ITTO20110071U1 - Sistema di simulazione che permette di valutare in tempo reale l'interazione della scia di un rotore di un aeromobile in grado di volare a punto fisso contro l'aeromobile stesso - Google Patents

Description

DESCRIZIONE

del modello di utilità dal titolo:

“SISTEMA DI SIMULAZIONE CHE PERMETTE DI VALUTARE IN TEMPO REALE L'INTERAZIONE DELLA SCIA DI UN ROTORE DI UN AEROMOBILE IN GRADO DI VOLARE A PUNTO FISSO CONTRO

L'AEROMOBILE STRESSO”

La presente innovazione è relativa ad un sistema di simulazione che permette di valutare in tempo reale l’interazione della scia di un rotore di un aeromobile in grado di volare a punto fisso contro l’aeromobile stesso.

Vantaggiosamente, tale sistema comprende un’unità di elaborazione configurata per ciclicamente:

- rilasciare un anello vorticoso, corrispondente alla circonferenza del disco di un rotore con un’intensità proporzionale alla spinta del rotore;

- associare un numero di punti di controllo al detto anello vorticoso;

- valutare la velocità dei detti punti di controllo del detto anello vorticoso in base all’effetto degli anelli presenti e/o del vento e/o della velocità asintotica;

- spostare il detto anello vorticoso in dipendenza dalle dette velocità; ed

- aggiornare la forma del detto anello vorticoso dopo la detta fase di spostare;

- valutare la velocità sulle superfici aerodinamiche dell’aeromobile e sui rotori stessi in base all’effetto degli anelli presenti, del vento e della velocità asintotica; e

- eliminare il detto anello vorticoso al termine di un dato intervallo temporale.

Tale sistema è particolarmente vantaggioso in quanto permette di simulare in tempo reale l’effetto dell’interazione della scia del rotore contro l’aeromobile.

In maggiore dettaglio, a partire dal valore della velocità indotta, per ipotesi costante, si sono sviluppate delle metodologie che permettono di calcolare il campo di velocità indotta da un rotore in un qualunque punto dello spazio.

I modelli di scia sviluppati in una prima fase permettono di effettuare analisi accurate in condizioni di volo stazionarie, trattandosi di modelli essenzialmente statici, in cui non compare la variabile temporale. Si hanno quindi delle scie che si adattano alla condizione di volo in modo istantaneo, senza memoria della loro configurazione precedente. In questa prima fase verranno realizzati due modelli differenti: un primo più semplice in cui si assume un’inclinazione costante dell’asse della scia, che non tiene quindi conto dell’accelerazione dovuta all’aumento verso valle della velocità indotta dal rotore, ed un secondo in cui questo fenomeno viene invece tenuto in considerazione.

Per permettere analisi in manovra più accurate un modello dinamico viene realizzato in una seconda fase. Tale modello consiste essenzialmente in un rilascio ad ogni istante di tempo di un anello vorticoso dal disco del rotore, anelli vorticosi, che influenzandosi mutualmente andranno a formare la scia.

Modello di Scia

Il modello di scia sviluppato, si basa su un’analisi aerodinamica effettuata utilizzando la legge di Biot-Savart, riportata nel seguito nella sua formulazione differenziale realtiva ad un singolo elemento vorticoso,

Per utilizzare questa legge nella simulazione della scia, in modo da ottenere una legge di variazione della velocità indotta con la distanza dal rotore per qualunque punto delle spazio, è necessario individuare una geometria modello rappresentativa della scia stessa.

Come compromesso fra accuratezza e semplicità, tenendo conto anche del modello di inflow uniforme utilizzato per la valutazione delle forze, si è deciso di schematizzare gometricamente la scia, come un unico filamento vorticoso elicoidale semi-infinito; un simile approccio è suggerito anche in letteratura da McCormick in [1] e da Dreier in [2].

In Figura 1 si riporta una schematizzazione della geometria utilizzata.

Figura 1 Geometria del filamento vorticoso elicoidale semiinfinito

A partire da questa geometria è possibile calcolare tutti i termini che compaiono nella legge di Biot-Savart, termini che dobbiamo conoscere per applicarla nel modo corretto. Nei paragrafi successivi verranno illustrate e ricavate le formulazioni necessarie.

In particolare è possibile scrivere l’equazione dell’elica in forma vettoriale, in funzione dell’angolo generatore θ, del raggio R, e del passo p come

Se a questo punto si definisce il vettore rp = zp k, spiccato dall’origine lungo l’asse dell’elica ad intercettare il generico punto zp, è possibile calcolare il raggio vettore r fra il zp ed un elemento vorticoso ds come:

Visto che nella legge di Biot-Savart è necessaria anche l’espressione del modulo di r, è opportuno ricavare anche questa formulazione:

Derivando infine l’espressione di rispetto a si giunge ad ottenere lìespressione rappresentativa del generico elemento differenziale ds dell’elica:

A questo punto non resta che calcolare il prodotto vettore fra r e ds nella direzione dell’asse della scia (z), per avere tutti gli ingredienti necessari per entrare nella legge di Biot-Savart, e poter calcolare la velocità indotta in direzione ortogonale al disco rotore ad una qualunque stazione a valle lungo l’asse della scia.

In particolare si può scrivere il prodotto vettore fra r e ds come:

e quindi:

La componente che ci interessa in questo modello

semplificato è quella in direzione z; trascurando le altre

si ottiene:

Sostituendo tutte queste quantità nella legge di Biot-Savart, otteniamo la relazione differenziale specifica per la configurazione considerata:

Non resta altro da fare che integrare questa espressione lungo tutto il dominio, ossia, essendo di fronte ad un filamento elicoidale semi-infinito, fra 0 ed infinito:

dove ora si è indicata con s è la coordinata che esprime la distanza dal disco del rotore lungo l’asse della scia del generico punto P nello spazio, e con γ l’intensità del vortice sul disco.

La risoluzione di questo integrale è stata effettuata utilizzando il tool simbolico di Matlab, ottenendone una espressione in forma chiusa:

In questa espressione sono ancora presenti l’intensità del vortice e il passo dell’elica. Essendo però la velocità indotta sul disco del rotore nota a priori, possiamo entrare nella formula precedente con s = 0, in modo da collocarci sul disco stesso, ottenendo

e l’espressione finale per la velocità della scia, solo funzione della velocità indotta sul disco rotore e della distanza lungo l’asse della scia:

La limitazione più evidente di questa formulazione è che il raggio della scia rimane costante al variare della distanza. Per porre rimedio a ciò, seguendo l’approccio proposto da Dreier in [2] è possibile calcolare il rateo di contrazione della scia, attraverso l’equazione di continuità.

In particolare applicando l’equazione di continuità a due stazioni lungo la scia, una coincidente con il disco del rotore, ed un’altra coincidente con la generica distanza s, nell’ipotesi di considerare la scia come un tubo di flusso, si ottiene:

Sostituendo questa espressione nell’equazione precedente è immediato ricavare il raggio della scia alla distanza s dovuto alla wake-contraction:

L’assunzione di una variazione del raggio della scia, associato ad una legge di velocità indotta ottenuta senza contrazione, potrebbe sembrare una forzatura, ma come segnalato da Dreier i risultati ottenuti hanno una ragionevole corrispondenza con altri ricavati con teorie più elaborate e con i risultati sperimentali.

Modello di scia rettilineo

In questo capitolo verrà illustrata una prima applicazione delle equazioni ricavate in precedenza; in aggiunta a quanto spiegato si vuole ora vedere come la scia si modifichi in funzione della velocità di volo e delle condizioni atmosferiche, simulando una scia con un’asse inclinato correttamente in funzione delle condizioni di volo. L’asse della scia è in questo modello considerato ancora rettilineo e, per quanto riguarda la definizione della geometria, non tiene quindi in conto delle variazioni della velocità indotta con la distanza dal TPP.

Tale modello è schematizzato in Figura 2 cui si fa riferimento per la nomenclatura dei vari vettori in gioco.

Figura 2: Schema dei vettori in gioco nel modello di TIPO01: scia rettilinea

Nel paragrafo successivo verranno illustrati i passi salienti necessari per implementare le equazioni che abbiamo ricavato in precedenza ad un modello di scia effettivamente utilizzabile. Si ricorda che il modello di scia qui sviluppato viene inserito all’interno di un progetto di simulazione più ampio, in cui il rotore e il modello di inflow sono già presenti e cui ci si deve agganciare. Si tratta quindi di un modello di scia vero e proprio, e non di un modello di inflow.

In questa fase è opportuno sottolineare come le teorie utilizzate per ricavare questo modello estremamente semplificato siano valide soltanto al di fuori delle condizioni di vortex ring state, o regime di ricircolazione, condizione intrinsecamente instazionaria che si verifica nel volo in discesa quando la velocità di volo si avvicina al valore della velocità di influsso; si tratta di una condizione difficilmente predittibile, di cui parleremo più approfonditamente quando illustreremo il modello di scia non stazionario nei successivi capitoli. Per tale ragione bisogna verificare il verso dell’inflow uscente dal modulo rotore; in particolare l’opposto del versore della velocità cinematica, sporcato dalla velocità del vento e dalla velocità indotta dal rotore, deve giacere sullo stesso semipiano del versore dell’inflow

E’ proprio l’opposto del versore della velocità cinematica sporcata da gust e da inflow a rappresentare, in questo caso di scia dritta, la direzione ed il verso dell’asse della scia. Si parla e si considera questa velocità come la più significativa in quanto si vuole cercare di tenere conto in un unico termine di tutti i contributi alla velocità presenti nel campo di moto; d’ora in avanti per comodità ci riferiremo a questa velocità, in modo improprio come “velocità aerodinamica” così definita:

e quindi

Nell’ambito delle ipotesi semplificative attuate sia nella realizzazione di questo modello di scia, sia nella realizzazione del modello di inflow preesistente nel programma di simulazione, si considera come vettore velocità d’inflow Vi, il quarto termine nella definizione di velocità aerodinamica riportata sopra, il modulo della velocità media d’inflow moltiplicato per l’opposto del versore del TPP, in caso di flusso discendente, e concorde col versore del TTP in caso di flusso ascendente:

In questo modo si è definito l’asse della scia e si hanno tutti gli elementi necessari alla modellazione.

