FR2620233A1 - VIBRATION ANGULAR SPEED DETECTOR - Google Patents
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Abstract
L'invention a trait au domaine des détecteurs piézoélectriques. Le détecteur selon l'invention, du type comprenant un cylindre creux 3 fixé par une extrémité sur une base 5 et libre à son autre extrémité, et des transducteurs 9 sur ledit cylindre, destinés à induire et détecter des vibrations radiales sur la paroi du cylindre, est caractérisé en ce que les transducteurs sont disposés près de l'extrémité fixée sur la base et maintenue rigidement, de manière à rendre optimal le couplage des transducteurs avec les vibrations produites sur le cylindre pendant le fonctionnement. Application à la détection de la vitesse angulaire de rotation du cylindre autour de son axe.The invention relates to the field of piezoelectric detectors. The detector according to the invention, of the type comprising a hollow cylinder 3 fixed by one end on a base 5 and free at its other end, and transducers 9 on said cylinder, intended to induce and detect radial vibrations on the wall of the cylinder , is characterized in that the transducers are arranged near the end fixed on the base and held rigidly, so as to optimize the coupling of the transducers with the vibrations produced on the cylinder during operation. Application to the detection of the angular speed of rotation of the cylinder around its axis.
Description
La présente invention a trait aux détecteurs deThe present invention relates to
vitesse angulaire vibratoires.vibrational angular velocity.
La présente invention concerne plus particulièrement The present invention relates more particularly
les détecteurs de vitesse angulaire vibratoires du type compre- vibratory angular velocity detectors of the type comprising
nant un cylindre creux à paroi mince en un matériau élastique, a thin-walled hollow cylinder made of an elastic material,
libre à une extrémité et fixé nominalement à l'autre extré- free at one end and nominally fixed at the other end.
mité. Le détecteur comprend en outre des organes d'attaque destinés à induire des vibrations à prédominance radiale dans la paroi du cylindre, de tels organes d'attaque comprenant O typiquement quatre transducteurs piezo-électriques ?ixés à la paroi du cylindre en des positions circonférentielles moth. The detector further comprises driving members for inducing predominantly radial vibrations in the cylinder wall, such drivers typically comprising four piezoelectric transducers mounted to the cylinder wall at circumferential positions.
équidistantes et des positions axiales correspondantes. Nor- equidistant and corresponding axial positions. nor-
malement, une paire des transducteurs-diamétralement opposés constitue une paire d'attaque de transducteurs et l'autre paire diamétralement opposée de transducteurs est utilisée incorrectly, a pair of transducers-diametrically opposed constitutes a transducer driving pair and the other diametrically opposed pair of transducers is used
pour contrôler les vibrations produites par la paire d'atta- to control the vibrations produced by the pair of
que et pour stabiliser ladite attaque. En fonctionnement, lorsque le cylindre tourne autour de son axe longitudinal, les vibrations à prédominance radiale de la paroi du cylindre O induisent des forces de Coriolis tangentielles qui décalent les noeuds des vibrations autour de la circonférence de la paroi du cylindre. Ce décalage est détecté par des organes that and to stabilize said attack. In operation, as the cylinder rotates about its longitudinal axis, the predominantly radial vibrations of the wall of the cylinder O induce tangential Coriolis forces which shift the vibration nodes around the circumference of the cylinder wall. This shift is detected by organs
sensibles qui, typiquement, comprennent quatre autres trans- sensitive, which typically include four other trans-
ducteurs piézo-électriques montés en des positions circon- piezoelectric conductors mounted in circumferential
férentielles centrales équidistantes entre les quatre trans- ducteurs d'attaque, c'est-à-dire sur les positions des noeuds des vibrations produites par les transducteurs d'attaque equidistant central ferencences between the four driving transducers, that is to say on the positions of the nodes of the vibrations produced by the attack transducers
lorsque le cylindre est au repos. Les organes sensibles pro- when the cylinder is at rest. Sensory organs pro-
duisent alors un signal de sortie proportionnel à la vitesse then leave an output signal proportional to the speed
O de rotation du détecteur.O rotation of the detector.
