JP2005050057A

JP2005050057A - 特性不明システムの伝達関数推定装置

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Publication number: JP2005050057A
Application number: JP2003205039A
Authority: JP
Inventors: Koya Yoshioka; 康哉吉岡
Original assignee: Fuji Electric Holdings Ltd
Current assignee: Fuji Electric Co Ltd
Priority date: 2003-07-31
Filing date: 2003-07-31
Publication date: 2005-02-24

Abstract

【課題】特性が不明なシステムの伝達関数推定において、システムに必要以上の直流量を入力することなく精度の良い伝達関数を推定する。
【解決手段】入力信号として、複数の異なる周波数の正弦波を合成した多重正弦波信号を適用し、この入力信号ｕとそれに対する応答信号ｙのある一定期間のサンプリングデータｕ［ｎ］、ｙ［ｎ］に基づいてデータ行列を作成し、このデータ行列の特異値分解から得られる左特異ベクトルと、応答信号サンプリングデータからなるベクトルとに基づいてシステムの伝達関数の次数ｑを推定する。そして、推定した次数に応じて、入力信号及び応答信号のサンプリングデータに基づいて得られる行列式からシステムの伝達関数の係数を推定することにより、特性不明システムの伝達関数を推定する。
【選択図】図１

Description

【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、特性不明なシステムに対する入力信号と応答信号とから、システムの伝達関数を推定する特性不明システムの伝達関数推定装置に関する。
【０００２】
【従来の技術】
従来の特性不明システムの伝達関数推定装置としては、ステップ状の入力信号を印加したときのステップ応答波形を用いてインパルス応答列を求め、インパルス応答列に基づいて算出した離散時間状態空間モデルを連続系状態空間モデルに変換し、この連続系状態空間モデルの次数をインパルス応答列で構成されるハンケル行列のランクから推定して伝達関数を算出するというものが知られている（例えば、特許文献１参照）。
また、特定の周波数成分をもつ交流入力信号と定常状態の応答から周波数応答関数を導出し、得られた周波数応答関数の特性に近似する特性をもつ伝達関数を推定するというものが知られている（例えば、非特許文献１参照）。
【０００３】
さらに、システムの同定手法としては、既存の周波数応答データに基づいて、これに最小二乗法を適用することによりラプラス演算子ｓの有理関数形式の低次線形モデルを同定し、伝達関数推定の際には、算出した最小二乗解に対して出力誤差の標準偏差（相対誤差評価）で特性近似精度評価を行い、最も評価の良い伝達関数を選択するというものが知られている（例えば、非特許文献２参照）。
また、Ｍ系列などのランダム信号を入力信号とし、その応答から周波数応答関数を導出し、得られた周波数応答関数の特性に近似する特性をもつ伝達関数を推定するというものが知られている（例えば、非特許文献３参照）。
【０００４】
【特許文献１】
特公平６−７７２１１号公報（第２頁、図１）
【非特許文献１】
木村英紀著、「ディジタル信号処理と制御」、株式会社昭栄堂、昭和６２年９月、ｐ２３３−２３６
【非特許文献２】
「周波数領域最小二乗近似による系統の低次線形モデル同定法」、電気学会論文誌Ｂ、平成１３年１月、１２１巻１号、ｐ５２−５９
【非特許文献３】
足立修一著、「ＭＡＴＬＡＢによる制御のためのシステム同定」、東京電機大学出版局、平成１４年５月、ｐ２４−３１
【０００５】
【発明が解決しようとする課題】
しかしながら、上記特許文献１に記載の従来例にあっては、入力信号にステップ入力を適用しているので、システムに直流量を入力することになり、適用範囲が限定されるという未解決の課題がある。
また、伝達関数推定の際には、インパルス応答列から連続系状態空間モデルを求め、この連続系状態空間モデルの次数をインパルス応答列で構成されるハンケル行列のランクから推定して伝達関数を算出するので、システムの入力信号と出力応答信号から直接伝達関数を推定することができないという未解決の課題がある。
【０００６】
