JP2002520750A - 非正則パッチの細分化行列の固有空間におけるパラメータ化された曲面の数値計算方法 - Google Patents
非正則パッチの細分化行列の固有空間におけるパラメータ化された曲面の数値計算方法Info
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Abstract
Description
ている。これらの曲面モデルは、現実感のあるディスプレイ画像の生成から、正
確な曲面情報を用いたシミュレーションまで、広範囲に応用されている。
示されているような)に表示されている。図2を参照すると、コンピュータモデ
リングプログラム内の曲面10は、バイキュービック曲面スプラインパッチ等の
曲面パッチ12、14の接続された組により覆われていると考えてよい。バイキ
ュービック曲面スプラインの一般的な種類としてBezierスプライン(B−
スプライン)がある。図3を参照すると、制御頂点16を利用することにより、
コンピュータ曲面モデル作成者は、選択したパッチ12の外形(輪郭、coutour
)を制御する直観的な方法を得ることができる。1個の制御頂点16を動かすこ
とによりパッチ12の外形に対応する変化が生じる。例えば、制御頂点16aを
動かすことにより、パッチ12の右上部分の座標を大幅に変化させることができ
る。そこまでではないにせよ、制御頂点16aが移動するとパッチ12の左下部
分にも影響を与える。
隣接するパッチ(例えばパッチ12とパッチ14)は制御頂点を共有する。この
ように、1個の制御頂点を動かすといくつかの隣り合う曲面パッチが影響を受け
る。しかしこの動きは、動かされた制御頂点を共有しないパッチには何の影響も
与えない。このように、制御頂点16は隣り合うパッチの局所領域の外形を調整
するための便利なツ−ルを提供する。
の選択やドラッグ操作)グラフィカルユーザーインターフェース(GUI)によ
りモデル作成者は背景にある数学理論を意識する必要が無いものの、制御頂点1
6の座標は、3次元空間におけるB−スプラインパッチ12の外形を決定できる
関数22の組の係数としての役割を担う。図4内でb1〜b16とラベル付けら
れた16個のB−スプライン基底関数22は、曲面の位置を表わすパラメータの
組u、v20(例えば2次元平面18内における曲面の位置20の座標を記述す
るuおよびvの値)を3次元空間24における位置の座標に変換する。図4に示
す処理はパラメータ化として知られている。パラメータ化された曲面を扱う各種
の技術が広範に存在する。
基づいて新しい制御頂点の組を決定する)ことにより、モデル作成者は精度が向
上したパッチの組をより自在に制御することができる。既存の制御頂点から新規
の制御頂点を決定する方法は細分化ルールが指示する。多くの異なる細分化ルー
ルが存在する。例えば、Catmull−Clark細分化ルールはB−スプラ
インパッチ12を制御する元の制御頂点16の組から新規の制御頂点28を生成
する。Catmull−Clark曲面は自由曲面設計ツールとして魅力的な特
徴を多く備えている。例えば、制御頂点の組の初期トポロジーがどのようであっ
ても、Catmull−Clark細分化を1回適用すると、新規制御頂点が形
成する面は四辺形をなす。さらに、これらの曲面に対して各種のアルゴリズムが
考案されてきた。例えば、不要な曲面の起伏を減らす整形アルゴリズム等である
。
わかりやすい。Catmull−Clark細分化ルールは、新規制御頂点28
を、元の制御頂点16が形成する多角形の各面の中央、および多角形の組の最も
外側の辺を除く各辺の中央へ挿入する。新規制御頂点28はまた、最も外側にあ
る元の制御頂点16を除く元の制御頂点16を含む。元の制御頂点16に細分化
ルールを適用しても、新規制御頂点28を動かさない限り、パッチ12の外形は
変化しない。しかし、新規制御頂点28の部分集合は、元の曲面パッチ12から
実質的に4個のより小さい新規パッチを生成し、その部分パッチに対する制御を
可能にする。例えば、新規制御頂点28a〜28pは元のパッチ12の部分パッ
チ26を制御する。しかし、B−スプライン基底関数(および他の曲面形状に対
する基底関数)は、制御頂点の配置が強い拘束条件の組に合致する場合に曲面を
計算(evaluate)する。
面を定義する。各制御頂点30は、その頂点で交わる辺の個数に対応する次数を
有する。例えば、3辺の交点に現れる制御頂点32aの次数は3である。四辺形
のパッチに細分化された自由曲面の場合、次数が4ではない頂点は特異点と呼ば
れる。図6Aには3個の特異点が含まれている。頂点32aおよび32cの次数
は3であり、頂点32bの次数は5である。
る曲面パッチは、図4に示す基底関数を用いて数値計算することができる。図6
A〜6Cは、正則な制御頂点の組から形成された正則な面に影を付けている。図
6Bを参照すると、Catmull−Clark細分化ルールを図6Aの制御頂
点30に適用することにより新規の制御頂点30’の組が生成される。続いて図
6Cに、図6Bの制御頂点30’に細分化ルールを適用することによりさらに別
の制御頂点30”の組が生成される様子を示す。図6A〜6Cに示すように、陰
