FR2837947A1

FR2837947A1 - Methode pour quantifier les incertitudes liees a des parametres continus et discrets descriptifs d'un milieu par construction de plans d'experiences et analyse statistique

Info

Publication number: FR2837947A1
Application number: FR0204109A
Authority: FR
Inventors: Astrid Jourdan; Mezghani Isabelle Zabalza; Emmanuel Manceau
Original assignee: IFP Energies Nouvelles IFPEN
Current assignee: IFP Energies Nouvelles IFPEN
Priority date: 2002-04-02
Filing date: 2002-04-02
Publication date: 2003-10-03
Anticipated expiration: 2022-04-02
Also published as: FR2837947B1; CA2423795A1; GB0307369D0; US7590516B2; NO325671B1; NO20031485D0; NL1023071C2; NO20031485L; GB2387941A; NL1023071A1; US20030220775A1; GB2387941B

Abstract

- Méthode pour quantifier les incertitudes liées à des paramètres continus et discrets (qualitatifs) descriptifs d'un milieu tel qu'une zone souterraine, et/ ou gérer le choix d'un scénario parmi un ensemble de scénarios possibles relatifs à ce milieu, par construction de plans d'expériences et analyse des résultats adaptée aux plans d'expériences construits.- La méthode comporte essentiellement la construction de la partie factorielle des plans d'expériences par pliage d'une fraction régulière pour les facteurs quantitatifs et attribution d'au moins une modalité d'un facteur qualitatif à chacun des blocs formés par pliage, une détermination de la partie axiale des facteurs qualitatifs suivant un critère de D-optimalité (de préférence sur un nombre restreint de scénarios), et une analyse des résultats en combinant une analyse de sensibilité et une analyse de risque faisant intervenir des modèles marginaux (modèles ajustés sur chaque scénario) et un modèle global (modèle ajusté sur l'ensemble des scénarios). La méthode permet par exemple, dans un contexte par ailleurs incertain, de comparer différents scénarios de production (gisement traversé par des failles ouvertes ou fermées, récupération assistée par injection d'eau ou injection alternée de type WAG, etc. ), pour mieux comprendre le rôle des paramètres discrets non contrôlables (statut d'une faille, etc. ), etlou pour choisir le scénario qui optimise la production dans le cas de paramètres discrets contrôlables (ajout de puits, niveaux de complétion, injection eau ou WAG, etc. ).- Applications par exemple à l'exploration où l'ingénierie de gisement.

Description

Désignation du domaine technique
La présente invention concerne une méthode pour quantifier les incertitudes liées à des paramètres continus et discrets descriptifs d'un milieu tel qu'une zone souterraine, et/ou gérer le choix d'un scénario parmi un ensemble de scénarios possibles relatifs à ce milieu, par construction de plans d'expériences et analyse des résultats adaptée aux plans d'expériences construits.

La méthode trouve des applications notamment dans le domaine de l'exploration ou de l'ingénierie de réservoir par exemple et c'est appliquée à ce domaine notamment qu'elle va être décrite.

La mise à disposition de modèles numériques d'écoulements complexes et de plus en plus réalistes facilite la simulation et ouvre donc la voie à une gestion maîtrisée des schémas d'exploitation et de production de champs. Cependant, bien que beaucoup de données soient obtenues sur le réservoir par différents moyens (la géologie, la géophysique, les mesures locales au niveau des puits, les essais de puits, etc. ), il reste beaucoup de paramètres d'entrée du simulateur incertains et un grand nombre de possibilités d'exploitation. Prenons l'exemple d'un réservoir constitué de six couches sur lequel il existe une grosse incertitude sur l'étanchéité de la couche 4. Pour produire ce réservoir, on propose de mettre un puits producteur au sommet du réservoir, mais on hésite à perforer juste en dessous de la couche 4 afin de drainer la partie inférieure du réservoir, au risque de favoriser une venue d'eau précoce. Un formalisme statistique ainsi que la réalisation d'expériences (simulations pour différentes valeurs des paramètres incertains, par exemple entre O.OlmD et lOmD pour la perméabilité verticale de la couche 4, et pour

différents scénarios de production, par exemple la perforation ou non en dessous de la couche 4) selon un plan d'expériences, permet de comparer des scénarios de production et d'améliorer la connaissance du réservoir, tout en évitant un usage excessif et redondant de simulations du modèle numérique d'écoulement.

L'objectif visé est donc de fournir aux ingénieurs de réservoir une méthodologie permettant de comparer différents scénarios de production (gisement traversé par des failles ouvertes ou fermées, récupération assistée par injection d'eau ou injection alternée de type WAG, etc. ), notamment lors de la quantification des incertitudes en ingénierie de réservoir, et plus généralement lors de la quantification des incertitudes en explorationproduction de réservoirs pétroliers. La comparaison de scénarios, dans un contexte par ailleurs incertain, est une étape nécessaire : - d'une part pour mieux comprendre le rôle des paramètres discrets incertains non contrôlables (statut d'une faille, etc.) ; - d'autre part pour choisir le scénario qui optimise la production dans le cas de paramètres discrets contrôlables (ajout de puits, niveaux de complétion, injection eau ou WAG, etc. ).

Une telle méthodologie permet en effet la prévision du comportement dynamique futur du champ, et autorise ainsi un ajustement réfléchi des décisions prises en matière d' exploitation.

Etat de la technique
Les documents ci-après sont bien représentatifs de l'état de la technique.

- Benoist D., Tourbier Y. and Germain-Tourbier S. (1994). Plans d'Expériences :
Construction et Analyse. Technique & Documentation-Lavoisier, Paris.

- Cox D. R. (1984). Présent Position and Potential Developments : Some Personal Views : Design of Experiments and Régression. J of Royal Statistical Society, Ser A, 147, pp.

306-315

- Dejean J. -P., Blanc G.(1999). Managing uncertainties on production predictions using integrated statistical methods. SPE 56696, SPE Annual Technical conference and exhibition, Houston, 3-6 octobre 1999.

- Draper N. R. and John J. A. (1988). Response-Surface Designs for Quantitative and
Qualitative Variables. Technometrics, 30 (4), pp. 423-428.

- Droesbeke J. -J., Fine J. and Saporta G.(1997). Plans d'Expériences : Applications à l'Entreprise. Technip, Paris.

