JP2012054425A - 決定方法、露光方法及びプログラム - Google Patents

Abstract

【課題】照明光学系の瞳面に形成すべき光強度分布の決定に有利な技術を提供する。
【解決手段】露光装置において、投影光学系の物体面に配置するマスクのパターンを設定Ｓ１０１、マスクのパターンの光学像を評価するためのカットラインを前記投影光学系の像面に設定Ｓ１０４、前記照明光学系の瞳面に形成される互いに異なる複数の要素光源を生成Ｓ１１０、前記複数の要素光源のそれぞれで前記マスクのパターンを照明したときに前記第２のステップで設定したカットラインの上に形成される前記マスクのパターンの光学像を算出Ｓ１１４、前記マスクのパターンの光学像の前記カットラインの上のエッジの間の中点の位置を目標位置に近づけるように、重み付けを与えた前記複数の要素光源を合成した光源を前記照明光学系の瞳面に形成すべき光強度分布として決定するＳ１１４、とを有する。
【選択図】図１

Description

本発明は、照明光学系の瞳面に形成すべき光強度分布（有効光源）を決定する決定方法、露光方法及びプログラムに関する。

フォトリソグラフィー技術を用いて半導体デバイスを製造する際に、露光装置が使用されている。露光装置は、マスク（レチクル）のパターンを投影光学系によって基板（ウエハなど）に投影してパターンを転写する。近年では、半導体デバイスの微細化が進み、露光装置においては、更なる高解像度を実現する技術が要求されている。

露光装置では、基板を露光する際の露光量やフォーカス位置が理想的な状態になっているとは限らないため、所望の形状（マスクのパターン形状）とは異なる形状のパターンが基板に転写される可能性がある。露光量が理想的な状態でなくなる要因としては、光源の不安定さや照明領域における照度分布の不均一性などがある。また、フォーカス位置が理想的な状態でなくなる要因としては、基板の保持位置の不安定性や基板の凹凸などがある。所望の形状のパターンを基板に転写することが可能な露光量及びフォーカス位置の範囲はプロセスウィンドウと呼ばれ、露光装置においては、広いプロセスウィンドウを実現する技術が要求されている。

高解像度化や広いプロセスウィンドウを実現する技術としては、例えば、斜入射照明が知られている。斜入射照明は、輪帯形状の有効光源（照明光学系の瞳面における光強度分布）や複数（例えば、２つや４つ）の極を有する形状の有効光源を用いて、マスクに対して露光光を斜めに入射させる。輪帯形状の有効光源は、輪帯半径と輪帯幅の２つの自由度（パラメータ）で規定される。そこで、２つの自由度を様々に偏光しながらそれぞれの自由度で規定される有効光源に対するパターンの像をシミュレーションで求め、かかるパターンの像に基づいて輪帯半径と輪帯幅を選択することで最適な有効光源を決定する技術が提案されている。

また、近年では、有効光源を規定する自由度を高めた技術が提案されている（非特許文献１参照）。非特許文献１の技術は、照明光学系の瞳面を、例えば、碁盤目状に複数の領域に分割し、それぞれの領域における光強度を個別に設定する。但し、照明光学系の瞳面を縦横それぞれに６３分割する場合を考えると、その自由度は千を超えることになる。このような広大な最適化空間内にある自由度の組み合わせのそれぞれに対してパターンの像を求め、最適な有効光源を決定することは、計算時間の観点から現実的ではない。また、初期値を調整して計算を繰り返すことで最適解を求める発見的な最適化手法も提案されている（特許文献１参照）が、計算時間に長時間を要することに加えて、ローカル解にとらわれる可能性がある。

一方、このような自由度の高い有効光源の最適化において、数理計画法を用いた技術が提案されている（特許文献２参照）。数理計画法では、その解は最適解であることが数学的に保証され、且つ、計算時間の高速化を実現することができる。

特許第３３４２６３１号公報 特許第４３７８２６６号公報

Ｔ．Ｍａｔｓｕｙａｍａ，ｅｔ．ａｌ．，"Ａ Ｓｔｕｄｙ ｏｆ Ｓｏｕｒｃｅ ＆ Ｍａｓｋ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｆｏｒ ＡｒＦ Ｓｃａｎｎｅｒｓ"，Ｐｒｏｃ. ｏｆ ＳＰＩＥ，ＵＳＡ，ＳＰＩＥ，２００９年，Ｖｏｌ．７２７４, ｐ.７２７４０８

特許文献２の技術は、プロセスウィンドウの最大化問題に近似を適用して、数理計画法の１つである線形計画問題にして解くというものである。プロセスウィンドウとは、一般的には、パターンの像の幅が許容値の範囲内となる露光量の範囲とフォーカス位置の範囲との積である。特許文献２の技術は、ラインパターンの像に対して、ラインパターンの像における２つの側壁の位置を規定し、その条件下で有効光源を最適化している。

しかしながら、特許文献２の技術では、有効光源を最適化できない場合がある。例えば、マスクのパターンが同じ寸法の３つのラインパターンを等間隔に配置して構成されている場合を考える。この場合、中央のラインパターンに着目すると、コマ収差やディストーションなどの非対称な収差が存在しなければ、中央のラインパターンの位置（中点位置）と中央のラインパターンに対応する像の位置（中点位置）とは一致する。一方、端のラインパターンに着目すると、非対称な収差が存在していなくても、光近接効果によって、端のラインパターンの位置と端のラインパターンに対応する像の位置との間には差が生じてしまう。パターンの位置とそのパターンに対応する像の位置との差はパターンシフトと呼ばれ、かかるパターンシフトは、一般的に、ほとんどのパターンに対して発生する。特許文献２の技術は、ラインパターンの像の両エッジの位置座標を固定し、かかる位置座標にラインパターンの像の両エッジが位置するように有効光源を求めており、パターンシフトの概念が欠落している。従って、パターンシフトが発生する場合には、特許文献２の技術では、最適な有効光源を決定することができなくなってしまう。

また、半導体デバイスの微細化によって、パターンシフトの発生が歩留まり（スループット）に影響を与える場合もある。例えば、ＳＲＡＭにおけるイオン注入工程用のマスクについて考える。かかるマスクは、単純なラインアンドスペースパターンを有し、そのパターンのピッチは、数百ｎｍ以上と比較的大きい。このようなマスクにおいては、パターンの線幅に対する要求は厳しくないが、イオン注入工程では下地に存在する分離酸化膜層への重ね合わせ精度が重要となるため、パターンシフトに対する要求が厳しい。従って、マスクのパターンに対して、パターンシフト量が許容値の範囲内になるように、有効光源を最適化（決定）する必要がある。

本発明は、このような従来技術の課題に鑑みてなされ、照明光学系の瞳面に形成すべき光強度分布の決定に有利な技術を提供することを例示的目的とする。

上記目的を達成するために、本発明の一側面としての決定方法は、マスクを照明する照明光学系と、前記マスクのパターンを基板に投影する投影光学系とを備える露光装置において前記照明光学系の瞳面に形成すべき光強度分布を決定する決定方法であって、前記投影光学系の物体面に配置するマスクのパターンを設定する第１のステップと、前記投影光学系の像面に形成される前記第１のステップで設定したマスクのパターンの光学像を評価するためのカットラインを前記投影光学系の像面に設定する第２のステップと、前記照明光学系の瞳面に形成される互いに異なる複数の要素光源を生成する第３のステップと、前記第３のステップで生成した複数の要素光源のそれぞれについて、前記複数の要素光源のそれぞれで前記マスクのパターンを照明したときに前記第２のステップで設定したカットラインの上に形成される前記マスクのパターンの光学像を算出する第４のステップと、前記第４のステップで算出した光学像に基づいて、前記マスクのパターンの光学像の前記カットラインの上のエッジの間の中点の位置を目標位置に近づけるように、前記複数の要素光源のそれぞれに与える重み付けを決定し、前記重み付けを与えた前記複数の要素光源を合成した光源を前記照明光学系の瞳面に形成すべき光強度分布として決定する第５のステップと、を有することを特徴とする。