影付けされた正則パッチで構成される曲面の部分は各細分化ごとに成長する。特
異点32a〜32cに隣接するパッチは、細分化を適用する度に縮小するにもか
かわらず、非正則のまま残り、そのため正則パッチ用に開発された基底関数(図
4)で数値計算することができない。さらに、個数が増大する制御頂点をソフト
ウェアで追跡するため、各細分化は相当な計算リソースを消費する。
ルの組を有する制御頂点の組で曲面モデルを記述し、さらに制御頂点は正則な制
御頂点の組のパラメータ化が可能であるようなコンピュータ曲面モデル上の位置
特性を決定するコンピュータを利用した方法において、曲面モデルを記述する制
御頂点の座標を指定する入力を受け入れるステップと、制御頂点の指定された座
標を細分化ルールの行列表現から導かれた固有空間に射影して射影制御頂点の組
を生成するステップと、曲面モデルの正則なタイルの階層的にネストされた組の
どれがその位置を含むかを決定するステップと、その位置を1つの制御頂点の次
数、決定されたネスト化タイル、および射影制御頂点の組の関数として数値計算
するステップとを含む。数値計算された位置はコンピュータメモリ内に格納され
る。
頂点は、特異な次数を有する制御頂点であってよい。細分化ルールは、Catm
ull−Clarkおよび/またはLoop細分化ルールを含んでいてよい。計
算処理は位置の座標を決定してもよい。計算処理は、その位置における曲面モデ
ルの任意次数の導関数を決定してもよい。コンピュータを利用した本方法はまた
、計算結果を処理して陰影付けまたはテクスチャマッピング等の表示特性を決定
してもよい。計算処理は後述するようにほぼ次式により行なわれる。
ることができる。射影処理は固有空間の固有ベクトル行列データを含むファイル
からのデータ読込みを含んでいてよい。コンピュータを利用した本方法は、固有
空間の固有値と固有ベクトルデータ含むファイルからのデータ読込みを含んでい
てよい。入力データはグラフィカル・ユーザー・インターフェース(GUI)経
由、あるいはプログラム変数経由で受け取ることができる。
ルの組を有する制御頂点の組で曲面モデルを記述し、さらに制御頂点は正則な制
御頂点の組のパラメータ化が可能であり、かつ1つの制御頂点は特異次数を有す
る頂点であるコンピュータ曲面モデル上の位置を計算するコンピュータを利用し
た方法において、制御頂点の座標を指定する入力を受け入れるステップと、細分
化ルールに基づいて制御頂点を明示的に細分化することなくその位置を制御頂点
の関数として計算するステップと、計算された位置をコンピュータメモリ内に格
納するステップとを含む。
ルの組を有する制御頂点の組で曲面モデルを記述し、さらに制御頂点は正則な制
御頂点の組のパラメータ化が可能であるようなコンピュータ読取り可能な記録媒
体に格納されたコンピュータプログラム製品において、コンピュータに、制御頂
点の座標を指定する入力を受け入れさせ、制御頂点の指定された座標を細分化ル
ールの行列表現から導かれた固有空間に射影して射影制御頂点を生成させ、正則
なタイルの階層的にネストされた組のどれがその位置を含むかを決定させ、その
位置を1つの制御頂点の次数、決定されたネスト化タイル、および射影制御頂点
の組の関数として計算させる命令とを含む。計算された位置はコンピュータメモ
リ内に格納される。
ータ化が可能な曲面の計算には明示的な細分化が必要とされず、このためプログ
ラムの複雑度と処理リソースの消費が低減される。数値計算は容易に実現され、
かつ効率的である。ここに述べる技術を用いて細分化曲面の高品質な曲率プロッ
トが高速に得られる。計算処理の計算コストはバイキュービック・スプラインの
それに比肩し得る。曲面を高速かつ正確に計算することは、ピッキング、レンダ
リング、テクスチャ・マッピング等、曲面に対する多くの標準的な処理にとり重
要である。本計算技術はまた、パラメータ化された曲面上での多くの有用な技術
を細分化曲面に転用することを可能とし、それらを自由曲面のモデリングツール
としてさらに魅力あるものにする。
点が明らかにされる。
技術について述べる。これらの技術を理解するにあたって細分化の数学理論を調
べることは有用である。
プラインを定義する。頂点16のナンバリングの順序は、図4にb(u,v)で
表わすそれらに対応する−スプライン基底関数に示されている。図7A、7Bを
参照すると、曲面パッチ40は次数がN=5(記号Nは頂点の次数を表わす)で
ある特異点38を含む。図7Bに制御頂点36の順序1から2N+8までを示す
。特異点38の近傍にある制御頂点36は単純な矩形グリッドを形成しないため
、特異点を含む面は一様なB−スプラインとして数値計算することができない。
て初期制御頂点を少なくとも2回細分化すると特異点が分離され、各面は四辺形
となって高々1個の特異点しか含まない。次数がNの単一特異点の場合、ここで
述べる技術は、明示的に細分化する(すなわち、細分化ルールを用いて新規の制
御頂点を既存の頂点から生成する)ことなくパッチ40上の任意の位置を高速に
計算できる関数s(u,v)を定義する。関数s(u,v)は単位正方形Ω=[
