JP2014231983A - 非線形プログラミングを用いて占有者の快適性を最大にする建物内のｈｖａｃシステムを最適化する方法 - Google Patents

Abstract

【課題】建物の暖房換気空調(ＨＶＡＣ)システムが、占有者の快適性を最大にしエネルギー消費を最小にするとともに最適化される。
【解決手段】建物は、ノード及びエッジのネットワークとしてモデル化される。ノードは部屋を表し、エッジは壁を表す。部屋の温度及び湿度と、壁の温度と、建物との力学が、微分方程式及び上記ネットワークを用いてモデル化される。占有者の快適性が、予測平均温冷感申告(ＰＭＶ)によってモデル化される。最小にすることは、最適制御問題として定式化され、この最適制御問題は、統合技法を用いて離散化され、有限次元最適化問題が得られる。次に、この有限次元最適化問題は、収束するまで、スパース線形代数を用いて解かれる。
【選択図】図１

Description

この発明は、包括的には、建物内の暖房換気空調(ＨＶＡＣ)システムを制御することに関し、より詳細には、建物の占有者の快適性を最大にすることに関する。

建物の占有者の快適性は、エネルギーコストを最小にするとともに最大にしなければならない。ＨＶＡＣシステムを動作させるための従来のほとんどの方策は、次のとおりである。
(ｉ)システム全体を考慮していない。例えば、建物内の複数の部屋にわたる制御は、通例、制御動作が独立して解決されるループをより小さくするために切り離されている。この手法は、それらのサブシステム間を完全に結合したものを考慮することができず、不十分な性能をもたらす可能性がある。
(ｉｉ)経時的な温湿度の進展を予測する建物の熱力学及び湿度力学を考慮していない。
(ｉｉｉ)動作可能な方策の決定中に予測平均温冷感申告(ＰＭＶ)又は温熱快感帯等の占有者の快適性メトリックを考慮せず、その代わり、設定点ベースの方策を用いる。これは、エネルギー消費の増加及び占有者の不快適性をもたらす可能性がある。

ＨＶＡＣの動作可能な方策を決定するためのほとんどのモデルベースの最適化手法は、次のとおりである。
(ｉ)最適化に線形プログラミングを用いる。これによって、システムの完全な力学を十分にモデル化することができない可能性がある。
(ｉｉ)ＰＭＶ等の熱的快適性に対する制約を含まず、その代わり、温度の設定点に依拠している。この結果、エネルギーコストが増大する可能性がある。
(ｉｉｉ)ＰＭＶが用いられるとき、モデルは、システム方程式を線形化することによって単純化され、これは、占有者の真の快適性の推定に不正確さをもたらす。この結果、占有者の不快適性が増大する可能性がある。

したがって、建物のＨＶＡＣシステムを最適化することと、占有者の快適性並びに建物の熱力学及び湿度力学の正確なモデルを考慮することとが必要とされている。

この発明の実施の形態は、占有者の快適性を最大にするとともにエネルギー消費を最小にすることによって、ＨＶＡＣシステムの最適な動作を求める方法を提供する。建物力学が、部屋の温度及び湿度の進展を制御する微分方程式を用いてモデル化される。ＨＶＡＣシステムのエネルギー消費が、定常状態方程式又は微分方程式を用いてモデル化される。占有者の快適性は、予測平均温冷感申告(ＰＭＶ)等の快適性指数を用いて測定される。

ＰＭＶを求めることは、条件文を伴い、この結果、挙動は非平滑になる。これらの条件文を最適化に適した計算的に扱いやすい形に再定式化する幾つかの実施の形態が提供される。スパース線形代数を組み込んだ非線形プログラムが、この方法の計算効率を確保するために用いられる。

各部屋に設置されて室外ユニットと接続された室内空気調節装置を有する建物の床配置図である。 番号付き部屋を有する床配置図である。 部屋を表すノードと、共通壁を共有する部屋を表すエッジとを有する、部屋のグラフ表現である。 室内空気の熱力学の抵抗容量表現である。 室内の壁の熱力学の抵抗容量表現である。 室内空気の湿度力学の抵抗容量表現である。 ＨＶＡＣシステムの最適動作を求める方法のフローチャートである。 この発明の実施の形態による室外ユニットの電力消費を最小にするための手順のブロック図である。