さらに、上記非特許文献１に記載の従来例にあっては、特定の周波数成分を持つ交流入力信号から伝達関数を推定する場合には、特定の周波数成分の正弦波をシステムが定常状態となるまで加え続け、定常状態での応答から周波数応答関数を導出し、得られた周波数応答関数の特性に近似する特性を持つ伝達関数を推定する必要があり、伝達関数推定に必要な周波数領域のすべての特性を得るには時間がかかるという未解決の課題がある。
また、上記非特許文献２に記載の従来例にあっては、伝達関数推定の際に、出力誤差の標準偏差（相対誤差評価）で特性近似精度評価を行い、最も評価の良い伝達関数を選択するので、想定する複数個の伝達関数に対する相互評価を必要とするという未解決の課題がある。
【０００７】
さらにまた、上記非特許文献３に記載の従来例にあっては、ランダム信号のパワースペクトル密度が伝達関数推定に必要な周波数領域の全域にわたるためには、ランダム信号の一周期が伝達関数推定に必要な下限周波数の一周期以上になるため、下限周波数の１０倍近い測定時間を必要とすると共に、Ｍ系列の入力信号の場合、伝達関数推定に必要な下限周波数の約半周期の直流量を入力することになり、適用範囲が限定されるという未解決の課題がある。
そこで、本発明は、上記従来例の未解決の課題に着目してなされたものであり、システムに必要以上の直流量を入力することなく精度の良い伝達関数を推定することができる特性不明システムの伝達関数推定装置を提供することを目的としている。
【０００８】
【課題を解決するための手段】
上記目的を達成するために、請求項１に係る特性不明システムの伝達関数推定装置は、複数の異なる周波数の正弦波を合成した多重正弦波で構成されている入力信号とその入力信号に対する応答信号とから特性が不明なシステムの伝達関数を推定することを特徴としている。
この請求項１に係る発明では、複数の異なる周波数の正弦波を合成した多重正弦波信号を入力信号として適用するので、システムに必要以上の直流量を入力することがなくなると共に、システムが定常状態になるまで信号を加え続ける必要がなくなり、短期間の測定でシステムの特性を近似する伝達関数を推定することができる。
【０００９】
また、請求項２に係る特性不明システムの伝達関数推定装置は、請求項１に係る発明において、前記入力信号と前記応答信号との関係を所定の次数の差分方程式で表し、入力信号と応答信号との所定期間の測定データに基づいて差分方程式の未知係数を変数とした行列式を作成し、その行列の特異値分解から得られる左特異ベクトルと、応答信号の測定データからなるベクトルとに基づいて伝達関数の次数を推定する次数推定手段を備えていることを特徴としている。
【００１０】
この請求項２に係る発明では、入力信号と応答信号とのサンプリングデータに基づいて作成したデータ行列の特異値分解から得られる左特異ベクトルと、応答信号の測定データからなるベクトルとに基づいて差分方程式の次数を推定することで、その次数から推定される伝達関数の測定誤差を把握することができる。
また、請求項３に係る特性不明システムの伝達関数推定装置は、請求項２に係る発明において、前記入力信号と前記応答信号との関係を前記次数推定手段で推定した次数の差分方程式で表し、入力信号と応答信号との所定期間の測定データに基づいて差分方程式の未知係数を変数とした行列式を作成し、その行列式から伝達関数の係数を推定する係数推定手段を備えていることを特徴としている。
【００１１】
この請求項３に係る発明では、入力信号と応答信号とのサンプリングデータに基づいて差分方程式の未知係数を変数とした行列式を作成し、その行列式の変数を算出するので、推定する複数個の伝達関数に対する相互評価を必要とすることなく、システムの入力信号と過渡応答信号とから直接伝達関数を推定することができる。
【００１２】
【発明の実施の形態】
以下、本発明の実施の形態を図面に基づいて説明する。
図１は本発明の一実施形態を示す概略構成図であって、図中１は特性が不明なシステムであり、この特性不明システム１に入力信号ｕが入力されると、それに対して応答信号ｙを出力するように構成されている。
また、特性不明システム１の伝達関数を推定するための伝達関数推定装置２が備えられ、入力信号ｕ及び応答信号ｙのある一定期間のサンプリングデータｕ［ｎ］、ｙ［ｎ］を測定し、これらのデータに基づいてデータ行列を作成し、このデータ行列の特異値分解から得られる左特異ベクトルと、応答信号サンプリングデータからなるベクトルとに基づいてシステムの伝達関数の次数を推定する。さらに、推定した次数に応じて、入力信号及び応答信号のサンプリングデータに基づいて得られる行列式からシステムの伝達関数の係数を推定する。
入力信号ｕは、複数の異なる周波数の正弦波を合成した多重正弦波信号であり、下記（１）式で表される。
【００１３】
【数１】