0,1]×[0,1]上で定義されていて、パッチ40の形状に影響を与えるK
=2N+8個の頂点36に関して直接計算することができる。このように、Ωは
、s(0,0)が特異点38に対応する曲面上の点である座標系を定義する。Ω
の向きはsu×svが曲面の外部を指すように選ばれている。
ものの、これらの技術を理解するにあたって細分化の数学理論を理解することは
有用である。
て数学的に表現できる。
)に格納されたデータ構造において、後の計算をより扱いやすくする。図示する
ように、制御頂点36は図4に示す一様なバイキュービックB−スプラインパッ
チを制御する16個の制御頂点の正則な組とはならない。
細分化により図8Aの元の頂点36に重ね合わされた円で示すM=K+9個の新
しい制御頂点42の組が生成できる。
一様なB−スプラインパッチ44、46、48の制御頂点である。従って、明示
的な細分化により元の曲面パッチ40の四分の三がパラメータ化されたことにな
る。すなわち、これら3個のパラメータ化された部分で見出される任意の曲面位
置は、新規制御頂点およびパラメ−タu,vの関数として計算することができる
。
c1,k+1〜c1,Mは特異点から少なくとも1個の頂点が除去された制御頂
点を表わす。Catmull−Clark細分化はK×K拡張細分化行列Aによ
る行列乗算として次式で表わされる。
行列であり、残りのサブ行列はB−スプラインの正則な中点ノット挿入ルールに
対応する。行列の定義は付録Aに掲載されている。3個のB−スプラインパッチ
を計算するのにさらに必要な頂点はサイズがM×Kであるより大きい行列A′を
用いて次式で定義される。
とができ、次式が成立する。
スプラインパッチ44、46、48の制御頂点になる。これらの制御頂点はCn
から16個の制御頂点を選択し、それらを制御頂点選択用の”ピッキング”行列
P152、P254、P356に格納することにより定義できる。従って、3個の
B−スプラインパッチ42、44、46は次式に対応する。
制御頂点58、60,62を選択する16×Mピッキング行列である。
)を含むベクトルとする。その順序に従って、制御頂点の各行列に対応する曲面
パッチは次式で定義される。
定義は本明細書の終わり近くで述べる。
記述する。各曲面パッチは、上付き記号nは階層レベルを指定し、下付き記号k
は指定された階層レベル内での特定のタイルを指定するΩn k単位ドメインを形成
するタイルにわたって定義される。例えば、単位タイル70は第一階層レベル内
の第一タイルであり、一方単位タイル74は第二階層レベルの第三タイルである
。各ドメインは正則B−スプラインパッチに対応する。
つなぎ合わされると曲面s(u,v)を形成する。より正式には、単位正方形Ω
はタイル{Ωn k}n≧1、k=1、2、3の無限列を含む。図10に示すように
、指数nが付与された各タイルは指数n−1が付与されたタイルより大きさが四
分の一である。より正確には、部分パッチの寸法は次式で与えられる。
たB−スプラインに等しくする拘束条件を定義することにより構成される。
わない曲面のパラメータ化を与える。しかし、K×K行列Aのn−1回の乗算が
含まれるため、計算には膨大なコストがかかる。行列Aの固有構造を計算すれば
曲面位置の数値計算の計算コストを大幅に減らすことができる。
る。行列Aは任意の次数について完全(すなわち対角化可能)である。その結果
、K個の線型独立な固有ベクトルが存在する。従って、この固有構造を(Λ,V
)で表わす。ここに、ΛはAの固有値を含む対角行列、Vはその列が固有ベクト
ルに対応する正則行列(invertible matrix、逆元が存在する行列)である。固
有構造の計算は従って以下の行列方程式の解と同値である。
い固有ベクトルに対応する固有値である。この種の方程式を解く多くのアルゴリ
ズムが存在する。残念ながら、これらのアルゴリズムは必ずしも正確な固有構造
をもたらさない。例えば、ある場合にはこれらのアルゴリズムから複素数の固有
値が得られる。このため、固有構造は陽に計算される。細分化行列は完全ブロッ
ク構造を有するため、固有構造はいくつかのステップにより計算できる。
((Δ1,W1)に関する)固有構造(Σ1,U0)の計算を記述している。細分化
行列の固有値は次式に示すように対角項の固有ベクトルの和である。
ればならないことが証明できる。
れらのブロック表現で置き換えることにより次式が得られる。
により計算できる。原理的には、この方程式は記号的に解くことができる。しか
し実際には、線型連立方程式のサイズが小さいために、後述のようにマシンの精
度限界まで解を計算することができる。固有ベクトル行列の逆行列は次式に等し
い。
10)は次のように書き換えることができる。
ルnにおける細分化された制御頂点は次のように書き換えることができる。
化における制御頂点に対するこの新しい表現を用いて、式(4)は次のように書
き換えることができる。
の表現は事前に計算できて以下の3個のベクトルを定義する。
する。付録Bにこれらのスプラインの計算法を記述している。スプラインxi(
u,v,k)は特異点の次数のみに依存する。その結果、各パッチに対する方程
式は簡便に次のように書ける。