Attraverso considerazioni geometriche è possibile valutare se il punto P su cui voglio valutare l’eventuale interferenza giace all’interno della scia. Se tale condizione è verificata, è possibile calcolare la velocità indotta dal rotore sul punto.

Una volta quindi appurato che il punto P si trovi nel semipiano in cui si sviluppa la scia , si calcola:

la lunghezza del segmento h, minima distanza fra HUB e piano parallelo al TPP passante per P (definizione del punto U),

il coseno dell’angolo γ compreso fra tu e tw

la lunghezza del segmento s, distanza lungo l’asse della scia fra HUB e piano paralello al TPP passante per P (definizione del punto W),

e quindi il suo vettore posizione

il vettore posizione rPW dal punto W al punto P, ed infine il suo modulo

Il punto P giace all’interno della scia solo se il raggio attuale alla distanza s, calcoltato con le espressioni per la wake contraction viste nella trattazione teorica, è maggiore di d. In tal caso la velocità indotta su P sarà quella calcolata con le equazioni teoriche viste in precedenza.

Modello di scia curva

In modo del tutto simile è stato realizzato il secondo modello più accurato in cui, nel calcolare l’asse della scia, si tiene conto della variazione della velocità indotta nomale al TPP con la distanza dall’hub. Come conseguenza l’angolo d’inclinazione dell’asse varia con la distanza dal TPP e la scia risulta essere mediamente meno inclinata. Il calcolo dell’asse effettivo è effettuato per punti, in particolare si è discretizzato h, segmento normale al disco del rotore, compreso fra il disco stesso e il piano contenente il punto P, in dieci intervalli uniformi, numero valutato sufficiente per avere già una buona rappresentazione della scia.

Il codice opera nel seguente modo: ad ogni stazione h[ i] viene calcolata la lunghezza dell’asse della scia sommando il segmento attuale con i segmenti precedentemente già calcolati

dove γ è l’angolo compreso fra tu e tw e quindi dell’intervallo che si sta analizzando lungo il segmento h. E’ possibile altresì calcolare il vettore rw[s[i]], congiungente l’HUB con il punto s[i], come ed avere quindi una descrizione completa della scia.

Una volta noto s[i] è possibile calcolare il modulo della velocità w[i] ed il raggio attuale della scia r[i], utilizzando le relazioni ricavate attraverso l’applicazione della legge di Biot-Savart. In questa fase si deve controllare che il valore di velocità w[i] calcolato non sia nullo, evenienza che potrebbe verificarsi a grandi distanze s, a causa alla dissipazione della scia, la cui modellazione sarà mostrata nei capitoli successivi. Nel caso in cui tale velocità sia nulla, il punto in analisi non risente di fenomeni d’interferenza e si deve uscire dal modulo non essendo più la scia definita oltre questa distanza. Con queste informazioni si può calcolare il vettore velocità indotta locale , c on cu i ricavare il vettore velocità aerodinamica, quindi il versore tw[i] ed infine il coseno dell’angolo γ[i], utilizzando le stesse relazioni già viste per il caso di scia con asse rettilineo.

Nel seguito sono riportate le condizioni iniziali, necessarie per entrare nel ciclo d’integrazione numerica, sono:

Si ripete questa procedura per il numero di N di punti in cui si è discretizzata la componente normale al TPP dell’asse della scia, ottenendo il modello di cercato.

Il vettore posizione fra HUB e intersezione dell’asse della scia col piano parallelo al TPP passante per P sarà quindi rw(s[N]) .

Utilizzando questa informazione è possibile valutare la posizione relativa di P rispetto alla scia e quindi se il punto stesso risente di fenomeni d’interferenza, in completa analogia con quanto già illustrato nel caso di scia rettilinea in cui invece di rw(s[N]) si aveva rWH.

Profili di velocità radiali

Per entrambi i modelli, ulteriori miglioramenti sono stati introdotti, per quanto riguarda il profilo di velocità radiale a distanza s fissata dal disco del rotore. Non avendo introdotto finora alcuna variazione in direzione radiale della velocità, le formulazioni proposte presuppongono una velocità media uniforme uscente dal modulo rotore che si mantiene tale su ogni disco di scia, fissata la distanza s. Questo potrebbe essere un problema, generando dei punti di discontinuità fra le zone interne ed esterne alla scia. Per ovviare, e rendere più fisico il flusso, si è introdotto un profilo di velocità che, pur conservando il valor medio, non sia però più uniforme ma rastremato verso l’esterno. La scelta di un simile approccio, piuttosto che quello di utilizzare delle funzioni di forma sperimentali o semiempiriche, è stato scelto in quanto non si sono volute introdurre ulteriori ipotesi e in quanto si è cercato di mantenere la formulazione il più semplice ed il più coerente possibile con le formulazioni uniformi presenti nel modello di inflow La funzione di forma realizzata per simulare un simile comportamento, è stata ottenuta ispirandosi al flusso turbolento all’interno di un condotto cilindrico (“pipe flow”), come illustrato da Pope in [3]. In particolare si è deciso di simulare un flusso turbolento “unitario” ossia con raggio R =1 m e velocità u=1 m/s e di scalarlo di volta in volta con la velocità media attuale della scia, e con una distanza dall’asse della scia adimensionalizzata rispetto al raggio attuale.

Tale profilo è suddiviso in tre zone differenti:

ZONA ESTERNA, corrispondente alla zona di parete del pipe flow, che si estende fra y+ = 0 ed y+ = 50, in cui la velocità varia linearmente con la distanza fino ad annullarsi in concomitanza con la parete.

Figura 3 Profili di velocità di scia

ZONA LOGARITMICA, corrispondente alla regione logaritmica del pipe flow, che si estende fra y+ = 50 e r/R = 0.7 in cui la velocità varia secondo la relazione, dove

si è indicato con:

la distanza, espressa in unità di parete, dai bordi esterni della scia

elocità d’attrito

la velocità massima

f il coefficiente d’attrito che, in flussi con numero di Reynolds compreso fra 105 e 107, come in questo caso, può essere stimato attraverso la relazione di Nikuradse:

k = 0.41 la costante di Von Karman

r = R – y la distanza dall’asse della scia, essendo R il raggio attuale della scia stessa.

ZONA INTERNA, corrispondente alla regione interna di centro canale, compresa fra r/R = 0.7 ed r/R = 0, in cui si è supposto un andamento parabolico della velocità; infatti, come suggerito da numerose fonti in letteratura, utilizzando anche in questa regione centrale un profilo logaritmico si ottiene una cuspide centrale, non realistica rispetto a profili di velocità sperimentali.

Si è quindi integrato il profilo di velocità unitario ottenuto, per calcolarne la media e ricavare un coefficiente ki di normalizzazione rispetto alla velocità media effettiva imposta di 1 m/s. Tale coefficiente, che andrà moltiplicato al profilo di velocità,è stato realizzato per avere rispettata la continuità, e risulta essere pari a ki = 0.9291.

Si riporta in Figura 3 il profilo di velocità unitario ottenuto, confrontato con il profilo uniforme.

Dissipazione profilo di velocità con la distanza dal TPP

Infine anche per quanto riguarda la legge che descrive la variazione della velocità e del raggio con la distanza dal TPP, sono state introdotte delle condizioni empiriche che forzino la dissipazione. Infatti, nel modello fin’ora presentato, la velocità della scia continua asintoticamente ad aumentare fino ad un valore pari a due volte quella sul TPP ad una distanza infinita, in accordo con i risultati ottenibili per un flusso ideale con la “momentum theory”. In realtà fenomeni dissipativi fanno si che, ben prima di una simile distanza, la velocità inizi a diminuire. Si è quindi imposto che, a partire da una distanza pari a 4 raggi di dal TPP, la velocità inizi a calare cubicamente, fino ad annullarsi ad una distanza pari a 7 raggi. Anche il raggio della scia aumenta in questa zona, per effetto della continuità. Per evitare di avere un raggio infinito nel punto a 7 raggi in cui si è imposto l’annullamento della velocità, in corrispondenza di una distanza di 6 raggi a cui la velocità è già molto bassa, il valore del raggio è stato bloccato. In questa zona comunque la scia è già quasi del tutto dissipata. In Figura 4 è possibile apprezzare questo effetto per una scia modellata in hover.

Figura 4 Profilo di velocità al variare della distanza dal TPP

Scie ottenute in Trim.

Per valutare i risultati forniti dai modelli sviluppati, si è deciso di testarli in tre condizioni di trim differenti, e di vedere per ciascuna di queste condizioni la scia ottenuta, in termini di campo vettoriale, ed in termini di contour di velocità. Le condizioni di Trim scelte sono Hover, volo avanzato a 60Kts e volo avanzato a 120Kts.