- Montgomery D. C. and Peck E. A. (1992). Introduction to Linear Regression Analysis.

Wiley Séries in Probability and Mathematical Statistics, New York.

- Wu C. F.J. and Ding Y. (1998). Construction of Response Surface Designs for
Qualitative and Quantitative Factors. J. of Planning and Inferences, 71, pp. 331-348.

- Zabalza I., Dejean J.-P., Collombier D. (1998). Prediction and density estimation of a horizontal well productivity index using generalized linear model. ECMOR VI,
Peebles, 8-11 septembre 1998; - Zabalza-Mezghani I. (2000). Analyse statistique et planification d'expérience en ingénierie de réservoir. Thèse de doctorant de 2ème cycle, Université de Pau.

Les méthodes pour organiser des plans d'expériences visent d'une façon générale à planifier au mieux les expériences ou essais à effectuer pour établir des relations entre différentes causes ou facteurs (ici la perméabilité, la porosité, des interactions, etc. ) et les réponses étudiées (ici le cumulé d'huile, le water eut, etc. ), et pour dégager si possible des modèles prédictifs. Dans ce qui suit, le modèle analytique (classiquement polynomial) découlant de l'ajustement des résultats d'expériences est appelé surface de réponse .

Ces méthodes comportent généralement la construction de plans d'expériences qu'il faut mener pour établir ces relations et une analyse des résultats.

Différentes études ont été menées par Dejean J-P et al (1999), Zabalza I. (1998) et Zabalza-Mezghani I. (2000) visant à quantifier les incertitudes sur des paramètres physiques de gisements souterrains d'hydrocarbures tels que la porosité, la perméabilité, la position du puits, la longueur perforée du puits, la structure des hétérogénéités par

modélisation géostatistique, etc., qui utilisent la méthode des plans d'expériences et des méthodes statistiques.

A l'heure antérieure la méthode résultant de ces études permet bien de traiter des paramètres physiques continus (facteurs quantitatifs) mais n'autorise la prise en compte de paramètres discrets (facteurs qualitatifs) tel que le statut d'une faille à l'intérieur du gisement par exemple, que par une répétition d'un même plan d'expériences autant de fois qu'il y a de scénarios à comparer. Le coût des simulations devient alors vite prohibitif. De plus, les études étant menées séparément sur chacun des scénarios, il est impossible de prendre en compte l'effet dû aux paramètres discrets et ainsi quantifier l'incertitude liée aux scénarios. Dans le texte ci-après, les états possibles d'un paramètre discret sont appelés modalités . Les scénarios résultent de la combinaison des modalités de paramètres discrets. Par exemple, un paramètre discret à deux modalités et un paramètre discret à trois modalités engendrent six scénarios. L'ingénieur peut choisir un scénario si les paramètres discrets sont contrôlables (niveaux de complétion, etc. ) ou n' avoir aucune action sur les scénarios si un paramètre discret n'est pas contrôlable (statut d'une faille, etc.).

La construction des plans intégrant à la fois des facteurs quantitatifs et qualitatifs a été abordée notamment par Cox (1984). Les objectifs que doivent remplir ces plans ont été définis par Draper N. R. et al.(1988). La méthode de construction de plans d'expériences définie par Wu C.F.J. et al.(1998) propose par exemple de fixer pour la simulation les niveaux des facteurs quantitatifs à l'aide d'un plan composite (bien connu des gens de métier et décrit dans tout manuel sur les plans d'expériences) auquel on ajoute des colonnes représentant les facteurs qualitatifs. Ces colonnes sont déterminées à partir de critères quantitatifs (optimisation de critères classiques de plans d'expériences, Doptimalité). En pratique, les auteurs ont construit des plans permettant d'intégrer un seul paramètre discret à deux modalités. Leur méthode de construction, basée sur l'optimisation numérique d'un critère de qualité, atteint rapidement ses limites lorsque le nombre de scénarios augmente. En effet le coût algorithmique de détermination d'un tel plan s'avère inenvisageable en pratique.

Antérieurement, l'analyse des résultats obtenus par application de plans d'expériences est effectuée suivant un schéma classique décrit notamment par Benoist D., et al.(1994) ou par Droesbeke J.-J., et al.(1997). Cette méthode est parfaitement adaptée aux facteurs quantitatifs mais ne permet pas de traiter pleinement les

plans d'expériences impliquant des facteurs quantitatifs et qualitatifs. Il y a en effet une perte d'information qu'il nous semble important d'exploiter notamment dans le contexte de la quantification des incertitudes en ingénierie de réservoir.

L'analyse classique des résultats des plans d'expériences ne peut pas s'appliquer dans ce contexte pour deux principales raisons. Tout d'abord, les plans proposés permettent l'ajustement non pas d'un mais de plusieurs modèles distincts (modèle global incluant les différents scénarios et modèles marginaux pour chacun des scénarios). Il faut donc déterminer le ou les modèles qui apporteront le plus d'informations lors des phases d'analyse des résultats. D'autre part, il est nécessaire de bien comprendre le rôle joué par les paramètres discrets dans le modèle global (effet simple et interactions des facteurs qualitatifs, répercussion sur la réponse).

Dans le contexte qui a été défini, la principale qualité requise pour les plans d'expériences économiques intégrant à la fois des facteurs quantitatifs et qualitatifs est de posséder les propriétés nécessaires à un bon ajustement de la surface de réponse sur les facteurs quantitatifs. La structure du plan composite classique est appropriée à ce type de problème. Cependant, elle ne peut pas s'appliquer telle quelle lorsqu'il y a des facteurs qualitatifs. En effet, elle nécessite de fixer cinq niveaux (ordonnés sur une échelle de rapport) pour chaque facteur, ce qui n'est pas possible avec les modalités des facteurs qualitatifs (par exemple deux modalités pour le statut d'une faille, ouverte ou fermée).

La méthode selon l'invention
La méthode selon l'invention permet de quantifier les incertitudes liées à des paramètres continus et discrets descriptifs d'une zone souterraine, et/ou de gérer le choix d'un scénario parmi un ensemble de scénarios, par construction de plans d'expériences comprenant une partie factorielle, une partie centrale et une partie axiale, qui tiennent compte de facteurs quantitatifs et qualitatifs, et une analyse des résultats adaptée aux plans d'expériences construits, caractérisée en ce que: - on construit la partie factorielle des plans d'expériences par pliage d'une fraction de plan factoriel pour les facteurs quantitatifs et attribution d'au moins une modalité d'un facteur qualitatif à chacun des blocs formés par pliage ;

- on procède à une analyse des résultats en combinant une analyse de sensibilité et une analyse de risque faisant intervenir des modèles marginaux et un modèle global.