すると、曲面パッチは次式により計算できる。
ある。この計算は与えられた制御頂点の組に対して一度だけ行なえばよい。次に
、各計算について、nを決定して、各スプラインからの寄与を関連する固有値の
n−1乗を掛けてスケーリングする必要がある。第一固有値以外は1より小さい
ため、それらの寄与はnが増大するにつれて減少する。このように、大きいn、
すなわち特異点に近い曲面上の点に対して、少数の項目のみが大きく寄与する。
実際(u,v)=(0,0)に対して曲面上の点はPiであり、限界点の定義に
合致する。
のための固有基底関数の組を定義することができる。与えられた固有ベクトルλ
iに対して、関数ψiは次式のようにドメインΩn k上に拘束されることにより定
義できる。
ケーリング関係を満たす。
が示されている。各関数はその範囲が−1と1の間に入るよう正規化されている
。特に、固有値1に対応する第一固有基底は任意の次数に対して常に定数関数で
ある。図11,12を詳しく見ると、7個の同一の関数を共有することがわかる
。実際付録Bに示すように、任意の次数に対する最後の7個の固有基底関数は常
に次式に等しい。
−スプライン基底関数が生成される。
。
次式のようにベキ項基底に等しくなるように選ぶことができる。
関数u2vは次式のように固有値1/8に対応する。
l−Clark細分化とベキ項基底との間に関係が存在する。さらに、この場合
の固有ベクトルは、バイキュービックB−スプライン基底からベキ項基底への”
基底変換行列(change of basis matrix)”に対応する。このように特異点にお
ける固有基底関数は、ベキ項基底の一般化と解釈できる。しかし、固有基底は一
般に多項式ではない。Catmull−Clark細分化の場合、固有基底は区
分的にバイキュービック多項式である。式(15)で与えられる曲面パッチの計
算はここで正確に次式に書き直すことができる。
の次数にかかわらず行なう。さらに、明示的に細分化する必要が無い。式(16
)はまた、曲面の導関数を任意の次数まで計算することができる。式(16)に
現れる基底関数の対応する導関数のみが必要とされる。例えば、uに関する第i
固有基底の偏導関数は次式で与えられる。
の場合因子2pnが現れる。
化行列の固有構造の計算は一度だけ行なえばよく、付録Aに方法が記述されてい
る。実際には、これらの固有構造をある最大次数(例えばNMAX=500)ま
で事前計算して求めた値をファイルに格納しておくのが有用である。次数が3お
よび5の場合の固有構造の値を付録Eに掲載している。数値計算技術を用いる任
意のプログラムは、これらの事前計算された固有構造内に読込むことができる。
一つの実現例において各次数Nに対する固有構造は次のように格納される。
よく、従ってその計算コストは計算スキームの効率にはほとんど無関係である。
面パッチのコンピュータ支援による計算が行なわれる。最初に、パッチを囲む制
御頂点が細分化行列の固有空間に射影される。制御頂点は図8Bに示すように順
序付けられて配列C[K]に格納される。射影された頂点Cp[K]は次に、固
有ベクトルの事前計算された逆ベクトルを用いて容易に計算される。
いはメッシュが更新された後で一度だけ呼び出せばよい。ProjectPointsは従っ
て、曲面パッチごとに高々一度だけ呼び出される。
納しているドメインnの計算を含む。EvalSurfは、曲面が特定のパラメ
ータ値(u,v)で計算される必要がある都度呼び出される。以下のルーティン
は任意のパラメータ値で曲面パッチを計算する。
与えられるバイキュービック多項式を計算する。EvalSplineの実現例
を以下に示す。
のある桁あふれを防ぐために、値をマシン精度付近の十分小さい値まで増やす。
EvalSplineは、バイキュービック多項式を計算するので、EvalS
urfのコストは、バイキュービック曲面スプラインのコストと比較し得る。対
数計算および整数ベキ乗にするための余分なコストは、これらの演算が最新のコ
ンピュータハードウェアで効率的に実現されているため、最小限である。射影ス
テップはメッシュの更新時にのみ呼び出されるため、計算のコストはもっぱらE
valSurfに依存する。
いる代わりに、バイキュービック多項式の第p次導関数を返すルーティンを用い
る。さらに、最終結果を因数pow(2,n*p)でスケーリングする。導関数
の計算は曲面の正確な法線や曲率を必要とするアプリケーションでは必須である
。
け求められればよい。従って、この例では効率よりも正確さがより重要である。
付録Aに示すように、2個の行列SとS12の固有構造が解析的に計算できる。拡
張された細分化行列Aの対応する固有構造を求めるには式(11)の2N+1個
の線型連立方程式を解くことが必要である。これらの連立方程式は、LINPA
CKのdgesvルーティン等の標準線型ソルバーを用いてマシン精度の限界ま
で解くことができる。固有ベクトルの逆ベクトルは、式(12)に現れる行列の
積を実行することにより計算できる。固有ベクトルを用いて、バイキュービック
スプラインx(u,v,k)の係数を付録Bの説明のように事前に計算すること
ができる。各次数Nに対して、データ構造体eigen[NMAX]内の日付は
