３と空白とに限定されるものではなく、ハッチングと緯線などとを用いても良い。図２も大楕円５、小楕円６に限定するものではなく、長方形や円でも良い。図３、図４も半径０．０５刻みに限定するものでなく、簡略して０．１刻みでも良い。二千分率も千や万でも良い。小円８も＋記号や星型など小面積の記号や図形を用いても良い。図４の平面存在確率は前述のｒ（２−ｒ）^２ｅ−^ｒ／１６であるが、二千分率を求めるには１／１６は省略可能である。

以上述べた様に本発明の効果は、従来の、図５に示す様な１次元表示では隠されていた立体的な電子の存在確率分布があぶり出され、量子力学の変化、発展に寄与する事が期待される。

本発明にかかる教材としての水素原子断面の電子の存在確率表示方法は、対象空間を明確にした上での確率定量分布を示す事ができ、教育や研究にも有用である。

１球
２緯線
３経線
４空白域
５大楕円
６小楕円
７従来のグラフ（１ｓ軌道）
８小円
９従来のグラフ（２ｓ軌道）

Claims

水素原子ｓ軌道の波動関数をΨ、中心からの距離を小さい順にｒ_１からｒ_ｎまで取り、これらの半径を有するｎ個の同心球の球表面上に、対応する距離での存在確率ｒ_ｎ ^２Ψ^２に比例した面積の領域を他と区別して表示した水素原子の電子の三次元存在確率表示方法。
水素原子ｓ軌道の波動関数をΨ、中心からの距離を小さい順にｒ_１からｒ_ｎまで取り、一直線上のｒ_１からｒ_ｎまでに対応する各々の位置に、ｒ_ｎの二乗に比例する面積を有する相似図形と、ｒ_ｎ ^２Ψ^２に比例した面積の相似図形とを描いた水素原子の電子の二次元存在確率表示方法。
水素原子ｓ軌道の波動関数をΨ、微小距離に等分割された距離の各々の値における平面存在確率ｒ・Ψ^２を、距離ゼロから積分値が収束する距離まで累積積分し、収束積分値に対する、各々の平面存在確率値の比率に比例させた個数の小面積図形を、距離に対応させた平面上の等間隔同心円上に、ほぼ等角度に配置した水素原子断面の電子の存在確率表示方法。