FR3039677A1 - Procede de conception de pieces mecaniques, notamment d'aubes de turbomachine - Google Patents
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Abstract
L'invention concerne un procédé de conception d'une pièce mécanique définie par un ensemble de variables de définition prenant des valeurs dans un espace de conception, pour déterminer un dimensionnement de la pièce optimisé du point de vue d'un objectif à atteindre, tout en respectant un ensemble de contraintes, le procédé comprenant la mise en œuvre d'au moins une itération de la succession des étapes: a) à partir d'un plan d'expérience comprenant au moins un dimensionnement d'une pièce, chaque dimensionnement comprenant des valeurs pour l'ensemble des variables de définition, et, pour chaque dimensionnement, une valeur de fonction objectif correspondante, construire un méta-modèle de krigeage pour chaque contrainte et pour la fonction objectif, b) évaluer les méta-modèles de Krigeage sur l'espace de conception, et déterminer un dimensionnement de prédiction optimale d'atteinte de l'objectif et de respect des contraintes, c) évaluer le respect des contraintes et un degré d'atteinte de l'objectif par ledit dimensionnement, et enrichir le plan d'expérience précédent avec ledit dimensionnement et les valeurs obtenues par l'évaluation, le procédé étant caractérisé en ce que la construction des méta-modèles de Krigeage comprend la mise en œuvre d'une régression par moindres carrés partiels pour diminuer le nombre de paramètres dans la construction de chaque métamodèle .
Description
PROCEDE DE CONCEPTION DE PIECES MECANIQUES, NOTAMMENT D’AUBES DE TURBOMACHINE
DOMAINE TECHNIQUE GÉNÉRAL ET ART ANTÉRIEUR
Dans le cadre de la conception de pièces mécaniques tels que des aubes de turbomachines, on utilise classiquement des techniques d’optimisation paramétrique afin d’identifier le meilleur des compromis entre d’une part un objectif, par exemple un objectif de performance aérodynamique des aubes et d’autre part d’autres contraintes métiers, telles que celles liées aux coûts de fabrication ou de certification (thermique, acoustique, mécanique, etc..), qui sont souvent contradictoires avec l’objectif à atteindre.
Pour ce faire, des chaînes de calcul multi-métiers automatisées mettent en œuvre des modèles de calcul qui s’appuient sur des codes de simulation variés (aérodynamiques, acoustiques, mécaniques, ...) et permettent une optimisation multidisciplinaire.
En raison du nombre important de variables géométriques et de contraintes, le problème d’optimisation qui en découle est particulièrement complexe. Compte tenu du coût de calcul unitaire induit par les codes de simulations chargés du calcul des réponses des modèles, le nombre de calculs à réaliser pour explorer largement l’espace de conception rend illusoire l’emploi de stratégies d’optimisation paramétrique globale et directe dans un délai compatible des cycles de conception moteur (de type algorithme génétique par exemple). A titre illustratif sur un problème type de conception d’aubes de turbomachines, les coûts de calcul des simulations aérodynamiques et mécaniques, peuvent représenter 3 à 5h de calcul pour une géométrie donnée.
Pour résoudre cette problématique, il est classique, dans des stratégies d’optimisation globale indirecte automatisée, d’utiliser des surfaces de réponse (« estimateurs » ou « méta-modèles » dans la suite du présent texte) qui sont des représentations mathématiques simplifiées des réponses des calculs à réaliser (aussi appelées « sorties ») dont le coût unitaire d’évaluation est négligeable.
Des exemples en ce sens, utilisant des méta-modèles de Krigeage ou des méta-modèles de type RBF (« Radial Basis Function » selon la terminologie anglo-saxonne généralement utilisée), sont par exemple décrits dans les publications suivantes : [1] M.J. Sasena. Flexibilty and efficiency enhancements for constrained global design optimization with Kriging approximations.PhD thesis, University of Michigan, 2002.
[2] Donald R. Jones, Matthias Schonlau and William J. Welch. Efficient Global Optimization of expensive black-box functions.Journal of Global Optimization, 13(4):455-492, December1998 [3] Rommel G. Regis. Constrained optimization by radial basis function interpolation for high-dimensional expensive black-box problems with infeasible initial points. Engineering Optimization, 00(0) : 1-28,2012.
[4] “Multidisciplinary Design Optimization with Minamo” :http://www.cenaero.be/Page_Generale.asp?DoclD=15336&la=1&langue=EN
Les méta-modèles de réponse sont généralement construits de façon itérative par apprentissage en s’appuyant sur une sélection automatique et intelligente des points de l’espace de conception qui vont permettre de maximiser la connaissance des réponses des calculs et la qualité prédictive des méta-modèles. L’optimisation s’arrête lorsque l’algorithme a convergé vers un optimum jugé global.