、ProjectPointsおよびEcalSurfルーティンを用いる任意
のアプリケーションの開始時点で読出されるファイルに格納される。
中央に特異点が存在する。特異点を囲むパッチ内の位置情報は計算技術を用いて
計算される。残りのパッチはバイキュービックB−スプラインとして計算される
。曲率は、本技術および正則な(通常の)バイキュービックB−スプラインパッ
チを用いて計算されたパッチ間の境界を交差して滑らかに変化する。図14によ
り複雑な曲面を示す。
きれば、さまざまな細分化ルールに適用可能である。例えば、三角形パッチを制
御する制御頂点の細分化を扱うLoop細分化ルールの解析は明示的な細分化無
しで同様に曲面を計算する。
の組により覆われていると見なすことができる。図16を参照すると、12個の
制御頂点82の組が三角形パッチ80の境界線を制御する。正則な三角形パッチ
の各制御頂点の次数は6である。図16に示すように、正則パッチ80を制御す
る制御頂点はそれぞれ次数が6である。三角形パッチは、ボックススプラインか
ら導かれた三角形Bezierに対する既知の基底関数を用いてパラメータ化す
ることができる。各制御頂点に対応する基底関数は付録Dに記述されている。
制御頂点の次数はN=6である。制御頂点84は図17に示すように、次数がN
=7である特異点である。従って、三角形パッチ86は通常のパラメータ化が行
なえない。しかし、Loop細分化ルールを用いて、三角形パッチを制御する制
御頂点を細分化することはできる。Loop細分化ルールの行列表現はCatm
ull−Clark細分化ルールとは異なる固有構造を生成するが、アプローチ
と最終的な実現が異なるのは導かれた値だけである。
技術により明示的な細分化の必要性がなくなる。しかし、細分化ルールの数学的
解析を用いて本技術を説明する。
できる。
行列であり、b(u,w)は基底関数のベクトルである(付録D参照)。曲面は
”単位三角形”上で定義される。
対応する平面の部分集合である。第三のパラメータu=1を、(u,v,w)が
単位三角形の座標の重心系を構成するように導かれる。値uは原点(0,0)に
対応する。各パラメータにおける基底関数の次数は高々4であり、従って曲面パ
ッチは四次スプラインを構成する。
制御頂点の組により制御される。特異点はパラメータ値u=1に対応する。図中
央の特異点の次数はN=7であるため、このケースではK=13個の制御頂点が
存在する。図はまた、制御頂点の順序も示す。初期のK個の制御頂点はK×3行
列に格納されている。
N+12個の制御頂点の組が生成される。これにより三角形パッチの四分の三を
計算するのに十分な制御頂点が生成される。新たな制御頂点の組は次式で与えら
れる。
対応し、一方C1,K+1〜C1,Mは細分化により生成されて特異頂点84に隣接しな
い制御頂点に対応する。Loop細分化ルールはK×K拡張細分化行列Aを乗ず
ることにより表現できる。
はより大きい細分化行列
2、94を定義し、それらは容易に計算できる。Loop細分化ルールを繰り返
し適用することにより制御頂点の無限列を生成することができる。
形パッチ90、92,94の制御頂点を構成する。制御頂点102、104,1
06のこれら3個の組は、以下の3個の12×3行列Bn,k(k=1,2,3)
により示される。サイズ12×Mのピッキング行列P96、98,100は、細
分化により生成された制御頂点からこれらの制御頂点を選択する。従って次式を
得る。
ゼロである。従って各曲面パッチは次式で定義される。
に細分化することができる。これらのタイルのサイズは次式でより正確に定義さ
れる。
される。
列のベキ乗を計算することを含むため、この式を計算するには計算コストが大き
い。固有構造を解析することによりパラメータ化をより効率的にすることができ
る。
化可能であって次式が成立する。
行列は以下のブロック構造を有する。
する固有ベクトルはそれぞれU0とW1に格納される。行列U1はSの固有ベクト
ルを拡張することにより、すなわち以下の線型連立方程式を解くことにより計算
される。
底関数のK次元ベクトルとする。
各関数は行列Aの固有ベクトル一つに対応する。各固有基底関数はそれが単位三
角形Ω1 1、Ω1 2、Ω1 3へ拘束されることにより完全に定義される。これらのドメ
インのそれぞれにおいて固有基底は四辺形スプラインである。基底関数は次のス
ケーリング関係を満たすため、他のどこででも計算できる。
できる。
い。NMAXを最大次数とすると、各固有構造は次のデータ構造の内部に格納さ
れる。
られる。3組の制御頂点が、固有基底の各基本ドメインに一つずつある。これら
の制御頂点は単に
解くことにより計算された。この固有構造を用いて、最初にパッチを定義するK
個の制御頂点を細分化行列の固有空間に次のルーティンを用いて射影することに
より任意のパッチに対する曲面を計算することができる。
ータ値(v,w)における計算は固有規定関数で与えられる積を計算することに
より行なわれる。
計算する。より高次の導関数を計算するために、基底の導関数を計算する関数で
EvalBasisを置き換えてよい。この場合、最終結果にも2のn*p乗(
