FR2966951A1 - Procede de simulation pour determiner des coefficients aerodynamiques d'un aeronef - Google Patents

Abstract

L'invention concerne un procédé de simulation par ordinateur d'écoulements de fluide dans l'environnement d'un aéronef pour déterminer au moins un coefficient aérodynamique, comportant l'obtention d'une première suite de valeurs du coefficient aérodynamique, ledit procédé comportant en outre: - définition d'un critère de convergence dudit coefficient aérodynamique, - sélection d'un ensemble déterminé de termes appartenant à ladite première suite, - définition d'une fonction monotone pour opérer une transformation relativement dilatante dans ledit ensemble déterminé par rapport au complémentaire dudit ensemble, - application de ladite fonction sur ladite première suite pour former une deuxième suite de valeurs du coefficient aérodynamique, - détermination dudit coefficient aérodynamique en traçant une courbe d'évolution représentative de ladite deuxième suite de valeurs du coefficient aérodynamique, et - affichage de ladite courbe d'évolution incluant un zoom intrinsèque de la zone de convergence dudit coefficient aérodynamique.

Description

PROCÉDÉ DE SIMULATION POUR DÉTERMINER DES COEFFICIENTS AÉRODYNAMIQUES D'UN AÉRONEF

DESCRIPTION DOMAINE TECHNIQUE La présente invention se rapporte au domaine général de l'aérodynamique et concerne la simulation IO numérique des écoulements aérodynamiques relatifs à un aéronef. Elle trouve une application dans le domaine de l'aéronautique dans lequel la conception d'un aéronef nécessite de connaître précisément les coefficients 15 aérodynamiques associés à ses différents éléments. ETAT DE LA TECHNIQUE ANTERIEURE Lors de la conception d'un aéronef, on cherche à déterminer les coefficients aérodynamiques globaux 20 associés à ses différents éléments, par exemple, ceux associés à la voilure, tels que la portance, la traînée et le moment de tangage. Ces coefficients peuvent être déterminés de différentes manières, notamment par la simulation 25 numérique des écoulements de fluide qui consiste à analyser les mouvements d'un fluide ou leurs effets par la résolution numérique des équations régissant le fluide. Un modèle numérique est choisi pour reproduire 30 l'écoulement du fluide dans une zone d'espace qui entoure un élément de l'aéronef. Cette zone d'espace est appelé domaine géométrique du fluide ou domaine de calcul. La simulation numérique permet la détermination de valeurs physiques (par exemple, vitesse, pression, température, masse volumique, etc.) pour chaque point du domaine de calcul, ceci pour un coût global généralement très faible par rapport à des essais en soufflerie ou en vol.

En fonction des approximations choisies, qui sont en général le résultat d'un compromis entre le besoin de représentation physique et la charge de calculs, les équations résolues peuvent être diverses, les plus utilisées étant les équations d'Euler (représentatives d'un fluide non visqueux et adiabatique) et les équations de Navier-Stokes (représentatives d'un fluide visqueux et conducteur de chaleur). Dans le cas des équations de Navier-Stokes, celles-ci sont le plus souvent moyennées et complétées par des modèles de turbulence. La résolution numérique de ces équations s'effectue par des ordinateurs à l'aide de maillages discrétisant le domaine géométrique du fluide à étudier et de schémas numériques qui permettent de remplacer la forme continue des équations par des formes discrètes. Cette résolution s'effectue généralement de manière itérative, c'est-à-dire, consistant à partir d'un état initial (par exemple, correspondant à un écoulement uniforme) et à effectuer des itérations successives de calcul consistant à calculer l'état suivant à partir de l'état courant.

De manière idéale, ce processus itératif devrait aboutir à un état n'évoluant plus avec les itérations et correspondant à une solution rigoureuse des équations discrétisées. Dans la pratique, on n'obtient pas cet état quel que soit le nombre d'itérations réalisées et il est nécessaire d'imposer l'arrêt de la simulation en fonction de certains critères, par exemple lorsqu'un nombre d'itérations fixé à l'avance est atteint ou lorsque l'écart entre deux états successifs est inférieur à une certaine quantité. La plus ou moins bonne convergence de la simulation numérique des écoulements aérodynamiques peut s'apprécier sur la base de tracés de l'évolution des coefficients aérodynamiques effectués en échelle linéaire. Les valeurs d'un coefficient aérodynamiques peuvent être positives, négatives ou nulles et l'on étudie leur convergence vers une valeur inconnue a priori. Du fait de l'utilisation d'une échelle linéaire pour le tracé de l'évolution des coefficients aérodynamiques associée au fait que cette évolution présente normalement une convergence, on obtient souvent un plateau dans le tracé de la courbe, ce qui est interprété comme la mise en évidence de la convergence. Néanmoins, avec ce type de tracé, on ne voit pas de manière précise l'évolution de ces coefficients dans le plateau, ce qui est préjudiciable à une analyse précise de la convergence de la simulation.

On est alors souvent conduit à effectuer des agrandissements du tracé mais cela présente l'inconvénient de demander un certain travail de mise en oeuvre manuelle d'un logiciel de tracé avec une grande charge de calculs. De plus ces agrandissements ne sont pas possibles si l'on dispose uniquement de tracés imprimés sur papier. L'objet de la présente invention est de proposer un procédé de simulation d'écoulements de fluide pour déterminer l'évolution des coefficients aérodynamiques remédiant aux inconvénients précités.