Cette approche présente plusieurs inconvénients.
Le coût de construction d’un méta-modèle peut ne pas être négligeable, notamment si la base de données d’apprentissage et le nombre de variables sont importants : le calcul des méta-modèles de dizaines d’objectifs et contraintes peut donc s’avérer très coûteux à chaque itération de l’optimisation ; c’est le cas en particulier des modèles de Krigeage qui peuvent présenter des limitations importantes lorsqu’il s’agit d’inverser des matrices de covariance de taille significative.
Par ailleurs, la qualité des méta-modèles (c'est-à-dire leur capacité prédictive), pour être acceptable, peut nécessiter un grand nombre de calculs de simulation.
En outre, cette approche est très mal adaptée au cas de problèmes très contraints présentant des domaines de solutions faisables de taille très restreinte par rapport à l’espace de recherche, entraînant un coût calcul excessif en phase exploratoire, parfois sans que cela ne débouche sur une solution - on entend par solution faisable une solution respectant toutes les contraintes métiers à respecter.
PRÉSENTATION GÉNÉRALE DE L'INVENTION
Un but général de l’invention est de pallier ces inconvénients et de proposer une solution fiable, qui converge rapidement et qui soit particulièrement peu coûteuse en temps de calcul.
Un but de l’invention est en particulier de proposer un procédé de conception d’une pièce mécanique permettant de déterminer de manière rapide et peu coûteuse en temps de calcul un dimensionnement d’une pièce représentant un optimum par rapport à un objectif à atteindre, tout en respectant un ensemble de contraintes. A cet égard, l’invention a pour objet un procédé de conception d’une pièce mécanique définie par un ensemble de variables de définition prenant des valeurs dans un espace de conception, pour déterminer un dimensionnement de la pièce optimisé du point de vue d’un objectif à atteindre, tout en respectant un ensemble de contraintes, le procédé comprenant la mise en œuvre d’au moins une itération de la succession des étapes: a) à partir d’un plan d’expérience comprenant au moins un dimensionnement d’une pièce, chaque dimensionnement comprenant des valeurs pour l’ensemble des variables de définition, et, pour chaque dimensionnement, une valeur de fonction objectif correspondante, construire un méta-modèle de krigeage pour chaque contrainte et pour la fonction objectif, b) évaluer les méta-modèles de Krigeage sur l’espace de conception, et déterminer un dimensionnement de prédiction optimale d’atteinte de l’objectif et de respect des contraintes, c) évaluer le respect des contraintes et un degré d’atteinte de l’objectif par ledit dimensionnement, et enrichir le plan d’expérience précédent avec ledit dimensionnement et les valeurs obtenues par l’évaluation, le procédé étant caractérisé en ce que la construction des méta-modèles de Krigeage comprend la mise en œuvre d’une régression par moindres carrés partiels pour diminuer le nombre de paramètres dans la construction de chaque méta-modèle. - Avantageusement, mais facultativement, le procédé selon l’invention peut en outre comprendre au moins l’une des caractéristiques suivantes : l’étape de construction des méta-modèles de Krigeage peut comprendre l’utilisation, pour l’expression de prédicteurs de Krigeage, d’une matrice de corrélation calculée à partir d’un nombre de paramètres de pondération strictement inférieur au nombre de variables de définition. l’étape de construction des méta-modèles de Krigeage peut comprendre l’utilisation d’une matrice de corrélation calculée à partir d’une fonction de corrélation définie par :
où u et v sont deux vecteurs de coordonnées uh v„ avec / entier compris entre 1 et d, d est le nombre de variables de définition, W est une matrice contenant des coefficients de pondération des variables initiales dans la construction des variables latentes , 9j est un paramètre de pondération de la variable de définition y, et q est le nombre réduit de dimensions. le procédé peut en outre comprendre, lors de la première itération, avant la mise en œuvre de l’étape b), la mise en œuvre d’une étape de recherche d’au moins un dimensionnement satisfaisant à l’ensemble des contraintes, l’étape de recherche d’un dimensionnement satisfaisant aux contraintes peut comprendre : d) l’évaluation des méta-modèles de Krigeage sur l’espace de conception pour déterminer un dimensionnement présentant une probabilité maximale de respect des contraintes, e) l’évaluation du respect des contraintes et du degré d’atteinte de l’objectif par ledit dimensionnement, et l’enrichissement du plan d’expérience précédent avec ledit dimensionnements et les valeurs obtenues par l’évaluation, et f) la mise à jour des méta-modèles de Krigeage à partir du plan d’expérience enrichi. les étapes d) à f) peuvent être mises en œuvre de manière itérative jusqu’à déterminer un dimensionnement respectant l’ensemble des contraintes, ou jusqu’à un nombre maximal d’itérations pré-déterminé. l’étape b) peut être mise en œuvre en évaluant les méta-modèles de
Krigeage générés sur la base du dernier plan d’expérience enrichi. lors de la première itération, le plan d’expérience initial peut être un plan d’expérience pré-calculé ou un plan de type Latin Hypercube. les étapes a) à c) peuvent être itérées jusqu’à atteindre un nombre d’itérations pré-déterminé, et un dimensionnement optimal de la pièce est le dernier dimensionnement ayant enrichi le plan d’expérience à l’étape c). L’invention a également pour objet un produit programme d’ordinateur, comprenant des instructions de code pour la mise en œuvre du procédé selon la description qui précède, lorsqu’il est exécuté par un processeur. L’invention a enfin pour autre objet une unité de traitement, comprenant un processeur configuré pour la mise en œuvre du procédé selon la description qui précède.