本発明の更なる目的又はその他の側面は、以下、添付図面を参照して説明される好ましい実施形態によって明らかにされるであろう。

本発明によれば、例えば、照明光学系の瞳面に形成すべき光強度分布の決定に有利な技術を提供することができる。

本発明の一側面としての決定方法を説明するためのフローチャートである。 図１に示すフローチャートのＳ１０２で設定されるマスクパターンの一例を示す図である。 図１に示すフローチャートのＳ１１０で生成される要素光源を説明するための図である。 図１に示すフローチャートのＳ１１０で生成される要素光源を説明するための図である。 図１に示すフローチャートのＳ１１２で算出される光学像の強度分布を説明するための図である。 図１に示すフローチャートのＳ１１２で算出される光学像の強度分布を説明するための図である。 図１に示すフローチャートのＳ１１４の有効光源の決定を説明するための図である。 図１に示すフローチャートのＳ１１４の有効光源の決定を説明するための図である。 図１に示すフローチャートのＳ１１４の有効光源の決定を説明するための図である。 図１に示すフローチャートのＳ１１４の有効光源の決定を説明するための図である。 図１に示すフローチャートのＳ１１４の有効光源の決定を説明するための図である。 図１に示すフローチャートのＳ１１４で決定される有効光源を示す図である。 図１２に示す有効光源で図２に示すマスクパターンを照明したときに、投影光学系の像面に形成される光学像を示す図である。 図１に示すフローチャートのＳ１１４で決定される有効光源を示す図である。 図１４に示す有効光源で図２に示すマスクパターンを照明したときに、投影光学系の像面に形成される光学像を示す図である。 図１に示すフローチャートのＳ１１４で決定される有効光源を示す図である。 本発明の一側面としての決定方法を説明するためのフローチャートである。 図１７に示すフローチャートのＳ１７１４で決定した有効光源に対するマスクパターンの光学像の強度分布を示す図である。 図１７に示すフローチャートのＳ１７１６で算出されるマスクパターンの光学像の強度分布を示す図である。 図１９に示すマスクパターンの光学像の強度分布において、強度分布の値を内挿した左側の区間（エッジ領域）を示す拡大図である。 図１９に示すマスクパターンの光学像の強度分布において、強度分布の値を内挿した右側の区間（エッジ領域）を示す拡大図である。 図１７に示すフローチャートのＳ１７１８で決定した新たな有効光源を示す図である。 図２２に示す有効光源で図２に示すマスクパターンを照明したときに、投影光学系の像面に形成される光学像を示す図である。 露光装置の構成を示す概略ブロック図である。

以下、添付図面を参照して、本発明の好適な実施の形態について説明する。なお、各図において、同一の部材については同一の参照番号を付し、重複する説明は省略する。

本発明は、ＩＣ、ＬＳＩなどの半導体チップ、液晶パネルなどの表示素子、磁気ヘッドなどの検出素子、ＣＣＤなどの撮像素子等の各種デバイスの製造やマイクロメカニクスで用いられる有効光源を決定する際に適用することができる。ここで、マイクロメカニクスとは、半導体集積回路製造技術を微細構造体の製作に応用して高度な機能を有するミクロン単位の機械システムを作成する技術や、かかる機械システム自体をいう。
＜第１の実施形態＞
図１は、本発明の一側面としての決定方法を説明するためのフローチャートである。本実施形態の決定方法は、コンピュータなどの情報処理装置によって実行され、マスク（レチクル）を照明する照明光学系と、マスクのパターンを基板に投影する投影光学系とを備える露光装置において、マスクを照明するための有効光源を決定（最適化）する。ここで、有効光源とは、投影光学系の物体面にマスクを配置しない状態において、投影光学系の瞳面に形成される光強度分布である。従って、有効光源を決定することは、照明光学系の瞳面に形成すべき光強度分布を決定することを意味する。

Ｓ１０２（第１のステップ）では、投影光学系の物体面に配置するマスクのパターン（マスクパターン）を設定する。本実施形態では、図２に示すように、遮光部分で構成されたパターン群ＰＴと、透過部分で構成された背景部ＢＣとを有するマスクパターンを設定する。かかるマスクパターンは、第１のパターン部ＰＴ１及び第２のパターン部ＰＴ２の２種類のラインアンドスペースパターンを含む。第１のパターン部ＰＴ１を構成するラインパターンの長手方向の長さａ、幅方向の長さｂ及びピッチｃのそれぞれは、４００ｎｍ、７５ｎｍ及び１５０ｎｍである。また、第２のパターン部ＰＴ２を構成するラインパターンの長手方向の長さｄ、幅方向の長さｅ及びピッチｆのそれぞれは、４００ｎｍ、５０ｎｍ及び１００ｎｍである。マスクパターンは、一般には、様々な種類のパターンを含む。Ｓ１０２では、マスクパターンに含まれる全ての種類のパターンを設定してもよいが、必要なパターンのみを設定してもよい。また、本実施形態では、マスクパターンを２次元で設定したが、１次元で設定してもよいし、３次元で設定してもよい。

Ｓ１０４（第２のステップ）では、Ｓ１０２で設定したマスクパターンの光学像（投影光学系の像面に形成される像）を評価するためのカットライン（着目部分）を設定する。本実施形態では、第１のパターン部ＰＴ１を構成する５つのラインパターンのうち、３つのラインパターンのそれぞれの中央部分に対応する投影光学系の像面の部分にカットラインＣＬ１、ＣＬ２及びＣＬ３を設定する（図２参照）。同様に、第２のパターン部ＰＴ２を構成する５つのラインパターンのうち、３つのラインパターンのそれぞれの中央部分に対応する投影光学系の像面の部分にカットラインＣＬ４、ＣＬ５及びＣＬ６を設定する（図２参照）。なお、本実施形態では、ラインパターンの幅方向の長さに着目しているため、各ラインパターンの幅方向にカットラインを設定する。但し、ラインパターンの長手方向の長さに着目するのであれば、各ラインパターンの長手方向にカットラインを設定すればよい。また、隣接するラインパターンの間隔の長さに着目するのであれば、隣接するラインパターンを横切るようにカットラインを設定すればよい。なお、図２では、説明を簡単にするために、投影光学系における物体面の寸法と投影光学系の像面における寸法が等しい（即ち、投影光学系の倍率が１倍である）ものとして、マスクパターンに対してカットラインを設定するように図示している。但し、実際には、投影光学系の倍率に基づいて像面上の寸法に換算したマスクパターンを考慮して、投影光学系の像面にカットラインを設定する必要がある。

中央のラインパターンに設定したカットラインＣＬ１及びＣＬ４の上に形成される光学像においては、左右非対称な収差や左右非対称な有効光源を与えなければ、パターンシフトは発生しない。従って、中央のラインパターンに対応する光学像の位置と中央のラインパターンの位置とは一致する。一方、端のラインパターンに設定したカットラインＣＬ３及びＣＬ６の上に形成される光学像においては、収差や有効光源が左右対称であったとしても、光近接効果によって、パターンシフトが発生する。従って、端のラインパターンに対応する光学像は、端のラインパターンの位置に対して左右にシフトした位置に形成され、端のラインパターンに対応する光学像の位置と端のラインパターンの位置とが一致するとは限らない。

Ｓ１０６では、Ｓ１０４で設定したカットラインの上に形成されるマスクパターンの光学像のカットラインの上の位置の目標位置を設定する。本実施形態では、マスクパターンの光学像の位置を表す物理量は、マスクパターンの光学像の中点の位置（中点位置）とする。なお、中点位置とは、あるカットラインの上に形成されるマスクパターンの光学像における左側のエッジの位置と右側のエッジの位置との中間の位置（座標）を意味する。従って、本実施形態では、マスクパターンの光学像のカットラインの上のエッジの間の中点位置の目標位置を設定する。なお、マスクパターンの中点位置と、かかるマスクパターンに対応する光学像の中点位置とが一致していれば、パターンシフトが発生していないと言える。一方、マスクパターンの中点位置と、かかるマスクパターンに対応する光学像の中点位置とが一致していなければ、パターンシフトが発生していると言える。

カットラインの設定（Ｓ１０４）では、カットラインＣＬ１乃至ＣＬ６のそれぞれの中点がラインパターンのそれぞれの中点と一致するように設定している。カットラインＣＬ１乃至ＣＬ３の長さは１２０ｎｍで設定しているため、カットラインの上の位置（座標）において、端から６０ｎｍの位置が対応するラインパターン（マスクパターン）の中点位置である。また、カットラインＣＬ４乃至ＣＬ６の長さは９０ｎｍで設定しているため、カットラインの上の位置（座標）において、端から４５ｎｍの位置が対応するラインパターン（マスクパターン）の中点位置である。本実施形態では、パターンシフト量を最小にする有効光源を決定するため、カットラインＣＬ１乃至ＣＬ６の上において、ラインパターンの中点位置と一致する位置を目標位置として設定する。具体的には、以下の表１に示すように、カットラインＣＬ１乃至ＣＬ６のそれぞれに対して、マスクパターンの光学像のカットラインの上のエッジの間の中点位置の目標位置を設定する。

なお、本実施形態では、上述したように、マスクパターンの光学像の位置を表す物理量として、光学像の中点位置を用いている。但し、マスクパターンの光学像の位置を表す物理量は、光学像の中点位置に限定されるものではなく、光学像の両エッジの位置が固定されず、パターンシフト量に対して光学像の位置が一意に決まる物理量であればよい。

