FR3122002A1

FR3122002A1 - Procede et dispositif de calcul d'un indicateur d'influence d'un critere pour l'obtention d'un score dans un systeme decisionnel multicriteres

Info

Publication number: FR3122002A1
Application number: FR2104029A
Authority: FR
Inventors: Camille LABREUCHE Christophe
Original assignee: Thales SA
Current assignee: Thales SA
Priority date: 2021-04-19
Filing date: 2021-04-19
Publication date: 2022-10-21

Abstract

Procédé et dispositif de calcul d’un indicateur d’influence d’un critère pour l’obtention d’un score dans un système décisionnel multicritères L’invention concerne un procédé et un dispositif de calcul d’un indicateur d’influence d’un critère pour l’obtention d’un score dans un modèle décisionnel multicritères représenté sous forme d’un arbre hiérarchique multi-niveaux, constitué d’un nœud racine, de nœuds intermédiaires et de nœuds feuilles, chaque nœud feuille ayant un critère élémentaire associé et un score calculé par une fonction d’utilité, chaque nœud intermédiaire ayant un score agrégé associé, calculé par une fonction d’agrégation à partir des scores des nœuds descendant directement dudit nœud intermédiaire. Le procédé comporte un calcul (28) d’un score pour au moins une alternative à évaluer définie par des valeurs de l’ensemble des critères élémentaires, la construction (32) d’un sous-arbre réduit, et un calcul récursif (34) d’un indicateur d’influence d’un critère choisi sur au moins un nœud du sous-arbre réduit, en fonction de valeurs des fonctions d’agrégation pour ladite alternative à évaluer et pour une alternative de référence, évaluées récursivement sur les nœuds dudit sous-arbre réduit. Figure pour l'abrégé : Figure 3

Description

Procédé et dispositif de calcul d’un indicateur d’influence d’un critère pour l’obtention d’un score dans un système décisionnel multicritères

La présente invention concerne un procédé de calcul d’un indicateur d’influence d’un critère pour l’obtention d’un score dans un système décisionnel multicritères. L’invention concerne également un dispositif associé, et un produit programme d’ordinateur associé.

L’invention se situe dans le domaine de la décision multicritères, et en particulier de la génération d’explications pour un système décisionnel multicritères.

Le domaine de l’aide à la décision s’est développé pour permettre à des opérateurs, dans divers domaines d’applications, une analyse de situation et une prise de décision en présence d’un grand nombre d’attributs de critères de décision. Les outils et les méthodes d’aide à la décision reposent sur des modèles mathématiques et des algorithmes de calcul, mis en œuvre par des ordinateurs, permettant de combiner les attributs d’une situation observée pour obtenir une préconisation par rapport à cette situation.

On se place dans le cadre d’un problème de décision multicritères hiérarchique, qui est défini par une pluralité de critères et qui est modélisable sous la forme d’un arbre hiérarchique de décision, comportant un nœud racine, des nœuds intermédiaires par niveaux, et des nœuds feuilles associés aux critères. Chaque critère est associé à un score qui peut prendre plusieurs valeurs, dans un intervalle qui est en général celui des valeurs entre 0 et 1, où 0 correspond à la non-satisfaction complète du critère et 1 correspond à la satisfaction complète du critère. Le score associé à un critère est obtenu par l’application d’une fonction appelée fonction d’utilité sur une variable qui est appelée attribut. Les attributs sont les variables en entrée à partir desquelles le modèle multicritère peut être évalué. A chaque nœud de l’arbre hiérarchique de décision est associé un score qui est calculé par une fonction d’agrégation en fonction des scores associés aux nœuds descendants ou nœuds fils du nœud considéré.

Un des problèmes à résoudre dans ce contexte est d’expliquer l’influence d’un critère donné pour l’obtention d’un score. L’explication de l’influence d’un critère, par exemple le calcul d’un indicateur d’influence d’un critère, permet ensuite de déterminer quels sont les critères les plus importants dans une prise de décision ou une évaluation d’un système ou d’une situation. Par exemple, dans l’application de l’évaluation de la qualité de service dans un système de transport (e.g. un réseau de métro), mesurée par le niveau de satisfaction des passagers, la détermination des critères les plus influents permet ensuite, en cas de dysfonctionnement, de déterminer quelles sont les priorités pour la maintenance.

Un indicateur d’influence d’un critère peut être calculé par la valeur de Winter, qui a été initialement utilisée dans la théorie des jeux coopératifs. La valeur de Winter a été définie dans le cadre de la théorie des jeux, dans l’article «A value for cooperative games with levels structure of cooperation», de E. Winter, publié dans International Journal of Game Theory, 1989, 18, pages 227-240, et permet de déterminer la manière de partager équitablement une somme d’argent gagnée par un ensemble de joueurs, à partir de la connaissance de la somme d’argent que chaque sous-ensemble de joueurs aurait gagnée s’il s’était formé, lorsque les joueurs sont organisés de manière hiérarchique sous forme de coalitions emboutées. La valeur de Winter étend la valeur de Shapley qui est très connue en théorie des jeux. La valeur de Shapley ne suppose aucune structure hiérarchique et considère tous les joueurs à plat. La valeur de Shapley est très utilisée en apprentissage automatique pour indiquer l’importance des attributs. La valeur de Shapley est définie par une formule mathématique qui met en œuvre toutes les combinaisons alternatives par rapport à la valeur d’un critère fixé. La valeur de Winter s’écrit comme une moyenne de la contribution d’une variable sur toutes les permutations de l’ensemble des variables qui sont compatibles avec la structure hiérarchique, c’est-à-dire que lorsque l’on commence à énumérer un élément d’un sous-arbre, il faut terminer d’énumérer tous les éléments de ce sous-arbre avant d’entamer un autre sous-arbre.

