JP2011125698A - 断層撮像法またはビュー低減トモシンセシスにより取得した画像を処理するための方法 - Google Patents

Abstract

【課題】中間的な３Ｄ画像の保存を必要としない反復再構成法を提供する。
【解決手段】撮像システムを用いて対象物の複数の２Ｄ投影画像を収集するＲｆ＝ｓ（ここで、ｓは収集投影のベクトルであり、Ｒは撮像システムをモデル化する投影演算子であり、またｆはＲ及びｓの知見により再構成しようとする対象物の３Ｄ画像である）により規定される収集し、その反復により規定される反復式アルゴリズムを適用して収集２Ｄ投影画像の処理し、各反復においてその対象物の３Ｄ画像が特性ｆ^（ｎ）＝Ｒ＾ｐ^（ｎ）（Ｒ＾はＲ＾Ｒｆが３Ｄ画像であるような行列）に従った処理済み２Ｄ投影画像の線形関数であるように規定される各反復において少なくとも１つの処理済み投影画像組が生成されている処理ステップと、を含む。
【選択図】図１

Description

本発明は、例えば患者内の関心領域の一部など対象物に対する撮像システムによって関心領域の周りの異なる箇所から撮像した関心領域の１次元像または２次元像からなる組のそれぞれに基づいた２次元（２Ｄ）または３次元（３Ｄ）画像の再構成に関する。本発明は特に、断層撮像再構成またはビュー低減（Ｆｅｗ−Ｖｉｅｗ）断層撮像法による医用撮像に用途が見出せる。

断層撮像法では、対象物の関心領域について投影の収集によってスライス画像を作成することが可能である。

図１は、身体臓器の２Ｄ画像の収集並びにこの臓器のトモシンセシスによる３Ｄ画像としての再構成について模式的に表している。

線源Ｓから導出されるＸ線Ｒは臓器Ｏに向けて様々な角度（１，．．．，ｉ，．．．，ｎ）で放出される。これらのＸ線は臓器を通過した後、２Ｄ投影組ｓ_１，．．．，ｓ_ｉ，．．．，ｓ_ｎを形成する検出器Ｄ_ｅｔによって検出される。検討対象の角度の数と同じだけ収集２Ｄ投影が存在することに留意すべきである。角度のすべてによって少なくとも半円がカバーされていれば、断層撮像法（ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ）という用語が使用される。この条件が満たされない場合（例えば、円の弧が１８０度（直線）未満である場合）は、トモシンセシス（ｔｏｍｏｓｙｎｔｈｅｓｉｓ）という用語が使用される。

収集は、Ｘ線源と対向するように位置決めされた検出器（例えば、ディジタル式カメラ）を用いて取得される。

断層撮像法の用途の１つは臓器内の病変部（例えば、がん病変）の検出及び特徴付けである。***に対してはトモシンセシスが使用される。

収集した２Ｄ投影は対象物の３Ｄ画像の再構成に使用される。この３Ｄ画像はより厳密には、Ｘ線がその内部を通過した媒質のＸ線減衰係数の３Ｄマップである。

観察されるコントラストの差に関連させてこの画像を解釈するために放射線医によって使用されるのは、このマッピングである。

この画像の３Ｄ再構成は（特に、再構成に反復式アルゴリズムが使用される場合に）費用がかかる複雑な操作となる。

反復式の３Ｄ再構成法が知られている。この方法は、形態学的（ｔｏｐｏｇｒａｐｈｉｃ）再構成問題の離散行列表現に基づく。

より厳密には、この問題は次式によってモデル化することができる。

Ｒｆ＝ｓ
上式において、ｓは収集投影のベクトルであり、Ｒは形態学的撮像システムをモデル化する投影演算子であり、またｆは再構成しようとする対象物の３Ｄ画像である。

断層画像再構成で解決すべき問題は、ｓ及びＲの知見を有するｆを決定することである。

３Ｄ画像ｆの正確な再構成には、断層撮像法の制約下で計測されたその３Ｄ画像を形成する未知数の数と少なくとも同じ大きさの計測値の組（すなわち、サンプリングピッチが非常に小さくかつ対象物の周りを１８０度回転させた計測値）が理論上必要である。

このことは実際上、以下の理由から不可能であることが分かっている。

理由の第１は、トモシンセシスタイプの検査では、撮像対象の周りの１８０°において計測値を取得することが可能ではなく、また第２にはサンプリングピッチが小さいほど計測値の数がそれだけ多くなるため、検査時間が長くなりこれにより付与されるＸ線線量が多くなるためである。