Pour déterminer la partie axiale des facteurs qualitatifs, on utilise par exemple un critère de D-optimalité.

La méthode selon l'invention est avantageuse en ce qu'elle permet d'éviter la répétition d'autant de plans d'expériences qu'il y a de scénarios à comparer et donc d'abaisser notablement le nombre des simulations à effectuer. Comme les études sont menées conjointement sur tous les scénarios, la méthode prend bien en compte l'effet dû aux paramètres discrets.

De façon plus détaillée, la technique du pliage d'une fraction régulière pour les facteurs quantitatifs est avantageuse car elle permet de supprimer certains alias de la fraction régulière d'origine et autorise ainsi à introduire des interactions supplémentaires entre facteurs quantitatifs dans le modèle global. L'attribution ensuite d'une modalité d'un facteur qualitatif à chacun des blocs formés par le pliage permet d'une part de gérer les alias entre les facteurs qualitatifs et les facteurs quantitatifs, et d' autre part de connaître les alias (ceux de la fraction d'origine) sur chaque modalités des facteurs qualitatifs.

Cette technique a permis par exemple de construire jusqu'ici plusieurs dizaines de plans d'expériences intégrant de 2 à 8 paramètres continus tout en prenant en compte soit un paramètre discret à deux modalités (2 scénarios), soit un paramètre discret à trois modalités (3 scénarios), soit deux paramètres discrets à deux modalités (4 scénarios), soit un paramètre discret à deux modalités et un paramètre discret à trois modalités (6 scénarios).

La méthode de construction selon l'invention peut s'étendre à des plans prenant en compte un plus grand nombre de facteurs quantitatifs et qualitatifs à plus de trois modalités. Par rapport aux méthodes antérieures, elle permet une meilleure gestion des alias sur la partie factorielle grâce à la technique du pliage et permet d'intégrer plusieurs facteurs qualitatifs à deux ou trois modalités en diminuant le coût de l'optimisation numérique de la D-optimalité puisque contrairement à la technique de Wu et Ding (1998), elle n'est pratiquée que sur la partie axiale des facteurs qualitatifs et pour un nombre restreint de scénarios

Suivant un mode de mise en #uvre de la méthode, on effectue une analyse de sensibilité au moyen de modèles marginaux pour détecter les termes ou actions (effets simples et interactions des facteurs) influant sur chacun des scénarios et une analyse de sensibilité au moyen du modèle global pour détecter les termes influant globalement sur l'ensemble des scénarios. Par cette utilisation de modèles marginaux, on obtient sensiblement les mêmes résultats en termes d'actions détectées que les méthodes antérieures où l'on utilise un plan composite sur chacun des scénarios. De plus l'utilisation du modèle global apporte une information supplémentaire (effets des paramètres discrets et un modèle plus riche sur les paramètres continus), et ce à moindre coût (réduction constatée de l'ordre de 20% par rapport aux méthodes antérieures).

Suivant un mode de mise en #uvre de la méthode, on analyse le risque en prédisant ponctuellement une réponse sous la forme d'un intervalle de prédiction pour un jeu de valeurs fixées des dits paramètres, au moyen du modèle global, ce qui se traduit par un moindre coût par rapport aux méthodes où l'on construit un plan composite pour chaque scénario.

Suivant un mode de mise en #uvre de la méthode, on analyse le risque en prédisant des réponses à partir d'un grand nombre de jeux de valeurs des dits paramètres, choisis aléatoirement dans leur domaine de variation.

De préférence, on utilise le modèle global quand le ou chaque paramètre discret n'est pas contrôlable (statut d'une faille par exemple qui peut être ouverte ou fermée).

Quand le ou chaque paramètre discret est contrôlable, on utilise de préférence le modèle global si celui-ci détecte une interaction quantitatif-quantitatif très influente (en termes de résultat concret dans l'application choisie) indécelable par les modèles marginaux ; sinon on utilise les modèles marginaux.

Une conséquence de ce mode de mise en #uvre de la méthode est d'affiner l'analyse de sensibilité en levant le doute sur l'influence respective des interactions quantitatif-quantitatif et des interactions quantitatif-qualitatif aliasées.

La méthode trouve des applications par exemple en exploration et en ingénierie de gisement.

Présentation sommaire des figures
Les caractéristiques et avantages de la méthode selon l'invention, apparaîtront plus clairement à la lecture de la description ci-après d'exemples non limitatifs de mise en #uvre, en se référant aux dessins annexés où : - la Fig. 1, illustre un cas de validation d'un scénario concernant un modèle de réservoir; - la Fig. 2, est un tableau des alias des plans d'expériences testés dans le cas de validation où les cases grisées signifient que les termes du modèle ne peuvent pas être estimés et les cases blanches que les termes du modèle sont estimés indépendamment des autres termes (pas d'alias); - les Fig. 3A, 3B, montrent, dans un diagramme de Pareto, les résultats d'une analyse de sensibilité, d'un cumulé d'huile avec mise en évidence des rôles respectifs marginaux des modèles marginaux (Fig. 3A) et du modèle global (Fig. 3B) et, et comparaison avec les résultats obtenus par une méthodes antérieure; - la Fig. 4, montre les résultats d'une analyse de risque (prédiction ponctuelle d'un GOR) et une comparaison des résultats obtenus à partir du modèle global, des modèles marginaux et de la méthode antérieure; - les Fig. 5A, 5B, montrent respectivement les résultats d'une analyse de risque (prédiction de type Monte Carlo) sur un cumulé d'huile produite (Fig.5A) et sur un
GORn (Fig.5B), avec quantification de l'incertitude sur les paramètres discrets et continus, et comparaison des résultats obtenus à partir du modèle global, des modèles marginaux et de la méthode antérieure; - la Fig. 6, montre les résultats d'une analyse de risque (prédiction de type Monte Carlo) obtenues sur deux scénarios différents, avec analyse du modèle global , et l'influence des effets simples et des interactions quantitatif-qualitatif sur la densité; - la Fig. 7, montre les résultats d'une analyse de risque (prédiction de type Monte Carlo), avec une illustration de la méthodologie concernant la modification du modèle global; - la Fig. 8, montre le résultat d'une prédiction de type Monte Carlo du cumulé d'huile à 3 ans suivant différents scénarios(densité vs GOR);

- les Fig. 9A à 9D montrent le résultat d'une prédiction de type Monte Carlo du GORn à
3 ans suivant différents scénarios (densité vs GOR); et - la Fig.lO montre une structure classique de plan composite modifié pour tenir compte de facteurs qualitatifs.