D’un point de vue calculatoire, un calcul exact en un temps raisonnable n’est pas envisageable car le calcul est de complexité exponentielle.

Une approche connue pour calculer les valeurs de Shapley et de Winter est d’échantillonner l’espace combinatoire à explorer, mais une telle méthode ne permet pas de calculer des bornes sur l’erreur faite par ces approximations.

L’invention a pour objectif de remédier aux inconvénients de l’état de la technique en proposant un procédé de calcul d’indicateur d’influence d’un critère qui fournit une valeur exacte en un temps de calcul limité, permettant des interactions en temps réel avec un opérateur.

A cet effet, l’invention propose, selon un aspect, un procédé de calcul d’un indicateur d’influence d’un critère pour l’obtention d’un score dans un modèle décisionnel multicritères, représenté sous forme d’un arbre hiérarchique sur plusieurs niveaux, constitué d’un nœud racine, d’une pluralité de nœuds intermédiaires et d’une pluralité de nœuds feuilles, chaque nœud feuille ayant un critère élémentaire associé, formant un ensemble de critères élémentaires du modèle décisionnel multicritères, et ayant un score calculé par une fonction d’utilité associée, chaque nœud intermédiaire étant lié à au moins un nœud descendant directement dudit nœud intermédiaire, ledit nœud descendant étant un nœud intermédiaire ou un nœud feuille et ayant un score agrégé associé, le score agrégé étant calculé par une fonction d’agrégation à partir des scores des nœuds descendant directement dudit nœud intermédiaire. Ce procédé est mis en œuvre par un processeur d’un dispositif électronique programmable et comporte des étapes de :

-calcul d’un score pour au moins une alternative à évaluer définie par un ensemble de valeurs de l’ensemble des critères élémentaires,

-détermination d’une alternative de référence,

-pour un critère choisi, construction d’un sous-arbre réduit comportant des nœuds directement liés à un chemin entre le nœud auquel ledit critère choisi est associé et le nœud racine,

- calcul récursif d’un indicateur d’influence dudit critère choisi sur au moins un nœud du sous-arbre réduit, en fonction de valeurs des fonctions d’agrégation pour ladite alternative à évaluer et pour ladite alternative de référence, évaluées récursivement sur les nœuds dudit sous-arbre réduit.

Avantageusement, le procédé de l’invention met en œuvre des calculs récursifs sur un sous-arbre réduit par rapport à l’arbre hiérarchique de décision, ce qui permet d’optimiser les calculs et les ressources mémoire.

Le procédé de calcul d’un indicateur d’influence d’un critère selon l’invention peut également présenter une ou plusieurs des caractéristiques ci-dessous, prises indépendamment ou selon toutes les combinaisons techniquement envisageables.

Le calcul récursif d’un indicateur d’influence comprend une application récursive, sur chaque nœud de l’arbre réduit, d’une fonction de traitement fournissant un triplet comportant un coefficient, un premier score associé audit nœud pour une première valeur de critère et un deuxième score associé audit nœud pour une deuxième valeur de critère, et une mémorisation des triplets calculés.

Le calcul récursif d’un indicateur d’influence comprend en outre un calcul (38) d’un indicateur d’influence dudit critère choisi à partir des triplets mémorisés.

Pour un nœud intermédiaire de l’arbre réduit, la fonction de traitement de calcul de triplets met en œuvre une fonction d’agrégation associée audit nœud intermédiaire, appliquée sur un sous-ensemble de valeurs des scores de nœuds descendant dudit nœud intermédiaire et des valeurs de triplets calculés pour le nœud descendant directement lié au nœud auquel ledit critère choisi est associé.

La fonction d’agrégation est une fonction minimum, et le calcul de ladite fonction de traitement est simplifié par élimination du calcul de la fonction de traitement de nœuds pour lesquels le score selon une desdites alternatives est systématiquement supérieur au score selon une autre desdites alternatives.

Le calcul de ladite fonction de traitement est en outre simplifié par ordonnancement dans un ordre croissant selon une fonction donnée et séparation du calcul de la fonction de traitement en une somme de deux termes.

Une fonction d’agrégation est une intégrale de Choquet k-additive, de préférence 2-additive.

Lorsque la fonction d’agrégation est une intégrale de Choquet k-additive et que les fonctions d’agrégation sur tous les niveaux plus haut dans du sous-arbre réduit sont également des intégrales de Choquet k-additives, le calcul récursif d’un indicateur d’influence met œuvre des fonctions de traitement intermédiaires calculées dans un sens descendant du sous-arbre réduit.

Le modèle décisionnel multicritères comprend plusieurs fonctions d’agrégation hétérogènes.

Selon un autre aspect, l’invention concerne un dispositif de calcul d’un indicateur d’influence d’un critère pour l’obtention d’un score dans un modèle décisionnel multicritères, représenté sous forme d’un arbre hiérarchique sur plusieurs niveaux, constitué d’un nœud racine, d’une pluralité de nœuds intermédiaires et d’une pluralité de nœuds feuilles, chaque nœud feuille ayant un critère élémentaire associé, formant un ensemble de critères élémentaires du modèle décisionnel multicritères, et ayant un score calculé par une fonction d’utilité associée, chaque nœud intermédiaire étant lié à au moins un nœud descendant directement dudit nœud intermédiaire, ledit nœud descendant étant un nœud intermédiaire ou un nœud feuille et ayant un score agrégé associé, le score agrégé étant calculé par une fonction d’agrégation à partir des scores des nœuds descendant directement dudit nœud intermédiaire. Ce dispositif comportant un processeur configuré pour mettre en œuvre des modules de :

-détermination d’une alternative de référence,

Le dispositif de calcul d’un indicateur d’influence d’un critère est configuré pour mettre en œuvre le procédé de calcul d’un indicateur d’influence d’un critère tel que brièvement décrit ci-dessus, selon tous ses modes de réalisation.