Ｓ１０８では、Ｓ１０４で設定したカットラインの上に形成されるマスクパターンの光学像の寸法の目標値（目標寸法値）を設定する。本実施形態では、表１に示すように、カットラインＣＬ１乃至ＣＬ６のそれぞれの上に形成されるマスクパターンの光学像の幅方向の長さ（線幅）の目標値を設定する。

有効光源の最適化においては、一般的に、パターンシフト量とマスクパターンの光学像の線幅とを考慮することが多い。本実施形態においても、マスクパターンの光学像のカットラインの上の線幅（寸法）の目標値を設定することで、パターンシフト量に加えて光学像の線幅も考慮して有効光源を決定することが可能となる。但し、マスクパターンの光学像の線幅を考慮しなくてもよい場合には、マスクパターンの光学像のカットラインの上の線幅の目標値を設定する必要はなく、Ｓ１０８を省略してもよい。

Ｓ１１０（第３のステップ）では、照明光学系の瞳面に形成される互いに異なる複数の要素光源を生成する。本実施形態では、図３に示すように、照明光学系の瞳面を碁盤目状に複数の領域Ｒ１乃至Ｒ１７７に分割し、複数の領域Ｒ１乃至Ｒ１７７のうち１つの領域のみを光らせたものを要素光源として生成する。なお、図３において、点線で示す円は、コヒーレンスファクターが１の円を表している。

図４は、Ｓ１１０で生成される複数の要素光源の一例を示す図である。図４（ａ）は、領域Ｒ９６のみを光らせた要素光源を示し、図４（ｂ）は、領域Ｒ２１のみを光らせた要素光源を示している。上述したように、本実施形態では、複数の領域Ｒ１乃至Ｒ１７７のうち１つの領域のみを光らせたものを要素光源として生成するため、１７７個の要素光源が生成される。最終的に決定される有効光源は、Ｓ１１０で生成した複数の要素光源の線形和（複数の要素光源を合成した光源）として決定されることになる。

本実施形態では、照明光学系の瞳面を碁盤目状に分割したが、他の形状、例えば、円弧状に分割してもよい。また、本実施形態では、分割した領域を１つずつ光らせたものを要素光源としたが、複数の領域を光らせたものを１つの要素光源としてもよい。

Ｓ１１２（第４のステップ）では、Ｓ１１０で生成した複数の要素光源のそれぞれについて、複数の要素光源のそれぞれでマスクパターンを照明したときに、Ｓ１０４で設定したカットラインの上に形成されるマスクパターンの光学像（の強度分布）を算出する。なお、光学像（空中像）の強度は、ある露光条件において、基板上の任意の１点に到達する光の光量を意味する。また、光学像の強度分布は、光学シミュレータなどを用いて算出することができる。

図５は、図４（ａ）に示す要素光源で図２に示すマスクパターンを照明したときに、カットラインＣＬ１の上に形成される光学像の強度分布を示す図である。また、図６は、図４（ｂ）に示す要素光源で図２に示すマスクパターンを照明したときに、カットラインＣＬ１の上に形成される光学像の強度分布を示す図である。図５及び図６では、カットライン上の位置（座標）を横軸に採用し、カットライン上の各位置における光学像の強度を縦軸に採用している。図５及び図６に示すように、１つの光学像の強度分布は、有限個（２４１個）の光強度のデータで構成され、本実施形態では、０．５ｎｍごと（間隔）のカットライン上の位置における光強度のデータを含む。ここでは、光強度のデータが存在するカットライン上の位置をグリッドと称し、光強度のデータが存在するカットライン上の位置の間隔をΔｘとする。Δｘを小さくすればするほど光学シミュレータによる光学像（の強度分布）の算出精度は向上するが、データ数も多くなってしまう。従って、Δｘは、０．５ｎｍ乃至１ｎｍ程度であることが好ましい。

本実施形態では、Ｓ１１０で生成した１７７個の要素光源のそれぞれに対して、Ｓ１０４で設定した６つのカットラインＣＬ１乃至ＣＬ６のそれぞれの上に形成される光学像の強度分布、即ち、１０６２個の光学像の強度分布を算出する。なお、光学像の強度分布は、要素光源の強度に対して線形であれば、どのような形態であってもよい。例えば、レジスト像に相当する像を得るために、光学像（の強度分布）にレジストの酸の拡散を表すガウス関数をコンボリューションする場合があるが、このような像も要素光源の強度に対して線形であるため、本実施形態の光学像に含まれる。

Ｓ１１４（第５のステップ）では、Ｓ１１２で算出した光学像（の強度分布）に基づいて、有効光源を決定する。具体的には、マスクパターンの光学像のカットライン上のエッジ間の中点位置を目標位置に近づけるように、複数の要素光源のそれぞれに与える重み付け（発光強度）を決定し、かかる重み付けを与えた複数の要素光源を合成した光源を有効光源として決定する。換言すれば、Ｓ１１０で生成した複数の要素光源（本実施形態では、１７７個の要素光源）のそれぞれに対する発光強度の比を決定することで、有効光源を決定する。

図７を参照して、本実施形態における有効光源の決定（Ｓ１１４）の概要を説明する。図７は、Ｓ１１０で生成した要素光源と、Ｓ１１２で算出した光学像の強度分布と、Ｓ１１２で決定する要素光源の発光強度ｐ_ｋ（ｋ＝１〜１７７）との関係を示す図である。

着目するカットラインにおいて、１７７個の要素光源のそれぞれに対応する光学像の強度分布に重み付けして合成した強度分布が最終的に決定される有効光源に対する光学像の強度分布となる。光学像の強度分布に重み付けして合成した強度分布がＳ１０６で設定した光学像の位置の目標位置（及びＳ１０８で設定した光学像の線幅の目標値）を満たすように、１７７個の要素光源のそれぞれに与える重み付け（発光強度）を決定する。換言すれば、複数の要素光源のそれぞれに与える重み付けを変更することによって、最終的な有効光源に対応する光学像の強度分布を変化させることができる。なお、このような手法は、アッベの公式に基づくものであり、当業界では周知の技術である。例えば、特許文献２の技術においても、アッベの公式が用いられている。

上述したように、ある有効光源でマスクパターンを照明した際の着目する位置に対応する光学像の強度は、要素光源のそれぞれに対する光学像の強度の値に、その要素光源の重み（発光強度）を付けて合成することで算出される。ある有効光源において、光学像のある位置が明点になるか、或いは、暗点になるかは、このような線形則で容易に求めることができる。例えば、特許文献２において、複数の位置のそれぞれに対して光学像の明暗を規定して有効光源を最適化するのは、位置に対する光学像の強度の線形則が容易に成り立つからである。

一方、光学像のパターンシフト量は、有効光源に対して高度に非線形な物理量である。パターンシフトが発生するパターンの光学像において、パターンシフト量と、各位置における光学像の明暗は、１対１に対応しない。従って、このような非線形な問題に対して、線形計画法を用いる従来技術を適用することは非常に困難である。

そこで、本実施形態では、以下の式に示すように、混合整数計画法を用いて、上述した非線形な問題を定式化する。これにより、光学像のパターンシフトを考慮した有効光源の最適化問題を数理計画法で解くことが可能となる。

数式群１において、決定変数はｐ_ｋ（ｋ＝１、２、・・・、ｍ）であり、ｕ及びｔは制御用のダミー変数であり、Ｉ、Ｗ、Ａ、Ｂ、Ｌ、ｍ、Ｍ、Ｗｉｄｔｈ及びΔｘは定数である。各要素光源の発光強度（重み）であるｐ_ｋが最終的に求めたいものである。

数式群１の最大の特徴は、式（１０）で表されるようなｕ値を導入したことである。ｕ値は、光学像の強度が閾値を超える場合に第１の整数値をとり、光学像の強度が閾値を超えない場合に第２の整数値をとる変数であって、本実施形態では、０又は１をとる２値の変数である。従って、数式群１で定義される問題は、混合整数計画問題（ＭＩＰ問題）となる。なお、混合整数計画問題は、ＩＬＯＧ社が開発したＣＰＬＥＸなどの市販のソルバで容易に解くことが可能である。具体的には、式（１）を最小化の目的関数、式（２）乃至式（１０）を制約条件及び境界条件としてソルバに入力することによって、式（２）から式（１０）を同時に満たす変数の組み合わせのうち、式（１）を最小化するような解を得ることができる。