EXPOSÉ DE L'INVENTION La présente invention est définie par un procédé de simulation par ordinateur d'écoulements de fluide dans l'environnement d'un aéronef pour déterminer au moins un coefficient aérodynamique caractérisant le comportement aérodynamique d'au moins un élément de l'aéronef, ledit procédé comportant une résolution numérique d'équations modélisant l'écoulement du fluide dans ledit environnent, selon un modèle paramétré par des paramètres physiques du fluide, ladite résolution numérique étant effectuée de manière itérative pour obtenir une première suite de valeurs du coefficient aérodynamique indexée par le nombre d'itérations, ledit procédé comportant en outre les étapes suivantes : - définition d'un critère de convergence dudit coefficient aérodynamique, sélection en fonction dudit critère de convergence, d'un ensemble déterminé de termes appartenant â ladite première suite de valeurs du coefficient aérodynamique, - définition d'une fonction monotone configurée pour opérer une transformation relativement dilatante dans ledit ensemble déterminé par rapport au complémentaire dudit ensemble, - application de ladite fonction monotone sur ladite première suite pour former une deuxième suite de valeurs du coefficient aérodynamique, ladite deuxième suite définissant une évolution globale dudit coefficient aérodynamique avec une dilatation localisée dans une zone de convergence correspondant audit ensemble déterminé, - détermination dudit coefficient aérodynamique en traçant une courbe d'évolution représentative de ladite deuxième suite de valeurs du coefficient aérodynamique en fonction du nombre d'itérations, et - affichage de ladite courbe d'évolution incluant un zoom (ou agrandissement) intrinsèque de ladite zone de convergence détaillant la convergence dudit coefficient aérodynamique.

Ainsi, le procédé permet d'analyser l'évolution du coefficient aérodynamique de manière globale tout en analysant finement son comportement dans la zone d'attraction ou de convergence. Ceci permet d'évaluer rapidement et avec une grande précision la valeur stationnaire du coefficient aérodynamique ainsi que le degré de convergence de la simulation numérique. Il n'est plus nécessaire de faire des agrandissements pour déterminer le coefficient aérodynamique. Selon un aspect de la présente invention, ledit critère de convergence est défini en fonction d'un nombre d'itérations prédéterminé.

Ceci permet d'avoir un agrandissement direct dans la zone d'intérêt pour fournir une courbe plus adaptée. Selon un autre aspect de la présente invention, ledit nombre d'itérations prédéterminé correspond à un nombre total d'itérations. Lorsque le nombre total d'itérations qui est fixé à l'avance est atteint, on s'approche de plus en plus de la convergence c'est-à-dire, de l'état stationnaire de l'écoulement réel.

Avantageusement, la cardinalité dudit ensemble déterminé est définie en fonction d'un ordre de grandeur prédéterminé du coefficient aérodynamique. Ceci permet de détailler la simulation dans une zone dont l'étendue et la précision sont choisies selon des considérations liées au type et à l'ordre de grandeur attendu du coefficient aérodynamique. Avantageusement, ladite fonction monotone correspond à une transformation mixte linéaire-logarithmique présentant un comportement linéaire dans ledit ensemble déterminé et un comportement logarithmique en dehors dudit ensemble déterminé définie de la manière suivante : F(x)=x/lO' silx110' et F(x)=sign(x).log,o(x/lOP-1)six>10", où p est un ordre de grandeur de précision. Cette transformation mixte linéaire-logarithmique présente un intérêt de facilité d'implémentation et de familiarité d'interprétation pour les utilisateurs. Avantageusement, le procédé comporte une addition d'une constante à chacun des termes de la première suite avant l'application de ladite fonction monotone, ladite constante étant égale â la valeur du coefficient aérodynamique audit nombre d'itérations déterminé. Ceci permet de faciliter davantage l'évaluation de la convergence du coefficient aérodynamique en faisant tendre la suite vers zéro. Avantageusement, le procédé comporte en outre l'application d'une opération de valeur absolue sur les termes de ladite deuxième suite pour former une troisième suite de termes positifs.

Ceci permet de simplifier la détermination de la convergence du coefficient aérodynamique. Avantageusement, le procédé comporte aussi les étapes suivantes : application d'une opération de filtrage d'oscillations sur ladite troisième suite pour former une quatrième suite monotone, et traçage d'une courbe d'évolution positive et monotone représentative de ladite quatrième suite. Selon un exemple de la présente invention, le 20 procédé comporte les étapes suivantes : traçage d'une courbe préliminaire d'évolution Co(I) représentative de ladite première suite de valeurs du coefficient aérodynamique en fonction du nombre d'itérations, 25 définition d'au moins un intervalle de valeurs du coefficient aérodynamique correspondant audit ensemble déterminé, application de ladite fonction monotone mixte linéaire-logarithmique sur ladite courbe préliminaire 30 d'évolution opérant une transformation linéaire dans ledit intervalle et une transformation logarithmique à l'extérieur dudit intervalle pour former ladite courbé d'évolution. Selon un mode de réalisation de la présente invention, le procédé comporte les étapes suivantes calculer une valeur finale Cofinal =Co(Io.), une valeur maximale Comax =max(Co(1» , et une valeur minimale Co,n;,, =min(Co(I)) de ladite courbe préliminaire d' évolution Co(I), - définir de manière récursive une cinquième suite décroissante I p I'+' I' I m-1 I m telle que Io > Comin V i [p, m-1], IO Ç Comin , Io = Mô -10' , et MO ~-- Cofinal a 10P près, où p est un ordre de grandeur de précision, définir de manière récursive une sixième suite croissante So , So+',..., Sô ,..., telle que Sô < Coll. b i e [p, n -11, So ? Co,nax , et So = Mo + 10" , définir une septième suite ordonnée en fonction desdites cinquième et sixième suites : Po n <I,-' <...< It0 0 0 <...<1r g < M0p <SP <S;9" ...<SI <...<Sn-' <Sn 0 0 0 0 0 - définir un intervalle inférieur [h, la ] , un intervalle médian [Io, Sô~, et un intervalle supérieur [So, Sô ] , application de ladite fonction monotone mixte linéaire-logarithmique sur ladite courbe préliminaire d'évolution en utilisant ladite septième suite ordonnée pour former ladite courbe d'évolution de la manière suivante : C (I) = F(Co(I)-Mô ) dz = F(Iô -MD b i e [p, mi S2 =F(Soi -MD V i e [p, ni Mp = FM -Mo) =F(0) =O. Selon un autre mode de réalisation de la présente 5 invention, le procédé comporte les étapes suivantes : - translation de ladite courbe préliminaire d'évolution par la valeur que le coefficient aérodynamique prend au nombre total d'itérations pour former une courbe intermédiaire d'évolution, 10 détermination d'un ordre de grandeur majorant m relatif à ladite courbe intermédiaire d'évolution, défini comme étant l'entier relatif m, tel que : 10'"-1 < max C1(1)1 10m , et - définition dudit intervalle par des extrémités égales 15 à -10P et 10P où p est un ordre de grandeur de précision qui est strictement inférieur audit ordre de grandeur majorant m, et - application de ladite fonction monotone mixte linéaire-logarithmique sur ladite courbe 20 intermédiaire d'évolution en utilisant ladite suite ordonnée pour former ladite courbe d'évolution de la manière suivante : C2 (1) = C, (1).10-' pour C, (1) 10', et Cz (1) = sign(C, (1)). [1og,o ( C, (l»-p+11 pour C, MI> 10'. 25 Avantageusement, le procédé comporte les étapes suivantes : - application d'une valeur absolue sur ladite courbe d'évolution pour former une courbe d'évolution positive C3(1), et traçage d'une courbe d'évolution positive et monotone C4(I) au moyen d'un calcul par récurrence pour I variant de manière décroissante entre 1,k, et 1, selon les formules suivantes C4 \imax / u C3 \1 max C4 (1) = max(C3 (1), C,4 (1 + 1» pour 1 rmax L'invention porte également sur un programme d'ordinateur comportant des instructions de codes pour la mise en oeuvre du procédé de simulation selon l'une quelconque des caractéristiques ci-dessus lorsqu'il est exécuté sur un ordinateur. D'autres avantages et caractéristiques de l'invention apparaîtront dans la description détaillée non limitative ci-dessous.