Selon un autre aspect, l’invention concerne un programme d’ordinateur comportant des instructions logicielles qui, lorsqu’elles sont mises en œuvre par un dispositif électronique programmable, mettent en œuvre un procédé de calcul d’un indicateur d’influence d’un critère tel que brièvement décrit ci-dessus.

Selon un autre aspect, l’invention concerne un support d’informations non volatile sur lequel est enregistré un programme d’ordinateur comportant des instructions logicielles qui, lorsqu’elles sont mises en œuvre par un dispositif électronique programmable, mettent en œuvre un procédé de calcul d’un indicateur d’influence d’un critère tel que brièvement décrit ci-dessus.

D’autres caractéristiques et avantages de l’invention ressortiront de la description qui en est donnée ci-dessous, à titre indicatif et nullement limitatif, en référence aux figures annexées, parmi lesquelles :

la est un exemple d’arbre de décision hiérarchique pour un cas d’application ;

la est un exemple de sous-arbre réduit dans le cas d’application de la ;

la est un organigramme des principales étapes d’un procédé de calcul d’un indicateur d’influence d’un critère selon un mode de réalisation de l’invention ;

la est un bloc diagramme des principaux modules fonctionnels d’un dispositif adapté pour mettre en œuvre un procédé de calcul d’un indicateur d’influence d’un critère.

La illustre un modèle décisionnel hiérarchique multicritère, représenté sous forme d’arbre, dans le cas d’application de la mesure de satisfaction des usagers d’une ligne de métro. Bien entendu, il s’agit d’un exemple simplifié à but explicatif, l’invention trouvant des applications pour des modèles bien plus complexes.

Dans cet exemple d’application simplifié, la satisfaction des usagers est mesurée au travers des critères suivants :

- le nombre de trains annulés, noté CT (pour « Cancelled Trains »),

- la ponctualité des trains par rapport à la table horaire annoncée, noté P (pour « Punctuality »),

- la régularité de passage, i.e. le temps moyen d’attente entre deux trains successifs, noté R (pour « Regularity »),

- la durée moyenne d’un trajet, noté TTT (pour « Train Travel Time »),

- le confort des passagers, i.e. la densité de passagers dans chaque voiture, noté PC (pour « passenger comfort »).

Ainsi, dans ce cas d’application, les 5 critères mentionnés ci-dessus sont estimés par des outils de supervision de fonctionnement du réseau de transport pour la ligne de transport considérée.

De plus, ces critères élémentaires sont évalués sur des tronçons de la ligne de transport, notés S1, S2, S3 dans l’exemple.

Pour évaluer la satisfaction des usagers, il convient de distinguer le type de plage horaire, entre les plages correspondant aux heures de pointe (abréviation PH pour « peak hours » en anglais), et les plages horaires en dehors des horaires de pointe (abréviation OPH pour « off-peak hours »).

Un arbre décisionnel hiérarchique multicritères 2 permettant la mesure de satisfaction des usagers en fonction des valeurs des critères mentionnés ci-dessus pour chaque plage horaire, et chaque tronçon, est représenté à la .

L’arbre hiérarchique 2 comprend un nœud racine 4, une pluralité de nœuds intermédiaires 6, chaque nœud intermédiaire ayant un nœud parent et au moins un nœud descendant, et des nœuds feuilles 8 qui sont des nœuds sans descendant.

Dans l’exemple d’application choisi, le nœud racine 4, représentatif de la mesure de satisfaction globale des passagers, constitue le premier niveau (Niv1) de l’arbre et a deux nœuds intermédiaires descendants, notés PH et OPH, pour distinguer entre plages horaires de pointe et plages horaires en dehors des horaires de pointe. C’est le deuxième niveau de hiérarchie de l’arbre hiérarchique 2 (Niv2).

Ensuite, chaque nœud du deuxième niveau a trois nœuds intermédiaires descendants S1, S2, S3 correspondants aux tronçons de ligne de métro. C’est le troisième niveau de hiérarchie de l’arbre hiérarchique 2 (Niv3).

Chaque nœud du troisième niveau de hiérarchie a trois descendants au niveau de hiérarchie suivant (Niv4), qui est un quatrième niveau de hiérarchie de l’arbre 2. Afin d’alléger la représentation graphique, seuls les descendants du nœud intermédiaire S1 descendant de PH, noté PH-S1, ont été représentés, et des points de suspension ont été représentés pour indiquer la répétition des mêmes structures dans l’arbre hiérarchique 2.

Les descendants du nœud intermédiaire PH-S1 sont deux nœuds intermédiaires PH-S1-PS (pour « Planned Schedule ») et PH-S1-OTT (pour « Overall Train Travel »), ainsi qu’un nœud feuille PH-S1-PC.

Chaque nœud intermédiaire PH-S1-PS et PH-S1-OTT a deux descendants au niveau de hiérarchie suivant (Niv5), qui est un cinquième niveau de hiérarchie de l’arbre 2. Le nœud intermédiaire PH-S1-PS a pour descendants les nœuds feuilles notés PH-S1-CT et PH-S1-P, et le nœud intermédiaire PH-S1-OTT a pour descendants les nœuds feuilles PH-S1-R et PH-S1-TTT.

Chaque nœud de l’arbre hiérarchique 2 a un score associé, ce score étant calculé par une fonction.

Chaque nœud feuille de l’arbre est associé à un critère élémentaire, dont la valeur d’attribut est évaluée selon la branche de l’arbre à laquelle appartient le nœud feuille.