したがってこうしたことは、３画像のサイズがデータのサイズと比べてかなり大きい（すなわち、極めて多数の可能な解を有する系を解くことになることが含意される）ような断層撮像法において頻繁に生じている。

再構成法の選択によって、目的の用途にとって受容可能な解となるような３Ｄ画像を見出すことが可能である。

さらに、３画像の周知の空間再構成法は、その解の再構成ｆ^（ｎ）が再構成ｆ^{（ｎ−１）}から次式のようにして生成されるような反復Ａが規定する反復式アルゴリズムの形態をとる。

ｆ^（ｎ）＝Ａ［ｆ^{（ｎ−１）}］
再構成列ｆ^（ｎ）内のｆ^（０）で表される初期再構成から始め、反復Ｎにおける再構成が次式のように取得される。

ｆ^（Ｎ）＝Ａ［ｆ^{（Ｎ−１）}］＝Ａ［Ａ［ｆ^{（Ｎ−２）}］］
＝Ａ^２［ｆ^{（Ｎ−２）}］＝．．．＝Ａ^ｉ［ｆ^{（Ｎ−ｉ）}］＝．．．＝Ａ^Ｎ［ｆ^（０）］
このアルゴリズムでは、イニシャライズステップの保存、中間再構成の保存、並びに再構成のアーカイブ（すなわち、保存が同時に実施されるか逐次式に実施されるかに応じて１つまたは複数の３Ｄ画像の保存）が必要となり、また収集データの量（投影数は少ない）と比べてかなり多くのデータ生成量を示している。

周知の方法の幾つかでは、離散行列（すなわち、線形の）演算を使用する。これら演算のうちの幾つかは線形系Ｒｆ＝ｓの解法に関連し、また別の演算は２次誤差

の最小化及び関連系Ｒ^ｔＲｆ＝Ｒ^ｔｓ（ここで、Ｒ^ｔはＲの転置行列）の最小化に関連し、また別のものは系

（ここで、

は

が３Ｄ画像となるような行列）を解くことによって前述の方式を一般化する。文献≪ＣＩＡＲＬＥＴ， Ｐ．Ｇ．， Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ａ ｌ’Ａｎａｌｙｓｅ Ｎｕｍｅｒｉｑｕｅ Ｍａｔｒｉｃｉｅｌｌｅ ｅｔ ａ ｌ’Ｏｐｔｉｍｉｓａｔｉｏｎ， Ｍａｓｓｏｎ， Ｐａｒｉｓ， １９８２≫を参照することが可能である。

さらに最近、フィルタ（該フィルタは被検体の反復再構成により取得される）を反復式に計算し、このフィルタを収集投影時の各撮像対象に適用し反復計算を全く行わずに対象物の再構成ボリュームを取得することが提唱された。これに関しては、米国特許第７４４７２９５号の文献を参照することが可能である。この方式では、反復法の場合と比較して必要な計算パワーが低減される。しかし、反復再構成をフィルタ処理に置き換えるとデータの喪失が生じる。したがってこれは、一種の近似法である。

米国特許第７４４７２９５号

本発明は、中間的な３Ｄ画像の保存を必要としない反復法を提唱する。

第１の態様では本発明は、対象物の複数の２Ｄ投影画像を収集するＲｆ＝ｓ（ここで、ｓは収集投影のベクトルであり、Ｒは撮像システムをモデル化する投影演算子であり、またｆはＲ及びｓの知見を有する再構成しようとする対象物の３Ｄ画像である）により規定される収集ステップと；収集２Ｄ投影画像を処理するための処理ステップと；を含む断層撮像法またはトモシンセシスにより取得した画像を処理するための方法に関する。

本発明の第１の態様による方法は、投影画像の処理が、各反復ｎ＝１，．．．，Ｎにおいて少なくとも１つの処理済み投影画像組ｐ^（ｎ）を生成するような反復Ｖにより規定される反復式アルゴリズムの適用からなることを特徴とする。

反復Ｖは、特性

（

は

が３Ｄ画像であるような行列）に従って各反復において対象物の３Ｄ画像が処理済み２Ｄ投影画像の線形関数となるように規定される。

反復式アルゴリズムＶに関連する制約を考慮して、１組の２Ｄ投影画像だけが取り扱われる。これによって、この方法の任意の時点（イニシャライズｎ＝０、中間計算０＜ｎ＜Ｎ、アーカイブｎ＝Ｎ）において収集計測値の組と比べてそのサイズがかなり大きい３Ｄ画像の全体の保存の必要性が回避される。

さらに式

は、観察ステップ中にだけ計算されるような十分に単純な方式で決定される。詳細にはこの式では、処理済み２Ｄ画像ｐ^（Ｎ）のすべてが必要となるが、ｆ^（Ｎ）のうち観察される当該部分のみを計算し保存するだけでよい。