BRÈVE DESCRIPTION DES DESSINS On décrira à présent, à titre d'exemples non limitatifs, des modes de réalisation de l'invention, en se référant aux dessins annexés, dans lesquels : La Fig. 1 illustre de manière schématique un système informatique qui peut être utilisé pour réaliser un procédé de simulation des écoulements de fluide, afin de déterminer au moins un coefficient aérodynamique relatif à un aéronef, selon l'invention ; La Fig. 2 illustre les différentes étapes d'un procédé de simulation selon un premier mode de réalisation de l'invention ; Les Figs. 3A à 3E illustrent les tracés suivant les différentes étapes du procédé de la Fig. 2 ; La Fig. 4 illustre les différentes étapes d'un procédé de simulation selon un deuxième mode de réalisation de l'invention ; et La Fig. 5 illustre le tracé suivant une étape du 5 procédé de la Fig. 4. EXPOSÉ DÉTAILLÉ DES MODES DE RÉALISATION PRÉFÉRÉS L'idée à la base de l'invention est de déterminer l'évolution des coefficients aérodynamiques au moyen 10 d'un type de tracé incluant systématiquement un agrandissement de la zone de convergence. La Fig. 1 illustre de manière schématique un système informatique 1 qui peut être utilisé pour réaliser un procédé de simulation des écoulements de 15 fluide, afin de déterminer au moins un coefficient aérodynamique relatif à un aéronef, selon l'invention. Chaque coefficient aérodynamique caractérise un comportement aérodynamique spécifique d'un élément ou de plusieurs éléments de l'aéronef. Le coefficient 20 aérodynamique peut par exemple, correspondre à la portance, la traînée, ou le moment de tangage de la voilure de l'aéronef. Le système informatique 1 peut être composé d'un ordinateur comprenant de manière habituelle, des moyens 25 d'entrée 3, des moyens de traitement 5, des moyens de stockage 7, et des moyens de sortie 9. Les moyens de stockage 7 peuvent comprendre un ou plusieurs programmes d'ordinateur comprenant des instructions de code pour la mise en oeuvre du procédé 30 selon l'invention lorsque le (ou les) programme(s) d'ordinateur est(sont) exécuté(s) par le système informatique 1. Le système informatique 1 est utilisé pour résoudre numériquement des équations modélisant l'écoulement du fluide dans l'environnement de l'aéronef selon un modèle paramétré par des paramètres physiques de type Euler ou Navier-Stokes, reproduisant l'écoulement du fluide dans l'environnement de l'aéronef. Ce modèle, bien connu, comprend un ensemble d'équations modélisant l'écoulement du fluide dans l'environnement de l'aéronef en fonction des paramètres physiques du fluide comportant par exemple, une masse volumique, un champ de vitesse, un champ de pression, un champ de température, une force extérieure de volume, comme la gravité, une viscosité dynamique, une chaleur spécifique à volume constant, un taux de dissipation par viscosité, et une conductivité thermique du fluide. La résolution numérique utilise des maillages pour discrétiser le domaine géométrique du fluide en remplaçant la forme continue des équations par des formes discrètes. Cette résolution est effectuée de manière itérative consistant à calculer une valeur suivante du coefficient aérodynamique à partir d'une valeur courante pour déterminer une première suite S1 de valeurs du coefficient aérodynamique indexée par le nombre d'itérations. Conformément à l'invention, les moyens de traitement 5 sont configurés pour définir un critère de convergence du coefficient aérodynamique et pour sélectionner un ensemble déterminé de termes appartenant à la première suite de valeurs du coefficient aérodynamique en fonction du critère de convergence. Cet ensemble déterminé peut par exemple être formé d'au moins un intervalle.