Les nœuds feuilles ont chacun un score calculé à partir de la valeur d’attribut du critère élémentaire associé au nœud, par une fonction d’utilité u définie ci-dessous. La fonction d’utilité se calcule sur un attribut, qui est une valeur observée du critère élémentaire évalué, par exemple un nombre de trains annulés sur le tronçon S1, durant la plage horaire PH pour le critère PH-S1-CT.

Dans la , les feuilles symbolisent un score par rapport à un critère. Par exemple, le score du nœud PH-S1-R se déduit de l’application d’une fonction d’utilité sur l’attribut de la régularité des trains, mesurée en minutes, durant la plage horaire PH sur le tronçon S1. Les fonctions d’utilité permettent de normaliser les valeurs des attributs. Elles sont définies comme une fonction affine par morceaux, ou des fonctions analytiques paramétrées comme des splines.

Par exemple, le score est une valeur entre 0 et 1 qui est représentative de la satisfaction des usagers dans l’exemple d’application du réseau de transport. Plus la valeur du score est proche de 1, plus la satisfaction des usagers est élevée.

Les nœuds intermédiaires ont chacun un score associé calculé par une fonction d’agrégation qui combine, pour un nœud intermédiaire donné, les scores des nœuds descendants du nœud intermédiaire donné, que ces nœuds descendants soient des nœuds feuilles ou des nœuds intermédiaires.

Une fonction d’agrégation est une fonction monotone, croissante par rapport à chacune de ses variables. De plus, une fonction d’agrégation est une fonction idempotente.

Par exemple une fonction d’agrégation utilisée est une somme pondérée par des coefficients positifs, les coefficients étant choisis de manière à ce que leur somme soit égale à 1.

Par exemple, une fonction d’agrégation utilisée est une intégrale de Choquet k-additive, et de préférence 2-additive, comme expliqué plus en détail ci-après.

Par exemple, une fonction d’agrégation utilisée est une fonction minimum.

D’autres fonctions d’agrégation connues peuvent être utilisées.

Le score associé au nœud racine 4 indique la satisfaction des passagers ou qualité de service expérimentée par les passagers (PQoS).

L’arbre hiérarchique et les fonctions d’utilité / fonctions d’agrégation associées à chaque nœud forment un module décisionnel multicritères.

Le score associé au nœud racine fournit le résultat du modèle décisionnel multicritères pour un ensemble de valeurs de critères ou attributs, formant un vecteur d’attributs donné.

Mathématiquement, on note la fonction d’utilité qui associe un score à une valeur de critère élémentaire :

Où A est l’ensemble de critères élémentaires : A={1,…,n}. Chaque critère j est associé à un attribut Xi qui prend des valeurs continues ou discrètes. X_Aest un ensemble X₁x..xX_nassocié à A. La fonction d’utilité u est une fonction qui à un vecteur de X_Aassocie une valeur réelle .

Une valeur alternative est donnée par un vecteur de X_Aauquel est associée une valeur réelle .

L’explication de score consiste à indiquer pourquoi l’option y est préférée à l’option x, ou, en d’autres termes, pourquoi .

Pour réaliser cette explication, un indicateur d’influence est calculé pour chaque nœud du modèle décisionnel multicritères. L’influence est calculée par rapport aux critères, donc par rapport aux feuilles de l’arbre hiérarchique, et une influence de chaque nœud intermédiaire est déduite à partir de la somme des influences de ses descendants.

Lorsque le modèle multicritère n’est composé que d’un seul nœud d’agrégation qui agrège tous les critères, l’indicateur d’influence est donné par la formule suivante, pour un critère noté j de l’arbre hiérarchique :

Où :

A est l’ensemble de tous les critères, c’est-à-dire les feuilles de l’arbre ;

S est tout sous-ensemble de A privé de j ;
s est le cardinal de l’ensemble S, a est le cardinal de l’ensemble A ;
s! est la factorielle de s ;
la notation représente l’alternative égale à y_ipour et x_i pour .
, avec la notation que est la valeur de la fonction d’utilité appliquée à une alternative valant sur le critèrej,et valant sur les autres critères.

La formule [MATH 2] exprime la valeur de Shapley, en l’absence d’une organisation hiérarchique des critères.

Dans le cas d’une représentation par arbre hiérarchique, l’indicateur d’influence d’un nœud j se calcule en prenant en compte uniquement les nœuds directement reliés au chemin entre le nœud racine et le nœud j considéré.

Ce chemin comprend les nœuds notés où est le nœud racine et est le nœud associé au critère j considéré.

Pour k entre 1 et q, on note la liste des nœuds descendants du nœud p_k-1 _,et . La Fig. 2 illustre et .

L’influence du nœud feuille sur le nœud racine s’obtient par un appel récursif de la formule [MATH 2] à tous les niveaux 1,…,q:

Où s_kest le cardinal de S_k, et .

La formule [MATH 3] fait intervenir des éléments d’un sous-arbre réduit calculé à partir de l’arbre hiérarchique, avec une combinatoire élevée.

Le sous-arbre réduit dépend du critère par rapport auquel on doit calculer l’influence. Plus précisément, le sous-arbre réduit est le sous-arbre de l’arbre des critères composé de tous les nœuds situés sur le chemin entre le critère rapport auquel le calcul de l’influence est réalisé et la racine, ainsi que tous les nœuds directement reliés (c’est-à-dire reliés sans intermédiaire) au chemin précédent.

La illustre le sous-arbre 10 obtenu pour l’arbre hiérarchique de la considérant le nœud feuille PH-S1-CT, i.e. dans cet exemple, avec les notations simplifiées explicitées ci-dessus, le nœud p₄.