Le procédé de conception selon l’invention permet de réduire de façon importante le temps de calcul pour générer les méta-modèles de Krigeage. En effet, le couplage d’une méthode de Krigeage avec une méthode de régression par moindres carrés partiels permet de diminuer de façon importante le nombre de paramètres de réglage du méta-modèle de Krigeage.
En particulier, une étape de recherche de dimensionnement satisfaisant à l’ensemble des contraintes peut être mise en œuvre, en recalculant à chaque nouveau dimensionnement candidat les méta-modèles de Krigeage, sans nécessiter un temps de calcul supplémentaire important. Cette étape est donc rapide à mettre en œuvre et accélère ensuite la convergence des étapes de recherche du dimensionnement optimal.
Le gain de temps ainsi dégagé, sans pour autant dégrader la qualité des méta-modèles de Krigeage, permet de mieux respecter les cycles de conception et/ou d’affiner la recherche du concept optimal.
La solution proposée permet en outre de lever les difficultés techniques liées à la construction d’un méta-modèle de Krigeage lorsque la base d’apprentissage et la dimension du problème sont de taille importante.
PRÉSENTATION DES FIGURES D’autres caractéristiques et avantages de l’invention ressortiront encore de la description qui suit, laquelle est purement illustrative et non limitative, et doit être lue en regard des figures annexées sur lesquelles : - la figure 1 est une représentation schématique d’un profil d’aubage de turbomachine sur lequel on a porté différentes variables géométriques intervenant dans sa définition ; - la figure 2 est un organigramme illustrant différentes étapes d’un traitement d’optimisation paramétrique conforme à un mode de mise en œuvre de l’invention. - les figures 3a et 3b illustrent schématiquement la mise en œuvre d’une analyse par composantes principales.
DESCRIPTION D'UN OU PLUSIEURS MODES DE MISE EN ŒUVRE ET DE RÉALISATION
En référence à la figure 1, on a représenté un exemple de section d’une pièce - en l’occurrence la pièce est une aube de turbomachine -susceptible d’être optimisée au moyen du procédé proposé. Sur la figure 1 sont également représentées différentes variables géométriques définissant le dimensionnement de la pièce, ci-après appelées variables de définition, caractéristiques du profil de cette pièce et destinées à constituer des paramètres de simulation pour celles-ci : positions du bord d’attaque BA et du bord de fuite BF, position du centre de gravité CG, épaisseur maximale EpMax, longueur de corde, angle γ de la ligne de corde, anglePï d’entrée d’air au niveau du bord d’attaque BA, angle β2 de sortie d’air au niveau du bord de fuite BF.
Le nombre de variables de définition peut être très important. Dans l’exemple qui précède, les variables de définition sont définies sur plusieurs niveaux de hauteur d’une aube par rapport au pied de l’aube. Le nombre de variables total augmente donc presque linéairement avec le nombre de sections d’aube considérées. L’optimisation d’une telle aube se fait par exemple avec un objectif général consistant par exemple à maximiser la performance aérodynamique de la pale, sous un certain nombre de contraintes aérodynamiques et mécaniques.
Par exemple, l’objectif général peut consister à optimiser le rendement isentropique ηΟΡ des points DP de conception correspondant aux différentes variables entrant dans la définition de l’aubage dans l’espace de conception DS, sous différentes contraintes aérodynamiques (contraintes relatives par exemple aux débits massiques d’air mDP, au rendement isentropique à la marge de poussée η5Μ, à la pression USM à la marge de poussée, etc..), ainsi que sous différentes contraintes mécaniques (contraintes relatives aux déplacements de l’aubage au niveau de son épaulement de contact, aux déplacements de l’aubage au niveau de ses bords de fuite BF et d’attaque BA, aux valeurs de contraintes de Von Mises, aux différentiels entre les harmoniques du rotor et les fréquences propres des différentes aubages, etc.).