Avantageusement le critère de convergence est défini en fonction d'un nombre d'itérations prédéterminé qui peut par exemple, correspondre au nombre total d'itérations fixé à l'avance. En outre la taille ou la cardinalité de cet ensemble déterminé peut être calculé en fonction du type, d'un ordre de grandeur prédéterminé ou de la précision souhaitée du coefficient aérodynamique. Les moyens de traitement 5 définissent aussi une fonction monotone F configurée pour opérer une transformation relativement dilatante dans l'ensemble déterminé par rapport au complémentaire de cet ensemble. Par exemple, la transformation peut être localement dilatante, de type homothétique à l'intérieur de l'ensemble déterminé et contractante à l'extérieur de cet ensemble. Plus particulièrement, la fonction monotone F peut correspondre à une transformation mixte linéaire-logarithmique présentant un comportement linéaire dans l'ensemble déterminé et un comportement logarithmique en dehors de cet ensemble. Les moyens de traitement 5 appliquent ensuite cette fonction monotone F sur la première suite S1 pour former une deuxième suite S2 de valeurs du coefficient aérodynamique. La deuxième suite S2 définit ainsi une évolution globale du coefficient aérodynamique avec une dilatation localisée dans une zone de convergence correspondant à l'ensemble déterminé. En outre, les moyens de traitement 5 sont configurés pour déterminer le coefficient aérodynamique 5 en traçant une courbe d'évolution C'2(I) représentative de la deuxième suite S2 de valeurs du coefficient aérodynamique en fonction du nombre d'itération I. Les moyens de traitement 5 sont aussi configurés pour visualiser ou afficher la courbe d'évolution (7,(I) 10 incluant un zoom (ou agrandissement) intrinsèque de la zone de convergence détaillant l'attraction ou la convergence du coefficient aérodynamique. Cette courbe d'évolution C2(I) peut être affichée sur les moyens de sortie 9 (par exemple, sur un écran ou un support 15 papier). Le zoom intrinsèque et systématique de la zone de convergence permet d'évaluer de manière directe et avec une grande précision la valeur de convergence du coefficient aérodynamique. On notera que de manière générale, les valeurs d'un 20 coefficient aérodynamique peuvent éventuellement changer de signe et passer par zéro, d'où l'inadaptation d'appliquer une simple échelle logarithmique sur la première suite S1 de valeurs du coefficient aérodynamique. De plus une application 25 directe d'une telle échelle n'améliorerait pas le tracé puisqu'elle agrandirait la zone autour de zéro et pas celle autour de la valeur de convergence. La présente invention résout ce problème en utilisant de manière ingénieuse deux types d'échelles pour les appliquer 30 simultanément sur la première suite S1 de valeurs du coefficient aérodynamique quelle que soit sa variation de signe. On notera que les moyens de traitement 5 peuvent être configurés pour additionner une constante à chacun des termes de la première suite avant l'application de la fonction monotone F pour former une suite intermédiaire tendant vers zéro. Ainsi, cette constante peut être choisie pour être égale â la valeur du coefficient aérodynamique au nombre d'itérations déterminé. Avantageusement, les moyens de traitement 5 sont configurés pour appliquer une opération de valeur absolue sur les termes de la deuxième suite S2 formant ainsi une troisième suite S3 de termes positifs.

De plus, afin d'enlever les fluctuations, les moyens de traitement 5 appliquent une opération de filtrage d'oscillations sur la troisième suite S3 pour former une quatrième suite S4. La quatrième suite S4 est ensuite représentée par 20 une courbe d'évolution positive et monotone tracée sur les moyens de sortie 9. La Fig. 2 illustre les différentes étapes d'un procédé de simulation selon un premier mode de réalisation de l'invention. 25 Selon cet exemple, on dispose d'une première suite finie de valeurs du coefficient par exemple, sous la forme d'un tableau donnant la valeur du coefficient aérodynamique pour chaque nombre d'itérations, celui-ci variant entre 1 et un nombre total d'itérations valant 30 par exemple 11 000. On notera par la suite Co le coefficient aérodynamique, 1 le nombre d'itérations courant et Imax le nombre total d'itérations. Les Figs. 3A à 3E illustrent les tracés suivant les différentes étapes du procédé de la Fig. 2.

L'étape FO consiste à tracer une courbe préliminaire d'évolution Co(l) représentative de la première suite S1 de valeurs du coefficient aérodynamique en fonction du nombre d'itérations 1, comme illustré sur l'exemple de la Fig. 3A. IO Le tracé de la courbe Co(l) a pour abscisse le nombre d'itérations 1 et pour ordonnée le coefficient aérodynamique Co et représente le résultat d'une simulation numérique effectuée en Navier-Stokes sur une configuration industrielle d'aéronef. Ce tracé est 15 réalisé de manière classique et comporte des échelles linéaires pour l'abscisse et pour l'ordonnée. L'étape El a pour but d'obtenir le tracé d'une fonction tendant vers zéro. Les moyens de traitement 5 vont par exemple, 20 translater la fonction ou la courbe Co(l) de la valeur Co(I.ax) qu'elle prend pour le nombre total d'itérations Ilmx. On définit donc le coefficient Cl par l'équation suivante : VI; CI(1)=Co(l)-Co(li.) 25 On trace alors la fonction CI(I) et l'on obtient sur les moyens de sortie 9 le tracé de la courbe C1 (I) illustré sur la Fig. 3B qui est une translation verticale de celui de la Fig. 3A. A titre de variante et pour des besoins 30 particuliers, on pourra translater la fonction Co(l) de la valeur qu'elle prend pour un nombre d'itérations quelconque au lieu de la translater de la valeur qu'elle prend pour le nombre total d'itérations. On pourra également la translater d'une valeur quelconque choisie par l'utilisateur en fonction de ses besoins.

L'étape E2 consiste à appliquer une transformation mixte linéaire-logarithmique sur la fonction CI(I) pour obtenir un tracé qui permette à la fois de voir toute la courbe et de voir plus précisément les évolutions autour de zéro.

Pour cela, les moyens de traitement 5 calculent d'abord l'ordre de grandeur majorant de la fonction Cl (I) qui est l'entier relatif m tel que : 1O'«max ç (1) 10"' On peut calculer m avec la formule suivante : m = partie entière de [logm(nmx )1+1' CI (1) On définit ensuite l'ordre de grandeur de la précision p, qui est strictement inférieur à l'ordre de grandeur majorant m. De manière préférentielle, on peut fixer la valeur de p en fonction du coefficient Co considéré et de la précision voulue pour ce coefficient, précision déterminée soit par des considérations générales faisant partie de l'état de l'art de la discipline, soit par des considérations particulières liées à l'étude pour laquelle les simulations numériques dont on veut estimer la convergence sont effectuées. Si par exemple le coefficient Co est le coefficient de portance d'un aéronef C, on pourra considérer comme souhaitable d'obtenir une précision de 10-3 et on fixera dans ce cas : p = -3.