Dans l’exemple considéré, le chemin relie le nœud racine p₀=PQoS, p₁=PH, p₂=PH-S1, p₃=PH-S1-PS et p₄=PH-S1-CT, les nœuds correspondants et les liens entre eux étant représentés en traits en gras dans la .

A titre d’exemple, les ensembles N₁, N₂, N₃et N₄ont été représentés.

Dans cet exemple particulier, N₁={PH, OPH} et N’₁={OPH} ; N₂={PH-S1, PH-S2, PH-S3} et N’₂={PH-S2, PH-S3} ; N₃={PH-S1-PS, PH-S1-OTT, PH-S1-PC} et N’₃={PH-S1-OTT, PH-S1-PC} ; N₄={PH-S1-CT, PH-S1-P} et N‘₄={PH-S1-P}.

Une des difficultés à résoudre est de calculer de façon efficace le résultat de la formule [MATH 3] sur des fonctions d’agrégation hétérogènes utilisées pour les différents nœuds, par exemple une fonction d’agrégation minimum et une fonction définie par une intégrale de Choquet 2-additive.

Dans le cas général est définie une fonction de traitement , qui, pour un nœud p_kdonné et pour un critère j, renvoie des triplets :

Où c est un coefficient, v_xest le score associé au nœud p_klorsque le critère vaut x et v_yest le score associé au nœud p_klorsque le critère vaut y.

La fonction de traitement Φ est liée au calcul de l’indicateur d’influence de l’alternative y par rapport à l’alternative x, pour le nœud p_k, de la manière suivante :

La fonction de traitement Φs’écrit pour k=q :

Où est la fonction d’utilité pour le critère j, et

En d’autres termes, au niveau du nœud feuille p_q, la fonction de traitement Φ renvoie un seul triplet, qui contient un coefficient c=1 et les valeurs respectives du score pour le critère considéré, pour les alternatives x_jet y_j.

Pour k compris entre 0 et q-1 :

Où est la fonction d’agrégation associée au nœud p_k.

La formule [MATH 7] est une formule récursive qui se calcule en passant du niveau k+1 au niveau k dans le sous-arbre hiérarchique.

La est un organigramme des principales étapes d’un procédé de calcul d’un indicateur d’un niveau d’influence pour l’obtention d’un score dans un système décisionnel hiérarchique multicritères selon un mode de réalisation de l’invention.

Lors d’une étape préliminaire 20 d’obtention d’un modèle hiérarchique du problème décisionnel multicritères, un modèle hiérarchique multicritères est obtenu. L’étape 20 comprend une sous-étape 22 de définition de l’arbre hiérarchique, de ses nœuds intermédiaires et nœuds feuilles et des liens entre les nœuds, ainsi que de la fonction d’utilité associée à chaque nœud feuille du modèle, et des paramètres définissant la fonction d’utilité, et des fonctions d’agrégation des nœuds intermédiaires. Comme rappelé ci-dessus, les nœuds feuilles de l’arbre, qui sont des nœuds sans descendant, sont associés aux critères élémentaires qui sont évalués.

L’étape 20 comprend également une sous-étape 24 de calcul des valeurs des paramètres pour chaque fonction d’utilité et fonction d’agrégation du modèle, par exemple en mettant en œuvre un apprentissage calculatoire de paramètres, en fonction d’exemples de scores fournis par des opérateurs experts.

Par exemple, l’apprentissage calculatoire met en œuvre des réseaux de neurones ou tout autre algorithme adéquat dans le domaine de l’apprentissage machine (« machine learning »).

Le modèle hiérarchique obtenu, comprenant l’arbre hiérarchique complet, ainsi que les fonctions d’utilité ou fonctions d’agrégation et les paramètres définissant ces fonctions à chaque nœud, est mémorisé dans une structure de données correspondante pour utilisation ultérieure.

Le procédé comprend également une étape 26 d’obtention d’au moins une alternative à évaluer.

Pour rappel, chaque alternative est définie par un ensemble des valeurs des critères élémentaires.

Les valeurs des critères élémentaires sont par exemple obtenues via une interface graphique permettant la saisie de valeurs par un opérateur. Alternativement, les valeurs des critères élémentaires sont obtenues via un module de communication du dispositif mettant en œuvre le procédé, en provenance d’un système externe.

Par exemple, dans un mode de réalisation, deux alternatives sont fournies.

Dans une variante, une seule alternative est fournie, et cette alternative sera à comparer avec une alternative définie par des valeurs nominales préalablement enregistrées (ou alternative de référence).

L’étape 26 est suivie d’une étape 28 d’évaluation de chacune des alternatives, l’évaluation consistant à appliquer, pour chaque alternative, le module décisionnel pour calculer les scores associés à chaque nœud de l’arbre hiérarchique pour les valeurs des critères élémentaires définissant l’alternative.

Ensuite, le procédé comprend une étape 30 de choix de l’alternative de référence, puis des étapes 32 à 40 relatives à l’explication d’une alternative par rapport à l’alternative de référence.

Pour un critère élémentaire j choisi, le sous-arbre réduit est calculé et mémorisé à l’étape de construction du sous-arbre réduit 32.

Lors de l’étape 32, le nœud feuille associé au critère j est sélectionné, et le sous-arbre réduit contient le nœud feuille sélectionné, le nœud racine, tous les nœuds intermédiaires directement liés, de proche en proche, au nœud feuille sélectionné ainsi que les descendants directs de ces nœuds à chaque niveau de l’arbre.

L’étape de construction d’un sous-arbre réduit est suivie d’une étape 34 de calcul récursif d’un indicateur d’influence du critère j choisi.