ボリュームの切断面のすべてを同時に観察する可能性はなくまたその必要もなく単に逐次的であるため、３Ｄ画像ｆ^（Ｎ）のサイズ全体に対応するような記憶手段を用いることは不要である。要約すると、３Ｄ画像全体の保存は再構成ステップ中も、またアーカイブ中も、また観察ステップ中でも必要としない。

３Ｄ画像ドメイン内の行列

に関連する反復Ａによって規定される（したがって、少なくとも１つの保存済み３Ｄ画像のそっくり全体の処理、保存及びアーカイブを要求する）ような周知のアルゴリズムでは、２Ｄ投影画像の形式で処理された画像シーケンスを生成する反復Ｖと対象物の再構成の処理済み投影からの生成を可能にする線形の制約

とによって規定されるアルゴリズムが存在し、これによりＶ及び

により取得した再構成がＡにより生成されたものと数学的に等価となり３Ｄ画像の全体の保存を必要としないことが分かる。

さらにこの計算時間は再構成しようとする各３Ｄ画像サンプリングに比例する一方、２Ｄ投影画像の保存により占有されるサイズは一定である。

したがって再構成した３Ｄ画像に対するサンプリングを検討下の処理ユニットの記憶容量を超えて調整すること、またしたがってこのユニット上では実現不可能であり記憶ユニットをかなり増強した別のユニット上でのみ可能であるような反復Ａと等価な反復Ｖをこのユニット上で実現することが可能である。

本発明の第１の態様に従った方法の別の特徴は以下の如くである。
◎ 本方法は決定しようとする対象物の３Ｄ再構成ステップ（Ｓ２）

（ここで、Ｎは固定の反復回数）を含むこと。
◎ 各反復ｎ＝１，．．．，ＮにおいてアルゴリズムＶは、処理済み投影画像組ｐ^（ｎ）＝Ｖ［ｐ^{（ｎ−１）}］を生成しており、反復Ｖは投影画像の空間内の任意のベクトルｐに関して次の方式

（ここで、ｐ^（０）＝ρｓさもなければｐ^（
０）＝０であり、ｓは収集２Ｄ投影画像の組であり、ρは

であるように固定されたパラメータであるため本方法の収束が保証されており、かつＩは正方単位行列である）により規定されること。
◎ 各反復においてアルゴリズムＶは、次式により与えられるのが典型的であるような共役勾配法を用いて処理済み投影画像の組（ｐ^（ｎ），ｑ^（ｎ），ｔ^（ｎ））＝Ｖ［（ｐ^{（ｎ−１）}，ｑ^{（ｎ−１）}，ｔ^{（ｎ−１）}）］を生成すること。

上式において、ｐ、ｑ、ｔはｐ^（０）が任意（典型的にはゼロまたは収集２Ｄ投影画像のベクトルｓに等しい）となるようにしており、かつｑ^（０）＝ｔ^（０）＝ＲＲ^ｔｐ^（０）−ｓである。
◎ 各反復においてアルゴリズム

は、

（ここで、Θ（ｎ）とΦ（ｎ）はそれぞれ各反復ｎに関して規定される収集投影計測値の指標の第１の部分組と第２の部分組であって該２つの部分組は単独でありこれらが結合されて収集２Ｄ投影画像のベクトルｓの全体を指標付けしており、また

と

はΘ（ｎ）とΦ（ｎ）のそれぞれに属する対角線の指標を除けばその係数がすべてゼロであるような１に等しくこれにより

である（ここで、

さもなければｐ^（０）＝０）ような行列であり、かつ

は

であることによって本方の収束を保証するような固定のパラメータである）によって投影画像組

を生成すること。
◎ 本方法は再構成３Ｄ画像から導出されるスライスの抽出を含むこと。
◎ 本方法は３Ｄ画像のサンプリングに対する任意の微調整を含むこと。

第２の態様では本発明は、本発明の第１の態様に従った方法を実現するための手段を備えた医用撮像システムに関する。

第３の態様では本発明は、本発明の第１の態様に従った方法のステップを実行するためのプログラムコード命令を備えたコンピュータプログラム成果物に関する。

本発明の別の特徴及び利点は、既に説明した図１に加えて添付の図面を参照しながら単に例示であり非限定の以下の説明を読むことにより明らかとなろう。
身体臓器の２Ｄ画像の収集並びに臓器のトモシンセシス３Ｄ画像としての再構成を表した概要図である。 本発明の方法を実現するための医用撮像システムを表した概要図である。 本発明による方法の各ステップを表した概要図である。 本発明の方法の各ステップを詳細に表した概要図である。