pは微分の階数)を乗ずる必要がある。従って、次の行をEvalSurfの終
わりに追加すべきである。
ッチ形状を扱うにもかかわらず、両方とも同じように処理することができる。実
際、細分化ルールが正則な制御頂点のパラメータ化を許す限り、ここで述べた技
術を利用することができる。
行列が正則であるという特性を共有する。一般に、これは成立しない。例えば、
Doo−Sabin曲面の細分化行列は、一般に対角化できない。しかし、ここ
で述べた技術は正則行列を要求しない。例えば、Doo−Sabin曲面は、Z
orinが提示した一般スケーリング関係(D.N.Zorin、”細分化と多
重解像度曲面の表現”、PhD学位論文、カリフォル二ア工科大学、カリフォル
ニア州パサデナ、1997年)と合わせて拡張細分化行列のJordan法線形
式(C.G.Cullen、"行列と線型変換”、ニューヨーク州ドーバー、1
990年)を用いることができる。
どの曲面位置を計算するにせよ、事前に固有構造(例えば、固有値、逆固有ベク
トル行列、正則領域に対応する基底関数の係数)を計算してファイルに格納する
(132)。その後で、曲面を計算するために格納データが引き出され(133
)、グラフィカルユーザーインターフェースを介して、またはプログラム変数で
指定されたとおりに制御頂点の座標が決定される(134)。事前に計算された
逆固有ベクトル行列を用いて制御頂点を固有空間に射影する(135)。階層的
にネストされたタイルのどれが求めたい曲面位置を保持しているかを決定した(
136)後で、事前計算されたデータからタイルの基底係数を決定することがで
きる(137)。続いて位置を、特異点の次数、決定された基底係数、および射
影された制御頂点の関数として計算することができる(138)。この計算は3
次元座標の決定、あるいは指定位置での曲面の導関数(例えば、法線や曲率)の
決定であってよい。上述のとおり、導関数は何次であってもよい。オプションと
してこの計算結果を、陰影付け、テクスチャマッピングその他の曲面処理関数を
実行する他のルーティンへ送る(139)ことができる。
ラットフォーム140に実装されてよい。コンピュータプラットフォーム140
はコンピュータシステム144に接続されたモニター142を含む。コンピュー
タシステム142はモニターを制御して曲面モデルを表示する。プラットフォー
ム140はマウス等のポインティング装置を含み、ユーザーはグラフィカルユー
ザーインターフェースと対話して制御頂点を調整することができる。
ク装置、CD−ROM、フロッピーディスク)、メモリ146、およびプロセッ
サ148を含む。命令群は動作の過程で大容量記憶装置150からメモリ146
およびプロセッサ148へ転送される。大容量記憶装置150に格納されている
のは、本発明による曲面計算のためのソフトウェア命令群152(例えば、記述
された固有構造等の事前計算された格納情報)である。コンピュータプラットフ
ォーム140はネットワーク接続156を含んでいてよい。ここではソフトウェ
ア上に実現するものとして述べているが、本発明はハードウェアまたはソフトウ
ェア、あるいは両者の組合せで実現することができる。
に順序付けて、行列Sは以下のようになる。
によりSの固有構造を計算することができる。次の2N×2Nフーリエ行列を導
入することにより離散的フーリエ変換は簡潔に表記できる。
第一ブロックS^0は次の固有値を有し、
等しい。
ルは次式で与えられる。
対応するブロックは次式で与えられる。
与えられる。
る。固有ベクトルは、これらの固有ベクトルに逆フーリエ変換を施して計算され
る。
有ベクトルは複素数であり、λ- l=λ+ N-lかつλ+ l=λ- N-lであるため固有値の
大部分は実際に多重度が2である。固有値は次式により再ラベル付けできる。
、これらの固有ベクトルは実数に変換される。k1,...k2N+1をKの列とす
ると、行列U0の列を次式のように構成することができる。
に等しい。
ックK^lの逆元を計算し、続いて次式に従って計算される。
のB−スプラインノット挿入ルールに直接従う。
0、0、c、e、0、c、e)Tに等しい。
えられる。
(u,v,k)を計算する。ベクトルb(u,v)は16テンソルB−スプライ
ン基底関数(i=1,...,16)を含む。
なB−スプライン基底関数である。
り定義される。
8でなく、q1 1=2である。これらの順列ベクトルを用いて、各バイキュービッ
クスプラインは次式で与えられる。
特異ルール”を含む。これは次式に等しい。
き、次式で与えられる。
合を除いて多重度が2である。すると次の行列は多重度が1に過ぎない。
することができる。
各固有値の2個の列を組み合わせて対応する2個の実数固有値を得ることにより
得られる。例えば、次の固有値
残りのブロックは次式で与えられる。
有する。
合、固有値がU1であるため、1/8の最後の固有ベクトルに対応する列から縮
退した線型方程式系が生じる。幸い、系は手計算で解くことができ、この場合U T 1、N+1 =(0,8,0,−8,0)の最後の列は
できる。メッシュの正則な部分でのLoopのスキーマはボックススプラインで