Dans le mode de réalisation de la , l’étape 34 comprend une sous-étape 36 de calcul récursif de la fonction de traitement, notée Φ ci-dessus, qui renvoie des triplets selon la formule [MATH 4], qui mettent en œuvre les valeurs des alternatives x et y à un certain niveau dans l’arborescence.

Dans un mode de réalisation, le calcul récursif est effectué en partant du niveau du nœud feuille du sous-arbre réduit vers le nœud racine, qu’on appelle également parcours de bas en haut ou ascendant.

La formule de calcul [MATH 6] est appliquée au niveau du nœud feuille, noté p_q, et la formule de calcul [MATH 7] est appliquée, de manière récursive, à partir du niveau q-1 jusqu’au niveau du nœud racine p₀.

Les triplets calculés pour chaque nœud du sous-arbre réduit sont mémorisés.

Une étape 38 de calcul d’indicateur d’influence est effectuée après calcul et mémorisation des triplets, ou au fur et à mesure en parallèle du calcul et de la mémorisation des triplets.

L’étape de calcul d’un indicateur d’influence met en œuvre la formule [MATH 5].

Un indicateur d’influence du critère j choisi pour le choix de l’alternative y par rapport à l’alternative de référence x est obtenu et mémorisé.

Les étapes 32 et 34 sont répétées pour plusieurs critères, et le procédé se termine par une étape 40 de présentation des critères les plus influents, par exemple dans l’ordre de valeurs décroissantes d’indicateur d’influence.

La est un bloc diagramme des principaux modules d’un dispositif 50 de calcul d’un indicateur d’un niveau d’influence pour l’obtention d’un score dans un système décisionnel hiérarchique multicritères selon un mode de réalisation de l’invention.

Le dispositif 50 est un dispositif électronique programmable, par exemple un ordinateur. En variante non représentée, le dispositif 50 est un système informatique comprenant plusieurs ordinateurs connectés en réseau.

Le dispositif programmable 50 apte à mettre en œuvre l’invention, typiquement un ordinateur, comprend un écran 52, un moyen 54 de saisie des commandes d’un opérateur, par exemple un clavier, optionnellement un moyen supplémentaire de pointage 56, tel une souris, permettant de sélectionner des éléments graphiques affichés sur l’écran 52, une unité centrale de traitement 58, ou CPU, e.g. un processeur, apte à exécuter des instructions de programme informatique lorsque le dispositif 50 est mis sous tension. Le dispositif 50 comporte également une unité de stockage d’informations 60, par exemple des registres, aptes à stocker des instructions de code exécutable permettant la mise en œuvre de programmes comportant des instructions de code aptes à mettre en œuvre le procédé selon l’invention. Les divers blocs fonctionnels du dispositif 50 décrits ci-dessus sont connectés via un bus de communication 62.

Le processeur 58 du dispositif électronique programmable 50 est configuré pour mettre en œuvre un module 64 de sélection d’une alternative de référence et d’une alternative à expliquer, un module 66 de construction de sous-arbre réduit, un module 68 de calcul récursif d’un indicateur d’influence.

Dans un mode de réalisation, les modules 64, 66 et 68 sont réalisés sous forme d’instructions logicielles formant un programme d’ordinateur 70, qui, lorsqu’il est exécuté par un ordinateur, met en œuvre un procédé de calcul d’indicateur d’influence selon l’invention.

En variante non représentée, les modules 64, 66 et 68 sont réalisés chacun sous forme d’un composant logique programmable, tel qu’un FPGA (de l’anglaisField Programmable Gate Array), un GPU (processeur graphique) ou un GPGPU (de l’anglaisGeneral-purpose processing on graphics processing), ou encore sous forme d’un circuit intégré dédié, tel qu’un ASIC (de l’anglaisApplication Specific Integrated Circuit).

Le programme d’ordinateur comportant des instructions logicielles est en outre apte à être enregistré sur un support, non représenté, lisible par ordinateur. Le support lisible par ordinateur est par exemple, un médium apte à mémoriser les instructions électroniques et à être couplé à un bus d’un système informatique. A titre d’exemple, le support lisible est un disque optique, un disque magnéto-optique, une mémoire ROM, une mémoire RAM, tout type de mémoire non-volatile (par exemple EPROM, EEPROM, FLASH, NVRAM), une carte magnétique ou une carte optique.

Selon une variante, le procédé de calcul d’un indicateur d’influence est optimisé calculatoirement lorsque la fonction d’agrégation est la fonction minimum, qui s’écrit à un niveau

Où est l’ensemble des descendants du nœud .

Nous allons décrire ce que donne la fonction de traitement lorsque la fonction d’agrégation au niveaukest la fonction minimum.

Sans perte de généralité, on peut supposer que . L’autre cas se déduit en intervertissant les valeurs de et . On note et .

La formule de est la suivante :

Où

, ,
Toutes les valeurs que les termes de la différence dans l’équation [MATH3] peuvent prendre sont décrites pour trois fonctions : (contenant les scores), (contenant les indices associés ) et (valant la valeur V[Vrai] si le score correspond à une valeur du vecteur et valant F[Faux] si le score correspond à une valeur du vecteur ). Les valeurs sont les suivantes :
Pour un indice ,
Pour un indice ,
Pour un indice , et où
Pour un indice , et où
Pour un indice , et où
Pour un indice , où
Le nombre de termes précédent est :
On ordonne les éléments de sous la forme tel que .
Le premier élément correspond au terme
Soit tel que , (terme
Soit
Pour , on pose et

Soit et

Comparativement à la formule d’origine de , le nombre de termes que l’on rajoute par rapport à est linéaire par rapport à au lieu d’être exponentiel par rapport à pour la formule [MATH 7].