Nel seguito vengono riportati i grafici ottenuti con i due modelli; per quanto riguarda la condizione di Hover si riportano soltanto i grafici ottenuti con uno modello, in quanto come evidente si ha un perfetto overplot non avendo velocità dirette in altre direzioni se non la normale al tpp. Aver ottenuto tale overplot, da una conferma sulla validità dei due modelli, nell’ambito delle ipotesi con cui i modelli sono stati ottenuti.

La scelta effettuata per quanto riguarda le unità di misura adottate nei grafici, è stata di utilizzare esclusivamente variabili adimensionali; le lunghezze sono state tutte adimensionalizzate con il raggio del rotore, e le velocità con la velocità di inflow sul disco. Tutti i dati in ingresso necessari sono stati ottenuti con il modello Skylab, basato sul disco attuatore e su una velocità di inflow omogenea, per il velivolo AW139.

HOVER:

Figura 5 Contour di scia in Hover

Figura 6 Campo vettoriale di scia dritta in Hover 60 KTS:

Figura 7 Contour per scia dritta in Trim a 60 Kts Figura 8 Contour per scia curva in Trim a 60 Kts

Figura 9 Campo vettoriale per scia dritta in trim a 60 Kts

Figura 11 Contour per scia dritta in Trim a 120 Kts

Per maggiore chiarezza, e per un confronto più immediato fra le due formulazioni, sono riportati un confronto fra gli assi della scia ottenuti con il modello rettilineo e con il modello che tiene invece conto di come

Figura 12 Confronto assi della scia a 60 Kts

la variazione di velocità d’inflow modifichi la geometria della scia. Il confronto è stato effettuato nelle due condizioni di trim analizzate già in precedenza, e non in hover dove, come già detto si ha un overplot. La linea blu visibile nelle figure rappresenta l’asse della scia rettilinea, mentre quella rossa l’asse della scia curva.

Figura 13 Confronto assi della scia a 120 Kts Infine solo per il caso di scia curva si riportano anche i grafici ottenuti posizionando dei cerchi ad equivelocità a diverse stazioni a valle dell’asse della scia, con raggio corrispondente a quello effettivo a quella distanza.

Modello di scia ad “Anelli vorticosi”

Introduzione

Per supplire ai limiti del modello precedentemente illustrato, ed in particolare per poter estendere le analisi di interferenza dovute ai rotori (principale e di coda nel caso di elicottero tradizionale, ma estendibile a qualsiasi configurazione, tilt rotor compreso vista la completa generalità del modello) al volo in manovra, si è deciso di sviluppare un secondo modello di scia. Prerequisito fondamentale è la necessità di funzionare in real-time, e quindi di sviluppare una teoria non troppo onerosa, e di interfacciarsi con il modello di rotore basato su equazioni mediate e su inflow omogeneo presente in Skylab. In un successivo capitolo verrà a tale scopo illustrata brevemente l’analisi di efficienza computazionale effettuata fra varie versioni dell’algoritmo, volta all’individuazione del migliore compromesso possibile fra precisione e tempi di calcolo ridotti.

L’idea sviluppata è quella di modellare una scia formata da anelli vorticosi. Un simile approccio trova riscontri in letteratura; infatti come proposto da Leishman in [4] seguendo il lavoro di Lewiss pubblicato in [5] e di Gibson in [6], discontinuità vorticose ad anello, la cui posizione nello spazio è definita sulla base della “simple momentum theory”, possono essere utilizzate per costruire una scia prescritta. Il vantaggio nell’utilizzo di simili discontinuità vorticose è costituito dal fatto che per il campo di velocità indotto da simili discontinuità è possibile ottenere una soluzione analitica esatta; si tratta quindi di una rielaborazione non solo del modello di sc ia ma an che de l mod ell o di inf low c he vie ne intrinsecamente ottenuto attraverso l’utilizzo di queste discontinuità. La novità contenuta nel presente lavoro consiste nella modalità con cui tali discontinuità sono collocate nello spazio. Si è scelto infatti di abbandonare l’approccio basato sulla “simple momentum theory”, che portava ad avere una scia di tipo prescritto, con tutti gli svantaggi del caso, per avvicinarsi ad un approccio “free wake”, in cui posizione e dimensione degli anelli vorticosi nello spazio è determinato soltanto dall’intensità del vento asintotico e della mutua e auto induzione di ogni anello vorticoso su tutti gli altri presenti nel campo di moto. Seguendo questo approccio ogni singolo anello viene rilasciato dal disco rotore al passare di un certo Δt di tempo; per determinare l’intervallo di rilascio, in prima istanza si era pensato di utilizzare lo stesso approccio proposto da Leishman per quanto riguarda la scia prescritta di un rilascio ogni rivoluzione completa di una delle pale del rotore, in seguito invece si vedrà come sarà necessario effettuare una analisi più approfondita. Gli anelli vorticosi una volta rilasciati nello spazio sono quindi liberi di muoversi per effetto del vento asintotico, e dell’influenza dovuta alla presenza degli altri anelli rilasciati negli istanti temporali precedete e successivi al suo rilascio. Dopo un certo tempo gli anelli vorticosi troppo vecchi verranno eliminati, in quanto si considererà la loro influenza sul campo vorticoso ormai trascurabile. Per quanto riguarda il numero di anelli che interagiscono fra loro si è deciso di considerare una interazione completa fra tutti gli anelli del campo di moto, in quanto, come si può vedere nel capitolo relativo all’analisi d’efficienza computazionale cui si rimanda per una analisi approfondita su questo aspetto, si riesce anche in questo caso ad ottenere tempi di calcolo ragionevolmente accettabili, permettendo altresì interessanti analisi in condizioni di volo particolari quali il “vortex ring state”, in cui è sicuramente necessario considerare il contributo di tutti gli anelli, anche dei temporalmente più lontani in quanto si troveranno in aree spazialmente vicine.

Modellazione della singola discontinuità vorticosa

Per prima cosa si è proceduto a modellare il singolo anello, il cui movimento rispetto al campo di moto sarà affrontato in un secondo momento. Per avere una maggiore sicurezza sui risultati ottenuti, si sono elaborati due modelli differenti, di cui verranno poi confrontati i risultati. Nell’utilizzo finale verrà utilizzato il modello computazionalmente più efficiente; anche in questo caso si r i ma n d a a l c ap i t o lo s u ll ’ a n al i s i d’ e f f ic i e n za computazionale per maggiori dettagli.

Si procede quindi con due modalità differenti: in un primo programma l’anello è modellato con n segmenti vorticosi rettilinei, ottenendo una formulazione chiusa che, nota la circolazione sull’anello ed il raggio, permette di ottenere la velocità indotta in un qualunque punto dello spazio. Il programma sarà tanto più accurato quanti più segmenti vorticosi saranno utilizzati per approssimarlo, a discapito però dei tempi di calcolo. In un secondo programma si utilizza invece il modello sviluppato da Gibson in [6] e riportato da Lewis in [5] che, attraverso l’utilizzo degli integrali ellittici di primo e secondo tipo, fornisce direttamente una espressione in forma chiusa della velocità indotta da un anello vorticoso, senza passare dalla approssimazione lineare a tratti utilizzata col primo approccio. Nei due paragrafi successi sono riportate le formulazioni utilizzate assieme ai risultati ottenuti.

Modello d’anello lineare a tratti

Per lo sviluppo di questo modello ci si è basati sulla soluzione del singolo segmento vorticoso ad intensità costante, proposto da Katz-Plotkin in [7]. Si ricorda infatti che qualunque soluzione tridimensionale per problemi di ali o scie, è modellabile sempre sommando i contributi di un certo numero di segmenti vorticosi.

Il modello è ancora una volta basato sulla soluzione della legge di Biot-Savart, che applicata per un segmento vorticoso, per ottenere la velocità indotta in un punto P arbitrario fornisce:

Tutte le quantità che compaiono nella relazione precedente sono direttamente calcolabili a partire dai vettori r1, r2 ed r3 definiti fra gli estremi del segmento vorticoso (punti 1 e 2) ed il punto P, come visibile in figura. Γ è invece la circolazione attorno al segmento, il cui calcolo sarà illustrato nel seguito; infatti ai fini della trattazione attuale in questo paragrafo, la circolazione è sempre considerata unitaria.

Figura 17 Influenza di un segmento vorticoso su un punto P

Per non incorrere in problemi di singolarità, che occorrono quando il punto P giace sul segmento vorticoso, si assume che il segmento non sia a spessore nullo, ma abbia un piccolo raggio e i punti con coordinate tali per cui giacerebbero all’interno di questo raggio hanno velocità indotta nulla.

In Figura 18 è riportato il campo di velocità in direzione y ottenuto sul piano x, z per un segmento vorticoso di lunghezza e circolazione Γ unitaria.

A partire da questo modello di segmento è possibile costruire un poligono formato da n lati, identici, disposti a formare una figura regolare, che approssimi l’anello vorticoso. Sommando quindi i contributi alla velocità indotta di ciascun segmento sul punto P è possibile calcolare direttamente la velocità indotta dall’anello vorticoso approssimato:

Figura 18 Campo di velocità “v” attorno ad un segmento vorticoso unitario

Chiaramente quanto più il numero n di lati sarà elevato, quanto migliore sarà l’approssimazione.

Modello d’anello esatto

Come illustrato da Lewis in [5], sempre a partire dall’applicazione della legge di Biot Savart, che, per maggiore chiarezza, riportiamo nel seguito nella sua forma vettoriale, è possibile ricavare una formulazione in forma chiusa per una geometria anulare esatta.