DESCRIPTION DETAILLEE DE LA METHODE
Les facteurs traités par les plans d'expériences sont habituellement quantitatifs, c'est-à-dire qu'ils possèdent une échelle de mesure entièrement définie (porosité (%), perméabilité (mD), etc. Cependant, on peut occasionnellement souhaiter introduire des facteurs qualitatifs dans la modélisation afin d'étudier l'influence de divers scénarios sur la réponse du simulateur (statut d'une faille, ajout de puits dans une nouvelle zone à drainer, etc. ). Ces facteurs ont la particularité de prendre un nombre fixé d'états appelés modalités (faille ouverte ou fermée, ajout de 2,5 ou 7 puits), qu'il n'est pas possible de comparer quantitativement entre eux. Ils ne possèdent pas d'échelle de mesure. Il est alors nécessaire de coder ces états et on utilise pour cela des variables indicatrices de présence-absence des modalités des facteurs qualitatifs. Elles sont numériques et peuvent ainsi être introduites dans le modèle.

Concernant l'introduction de paramètres discrets dans le modèle ainsi que de la nécessité de coder ces paramètres discrets, on pourra se référer aux ouvrages de Montgomery et Pecks (1992) ou Benoist et al (1994).

I) CONSTRUCTION DES PLANS
L'objectif de cette première partie est de construire des plans d'expériences économiques intégrant à la fois des facteurs quantitatifs et qualitatifs. Dans le contexte qui nous intéresse, la principale qualité requise pour ces plans est de posséder les propriétés nécessaires à un bon ajustement de surface de réponse sur les facteurs quantitatifs. Face à une telle problématique, l'utilisateur peut envisager deux approches. La première consiste à ne pas tenir compte des deux types de paramètres et à appliquer un plan composite sur tous les facteurs. Cette solution nécessite 5 (ou 3) niveaux (ordonnés sur une échelle de rapport) pour chaque facteur, ce qui n'est pas toujours possible pour les facteurs qualitatifs.

La deuxième approche consiste à utiliser un plan composite sur chaque scénario défini par les modalités des facteurs qualitatifs. C'est en fait cette deuxième solution qui est

antérieurement utilisée (i.e. répétition de plans) car elle permet d'obtenir une surface de réponse de qualité grâce aux propriétés des plans composites. Elle peut cependant devenir très onéreuse.

Le problème de la prise en compte des facteurs qualitatifs dans les plans pour surface de réponse a été soulevé par Cox (1984). Les premiers à vraiment s'intéresser à la question sont Draper et John (1988). Ils discutent notamment des relations entre plan et modèle afin de définir des objectifs souhaitables et raisonnables concernant les plans. La méthode de construction développée dans ce brevet vise à atteindre ces objectifs décrits cidessous.

Objectifs et modèle
On note x1,...,xd les facteurs quantitatifs et z1,...,zm les facteurs qualitatifs.

(Hl) Le plan doit ajuster efficacement un modèle global d'ordre deux du type eff. eff. Simples eff. Simples Interactions Interactions eff.

Moyen quantitatifs qualitatifs quant. -quant. quant. -qual. quadratiques (1, Xi, Zp, xixj, xizp, xi2) i=l,...,d et p=l,...,m. On utilise le critère du déterminant maximal pour comparer les plans, !1 = s#det(tXX) ,où s est le nombre d'actions dans le modèle.

(H2) Le plan se décompose en deux parties. La première doit permettre d'ajuster un modèle global d'ordre un du type (1,xi,zp,xixj,xizp) autorisant une étude de sensibilité. Il est donc nécessaire de connaître la table d'alias de cette première partie du plan. La deuxième peut être vue comme une partie additionnelle afin d'étendre le modèle à l'ordre deux.

(H3) Pour chaque combinaison des facteurs qualitatifs ou pour chaque niveau d'un facteur qualitatif zk, le plan doit permettre d'ajuster efficacement un modèle marginal d' ordre deux du type

(1,xi,xi,xj,xi2)
Description du plan et de sa construction
La méthode de construction développée ici reprend la structure du plan composite classique qui semble être bien appropriée aux objectifs (Hl) et (H2). Elle est cependant modifiée afin d'intégrer les particularités dues aux facteurs qualitatifs. Le plan est donc constitué des trois parties (factorielle, centrale et axiale) du plan composite traditionnel sur les facteurs quantitatifs, auxquelles on juxtapose les colonnes des facteurs qualitatifs qui naturellement comme le montre la Fig.10 sont aussi décomposées en trois parties.

Les notations zkfet zkadésignent les composantes du facteur qualitatif Zk associées aux parties factorielle et axiale.

La partie factorielle sur les facteurs quantitatifs est à 2 niveaux-1 et 1, et correspond à une fraction du plan complet de taille Nf=2d-r. On choisit ici d'utiliser des fractions régulières pour construire la partie factorielle car elles possèdent la propriété d'être définies par r alias et ainsi facilitent l'analyse de sensibilité. La partie factorielle est construite en suivant le principe connu de pliage qui consiste à doubler une fraction régulière, soit en répétant les colonnes, soit en les transformant en leurs opposés. Ainsi, après pliage, une colonne C de la fraction de départ devient C ou C #. Cette technique C -C permet de simplifier la structure d'alias de la partie factorielle, voire même de passer d'une fraction de résolution R à une résolution R+1. On plie la fraction régulière autant de fois qu'il y a de scénarios et on associe à chaque bloc ainsi formé un scénario défini par les facteurs qualitatifs. Cette technique permet d'une part de supprimer des alias sur les interactions quantitatif-quantitatif de la fraction régulière d'origine (modèle global d'ordre un plus riche (H2)), et d'autre part de connaître les alias sur chaque scénario (ceux de la fraction d'origine) (H3).