［医用撮像システム］
図２は、臓器の３Ｄ画像を再構成するように２Ｄ投影画像を収集するための医用撮像システム１の概要を表している。

前記システムは、乳がんのスクリーニング、診断及び治療において病変部を検出し特徴付けるためのマンモグラフィ装置とすることがある。

医用撮像システム１は、画像収集システム３、画像処理システム５及び表示システム４を備える。

収集システム３は、患者内の関心領域（臓器）の複数の２Ｄ投影を収集するために使用される。収集システム３はとりわけ、Ｘ線源と対向するように位置決めされた検出器Ｄ_ｅｔからなる。この検出器は例えばディジタル式カメラである。収集システムは、対象物２上へのＸ線の放出並びに得られる画像の収集を可能にする任意の周知の手段を備えたＸ線による収集システムである。

表示システム４は画像収集システム３または画像処理システム５内に組み込むことが可能であり、あるいは収集システム３や処理システム５から分離させることが可能である。表示システム４は例えば、コンピュータ画面、モニタ、フラットスクリーン、プラズマ画面、あるいは市販の周知の任意のタイプの表示デバイスである。表示システム４は、収集２Ｄ画像の再構成及び／または表示に対する制御を施術者に提供する。

処理システム５は、処理方法（例えば、２Ｄ画像からの３Ｄ画像の再構成）を実現するように適応させている。処理システム５は画像収集システム３内に組み込むことが可能であり、あるいは画像収集システム３から分離させることが可能である。処理システム５は例えば、１つまたは複数のコンピュータ、１つまたは複数のプロセッサ、１つまたは複数のマイクロコントローラ、１つまたは複数のマイクロコンピュータ、１つまたは複数のプログラム可能な論理制御器、１つまたは複数の特定用途向け集積回路、ワークステーションなどのコンピュータを含む別のプログラム可能回路その他のデバイスである。処理システム５は、処理システム５内への組み込むことや処理システム５から分離させることが可能な記憶手段６に結合させている。これらの手段は、ハードディスクやＳＳＤ、あるいは任意の別の着脱式リライト記憶手段（ＵＳＢキー、メモリカード、その他）からなることがある。これらの記憶手段は、臓器の観察対象領域の３Ｄ画像を収集済みまたは処理済みの２Ｄ画像として保存する役割をすることがある。これらの手段は、処理システム５のＲＯＭ／ＲＡＭメモリ、ＵＳＢキー、メモリカード、中央サーバーメモリとすることがある。処理システム５は、ディスクやＣＤ−ＲＯＭなどの命令媒体（図示せず）から、またより一般的には任意の着脱式メモリ媒体からやさらにはネットワーク接続を介して処理法（以下で説明する）の命令を読み取るための読み取りデバイス（図示せず）（例えば、ディスク読み取り装置やＣＤ−ＲＯＭ読み取り装置）を備えることがある。一変形形態として処理システム５は有線式やワイヤレス式のネットワーク接続デバイス（図示せず）を備えることがある。一変形形態として処理システム５は、マイクロソフトウェア（図示せず）内に保存された処理法（以下で説明する）の命令を実行する。

［画像処理方法に関する一般的な説明］
この画像処理方法は、複数の２Ｄ投影画像ｓ_ｉ（ｉ＝１，．．．，Ｍ＞１）（Ｍは対象物の収集２Ｄ投影画像数）を収集する収集ステップＳ０と、収集した２Ｄ投影画像を処理する処理ステップＳ１と、を含む。

３Ｄ再構成の保存に関する記憶要件の制限を可能にするのはこの処理ステップＳ１の最適化である。

より厳密には、各反復の際に処理済み２Ｄ投影画像ｐを取得するために収集投影画像に対して反復式アルゴリズムが適用され、これにより各反復ｎにおいて対象物の３Ｄ画像が処理済み２Ｄ投影画像の線形関数になるようにする。

詳細にはこのアルゴリズムは、各反復ｎ＝１，．．．，Ｎにおいて対象物の３Ｄ画像が特性

に従った処理済み２Ｄ投影画像の線形関数となるような処理済み投影画像組ｐ^（ｎ）＝Ｖ［ｐ^{（ｎ−１）}］＝Ｖ^ｎ［ｐ^（０）］を生成するようなその反復Ｖによって規定される。各反復ｎにおいて単に２Ｄ投影組を使用して対象物の再構成３Ｄ画像に至ることが可能であることを示しているのはこの式である。