Nella relazione precedente si è indicata con t il versore del segmento vorticoso analizzato di lunghezza ds e con R il vettore distanza radiale, Tali grandezze sono definite come di seguito riportato:

utilizzando queste relazioni nella legge di Biot Savart, nella sua forma differenziale riportata ad inizio paragrafo, applicata al calcolo della componente di velocità normale all’anello, ed integrata fra θ’=0 e θ’=2π si ottiene:

con xm ed xn coordinate lungo i dell’anello (punto n) e del punto P (punto m) rispetto al quale si valuta l’influenza; le altre quantità sono quelle visibili in Figura 19.

Tali relazioni sono integrabili utilizzando gli integrali ellittici di primo e secondo tipo, come suggerito da Gibson in [6] giungendo ad ottenere, la forma più compatta possibile per velocità assiale:

e velocità radiale:

Figura 19 Geometria anello vorticoso esatto

dove K(k) ed E(k) sono gli integrali ellittici completi di primo e secondo tipo, il cui calcolo verrà illustrato nel paragrafo successivo.

Inoltre x ed r sono le coordinate assiali e radiali adimensionalizzate:

e k è definito come:

Tali equazioni per la velocità risultano singolari: in particolare la componente assiale è singolare quando x = 0 e r = 1, ossia sui bordi dell’anello; la componente radiale è singolare anche per r = 0, ossia nei punti che giacciono sull’asse dell’anello.

Per risolvere questi problemi di singolarità, si è imposto un nucleo di desingolarizzazione ε = 0.05r nell’intorno di r=1, in cui la velocità viene considerata variare linearmente fra il valore di velocità a r–ε e r+ε. Il valore di 0.05 è stato scelto per evitare di avere gradienti di velocità troppo elevati sul bordo dell’anello, in accordo con il fenomeno fisico, e, come vedremo nel seguito, è il valore che permette di ottenere la migliore corrispondenza fra dati sperimentali, free-wake e quelli ottenibili con il presente modello di scia. Ogni parametro è comunque facilmente modificabile essendo tutto parametrizzato. Anche per quanto riguarda la singolarità sulla componente radiale in x = 0, nel calcolo della componente radiale di velocità si è utilizzato un nucleo di desingolarizzazione con raggio ε = 0.05r. Per quanto riguarda il profilo radiale di velocità si nota la presenza di una singolarità anche per r → 0; in tal caso però il limite della funzione tende asintoticamente a zero. Si può quindi utilizzare un nucleo di desingolarizzazione piccolo a piacere, e si è scelto di utilizzare 10-8.

Integrali ellittici di primo e secondo tipo

Gli integrali ellittici di primo e secondo tipo, nella forma elaborata nel 1963 da Dwight sono riportati nel seguito:

PRIMO TIPO:

SECONDO TIPO:

il loro valore è calcolabile attraverso formule di quadratura numerica, con le quali è possibile compilare delle tabelle valide universalmente dato il parametro k.

Il limite di validità di queste tabelle è per in cui gli integrali sono singolari. In prossimità di tali valori si possono però applicare delle espressioni asintotiche:

Una volta ricavate le tabelle sarà possibile interpolare linearmente in modo furbo per ottenere il valore in corrispondenza della che si sta analizzando. Infatti le tabelle sono costruite in modo ordinato, da con passo pari a 0.5°. In questo modo la posizione in tabella del valore più vicino, ma in modulo inferiore, a quello analizzato è trovabile univocamente come:

dove N=180 è l’indice massimo delle tabelle, il valore che si sta analizzando e il valore in tabella. Il valore in modulo superiore, secondo punto in cui far passare la retta interpolante è semplicemente il valore alla posizione successiva (i+1).

Campi di velocità ottenuti per la singola discontinuità vorticosa

Nelle figure 19 e 20 sono riportati i grafici di velocità ottenuti con le due formulazioni, lineare a tratti ed esatta, per raggio R dell’anello unitario e circolazione Γ unitaria. Come si può notare i risultati sono perfettamente identici. Nel caso polinomiale approssimato si è utilizzato un poligono con n=100 lati. L’efficienza computazionale della soluzione esatta dell’anello è molto maggiore rispetto a quella lineare a tratti, a causa del numero proporzionale ad n di calcoli da effettuare, che verrà quindi abbandonata, ma che ha costituito un ottimo mezzo di confronto dei risultati. Anche per questo caso una analisi più approfondita dei tempi di calcolo è riportata nel capitolo corrispondente.

Per ogni andamento sono riportati a sinistra i risultati ottenuti con l’anello approssimato a tratti, e a destra quelli ottenuti con la soluzione esatta. Inoltre per maggiore chiarezza ogni contour di velocità è riportato sia in pianta che in tridimensionale; la terza dimensione corrisponde all’intensità della componente di velocità analizzata.

Figura 20 Variazione velocità normale all’anello sull’anello stesso (z = 0)

In Figura 20 è possibile vedere l’andamento della componente normale di velocità sul piano dell’anello (z=0). La componente radiale non è riportata in quanto sul piano dell’anello la componente radiale di velocità è ovunque nulla. In Figura 21 sono invece riportati gli andamenti di velocità in direzione normale all’anello, al variare della quota z e della coordinata radiale lungo il solo asse x.

Figura 21 Variazione di velocità normale con quota (z) e distanza lungo la componente cartesiana x sul raggio

Nel paragrafo successivo verrà mostrato come utilizzare gli elementi vorticosi illustrati nel presente paragrafo al calcolo completo della scia in ogni condizione di volo.

Costruzione del modello di scia

Una volta ricavata la formulazione per la singola discontinuità viene illustrato il metodo adottato per posizionarla nello spazio e per farla interagire con le altre discontinuità vorticose presenti nel campo di moto. Come è già stato accennato nell’introduzione l’approccio adottato nel presente lavoro ha numerosi punti di contatto, e vuole avvicinarsi il più possibile ad un approccio freewake. Le discontinuità una volta rilasciate nel campo di moto vengono quindi lasciate libere di muoversi nello spazio influenzate soltanto dal vento asintotico e dalle altre discontinuità rilasciate negli istanti precedenti e successivi, senza ulteriori ipotesi approssimative sulla loro posizione. I vincoli presenti sono costituiti dal fatto che si assumerà che gli anelli vorticosi restino tali durante il loro movimento, potendosi modificare soltanto in ampiezza, il raggio varierà quindi a seguito della variazione della posizione mutua fra i punti di controllo agganciati agli anelli, ma non nella forma, essendo le formulazioni ricavate per il calcolo del campo di influenza del singolo anello valide soltanto per geometrie anulari piane. Gli anelli quindi nel loro movimento subiranno espansioni e contrazioni, varieranno la loro orientazione relativa, ma conserveranno sempre la loro geometria circolare esatta.

Il modello prevede che ogni un certo numero di istanti temporali una discontinuità vorticosa venga rilasciata nel campo di moto dal disco del rotore, di cui condivide versori e raggio al momento del rilascio. Come passo preliminare quindi bisogna trasformare tutte le velocità e le forze in un sistema di riferimento centrato ed orientato come il TPP. Per fare questo è opportuno ricavare le matrici di rotazione successive rispetto a vari sistemi di rifermento, in modo da avere tutti gli ingredienti necessari per passare da un sistema di riferimento Inerziale al sistema di riferimento TPP utilizzato nel modello di scia che si sta andando a presentare.

Rotazione da Inertial Frame a Body Frame

Questa matrice di rotazione permette di passare da un sistema di riferimento inerziale solidale con il terreno, con asse zi diretto come la verticale gravitazionale , xi che punta verso una direzione arbitraria ortogonale all’asse zi e yi di conseguenza per avere una terna destra, ad un sistema di riferimento body, solidale con il velivolo, centrato in un punto arbitrario che sarà poi utilizzato come origine per posizioni, velocità, forze ed accelerazioni agenti sul velivolo stesso e con asse xb giacente sull’asse longitudinale del velivolo e diretto verso l’anteriore, asse zb diretto verso il basso ed asse yb di conseguenza per ottenere una terna destra.

La matrice di rotazione per passare da assi corpo ad assi inerziali, riferita agli angoli di eulero è riportata nel seguito:

e di conseguenza la matrice trasposta da premoltiplicare al vettore in sistema inerziale per ottenere il vettore in assi body:

Rotazione da Assi Body ad Assi Shaft Body

Questa matrice di rotazione permette di passare dal sistema di riferimento body, descritto nel paragrafo precedente, ad un sistema di riferimento “shaft body” con origine in un punto giacente sull’asse del mast, ed in particolare con l’HUB nel caso di velivolo tradizionale, e il PIVOT nel caso di convertiplano, asse zsb diretto come il mast, positivo verso l’alto, asse xsb normale a zsb e giacente sul piano di simmetria in caso di velivolo tradizionale (piano xb, zb) e parallelo allo stesso ma passante per il pivot in caso di convertiplano, positivo all’indietro, ed asse ysb di conseguenza per avere una terna destra.

La rotazione fra questi due sistemi di riferimento passa attraverso due notazioni successive da eseguire nell’ordine indicato, come garantito dal teorema di Eulero.

Per effettuare queste rotazioni ci si servirà del tensore di rotazione di Eulero-Rodriguez che fornisce l’espressione della matrice di rotazione necessaria ad effettuare una rotazione di un generico angolo ϑ attorno ad un asse di cui sia noto il versore

Rotazione da terna BODY a terna TILT: sfruttando il teorema di Eulero-Rodriguex si ricava la matrice di rotazione R TILT

B ottenuta ruotando di un angolo θ= π TILT attorno all’asse

che permette di passare dal sistema di riferimento tilt al sistema di riferimento body; di conseguenza per passare dal sitema body al sistema tilt bisognerà premoltiplicare il vettore espresso in body per

Rotazione da terna TILT a terna SHAFT-BODY: sfruttando

ancora una volta il teorema di Eulero-Rodriguez con ϑ = CANT e si ricava la matrice di rotazione che permette di passare dal sistema shaft-body al sistema tilt.