La présente invention vise donc un détecteur de The present invention therefore aims at a detector of
vitesse angulaire vibratoire dans lequel les organes d'atta- angular velocity in which the attacking organs
que et les organes sensibles sont dans une position telle qu'ils rendent maximal le couplage entre les organes d'attaque et les organes sensibles avec les vibrations de la paroi du cylindre. Conformément à la présente invention, le détecteur Il 2620233 that and the sensitive members are in a position such that they maximize the coupling between the drive members and the sensitive members with the vibrations of the wall of the cylinder. According to the present invention, the detector II 2620233
de vitesse angulaire vibratoire comprend un corps en un maté- vibrational angular velocity comprises a body made of a material
riau élastique comportant une partie cylindrique creuse de section et d'épaisseur de paroi sensiblement uniformes le long de sa longueur, ainsi qu'une base qui supporte de façon pratiquement rigide une extrémité de ladite partie cylindri- que; et des organes d'attaque et des organes de détection pour l'induction de vibrations radiales dans ladite partie resilient material having a hollow cylindrical portion of substantially uniform wall section and thickness along its length, and a base which substantially rigidly supports one end of said cylindrical portion; and driving members and sensing means for inducing radial vibrations in said portion
cylindrique et la détection de variations dans lesdites vibra- cylindrical and detecting variations in said vibrator
tions en réponse à la rotation du corps autour de l'axe de ladite partie cylindrique, ledit détecteur étant en outre in response to the rotation of the body about the axis of said cylindrical portion, said detector being furthermore
caractérisé par le fait que les organes d'attaque et de détec- characterized by the fact that the driving and detecting elements
tion comprennent des transducteurs fixés à la paroi de la partie cylindrique en des positions adjacentes à la base, ces positions étant telles que l'intégrale f(exx +eg)dx telle qu'elle sera définie ci-après, présente une valeur These transducers include transducers attached to the wall of the cylindrical portion at positions adjacent to the base, such positions being such that the integral f (exx + eg) dx as will be defined hereinafter has a value
négative de manière prédominante. predominantly negative.
Dans une forme préférée de réalisation de l'invention, les organes d'attaque et les organes de détection comprennent In a preferred embodiment of the invention, the driving members and the detection members comprise
huit transducteurs piezo-électriques fixés à la partie cylin- eight piezoelectric transducers attached to the cylindrical part
drique en des positions circonférentielles équidistantes et en des positions axiales correspondantes, autour de la paroi dries into equidistant circumferential positions and corresponding axial positions around the wall
de la partie cylindrique.of the cylindrical part.
Dans une telle forme de réalisation, chacun desdits In such an embodiment, each of said
transducteurs sous-tend de préférence un angle au centre sen- transducers preferably underlie an angle in the center
siblement égal à 45'.equal to 45 '.
La base de la partie cylindrique présente de préfé- The base of the cylindrical part has preferably
rence une surface de section qui n'est pas inférieure à celle a surface area of not less than
de la partie cylindrique.of the cylindrical part.
D'autres caractéristiques et avantages de la présente Other features and benefits of this
invention ressortiront mieux de la description qui va suivre, invention will become more apparent from the following description,
donnée à titre d'exemple, en regard des dessins annexés sur lesquels: la figure 1 est une vue schématique en coupe du détecteur; given by way of example, with reference to the accompanying drawings, in which: FIG. 1 is a diagrammatic sectional view of the detector;
la figure 2 représente un schéma synoptique du cir- FIG. 2 represents a block diagram of the circuit
cuit électrique associé au détecteur de la figure 1; la figure 3 représente une vue en plan schématique j 2620233 du détecteur, illustrant sa vibration en fonctionnement; la figure 4 représente un graphique illustrant la electric cooker associated with the detector of Figure 1; Figure 3 shows a schematic plan view of the detector, illustrating its vibration in operation; FIG. 4 represents a graph illustrating the
notation utilisée dans l'analyse du fonctionnement du détec- notation used in the analysis of the operation of the
teur de la figure I; les figures 5, 6 et 7 représentent des graphiques of Figure I; Figures 5, 6 and 7 show graphs
illustrant les déplacements et la distribution des contrain- illustrating the movements and distribution of
tes dans le détecteur de la figure I; et in the detector of Figure I; and
les figures 8 et 9 représentent des graphiques illus- Figures 8 and 9 show illustrative graphs
trant les déplacements et la distribution des contraintes the displacements and the distribution of the constraints
dans un détecteur sans immobilisation d'une extrémité. in a detector without immobilization of an end.