【００１４】
ここで、Ｍは合成する正弦波の数、ｆ_ｋはｋ番目の正弦波の周波数成分、Ａ_ｋはｋ番目の正弦波の周波数成分の振幅、Φ_ｋはｋ番目の正弦波の周波数成分の位相である。ｋ番目の正弦波の周波数成分ｆ_ｋは、伝達関数推定に必要な下限周波数成分の１周期をＴとすると、ｆ_ｋ＝ｋ／Ｔである。また、合成正弦波の数Ｍは、伝達関数推定に必要な周波数領域の全域にわたる周波数成分を持つ正弦波を合成した多重正弦波信号とするために必要十分な数として設定し、ｋ番目の正弦波の周波数成分の位相Φ_ｋは、合成正弦波の波高値が均一となるように設定する。
また、この入力信号ｕと応答信号ｙとの関係は、下記（２）式に示すような差分方程式で表すことができる。
【００１５】
【数２】

【００１６】
ここで、ｑは伝達関数の次数、ａ_ｉ、ｂ_ｉは差分方程式の未知係数である。
図２は、本発明の実施形態における、伝達関数推定装置２で実行される伝達関数推定処理を示すフローチャートであって、先ず、ステップＳ１で、前記（１）式で表される入力信号と、それに対する応答信号のサンプリングデータｕ［ｎ］及びｙ［ｎ］を測定する。
次いでステップＳ２に移行して、入力信号ｕ［ｎ］と応答信号ｙ［ｎ］との関係を下記（３）式に示すように差分方程式で表す。ここで、ｑ_０は予め設定した初期設定次数である。
【００１７】
【数３】

【００１８】
上記（３）式の関係は、信号のサンプリング点で成立し、ｍ点のサンプリングに対し、ｍ個の連立方程式が得られる。そこで、そのｍ個の連立方程式から下記（４）式に示すような、未知係数ａ_ｉ（ｉ＝１，…，ｑ_０）、ｂ_ｉ（ｉ＝０，…，ｑ_０）を変数ｘとした行列式Ａｘ＝ｂを作成する。
【００１９】
【数４】