処理ステップＳ１はイニシャライズステップＳ１０と、その間に反復Ｖが適用されるステップＳ１１（図４参照）と、を含むことに留意されたい。

本処理ステップで必要なのは、（収集済み及び／または処理済みの）画像組の保存だけであり、ボリュームの保存は不要である。

２Ｄ画像ドメインで使用される３つのアルゴリズムを以下で詳述することにする。これらのアルゴリズムのそれぞれについて、３Ｄ画像ドメインで使用される周知の反復再構成アルゴリズムと等価なものを示している。

［第１のアルゴリズム］
≪逐次近似≫と呼ぶ最初の従来式アルゴリズムは、次式で規定される反復Ａからなる。

上式において、Ｉは１に等しい対角線上を除いてその係数がすべてゼロである正方単位行列であり、

は

が３Ｄ画像であるような行列であり、またρは本方法の収束を保証するように

としたアプリオリに固定のパラメータである。

このアルゴリズムは系

の解に向かって収束することが分かっている。

が可逆的であれば、この解はさらにＲｆ＝ｓを満たす。

であれば、評価シーケンスは次式となるような解に向かって収束する。

実際上、十分大きい整数Ｎは固定であり、これに関してｐ^（０）＝０またはｐ^（０）＝ρｓとして

によってｎ＝１，．．．，Ｎに対してｆ^（ｎ）＝Ａ［ｆ^{（ｎ−１）}］が計算される。

この標準アルゴリズムでは、各反復においてかなりの数のデータ（少なくとも１つの３Ｄ画像の全体）の保存を必要とする３Ｄ画像が取り扱われる（

）ことは確かである。

２Ｄ画像を保存させるためだけでも、ｐ^（０）＝０またはｐ^（０）＝ρｓとしてｎ＝１，．．．，Ｎについて（すなわち、

となるように）評価シーケンスｐ^（ｎ）＝Ｖ［ｐ^{（ｎ−１）}］を計算することによって反復Ｖにより規定されるアルゴリズムが適用される。

反復Ｖは２Ｄ投影画像の空間内の任意のベクトルｐに関して以下の方式で規定される。

であれば次式が得られることに留意されたい。

したがって単純な繰り返しによって、

であれば、その１つが反復Ｖにより２Ｄ画像ドメインにおいて規定されかつもう１つが反復Ａによって３Ｄ画像ドメインにおいて規定されるような２つのアルゴリズムによって３Ｄ画像の同じ系列ｆ^（ｎ）が与えられることが分かっている（これは、次式が成り立つことが分かっているためである）。

しかし制約ｐ＝Ｒｆが存在する場合は次式のようになるためこれが成立しないことを指摘しておくべきであろう。

［第２のアルゴリズム］

であるような具体的な場合では、第１のアルゴリズム（上に述べたアルゴリズム）によって２次最適化問題に対する解が与えられる。

しかし、共役勾配のアルゴリズムによれば、視覚的に受容可能な画像を得るための計算に必要な反復回数をかなり削減できるという点において、この最適化問題に対するより効率的な解が与えられることが知られている。

他方、記憶の観点からいうと共役勾配は第１に記載したアルゴリズムと比べてかなり大きな記憶容量を必要とする。

２Ｄ投影画像ドメインと３Ｄ画像ドメインの両方に関してこれを実現できることを以下に示すことにする。

自体周知の方式において３Ｄ画像ドメインでは、以下に示すように反復Ａを規定することによって共役勾配のアルゴリズムを実現することが可能である。

（ｆ^（ｎ），ｒ^（ｎ），ｄ^（ｎ））＝Ａ［（ｆ^{（ｎ−１）}，ｒ^{（ｎ−１）}，ｄ^{（ｎ−１）}）］
並びに

上式において、Ｒは収集システムをモデル化する行列であり、Ｒ^ｔはその転置行列であり、ｆ^（ｎ）は反復ｎにおける問題に対する解の評価３Ｄ画像であり、ｒ^（ｎ）及びｄ^（ｎ）は予備（ａｕｘｉｌｉａｒｙ）３Ｄ画像であり、また記号

はα及びβが２つの実数となるような２つのベクトルのスカラー積を意味している。

３Ｄ画像の空間内の３つのベクトルは次式のようにイニシャライズしている。

ｆ^（０）＝Ｒ^ｔｐ^（０），ｒ^（０）＝ｄ^（０）＝Ｒ^ｔ（Ｒｆ^（０）−ｓ）
上式において、ｓは収集２Ｄ投影画像の組であり、ｐ^（０）は任意であるが実際上は０またはｓに等しくなるように選択される。