Pour une même aube, le nombre de variables de définition peut être de l’ordre d’une ou plusieurs dizaines, voire de l’ordre de la centaine. Par exemple, une aube peut comporter environ 30 variables de définition. Dans la suite, on note d le nombre de variables de définition.
Le nombre de contraintes est également élevé : plusieurs dizaines, voire plusieurs centaines. Dans la suite, on note m le nombre de contraintes.
On note en outre mathématiquement x un dimensionnement donné pour une pièce mécanique, x étant donc un vecteur de taille d : (xi,...,xa), où les x, sont les valeurs de chacune des variables de définition.
On note également g, une fonction mathématique représentative du respect d’une contrainte / (i entre 1 et m). Le respect de chaque contrainte par un dimensionnement x donné peut être ramené à une expression d’inégalité du type 3i(.x) ^ 0.
En effet, pour illustrer, une contrainte g, peut être le respect d’une valeur de masse maximale de la pièce. La fonction contrainte correspondante est dans ce cas formulée comme « masse (x) - masse maximale ». On observe que la fonction évaluée en x est négative si la masse de la pièce pour le dimensionnement x est effectivement inférieure à la masse maximale.
Enfin, on note y une valeur correspondant à un degré d’atteinte de l’objectif, et fia fonction qui associe à un dimensionnement x donné la valeur y (un scalaire) représentative du degré d’atteinte d’un objectif, on note f(x)=y.
Pour reprendre l’exemple qui précède, y peut correspondre à une valeur rendement isentropique ηΟΡ pour un dimensionnement donné.
Le traitement d’optimisation illustré sur la figure 2 met en œuvre une stratégie d’optimisation adaptative automatisée assistée par méta-modèles de Krigeage.
En reprenant les notations qui précèdent, le problème à résoudre est un problème d’optimisation mono-objectif paramétrique continue et sous contrainte et il est formulé comme suit :
Ce procédé est mis en œuvre au moyen d’un ou plusieurs ordinateurs, par exemple par un processeur (non représenté) configuré pour exécuter un programme approprié.
Dans une première étape (étape 1), on renseigne le processeur avec un plan d’expérience comprenant n dimensionnements x(i> d’une pièce, i=1..n, avec n entier, l’ensemble des dimensionnements étant noté (χω, ...,x(n)), et pour chaque dimensionnement la valeur ^-f^) correspondante de degré d’atteinte de l’objectif et les valeurs g,(x®) de respect de contraintes préalablement calculées pour ces dimensionnements. Le calcul des g,(x®) et des y^ est coûteux en temps de calcul puisqu’il fait appel à des modèles exacts de simulation.
Chaque point x(i> est un vecteur de d valeurs (où d est un nombre entier) correspondant aux différentes variables entrant dans la définition de la pièce.
Ce plan d’expérience est par exemple déterminé à partir d’un échantillonnage de type « Latin Hypercube ». Alternativement, le plan d’expérience peut être un plan ayant été préalablement calculé et chargé par le processeur pour la mise en œuvre du procédé. A partir du plan d’expérience ainsi renseigné, le processeur construit par traitement de Krigeage un méta-modèle de réponse (étape 2) pour chacune des sorties g, (fonctions contraintes) et f (fonction objectif).
On note y la prédiction d’un méta-modèle de Krigeage pour la valeur de y, et §i, i=1..m les prédictions des méta-modèles de Krigeage respectifs pour les résultats des fonctions g,. On note également yx=f(x) la valeur réelle de la fonction f en x.
La construction des méta-modèles met en œuvre une régression par moindre carrés partiels (« Partial Least Square » ou « PLS » selon la terminologie anglo-saxonne généralement utilisée).
Dans le cadre d’un traitement de Krigeage, une réalisation d’un processus gaussien (le résultat d’un tirage selon une loi de probabilité normale), notée par exemple A(x) est décomposée en tout point x en la somme d’un prédicteur de Krigeage μ(χ) et d’une erreur Z(x) (confère paragraphe 3.2 de la publication [1] de
Sasena citée ci-avant) distribuée selon une loi normale J\f(0, σ2) où la variance σ2 est un paramètre pouvant être estimé :
Avec un nombre s de fonctions de base hj.(x).
Le Krigeage repose sur la supposition si deux points u et v sont proches, les erreurs respectives Z(u) et Z(v) seront proches également, c’est-à-dire que l’erreur Z(x) n’est pas indépendante. Une corrélation rU}V entre deux points u et v est exprimée par l’équation :
où 9j est un paramètre mesurant l’effet de la direction j du domaine de recherche sur la variation de la sortie (plus est important, et plus le terme exponentiel correspondant est petit), et p7 mesure un caractère plus ou moins lisse de l’exponentielle dans la direction j.