Ce gain est dû à plusieurs raisons. Tout d’abord, lorsqu’il existe un indice tel que , l’influence de la paire est nulle car les valeurs des alternatives x et y suivant cet indice sont inférieures aux valeurs , et masquent donc leurs valeurs. D’autre part, on peut restreindre dans la formule [MATH 7] la somme sur indices à la somme sur les autres indices n’ayant aucune influence sur le résultat. Enfin, compte tenu de la fonction minimum, on peut écrire la somme sur tous les sous-ensembles en une somme en ordonnant les termes apparaissant dans , cet ordonnancement étant réalisé par la fonction décrite précédemment. La fonction de traitement s’écrit alors comme une somme de deux termes, comme montré dans la formule [MATH 9].

A des fins d’explication, lorsque la fonction d’agrégation est la fonction min(), on distingue les cas suivants :

-lorsque , l’influence de i est nulle ;

-lorsque , l’influence de j est nulle.

Une autre variante de mise en œuvre du procédé de calcul d’indicateur d’influence est particulièrement optimisée pour une fonction d’agrégation de type intégrale de Choquet.

En particulier, la fonction d’agrégation est une intégrale de Choquet 2-additive qui s’écrit de la manière suivante :

Où p_kest un nœud de l’arbre hiérarchique pour lequel est calculée la fonction d’agrégation, m(S) est un paramètre du modèle, etu _l une valeur de score associée au nœud de l’ensemble S.

Pour une intégrale 2-additive seuls les sous-ensembles S de 1 ou 2 éléments sont considérés, ou, en d’autres termes, m(S)=0 pour tout sous-ensemble S de cardinal strictement supérieur à 2.

L’intégrale de Choquet 2-additive est une somme linéaire de termes de type singleton ou paire.

Commençons par le cas où toutes les fonctions d’agrégation sont des intégrales de Choquet. Il est possible alors de calculer de manière efficace l’influence d’un critère.

Pour l’application de calculs récursifs optimisés, les fonctions de traitement et sont introduites :

La fonction notée est définie de la manière suivante :

)

Où m({p_k+1}) est la masse du singleton p_k+1et est la masse de la paire .

Pour spécifier le calcul efficace du niveau d’influence, on a besoin d’introduire une notation nouvelle permettant de calculer le score à n’importe quel nœud du sous-arbre réduit. Le score d’une alternative au niveau du nœud est calculé de la manière suivante : l’ensemble des feuilles sous le nœud sont . Le score d’une alternative notée au niveau du nœud est alors désigné par , où est la restriction des valeurs de aux nœuds . Ce score se calcule récursivement à partir de la fonction d’agrégation au nœud :

Où est l’évaluation de l’alternative au niveau du nœud , et est la restriction des valeurs de aux nœuds .

La fonction notée est définie par l’algorithme suivant :

SI ALORS

RETOURNE 0

SINON SI ALORS

RETOURNE

SINON SI ALORS

SI ALORS

SINON

RETOURNE

SINON

RETOURNE

Au final, d’après [MATH 11].

Dans un cas de figure où les fonctions d’agrégations sont hétérogènes, c’est-à-dire que le modèle décisionnel multicritères comporte plusieurs types de fonctions d’agrégation, par exemple un mélange de fonctions de type intégrale de Choquet 2-additive et fonction minimum, des fonctions intermédiaires de traitement, notées respectivement et sont introduites.

Pour avoir un calcul plus efficace, on doit considérer le cas où toutes les fonctions d’agrégation entre le nœud de plus haut niveau et le nœud à une certaine profondeur correspondent à des intégrales de Choquet 2-additives. Les calculs récursifs optimisés se font de haut en bas (calcul récursif descendant), c’est-à-dire en commençant par le plus haut niveau , et en descendant jusqu’au niveau où l’on trouve la dernière intégrale de Choquet 2-additive.

Les fonctions et sont calculées par les algorithmes suivants :

Pour la fonction


SI est une intégrale de Choquet 2-additive
	SI ET ALORS
		RETOURNE
	SINON
		RETOURNE
SINON
	RETOURNE

Pour la fonction :

SI est une intégrale de Choquet 2-additive
	SI ALORS
		RETOURNE
	SINON SI ALORS
		RETOURNE
	SINON SI ALORS
		SI ALORS

		SINON

			RETOURNE
	SINON
		RETOURNE
SINON
	RETOURNE

Si au niveau du nœud p_kla fonction d’agrégation F_pkest une intégrale de Choquet 2-additive, alors la fonction de traitement s’obtient par :

Pour un cas de fonctions d’agrégation hétérogènes, selon un mode de réalisation, un traitement optimisé consiste à appliquer un calcul récursif de type descendant (ou « top-down ») tant que la fonction d’agrégation est une intégrale de Choquet, jusqu’au nœud p_kde l’arbre réduit, et en appliquant les fonctions décrites ci-dessus, et à appliquer le traitement récursif tel que décrit en référence à la , dans le sens ascendant (ou « bottom-up ») entre le niveau le plus bas de l’arbre réduit et les nœuds descendants de p_k.

L’invention a été décrite ci-dessus dans son application pour l’évaluation d’un réseau de transport, mais elle s’applique dans de nombreux domaines techniques de supervision de systèmes techniques complexes, par exemple le pistage de trafic aérien ou la conception d’un système complexe, par exemple un radar. Dans la supervision des systèmes complexes, l’évaluation de l’influence des critères permet de mettre en œuvre des actions correctives, des actions de maintenance ou de réparation pour améliorer la qualité de service. Dans le cas de la conception des systèmes complexes, tel le radar, il s’agit d’obtenir un meilleur compromis entre divers critères et les performances attendues.

