JP2007129679A - Qc符号の符号化方法 - Google Patents
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Abstract
【解決手段】パリティ検査行列が1つあるいは複数の巡回行列によって表される自己直交QC符号において、列重みwが3以上であり、かつ符号の最小ハミング距離がw+2以上となるように設計された検査行列を満足する符号系列を生成する。行数mの検査行列を構成するp個の巡回行列の構造を表す、要素数wのp個のアドレス集合から、重複を許して抽出されたw+1個のアドレス集合におけるj(0≦j≦w)番目のアドレス集合の、各要素の1つの並べ替えをb0,jb1,j…bw-1,jとした時、2≦j≦w、1≦i<jの範囲内にある1つの[ij]について、bj-1,0−bi-1,0+b0,i−bj-1,i+bi,j−b0,j≠0(mod m)が全てのb0,jb1,j…bw-1,jについて成り立つ検査行列を満足する符号系列を生成する。
【選択図】 図9
Description
また、列重み一定の検査行列を有する自己直交符号の符号語長nの上限は、Steiner 限界として知られており、wおよび検査行列の行数mを用いて、次式で与えられる。
QC符号は、ごく簡単なシフトレジスタ回路を用いて符号化する事ができる。その方法は、例えば、上述した非特許文献2や、特許文献1および特許文献2に開示されている。
dmin≧w+2 ・・・(5)
が成り立つ符号については、たとえば、これまでwが2の場合について、その報告がある。その詳細は、特許文献3に記載されている。
a1<ai−ai-1 ・・・(8)
ここで、2≦j≦w,aw≡mであり、(8)式はこの範囲にある全てのiについて成り立つものとする。たとえば、(6)式の例では、A5={0,1,3}のみが、(7)式、(8)式を満たす。ただし 、(8)式には、巡回行列が4サイクルを含まないための条件の一部であるa1≠ai−ai-1の条件が含まれている。
ここで、T0≠T1の時は、1≦i0<w、0≦i1<i0、0≦i2<w、0≦i3<w(i3≠i2)、T0=T1の時は、2≦i0<w、0≦i1<i0、i0≦i2<w、(i1≦i3<i0)&(i2<i3<w)であり、(9)式はこれらの範囲内にある全ての整数i0,i1,i2,i3について成り立つ必要がある。
ここで、2≦j≦w、1≦i<jであり、(14)式は各U0U1…Uwの、各要素のある1つの並べ替えにおいて、ある1つの[ij]について満たされれば良い。ただしここで、T0,T1,…,Twの内のいずれか1つのBASは、BAS同士の並べ替えおよびその要素の並べ替えを、共に考慮しなくても良い。たとえば(14)式の計算において、T0のみはこれら並べ替えの内、任意の1つだけを用いれば良く、他のT1,T2,…,Twについては、これら全ての並べ替えについて調べる必要がある。ただしここで、仮に、T0,T1,…,Twの全ての並べ変えについて、(14)式を評価したとしても、それは重複した評価が生じて計算時間が長くなるだけで、本発明に用いられる符号の性能には何ら影響を与えない。ここでは、以下、T0のみ並べ替えを考慮しない事とする。ただしここで、仮にBAS同士の並べ替えを考慮しないで、たとえば常にU0=T0,U1=T1,…,Uw=Twとしておいて、全てのBASについて、各要素の並べ替えを考慮する手法は、本実施の形態の手法と本質的に同じである。
たとえば、w=2の時n4=8、w=3の時n4=1296、w=4の時n4=7962624である。ただし、(14)式をn4通り全てについて調べなければならないのは、T0,T1,…,Twが全て異なり、かつその全ての並べ替えU0U1…Uwが(14)式を満たす時だけである。
同様に、w=3の時にBAS{0,a1,a2}が満たすべき条件は、mが7の倍数のときに、次の2式が同時に成り立つ事である。
ここで、T0,T1,T2,T3は全て同じなので、その並べ替えU0U1U2U3の各要素は全て同じである。U0U1U2U3の各要素の並べ替えの中には、上述した各BASが重複した場合の条件by,x≠bx-1,y、すなわちb0,1≠b0,0、b0,2≠b1,0、b1,2≠b1,1、b0,3≠b2,0、b1,3≠b2,1、b2,3≠b2,2の6条件を全て満たす組み合わせの1つとして、次のものが存在する。
T1={0,6,15} ・・・(26.2)
T2={0,5,17} ・・・(26.3)
T3={0,4,11} ・・・(26.4)
(26.1)〜(26.4) 式において、U0=T0とした時のU0U1U2U3の1つとして、次のものがある。
U1={0,4,11} ・・・(27.2)
U2={0,5,17} ・・・(27.3)
U3={0,6,15} ・・・(27.4)
また、(27.1)〜 (27.4)式において、U0U1U2U3の各要素の並べ替えの1つとして、次のものが存在する。
[b0,1b1,1b2,1]=[11 0 4] ・・・(28.2)