On a une matrice de corrélation : avec
Alors le meilleur prédicteur de Krigeage non biaisé de la valeur y (xnv), où xnv est un dimensionnement pour lequel la valeur réelle yx/west inconnue, est :
Avec h le vecteur contenant l’ensemble des fonctions de régression, β l’estimation des paramètres de régression et y le vecteur contenant les réponses, définis comme suit :
La difficulté de construire un tel méta-modèle de Krigeage lorsque le nombre de dimensions d des variables est élevé provient de la difficulté d’estimer les paramètres dans l’expression de la corrélation. C’est typiquement le cas lors de l’application des méta-modèles de Krigeage à la conception de pièces telles que des aubes, qui comprennent plusieurs dizaines de variables de définition (correspondant au nombre d de dimensions).
Pour remédier à cette problématique, la technique de Krigeage est couplée avec la méthode des moindres carrés partiels PLS (pour l’anglais Partial Least Squares).
La méthode des moindres carrés partielles permet de projeter un ensemble de variables initiales sur un ensemble plus réduit de variables appelées variables latentes (ou composantes principales) qui sont obtenues par combinaison linéaire des variables initiales :
T=XW W est une matrice contenant le vecteur de poids, c’est-à-dire des coefficients de pondération des variables initiales dans la construction des variables latentes (en anglais, « loading vectors ») de d lignes et q colonnes, ou q est très inférieur à d ; typiquement inférieur ou égal à 4 (par exemple égal à 2, 3 ou 4). q correspond au nombre de variables latentes retenues.
Les variables latentes sont des vecteurs formant les colonnes de la matrice T de n lignes et q colonnes, où n est toujours le nombre de dimensionnement du plan d’expérience initial. X est la matrice contenant les dimensionnements du plan d’expérience initial.
En référence à la figure 3a, après avoir centré et normalisé la matrice X et le vecteur y de degré d’atteinte d’objectif correspondant, la première variable latente est calculée en maximisant la covariance au carré entre la première variable latente XW(;}1) et le vecteur y- où W( J) désigne la t'emecolonne de la matrice W :
La maximisation est obtenue lorsque wi est le vecteur propre de la matrice XtyytX correspondant à la plus grande valeur propre. La plus grande valeur propre de ce système peut être estimée par la méthode itérative décrite dans : [5] C. Lanczos, «An itération method for the solution of the eigenvalue problem of linear differential and intégral operators », Journal of Research of the National Bureau of Standards, 45(4) :255-282, Octobre 1950.
Une fois W( j)obtenu les matrices résiduelles de X et de y sont calculées, notées X^es et y$esrespectivement :
Où st le vecteur des coefficients de régression de la régression locale de X sur la première variable latente et c? est le coefficient de régression de la régression de y sur la première variable latente.
Puis la deuxième variable latente est orthogonale à la première et peut être séquentiellement calculée en résolvant le même système que précédemment en remplaçant respectivement X et y par X^es et yïes.
Ceci est mis en œuvre itérativement jusqu’à obtenir le nombre q de variables latentes correspondant au nombre de dimensions réduits à obtenir.
La combinaison du Krigeage avec la méthode des moindres carrés partiels consiste à substituer la fonction de corrélation spatiale classique décrite ci-avant par une fonction de corrélation dans laquelle les variables sont de dimension réduite grâce à la méthode PLS. L’expression de la nouvelle fonction de corrélation est, en reprenant les mêmes notations que précédemment :
Dans cette équation \Wi,j I correspond à l’important de la ieme variable initiale (i=1,...,d) pour la construction de la jeme variable latente (j=1,...,q) et 07 traduit l’importance de la jeme variable latente sur la variable de sortie. Par conséquent on constate que les variables latentes transmettent l’influence des variables initiales sur la variable de sortie.
De plus, on constate que le nombre de paramètres 07 passe de d à q et qu’il est donc considérablement réduit, ce qui réduit le nombre de calculs à mettre en œuvre et donc augmente la vitesse de construction des méta-modèles de Krigeage. Typiquement, q peut être limité à 2, 3 ou 4.
Enfin les propriétés d’une matrice de corrélation classique Gaussienne sont conservées avec cette nouvelle expression de la fonction de corrélation.
Une fois les méta-modèles des réponses ainsi construits, le procédé peut comprendre une étape facultative (étape 3) de recherche d’au moins un point de faisabilité. Cette étape est en effet mise en œuvre si et seulement si le plan d’expérience initial ne comporte aucun point faisable.