建物表現
図１は、この発明の実施の形態によって用いることができる建物の床配置図を示している。この建物は、部屋１０及びドア１２を備える。各部屋は、室内空調ユニット２０を装備している。これらの室内ユニットは、室外ユニット２６に接続されている。室外ユニットから室内ユニットへの室内空気流２２を冷房又は暖房するには冷却剤を用いることができる。この冷却剤は、室内ユニットから室外ユニットに流れ(破線)(２４)、この室外ユニットにおいて、熱は放散され、冷却剤はリサイクルされて室内ユニット２２に戻される。

図２Ａは、建物内の９つの部屋３０の番号付け、すなわち１〜９を示している。図２Ｂにおけるグラフネットワーク表現は、この番号付けに基づいている。ノード４０は、建物内の部屋を表し、エッジ４２は、壁を共有する部屋を表している。

図３Ａは、熱力学及び湿度力学のための建物モデルの抵抗容量ネットワーク表現を提供している。この図及び他の同様の図において用いられる変数は、以下で詳細に説明される。

入力
図４に示すように、最適化方法４１０への入力は、時間期間について次のものを含む。
１時間ごとの天候パターンの予想４０１。
各部屋の機器熱負荷予想４０２。
占有者熱負荷の予測４０３。
占有者のための快適性要件４０４。
最適化の目標値４０５。
この方法は、最適化のための目標値４０５及びモデル４０６を用いる。

この明細書において説明するような方法のステップは、当該技術分野において知られているように、メモリ並びに入力インターフェース及び出力インターフェースに接続されたプロセッサにおいて実行することができる。

出力
この方法の出力４２０は、規定された制御動作の選択の結果として、コンプレッサー周波数と、各部屋から調節装置を通る空気流量と、部屋の温度、壁の温度、及び部屋の湿度の進展とを含むことができるモデル内の制御変数の時間プロファイルを含む。全ての温度は、摂氏である。

部屋力学モデル
好ましい実施の形態では、部屋力学は、一組の微分方程式としてモデル化される。部屋の温度力学をモデル化する線形抵抗容量回路が図３Ａに示されている。部屋の熱力学は、以下の式としてモデル化される。

式中、Ｔ_ｚは、摂氏による部屋の温度であり、Ｔ_ｗは、部屋の壁の温度であり、Ｃ_ｚは、ジュール(Ｊ)毎キログラム(ｋｇ)による部屋の空気の熱容量であり、Ｒ_ｚｗは、このゾーンの空気とこのゾーンの壁との間の熱伝達の抵抗であり、Ｔ_ｏａは、周囲空気温度であり、Ｃ_ｐは、(Ｊ／ｋｇ／Ｋ)による空気の比熱容量であり、

は、(ｋｇ／ｓ)による換気空気の流量であり、

は、部屋の機器、占有者、及び窓を通った日射による検知可能な(sensible)熱の発生レートであり、

は、室内空調ユニットから部屋の空気への検知可能な熱の伝達レートである。変数の上の点は、時間に関する一次導関数を示している。

部屋の壁の温度力学をモデル化する線形抵抗容量回路が図３Ｂに示されている。部屋の壁の熱力学は、以下の式としてモデル化される。

式中、Ｃ_ｗは、(Ｊ／ｋ)による壁の熱容量であり、Ｒ_ｗｏａは、壁と周囲空気との間の熱伝達の抵抗であり、

は、(Ｗ)による日射から壁への熱伝達レートである。

部屋の湿度力学をモデル化する線形抵抗容量回路モデルが図３Ｃに示されている。部屋の空気の湿度力学は、以下の式としてモデル化される。

式中、ｈ_ｚは、(ｋｇ／ｋｇ)によるゾーンの空気の比湿であり、ρは、空気の密度であり、Ｖ_ａは、部屋の空気の体積であり、Ｌ_ｖは、(Ｊ／ｋｇ)による水の蒸発潜熱であり、

は、(Ｗ)による部屋の機器及び占有者による潜熱の発生レートであり、

は、室内空調ユニットによる部屋の空気への潜熱の追加レートである。

予測平均温冷感申告
好ましい実施の形態では、占有者の快適性を測定するのに、予測平均温冷感申告(ＰＭＶ)が用いられる。これについては、ＡＮＳＩ／ＡＳＨＲＡＥ規格５５−２０１０「Thermal Environmental Conditions for Human Occupancy」を参照されたい。ＰＭＶは、快適性に影響を与えるパラメーターである温度、相対湿度、気流速度、代謝速度、平均放射温度、及び着衣熱抵抗を含む。ＰＭＶは、−３〜＋３のスケールで占有者の熱的快適性を測定する。ここで、−３：非常に寒い、−２：寒い、−１：僅かに寒い、０：中間(neutral)、＋１：僅かに暖かい、＋２：暖かい、＋３：暑いである。米国冷暖房空調工業会(ＡＳＨＲＡＥ)規格ＩＳＯ７７３０：２００５には、異なる建物タイプごとに一般的な範囲が規定されている。