Claims

Procédé de calcul d’un indicateur d’influence d’un critère pour l’obtention d’un score dans un modèle décisionnel multicritères représenté sous forme d’un arbre hiérarchique sur plusieurs niveaux, constitué d’un nœud racine, d’une pluralité de nœuds intermédiaires et d’une pluralité de nœuds feuilles, chaque nœud feuille ayant un critère élémentaire associé, formant un ensemble de critères élémentaires du modèle décisionnel multicritères, et ayant un score calculé par une fonction d’utilité associée, chaque nœud intermédiaire étant lié à au moins un nœud descendant directement dudit nœud intermédiaire, ledit nœud descendant étant un nœud intermédiaire ou un nœud feuille et ayant un score agrégé associé, le score agrégé étant calculé par une fonction d’agrégation à partir des scores des nœuds descendant directement dudit nœud intermédiaire,
le procédé étant mis en œuvre par un processeur d’un dispositif électronique programmable et étant caractérisé en ce qu’il comporte des étapes de :
-calcul (28) d’un score pour au moins une alternative à évaluer définie par un ensemble de valeurs de l’ensemble des critères élémentaires,
-détermination (30) d’une alternative de référence,
-pour un critère choisi, construction (32) d’un sous-arbre réduit (10) comportant des nœuds directement liés à un chemin entre le nœud auquel ledit critère choisi est associé et le nœud racine,
- calcul récursif (34) d’un indicateur d’influence dudit critère choisi sur au moins un nœud du sous-arbre réduit, en fonction de valeurs des fonctions d’agrégation pour ladite alternative à évaluer et pour ladite alternative de référence, évaluées récursivement sur les nœuds dudit sous-arbre réduit.
Procédé selon la revendication 1, dans lequel le calcul récursif d’un indicateur d’influence comprend une application récursive (36), sur chaque nœud de l’arbre réduit, d’une fonction de traitement fournissant un triplet comportant un coefficient, un premier score associé audit nœud pour une première valeur de critère et un deuxième score associé audit nœud pour une deuxième valeur de critère, et une mémorisation des triplets calculés.
Procédé selon la revendication 2, dans lequel le calcul récursif d’un indicateur d’influence comprend en outre un calcul (38) d’un indicateur d’influence dudit critère choisi à partir des triplets mémorisés.
Procédé selon l’une des revendications 2 ou 3, dans lequel, pour un nœud intermédiaire de l’arbre réduit, ladite fonction de traitement de calcul de triplets met en œuvre une fonction d’agrégation associée audit nœud intermédiaire, appliquée sur un sous-ensemble de valeurs des scores de nœuds descendant dudit nœud intermédiaire et des valeurs de triplets calculés pour le nœud descendant directement lié au nœud auquel ledit critère choisi est associé.
Procédé selon l’une des revendications 2 à 4, dans lequel la fonction d’agrégation est une fonction minimum, et le calcul de ladite fonction de traitement est simplifié par élimination du calcul de la fonction de traitement de nœuds pour lesquels le score selon une desdites alternatives est systématiquement supérieur au score selon une autre desdites alternatives.
Procédé selon la revendication 5, dans lequel le calcul de ladite fonction de traitement est en outre simplifié par ordonnancement dans un ordre croissant selon une fonction donnée et séparation du calcul de la fonction de traitement en une somme de deux termes.
Procédé selon l’une des revendications 1 à 6, dans lequel une fonction d’agrégation est une intégrale de Choquet k-additive, de préférence 2-additive.
Procédé selon la revendication 7, dans lequel lorsque la fonction d’agrégation est une intégrale de Choquet k-additive et que les fonctions d’agrégation sur tous les niveaux plus haut dans du sous-arbre réduit sont également des intégrales de Choquet k-additives, le calcul récursif d’un indicateur d’influence met œuvre des fonctions de traitement intermédiaires calculées dans un sens descendant du sous-arbre réduit.
Procédé selon l’une quelconque des revendications 1 à 8, dans lequel le modèle décisionnel multicritères comprend plusieurs fonctions d’agrégation hétérogènes.
Dispositif de calcul d’un indicateur d’influence d’un critère pour l’obtention d’un score dans un modèle décisionnel multicritères représenté sous forme d’un arbre hiérarchique sur plusieurs niveaux, constitué d’un nœud racine, d’une pluralité de nœuds intermédiaires et d’une pluralité de nœuds feuilles, chaque nœud feuille ayant un critère élémentaire associé, formant un ensemble de critères élémentaires du modèle décisionnel multicritères, et ayant un score calculé par une fonction d’utilité associée, chaque nœud intermédiaire étant lié à au moins un nœud descendant directement dudit nœud intermédiaire, ledit nœud descendant étant un nœud intermédiaire ou un nœud feuille et ayant un score agrégé associé, le score agrégé étant calculé par une fonction d’agrégation à partir des scores des nœuds descendant directement dudit nœud intermédiaire,
le dispositif comportant un processeur configuré pour mettre en œuvre des modules de :
-calcul d’un score pour au moins une alternative à évaluer définie par un ensemble de valeurs de l’ensemble des critères élémentaires,
-détermination d’une alternative de référence,
-pour un critère choisi, construction d’un sous-arbre réduit comportant des nœuds directement liés à un chemin entre le nœud auquel ledit critère choisi est associé et le nœud racine,
- calcul récursif d’un indicateur d’influence dudit critère choisi sur au moins un nœud du sous-arbre réduit, en fonction de valeurs des fonctions d’agrégation pour ladite alternative à évaluer et pour ladite alternative de référence, évaluées récursivement sur les nœuds dudit sous-arbre réduit.
Produit programme d’ordinateur comportant des instructions logicielles qui, lorsqu’elles sont mises en œuvre par un dispositif électronique programmable, mettent en œuvre un procédé de calcul d’un indicateur d’influence conforme aux revendications 1 à 9.