# La partie centrale est constituée d'un point au centre du domaine de variation des facteurs quantitatifs pour chaque scénario défini par les facteurs qualitatifs. Elle est donc de taille Nc=niv1#...#nivm où nivkreprésente le nombre de modalités du kème facteur qualitatif. Elle permet d'estimer la variabilité de la réponse sur les facteurs quantitatifs et de tester l'adéquation du modèle d'ordre un.

> La partie axiale est à 3 niveaux -a, 0 et a sur les facteurs quantitatifs. Elle est de taille constante Na=2d, quel que soit le nombre de facteurs qualitatifs. Elle autorise l'estimation des effets quadratiques des facteurs quantitatifs. Une fois la partie factorielle fixée, la partie axiale sur les facteurs qualitatifs, z, est choisie de façon à ce que le plan vérifie l'hypothèse (Hl), c'est-à-dire la maximisation du critère du déterminant pour le modèle de l'hypothèse (Hl). En général, l'optimisation de ce critère ne se fait pas numériquement contrairement à Wu et Ding (1998), mais se déduit de la forme particulière de la matrice tXX, en privilégiant un nombre restreint de scénarios.

La taille totale du plan est égale à N=Nf+Nc+Na=2d-4+niv1#...#nivm+2d.

Dans la méthode antérieure telle que celle utilisée par Wu et Ding (1998) déjà cité, on utilise une optimisation sur l'ensemble des composantes des facteurs qualitatifs ce qui conduit rapidement à un coût algorithmique élevé lorsque le nombre de scénarios augmente. La méthode de construction définie ici fait appel au contraire à un critère d'optimisation (déterminant) uniquement sur la partie axiale des facteurs qualitatifs et sur un nombre restreint de scénarios. Le domaine d'optimisation considéré dans la présente méthode étant plus réduit, on peut en contrepartie construire à un coût acceptable, par exemple des plans pour 2 à 8 facteurs quantitatifs et pour un paramètre discret à deux modalités (2 scénarios), un paramètre discret à trois modalités (3 scénarios), deux paramètres discrets à deux modalités (4 scénarios), ou un paramètre discret à deux modalités et un paramètre discret à trois modalités (6 scénarios). Cette technique de construction peut s'étendre à des plans prenant en compte un plus grand nombre de facteurs quantitatifs et qualitatifs à plus de trois modalités.

II) ANALYSE DES RESULTATS
L'analyse classique des résultats des plans d'expériences ne peut pas s'appliquer dans ce contexte pour deux principales raisons. Tout d'abord, les plans permettent l'ajustement non pas de un mais de plusieurs modèles distincts (modèle global aux différents scénarios et modèles pour chacun des scénarios). Il faut donc déterminer le ou les modèles qui apporteront le plus d'informations pour analyser les résultats. D'autre part, il est nécessaire de bien comprendre le rôle joué par les paramètres discrets dans le modèle global (effet simple et interactions des facteurs qualitatifs, répercussion sur la réponse).

Nous proposons ici une méthodologie répondant à ces questions. Elle est établie suivant deux axes : analyse de sensibilité et analyse de risque.

Analyse de sensibilité
L'objectif de l'analyse de sensibilité est de détecter les termes du modèle (effets simples, interactions quantitatifs-quantitatifs, interactions quantitatifs-qualitatifs) influant sur la réponse. Pour cette première étape, la partie factorielle du plan est utilisée pour ajuster des modèles sans terme quadratique.

Choix du modèle
Une analyse de sensibilité complète nécessite l'utilisation simultanée des modèles globaux et marginaux.

Les modèles marginaux permettent de détecter les termes ou actions influant sur chacun des scénarios. Ces modèles sont souvent assez pauvres mais autorisent au minimum l'analyse des effets simples des facteurs quantitatifs (Fig. 2).

Le modèle global détecte les termes influents tous scénarios confondus. Il est à noter qu'une action peut être jugée négligeable par le modèle global alors qu'elle est très influente mais sur un seul scénario (Fig. 3). En effet, le modèle global procède en quelque sorte en moyennant l'influence sur tous les scénarios, d'où l'intérêt des modèles marginaux. Le modèle global présente deux qualités principales :
Il permet de détecter si un paramètre discret est influent via son effet simple.

Autrement dit, si d'un scénario à l'autre, il y a un décalage dans la réponse moyenne (Fig.

6). De plus, si le plan l'autorise, il permet de détecter des interactions quantitatifsqualitatifs influentes, c'est-à-dire de prendre en compte la différence du comportement des effets simples des facteurs quantitatifs entre les scénarios (Fig. 6).

La partie factorielle du plan a été construite de façon à enrichir le modèle global par rapport aux modèles marginaux. Il permet donc de détecter beaucoup plus d'actions globalement influentes (Fig.3).

Comparaison avec la méthode antérieure (répétition d'un plan composite sur chaque scénario) (Fig. 3)

1) Les modèles marginaux donnent des résultats conformes à ceux de la méthode antérieure (mêmes termes détectés).

2) Le modèle global fournit des informations supplémentaires (effets des paramètres discrets et modèle plus riche sur les paramètres continus)
3) Réduction du coût constatée de 20% par rapport à la méthode antérieure
Analyse de risque
Prédiction ponctuelle
La prédiction ponctuelle consiste à prédire la réponse sous forme d'un intervalle de prédiction pour un jeu de paramètres fixés. L'objectif à terme peut être de déterminer un jeu de paramètres qui optimisera la surface de réponse. La prédiction se fait à partir d'un modèle intégrant les effets quadratiques ajusté à l'aide du plan comprenant les parties factorielle, centrale et axiale.

Choix du modèle
Pour ce type d'étude, il est préconisé d'utiliser le modèle global car il donne des résultats plus stables d'un scénario à un autre. Les prédictions par modèles marginaux peuvent s'avérer plus instables dans certains cas (Fig. 4) du fait du peu de termes pouvant être introduits dans ces modèles.

Comparaison avec la méthode antérieure
1) Le modèle global donne des résultats de qualité équivalente à ceux de la méthode antérieure. (Fig. 4)
2) A qualité de modèle globalement équivalente, les plans intégrants les facteurs qualitatifs permettent de réduire le nombre de simulations de la méthode antérieure (dans l'exemple de la figure 4, on passe de 2 plans composites de taille 29, i.e. 58 simulations, à un plan à facteurs qualitatifs à 46 simulations, soit une réduction de 20%)
Prédiction Monte Carlo
La prédiction de Monte Carlo consiste à prédire des réponses à partir d'un grand nombre de jeux de paramètres choisis aléatoirement dans leur domaine de variation. On

calcule ensuite la densité et les quantiles des réponses obtenues afin de quantifier l'incertitude sur les paramètres continus et discrets.