En se référant à la figure 1, le détecteur comprend un corps 1 en un matériau élastique, par exemple un métal tel que l'acier, comportant une partie cylindrique 3 à paroi mince de section et d'épaisseur de paroi uniformes le long de sa longueur, ainsi qu'une base 5 qui ferme et qui suppor- te rigidement une extrémité de la partie cylindrique 3. La partie de base 5 du corps 1 est boulonnée rigidement sur une plaque With reference to FIG. 1, the detector comprises a body 1 made of an elastic material, for example a metal such as steel, comprising a thin-walled cylindrical portion 3 of uniform wall section and thickness along its length. length, as well as a base 5 which closes and rigidly supports one end of the cylindrical portion 3. The base portion 5 of the body 1 is bolted rigidly to a plate
support 7.support 7.
Le détecteur comprend en outre huit transducteurs O piezoélectriques 9 fixés sur la surface extérieure de la The detector further comprises eight piezoelectric transducers O fixed on the outer surface of the detector.
partie cylindrique 3 du corps 1 en des positions circonfé- cylindrical portion 3 of the body 1 in circumferential positions
rentielles équidistantes et des positions axiales correspon- equidistant forces and corresponding axial positions
dantes. En se référant à la figure 2, en fonctionnement, !5 le détecteur est excité de manière à vibrer par application pendent. Referring to FIG. 2, in operation, the detector is excited to vibrate by application.
de tensions d'une fréquence donnée sur une paire diamétra- voltages of a given frequency on a diametric pair
lement opposée 9A de transducteurs 9 à partir d'un circuit 9A of 9 transducers from a circuit
d'attaque et d'une boucle à blocage de phase 11. La paire dia- and a phase-locked loop 11. The pair dia-
métralement opposée 9B de transducteurs 9 à angle droit par rapport aux transducteurs 9A contrôle la vibration et fournit 9B of transducers 9 at right angles to transducers 9A controls vibration and provides
un signal d'entrée à la boucle 11 afin de stabiliser l'atta- an input signal to loop 11 in order to stabilize the attack
que. La sortie du détecteur est dérivée par l'intermédiaire d'un circuit de détection 13 et d'un filtre 15 à partir d'une troisième paire diamétralement opposée 9C des transducteurs 9, le signal de sortie des transducteurs 9C étant également appliqué à la quatrième paire diamétralement opposée 9D des than. The output of the detector is derived via a detection circuit 13 and a filter 15 from a third diametrically opposed pair 9C of the transducers 9, the output signal of the transducers 9C being also applied to the fourth diametrically opposed pair 9D of
transducteurs 9 par l'intermédiaire d'un circuit d'amortis- transducers 9 via a damping circuit
sement 17.17.
Comme illustré sur la figure 3, en fonctionnement, As illustrated in FIG. 3, in operation,
lorsque le détecteur est au repos, l'excitation dudit détec- when the detector is at rest, the excitation of said detector
teur produit des vibrations radiales, telles que représen- produces radial vibrations, as represented by
tées avec exagération sur la figure 3 par un trait discon- tinu 19, dont les noeuds coincident avec les positions des exaggerated in FIG. 3 by a dashed line 19, whose nodes coincide with the positions of the
paires de transducteurs de sortie 9C et 9D. Lorsque le détec- output transducer pairs 9C and 9D. When the detection
teur tourne autour de l'axe de la partie cylindrique 3, les vibrations radiales sont soumises à des forces de Coriolis tangentielles. Il en résulte que les noeuds des vibrations rotates about the axis of the cylindrical portion 3, the radial vibrations are subjected to tangential Coriolis forces. It follows that the nodes of the vibrations
se décalent autour de la circonférence du cylindre 3, produi- shift around the circumference of cylinder 3, producing
sant ainsi un signal de sortie sur la paire de transducteurs de sortie 9C et 9D, signal proportionnel à la vitesse de thus providing an output signal on the pair of output transducers 9C and 9D, signal proportional to the speed of
rotation du détecteur.rotation of the detector.