数式群１の各式の意味を説明する。式（２）及び式（３）は、光学像の強度に関する式である。式（２）及び式（３）の左辺のＩ_ｉｊｋは、Ｓ１１２で算出される光学像の強度であって、ｋ番目の要素光源を単位光量光らせたときに、ｊ番目のカットラインの上に形成される光学像のｉ番目の位置における強度の値を意味する。本実施形態では、カットラインの数が６つであるため、ｊは１から６の値となる。ｉはカットラインの上に形成される光学像の強度分布の各グリッド位置に１から順番に付与されている番号である。本実施形態では、０．５ｎｍ（Δｘ）間隔で光学像の強度を求めているため、１２０ｎｍの長さのカットラインに対しては、ｉは１から２４１までの値となる。また、ｉの最大値をＬ_ｊとする（式（１１）参照）。ｋは要素光源に付与される番号（要素光源番号）である。本実施形態では、１７７個の要素光源が生成されるため、ｋは１から１７７までの値となる。また、ｋの最大値、即ち、要素光源の総数をｍとする（式（１３）参照）。

上述したことから、ｋ（ｋ＝１、２、・・・、１７７）番目の要素光源を発光強度ｐ_ｋで光らせたときに、ｊ番目のカットラインの上に形成される光学像のｉ番目の位置における光強度を合成した値は、ΣＩ_ｉｊｋｐ_ｋとなる。但し、発光強度であるｐ_ｋは、非負実数である（式（８）参照）。

基板を現像する際に、現像の可否の閾値となる光学像の強度の値は、スライスレベルと呼ばれる。スライスレベルが「１」であると考えると、ポジレジストにおいては、以下の条件（Ａ）及び条件（Ｂ）が成り立つ。
条件（Ａ）：ΣＩ_ｉｊｋｐ_ｋ＞１であれば、現像した際にレジストが溶解する。
条件（Ｂ）：ΣＩ_ｉｊｋｐ_ｋ＜１であれば、現像した際にレジストが残留する。

本実施形態では、レジストがポジレジストである場合を例として説明するが、レジストがネガレジストであってもよいことは言うまでもない。なお、レジストがネガレジストである場合には、ΣＩ_ｉｊｋｐ_ｋ＞１であれば、現像した際にレジストが残留し、ΣＩ_ｉｊｋｐ_ｋ＜１であれば、現像した際にレジストが溶解する。

式（２）及び式（３）と、式（１０）で定義される変数ｕ_ｉｊとの関係について説明する。例えば、ΣＩ_ｉｊｋｐ_ｋ＜１である場合、ｕ_ｉｊが１であると式（２）を満たすことができない。一方、ΣＩ_ｉｊｋｐ_ｋ＞１である場合には、ｕ_ｉｊが０であっても１であっても式（２）を満たすことができる。

式（３）のＭは、「大きい値」を意味し、通常の光学像の強度の値ではない大きな値（１０や２０など）である。本実施形態では、Ｍを５０としている。これにより、ΣＩ_ｉｊｋｐ_ｋ＞１である場合には、ｕ_ｉｊが０であると式（３）を満たすことができないが、ΣＩ_ｉｊｋｐ_ｋ＜１である場合には、ｕ_ｉｊの値に関わらず、式（３）が満たされる。従って、ΣＩ_ｉｊｋｐ_ｋとｕ_ｉｊとの間には、以下の関係が成り立つ。

図８は、式（１４）に示す関係を模式的に表す図である。図８を参照するに、式（２）及び式（３）によって、光学像の強度の範囲が抑えられていることがわかる。ｕ_ｉｊが「１」の位置に関しては、光学像の強度は１よりも大きい値となり、ｕ_ｉｊが「０」の位置に関しては、光学像の強度は１よりも小さい値となる。このように、レジストの溶解の可否がｕ_ｉｊの値に直接対応する。

式（４）は、マスクパターンの光学像の中点位置に関する式であり、Ｓ１０６で設定した目標位置と実際の光学像の中点位置との差を表す式である。式（４）における定数の定義について説明する。ＰＳ_ｊは、ｊ番目のカットラインにおけるマスクパターンの光学像の中点位置の目標位置である。Ａ_ｊは、ｘ_ｉ＜ＰＳ_ｊを満たす最大のｉ値であり、Ｂ_ｊは、ｘ_ｉ＞ＰＳ_ｊを満たす最小のｉ値である。ｘ_ｉは、カットラインの上のｉ番目の位置（座標）を意味し、以下の式で表される。

図９は、任意のカットラインの上のｉ番目の位置と、かかる位置における光学像の強度の値（ΣＩ_ｉｊｋｐ_ｋ）との関係を示す図である。マスクパターンの光学像の中点位置の目標位置ＰＳ_ｊを図９に示すように設定した場合、Ａ_ｊ＝９、Ｂ_ｊ＝１０、Ｌ_ｊ＝２１となる。

式（４）の意味を説明する。式（４）の左辺に含まれる「１−ｕ_ｉｊ」は、ｕ_ｉｊ＝０のときに「１」をとり、ｕ_ｉｊ＝１のときに「０」をとる。従って、Σ（１−ｕ_ｉｊ）は、「ｕ_ｉｊ＝０となるグリッドの数」を表している。本実施形態では、レジストがポジレジストであるため、Σ（１−ｕ_ｉｊ）はスライスレベルを下回る部分の長さ、即ち、レジストが残留している部分の幅に比例する量となる。

このように、式（４）の左辺において、絶対値内の第１項は、マスクパターンの光学像の中点位置の目標位置の左側において「ｕ_ｉｊ＝０となるグリッドの数」を表している。また、式（４）の左辺において、絶対値内の第２項は、マスクパターンの光学像の中点位置の目標位置の右側において「ｕ_ｉｊ＝０となるグリッドの数」を表している。これらの値が同じ値であると、マスクパターンの光学像の中点位置が目標位置と一致し、式（４）の左辺において、絶対値が０となる。式（４）は、この値の絶対値がｔ以下になるように制約している式である。従って、非負変数ｔ（式（９）参照）を最小化すること（式（１）参照）が数理計画法で解くべき問題となる。

なお、本実施形態では、マスクパターンの光学像の中点位置の最適化を行っているが、光学像の中点位置はパターンシフト量に１対１で対応する。従って、本実施形態では、マスクパターンの光学像のパターンシフトを考慮した有効光源の最適化を行っていると言える。

式（５）及び式（１２）は、マスクパターンの光学像の線幅に関する式である。本実施形態では、光学像において連続する暗部の長さが光学像の線幅であるため、このときの線幅Ｗｉｄｔｈは、以下の式（１５）で近似することができる。

一方、ｊ番目のカットラインの上に形成される光学像の線幅の目標値であるＷｉｄｔｈ_ｊは、式（１２）で表される整数Ｗ_ｊを用いて、以下の式（１６）で近似することができる。

但し、式（１２）に含まれるＩｎｔ関数は小数部分の切り捨てを意味する関数であり、非負実数Ａに対してＩｎｔ（Ａ＋０．５）は、Ａの四捨五入をすることと等価である。従って、光学像の線幅の目標値と最適化結果における光学像の線幅との差分は、式（１５）及び式（１６）から、以下の式（１７）に比例する。

式（１７）がゼロに近いほど、光学像の線幅の目標値と最適化結果における光学像の線幅との差分が小さいことを意味している。式（５）は、この値の絶対値がｔ以下になるように制約している式である。従って、非負変数ｔ（式（９）参照）を最小化すること（式（１）参照）が数理計画法で解くべき問題となる。なお、パターンの線幅に対する要求が厳しくなく、パターンシフトのみを考慮したい場合には、光学像の線幅を考慮せず、光学像の中点位置のみを考慮して有効光源を最適化することも可能である。このような場合には、式（５）及び式（１２）を数式群１から除外すればよい。

制約条件である式（６）及び式（７）について説明する。マスクパターンの光学像の中点位置及び線幅が物理的に正しい意味を有するためには、レジストが残留する部分は必ず連続していなければならない。例えば、マスクパターンの光学像の強度分布において、図１０に示すように、スライスレベルを下回る部分が２箇所に分離している場合、かかる光学像の強度分布は望ましいものとは言えない。そこで、本実施形態では、図１１に示すような式（６）及び式（７）を制約条件とし、このような光学像の強度分布が最適化結果として導出されることを防止している。図１１は、式（６）及び式（７）の意味を模式的に示す図である。

このように、マスクパターンの光学像の中点位置（及び線幅）を考慮した有効光源の最適化問題は、２値の変数であるｕ_ｉｊの和を目標値に近づける混合整数計画問題に置き換えることができる。

本実施形態では、表１に示すマスクパターンの光学像の中心位置の目標位置及びマスクパターンの光学像の線幅の目標値に対して、以下の表２に示す最適化結果（１７７個の要素光源のそれぞれの発光強度ｐ_ｋ）が得られた。Ｓ１１０で生成した複数の要素光源のそれぞれに対して表２に示す発光強度ｐ_ｋをかけて合成することで、図１２に示すような有効光源が得られる。