Combinando queste due rotazioni si ottiene la matrice di rotazione cercata che permette di passare da body a shaft-body:

Rotazione da assi body ad assi shaft

Nel caso in cui si stia considerando un convertiplano, è necessario introdurre un ulteriore sistema di riferimento che tenga in conto della rotazione dell’angolo di nacelle che i rotori subiscono in seguito alla variazione di configurazione. La terna shaft che viene qui presentata, coinciderà con quella shaft frame nel caso di velivolo tradizionale per il quale l’angolo di nacelle non è definito. Tale rotazione permette quindi di passare da un sistema body ad un sistema shaft, centrato nel pivot point, con assi definiti allo stesso modo di quelli del sistema shaft-body, ma tiltati di un ulteriore angolo, l’angolo di nacelle.

Per ricavare questa matrice di rotazione si deve introdurre una terza rotazione successiva alle due presentate nel paragrafo precedenti che permettevano di passare da body a shaft-body. In particolare sfruttando ancora una volta il tensore di Eulero Rodriguez si effettua una rotazione di un angolo ϑ = NACELLE attorno all’asse

ottendendo la matrice di rotazione da shaft a shaftbody.

Il tensore di rotazione completo per passare da body a shaft è quindi ottenibile combinando le rotazioni successive e sarà:

Rotazione da assi Shaft ad assi Shaft-wind

Questa matrice di rotazione permette di passare dal sistema shaft ricavato nel paragrafo precedente ad un sistema di riferimento shaft-wind, con cui ha in comune l’origine, l’asse zsw=zs, mentre ha asse xsw definito come l’asse normale a zsw che giace sul piano definito da zsw e dal vettore velocità asintotica, e con verso allineato alla proiezione della velocità asintotica con il piano ortogonale a zsw; l’asse ysw è definito di conseguenza in modo da avere una terna destra. L’importanza di questo sistema di riferimento risiede nel fatto che il vettore velocità giacerà sempre nel semipiano positivo definito da xsw e da zsw.

La matrice di rotazione come evidente dalla definizione dei sistemi di riferimento si riduce ad una rotazione attorno all’asse zs=zsw dell’angolo di “sideslip” definito come: dove si è indicato con Vs la velocità all’hub espressa in coordiante shaft. La matrice di rotazione che si ottiene è: .

Come di consueto quindi per passare dal sistema body al sistema shaft-wind bisognerà moltiplicare nella corretta sequenza le relative matrici di rotazione. In particolare:

Rotazioni da assi Shaft-Wind ad assi TPP

Infine per ottenere il sistema di riferimento cercato, in cui verranno effettuati tutti i calcoli relativi alla scia, bisogna introdurre un’ultima rotazione che permetta di passare dagli assi shaft-wind definiti nel presente paragrafo agli assi TPP, che tenendo in conto dei flappeggi permettono di definire un sistema di riferimento solidale con il disco del rotore; in particolare il sistema di riferimento TPP ha asse ztpp ortogonale al disco del rotore(in inglese tip path plane), positivo verso l’alto, asse xtpp con la stessa direzione e verso della proiezione della velocità asintotica sul piano TPP stesso ed ytpp di conseguenza per avere una terna destra.

La matrice che permette di effettuare queste rotazioni, nell’ipotesi di piccoli angoli di rotazione, condizione in genere sempre verificata per gli angoli di flappeggio longitudinale, a1, e laterale, b1, si riduce a:

Quindi il tensore di rotazione che permette il passaggio da coordinate body a coordinate tpp è: e si può finalmente scrivere anche il versore di rotazioni complessivo da inerziale a TPP:

Procedura per ottenere la scia

A questo punto abbiamo a disposizione tutti i sistemi di riferimento necessari, e utilizzando gli input in termini di trazione, velocità e versori del TPP è possibile costruire il modello di scia.

In particolare si aggancia la posizione di ogni discontinuità vorticosa al momento del rilascio con la posizione di 4 punti di controllo disposti lungo gli assi x ed y del TPP. Il movimento degli anelli sarà conseguenza dell’induzione di tutti gli anelli presenti nel campo di moto e della velocità asintotica istantanea al momento del rilascio su questi quattro punti. La posizione di questi punti lungo gli assi del tpp è stata parametrizzata, attraverso un coefficiente moltiplicativo al raggio del rotore, epsR, che può variare da 0 ad 1. Si ritiene infatti che la zona più significativa a livello delle velocità indotte sia la zona interna alla discontinuità vorticosa. La scelta del valore che assegneremo ad epsR sarà discussa nei capitoli successivi. La posizione dei quattro punti di controllo scritta in coordinate TPP è la seguente:

e per maggiore chiarezza è riportata graficamente in Figura 22.

Figura 22 Schema punti di controllo sulla discontinuità vorticosa

Ogni discontinuità vorticosa sarà univocamente determinata da tre informazioni: dalla posizione del centro

O, dal suo raggio r ed infine dai 3 versori, t3 normale al piano dell’anello e diretto verso il basso, t1 diretto verso il punto di controllo A, e t2 di conseguenza diretto verso il punto di controllo D in modo da avere una terna destra.

Figura 23 Schematizzazione singola discontinuità vorticosa

Tutte queste convenzioni per maggiore chiarezza sono riportate nello schema in Figura 23. Al momento del rilascio tutte queste informazioni sono note, e corrispondenti alle caratteristiche del disco del rotore: r assumerà il valore R, raggio del rotore, il centro sarà posizionato nell’HUB, e i versori saranno t1=itpp, t2=-jtpp e t 3 =-ktpp. Ove non specificato d’ora in avanti s’intenderanno tutte le quantità espresse in sistema di riferimento TPP.

Attraverso queste informazioni la prima discontinuità vorticosa rilasciata è completamente determinata. Utilizzando le relazioni viste in precedenza, è possibile valutare la velocità autoindotta dalla discontinuità stessa sui suoi punti di controllo, ed in un secondo momento, quando anche altre discontinuità saranno rilasciate, sarà possibile valutare con una procedura del tutto simile anche l’induzione proveniente dalle altre discontinuità presenti nel campo vorticoso. Vediamo ora come, a partire dalle equazioni per il calcolo della velocità indotta in direzione radiale e normale all’anello viste quando si è presentata la singola discontinuità, sia possibile calcolare la velocità in un punto generico dello spazio; utilizzeremo questa informazione per valutare la velocità indotta in tutti i punti di controllo di tutti gli anelli presenti nel campo di moto.

Innanzitutto devono essere noti i versori t1 t2 e t3 della discontinuità inducente, e la posizione del suo centro O. Con queste informazioni si calcola il vettore distanza del punto di controllo che stiamo analizzando(Pi)dal centro: e quindi attraverso dei prodotti scalari di questo vettore distanza con i tre versori dell’anello si trovano le tre componenti espresse in coordinate locali anello:

Questa trasformazione permette di ottenere direttamente le distanze normali e radiali del punto dalla discontinuità, che, come abbiamo visto, sono necessarie per il calcolo della velocità indotta. La distanza normale sarà direttamente la terza componente del vettore distanza espresso in coordinate locali e quella radiale sarà invece il modulo del vettore risultante dalla composizione delle due componenti x ed y locali: Ad ime ns io na liz za nd o que st e distanze con il raggio attuale dell’anello, e quindi nel primo istante temporale con il raggio del rotore, è possibile calcolare direttamente la velocità indotta in direzione normale e radiale sul punto di controllo che si sta analizzando, utilizzando le relazioni (*) e (*). Il tutto ancora per unità di circolazione. Il calcolo della circolazione verrà illustrato nel capitolo successivo assieme al calcolo di tutti gli altri parametri.

Note le velocità normali e radiali bisogna tradurre queste informazioni nel sistema di riferimento cartesiano globale TPP; Per fare questo bisogna procedere a ritroso: la velocità radiale deve essere divisa nelle sue componenti cartesiane locali x ed y , mentre la velocità normale è già interamente diretta nella direzione z locale. Per passare alle coordinate tpp globali è a questo punto sufficiente moltiplicare il vettore velocità espresso in coordinate cartesiane locali per la matrice dei coseni direttori che nel caso in esame si riduce ad essere una matrice le cui colonne sono i versori t1 t2 e t3 della discontinuità in ducente espressi nel sistema di riferimento globale:

Una volta note le velocità in ciascuno dei 4 punti di controllo della prima discontinuità, è possibile valutare la nuova posizione della stessa nell’istante temporale successivo, con una semplice integrazione temporale utilizzando il metodo di eulero in avanti:

dove i vettori P e V sono vettori colonna a 12 componenti, costruiti unendo le coordinate dei 4 punti di controllo di ogni anello come mostrato nel seguito:

Una volta calcolata la nuova posizione dei 4 punti di controllo dopo un intervallo di tempo ΔT bisogna ricavare la nuova posizione dell’anello in termini di centro dell’anello e di versori nel nuovo sistema di riferimento TPP; infatti a seguito di variazioni di assetti, e di controlli la posizione del tpp in body frame potrebbe essere cambiata. È quindi necessario ruotare il vettore posizione P all’istante attuale nel nuovo sistema di riferimento TPP. Per fare ciò è sufficiente costruire una matrice dei coseni direttori con i versori del tpp espressi in body frame all’istante precedente e con gli stessi all’istante attuale nel modo riportato nel seguito:

Premoltiplocando questa matrice per il vettore P si ottiene lo stesso nel nuovo sistema di riferimento TPP attuale. Una volta ottenuto il vettore dei punti di controllo nel nuovo sistema di riferimento, si possono calcolare la posizione del centro dell’anello e quindi i versori. Come posizione del centro si è deciso di utilizzare il baricentro dei 4 punti di controllo che può essere calcolato come:

E quindi non resta che calcolare i versori dell’anello; in particolare il versore t1 sarà dato dal vettore spiccato dal punto di controllo C ad intercettare il punto di controllo A, normalizzato con la lunghezza del segmento CA:

La scelta del primo versore è arbitraria ed è stata effettuata in modo da averlo il più possibile allineato con il versore itpp .