前記実現形態では４つのボリュームｆ^（ｎ），ｒ^（ｎ），ｄ^（ｎ），Ｒ^ｔＲｄ^（ｎ）を同時に記憶することが必要であることは容易に確かめられよう。

上述したように、以下の変数を変更することによってこれらの３Ｄ画像の記憶を省くことが可能である。

（この目的の設定の場合）
上式において、（ｐ^（ｎ），ｑ^（ｎ），ｔ^（ｎ））は２Ｄ投影画像の空間内のベクトルのトリオ（ｔｒｉｏ）である。ベクトルｐ^（０）は反復Ａに関してイニシャライズされており、かつ次式となる。

ｑ^（０）＝ｔ^（０）＝ＲＲ^ｔｐ^（０）−ｓ
反復Ｖは次式のように規定される。

（ｐ^（ｎ），ｑ^（ｎ），ｔ^（ｎ））＝Ｖ［（ｐ^{（ｎ−１）}，ｑ^{（ｎ−１）}，ｔ^{（ｎ−１）}）］並びに

次いで、ｆ^（Ｎ）＝Ｒ^ｔｐ^（Ｎ）（ここで、ｆは再構成しようとする対象物の３Ｄ画像である）が決定される。

このアルゴリズムでは実際に、各反復において２Ｄ画像だけが保存されており、これにより記憶要件に関するコストを削減させるような再構成の取得が可能となることが確認されている。

したがって、３Ｄ画像ドメインにおける中間ステップｆ^（ｎ），ｒ^（ｎ），ｄ^（ｎ），Ｒ^ｔＲｄ^（ｎ）を２Ｄ画像ドメインにおける中間ステップｓ^（ｎ），ｒ^（ｎ），ｑ^（ｎ），ＲＲ^ｔｑ^（ｎ）によって置き換えることが可能である。共役勾配アルゴリズムに関する反復Ａと反復Ｖの間の等価関係を以下に示す。

先ず任意のｎ＝１，．．．，Ｎについて、２Ｄ画像ドメインにおける反復Ｖに関してはスカラー積α及びβは、以下の式が成り立つため３Ｄ画像ドメインにおける反復Ａと同じであることが分かる。

並びに

次式が成り立つとすると、
ｆ^（ｎ）＝Ｒ^ｔｐ^（ｎ），ｒ^（ｎ）＝Ｒ^ｔｑ^（ｎ），ｄ^（ｎ）＝Ｒ^ｔｔ^（ｎ），ＲＲ^ｔｔ^（ｎ），ＲＲ^ｔｑ^（ｎ）
これにより２Ｄ画像ドメインにおける反復Ｖと３Ｄ画像ドメインにおける反復Ａの間の以下の等価関係が得られることになる。

これにより発明者らは、次式を得た。

発明者らは繰り返しによって、２Ｄ画像ドメインにおける反復Ｖと３Ｄ画像ドメインにおける反復Ａの間の等価関係を示した。

最後に上述のアルゴリズムに関しては、線形の制約（ここでは、ｆ^（Ｎ）＝Ｒ^ｔｐ^（Ｎ））を適用することによって対象物の３Ｄ画像が取得される。

上で与えた共役勾配の公式は、Ｆｌｅｔｃｈｅｒ及びＲｅｅｖｅｓによる公式であるが、共役勾配に関する別の定式化（Ｐｏｌａｋ−Ｒｉｂｉｅｒｅ、Ｇｒａｈａｍ−Ｓｃｈｍｉｄｔ、．．．）によっても同様の推論が可能である。

同様にこの結果は、任意の行列Ｒに関して、あるいは積

が正定値（ｐｏｓｉｔｉｖｅｌｙ ｄｅｆｉｎｅｄ）対称行列である場合に成り立つ。

［第３のアルゴリズム］
「ブロック反復式」と呼ばれるこの第３のアルゴリズムは、計測値の指標のすべてが２つの指標部分組に分割されることになる点で第１のものを一般化したものである。

第１の部分組はΘと表されまた第２の部分組はΦと表される。２つの部分組は単独であり、またこれらを結合させて２Ｄ投影画像のすべてが指標付けされる。

第１の変形形態では、部分組Θは単一の指標（すなわち、所与の単一収集角に対して検出器の単一の計測点）を包含する一方、Φはこれ以外のすべての計測値（すなわち、１つを除くすべて）を指標付けする。この区分は、アルゴリズム「代数的再構成技法（ＡＲＴ）」で使用される。