Par point faisable, on entend un dimensionnement x satisfaisant toutes les contraintes, c’est-à-dire un dimensionnement pour lequel ^(x) < 0 pour tout / de 1 à m. A cet effet, en utilisant les méta-modèles de Krigeage obtenus à l’étape précédente, et dont le coût unitaire d’évaluation en un point x est négligeable, le processeur recherche au cours d'une sous-étape 3a, parmi tout le domaine de conception - et donc pour tous les dimensionnements x possibles de ce domaine et pas seulement ceux du plan d’expérience initial - le dimensionnement x maximisant la probabilité de respect de l’ensemble des contraintes :
Avec m le nombre de contraintes, ^le méta-modèle de la contrainte d’indice / (c’est-à-dire le prédicteur de g,(x)), P la probabilité que la contrainte g, correspondante soit respectée pour le point x.
Il s’agit donc d’un problème d’optimisation non contraint.
La résolution d’un tel problème se fait par exemple en utilisant un algorithme d’optimisation du type de celui décrit dans la publication suivante : [6] M.J.D. Powell, “A direct search optimization method that models the objective and constraint functions by linear interpolation”,inS. Gomez and J-P.Hennart, editors, Advances in optimization and numerical analysis, pages 51-67. Springer Verlag, 1994.
Une fois que le dimensionnement « candidat », maximisant cette probabilité, est identifié, le procédé comprend le calcul réel du respect des contraintes g,(x) et de l’objectif y(x) pour ce dimensionnement, par appel aux modèles de simulation.
Le dimensionnement x ainsi que les g,(x) et y(x) sont ajoutés au plan d’expérience initial pour obtenir un plan d’expérience enrichi, au cours d’une sous-étape 3b. Les méta-modèles de Krigeage sont alors reconstruits au cours d’une étape 3c à partir du plan d’expérience enrichi conformément à la sous-étape 2 décrite ci-avant. Puisque le plan d’expérience enrichi comporte plus d’informations, les méta-modèles sont plus précis.
Puis, si le dimensionnement candidat satisfait réellement aux contraintes, alors le procédé passe à l’étape 4.
Sinon, les étapes 3a et 3bsont réitérées jusqu’à ce que :
Un dimensionnement faisable, c’est-à-dire satisfaisant aux contraintes, soit identifié, ou
Jusqu’à ce qu’un nombre d’itérations maximum préétabli des étapes 3a et 3b soit atteint. Le nombre d’itérations est relativement réduit compte-tenu du coût de calcul important nécessité par les modèles de simulation. Il est par exemple inférieur à 20, de préférence compris entre 5 et 15, par exemple égal à 10. L’étape 4 est la phase effective d’optimisation sous contraintes. Pour ce faire, le processeur met en œuvre un traitement d’enrichissement permettant d’enrichir de façon itérative le plan d’expérience par de nouveaux points et de mettre à jour successivement à chaque itération de l’optimisation les méta-modèles pour tendre vers une qualité de prédiction améliorée dans les zones pertinentes de l’espace de conception. A cet effet, on met en œuvre un traitement d’enrichissement de points (« Infill sampling criteria » selon la terminologie anglo-saxonne généralement utiliséejen optimisant un critère d’enrichissement qui prend en compte les méta-modèles précédemment calculés.
Les critères d’enrichissement classiquement utilisés avec des traitements de Krigeage sont couramment de type El (« Expected Improvement» selon la terminologie anglo-saxonne généralement utilisée).
Dans le cas du traitement ici décrit, il est proposé d’utiliser un critère d’enrichissement de type à localisation des extrêmes régionaux.
Un tel critère est par exemple également connu sous la dénomination WB2 ou LWB2 et est par exemple décrit dans la publication [1] déjà citée (pp. 68 et s.).
Un point x(n+1) d’enrichissement est choisi pour optimiser :
où fmin est la valeur minimale de la fonction objectif f évaluée en x connue, c’est-à-dire la meilleure valeur obtenue de respect de l’objectif, et Φ et φεοηΐ respectivement, la fonction de répartition et la densité d’une loi normale réduite centrée, et s(x) l’estimation de l’erreur du Krigeage, définie par :
et σ2 est la variance du résidu, introduite ci-avant.
Pour déterminer le point x<n+1> d’enrichissement, le processeur utilise les méta-modèles de Krigeage pour tester lors d’une sous-étape 4a l’ensemble des points du domaine de conception et déterminer celui maximisant le système ci-dessus. Une nouvelle fois, l’évaluation des méta-modèles est très peu coûteuse en temps de calcul et peut donc être réalisée sur tout le domaine de conception. A l’issue de cette sous-étape 4a, le processeur met en œuvre une simulation lors d’une étape 4b afin de déterminer le vecteur de valeurs réelles de la fonction objectif y(n+i)=f(x(n+ï)) et fonctjons contraintes g,(x<n+1>) correspondant au point x<n+1> déterminé lors de cette étape d’enrichissement, et ajoute le dimensionnement x<n+1> est les évaluations des fonctions au plan d’enrichissement pour obtenir un plan d’expérience enrichi.