Il versore t3 ortogonale al disco e diretto verso il basso viene calcolato moltiplicando vettorialmente il vettore spiccato dal punto di controllo C ad intercettare il punto di controllo A, con il vettore spiccato dal punto di controllo B ad intercettare il punto di controllo D. Il vettore risulatante è ancora una volta normalizzato con il suo modulo per ottenere il versore cercato:

Il rimanente versore t2 può a questo punto essere calcolato direttamente con un prodotto vettore fra t3 e t1, in modo da ottenere una terna destra:

L’ultima cosa che resta da calcolare per avere la descrizione completa dell’anello è il raggio all’istante attuale; per farlo vengono calcolati i moduli dei quattro vettori spiccati dal centro del disco ad intercettare i punti di controllo dell’anello, il raggio attuale sarà dato

dalla media di queste quattro distanze divisa per epsR:

Prima di calcolare le nuove velocità indotte, visto che si vuole seguire dei punti di controllo che abbiano sempre la stessa posizione relativa sull’anello, una volta calcolate tutte le quantità che lo caratterizzano si riposizionano i punti di controllo. Per fare ciò si utilizza una matrice di rotazione che permette di passare da punti espressi nel sistema di riferimento TPP globale, al sistema di riferimento collocato sull’anello. Si vuole infatti imporre che i punti di controllo abbiano, a meno del raggio, la stessa posizione relativa all’anello che avevano al momento del rilascio.

La matrice dei coseni direttori che permette di fare ciò è una matrice le cui componenti sono costituite da prodotti scalari fra i tensori dell’anello in sistema di riferimento tpp al momento del rilascio, e quindi:

con i versori t1 t2 e t3 dell’anello corrente ottenendo:

Quindi il vettore (12x1) contenente le posizioni ricollocate dei punti di controllo sarà dato da:

r raggio dell'anelloe Rraggio rotore.

Con questa procedura si è in grado di determinare univocamente la posizione di un anello nello spazio lasciato libero di muoversi.

Per costruire la scia ci si affida al rilascio di un numero N di anelli vorticosi, uno ogni un certo DT temporale, maggiore dell’intervallo temporale d’integrazione utilizzato precedentemente. La scelta del valore da assegnare a questo intervallo temporale sarà oggetto di studio nel capitolo successivo in cui verranno mostrati tutti i parametri di taratura utilizzati.

Ad ogni istante temporale bisogna ripetere il procedimento illustrato per tutti gli anelli fino a quel momento rilasciati, calcolando per ciascun anello la posizione, in termini di posizione del punto O, raggio r e versori t1 t2 e t3, e la velocità indotta in ciascun punto di controllo da tutti gli anelli( o da un certo numero di anelli attorno all’anello analizzato) presenti nel campo di moto. Per fare ciò si realizza un ciclo for “spaziale” che scandagli tutte le discontinuità vorticose, e si ripete la proceduta vista per il singolo anello e quindi:

Ci si posiziona di volta in volta, attraverso i versori dell’anello inducente, nelle sue coordinate locali, e si valuta la velocità indotta dallo stesso sui punti di controllo dell’anello analizzato in sistema di riferimento TPP globale

Si ripete la procedura per tutti gli anelli inducenti presenti e si passa ad analizzare le velocità indotte sui punti di controllo dell’anello successivo;

Si ripete la procedura fino a quando sono note le velocità indotte da tutti gli anelli su tutti i punti di controllo di ogni anello presente nel campo di moto.

E’ stata prevista per il primo punto della procedura illustrata la possibilità di valutare l’induzione causata anche da un numero più ristretto di anelli, e non soltanto da tutti quelli presenti nel campo di moto. Questa scelta è stata effettuata per permettere facilmente di analizzare una scia computazionalmente meno costosa per la quale sia possibile scegliere di valutare l’influenza mutua fra una discontinuità vorticosa e solo un certo numero n di discontinuità rilasciate precedentemente e successivamente.

Ad ogni istante temporale, una volta completati i cicli spaziali su tutte le discontinuità, si può calcolare la velocità indotta complessivamente dalla scia su tutti i punti di controllo e quindi integrando nel tempo con Eulero esplicito la loro posizione nell’istante temporale successivo, in modo del tutto analogo a quanto visto per la singola discontinuità. Si è scelto di porre un limite, anch’esso parametrizzato alla “vita delle discontinuità”; si ritiene cioè che, a seguito di fenomeni dissipativi, dopo un certo numero N di discontinuità rilasciate quelle più “vecchie” di N non avranno più influenza sul campo vorticoso e saranno quindi eliminate.

Ground Effect

Il modello di scia proposto permette il calcolo della scia in qualsiasi condizione di volo, come verrà mostrato nel capitolo relativo alla validazione. Per trattare però il volo vicino al suolo(In ground effect: IGE) alcuni accorgimenti aggiuntivi devono essere effettuati rispetto al caso OGE(Out of ground effect) fino ad ora presentalo. A causa del bloccaggio della scia causato dalla condizione al contorno materiale dovuta alla prossimità del suolo in corrispondenza del quale la velocità indotta deve essere nulla, il rotore del velivolo si trova a lavorare in una condizione in cui il tubo di flusso non si estende più fino all’infinito e la velocità indotta sul rotore quindi assume valori inferiori al caso di OGE; in questa condizione la scia collide con il suolo, provocando significative perturbazioni nel flusso vicino al rotore. Nel volo avanzato a causa di questo fenomeno di assiste a formazione e passaggio di un vortice toroidale nella zona anteriore della scia. Per trattare questo fenomeno si è deciso di utilizzare il metodo a specchio come proposto diffusamente in letteratura, per esempio anche da Padfield in [8], nel quale il comportamento in IGE è modellato utilizzando un secondo rotore fittizio di intensità uguale ma opposta collocato in una posizione equidistante rispetto al suolo al disotto del suolo stesso, come mostrato nello schema. In questo modo si riesce ad avere una buona modellazione del fenomeno ed una corretta riduzione della velocità indotta sul rotore, modellando automaticamente ed in modo corretto la condizione al contorno di velocità nulla al suolo.

Operativamente per implementare questa condizione, al momento del calcolo della velocità indotta di ogni anello vorticoso su ogni punto di controllo, si duplica il processo sommando alla velocità indotta dall’anello reale anche quella indotta da un anello fittizio, l’anello specchio, posizionato in modo da avere il centro con le stesse coordinate x ed y, ma coordinata z opposta. Anche i tre versori dell’anello fittizio saranno identici a quelli dell’anello reale corrispondente, a meno della terza coordinata di ogni versore che sarà opposta:

Utilizzando queste informazioni si può calcolare il contributo alla velocità indotta da sommare a quella calcolata per i vortici reali, dovuto alla presenza del suolo, per ogni punto di controllo di ogni anello, ed effettuare valutazioni di scia anche nella condizione cercata di ground effect.

Parametri di modello

Il modello fino a qui presentato necessita di alcuni parametri per funzionare; innanzitutto, nulla è ancora stato detto sul modello utilizzato per definire la circolazione Γ sulle discontinuità vorticose, sul tempo ΔT di rilascio delle discontinuità vorticose, e su alcuni coefficienti moltiplicativi, in particolare kp e kΓ necessari per una corretta scalatura della scia.

Circolazione

Come già accennato si è deciso di considerare la circolazione sul singolo anello come invariante nel tempo: ad ogni anello sarà “agganciata” la circolazione che aveva al momento del suo rilascio, e che conserverà per tutto il tempo in cui sarà presente nel campo di moto. Si avranno quindi anelli con circolazione differente l’uno dall’altro, a seguito della diversa condizione di rilascio, ma con circolazione che si mantiene costante sul singolo anello nel tempo. Per calcolare la circolazione al momento del rilascio ci si appoggia alla teoria vorticosa, per la quale, come riportato per esempio da Leishman in [4], la trazione sul disco del rotore può essere ottenuta integrando la circolazione nel seguente modo:

Rielaborando questa equazione per il semplice caso della teoria del disco attuatore omogeneo, come quella utilizzata nel modello di rotore a monte, si può giungere alla relazione utilizzata nel presente lavoro, in cui si è introdotta come superficie caratteristica del rotore la sua area geometrica moltiplicata per la sua solidità, parametro esprimente la quota parte di superfice del rotore occupata dalle pale. L’espressione generica utilizzata per la circolazione è la seguente:

Parametri kΓ e kp

Analizzaimo ora i parametri kΓ e kp che compaiono nell’equazione per la circolazione.

kΓ è un coefficiente moltiplicativo di scala utilizzato per avere la migliore corrispondenza possibile con i risultati teorici e sperimentali utilizzati nella validazione; come valore si è trovata la migliore corrispondenza ponendo kΓ = 1.2, in accordo anche al valore trovato con degli studi su un modello freewake “tradizionale” realizzato in AW da Riccardo Bianco Mengotti.