De manière alternative, on peut fixer la valeur de p en fonction de m en considérant qu'il est souhaitable que p soit inférieur à m d'un certain nombre d'ordres de grandeur. Si par exemple on souhaite que p soit inférieur à m de trois ordres de grandeur, on fixera : p = m - 3. On définit ensuite une fonction C2(1) selon les formules suivantes : 10", alors C2(l)=CI(l).10-' et _ >10' alors C2 (1) = sign(C (1» . loglo( (I))- p+ 1 Ces formules sont définies de manière à assurer les propriétés suivantes : lorsque Cl (l) varie dans l'intervalle L-10'; MY], C2(1) varie linéairement avec Cl(l) et prend les 15 valeurs ±l quand Cl (I) prend les valeurs 110P ; lorsque CI(I) varie en dehors de l'intervalle POP; 10'1 , C2(1) varie de manière logarithmique avec CI(I), prend les valeurs ±l quand CI (I) prend les valeurs ±10P et prend les valeurs ±(m-p+l) quand 20 Cl (I) prend les valeurs ±10m ; et C2(1) varie de manière continue avec CI(I), en particulier aux bornes de l'intervalle 1-1(Y; 101. On trace alors la courbe C2(1) en échelles linéaires avec une échelle pour les ordonnées allant de 25 -(m-p+l) à +(m-p+l) et ayant pour pas de graduation la valeur 1. On remplace ensuite les étiquettes de l'échelle pour les ordonnées de la manière suivante : - 0 reste conservé ; si CI (1) si CI (1) - les autres valeurs n sont remplacées par : sign(n).100ni "-'l . Ce remplacement permet en particulier de remplacer ±1 par ±10P et ±(m-p+1) par ±lOm. Il permet de lire les 5 valeurs prises par la courbe C1(1) alors que c'est la courbe C2(I) qui est en réalité tracée. Ces différentes opérations assurent d'obtenir le tracé de C2(I) qui permette à la fois de voir toute la courbe et de voir plus précisément les évolutions 10 autour de zéro. Ces opérations appliquées sur l'exemple considéré précédemment (transformation mixte linéaire- logarithmique et modifications des étiquettes) permettent d'obtenir sur les moyens de sortie 9, le 15 tracé de la courbe C2(1) illustré sur la Fig. 3C où on voit clairement une convergence vers un cycle limite. Dans cet exemple, m et p valent respectivement 0 et -3, ce qui correspond à ce que la courbe soit tracée entre -1-1 (.±Io°) et que la précision soit égale à -1-0,001 20 (±lo-3). Par comparaison entre les tracés des courbes Co(I) et C2(I), on peut constater que la présente invention permet : - de retrouver qualitativement l'évolution de la courbe 25 déjà visible sur le tracé de la courbe C° (I) (pour un nombre d'itérations compris entre 0 et 1 500) ; - de voir préciser l'évolution de la courbe lorsque celle-ci est très proche de sa valeur finale (pour un nombre d'itérations compris entre 1 500 et 11 000), ce qui n'était pas possible sur le tracé de la courbe Co (1) . A titre de variante, on peut modifier les étiquettes de l'échelle des ordonnées en les décalant de la valeur finale Co(l,nax). Dans le cas présenté ici et sachant que Co (I,,,) = 0,463, cela consisterait à remplacer les étiquettes : -1 ; -0,1 ; -0,01 ; -0,001 0 ; 0,001 ; 0,01 ; 0,1 ; 1 par les étiquettes : -0,636 ; 0,363 ; 0,453 ; 0,462 ; 0,463 ; 0,464 ; 0,473 ; 0,563 ; 1,463 respectivement. L'avantage de cette variante est qu'on peut directement lire la valeur du coefficient mais par contre, elle fournit une échelle irrégulière un peu moins facile à lire. L'étape E3 a pour but d'obtenir une courbe positive. Pour cette étape, les moyens de traitement 5 calculent la valeur absolue de la fonction C'2(1) pour obtenir la fonction C'3(1): C3(l)=1C2(l)l On trace alors la courbe C'3(1) en échelles linéaires avec une échelle pour les ordonnées allant de 0 à +(m-p+l) et ayant pour pas de graduation la valeur 1. On remplace ensuite les étiquettes de l'échelle pour les ordonnées de la même manière que lors de l'étape E2, c'est-à-dire de la manière suivante : - 0 est conservé ; et les autres valeurs n sont remplacées par : sign(n).10[H+PI].

Ces opérations appliquées sur l'exemple considéré précédemment permettent d'obtenir le tracé de la courbe C'3(1) illustré sur la Fig. 3D. Par comparaison entre les tracés des courbes C'2(1) et CVI), on peut constater que l'étape E3 permet d'obtenir à partir d'une courbe C'2(1) oscillant autour de 0 une courbe C3 (I) positive. A l'étape E4, les moyens de traitement déterminent une fonction C4 (I) qui est définie comme étant égale au maximum de la fonction OVI) entre le nombre d'itérations courant 1 et le nombre total d'itérations Imax selon la relation suivante : C4(1) =max (C3(J)) , J [I; 1.x]. Avantageusement, on peut déterminer la fonction C'4(l) par récurrence pour 1 variant de manière décroissante entre Imax et 1 à l'aide des formules suivantes : C4(lmax) C3(lmax) C4 (1) =max(C3 (1), C4 (1 +1» pour 1 hnax On trace alors la courbe C'4(1) en échelles linéaires avec une échelle pour les ordonnées allant de 0 à +(m-p+l) et ayant pour pas de graduation la valeur 1. On remplace ensuite les étiquettes de l'échelle pour les ordonnées de la même manière que lors des 25 étapes E2 et E3, c'est-à-dire de la manière suivante : - 0 est conservé ; et - les autres valeurs n sont remplacées par : sign(n). 1 O[H+P-11.