ＰＭＶは、以下の方程式によって求められる。

式中、Ｔ_ｚは、部屋の温度であり、ｈ_ｚは、部屋の絶対比湿であり、Ｍは、(Ｗ／ｍ^２)による代謝速度であり、Ｗは、(Ｗ／ｍ^２)による有効機械動力であり、Ｉ_ｃｌは、(ｍ^２ｋ／Ｗ)による着衣熱抵抗であり、ｆ_ｃｌは、着衣面積比(clothing area factor)であり、

は、平均放射温度であり、ｖ_ａｒは、(ｍ／ｓ)による部屋の相対気流速度であり、ｈ_ｃは、(Ｗ／ｍ^２／Ｋ)による対流熱伝達係数であり、ｐ_ａは、気圧単位(ａｔｍ)による水蒸気分圧であり、Ｔ_ｃｌは、着衣表面温度であり、ｐ_ａｔｍは、(ａｔｍ)による大気圧である。

ＰＭＶモデル方程式では、Ｍ、Ｗ、Ｉ_ｃｌ、ｆ_ｃｌは、部屋において行われる活動のタイプ、例えば、座った姿勢の事務作業、激しい運動、及び部屋の占有者が着ている着衣熱抵抗材料によって指定されるパラメーターである。これらは、最適化問題における決定変数ではない。式(７)は条件文を有するが、ｆ_ｃｌの値は、最適化が実行される全期間の間、アプリオリに決定することができる。

一方、式(６)は、最適化問題における決定変数Ｔ_ｚ、Ｔ_ｃｌを伴う条件文を伴う。これを取り扱う１つの手法は、２値変数を最適化問題に追加し、条件文を以下のように表すことである。

式(９)においてｚ＝１である場合、式(６)における第１の条件が実施され、その結果、ｈ_ｃ＝２．３８|Ｔ_ｃｌ−Ｔ_ｚ|^０．２５となる。ｚ＝０である場合、式(６)における第２の条件が実施され、その結果、

となる。この変更を用いると、ＰＭＶ指数及び式(９)を用いた最適化問題は、通常は計算が複雑な混合整数非線形プログラム(ＭＩＮＬＰ)の部類に含まれる。

依然として元のＰＭＶ定式化を維持しつつも２値変数ベースのモデル化の計算の取り扱いにくさに対処するために、以下のような条件文を提起することにする。

これは、式(６)における条件文を表しているが、式(１０)は平滑ではないので、連続最適化が可能ではない。この問題に対処するために、最初に以下の正確な再定式化を検討することにする。

式(６)における第１の条件命題が成立する場合、ｈ_ｃ＝２．３８|Ｔ_ｃｌ−Ｔ_ｚ|^０．２５となることを式(１１)において検証することができる。他方、式(６)における第２の条件命題が成立する場合、

となる。式(１１)は、平方根関数が０において微分可能でないので、

である箇所を除いて、あらゆる箇所で微分可能である。この微分不能である点が、連続最適化について問題となる。この問題に対処するために、平滑化手順が、以下のように式(１１)に適用される。

式中、τ＞０は、平滑化パラメーターである。全てのτについて、式(１２)は、あらゆる箇所で微分可能であり、連続最適化アルゴリズムを容易に適用することができる。式(６)を回復するには、平滑化パラメーターτ＞０を０にしていかなければならないので、この方法は、平滑化パラメーターの値が単調減少する最適化問題のシーケンスを解決する。これによって、式(６)における平滑でない条件命題を取り扱うための正確な方法が提供され、計算効率の良い連続最適化アルゴリズムが用いられる。

第３の手法は、最大演算子を以下のように記述することによって、式(１０)における非平滑条件命題を取り扱う。

式(１３)において、式(６)の第１の条件命題が満たされる場合、

が成立する。式(６)の第２の条件命題が満たされる場合、

が成立する。

この定式化は、依然として最適化に使い勝手のいいものではない。したがって、以下のように、式(１３)における最小化を一次静的条件に置き換えることにする。

式(１４)において、λ≧０⊥ｚ≧０は、λ，ｚ≧０、λｚ＝０、換言すれば、λ＝０又はｚ＝０と等価な相補性制約である。同様に、他の相補性条件ｖ≧０⊥ｚ≦１は、ｖ＝０又はｚ＝１であることを意味する。これらの２つの条件がともに選ばれるとき、λ，ｖ＞０は起こり得ないことが分かる。なぜならば、これらの相補性条件は、ｚ＝０でありかつｚ＝１であることを意味するからである。式(６)における第１の条件命題が成立する場合、