Il coefficiente kp ha invece natura ed origini diverse e più elaborate, legate al tempo di rilascio delle discontinuità vorticose, al fine di garantire una scia sufficientemente densa nelle varie configurazioni e nelle varie condizioni di volo.

Si vuole infatti avere un coefficiente che quantifichi in termini adimensionali il tempo necessario ad una singola discontinuità vorticosa a percorrere lo spazio di un raggio a valle del disco del rotore. Per fare ciò è necessario valutare la velocità media dell’influsso sul disco del rotore, in modo non necessariamente troppo accurato. Risponde perfettamente al requisito il calcolo della velocità indotta secondo la teoria di Glauert del disco attuatore per il quale:

Con questa informazione si costruisce il coefficiente kp che soddisfa i requisiti:

lascio della discontinuità vorticosa

Il tempo di rilascio del singolo anello è strettamente legato al coefficiente kp, in particolare si è visto che si riesce ad avere una rappresentazione corretta della scia, sufficientemente fitta e con velocità indotte valutate in modo adeguato facendo in modo di avere una scia con circa 4 discontinuità vorticose contenute nello spazio di un raggio a valle del rotore. Ciò è garantito da un tempo di rilascio se si considera una circolazione su ogni singola discontinuità pari a 4 kp volte, da qui il motivo per cui compare un fattore 4 nell’espressione della circolazione, necessario ad avere la stessa correttamente scalata. Tale fattore moltiplicativo “4” è stato trovato in via empirica testando i modelli di rotore illustrati nel seguito, al fine di trovare una configurazione universale.

Parametro epsR

Come accennato un altro parametro di modello significativo è costituito dalla distanza radiale adimensionale dal centro dell’anello in cui i punti di controllo sono collocati. Per scegliere questo valore si è provato a generare scie in Hover ed in volo avanzato con epsR compresi fra 0.2 e 1. Si è notato come sia necessario collocarsi in una posizione inferiore di epsR inferiore a 0.8 per evitare le zone più vicine alla singolarità dell’anello in cui i gradienti di velocità sono particolarmente elevati; inoltre i punti sull’anello che si trovano in questa zona, a causa di wake contraction e di velocità di avanzamento significative, vengono spesso a trovarsi all’esterno del campo indotto dagli altri anelli, perdendo parte del contributo alla velocità indotta dovuto all’interazione fra i vari anelli che rappresentano la scia. Le zone più interne invece, ossia quelle caratterizzate da un epsR < 0.5 si vengono a trovare in una regione in cui il flusso è troppo omogeneo, i contributi in stazionari sono più limitati e quindi non adeguata per collocare dei punti di controllo che determinano la posizione degli anelli e la geometria della scia. Dal confronto con scie sperimentali e freewake si è giunti a trovare come punto di miglio compromesso epsR =0.7. A questa distanza infatti il flusso è già abbastanza interno all’anello in modo da trovarsi in una zona con gradienti di velocità non troppo elevata, ma sufficientemente vicino agli altri anelli a lui più prossimi che possono esercitare la loro influenza sui punti di controllo permettendo il miglio posizionamento delle discontinuità vortiocose.

Valori ed espressioni di tutti questi parametri di modello sono stati ricavati testando numerose configurazioni di rotori, ed in particolare:

Il rotore principale del Sikorsky CH53E Super Stallion, per il quale è stato possibile ricavare in letteratura [9] numerosi dati sperimentali che ne caratterizzano il comportamento in IGE e i cui dati principali utilizzati sono:

Un modello di galleria di un rotore principale utilizzato sperimentalmente da M. Boffadossi e G. Crosta in [10], per effettuare valutazioni di scia in hover in galleria del vento. Le principali caratteristiche del rotore sono le s eguenti:

Un modello in scala del rotore principale dell’elicottero AW139 utilizzato per valutazioni in volo avanzato in IGE in galleria del vento. Le principali caratteristiche di questo rotore sono:

Rotore simile al rotore principale del velivolo AW139 con le seguenti caratteristiche:

Rotore simile al rotore di coda del velivolo AW139, i cui dati principali sono i seguenti:

Rotore simile a quello del convertiplano BA609, con i seguenti dati modello:

Tutti i test effettuati sui 6 modelli hanno permesso di ottenere i coefficienti ed i parametri sopra illustrati, permettendo di generalizzare il modello in modo da garantirne il funzionamento con i più vari tipi di rotore. Infatti, come si può vedere dalle caratteristiche dei rotori analizzati, si è cercato di spaziare fra rotori molto differenti, che vanno dai piccoli rotori quali quelli dei due modelli di galleria ed il rotore di coda del AW 139, crescendo di dimensioni e di numero di pale fino ad arrivare al rotore del Sikorsky CH53E Super Stallion.

Analisi Computazionale

Validazione del modello

Si procede ora alla validazione del modello di scia dinamica qui presentato. Dato le prerogative del modello, che come illustrato si prefigge l’obiettivo di permettere delle analisi di scia libera, seppur semplificata dalla tipologia delle discontinuità vorticose scelte, senza quindi i limiti rappresentati da una scia prescritta che può operare solo in condizioni classiche di volo quali l’hover o il volo avanzato a causa della sua geometria vincolata, si è deciso di procedere ad una validazione nelle più varie condizioni di volo. Alle classiche analisi in hover e volo avanzato già affrontate con i primi modelli di scia prescritti mostrati nella prima parte del presente lavoro, si affiancheranno in questo caso analisi nelle condizioni di effetto suolo, sia in hover che in volo avanzato, ed analisi in condizioni di salita-discesa con particolare attenzione al fenomeno del vortex ring state(VRS), condizione difficilmente analizzabile e predittibile, che si verifica in condizione di discesa assiale del rotore quando a causa del cambiamento di segno della velocità indotta sotto il rotore, formano degli anelli vorticosi di dimensioni importanti. Questi anelli vorticosi, a velocità di discesa sufficientemente elevate, vanno a disturbare il flusso nella zona vicino al rotore causando un’aumento della potenza necessaria (power settler) dovuta al fatto che il rotore richiede potenza per fornire velocità indotta alla corrente turbolenta, generando quindi problemi a livello di pilotaggio e forti instabilità. Il regime di vortex ring state si verifica teoricamente per velocità di discesa uguali alla velocità di influsso, ossia per

ma in pratica si risente dei suoi effetti già da una velocità di discesa pari a 0.25wi e fino ad una velocità di discesa di 1.25wi. In questa condizione cadono le ipotesi di applicabilità della teoria del disco attuatore, e delle altre teorie classiche per la velocità indotta, e la modellazione-predizione è tutt’ora un problema non completamente risolto (si veda a per esempio il lavoro di Taghizad, Jimenez, BInet, Heuzé [11]).

La validazione in tutte queste condizioni di volo è stata effettuata comparando i risultati ottenuti con altri sperimentali e/o numerici reperiti in letteratura, e che saranno brevemente descritti all’inizio del paragrafo relativo ad ogni condizione di validazione.

In particolare ci si è appoggiati al lavoro teoricosperimentale di Boffadossi e Crosta riportato in [10] per quanto riguarda la validazione in Hover, al confronto della wake contraction in hover con le formulazioni teoriche trovate da Landgrebe [12], ai risultati sperimentali e free wake di Ghee ed Elliot [13] riportati da Leishman in [4] per quanto riguarda hover e volo avanzato in OGE, ai risultati freewake riportati da Leishman in [4] per quanto riguarda le geometrie della scia in VRS, alle curve teoriche ricavate con la “extended momentum theory” e riportate da Taghizad, Jimenez, BInet, Heuzé in [11], per quanto riguarda le analisi in VRS, ai risultati sperimentali in hover in IGE sul velivolo CH53E riportati da Fergusson in [9], ed infine ai risultati in termini di campi di velocità sperimentali in galleria del vento per volo avanzato in IGE realizzati da Thomopoulos A. in [14].

Hover in OGE

In questo paragrafo si illustreranno i risultati ottenuti per il volo al di fuori dell’effetto suolo in hover. Per questa analisi si è modellato il rotore per prove in galleria del vento utilizzato da Boffadossi e Crosta in [10], le cui caratteristiche sono già state mostrate nel paragrafo precedente, in modo da poter confrontare i risultati ottenuti con quelli riportati nell’articolo.

I dati di validazione utilizzati sono stati ricavati da Boffadossi e Crosta testando nella galleria del vento Augusta un modello di rotore isolato, costituito da un Hub completamente articolato con 4 pale rettangolari, al fine di determinare in via sperimentale e numerica con un codice freeware in stazionario di confronto, il campo di moto e la struttura della scia. La camera di prova in cui il rotore è stato testato ha dimensioni 9.0 per 9.0, con un’altezza di 5.0 m, per garantire un flusso sul rotore, che ha un raggio di 0.8 m, che non risenta di effetto suolo. Le misure effettuate, ed utilizzate nel presente lavoro come sorgente di validazione, sono relative a 60 punti compresi fra una distanza radiale r/R = 0.288 ed una distanza radiale r/R = 1.025 a varie distanze a valle del rotore. In particolare a due distanze a valle del rotore ritenute più significative, in particolare alla distanza z/R = -0.6 e z/R = -0.15 i risultati ottenuti sperimentalmente sono confrontati nell’articolo con quelli ottenuti in via numerica attraverso un codice freewake non lineare basato sul metodo vortex-lattice, in cui le pale sono assunte come superfici rigide, prive di spessore ma con twist e rapporto rastremazione arbitrari, e sono discretizzate in un numero finito di pannelli schematizzati come segmenti vorticosi lineari sui loro bordi che formano un serie di quadrilateri vorticosi con circolazione costante. La scia è generata rilasciando Lagrangianemente un nuovo segmento formato dalla serie di pannelli vorticosi e lasciati liberi di muoversi nel campo di moto. Le velocità indotte sono calcolate utilizzando la Legge di Biot Savart, applicando un modello di diffusione viscosa del core consistente il meccanismo di diffusione turbolenta.