La présente invention vise le choix des positions des transducteurs 9 ainsi que la forme de la partie de base The present invention aims at the choice of the positions of the transducers 9 as well as the shape of the base part
du détecteur.of the detector.
Conformément à l'invention, les transducteurs sont According to the invention, the transducers are
en une position adjacente à la base 5, au lieu d'être dispo- at a position adjacent to the base 5, instead of being
sés à l'extrémité ouverte de la partie cylindrique 3 comme c'est le cas dans les détecteurs usuels de vitesse angulaire vibratoire, et la base 5 est destinée à fixer l'extrémité adjacente de la partie cylindrique 3 rigidement, plutôt at the open end of the cylindrical portion 3 as is the case in the usual vibratory angular velocity detectors, and the base 5 is intended to fix the adjacent end of the cylindrical portion 3 rigidly, rather
qu'en montage flottant.than in floating installation.
La présente invention est basée sur une analyse des vibrations qui se développent dans la partie cylindrique The present invention is based on an analysis of the vibrations that develop in the cylindrical portion
3 en fonctionnement, et qui sera maintenant décrite en réfé- 3 in operation, and which will now be described in reference
rence à la figure 4 en utilisant la notation suivante: a est le rayon moyen de la partie cylindrique 3; hest l'épaisseur de paroi de la partie cylindrique 3; 1 est la longueur de la partie cylindrique 3; E est le module d'Young; Vest le rapport de Poisson; Figure 4 using the following notation: a is the average radius of the cylindrical portion 3; h is the wall thickness of the cylindrical portion 3; 1 is the length of the cylindrical portion 3; E is the Young's modulus; This is the ratio of Poisson;
pest la densité du matériau de la partie cylindri- the density of the material of the cylindrical part
que; etthan; and
f est la fréquence naturelle.f is the natural frequency.
La figure 4 représente un point P fixe à mi-surface S- du cylindre 3 en une position donnée par les coordonnées (x, 9). Les axes locaux en P sont donnés par Pxcyczó, avec Px parallèle à l'axe du cylindre Ox et Pz le long de l'axe c c normal extérieur en P. L'axe Pyc est orthogonal à Px czc et dans le sens longitudinal par rapport au cercle générateur au point P. Le déplacement de ce point dû à la déformation du cylindre est défini par le vecteur u = (u1,u2,u3), les composantes u. étant prises le long de la direction de l'axe Px cYcZcÀ QO Les équations présidant à la vibration libre du cylindre sont dérivées en résolvant l'équation de variation 6f (T - V)dt = 0 (1) FIG. 4 represents a point P fixed at mid-surface S- of the cylinder 3 at a position given by the coordinates (x, 9). The local P-axes are given by Pxcyczó, with Px parallel to the axis of the cylinder Ox and Pz along the normal external C-axis P. The Pyc axis is orthogonal to Px czc and in the longitudinal direction relative to to the generating circle at the point P. The displacement of this point due to the deformation of the cylinder is defined by the vector u = (u1, u2, u3), the components u. being taken along the direction of the axis Px cYcZcA QO The equations governing the free vibration of the cylinder are derived by solving the equation of variation 6f (T-V) dt = 0 (1)
Dans l'équation (1) T et V sont les énergies cinét- In equation (1) T and V are kinetic energies
ques et de contrainte qui sont données par T = Pha f {u12 + u22 + u32} dxdog O0 et t 2 V = Eha 2 2I V 1_ 02) = { (Sl + S22)2 - 2 (1-o)(S11S22-4 12) and constraints that are given by T = Pha f {u12 + u22 + u32} dxdog O0 and t 2 V = Eha 2 2I V 1_ 02) = {(Sl + S22) 2 - 2 (1-o) (S11S22 -4 12)
2(1-U2)2 (1-U2)
+ Eh{a (K1+K2)2 - 2(1-u)(K1K2 -T 2)} dxd@ (2) 24(1-u2) O o: + Eh {a (K1 + K2) 2 - 2 (1-u) (K1K2 -T 2)} dxd @ (2) 24 (1-u2) O o:
S du.S of.