あり、従って三角形の対応するBezierパッチ制御頂点が存在する。Lai
は、ボックススプラインに対応する4次三角形Bezierパッチ用の制御頂点
への変換を行なうFORTRANコードを開発した(M.J.Lai、”3次元
または4次元メッシュ上のボックススプラインのB―ネット用のFortran
サブルーティン”、Numerical Algorithms、2:33−3
8、1992年)。Laiのコードは(L=2,M=2,N=2のとき)パッチ
のBezier制御頂点から図17に示す12個の制御頂点に変換する行列Mを
生成する。三角形パッチ用の12個の基底関数は、15個の多変量Bernst
ein多項式に次の行列を乗ずることで導かれる。
ある。
の影響を示す図である。
す図である。
Claims (43)
- 【請求項1】 パラメータの組で位置を指定し、対応する細分化ルールの組
を有しかつ正則な制御頂点の組のパラメータ化が可能である制御頂点の組で曲面
モデルを記述することによりコンピュータ曲面モデル上の位置特性を決定する、
コンピュータを利用した方法であって、 前記制御頂点の座標を指定する入力を受信するステップと、 前記制御頂点の前記指定された座標を前記細分化ルールの行列表現から導かれ
た固有空間に射影して射影制御頂点の組を生成するステップと、 前記曲面モデルの正則なタイルの階層的にネストされた組のいずれが前記位置
を含むかを決定するステップと、 前記位置を、前記制御頂点の1個の次数、前記決定されたネスト化タイル、お
よび前記射影制御頂点の組の関数として計算するステップと、 前記計算された位置をコンピュータメモリ内に格納するステップと を含むコンピュータを利用した方法。 - 【請求項2】 前記制御頂点の1個は特異次数を有する頂点を含む、請求項
1に記載のコンピュータを利用した方法。 - 【請求項3】 前記細分化ルールはCatmull−Clark細分化ルー
ルを含む、請求項1に記載のコンピュータを利用した方法。 - 【請求項4】 前記細分化ルールはLoop細分化ルールを含む、請求項1
に記載のコンピュータを利用した方法。 - 【請求項5】 前記計算ステップは前記位置の座標を決定するステップを含
む、請求項1に記載のコンピュータを利用した方法。 - 【請求項6】 前記計算ステップは前記位置における前記曲面モデルの任意
次数の導関数を決定するステップを含む、請求項1に記載のコンピュータを利用
した方法。 - 【請求項7】 表示特性を決定するために前記計算を処理するステップをさ
らに含む、請求項1に記載のコンピュータを利用した方法。 - 【請求項8】 前記表示特性は陰影付けまたはテクスチャマッピングの少な
くとも1つを含む、請求項6に記載のコンピュータを利用した方法。 - 【請求項9】 前記計算ステップは事実上式、 【数1】 に基づく計算を含む、請求項1に記載のコンピュータを利用した方法。
- 【請求項10】 前記計算ステップは事実上式、 【数2】 に基づく計算を含む、請求項1に記載のコンピュータを利用した方法。
- 【請求項11】 前記格納された計算結果に基づくグラフィックディスプレ
イを生成するステップをさらに含む、請求項1に記載のコンピュータを利用した
方法。 - 【請求項12】 前記射影ステップはファイルからデータを読出すステップ
を含み、前記データは固有空間の逆固有ベクトル行列データを含む、請求項1に
記載のコンピュータを利用した方法。 - 【請求項13】 前記計算ステップはファイルからデータを読出すステップ
を含み、前記データは固有空間の固有値と固有ベクトルデータを含む、請求項1
に記載のコンピュータを利用した方法。 - 【請求項14】 前記入力受信ステップは、グラフィカルユーザーインター
フェースを介して入力を受信するステップを含む、請求項1に記載のコンピュー
タを利用した方法。 - 【請求項15】 前記入力受信ステップは、プログラム変数を介して入力を
受信するステップを含む、請求項1に記載のコンピュータを利用した方法。 - 【請求項16】 パラメータの組で位置を指定し、対応する細分化ルールの
組を有しかつ正則な制御頂点の組のパラメータ化が可能である制御頂点の組で曲
面モデルを記述し、前記制御頂点の1個は特異次数を有する頂点であるコンピュ
ータ曲面モデル上の位置を計算する、コンピュータを利用した方法であって、 前記制御頂点の座標を指定する入力を受信するステップと、 前記細分化ルールに基づいて前記制御頂点を明示的に細分化することなくその
位置を前記制御頂点の関数として計算するステップと、 前記計算された位置をコンピュータメモリ内に格納するステップと を含むコンピュータを利用した方法。 - 【請求項17】 前記計算ステップは前記制御頂点の座標を前記細分化ルー
ルの行列表現から導かれた固有空間に射影するステップを含む、請求項16に記
載のコンピュータを利用した方法。 - 【請求項18】 前記計算ステップは前記曲面モデルの正則なタイルの階層
的にネストされた組のいずれが前記位置を含むかを決定するステップを含む、請
求項16に記載のコンピュータを利用した方法。 - 【請求項19】 前記計算ステップは前記細分化ルールの行列表現から導か