Ces opérations appliquées sur l'exemple considéré précédemment permettent d'obtenir le tracé de la courbe C4(1) illustré sur la Fig. 3E. Par comparaison entre les tracés des courbes C2(1) et C4(1), on peut constater que l'étape E4 permet d'obtenir à partir d'une courbe C3(1) non forcément monotone une courbe monotone décroissante C4(1). On notera que parmi les quatre tracés obtenus précédemment, les tracés des courbes C1(1) et C2(1) peuvent être considérés comme des résultats intermédiaires. On peut ne conserver alors que les tracés des courbes C2(1) et C4(1) qu'on utilise comme support d'analyse de la convergence de la simulation numérique.

En particulier, le tracé de la courbe C2(1) est similaire au tracé classique de l'évolution des coefficients aérodynamiques (tracé de la courbe Co(l)) tout en présentant un agrandissement de la zone autour de la valeur finale. Cet agrandissement permet d'analyser précisément l'évolution du coefficient dans cette zone et de qualifier ainsi la plus ou moins bonne convergence du coefficient aérodynamique. Le tracé de la courbe C4(1) est analogue à un tracé classique des résidus, c'est-à-dire qu'il présente la décroissance d'une fonction vers zéro. L'ingéniosité de l'invention est de pouvoir obtenir ce type de graphique pour l'évolution des coefficients aérodynamiques, ce qui fournit un élément intéressant d'appréciation de la plus ou moins bonne convergence des coefficients.

De manière préférentielle, on peut utiliser conjointement les deux tracés des courbes C2(1) et C4(1) qui apportent des informations complémentaires. On peut éventuellement conserver également le tracé classique de la courbe Co (I) qui présente l'intérêt d'être familier des utilisateurs de simulation numérique d'écoulements des fluides. Dans ce cas, on disposerait alors des trois tracés. A titre de variante, on peut utiliser toutes combinaisons de tracés parmi les cinq types de tracés illustrés sur les Figs. 3A à 3E.

La Fig. 4 illustre les différentes étapes d'un procédé de simulation selon un deuxième mode de réalisation de l'invention. Comme précédemment, on dispose à l'étape E20 d'une première suite S1 finie de valeurs du coefficient aérodynamique Cosous la forme d'un tableau contenant la valeur du coefficient pour un nombre d'itérations I variant entre 1 et un nombre total d'itérations I,w. Ainsi, on dispose également du tracé de la courbe préliminaire d'évolution Co(I) représentative de la première suite de valeurs du coefficient aérodynamique en fonction du nombre d'itérations, comme illustré sur la Fig. 3A. Ce deuxième mode de réalisation se distingue du premier en particulier par le fait que la translation de la courbe Co(I) est implicitement intégrée dans la transformation localement dilatante. L'étape E22 consiste à appliquer une transformation mixte linéaire-logarithmique sur la fonction Co(I). Pour cela, les moyens de traitement 5 calculent d'abord à partir du tableau de valeurs (ou de la courbe préliminaire d'évolution Co(I)), une valeur finale Cofinal = Co (1.) , une valeur maximale Coma), max(Co (1» , et une valeur minimale Co. = min(Co(l)) . On a donc par construction : Co. .. Co Jin,/ Coll., . On détermine ensuite la précision souhaitée sous la forme 1OP. De manière préférentielle, on détermine p en fonction de la nature du coefficient aérodynamique Co considéré et de la précision voulue pour ce coefficient, précision déterminée soit par des considérations générales faisant partie de l'état de l'art de la discipline, soit par des considérations particulières liées à l'étude pour laquelle les simulations numériques dont on veut estimer la convergence sont effectuées. Si par exemple le coefficient Co est le coefficient de portance d'un aéronef, on peut considérer comme souhaitable d'obtenir une précision de 10-3 et on fixe dans ce cas : p = -3. De manière alternative, on peut déterminer p en fonction de la plage de variation du tableau de valeurs Co (I) et l' on peut fixer par exemple : p = partie entière de [loglo(Co.-Coifoil-3. On définit ensuite trois nombres réels de la manière suivante : Mo'"--Cofinal à 10P près Io =Mo -IO' ,S(; =Mc" +10' . On définit ensuite une suite de nombres réels lo;', Ir', 0 -1 , Io- par récursivité de la manière suivante : si Io > Conon , on définit Io+' comme étant le réel de type 10i+1 immédiatement et strictement inférieur â T On appelle réels de type 10~, les nombres réels n'ayant que des chiffres nuls en dessous de la précision 101, La récursivité commence pour i,--p, Io ayant été défini précédemment, et s'arrête pour i=m lorsque la condition Io<_Co,,,;n est satisfaite. On définit de manière analogue une autre suite de nombres réels So , So+' So 9 --- 9 Sô-' ,Son par récursivité de la manière suivante . si So <Coi. , on définit So+' comme étant le réel de type 10i+1 immédiatement et strictement supérieur â So. La récursivité commence pour i=p, Sâ ayant été défini précédemment, et s'arrête pour i=n lorsque la condition Sol >_ Co.,, est satisfaite.

Ces différents nombres réels forment la suite ordonnée S suivante Im <Im' <...< Io <...<Ip+~ <Ip <Mp <Sp <Sp+' <So 0 i <...<Sn' <Sn 0 0 0 0 0 0 0 0 --° 0 Les propriétés suivantes sont de plus vérifiées par construction C e 9 I m, 1(;.'-i Omiu 0 P COfnal E IO ; Sc': [ COmax ~r 0 - ~ 0n]' On définit ensuite de manière générale, un intervalle inférieur [Io, <, un intervalle médian PO", SI, , et un intervalle supérieur [So , So ] . On notera que dans le cas particulier où m=p 25 l'intervalle inférieur n'existe pas et dans le cas20 particulier où n=p l'intervalle supérieur n'existe pas, les deux conditions pouvant coexister. On appelle zone linéaire l'intervalle médian et zone logarithmique la zone constituée par les 5 intervalles inférieur et supérieur. On définit ensuite la fonction F(x) de la manière suivante : F(x) =x/lOP si x <10 (zone linéaire), et F(x) = sign(x).loglo (lx /loP-» si x>10 (zone logarithmique). 10 Comme précédemment, cette fonction a été construite de manière à vérifier les propriétés suivantes : elle est symétrique et vérifie en particulier F(0) = 0 ; elle est strictement monotone ; 15 elle est continue y compris aux limites entre les zones linéaire et logarithmique ; elle varie de manière linéaire dans la zone linéaire et de manière logarithmique dans la zone logarithmique (ce qui explique l'appellation de ces 20 zones) ; la pente est plus grande dans la zone linéaire que dans la zone logarithmique, ce qui assure une dilatation relative de la zone linéaire par rapport à la zone logarithmique lorsque ces zones sont 25 transformées par l'application de cette fonction ; et dans la zone logarithmique, tout intervalle correspondant à une augmentation d'un ordre de grandeur est transformé en un intervalle de longueur unitaire par l'application de cette fonction.