Rôle dans le modèle global des termes à paramètres discrets
D'un scénario à l'autre, la densité obtenue à partir des prédictions Monte Carlo peut varier. La question est alors de savoir quels termes du modèle global permettent de retranscrire cette variation. Le paragraphe 1. de la première partie décrit le rôle des effets simples des facteurs qualitatifs et des interactions quantitatif-qualitatif dans le modèle. Ce rôle se traduit sur la densité de la façon suivante : - L'effet simple du ou des paramètres discrets du modèle global induit un décalage de la réponse moyenne entre les scénarios. (Fig. 6); - Les interactions quantitatif-qualitatif du modèle global induisent la différence d'incertitude (formes des densités marginales) (Fig. 6).

Modification du modèle global
Cependant tous les plans ne permettent pas d'introduire les interactions quantitatifqualitatif dans le modèle. Ces interactions sont alors aliasées avec des interactions quantitatif-quantitatif (par exemple le plan P30 du cas de validation). Il faut alors veiller à ce que apparaissent dans le modèle les interactions réellement influentes parmi les alias. Par exemple, l'interaction quantitatif-qualitatif remplace l'interaction quantitatif-quantitatif avec laquelle elle est aliasée, si la connaissance du phénomène physique suggère que l'interaction quantitatif-quantitatif est négligeable. Dans le cas où la connaissance du phénomène physique ne permet pas de trancher, on procédera de la façon suivante (Fig.

7) : - Pour chacun des scénarios, on trace les densités construites à partir du modèle global et des modèles marginaux.

- Si on constate une différence d'incertitude (amplitude et forme des densités) entre le modèle global et les modèles marginaux, on en déduit qu'il manque des interactions quantitatif-qualitatif dans le modèle global.

- On procède ensuite de façon itérative en remplaçant les interactions quantitatif- quantitatif du modèle global par les interactions quantitatif-qualitatif avec lesquelles elles sont aliasées, jusqu'à ce que le comportement de l'incertitude obtenue par le modèle global se stabilise.

Cette technique permet aussi d'affiner l'analyse de sensibilité en levant le doute sur l'influence respective des interactions quantitatif-quantitatif et quantitatif-qualitatif aliasées. En effet, si le fait de remplacer dans le modèle global une interaction quantitatifquantitatif influente par l'interaction quantitatif-qualitatif aliasée, modifie de façon significative la densité, on peut en déduire que c'est l'interaction quantitatif-qualitatif qui influe sur la réponse et non pas l'interaction quantitatif-quantitatif.

Choix du modèle
Le choix du modèle s'effectue après la modification du modèle global si celle-ci s'est avérée nécessaire.

- Dans le cas où le paramètre discret n'est pas contrôlable (statut d'une faille, etc. ), le modèle global permet de quantifier correctement l'incertitude sur les paramètres continus et discrets. Les modèles marginaux ont tendance dans certains cas à surestimer l'intervalle d'incertitude défini par les quantiles (fig. 5), compte tenu du peu de termes pouvant être introduits dans le modèle.

- Dans le cas où le paramètre discret est contrôlable (ajout de puits, etc. ), deux situations peuvent se présenter. Soit le modèle global permet de détecter une interaction quantitatif-quantitatif très influente qui ne peut pas être estimée avec les modèles marginaux et on utilisera le modèle global (Fig. 8). Soit les interactions quantitatif- quantitatif supplémentaires du modèle global sont détectées négligeables et on utilisera les modèles marginaux (Fig. 9). Dans les deux situations, la quantification de l'incertitude sur les paramètres continus pour chaque scénario permet de choisir le scénario qui optimise la production.

Comparaison avec la méthode antérieure
1) Les plans de la présente invention donnent des résultats de qualité équivalente à ceux de la méthode antérieure (Fig. 5,6, 8 et 9), mais à moindre coût.

2) Le modèle global autorise la quantification de l'incertitude sur les scénarios et les paramètres continus, ce qui est impossible lorsque l'on procède à des études séparées.

3) Les modèles marginaux permettent de lever le doute sur l'influence respective des interactions quantitatif-quantitatif et quantitatif-qualitatif aliasées.

III) CAS DE VALIDATION ET FIGURES
Description du cas de validation
On présente ici un cas de validation pour un plan à 6 paramètres continus et un paramètre discret à 2 modalités.

Pour cette phase de validation, un modèle synthétique de réservoir a été construit. Il est constitué de 6 couches, comme illustré sur la figure 1. La couche inférieure est perméable et saturée en eau. Les couches 2,3, 5 et 6 présentent de bonnes propriétés réservoir alors que la couche 4 présente des propriétés pétrophysiques moins favorables. Les couches 2 à 6 sont imprégnées d'huile. Il existe par ailleurs une grosse incertitude sur l'étanchéité de la couche 4 par des bancs d'argile, qui pourrait le cas échéant interdire toute transmissivité verticale entre les couches 1-2-3 et 5-6.

On suppose qu'il demeure des incertitudes majeures de type quantitatif sur le champ, notamment sur les valeurs de perméabilités absolues et relatives. Pour cette étude, les 6 paramètres continus incertains suivants ont été sélectionnés: - x1 représente la perméabilité horizontale des couches 1,2,3,5 et 6, notée Khi
Domaine d'incertitude : 700mD - 1300mD - X2 représente la perméabilité verticale de la couche 4, notée Kz4
Domaine d'incertitude : O.OlmD - lOmD - X3 représente la saturation résiduelle en huile après balayage par eau, notée Sorw
Domaine d'incertitude : 0.1 - 0.3 - X4 représente la saturation résiduelle en huile après balayage par gaz, notée Sorg
Domaine d'incertitude : 0.1- 0.3 - x5 représente le point maximal de perméabilité relative à l'eau, notée Krwm
Domaine d'incertitude : 0. 2 - 0. 7 - x6 représente le point maximal de perméabilité relative à l'eau, notée Krgm

Domaine d'incertitude :0.1- 0.3.