及びλ＝０であり、これは、ｚ＝１及びｈ_ｃ＝２．３８|Ｔ_ｃｌ−Ｔ_ｚ|^０．２５が成立することを意味する。式(６)における第２の条件命題が成立する場合も、同様に検証することができる。

相補性条件は、最適化問題において取り扱うのが困難である。従来の手法は、以下のように条件文を緩和する。

式中、τ＞０は、緩和パラメーターである。全てのτ＞０について、式(１５)は、厳密に実現可能な内部を最適化問題に提供し、連続最適化を容易に適用することができる。式(６)を回復するには、平滑化パラメーターτ＞０を０にしていかなければならないので、この方法は、平滑化パラメーターの値が単調減少する最適化問題のシーケンスを解決する。これによって、式(６)における平滑でない条件命題を取り扱うための正確な方法が提供され、計算効率の良い連続最適化が用いられる。

式(６)における条件命題を取り扱う第４の手法は、方程式を単純化することである。通常、部屋におけるゾーンの空気と衣類との間の温度差|Ｔ_ｚ−Ｔ_ｃｌ|は、５℃未満である。さらに、空調された部屋では、空気の相対速度ｖ_ａｒは、通常、０．１ｍ／ｓである。これらの条件の場合、第２の条件命題が満たされるものと仮定することができ、その結果、式(６)における条件命題が以下のように単純化される。

建物力学及び占有者快適性モデル
好ましい実施の形態では、建物力学モデルは、以下のように表されるＮ_ｚ個の部屋及びＮ_ｗ個の壁を備える。

式中、微分変数の下付き文字ｉは、部屋に関連付けられた量を示し、下付き文字ｊは、壁に関連付けられた量を示し、下付き文字ｉｊは、部屋ｉ及び壁ｊに関連付けられた量を示し、表記ｊ：ｉ〜ｊは、部屋ｉが壁ｊを有するような(ｉ，ｊ)の組を示す。上記において、Ｔ_ｚ，ｉは、部屋ｉにおける空気温度を表し、Ｔ_ｗ，ｊは、壁ｊの温度を表し、

は、機器、占有者、及び窓を通った日射からの検知可能な発熱レートを表し、

は、部屋ｉにおける空気調節装置によって分配される検知可能な暖房レートを表し、

は、部屋ｉからの換気空気流量であり、Ｃ_ｚ，ｉは、部屋ｉにおける空気の熱容量であり、Ｒ_{ｚｗ，ｉｊ}は、部屋ｉの空気と壁ｊとの間の熱伝達の抵抗である。

建物内の壁の熱力学は、以下のように表される。

式中、Ｃ_ｗ，ｊは、壁ｊの熱容量を表し、Ｒ_{ｗｏａ，ｊ}は、壁ｊと外気との間の熱伝達の抵抗を表し、

は、壁ｊ上における日射からの熱利得のレートであり、表記ｉ：ｉ〜ｊは、部屋ｉが壁ｊを有するような(ｉ，ｊ)の組を示す。

建物内の部屋の湿度力学は、以下のように表わされる。

式中、ｈ_ｚ，ｉは、部屋ｉにおける空気の湿度であり、Ｖ_ａ，ｉは、部屋ｉにおける空気の体積であり、

は、部屋ｉにおける機器、占有者による発熱レートであり、

は、部屋ｉにおける空気調節装置による潜熱分配レートである。

建物内の全ての部屋についての占有者快適性モデルは、以下のように表される。

式中、部屋ｉについて、ＰＭＶ_ｉは、その部屋における占有者の予測平均温冷感申告指数であり、Ｍ_ｉは、その部屋における占有者の(Ｗ／ｍ^２)による代謝速度であり、Ｗ_ｉは、その部屋における(Ｗ／ｍ^２)による有効機械動力であり、Ｉ_ｃｌ，ｉは、その部屋における(ｍ^２Ｋ／Ｗ)による着衣熱抵抗であり、ｆ_ｃｌ，ｉは、その部屋における着衣面積比であり、