On applique ensuite la fonction monotone mixte linéaire-logarithmique F(x) sur la courbe préliminaire d'évolution Co(l) en utilisant la suite ordonnée de nombres réels S pour construire une fonction ou courbe d'évolution C72«1) de la manière suivante : C z (Co (1) -M 2 = - F(Iol -MD V i [p, S2' = - F(So' -MD V i [p, = FM' -MD = F(0)=O.

On construit ensuite un graphique en échelles linéaires allant de 1 à rifla,. pour l'axe des abscisses et de 4' à- s';. pour l'axe des ordonnées, l'axe des abscisses étant muni d'un quadrillage défini de manière classique et l'axe des ordonnées n'ayant pas de 15 quadrillage. On trace ensuite sur ce graphique une courbe correspondant à la fonction d'évolution C72«I), 1 et C2 étant portés respectivement en abscisse et en ordonnée. On peut ensuite construire un quadrillage pour 20 l'axe des ordonnées de la manière suivante : - on trace sur ce graphique une droite joignant le point (1,Ml au point (1., et l'on fait figurer à côté de cette droite le nombre AI' o - ensuite pour tout ie[p; m], on trace sur ce 25 graphique une droite joignant le point (1,4) au point (1.4 et l'on fait figurer à côté de cette droite le nombre 4, et - ensuite pour tout ie[p; ni, on trace sur ce graphique une droite joignant le point (1,S;) au point (L.,S;) et l'on fait figurer à côté de cette droite le nombre S'o.

Ces différentes droites constituent alors un quadrillage pour l'axe des ordonnées. Le graphique ainsi constitué correspond au tracé de la courbe (72'(I) qui permet de visualiser l'ensemble de la courbe préliminaire Co(l) 'tout en présentant un agrandissement relatif de la zone d'intérêt que constitue le voisinage de COfinal. Ce deuxième mode de réalisation présente l'avantage de fournir une échelle des ordonnées qui permet de concilier les points suivants : - cette échelle est munie d'un quadrillage relativement régulier ; - le nombre de lignes du quadrillage correspond à celui généralement souhaité pour un graphique (typiquement entre cinq et dix), du moins dans le cas où n et m ne sont supérieurs à p que de quelques unités, ce qui est généralement le cas pour les coefficients aérodynamiques et les applications classiques sur des aéronefs (sinon on pourrait prendre en compte les ordres de grandeurs successifs de deux en deux, de cinq en cinq, de dix en dix, etc., au lieu de les prendre en compte de un en un) ; - les valeurs correspondant à ce quadrillage sont constituées du moins de chiffres possibles, ce qui favorise leur lisibilité; et - l'échelle initiale des ordonnées est conservée et directement lisible. Les étapes E23 et E24 sont identiques aux étapes E3 et E4 décrites précédemment en relation avec la Fig. 2.

Ce deuxième mode de réalisation a été appliqué sur un tableau de valeurs donnant l'évolution du coefficient de portance d'un aéronef en fonction du nombre d'itérations. Le tracé classique de cette évolution est présenté par la courbe Co(I) illustrée sur la Fig. 3A. On calcule les valeurs suivantes : Connal = 0,4629 Coma, = 0,5537 Corvin = 0,0342 P = -3

S = { 0; 0,4; 0,46; 0,462; 0,463; 0,464; 0,47; 0,51 } Ceci permet ensuite d'obtenir le tracé de la courbe C2«I) illustrée sur la Fig. 5.

On notera que toutes les étapes du procédé selon l'invention peuvent être programmées sur ordinateur et on peut utiliser pour ce faire les différentes possibilités de programmation, de calcul et de tracé disponibles pour l'utilisateur.25

Claims (13)