Pour produire ce réservoir, on propose de mettre un puits producteur au sommet du réservoir et un puits injecteur au niveau de l'aquifère. Les niveaux de perforation du puits producteur restent incertains. On hésite notamment à perforer juste en dessous de la couche 4 de manière à drainer la partie inférieure du réservoir en cas d'étanchéité de la couche 4, au risque de favoriser une venue précoce de l'eau pénalisant la productivité totale du puits. En conséquence, il a été décidé d'introduire un facteur qualitatif à 2 modalités pour cette complétion : - z représente la complétion aux couches 5 et 6 (z=+l) ou au couches 3,5 et 6 (z=-l)
Les réponses du simulateur étudiées à différents temps après la mise en production sont : - le cumulé d'huile (COS)

- le GOR normalisé ( 0 < GORn = 2QG < 2 ), (QG +RSxQo) - le water cut (FW)
Les objectifs métier de cette étude sont: d'identifier les paramètres influents (continus et discrets) ou les interactions influentes via une analyse de sensibilité - de quantifier via une analyse de risque l'incertitude induite par les paramètres influents sur les prévisions de production - enfin de préconiser un choix pour le type de complétion en fonction des densités de probabilité obtenues.

Les plans d'expériences testés avec leurs alias
La table de la figure 2 présente les structures d'alias des plans testés lors du cas de validation avec les modèles qu'ils permettent d'ajuster. Les plans notés par P30 et P46 intègrent le paramètre discret. Ils ont été construits suivant la méthode de cette invention.

Les plans notés C42 et C58 correspondent à la méthode antérieure, i.e. à la répétition d'un plan composite de taille 21 et 29 sur chacun des deux scénarios.

Validation systématique a posteriori
Afin de valider les résultats et de comparer la méthode antérieure avec celle développée dans ce brevet, une série de simulations a posteriori a été réalisée. Nous disposons donc de 100 simulations effectuées dans tout le domaine d'incertitude des paramètres continus (50 pour chaque scénario), distinctes des simulations effectuées aux points des plans d'expériences. Ainsi nous comparerons les résultats de ces simulations (considérées comme référence absolue) aux prédictions fournies, d'une part grâce aux plans faisant l'objet de cette invention, et d'autre part grâce aux plans composites répétés (état de l' art actuel)
Analyse de sensibilité
Sur la figure 3, on note que les résultats obtenus avec les modèles marginaux du plan P46 sont de même nature que ceux du plan C58. On détecte globalement les mêmes termes sur chaque scénario mais avec 12 simulations en moins.

De plus le modèle global du plan P46 permet d'analyser des interactions quantitatifquantitatif supplémentaires (Kz4*sorw et Kz4*sorg sont détectées influentes) ainsi que l'effet du paramètre discret (z) et des interactions quantitatif-qualitatif (sorg*z et Kz4*z sont détectées influentes, effet attendu pour Kz4*z).

Analyse de risque : Prédiction ponctuelle
Sur la figure 4, les barres représentent la moyenne sur les 100 simulations de l'erreur relative en pourcentage,

où yi est la ième simulation de validation et 9, sa prédiction. Sont représentées en gris l'erreur relative tous scénarios confondus et en hachuré l'erreur relative par scénario. La courbe représente le nombre (%) de simulations de validation qui appartiennent à leur intervalle de prédiction
L'erreur relative permet de juger de la qualité de la prédiction, et le pourcentage de simulations de validation dans son intervalle, de la qualité de l'intervalle de prédiction. On

remarque que le modèle global donne des résultats plus stables que les modèles marginaux. En effet, le modèle marginal pour z=-l semble être de très mauvaise qualité (5% d'erreur relative et seulement 20% des simulations de validation dans leur intervalle de prédiction). Le modèle global du plan P46 donne des résultats de même qualité que le plan C58 avec 12 simulations en moins
Analyse de risque : Quantification de l'incertitude par prédiction Monte Carlo
Les cônes de la figure 5 sont déterminés à partir des quantiles de la densité des prédictions Monte Carlo. Ils représentent l'incertitude sur la production (Cos et GORn) due aux paramètres continus et discrets. Les points sont les simulations a posteriori. On remarque que tous les plans sont de très bonne qualité (80% à 100% des simulations a posteriori sont dans l'intervalle d'incertitude), même pour le plan P30 qui nécessite 28 simulations de moins que le C58.

Par définition, le GOR normalisé ne peut pas dépasser la valeur 2, or la borne supérieure de l'intervalle d'incertitude se situe souvent au dessus de 2. Il y a une surestimation de l'intervalle quel que soit le plan. On note toutefois que les modèles marginaux exagèrent cette surestimation, c'est pourquoi on préférera utiliser le modèle global.

Rôle des paramètres discrets dans le modèle et modification du modèle global
Les courbes sur la figure 6 représentent les densités des prédictions Monte Carlo obtenues sur chacun des scénarios. Dans le modèle global, le décalage de la réponse moyenne entre deux scénarios est pris en compte par un effet simple important de z (26.1% de l'influence totale des termes du modèle d' après l' analyse de sensibilité). La différence de comportement des facteurs quantitatifs entre les scénarios est prise en compte par les interactions xiz (8. 4% de l'influence totale des termes du modèles) qui sont intégrées au modèle global pour le plan P46.

Le modèle global du plan P30 n'autorise pas l'estimation des interactions quantitatif-qualitatif (voir table des alias). Dans sa forme première (1), il ne permet donc pas de tenir compte de la différence d'incertitude que l'on peut remarquer grâce aux modèles marginaux : on constate une différence d' amplitude sur le graphe de droite de la

figure 7 (modèles marginaux) qui n'est pas traduite sur le graphe de gauche (modèle global). Il est alors nécessaire de revenir au diagramme de Pareto de l'analyse de sensibilité afin de trouver une (ou des) interaction quantitatif-quantitatif qui semble en toute logique être négligeable et qui, pourtant, a été détectée influente, et de la remplacer par l'interaction quantitatif-qualitatif avec laquelle elle est liée. Par exemple pour le cas de validation, on peut supposer que l'interaction Khi*krgm n'a aucune raison physiquement d'être influente, on la remplace donc par l'interaction z*Kz4 avec laquelle elle est liée. En effet, il semble évident que l'interaction entre le niveau de complétion et la perméabilité de la couche 4 va jouer un rôle important sur la production. Après modification du modèle global, on retrouve bien un comportement de l'incertitude identique à celui obtenus par les modèles marginaux.