Per gli scopi validativi del presente lavoro sono stati utilizzati i risultati sperimentali e numerici per i campi di velocità ottenuti in direzione radiale ad una distanza adimensionalizzata di z/R = -0.6, zona più significativa per gli effetti di interferenza aerodinamica, e quindi più interessante per il presente studio rispetto a quelli ad una distanza z/R = -0.15 troppo vicina al disco del rotore.

I parametri utilizzati nella simulazione, oltre a quelli generici già presentati che sono utilizzati universalmente nei vari modelli, si utilizza per questa configurazione una simulazione che si svolge in 600 istanti temporali, con un istante temporale corrispondente ad 1/10 di ΔT, tempo di rilascio dei vortici. Inoltre si è deciso di considerare dissipati i vortici rilasciati da oltre 20 ΔT; dopo la fase iniziale di avviamento si avranno sempre 20 anelli vorticosi nel campo di moto. In questo modo si ottiene sicuramente una scia ben sviluppata ed una buona descrizione spaziale del movimento della scia stessa. Per il calcolo delle velocità indotte nei punti di valutazioni nella zona analizzata nell’articolo di Boffadossi, e quindi ad una distanza di z/R = -0.6 a valle del rotore e per posizioni radiali comprese fra r/R = 0 e r/R = 1.1, si è deciso per avere una risoluzione la più accurata possibile di calcolare le velocità indotte negli ultimi 100 istanti temporali, in cui si è verificato che la scia fosse già completamente sviluppata, e di mediare poi i valori ottenuti.

Nel seguito riportiamo i risultati ottenuti in termini di geometria della scia all’istante temporale finale, ai campi di modulo della velocità indotta e di velocità indotta in direzione assiale sul piano longitudinale, e al campo di velocità indotta radiale sul piano trasversale sul disco del rotore e alla distanza a valle di z/R = -0.6.

Figura 24 Geometria della scia

Come si può vedere dalla figura 24 la scia è sufficientemente densa e correttamente descritta da circa quattro anelli vorticosi ogni raggio di distanza a valle del rotore. Sempre nella stessa figura si possono anche vedere le posizioni dei punti di controllo su ogni anello utilizzati per ricavare la geometria stessa. Nei grafici visibili nella figura 25 è possibile vedere il confronto con i dati sperimentali di galleria ottenuti da Boffadossi e Crosta alla distanza di z/R = 0.6. I grafici sono stati realizzati utilizzando vari valori di kΓ per verificare che il valore scelto di 1.2, e che è stato usato per tutte le visualizzazioni riportate nelle figure precedenti, fosse il miglior compromesso possibile; si è altresì verificato il parametro epsR = 0.7.

Figura 25 Confronto con i risultati sperimentali di Boffadossi e Crosta

Come si può vedere l’andamendo del modulo di velocità media con r/R per kΓ =1.2 ricalca con un’ottima approssimazione la curva sperimentale per valori di r/R superiori a 0.8. Nella zona più interna della scia l’andamento è invece abbastanza differente, a causa della incapacità del modello realizzato di descrivere i vortici interni alla scia, non essendo stati modellati. Un possibile soluzione ipotizzata e che potrebbe essere interessante analizzare con successivi lavori è il rilascio di ulteriori discontinuità vorticose di raggio più piccolo ed intensità minore di quelle principali utilizzate nel presente modello, rilasciate in posizione concentrica agli anelli principali dal disco del rotore. Un simile approccio da valutare potrebbe permettere una descrizione più accurata la distribuzione radiale di velocità indotta all’interno della scia.

La curva per kΓ =1.2 risulta comunque anche per la zona interna il miglior compromesso essendo l’area sottesa alla curva stessa, e quindi la velocità media in questa stazione a valle del rotore, la più simile all’area sottesa dalla curva sperimentale trovata da Boffadossi e Crosta. Interessante notare come il presente metodo per coordinate x/R maggiori di 0.85 fornisca risultati più vicini a quelli sperimentali rispetto a quelli ottenuti da Boffadossi e Crosta con il metodo freevortex classico.

Figura 26 Confronto con Boffadossi Crosta a kΓ=1.2 e epsR variabile

Sempre per quanto riguarda la condizione di Hover in OGE si sono effettuati degli altri confronti utilizzando come modello il rotore del CH53E sempre con kΓ = 1.2 epsR = 0.7, 600 istanti temporali pari ad 1/10 del tempo di rilascio dei vortici, ed un numero massimo di 20 vortici presenti nel campo di moto. In particolare si tratta di confronti qualitativi con delle scie ottenute con modelli Freewake e riportate da Leishman in [4]. Il campo di velocità longitudinale ottenuto è quello colorato riportato in Figura 26, con sovrapposta la curva nera che rappresenta la scia freewake di Leishman. È confermata una buona corrispondenza qualitativa della scia generata dal presente modello con quella ottenuta con un metodo freeware classico e quindi più elaborata ma necessariamente più costosa, soprattutto nelle zone comprese fra il rotore ed una distanza pari a 1.5 raggi a valle. Oltre il modello freewake classico riesce a modellare correttamente il comportamento aperiodico, che comporta un aumento del raggio medio della scia, comportamento che anche il nostro modello cerca di effettuare, si assiste infatti ad un certo aumento del raggio della scia, ma in modo molto più limitato, come visibile nella Figura 27 in cui si riportano gli anelli vorticosi confrontanti sempre con i risultati freewake di Leishman.

Figura 27 Confronto scia in Hover CH53E con scia Freewake

Figura 28 Confronto vortici in Hover con freewake

Infine sempre per quanto riguarda l’hover del rotore principale del CH53E si è voluto effettuare un confronto della contrazione della scia con quanto ottenibile con il modello teorico di Landgrebe, per il quale la posizione dei vortici di estremità, può essere individuata attraverso una funzione esponenziale per la coordinata radiale, caratterizzata da dei parametri determinati in modo empirico, in modo da generalizzare la geometria dei vortici di estremità attraverso i parametri caratteristici del rotore analizzato. In particolare le coordinate assiali dei vortici d’estremità sono ottenibili con le seguenti relazioni:

Mentre le coordinate radiali sono ottenibili con:

L’andamento di questi parametri con l’azimut ψw è riportato per il velivolo CH53E in Figura 29.

Figura 29 Coordinate radiali ed assiali vortici d’estremità secondo Landgrebe

Nella Figura 30 sono invece riportati rispettivamente il campo di velocità longitudinale e gli anelli vorticosi in Hover per il CH53E confrontati con la wake contracttion ottenuta unendo le due curve precedenti di coordinate radiali ed assiali secondo Landgrebe, la curva in rosso, ottenendo una buona corrispondenza.

Figura 30 Confronto anelli vorticosi con Formulazione di Landgrebe per la wake contraction

Figura 31 Confronto campo vorticoso con Formulazione di Landgrebe per la wake contraction

Hover in IGE

Per quanto riguarda la validazione in IGE si è investigata la corrispondenza con i dati sperimentali in termini di profili di velocità, del velivolo CH53E reperibili in letteratura; in particolare si è analizzato il campo di velocità generato dal rotore isolato in hover ad una altezza dal suolo di 37ft, in 8 distanze radiali dall’asse del rotore, a 20 differenti altezze dal suolo comprese fra 0 e 12ft. Queste distanze sono state scelte per avere una configurazione il più possibile simile a quella sperimentale riportata in letteratura[9]. I parametri di modello sono esattamente gli stessi utilizzati già nella validazione in OGE del CH53E, e mostrati nel paragrafo precedente, mentre i moduli di velocità indotte calcolati sono stati mediati su 100 istanti temporali per quanto riguarda la curva di velocità media, e all’interno di questi 100 istanti sono state estratte anche la velocità minima e massima registrata. Il tutto è riportato nei grafici in Figura 32.

Figura 32 Campi di velocità in IGE per validazione con CH53E

Claims (1)

1. RIVENDICAZIONI 1.- Sistema di simulazione che permette di valutare l’interazione in tempo reale della scia di un rotore di un aeromobile in grado di valore a punto fisso contro l’aeromobile stesso, comprendente un’unità di elaborazione configurata per ciclicamente: - rilasciare un anello vorticoso, corrispondente alla circonferenza del disco di un rotore con un’intensità proporzionale alla spinta del rotore; - associare un numero di punti di controllo al detto anello vorticoso; - valutare la velocità dei detti punti di controllo del detto anello vorticoso in base all’effetto degli anelli presenti e/o del vento e/o della velocità asintotica; - spostare il detto anello vorticoso in dipendenza dalle dette velocità; - aggiornare la forma del detto anello vorticoso dopo la detta fase di spostare; - valutare la velocità sulle superfici aerodinamiche dell’aeromobile e sui rotori stessi in base all’effetto degli anelli presenti, del vento e della velocità asintotica; e - eliminare il detto anello vorticoso al termine di un dato intervallo temporale.