1. REVENDICATIONS1. Procédé de simulation par ordinateur d'écoulements de fluide dans l'environnement d'un aéronef pour déterminer au moins un coefficient aérodynamique caractérisant le comportement aérodynamique d'au moins un élément de l'aéronef, ledit procédé comportant une résolution numérique d'équations modélisant l'écoulement du fluide dans ledit IO environnement, selon un modèle paramétré par des paramètres physiques du fluide, ladite résolution numérique étant effectuée de manière itérative pour obtenir une première suite de valeurs du coefficient aérodynamique indexée par le. nombre d'itérations, 15 caractérisé en ce que ledit procédé comporte en outre. les étapes suivantes : - définition par des moyens de traitement (5) d'un critère de convergence dudit coefficient aérodynamique, - sélection par les moyens de traitement (5) d'un 20 ensemble déterminé de termes appartenant à ladite première suite de valeurs du coefficient aérodynamique en fonction dudit critère de convergence, - définition par les moyens de traitement (5) d'une fonction monotone configurée pour opérer une 25 transformation relativement dilatante dans ledit ensemble déterminé par rapport au complémentaire dudit ensemble, - application par les moyens de traitement (5) de ladite fonction monotone sur ladite première suite pour 30 former une deuxième suite de valeurs du coefficient aérodynamique, ladite deuxième suite définissant uneévolution globale dudit coefficient aérodynamique avec une dilatation localisée dans une zone de convergence correspondant audit ensemble déterminé, - détermination par les moyens de traitement (5) dudit coefficient aérodynamique en traçant une courbe d'évolution représentative de ladite deuxième suite de valeurs du coefficient aérodynamique en fonction du nombre d'itérations, et - affichage sur des moyens de sortie (9) de ladite courbe d'évolution incluant un zoom intrinsèque de ladite zone de convergence détaillant la convergence dudit coefficient aérodynamique.
2. 2. Procédé selon 1a revendication 1, caractérisé en 15 ce que ledit critère de convergence est défini en fonction d'un nombre d'itérations prédéterminé.
3. 3. Procédé selon la revendication 2, caractérisé en ce que ledit nombre d'itérations prédéterminé 20 correspond à un nombre total d'itérations.
4. 4. Procédé selon l'une quelconque des revendications 1 à 3, caractérisé en ce que la cardinalité dudit ensemble déterminé est définie en 25 fonction d'un ordre de grandeur prédéterminé du coefficient aérodynamique.
5. 5. Procédé selon l'une quelconque des revendications 1 à 4, caractérisé en ce que ladite 30 fonction monotone correspond à une transformation mixte linéaire-logarithmique présentant un. comportementlinéaire dans ledit ensemble déterminé et un comportement logarithmique en dehors dudit ensemble déterminé, définie de la manière suivante : F(x) =x/10p si Ixl <10p et F(x) = sign(x).loglo (Ixl /101 si Ill > 10~ , où p est un ordre de grandeur de précision.
6. 6. Procédé selon l'une quelconque des revendications 2 à 5, caractérisé en ce qu'il comporte une addition d'une constante à chacun des termes de la première suite avant l'application de ladite fonction monotone, ladite constante étant égale à la valeur du coefficient aérodynamique audit nombre d'itérations déterminé.
7. 7. Procédé selon la revendication 6, caractérisé en ce qu'il comporte l'application d'une opération de valeur absolue sur les termes de ladite deuxième suite pour former une troisième suite de termes positifs.
8. 8. Procédé selon la revendication 7, caractérisé en ce qu'il comporte les étapes suivantes : application d'une opération de filtrage d'oscillations sur ladite troisième suite pour former une quatrième suite monotone, et traçage d'une courbe d'évolution positive et monotone représentative de ladite quatrième suite.
9. 9. Procédé selon la revendication 5, caractérisé en 30 ce qu'il comporte les étapes suivantes :- 33 traçage d'une courbe préliminaire d'évolution Con) représentative de ladite première suite de valeurs du coefficient aérodynamique en fonction du nombre d'itérations, - définition d'au moins un intervalle de valeurs du coefficient aérodynamique correspondant audit ensemble déterminé, application de ladite fonction monotone mixte linéaire-logarithmique sur ladite courbe préliminaire d'évolution opérant une transformation linéaire dans ledit intervalle et une transformation logarithmique à l'extérieur dudit intervalle pour former ladite courbe d'évolution.
10. 10. Procédé selon la revendication 9, caractérisé en ce qu'il comporte les étapes suivantes : - calculer une valeur finale Coi=Co(1 ), une valeur maximale Co..=max(Co(1» , et une valeur minimale Coi =mn(Co(l» de ladite courbe préliminaire d'évolution Co(1), définir de manière récursive une cinquième suite décroissante telle que Iq > Coi tl i e [p, m-1], Iô <_ Co,~;,~ , Io =3g-10' , et Mfl ~ Coi à 10P près, où p est un ordre de grandeur de preczsion, 25 définir de manière récursive une sixième suite croissante g, sr, . , Sô , ., sr , Sô , telle que Sâ<Cor.. Vie[p,n-1], Son ?Co., et Sâ =Mô +10pdéfinir une septième suite ordonnée en fonction desdites cinquième et sixième suites : Io Io' <.._<I~ <...<Ip+1 1: <Mp <Sp <So 0 i...<So <...<S0n-1 <Son 0 0 0 0 o a a - définir un intervalle inférieur [Io, Io], un intervalle médian [Io, Soi, et un intervalle supérieur [Sô , Sa ] , - application de ladite fonction monotone mixte linéaire-logarithmique sur ladite courbe préliminaire v d'évolution en utilisant ladite septième suite ordonnée pour former ladite courbe d'évolution de la manière suivante : CZ (I) = F(Co(1) -MD ) 4 = F(Ia -Mo ) V i e [ p, m~ S2=F(Soi -MD Vie[p, n~ M'2 ~F(Mo -Mô)=F(0)=0.
11. 11. Procédé selon la revendication 9, caractérisé en ce que la définition dudit intervalle comporte les. étapes suivantes : translation de ladite courbe préliminaire d'évolution par 1a valeur que le coefficient aérodynamique prend au nombre total d'itérations pour former une courbe intermédiaire d'évolution, détermination d'un ordre de grandeur majorant m relatif à ladite courbe intermédiaire d'évolution, défini comme étant l'entier relatif m, tel que : 1O' maxlç(1)1S10', etdéfinition dudit intervalle par des extrémités égales à -10e et 100 où p est un ordre de grandeur de précision qui est strictement inférieur audit ordre de grandeur majorant m, et - application de ladite fonction monotone mixte linéaire-logarithmique sur ladite courbe intermédiaire d'évolution en utilisant ladite suite ordonnée pour former ladite courbe d'évolution de la manière suivante : I O C2 (I) = Cl (I).10_ p pour ICI (1)1 10P , et C2(I) sign(C~(I))-[1og,o('Cl(Il)-p+11 pour ICI(1)1>1(}p .
12. 12. Procédé selon l'une quelconque des revendications 9 à 11, caractérisé en ce qu'il comporte 15 les étapes suivantes : application d'une valeur absolue sur ladite courbe d'évolution pour former une courbe d'évolution positive C3(1), et traçage d'une courbe d'évolution positive et monotone 20 C4(1) au moyen d'un calcul par récurrence pour I variant de manière décroissante entre 1.2, et 1, selon les formules suivantes : C4 (1.) - C3 (lm.) C4(1) = raax(C3 (I), C4 (I + 1)) pour I I, 25
13. 13. Programme d'ordinateur comportant des instructions de codes pour la mise en oeuvre du procédé de simulation selon l'une quelconque des revendications 1 à 12 lorsqu'il est exécuté sur un ordinateur.