は、その部屋における平均放射温度であり、ｖ_ａｒ，ｉは、(ｍ／ｓ)によるその部屋における相対気流速度であり、ｈ_ｃ，ｉは、(Ｗ／ｍ^２／Ｋ)による対流熱伝達係数であり、ｐ_ａ，ｉは、その部屋における(ａｔｍ)による水蒸気分圧であり、Ｔ_ｃｌ，ｉは、その部屋における着衣表面温度である。

ＨＶＡＣの室外ユニット及び室内ユニット
好ましい実施の形態では、室外ユニット及び室内ユニットは、以下のようにモデル化される。

式中、Ｐ_ｈｖａｃは、ＨＶＡＣ室外ユニットによって消費される電力量であり、

は、ＨＶＡＣユニットによって分配される全暖房であり、Ｃｆは、ＨＶＡＣユニットのコンプレッサー周波数であり、ａ_０、ａ_１、ａ_２、ｂ_０、ｂ_１、ｂ_２は、定数であり、Ｘ_ｃｏｎｄは、室外ユニットにおける凝縮量であり、ΔＸは、室外ユニットの入口と出口との間の比湿の差であり、

は、室内空気調節装置からの空気の質量流量であり、ｈ_ｏｕｔは、室外ユニットの出口における空気の比湿であり、ＲＨ_ｏｕｔは、室外ユニットの出口における空気の相対湿度であり、ΔＨは、室外ユニットの入口と出口との間の比エンタルピーの差であり、Ｈ_ｚ，ｉは、部屋ｉにおける空気調節装置からの戻り空気の比エンタルピーであり、Ｈ_ｏｕｔは、室外ユニットによって部屋に供給される空気の比エンタルピーであり、ＢＰＦは、室外ユニットのバイパス係数であり、Ｔ_ｃｏｎｄは、室外ユニットにおける凝縮温度である。

通常、ＲＨ_ｏｕｔは９５％に選択され、ＢＰＦは０．２に選択され、Ｔ_ｃｏｎｄは５℃に選択される。

式(２５)におけるモデルは、単一の室外ユニットについて適用され、複数の室外ユニットの場合に拡張することができる。

快適性最適化の定式化
好ましい実施の形態では、最適化によって、以下のように、室外ユニットの電力消費が最小にされる。

式(２６)において、平滑化を定式化したものが、ＰＭＶの計算における条件文をモデル化するのに用いられる。快適性要件は、部屋ごとにＰＭＶに関する上限及び下限として定式化される。建物が占有されているとき、通常は、＋０．５及び−０．５の値が用いられる。コンプレッサー周波数は、１０Ｈｚ〜８０Ｈｚの範囲内になるように制限され、質量流量も、個々の空調ユニットにおけるファンの容量に基づいて制限される。加えて、物理的考察から、温度、湿度、及び他の量が非負であること等の制限が、最適化の定式化に含まれる。

最適化の期間の間に値が提供される複数のパラメーターがある。これらのパラメーターは、以下のとおりである。

上述したように、平滑化の定式化に基づく式(２６)における最小化問題は、τ＞０の場合に正常に動作するが、元の問題の解を回復するには、平滑化パラメーターを０に減少させなければならない。この問題を解くための手順は、図５に示されている。

この説明を簡単にするために、建物力学モデルは、以下のように表わされる。

式中、微分変数ｘの集合は、

に対応し、代数変数ｙの集合は、

に対応し、制御変数ｕの集合は、

に対応し、時間依存パラメーターｄの集合は、

に対応する。

微分方程式は、式(１７)〜(１９)に対応する。代数方程式は、式(２０)、(２１)、(２３)〜(２５)、及び平滑化を定式化したもの(２６)に対応する。この表記を用いると、式(２６)における最適化問題は、以下のように書き直すことができる。

式中、

は、微分変数の下限及び上限であり、

は、代数変数の下限及び上限であり、

は、制御の下限及び上限である。

これらの下限及び上限は、時間の関数であると仮定される。なぜならば、種々の境界を占有条件に基づいて指定することができるからである。式(２８)における最適化問題は、最適制御問題の一例である。これらの問題は、一般に、［０，Ｔ］における全ての時点ではなく、ここでは時間インスタンスの有限集合において課せられる微分方程式及び代数方程式を離散化することによって解決される。

陽的オイラー法、陰的オイラー法、ルンゲクッタ法、又は選点(collocation)方式等の離散化方式を用いることができる。そのような離散化を用いると、式(２８)における問題は、有限個の変数及び制約を有する非線形プログラムに変形される。