Au cours d’une étape 4c, les méta-modèles de Krigeage sont reconstruits à partir du plan d’expérience enrichi pour plus de précision. L’étape 4 est ensuite itérée en utilisant comme plan d’expérience enrichi le plan précédent complété par le point x<n+1> et le vecteur de valeurs des réponses )/n+1>et g,(x<n+1>) qui lui correspond.
Ces itérations sont réalisées tant que le budget de calcul alloué n’est pas épuisé.
Les points d’enrichissement ainsi successivement calculés convergent vers un point optimisé.
Lorsque le traitement s’arrête, on peut sélectionner comme dimensionnement de la pièce que l’on cherchait à concevoir celui correspondant à la meilleure valeur d’atteinte d’objectif, c’est-à-dire la valeur minimale de la fonction f d’objectif (fmin) respectant les contraintes.
Le cas échéant, des pièces sont fabriquées sur la base de cette conception.
Dans le cas d’un aubage de turbomachine, par exemple, le traitement peut être réalisé sous une chaîne de calcul automatisée utilisant le logiciel OPTIMUS ® de la société NOESIS.
Les données suivantes sont initialement fournies: - définition des variables de définition et leurs bornes de variation (variables géométriques associées aux aubages), - définition des objectifs et contraintes du problème d’optimisation (sorties de la chaîne OPTIMUS), - définition des données d’entrées nécessaires à la chaîne d’optimisation (géométrie de référence des aubages et autres données). Également, les paramétrages suivants sont préalablement définis pour la mise en œuvre de l’algorithme d’optimisation : - Taille du plan d’expérience initial de type Latin Hypercube ou sélection d’un plan d’expérience pré-calculé - Nombre de composantes principales ou variables latentes (pour le calcul KPLS) - Type du noyau du Krigeage (le noyau Gaussien est le plus souvent utilisé mais il existe d’autres noyaux dans la littérature, par exemple la publication de C. Rasmussen, C. Williams, « Gaussian Process for Machine Learning. Adaptive computation and Machine Learning », MIT Press, Cambridge, MA, USA, 2006), - Choix de l’objectif et des contraintes à prendre en compte pour l’optimisation - Nombre de points d’enrichissement en phase de recherche de faisabilité (le cas échéant) - Nombre de points d’enrichissement en phase d’optimisation
En cours de traitement, l’outil fournit différents fichiers listés ci-dessous. - La table de résultats des expériences, mise à jour à chaque itération du processus d’optimisation, et dans un format compatible pour un post-traitement via le logiciel OPTIMUS®. - Un graphe de convergence des réponses du problème au fur et à mesure des itérations d’optimisation, mis à jour à chaque itération. - Une cartographie des contraintes violées, mise à jour à chaque itération. - Le fichier contenant l’optimum final identifié ou le meilleur point calculé au regard de l’objectif et du respect des contraintes du problème.
Avec un procédé du type de celui qui vient d’être décrit, la recherche de points de faisabilité qui est mise en œuvre avant d’entamer la phase d’optimisation permet d’identifier en amont de l’optimisation les zones respectant les contraintes métier, souvent nombreuses, tout en améliorant la qualité des méta-modèles. Il est important de souligner ici que le point initial utilisé pour l’optimisation du critère d’enrichissement s’avère fondamental pour la sélection d’un nouveau point d’enrichissement : la sélection de points de faisabilité qui est proposée (choix de points du plan d’expérience satisfaisant le maximum de contraintes physiques) s’avère particulièrement fiable.
En outre, l’intégration de la technique PLS au méta-modèle de Krigeage standard améliore la robustesse du Krigeage et réduit son coût de construction pour des problèmes en grande dimension notamment et pour des bases d’apprentissage de taille importante (>200 expériences).
En outre, l’utilisation du critère d’enrichissement LWB2 au lieu du critère El habituel, permet une convergence plus rapide tout en assurant une exploration efficace de l’espace de conception (le critère LWB2 étant un critère plus local que le critère El).
Une telle méthode est particulièrement avantageuse pour la conception d’aubage amélioré de turbomachines mais elle peut également s’appliquer à d’autres types de pièces que des aubages.
Elle trouve en particulier avantageusement application dans le cas de conception de pièces de grande taille, très contraintes en termes de certification de leur dimension.