れた固有基底関数の組を計算するステップを含む、請求項16に記載のコンピュ
ータを利用した方法。 - 【請求項20】 前記細分化ルールはCatmull−Clark細分化ル
ールを含む、請求項16に記載のコンピュータを利用した方法。 - 【請求項21】 前記細分化ルールはLoop細分化ルールを含む、請求項
16に記載のコンピュータを利用した方法。 - 【請求項22】 前記計算ステップは前記位置の座標を決定するステップを
含む、請求項16に記載のコンピュータを利用した方法。 - 【請求項23】 前記計算ステップは前記位置における前記曲面モデルの任
意次数の導関数を決定するステップを含む、請求項16に記載のコンピュータを
利用した方法。 - 【請求項24】 表示特性を決定するために前記格納された計算結果を処理
するステップをさらに含む、請求項16に記載のコンピュータを利用した方法。 - 【請求項25】 前記表示特性は陰影付けまたはテクスチャマッピングの少
なくとも1つを含む、請求項16に記載のコンピュータを利用した方法。 - 【請求項26】 前記格納された計算結果に基づくグラフィックディスプレ
イを生成するステップをさらに含む、請求項16に記載のコンピュータを利用し
た方法。 - 【請求項27】 前記入力受信ステップはグラフィカルユーザーインターフ
ェースを介して入力を受信するステップを含む、請求項16に記載のコンピュー
タを利用した方法。 - 【請求項28】 パラメータの組で位置を指定し、対応する細分化ルールの
組を有しかつ正則な制御頂点の組のパラメータ化が可能である制御頂点の組で曲
面モデルを記述し、コンピュータ曲面モデル上の位置特性を決定する、コンピュ
ータ可読媒体に格納されたコンピュータプログラム製品であって、コンピュータ
に、 前記制御頂点の座標を指定する入力を受信させる命令と、 前記制御頂点の前記指定された座標を前記細分化ルールの行列表現から導かれ
た固有空間に射影して射影制御頂点を生成させる命令と、 正則なタイルの階層的にネストされた組のいずれが前記位置を含むかを決定さ
せる命令と、 前記位置を前記制御頂点の1個の次数、前記決定されたネスト化タイル、およ
び前記射影制御頂点の組の関数として計算させる命令と、 前記計算された位置をコンピュータメモリ内に格納させる命令と を含むコンピュータプログラム製品。 - 【請求項29】 前記制御頂点の1個は特異次数を有する頂点を含む、請求
項28に記載のコンピュータプログラム製品。 - 【請求項30】 前記コンピュータに計算をさせる命令は、コンピュータに
前記位置の座標を決定させる命令を含む、請求項28に記載のコンピュータプロ
グラム製品。 - 【請求項31】 前記コンピュータに計算をさせる命令は、コンピュータに
前記位置における前記曲面モデルの任意次数の導関数を決定させる命令を含む、
請求項28に記載のコンピュータプログラム製品。 - 【請求項32】 コンピュータに前記格納された計算結果に基づくグラフィ
ックディスプレイを生成させる命令をさらに含む、請求項28に記載のコンピュ
ータプログラム製品。 - 【請求項33】 逆固有ベクトル行列データを含むデータテーブルをさらに
含む、請求項28に記載のコンピュータプログラム製品。 - 【請求項34】 固有値および固有ベクトルデータを含むデータテーブルを
さらに含む、請求項28に記載のコンピュータプログラム製品。 - 【請求項35】 前記細分化ルールはCatmull−Clark細分化ル
ールを含む、請求項28に記載のコンピュータプログラム製品。 - 【請求項36】 前記細分化ルールはLoop細分化ルールを含む、請求項
28に記載のコンピュータプログラム製品。 - 【請求項37】 前記コンピュータに計算をさせる命令は、コンピュータに
事実上式、 【数3】 に基づく計算をさせる命令を含む、請求項28に記載のコンピュータプログラム
製品。 - 【請求項38】 前記コンピュータに計算をさせる命令は、コンピュータに
事実上式、 【数4】 に基づく計算をさせる命令を含む、請求項28に記載のコンピュータプログラム
製品。 - 【請求項39】 コンピュータに前記格納された計算結果に基づくグラフィ
ックディスプレイを生成させる命令をさらに含む、請求項28に記載のコンピュ
ータプログラム製品。 - 【請求項40】 表示特性を決定するためにコンピュータに前記格納された
計算結果を処理させる命令をさらに含む、請求項28に記載のコンピュータプロ
グラム製品。 - 【請求項41】 前記表示特性は陰影付けまたはテクスチャマッピングの少
なくとも1つを含むことを特徴とする、請求項40に記載のコンピュータプログ
ラム製品。 - 【請求項42】 前記コンピュータに入力を受信させる命令は、コンピュー
タにグラフィカルユーザーインターフェースを介して入力を受信させる命令を含
む、請求項28に記載のコンピュータプログラム製品。 - 【請求項43】 前記コンピュータに入力を受信させる命令は、コンピュー
タにプログラム変数を介して入力を受信させる命令を含む、請求項28に記載の
コンピュータプログラム製品。
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