第２の変形形態では、投影画像を収集する角度の部分組に関して２Ｄ画像のすべてが部分組Θによって指標付けされており、部分組Φは補完的な収集角度位置を指標付けする。この区分は、アルゴリズム「同時代数的再構成技法（ＳＡＲＴ）」で使用される。Θが指標のすべてを包含しかつΦが空であるようなケースは第１のアルゴリズムのケースに対応することに留意されたい。

（あるいは、

）は、１に等しいΘ（あるいは、Φ）に属する対角線の指標を除いてその係数がすべてゼロであるような行列を表すのに使用される。（Θ，Φ）は１つの区分であるため、２Ｄ画像の空間内における単位行列は

となる。 積

（あるいは、

）はΘ（あるいは、Φ）の指標におけるＲの制限（ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ）であることに留意されたい。同様に、積

（あるいは、

）はΘ（あるいは、Φ）の指標における

の制限であることに留意されたい。

これらの規定に基づくと、次式により規定される反復

により３Ｄ画像ドメインにおけるアルゴリズムを実現することが可能である。

ここで、Ｉは３Ｄ画像ドメインにおける単位行列であり、また

は

となるようなアプリオリに固定のパラメータである。

解を決定するために任意の再構成がすべての計測値を用いるのは明白であり、したがって指標の区分（Θ，Φ）は一定ではなく各反復によって変更される。したがってこれは複数の反復

となる。

次いでこのアルゴリズムは、次式となるように評価シーケンスｆ^（ｎ）を生成する。

各反復ｎにおいて、限定された計測値の組Θ（ｎ）から評価が取得され、これにより反復の計算時間が低減されることに留意されたい。したがってこれらの技法によれば提起された問題に対する解を計算時間を短縮させて提供できることが分かる。他方、３Ｄ画像の記憶に関連する問題は変わりなく残されており選択される区分（Θ，Φ）と無関係のままである。

ここで、新規の方式によれば反復

により得られるのと同じ評価につながるような２Ｄ投影画像ドメインにおける反復

を以前と同様に決定できることが分かる。

２Ｄ画像のみの保存を要するようにするため、ｎ＝１，．．．，Ｎについてｐ^（０）を用いてｆ^（０）＝Ｒ^ｔｐ^（０）となるようにしかつ等価な反復

で使用したのと同じΘ（ｎ）区分に従って評価シーケンス

を計算することによって反復

により規定されるアルゴリズムが適用される。２Ｄ投影画像の空間内の任意のベクトルｐについてまた計測値の任意の（Θ，Φ）区分について以下の方式により

となるように反復

が規定される。

最後に、これ以外の２つのアルゴリズムに関しては、

の決定によって対象物の３Ｄ画像が取得される。

この第３のアルゴリズムは（確認できるように）反復ｎにおいて単にΘにより指標付けされた変数を修正するだけである。

（Θ，Φ）区分と関係なしに、

であれば、３Ｄ画像ドメインにおける反復

により規定されるアルゴリズムから、２Ｄ画像ドメインにおける反復

により規定されるアルゴリズムへの切り替えが以下の方式により可能であることが分かる。

上述したように反復

によれば、あらゆる時点（イニシャライズｎ＝０、中間計算０＜ｎ＜Ｎ、アーカイブｎ＝Ｎ）においてそのサイズがすべての収集計測値と比べてかなり大きいような３Ｄ画像の全体の記憶の必要性が回避される。

［ビュー低減断層撮像法への適用］
すでに言及したように、断層撮像法における問題の１つは、撮像を希望する対象物の全周にわたる回転が困難な場合や、検査時間または患者に対するＸ線線量を制限するようにその収集をサブサンプリングしなければならない場合に投影数が少なくなることである。その結果、再構成を希望する３Ｄ画像のサイズは収集２Ｄ投影画像すべてのサイズと比べてかなり大きい。

提唱したような再構成アルゴリズムを用いることによって、ボリュームの保存が全くなく、このため記憶保存要件に全く影響を及ぼすことなく随意にボリュームサンプリングを微調整することが可能である。

最後のステップ

は、観察しようとする１つのスライスだけに関して、数を少なくしたある数の処理済みの収集２Ｄ投影画像に対して適用される線形の演算子であるため、スライスの観察の際にこれをリアルタイムで実行することが可能でありボリュームの全スライスの保存を要することがない。