図１３は、図１２に示す有効光源で図２に示すマスクパターンを照明したときに、投影光学系の像面に形成される光学像を示す図である。図１３において、ＰＴはマスクパターンのパターン群を示し、ＩＭは光学像（レジストが残留する部分の境界線）を示している。この際、カットラインＣＬ１乃至ＣＬ６のそれぞれの上に形成されるマスクパターンの光学像の中点位置及び線幅を以下の表３に示す。図１３及び表３を参照するに、パターンシフトがほとんど発生しておらず、且つ、マスクパターンの光学像の線幅が目標値に近いことがわかる。

ここで、本実施形態における有効光源の最適化が数学的に正しいことを示す。カットラインＣＬ１乃至ＣＬ３のそれぞれに対して、以下の表４に示すように、マスクパターンの光学像の中点位置の目標位置及び線幅の目標値を設定する。表４に示すマスクパターンの光学像の中点位置の目標位置及び線幅の目標値は、マスクパターンの設計値から大きく変化させたものであり、難易度の高い最適化である。なお、カットラインＣＬ４乃至ＣＬ６に関しては考慮しないものとする。

表４に示すマスクパターンの光学像の中心位置の目標位置及びマスクパターンの光学像の線幅の目標値に対して、本実施形態では、図１４に示すような有効光源が得られる。図１５は、図１４に示す有効光源で図２に示すマスクパターンを照明したときに、投影光学系の像面に形成される光学像を示す図である。図１５において、ＰＴはマスクパターンのパターン群を示し、ＩＭは光学像（レジストが残留する部分の境界線）を示している。この際、カットラインＣＬ１乃至ＣＬ３のそれぞれの上に形成されるマスクパターンの光学像の中点位置及び線幅を以下の表５に示す。図１５及び表５を参照するに、本実施形態における有効光源の最適化は、難易度の高い最適化にも適用可能であり、数学的に正しいことがわかる。

なお、本実施形態では、有効光源の対称性を考慮している。有効光源の対称性は、マスクパターンの対称性から考えられるものであり、最終的な解となる有効光源が４回対称（上下左右対称）になるようにした。具体的には、以下の式（１８）、（１９）及び（２０）を新たな制約条件として数式群１に加えればよい。
ｐ_１＝ｐ_５＝ｐ_１７３＝ｐ_１７７ ・・・（１８）
ｐ_３９＝ｐ_５１＝ｐ_１２７＝ｐ_１３９ ・・・（１９）
ｐ_８５＝ｐ_９３ ・・・（２０）
式（１８）乃至式（２０）は、本実施形態における有効光源の対称性を制約する式の一部であり、ｐ_ｋ（ｋ＝１〜１７７）の全てに対して同様な式を設定する。このように、要素光源間の対称性を考慮することによって、独立変数を実質的に低減させることが可能であり、計算時間を短縮できることがある。なお、要素光源間の関係式については、これらに限定されるものではなく、その他の式を設定してもよい。
＜第２の実施形態＞
第１の実施形態においては、着目するカットラインを全てラインパターンの光学像（レジストが残留する部分）とした。但し、実際には、スペースパターンの光学像（レジストが溶解する部分）に着目する場合もある。このような場合には、数式群１に含まれる一部の式を以下のように置き換えればよい。

スペースパターンに着目する場合、式（１４）におけるｕ_ｉｊの値の定義が逆になればよいため、数式群１に含まれる式（２）及び式（３）のそれぞれを、以下の式（２１）及び式（２２）に置き換えればよい。

式（２１）及び式（２２）によって、ｕ_ｉｊは、以下の式（２３）に示すような意味を有する。従って、第１の実施形態と同様に、スペースパターン（明部）の光学像の中点位置（及び線幅）を考慮して、有効光源を最適化することが可能となる。

光学像における明部の線幅を考慮するためのカットラインと、光学像における暗部の線幅を考慮するためのカットラインとが混在する場合であっても、有効光源の最適化は可能である。この場合、光学像における明部の線幅を考慮するためのカットラインに対しては、式（２１）及び式（２２）をｕ_ｉｊの定義として与え、光学像における暗部の線幅を考慮するためのカットラインに対して、式（２）及び式（３）をｕ_ｉｊの定義として与えればよい。
＜第３の実施形態＞
第１の実施形態で示した数式群１において、全てのｊに対する式（４）及び式（５）は、同一の変数ｔによって抑えられていた。換言すれば、ｔは、式（４）の左辺及び式（５）の左辺の最大値であり、数式群１は、ｔを最小化する問題となっているため、「最大値最小化」の問題となる。

本実施形態では、数式群１において、目的関数である式（１）を式（２４）に置き換え、制約条件の１つである式（４）を式（２４）に置き換えて、混合整数計画問題を解くことにする。これは、パターンシフトの最適化に関しては各ｊに対してｔ１_ｊが定義され、線幅の最適化に関しては各ｊに対してｔ２_ｊが定義されており、その線形和を最小化する問題となっている。

式（２４）におけるα_ｊ及びβ_ｊは、ユーザが予め与える０以上の数値である。例えば、α_１、α_２、α_３、α_４及びα_５に１を与え、α_６に５を与え、β_１、β_２、β_３、β_４、β_５及びβ_６に１を与える。この場合、式（２４）は、ｔ１_１＋ｔ１_２＋ｔ１_３＋ｔ１_４＋ｔ１_５＋５×ｔ１_６＋ｔ２_１＋ｔ２_２＋ｔ２_３＋ｔ２_４＋ｔ２_５＋ｔ２_６となる。これにより、ｔ１_６の値がΣ（α_ｊｔ_ｊ＋β_ｊｔ_ｊ）に対して最も大きく影響するため、ｔ１_６が優先的に小さくなるような解が得られる。このように、α_ｊ及びβ_ｊを任意に設定することによって、クリティカルなパターンほど、光学像の中点位置の目標位置（及び寸法の目標値）との差が小さくなるような有効光源を求めることができる。
＜第４の実施形態＞
実際の半導体デバイスの製造においては、露光時におけるデフォーカス量についても考慮する必要がある。一般的には、投影光学系の像面からデフォーカスしても、マスクパターンの光学像のパターンシフトや線幅に変化を与えない有効光源が好ましい。

第１の実施形態乃至第３の実施形態では、１つのフォーカス面に対して有効光源を最適化しているが、投影光学系の像面からデフォーカスした複数のデフォーカス面に対しても有効光源を最適化することも可能である。

具体的には、複数のデフォーカス面を設定し、Ｓ１１２において、複数のデフォーカス面のそれぞれについても、カットラインに対応する位置の上に形成されるマスクパターンの光学像を算出する。そして、それぞれの光学像の位置の目標位置（及び線幅の目標値）を設定することで、デフォーカスを考慮しながら有効光源を最適化することができる。

複数のデフォーカス面のそれぞれにおけるカットライン（に対応する位置）は、別のカットラインとみなすことができる。本実施形態では、カットラインＣＬ１乃至ＣＬ６のそれぞれに対して＋２５ｎｍデフォーカスしたものをカットラインＣＬ７乃至ＣＬ１２とみなす。また、本実施形態では、カットラインＣＬ１乃至ＣＬ６のそれぞれに対して＋５０ｎｍデフォーカスしたものをカットラインＣＬ１３乃至ＣＬ１８とみなす。

カットラインＣＬ１乃至ＣＬ１８のそれぞれの上に形成される光学像に対して以下の表６に示すような目標位置及び目標値を設定した場合に求められる有効光源を図１６に示す。この際、カットラインＣＬ１乃至ＣＬ１８のそれぞれの上に形成されるマスクパターンの光学像の中点位置及び線幅を以下の表７に示す。

本実施形態によれば、デフォーカスを考慮しながら有効光源を最適化することができる。なお、本実施形態では、プラス方向にデフォーカスしたときの光学像のみを考慮している。但し、マイナス方向にデフォーカスしたときの光学像を考慮してもよいし、プラス方向にデフォーカスしたときの光学像とマイナス方向にデフォーカスしたときの光学像の両方を考慮してもよい。
＜第５の実施形態＞
実際の半導体デバイスの製造においては、露光時における露光量（ドーズ）についても考慮する必要がある。一般的には、ドーズが理想量とは異なる量であったとしても、マスクパターンの光学像のパターンシフトや線幅に変化を与えない有効光源が好ましい。

ドーズは、全露光量を意味する。従って、第１の実施形態乃至第４の実施形態において、ｐ_ｋ（ｋ＝１〜１７７）が解として得られた場合、ドーズは、Σｐ_ｋとなる。かかるドーズを基準ドーズとする。例えば、ドーズが１．１倍になるということは、全てのｐ_ｋの値が１．１倍になることと等価である。