Cette technique peut être utilisée afin d'affiner l'analyse de sensibilité. Lorsque deux termes sont aliasés, un seul apparaît dans le modèle et donc dans le diagramme de Pareto. Il est alors impossible de savoir (quantativement) lequel des deux termes est en fait réellement influent. On peut alors tracer les densités sur chaque scénario obtenues avec le modèle global et les modèles marginaux. Si on constate une différence d'incertitude entre les deux, on remplace dans le modèle global une interaction quantitatif-quantitatif par l'interaction quantitatif-qualitatif avec laquelle elle est aliasée. Si alors la différence d'incertitude diminue, on peut en conclure que l'interaction quantitatif-qualitatif est plus influente dans le modèle que l'interaction quantitatif-quantitatif et vice-versa.

Choix entre modèle global ou modèles marginaux pour la prédiction Monte Carlo
Les densités obtenues par le plan C58 sont considérées ici comme références.

Sur le diagramme de Pareto de la figure 8, on remarque que le modèle global du plan P46 détecte des interactions quantitatif-quantitatif très influentes qui ne peuvent pas être estimées par les modèles marginaux (Kz4*sorw, Kz4*sorg et sorg*krwm). De ce fait, les densités sur chaque scénario obtenues à l'aide du modèle global de P46 sont alors plus conformes à celles du plan C58 que les densités des modèles marginaux de P46.

Sur le diagramme de Pareto de la figure 9, on remarque que le modèle global du plan P46 détecte des interactions quantitatif-quantitatif qui ne peuvent pas être estimées par les modèles marginaux (Kz4*sorw, Kz4*sorg), mais que celles-ci sont très peu influentes.

Les densités sur chaque scénario obtenues à l'aide des modèles marginaux de P46 sont alors plus conformes à celles du plan C58 que les densités du modèle global de P46.

En conclusion
Concernant l'analyse de sensibilité, les plans P46 et P30 ont permis de détecter sensiblement les mêmes termes influents que les plans C42 et C58 grâce aux modèles marginaux. De plus pour un nombre de simulations moindre (20% de réduction), l'utilisation du modèle global des plans P30 et P46 apporte des informations supplémentaires, en détectant des interactions quantitatif-quantitatif que ni le plan C42, ni le plan C58 peuvent estimer, et en analysant l'effet dû à la complétion via l'effet simple ou les interactions du facteur qualitatif.

Concernant l'analyse de risque par la prédiction ponctuelle, les plans P30 et P46 à l'aide du modèle global donnent des résultats de qualité équivalente aux plans antérieures C42 et C58, et ce à moindre coût.

Concernant la prédiction de type Monte Carlo, les plans P30 et P46 à l'aide du modèle global ou des modèles marginaux permettent, à la fois de quantifier l'incertitude aussi bien que les plans C42 et C58 avec moins de simulations, et à la fois de lever le doute sur l'influence respective des interactions quantitatif-quantitatif et quantitatif-qualitatif aliasées (ici Khixkrgm et zxKz4).

L'apport des plans de cette invention ainsi que de la méthodologie développée est donc significatif et permet d'améliorer les résultats de la méthode antérieure tout en diminuant le nombre de simulations.

La méthode a été décrite dans des applications à l'exploration ou à l'ingénierie de gisement. Il est bien évident qu'elle pourrait être utilisée dans des contextes autres, par exemple dans le domaine de la médecine ou de l'agronomie.

Claims

REVENDICATIONS

1) Méthode pour quantifier les incertitudes liées à des paramètres continus et discrets descriptifs d'une zone souterraine, et/ou gérer le choix d'un scénario parmi un ensemble de scénarios, par construction de plans d'expériences comprenant une partie factorielle, une partie centrale et une partie axiale, qui tiennent compte de facteurs quantitatifs et qualitatifs, et une analyse des résultats adaptée aux plans d'expériences construits, caractérisée en ce que: - on construit la partie factorielle des plans d'expériences par pliage d'une fraction de plan factoriel pour les facteurs quantitatifs et attribution d'au moins une modalité d'un facteur qualitatif à chacun des blocs formés par pliage ; - on procède à une analyse des résultats en combinant une analyse de sensibilité et une analyse de risque faisant intervenir des modèles marginaux et un modèle global.

2) Méthode selon la revendication 1, caractérisée en ce que l'on détermine la partie axiale des facteurs qualitatifs, suivant un critère de D-optimalité.

3) Méthode selon la revendication 1 ou 2, caractérisée en ce que l'on effectue l'analyse de sensibilité au moyen de modèles marginaux pour détecter les termes influant sur chacun des scénarios et au moyen du modèle global pour détecter les termes influant globalement sur l'ensemble des scénarios.

4) Méthode selon l'une des revendications 1 à 3, caractérisée en ce que l'on analyse le risque en prédisant ponctuellement une réponse sous la forme d'un intervalle de prédiction pour un jeu de valeurs fixées des dits paramètres, au moyen du modèle global.

5) Méthode selon l'une des revendications 1 à 3, caractérisée en ce que l'on analyse le risque en prédisant des réponses à partir d'un grand nombre de jeux de valeurs des dits paramètres, choisis aléatoirement dans leur domaine de variation.

6) Méthode selon la revendication 5, caractérisée en ce que l'on utilise le modèle global quand le ou chaque paramètre discret n'est pas contrôlable.

7) Méthode selon la revendication 5, caractérisée en ce que l'on utilise les modèles marginaux pour faire l'analyse de risque quand chaque paramètre discret est contrôlable et

, que le modèle global n'a pas détecté d'interaction quantitatif-quantitatif très influente indécelable par les modèles marginaux.

8) Méthode selon la revendication 5, caractérisée en ce que l'on utilise le modèle global pour faire l'analyse de risque quand chaque paramètre discret est contrôlable et que le modèle global a détecté une interaction quantitatif-quantitatif très influente indécelable par les modèles marginaux.

9) Méthode selon la revendication 5, caractérisée en ce que l'on utilise le modèle global et les modèles marginaux pour déterminer l'influence respective des interactions quantitatif-quantitatif et quantitatif-qualitatif aliasées.

10) Application de la méthode selon l'une quelconque des revendications précédentes à des scénarios en exploration ou ingénierie de gisement.