再構成しようとする３Ｄ画像についての所望の分解能に応じて、記憶保存要件を増大させずに反復回数を増加させることが可能であることに留意されたい。

提唱した方法は、計算時間に関する性能レベルが良好であるが有するメモリが限られたＧＰＵ（グラフィックプロセッサユニット）に特に適している。

Ｓ 線源
Ｒ Ｘ線
Ｏ 臓器
Ｄ_ｅｔ 検出器
ｓ_１ ２Ｄ投影組
ｓ_ｉ ２Ｄ投影組
ｓ_Ｍ ２Ｄ投影組
Ａ アルゴリズムの反復
Ｐ 処理済み投影画像
ｆ 再構成しようとする対象物の３Ｄ画像
１ 医用撮像システム
２ 対象物
３ 画像収集システム
４ 表示システム
５ 画像処理システム
６ 記憶手段
Ｓ０ 収集ステップ
Ｓ１ 処理ステップ
Ｓ２ ３Ｄ再構成ステップ
Ｓ１０ イニシャライズステップ
Ｓ１１ 反復Ｖを適用するステップ

Claims (8)

1. 断層撮像法またはトモシンセシスにより取得した画像を処理するための方法であって、
   撮像システムを用いて対象物の複数の２Ｄ投影画像を収集するＲｆ＝ｓ（ここで、ｓは収集投影のベクトルであり、Ｒは撮像システムをモデル化する投影演算子であり、またｆはＲ及びｓの知見により再構成しようとする対象物の３Ｄ画像である）により規定される画像収集ステップと、
   その反復により規定される反復式アルゴリズムを適用することを含む前記収集２Ｄ投影画像を処理するステップであって、各反復においてその対象物の３Ｄ画像が特性
   （
   は
   が３Ｄ画像であるような行列）に従った処理済み２Ｄ投影画像の線形関数であるように規定される各反復において少なくとも１つの処理済み投影画像組が生成されている処理ステップと、
   を含む方法。
2. 特性
   （Ｎは固定の反復回数）に従って決定しようとする対象物の３Ｄ画像を再構成するステップをさらに含む請求項１に記載の方法。
3. ２Ｄ投影画像の空間内の任意のベクトルについて次式による規定される各反復において、
   （上式において、ｐ^（０）＝ρｓまたはｐ^（０）＝０であり、ｓは収集２Ｄ投影画像の組であり、ρは
   が成り立ちこれにより該方法の収束が保証されるような固定のパラメータであり、かつＩは正方単位行列である）前記アルゴリズムが処理済み投影画像組を生成している、請求項１に記載の方法。
4. 各反復において前記アルゴリズムは次式の共役勾配法
   （上式において、ｐ、ｑ、ｔはｐ^（０）が任意であるが典型的にはゼロまたは収集２Ｄ投影画像のベクトルに等しくなるようにしており、かつｑ^（０）＝ｔ^（０）＝ＲＲ^ｔｐ^（０）−ｓが成り立つ）
   に従って処理済み投影画像の組を生成している、請求項１に記載の方法。
5. 各反復において前記アルゴリズムは次式、
   （上式において、Θ（ｎ）及びΦ（ｎ）はそれぞれ、各反復について規定される収集投影計測値の指標の第１及び第２の部分組であって該２つの部分組は単独であってこれらを結合させて収集２Ｄ投影画像のベクトル全体が指標付けされており、かつ
   及び
   は
   （ここで、
   さもなければｐ^（０）＝０が成り立つ）ようなその値が１に等しいΘ（ｎ）及びΦ（ｎ）に属する対角線の指標を除いてその係数がすべてゼロであるような行列であり、かつ
   は
   が成り立ちこのために該方法の収束が保証されるような固定のパラメータである）
   によって投影画像組を生成している、請求項１に記載の方法。
6. 再構成３Ｄ画像から導出されるスライスを抽出するステップをさらに含む請求項１に記載の方法。
7. 画像のサンプリングを任意に調整するステップをさらに含む請求項１に記載の方法。
8. 放射線源及びセンサを備えた対象物の複数の２Ｄ投影画像を収集するための収集システムと、
   収集した２Ｄ投影画像を保存するように構成された記憶手段と、
   処理システムであって、
   撮像システムを用いて対象物の複数の２Ｄ投影画像を収集するＲｆ＝ｓ（ここで、ｓは収集投影のベクトルであり、Ｒは撮像システムをモデル化する投影演算子であり、またｆはＲ及びｓの知見により再構成しようとする対象物の３Ｄ画像である）により規定される画像収集ステップと、
   その反復により規定される反復式アルゴリズムを適用することを含む収集２Ｄ投影画像を処理するステップであって、各反復においてその対象物の３Ｄ画像が特性
   （
   は
   が３Ｄ画像であるような行列）に従った処理
   済み２Ｄ投影画像の線形関数であるように規定される各反復ｎ＝１，．．．，Ｎにおいて少なくとも１つの処理済み投影画像組が生成されている処理ステップと、
   を実行するように構成された処理システムと、
   を備える医用撮像システム。