複数のドーズに対して有効光源を最適化する際には、第４の実施形態と同様に考えればよい。本実施形態では、基準ドーズ、１．１倍ドーズ、０．９倍ドーズの３種類のドーズを設定する（即ち、ｐ_ｋの値を比例倍して比例倍要素光源を生成する）。そして、それぞれのドーズに対して、カットラインＣＬ１乃至ＣＬ６の上に形成される光学像の位置の目標位置（及び線幅の目標値）を設定する。ここでは、１．１倍ドーズにおけるカットラインＣＬ１乃至ＣＬ６のそれぞれをカットラインＣＬ７乃至ＣＬ１２とみなし、０．９倍ドーズにおけるカットラインＣＬ１乃至ＣＬ６のそれぞれをカットラインＣＬ１３乃至ＣＬ１８とみなす。そして、数式群１に含まれる式（２）及び式（３）を以下の式（２９）乃至式（３５）に置き換えればよい。第４の実施形態と比較して、同一のカットラインの上に形成される光学像はドーズが変更されても同じであることを表す式（３５）が更に加わっている。

なお、ドーズの値は、１．１倍ドーズや０．９倍ドーズに限定されるものではなく、１．２倍ドーズや０．８倍ドーズなどであってもよい。また、ドーズの数も３種類に限定されず、４種類や５種類であってもよい。
＜第６の実施形態＞
上述したように、マスクパターンの光学像（の強度分布）の算出精度は、Δｘを小さくすることで向上させることが可能である。但し、Δｘを小さくすることで、有効光源を決定する際の制約条件の数が多くなり、計算時間が増大する場合がある。そこで、本実施形態では、計算時間の増大を防止しながら、マスクパターンの光学像の算出精度の向上を図ることができる有効光源の決定方法について説明する。

図１７は、本発明の一側面としての決定方法を説明するためのフローチャートである。かかる決定方法は、Ｓ１０２乃至Ｓ１１４と同じＳ１７０２乃至Ｓ１７１４に加えて、Ｓ１７１６（第６のステップ）及びＳ１７１８（第７のステップ）を有する。本実施形態の決定方法では、Ｓ１７１４で決定した有効光源を用いて、カットラインの上に形成されるマスクパターンの光学像の算出を繰り返す。具体的には、Ｓ１７１６では、まず、Ｓ１７１４で決定した有効光源でマスクパターンを照明したときに、カットラインの上に形成されるマスクパターンの光学像のエッジを含むエッジ領域を特定する。そして、Ｓ１７１０で生成した複数の要素光源のそれぞれについて、カットラインの上に形成されるマスクパターンの光学像を算出する。この際、エッジ領域に含まれる強度のデータ数（第２の個数）がＳ１７１２で算出したマスクパターンの光学像のエッジ領域に含まれる強度のデータ数（第１の個数）よりも多くなるようにする。換言すれば、Ｓ１７１２で算出した光学像のエッジ領域に含まれる第１の個数の位置よりも多い第２の個数の位置のそれぞれについて強度が算出されるように、カットラインの上の位置（座標）を再分割して、マスクパターンの光学像を算出する。また、Ｓ１７１８では、Ｓ１７１６で算出した光学像に基づいて、新たな有効光源を決定する。具体的には、マスクパターンの光学像のカットライン上のエッジ間の中点位置を目標位置に近づけるように、複数の要素光源のそれぞれに与える重み付けを決定し、かかる重み付けを与えた複数の要素光源を合成した光源を新たな有効光源として決定する。

このように、本実施形態では、カットラインの上に形成されるマスクパターンの光学像（の強度分布）の算出と有効光源の決定とを繰り返して（複数回）行うことで、光学像のエッジの位置の範囲を狭めていく。これにより、計算時間の増大を防止しながら、マスクパターンの光学像の算出精度の向上を図ることができる。

ここで、カットラインの上に形成されるマスクパターンの光学像（の強度分布）の算出と有効光源の決定との繰り返しの概要について説明する。例えば、Ｓ１７１４で決定した有効光源に対するマスクパターンの光学像の強度分布が図１８に示すような強度分布になったとする。このとき、マスクパターンの光学像の強度分布がスライスレベルを横切った箇所、即ち、隣接するｕ_ｉｊの値が異なるΔｘの区間に着目する。かかる区間を含む特定の長さの区間（エッジ領域）について、強度分布の値（光強度）を内挿する。図１８に示すように、強度分布の値を内挿する区間は、カットラインの右側と左側に存在する。本実施形態においては、それぞれ３Δｘの区間について、カットラインの上の位置（座標）を再分割する。なお、強度分布の値を内挿する区間は、Δｘの何倍であってもよいが、計算制度を向上させるためには、３倍以上にするとよい。

図１８に示すマスクパターンの光学像の強度分布の３Δｘの区間に対して、強度分布の値（光強度）を内挿した結果（即ち、Ｓ１７１６で算出される光学像の強度分布）を図１９に示す。図１９では、内挿された強度分布の値を白丸で示している。このように、Ｓ１７１２においては算出されていない強度分布の値を内挿して光学像を算出することを、複数の要素光源の全てに対して行う。

なお、本実施形態では、Δｘを５つの区間に再分割しているが、Δｘの分割数はいくつであってもよい。計算時間と算出精度の向上の効果を考慮すると、Δｘを４つの区間乃至８つの区間に再分割することが好ましい。また、内挿時の補完方法は、本実施形態では、線形補完を用いているが、他の補完方法を用いてもよいし、光学像を再算出してもよい。

図２０及び図２１のそれぞれは、図１９に示すマスクパターンの光学像の光強度分布において、強度分布の値を内挿した左側の区間（エッジ領域）及び右側の区間を示す拡大図である。図２０及び図２１は、ｉに対して、再分割を行った際の位置（座標）をｉ’とし、再分割された位置（座標）の間隔をΔｘ’とする。図２０を参照するに、隣接するｕ_ｉｊの値が異なるΔｘの区間、即ち、ｉ＝５及び６を含むｉ＝４からｉ＝７の区間に関して、再分割を行う。再分割した位置は、ｉ’＝１からｉ’＝１４となる。同様に、図２１を参照するに、隣接するｕ_ｉｊの値が異なるΔｘの区間、即ち、ｉ＝１９及び２０を含むｉ＝１８からｉ＝２１の区間に関して、再分割を行う。再分割した位置は、ｉ’＝１５からｉ’＝２８となる。

これらのｉ及びｉ’に対して、第１の実施形態と同様に、各変数を定義して、混合整数計画問題に置き換える。但し、特定のｉ’と同じ位置（座標）を表すｉ（本実施形態では、ｉ＝５、６、１９、２０）に関しては、式には含めない。

なお、繰り返しにおいては、以前に求めたｕ_ｉｊの値に関しては、定数として扱う。図２０及び図２１では、ｉ＝４以下、或いは、ｉ＝２１以上においてはｕ_ｉｊ＝１が定数となり、ｉ＝７〜１８においてはｕ_ｉｊ＝０が定数となる。これにより、レジストが溶解するか否かの境界となった位置（座標）の近傍の区間のみを詳細に再計算することができる。

ＰＳ_ｊ、Δｘ及びΔｘ’と、光学像の強度分布の値（光強度）がスライスレベル以下になるように固定されている位置の両端の中点（図２０及び図２１では、ｉ＝７及び１８の位置の中点）から、数式群１における式（４）に対応する式を導くことが可能である。また、Ｗｉｄｔｈ_ｊ、Δｘ及びΔｘ’と、光学像の強度分布の値（光強度）がスライスラベル以下になるように固定されている区間（図２０及び図２１では、ｉ＝７〜１８）から、数式群１における式（５）及び式（１２）に対応する式を導くことが可能である。

なお、本実施形態では、カットラインの上に形成されるマスクパターンの光学像（の強度分布）の算出と有効光源の決定とを１回だけ繰り返しているが、繰り返す回数は、何回であってもよい。

図２２は、Ｓ１７１８で決定した新たな有効光源を示す図である。図２３は、図２２に示す有効光源で図２に示すマスクパターンを照明したときに、投影光学系の像面に形成される光学像を示す図である。図２３において、ＰＴはマスクパターンのパターン群を示し、ＩＭは光学像（レジストが残留する部分の境界線）を示している。この際、カットラインＣＬ１乃至ＣＬ６のそれぞれの上に形成されるマスクパターンの光学像の中点位置及び線幅を以下の表８に示す。表３と表８とを比較するに、マスクパターンの光学像の算出と有効光源の決定とを繰り返すことで、カットラインＣＬ１乃至ＣＬ６のそれぞれの上に形成される光学像の位置及び線幅のそれぞれが目標位置及び目標値に更に近づいていることがわかる。

このように、第１の実施形態乃至第６の実施形態における決定方法は、パターンシフト量が許容値の範囲内になるように（即ち、光学像の位置が目標位置に近づくように）、有効光源を最適化（決定）することができる。