[b0,2b1,2b2,2]=[17 5 0] ・・・(28.3)
[b0,3b1,3b2,3]=[0 15 6] ・・・(28.1)
(28.1)〜 (28.4)式を(14)式の左辺に代入して、[ij]が[12]、[13]、[23]の3通りの場合について順次評価すると、次の様に全て0となる。
b2,0-b0,0+b0,1-b2,1+b1,3-b0,3=3-0+11-4+15-0=0 (mod 25) ・・・(29.2)
b2,0-b1,0+b0,2-b2,2+b2,3-b0,3=3-1+17-0+6-0=0 (mod 25) ・・・(29.3)
すなわち、(26.1)〜(26.4) 式のBASの組み合わせは(14)式に違反する。これは、(26.1)〜(26.4) 式のBASによって代表される5つの巡回行列を検査行列の1部もしくは全てとする、w=3、m=25のQC符号の最小距離がw+1である事を示している。
ただしここで、T2=T1=T0の時には、必ず(30)式に違反するU0U1U2が存在する事に注意しなければならない。また、w=2の時には、(30)式は(14)式と同じなので、これを重複して調べる必要はない。(30)式の評価にあたっては、(14)式の場合と同様に、重複した評価を避けるために、U0U1U2の内の1つ、たとえばU0については、w個の要素の中から2要素を抽出した際、その並べ替えについては考慮しなくても良い。
[b0,1b1,1]=[a2a1] ・・・(32.2)
[b0,2b1,2]=[a2a0] ・・・(32.3)
(32)式を(30)式の左辺に代入すると、次の様に0となる。
=a1−a0−a2−a1+a0−a2=0 ・・・(33)
この様に、任意の{a0,a1,a2}が(30)式に違反する事は、w≧3の時に、任意の巡回行列に6サイクルが含まれる事を表している。この様なケースを除外して、T2=T1=T0={a0,a1,…,aw-1}(a0=0)の時に、(30)式をU0U1U2について全て評価するためには、次式を用いる事ができる。
ここで、
これら実施例および比較例の各符号はいずれも、符号長も現実的で、かつ与えられたw,mにおいて(36)式を満たす最大のpを有した、符号化率の非常に高いQC符号であり、実用上の有用性が高いと言って良い符号の一部である。
S1={0,11,61} ・・・(37.2)
S2={0,20,77} ・・・(37.3)
S3={0,23,59} ・・・(37.4)
ここで、本発明の符号化方法及び復号方法が任意のmについて実行できる事を示すために、mの値は実施例1及び2の場合のm=127と異なる、m=128を用いた。m=128の符号は、有限幾何を用いて構成する事は不可能である。
Claims (10)
- パリティ検査行列が1つあるいは複数の巡回行列によって表される自己直交QC符号の符号化方法において、
各巡回行列の列重みwが3以上であり、かつ符号の最小ハミング距離がw+2以上となるように設計された検査行列を満足する符号系列を生成する
ことを特徴とする符号化方法。 - 上記QC符号の周期をp、上記検査行列の行数をmとし、上記検査行列を構成するp個の巡回行列の構造を表す、要素数wのp個のアドレス集合から、重複を許して抽出されたw+1個のアドレス集合におけるj(0≦j≦w)番目のアドレス集合の、各要素の1つの並べ替えをb0,jb1,j…bw-1,jとした時、2≦j≦w、1≦i<jの範囲内にある1つの[ij]について、bj-1,0−bi-1,0+b0,i−bj-1,i+bi,j−b0,j≠0(mod m)が、全てのb0,jb1,j…bw-1,jについて成り立つ
ことを特徴とする請求項1に記載の符号化方法。 - p≧2である
ことを特徴とする請求項2に記載の符号化方法。 - w=3で、かつ符号の最小ハミング距離が6以上となる
ことを特徴とする請求項3に記載の符号化方法。 - w≧4である
ことを特徴とする請求項3に記載の符号化方法。 - パリティ検査行列を構成する各巡回行列における6サイクルの数が最小となる、
ことを特徴とする請求項2に記載の符号化方法。 - パリティ検査行列を構成する複数の巡回行列の中から任意に抽出された2つあるいは3つの巡回行列の間で6サイクルが存在しない、もしくは与えられたw,m,pにおいて最小となる
ことを特徴とする請求項7に記載の符号化方法。 - p個のアドレス集合から2個までの重複を許して抽出された3個のアドレス集合におけるj(0≦j≦2)番目のアドレス集合の、各要素の並べ替えの1つをb0,jb1,j…bw-1,jとした時、b1,0−b0,0+b0,1−b1,1+b1,2−b0,2≠0(mod m)を、全てのb0,jb1,j…bw-1,jについて評価した際に、それに違反する数が最小となる
ことを特徴とする請求項8に記載の符号化方法。 - b1,0−b0,0+b0,1−b1,1+b1,2−b0,2≠0(mod m)に違反する数が0となる
ことを特徴とする請求項9に記載の符号化方法。
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