【００２０】
次にステップＳ３で、入力信号と応答信号のサンプリングデータｕ［ｎ］、ｙ［ｎ］からなる行列Ａに対し、特異値分解を行う。
Ａ＝ＵＳＶ^Ｔ ………（５）
ここで、Ｕはｍ×ｍの直交行列、Ｓはｍ×２ｑ_０＋１の対角行列、Ｖは２ｑ_０＋１×２ｑ_０＋１の直交行列である。直交行列Ｕは左特異ベクトルｕ_ｉで構成されており、Ｕ＝［ｕ_１，…，ｕ_ｍ］である。
【００２１】
次に、ステップＳ４で、得られた直交行列Ｕのｋ番目以降の列ベクトルから構成される行列Ｕ’と、応答信号のサンプリングデータからなるベクトルｂから得られるベクトルＵ’^Ｔｂのノルム‖Ｕ’^Ｔｂ‖_２を計算する。ここで、Ｕ’＝［ｕ_ｋ，…，ｕ_ｍ］、１＜ｋ＜２ｑ_０＋１である。
次に、ステップＳ５で、前記ステップＳ４で算出したノルム‖Ｕ’^Ｔｂ‖_２が、予め設定した閾値以下となるようなｋを求めてステップＳ６に移行し、差分方程式がシステムの特性を示すために十分な最小の次数ｑを下記（６）式をもとに推定する。
ｑ＝ｋ／２ ………（６）
【００２２】
次にステップＳ７に移行して、入力信号ｕ［ｎ］とそれに対するシステムの応答信号ｙ［ｎ］の関係を、前記（２）式に示すように前記ステップＳ６で推定した次数ｑの差分方程式で表す。
前記（２）式の関係は、信号のサンプリング点で成立し、ｍ点のサンプリングデータに対しｍ個の連立方程式が得られるので、そのｍ個の連立方程式から下記（７）式に示すような、未知係数ａ’_ｉ（ｉ＝１，…，ｑ）、ｂ’_ｉ（ｉ＝０，…，ｑ）を変数とした行列式を作成する。
【００２３】
【数５】