本発明は、以下の処理を実行することによっても実現される。即ち、上述した実施形態の機能を実現するソフトウェア（プログラム）を、ネットワーク又は各種の記憶媒体を介してシステム又は装置に供給し、そのシステム又は装置のコンピュータ（又はＣＰＵやＭＰＵ等）がプログラムを読み出して実行する処理である。
＜第７の実施形態＞
以下、図２４を参照して、照明光学系からの光で照明されたマスクのパターンをウエハに転写する露光装置１００について説明する。図２４は、露光装置１００の構成を示す概略ブロック図である。露光装置１００は、照明光学系１８０において、上述した決定方法によって決定された有効光源を形成し、かかる有効光源でマスクを照明する。露光装置１００は、本実施形態では、ステップ・アンド・スキャン方式の露光装置であるが、ステップ・アンド・リピート方式やその他の露光方式も適用することができる。

露光装置１００は、照明装置１１０と、マスク１２０を支持するマスクステージ（不図示）と、投影光学系１３０と、ウエハ１４０を支持するウエハステージ（不図示）とを有する。

照明装置１１０は、光源１６０と、照明光学系１８０とを含み、転写用の回路パターンが形成されたマスク１２０を照明する。光源１６０は、例えば、波長約１９３ｎｍのＡｒＦエキシマレーザ、波長約２４８ｎｍのＫｒＦエキシマレーザなどのエキシマレーザを使用する。但し、光源１６０の種類及び個数は限定されず、例えば、波長約１５７ｎｍのＦ_２レーザや狭帯域化した水銀ランプなどを光源１６０として使用することもできる。照明光学系１８０は、光源１６０からの光を用いてマスク１２０を照明する光学系であって、上述した決定方法によって決定された有効光源を形成する。照明光学系１８０は、引き回し光学系１８１と、ビーム整形光学系１８２と、偏光制御部１８３と、位相制御部１８４と、射出角度保存光学素子１８５と、リレー光学系１８６と、多光束発生部１８７とを含む。また、照明光学系１８０は、偏光状態調整部１８８と、計算機ホログラム１８９と、リレー光学系１９０と、アパーチャ１９１と、ズーム光学系１９２と、多光束発生部１９３と、開口絞り１９４と、照射部１９５とを含む。

引き回し光学系１８１は、光源１６０からの光を偏向してビーム整形光学系１８２に導光する。ビーム整形光学系１８２は、光源１６０からの光の断面形状の縦横比率を所定の値に変換する（例えば、断面形状を長方形から正方形にする）。ビーム整形光学系１８２は、多光束発生部１８７を照明するために必要な大きさ及び発散角を有する光束を形成する。

偏光制御部１８３は、例えば、直線偏光子などで構成され、不要な偏光成分を除去する機能を有する。偏光制御部１８３で除去（遮光）される偏光成分を最小限にすることで、光源１６０からの光を効率よく所定の直線偏光にすることができる。位相制御部１８４は、偏光制御部１８３によって直線偏光となった光にλ／４の位相差を与えて円偏光に変換する。射出角度保存光学素子１８５は、例えば、オプティカルインテグレータ（複数の微小レンズで構成されたハエの目レンズやファイバーなど）で構成され、一定の発散角度で光を射出する。リレー光学系１８６は、射出角度保存光学素子１８５から射出された光を多光束発生部１８７に集光する。射出角度保存光学素子１８５の射出面と多光束発生部１８７の入射面とは、リレー光学系１８６によって、互いにフーリエ変換の関係（物体面と瞳面の関係、又は、瞳面と像面の関係）になっている。多光束発生部１８７は、偏光状態調整部１８８及び計算機ホログラム１８９を均一に照明するためのオプティカルインテグレータで構成される。多光束発生部１８７の射出面には、複数の点光源からなる２次光源が形成される。多光束発生部１８７から射出された光は、円偏光として偏光状態調整部１８８に入射する。

偏光状態調整部１８８は、位相制御部１８４によって円偏光となった光にλ／４の位相差を与えて所定の偏光方向を有する直線偏光に変換する。偏光状態調整部１８８から射出された光は、直線偏光として回折光学素子として機能する計算機ホログラム１８９に入射する。本実施形態では、偏光状態調整部１８８は、計算機ホログラム１８９よりも光源側に配置されているが、偏光状態調整部１８８と計算機ホログラム１８９との配置関係を入れ替えてもよい。また、偏光状態調整部１８８をサブ波長構造（ＳＷＳ：Ｓｕｂ Ｗａｖｅｌｅｎｇｔｈ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ）で構成した場合には、１つの素子で偏光状態調整部と回折光学素子の機能を有する（即ち、回折光学素子と一体的に構成する）ことができる。

計算機ホログラム１８９は、リレー光学系１９０を介して、アパーチャ１９１の位置に、上述した決定方法で決定された有効光源（光強度分布）、例えば、図４に示すような有効光源を形成する。また、計算機ホログラム１８９は、輪帯照明や４重極照明などを形成することも可能であり、偏光状態調整部１８８と協同して、タンジェンシャル偏光やラディアル偏光などを実現することもきできる。このような互いに異なる有効光源を形成する複数の計算機ホログラム１８９は、例えば、ターレットなどの切り替え部に配置される。そして、上述した決定方法によって決定された有効光源に対応する計算機ホログラム１８９を照明光学系１８０の光路に配置することで、様々な有効光源を形成することができる。

アパーチャ１９１は、計算機ホログラム１８９によって形成された有効光源（光強度分布）のみを通過させる機能を有する。計算機ホログラム１８９とアパーチャ１９１とは、互いにフーリエ変換の関係になるように配置されている。ズーム光学系１９２は、計算機ホログラム１８９によって形成された有効光源を所定の倍率で拡大して多光束発生部１９３に投影する。多光束発生部１９３は、照明光学系１８０の瞳面に配置され、アパーチャ１９１の位置に形成された光強度分布に対応した光源像（有効光源）を射出面に形成する。多光束発生部１９３は、本実施形態では、ハエの目レンズやシリンドリカルレンズアレイなどのオプティカルインテグレータで構成される。なお、多光束発生部１９３の射出面の近傍には、開口絞り１９４が配置される。照射部１９５は、コンデンサー光学系などを含み、多光束発生部１９３の射出面に形成される有効光源でマスク１２０を照明する。

マスク１２０は、転写すべき回路パターン（主パターン）と補助パターンとを有する。マスク１２０は、図示しないマスクステージに支持及び駆動される。マスク１２０からの回折光は、投影光学系１３０を介して、ウエハ１４０に投影される。露光装置１００は、ステップ・アンド・スキャン方式の露光装置であるため、マスク１２０とウエハ１４０とを走査することによって、マスク１２０のパターンをウエハ１４０に転写する。

投影光学系１３０は、マスク１２０のパターンをウエハ１４０に投影する光学系である。投影光学系１３０は、屈折系、反射屈折系、或いは、反射系を使用することができる。

ウエハ１４０は、マスク１２０のパターンが投影（転写）される基板であり、図示しないウエハステージに支持及び駆動される。但し、ウエハ１４０は、ガラスプレートやその他の基板に置き換えることもできる。ウエハ１４０には、レジストが塗布されている。

露光において、光源１６０からの光は、照明光学系１８０によってマスク１２０を照明する。マスク１２０のパターンを反映する光は、投影光学系１３０によってウエハ１４０の上に結像する。この際、マスク１２０は、上述した決定方法によって決定された有効光源で照明される。従って、露光装置１００は、高いスループットで経済性よく高品位なデバイス（半導体素子、ＬＣＤ素子、撮像素子（ＣＣＤなど）、薄膜磁気ヘッドなど）を提供することができる。かかるデバイスは、露光装置１００を用いてフォトレジスト（感光剤）が塗布された基板（ウエハ、ガラスプレート等）を露光する工程と、露光された基板を現像する工程と、その他の周知の工程と、を経ることによって製造される。

以上、本発明の好ましい実施形態について説明したが、本発明はこれらの実施形態に限定されないことはいうまでもなく、その要旨の範囲内で種々の変形及び変更が可能である。

Claims (10)