Claims (11)
- REVENDICATIONS1. Procédé de conception d’une pièce mécanique définie par un ensemble de variables de définition prenant des valeurs dans un espace de conception, pour déterminer un dimensionnement de la pièce optimisé du point de vue d’un objectif à atteindre, tout en respectant un ensemble de contraintes, le procédé étant mis en œuvre par une unité de traitement et comprenant la mise en œuvre d’au moins une itération de la succession des étapes: a) à partir d’un plan d’expérience comprenant au moins un dimensionnement d’une pièce, chaque dimensionnement comprenant des valeurs pour l’ensemble des variables de définition, et, pour chaque dimensionnement, une valeur de fonction objectif correspondante, construire (2, 4c) un méta-modèle de krigeage pour chaque contrainte et pour la fonction objectif, b) évaluer les méta-modèles de Krigeage sur l’espace de conception, et déterminer (4a) un dimensionnement de prédiction optimale d’atteinte de l’objectif et de respect des contraintes, c) évaluer le respect des contraintes et un degré d’atteinte de l’objectif par ledit dimensionnement, et enrichir (4b) le plan d’expérience précédent avec ledit dimensionnement et les valeurs obtenues par l’évaluation, le procédé étant caractérisé en ce que la construction des méta-modèles de Krigeage comprend la mise en œuvre d’une régression par moindres carrés partiels pour diminuer le nombre de paramètres dans la construction de chaque méta-modèle.
- 2. Procédé selon la revendication 1, dans lequel l’étape de construction (2, 3c, 4c) des méta-modèles de Krigeage comprend l’utilisation, pour l’expression de prédicteurs de Krigeage, d’une matrice de corrélation calculée à partir d’un nombre de paramètres de pondération strictement inférieur au nombre de variables de définition.
- 3. Procédé selon la revendication 2, dans lequel l’étape de construction (2, 3c, 4c) des méta-modèles de Krigeage comprend l’utilisation d’une matrice de corrélation calculée à partir d’une fonction de corrélation définie par :où u et v sont deux vecteurs de coordonnées u/, v„ avec / entier compris entre 1 et d, d est le nombre de variables de définition, W est une matrice contenant des coefficients de pondération des variables initiales dans la construction des variables latentes , q est un paramètre de pondération de la variable de définition j, et q est le nombre réduit de dimensions.
- 4. Procédé selon l’une des revendications 1 à 3, comprenant en outre, lors de la première itération, avant la mise en œuvre de l’étape b), la mise en œuvre d’une étape (3) de recherche d’au moins un dimensionnement satisfaisant à l’ensemble des contraintes.
- 5. Procédé selon la revendication 4, dans lequel l’étape de recherche d’un dimensionnement satisfaisant aux contraintes comprend : d) l’évaluation (3a) des méta-modèles de Krigeage sur l’espace de conception pour déterminer un dimensionnement présentant une probabilité maximale de respect des contraintes, e) l’évaluation (3b) du respect des contraintes et du degré d’atteinte de l’objectif par ledit dimensionnement, et l’enrichissement du plan d’expérience précédent avec ledit dimensionnements et les valeurs obtenues par l’évaluation, et f) la mise à jour (3c) des méta-modèles de Krigeage à partir du plan d’expérience enrichi.
- 6. Procédé selon la revendication 5, dans lequel les étapes d) à f) sont mises en œuvre de manière itérative jusqu’à déterminer un dimensionnement respectant l’ensemble des contraintes, ou jusqu’à un nombre maximal d’itérations prédéterminé.
- 7. Procédé selon l’une des revendications 4 ou 5, dans lequel l’étape b) est mise en œuvre en évaluant les méta-modèles de Krigeage générés sur la base du dernier plan d’expérience enrichi.
- 8. Procédé selon l’une des revendications précédentes, dans lequel, lors de la première itération, le plan d’expérience initial est un plan d’expérience pré-calculé ou un plan de type Latin Hypercube.
- 9. Procédé selon l’une des revendications précédentes, dans lequel les étapes a) à c) sont itérées jusqu’à atteindre un nombre d’itérations pré-déterminé, et un dimensionnement optimal de la pièce est le dernier dimensionnement ayant enrichi le plan d’expérience à l’étape c).
- 10. Produit programme d’ordinateur, comprenant des instructions de code pour la mise en œuvre du procédé selon l’une des revendications précédentes, lorsqu’il est exécuté par un processeur.
- 11. Unité de traitement, comprenant un processeur configuré pour la mise en œuvre du procédé selon l’une des revendications 1 à 9.
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| FR1557301A FR3039677A1 (fr) | 2015-07-30 | 2015-07-30 | Procede de conception de pieces mecaniques, notamment d'aubes de turbomachine |
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|---|---|---|---|---|
| CN109783772A (zh) * | 2017-11-14 | 2019-05-21 | 贵州中烟工业有限责任公司 | 一种确定偏最小二乘回归潜变量数的方法 |
| CN113297677A (zh) * | 2021-06-15 | 2021-08-24 | 中国航发沈阳发动机研究所 | 一种基于Kriging模型的飞机发动机空气***概率分析方法 |
-
2015
- 2015-07-30 FR FR1557301A patent/FR3039677A1/fr active Pending
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