【００２４】
次にステップＳ８で、上記（７）式に示す行列式を解いて、最小二乗解となる未知係数ａ’_ｉ、ｂ’_ｉを算出してからステップＳ９に移行し、未知係数ａ’_ｉ、ｂ’_ｉを伝達関数の係数として設定する。これにより、下記（８）式をもとに特性不明システム１の伝達関数Ｈ（ｚ）を求める。
Ｈ（ｚ）＝（ｂ’_０＋ｂ’_１ｚ^−１＋…＋ｂ’_ｑｚ^−ｑ）／（１＋ａ’_１ｚ^−１＋…＋ａ’_ｑｚ^−ｑ） ………（８）
この図２の処理において、ステップＳ２〜Ｓ６の処理が次数推定手段に対応し、ステップＳ７及びＳ８の処理が係数推定手段に対応している。
【００２５】
したがって、今、特性が不明なシステムに入力信号としてＭ個の異なる周波数の正弦波を合成した多重正弦波信号ｕ（ｔ）を入力したとき、それに対する応答信号ｙ（ｔ）を出力するものとする。この場合には、先ず入力信号と応答信号のサンプリングデータｕ［ｎ］、ｙ［ｎ］を測定し、図２の伝達関数推定処理において、ステップＳ２で入力信号と応答信号との関係を、予め設定した初期設定次数ｑ_０として差分方程式で表し、この差分方程式をもとにｍ個のサンプリングにより得られたｍ個の連立方程式に基づいて、前記（４）式に示すような行列式Ａｘ＝ｂを作成する。次いでステップＳ３で、前記ステップＳ２で得られたデータ行列Ａを特異値分解することにより、直交行列Ｕを得る。
【００２６】
そして、ステップＳ４で直交行列Ｕのｋ番目以降の列ベクトル（左特異ベクトル）から構成される行列Ｕ’（＝［ｕ_ｋ，…，ｕ_ｍ］）と、応答信号のサンプリングデータからなるベクトルｂとから得られるベクトルのノルム‖Ｕ’^Ｔｂ‖_２を算出し、算出されたノルム‖Ｕ’^Ｔｂ‖_２が予め設定した閾値以下となるようなｋ（１＜ｋ＜２ｑ_０＋１）に基づいて、ステップＳ６で前記（６）式をもとに差分方程式の次数ｑを推定する。
【００２７】
次にステップＳ７で、入力信号ｕ［ｎ］と応答信号ｙ［ｎ］との関係を、推定された次数ｑの差分方程式で表し、ｍ個のサンプリングにより得られたｍ個の連立方程式に基づいて、前記（７）式に示すような行列式を作成する。次いでステップＳ８で、この行列式を解いて最小二乗解となる未知係数ａ’_ｉ、ｂ’_ｉを求め、ステップＳ９で算出された未知係数ａ’_ｉ、ｂ’_ｉを伝達関数の係数として設定することにより、前記（８）式をもとに特性不明システム１の伝達関数Ｈ（ｚ）が求まる。
【００２８】
このように、上記実施形態では、複数の異なる周波数成分を含む多重正弦波信号を入力信号として適用することにより、システムに必要以上の直流量を入力することがなくなると共に、システムが定常状態になるまで信号を加え続ける必要がなくなり、特定の周波数成分を持つ正弦波信号を適用する場合と比較して短時間で伝達関数の推定を行うことができる。
【００２９】
また、入力信号と応答信号とのサンプリングデータに基づいて作成したデータ行列の特異値分解から得られる左特異ベクトルと、応答信号の測定データからなるベクトルのノルムを算出し、このノルムが所定の閾値以下となるときに、差分方程式がシステムの特性を示すために十分な最小の次数を推定するので、この次数から推定される伝達関数の測定誤差を把握することができる。
【００３０】
さらに、入力信号と応答信号とのサンプリングデータに基づいて差分方程式の未知係数を変数とした行列式を作成し、その行列式を解くことにより変数を算出して伝達関数の係数を推定するので、推定する複数個の伝達関数に対する相互評価を必要とすることなく、システムの入力信号と過渡応答信号とから直接伝達関数を推定することができる。
【００３１】
【発明の効果】
以上説明したように、本発明の請求項１に係る発明によれば、複数の異なる周波数の正弦波を合成した多重正弦波信号を入力信号として適用するので、システムに必要以上の直流量を入力することがなくなると共に、システムが定常状態になるまで信号を加え続ける必要がなくなり、短期間の測定でシステムの特性を近似する伝達関数を推定することができるという効果が得られる。
【００３２】
また、請求項２に係る発明によれば、入力信号と応答信号とのサンプリングデータに基づいて作成したデータ行列の特異値分解から得られる左特異ベクトルと、応答信号の測定データからなるベクトルとに基づいて差分方程式の次数を推定するので、その次数から推定される伝達関数の測定誤差を把握することができるという効果が得られる。
【００３３】
さらに、請求項３に係る発明によれば、入力信号と応答信号とのサンプリングデータに基づいて差分方程式の未知係数を変数とした行列式を作成し、その行列式の変数を算出するので、推定する複数個の伝達関数に対する相互評価を必要とすることなく、システムの入力信号と過渡応答信号とから直接伝達関数を推定することができるという効果が得られる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明の実施形態を示す概略構成図である。
【図２】本発明の実施形態における図１の伝達関数推定装置２の伝達関数推定処理を示すフローチャートである。
【符号の説明】
１特定不明システム
２伝達関数推定装置

Claims

複数の異なる周波数の正弦波を合成した多重正弦波で構成されている入力信号とその入力信号に対する応答信号とから特性が不明なシステムの伝達関数を推定する特性不明システムの伝達関数推定装置。
前記入力信号と前記応答信号との関係を所定の次数の差分方程式で表し、入力信号と応答信号との所定期間の測定データに基づいて差分方程式の未知係数を変数とした行列式を作成し、その行列の特異値分解から得られる左特異ベクトルと、応答信号の測定データからなるベクトルとに基づいて伝達関数の次数を推定する次数推定手段を備えていることを特徴とする請求項１に記載の特性不明システムの伝達関数推定装置。
前記入力信号と前記応答信号との関係を前記次数推定手段で推定した次数の差分方程式で表し、入力信号と応答信号との所定期間の測定データに基づいて差分方程式の未知係数を変数とした行列式を作成し、その行列式から伝達関数の係数を推定する係数推定手段を備えていることを特徴とする請求項２に記載の特性不明システムの伝達関数推定装置。