1. マスクを照明する照明光学系と、前記マスクのパターンを基板に投影する投影光学系とを備える露光装置において前記照明光学系の瞳面に形成すべき光強度分布を決定する決定方法であって、
   前記投影光学系の物体面に配置するマスクのパターンを設定する第１のステップと、
   前記投影光学系の像面に形成される前記第１のステップで設定したマスクのパターンの光学像を評価するためのカットラインを前記投影光学系の像面に設定する第２のステップと、
   前記照明光学系の瞳面に形成される互いに異なる複数の要素光源を生成する第３のステップと、
   前記第３のステップで生成した複数の要素光源のそれぞれについて、前記複数の要素光源のそれぞれで前記マスクのパターンを照明したときに前記第２のステップで設定したカットラインの上に形成される前記マスクのパターンの光学像を算出する第４のステップと、
   前記第４のステップで算出した光学像に基づいて、前記マスクのパターンの光学像の前記カットラインの上のエッジの間の中点の位置を目標位置に近づけるように、前記複数の要素光源のそれぞれに与える重み付けを決定し、前記重み付けを与えた前記複数の要素光源を合成した光源を前記照明光学系の瞳面に形成すべき光強度分布として決定する第５のステップと、
   を有することを特徴とする決定方法。
2. 前記第５のステップでは、混合整数計画法によって、前記マスクのパターンの光学像の前記カットラインの上のエッジ間の中点の位置を目標位置に近づけるように、前記照明光学系の瞳面に形成すべき光強度分布を決定し、
   前記混合整数計画法では、光学像の強度が閾値を超える場合に第１の整数値をとり、光学像の強度が前記閾値を超えない場合に第２の整数値をとる変数を用い、
   前記変数は、前記第４のステップで算出した前記マスクのパターンの光学像の位置ごとに設定されることを特徴とする請求項１に記載の決定方法。
3. 前記投影光学系の像面からデフォーカスした複数のデフォーカス面を設定するステップを更に有し、
   前記第４のステップでは、前記複数のデフォーカス面のそれぞれについても、前記第２のステップで設定したカットラインに対応する位置の上に形成される前記マスクのパターンの光学像を算出し、
   前記第５のステップでは、前記複数のデフォーカス面のそれぞれについて算出した光学像にも基づいて、前記マスクのパターンの光学像の前記カットラインの上のエッジの間の中点の位置を前記複数のデフォーカス面のそれぞれの目標位置に近づけるように、前記複数の要素光源のそれぞれに与える重み付けを決定し、前記重み付けを与えた前記複数の要素光源を合成した光源を前記照明光学系の瞳面に形成すべき光強度分布として決定することを特徴とする請求項１に記載の決定方法。
4. 前記第３のステップは、前記複数の要素光源のそれぞれについて強度を比例倍した比例倍要素光源を生成するステップを含み、
   前記第４のステップでは、前記比例倍要素光源についても、前記第２のステップで設定したカットラインに対応する位置の上に形成される前記マスクのパターンの光学像を算出し、
   前記第５のステップでは、前記比例倍要素光源について算出した光学像にも基づいて、前記マスクのパターンの光学像の前記カットラインの上のエッジの間の中点の位置を目標位置に近づけるように、前記複数の要素光源のそれぞれに与える重み付けを決定し、前記重み付けを与えた前記複数の要素光源を合成した光源を前記照明光学系の瞳面に形成すべき光強度分布として決定することを特徴とする請求項１に記載の決定方法。
5. 前記第４のステップでは、前記マスクのパターンの光学像のエッジを含むエッジ領域に含まれる第１の個数の位置のそれぞれについて光学像の強度を算出し、
   前記第５のステップで決定した光強度分布で前記マスクのパターンを照明したときに前記カットラインの上に形成される前記マスクのパターンの光学像のエッジを含むエッジ領域を特定し、前記第３のステップで生成した複数の要素光源のそれぞれについて、当該特定したエッジ領域において前記第１の個数よりも多い第２の個数の位置のそれぞれについて光学像の強度が算出されるように、前記カットラインの上に形成される前記マスクのパターンの光学像を算出する第６のステップと、
   前記第６のステップで算出した光学像に基づいて、前記マスクのパターンの光学像の前記カットラインの上のエッジの間の中点の位置を目標位置に近づけるように、前記複数の要素光源のそれぞれに与える重み付けを決定し、前記重み付けを与えた前記複数の要素光源を合成した光源を前記照明光学系の瞳面に形成すべき新たな光強度分布として決定する第７のステップと、
   を更に有することを特徴とする請求項１に記載の決定方法。
6. 前記第５のステップでは、前記第４のステップで算出した光学像に基づいて、前記マスクのパターンの光学像の前記カットラインの上のエッジの間の中点の位置を目標位置に近づけるように、且つ、前記マスクのパターンの光学像の前記カットラインの上の寸法を目標寸法値に近づけるように、前記複数の要素光源のそれぞれに与える重み付けを決定し、前記重み付けを与えた前記複数の要素光源を合成した光源を前記照明光学系の瞳面に形成すべき光強度分布として決定することを特徴とする請求項１に記載の決定方法。
7. マスクを照明する照明光学系と、前記マスクのパターンを基板に投影する投影光学系とを備える露光装置において前記照明光学系の瞳面に形成すべき光強度分布を決定する決定方法であって、
   前記投影光学系の物体面に配置するマスクのパターンを設定する第１のステップと、
   前記投影光学系の像面に形成される前記第１のステップで設定したマスクのパターンの光学像を評価するためのカットラインを前記投影光学系の像面に設定する第２のステップと、
   前記照明光学系の瞳面に形成される互いに異なる複数の要素光源を生成する第３のステップと、
   前記第３のステップで生成した複数の要素光源のそれぞれについて、前記複数の要素光源のそれぞれで前記マスクのパターンを照明したときに前記第２のステップで設定したカットラインの上に形成される前記マスクのパターンの光学像を算出する第４のステップと、
   前記第４のステップで算出した光学像に基づいて、前記マスクのパターンの光学像の前記カットラインの上の位置を目標位置に近づけるように、且つ、前記マスクのパターンの光学像の前記カットラインの上の寸法を目標寸法値に近づけるように、前記複数の要素光源のそれぞれに与える重み付けを決定し、前記重み付けを与えた前記複数の要素光源を合成した光源を前記照明光学系の瞳面に形成すべき光強度分布として決定する第５のステップと、
   を有することを特徴とする決定方法。
8. 請求項１乃至７のうちいずれか１項に記載の決定方法を用いて決定された光強度分布を形成する照明光学系から射出した光でマスクを照明するステップと、
   前記マスクのパターンの像を、投影光学系を介して基板に投影するステップと、
   を有することを特徴とする露光方法。
9. マスクを照明する照明光学系と、前記マスクのパターンを基板に投影する投影光学系とを備える露光装置において前記照明光学系の瞳面に形成すべき光強度分布を決定する決定方法をコンピュータに実行させるためのプログラムであって、
   前記コンピュータに、
   前記投影光学系の物体面に配置するマスクのパターンを設定する第１のステップと、
   前記投影光学系の像面に形成される前記第１のステップで設定したマスクのパターンの光学像を評価するためのカットラインを前記投影光学系の像面に設定する第２のステップと、
   前記照明光学系の瞳面に形成される互いに異なる複数の要素光源を生成する第３のステップと、
   前記第３のステップで生成した複数の要素光源のそれぞれについて、前記複数の要素光源のそれぞれで前記マスクのパターンを照明したときに前記第２のステップで設定したカットラインの上に形成される前記マスクのパターンの光学像を算出する第４のステップと、
   前記第４のステップで算出した光学像に基づいて、前記マスクのパターンの光学像の前記カットラインの上のエッジの間の中点の位置を目標位置に近づけるように、前記複数の要素光源のそれぞれに与える重み付けを決定し、前記重み付けを与えた前記複数の要素光源を合成した光源を前記照明光学系の瞳面に形成すべき光強度分布として決定する第５のステップと、
   を実行させることを特徴とするプログラム。
10. マスクを照明する照明光学系と、前記マスクのパターンを基板に投影する投影光学系とを備える露光装置において前記照明光学系の瞳面に形成すべき光強度分布を決定する決定方法をコンピュータに実行させるためのプログラムであって、
    前記コンピュータに、
    前記投影光学系の物体面に配置するマスクのパターンを設定する第１のステップと、
    前記投影光学系の像面に形成される前記第１のステップで設定したマスクのパターンの光学像を評価するためのカットラインを前記投影光学系の像面に設定する第２のステップと、
    前記照明光学系の瞳面に形成される互いに異なる複数の要素光源を生成する第３のステップと、
    前記第３のステップで生成した複数の要素光源のそれぞれについて、前記複数の要素光源のそれぞれで前記マスクのパターンを照明したときに前記第２のステップで設定したカットラインの上に形成される前記マスクのパターンの光学像を算出する第４のステップと、
    前記第４のステップで算出した光学像に基づいて、前記マスクのパターンの光学像の前記カットラインの上の位置を目標位置に近づけるように、且つ、前記マスクのパターンの光学像の前記カットラインの上の寸法を目標寸法値に近づけるように、前記複数の要素光源のそれぞれに与える重み付けを決定し、前記重み付けを与えた前記複数の要素光源を合成した光源を前記照明光学系の瞳面に形成すべき光強度分布として決定する第５のステップと、
    を実行させることを特徴とするプログラム。