好ましい実施の形態では、式(２８)における最適制御問題は、以下のような陰的オイラー方式を用いて離散化される。

式中、Δｔは、離散化の時間ステップであり、Ｎ_Ｔ＝Ｔ／Δｔは、最適化における離散化ステップの数である。式(２９)における最適化問題は、非常にスパースであり、スパース線形代数の適切な使用によって、計算複雑度を削減することができる。

好ましい実施の形態では、式(２９)における最適化問題は、スパース線形代数技法を用いる非線形プログラミングアルゴリズムを用いて解かれる。

別の実施の形態では、ＰＭＶ計算における条件式は、相補性制約を用いて定式化される。

別の実施の形態では、ＰＭＶ計算における条件式は、混合整数非線形プログラミング(ＭＩＮＬＰ)として２値変数を用いて定式化される。

別の実施の形態では、快適性最適化は、以下のように、ＰＭＶ計算における条件式の単純化を用いて定式化される。

この発明は、上記実施の形態に限定されるものではない。

Claims (10)

1. 占有者の快適性を最大にしエネルギー消費を最小にしながら建物の暖房換気空調(ＨＶＡＣ)システムを最適化する方法であって、
   前記建物をノード及びエッジのネットワークとしてモデル化するステップであって、該ノードは部屋を表し、該エッジは壁を表すものと、
   前記部屋の温度及び湿度と、前記壁の温度と、前記建物との力学を、微分方程式及び前記ネットワークを用いてモデル化するステップと、
   前記占有者の前記快適性を予測平均温冷感申告(ＰＭＶ)によってモデル化するステップと、
   前記最小にすることを最適制御問題として定式化するステップと、
   有限次元最適化問題を得るために、前記最適制御問題を統合技法を用いて離散化するステップと、
   前記有限次元最適化問題を、スパース線形代数を用いて収束するまで解くステップと、
   を含み、
   前記各ステップは、プロセッサにおいて実行される、占有者の快適性を最大にしエネルギー消費を最小にしながら建物の暖房換気空調システムを最適化する方法。
2. 前記建物の力学を線形抵抗容量ネットワークを用いてモデル化するステップを更に含む、請求項１に記載の方法。
3. 前記離散化するステップは、陽的オイラー法を用いて実行される、請求項１に記載の方法。
4. 前記離散化するステップは、陰的オイラー法を用いて実行される、請求項１に記載の方法。
5. 前記離散化するステップは、陰的ルンゲクッタ法を用いて実行される、請求項１に記載の方法。
6. 前記離散化するステップは、有限要素上の選点を用いて実行される、請求項１に記載の方法。
7. 平滑化パラメーターを用いた前記ＰＭＶにおける条件文の平滑化によって前記快適性を最大にするステップと、
   有限次元非線形プログラムを得るために、陰的オイラー法を用いて離散化するステップと、
   スパース線形代数を用いる非線形最適化手順により、前記平滑化パラメーターの固定値について前記有限次元非線形プログラムを解くとともに、収束するまで、平滑化パラメーターの減少していく一連の値について前記ステップを繰り返すステップと、
   を更に含む、請求項１に記載の方法。
8. 前記快適性は、２値変数を用いた前記ＰＭＶにおける条件文と、
   有限次元混合整数非線形プログラムを得るために、陰的オイラー技法を用いて前記最適制御問題を離散化するステップと、
   計算効率を得るために、スパース線形代数技法を用いるアルゴリズムを用いて前記有限次元混合整数非線形プログラムを解くとともに、収束するまで、平滑化パラメーターの減少していく一連の値について前記ステップを繰り返すステップと、
   によって定式化される、請求項１に記載の方法。
9. 前記快適性は、ＰＭＶにおける条件文を条件のうちの１つに単純化するステップと、
   有限次元非線形プログラムを得るために、陰的オイラー技法を用いて離散化するステップと、
   収束するまで、スパース線形代数を用いて前記有限次元非線形プログラムを解くステップと、
   によってモデル化される、請求項１に記載の方法。
10. 前記快適性は、パラメーターを用いた前記ＰＭＶにおける条件の相補性制約モデル化の緩和と、
    有限次元非線形プログラムを得るために、陰的オイラー法を用いて離散化するステップと、
    スパース線形代数を用いる非線形最適化手順を用いて緩和パラメーターの固定値について前記有限次元非線形プログラムを解くとともに、収束するまで、前記緩和パラメーターの減少していく一連の値について前記ステップを繰り返すステップと、
    によって達成される、請求項１に記載の方法。

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