dx I du2 + u3 522 a c dx a S sont les contraintes directe et de cisaillement à mi-surface en P et du dx I du2 + u3 522 a c dx a S are the direct and shear stresses at mid-surface at P and the
K1 = -3K1 = -3
dx2 K _ 1 d (1 du3 - u3) 2 a de a d ad d (du3 - u) a dx de 3) sont les courbes de surface et de torsion en P. Pour résoudre (1) en utilisant les équations (2), on suppose que les déplacements du cylindre peuvent être dx2 K _ 1 d (1 du3 - u3) 2 a of ad ad d (du3 - u) a dx of 3) are the surface and torsion curves in P. To solve (1) using equations (2) it is assumed that the movements of the cylinder can be
écrits sous la forme modale.written in the modal form.
u1 = "U1(x)cos n i sin wt u2= CU2(x) sin n O sinwut (3) u3 = 4U3(x) cos n 9 sin t u1 = "U1 (x) cos n i sin wt u2 = CU2 (x) sin n O sinw (3) u3 = 4U3 (x) cos n 9 sin t
o West la fréquence naturelle, n est le nombre de mode cir- o West the natural frequency, n is the number of cir-
conférentiel et U. (x) sont des fonctions qui décrivent la i manière dont les déplacements varient le long de la longueur conferential and U. (x) are functions that describe the way in which displacements vary along the length
du cylindre. En choisissant U3(x) tel que U3(1) = 1, la quan- of the cylinder. By choosing U3 (x) such that U3 (1) = 1, the quantity
tité q à interpréter est l'amplitude du déplacement radial q to interpret is the radial displacement amplitude
à x =.at x =.
Si les équations (2) et (3) sont substituées dans l'équation (1) et que l'on applique le calcul des variations, les équations différentielles pour Ui(x) et les conditions i limites relatives à la fixité du cylindre pour x = 0 sont déterminées. Les équations pour U. sont: I d2 U + d3 + n(1 +0 dU2 (1-U)n2U1 + a3 (1 -U)w2 UI+0 de d2 dt 2 E I - 0 I -U h 2 dU n2 h 2 { 1 + ___} - (n2 +_ (_)) U2 2 t a d42 12 a (1 +u) n dU + (2- ') n (h) 2 d2U{n+ n3 (h)2 3 2 d.12 a d2 12 a + Pa2 (1-u 2)W 2U2= 0 E n2 h d2U n4 h z (2-à)n h d2U 1-h)2n() 2d3 + (1 +))U (y t - - (..)Z z3 + _(h))%J3 12 a 6 a d. 2 12 a 12 a d + (n + (n) U2 + s aU- pa (1 - u 2) w2U3 0 (4) 12 a d E If equations (2) and (3) are substituted in equation (1) and the calculation of the variations is applied, the differential equations for Ui (x) and the limiting conditions relating to the fixity of the cylinder for x = 0 are determined. The equations for U. are: I d2 U + d3 + n (1 +0 dU2 (1-U) n2U1 + a3 (1 -U) w2 UI + 0 of d2 dt 2 EI - 0 I -U h 2 dU n2 h 2 {1 + ___} - (n2 + _ (_)) U2 2 ta d42 12 a (1 + u) n dU + (2- ') n (h) 2 d2U {n + n3 (h) 2 3 2 d.12 to d2 12 a + Pa2 (1-u 2) W 2U2 = 0 E n2 h d2U n4 hz (2-to) nh d2U 1-h) 2n () 2d3 + (1 +)) U (yt - - (..) Z z3 + _ (h))% J3 12 to 6 a d. 2 12 to 12 a d + (n + (n) U2 + s aUpa (1 - u 2) w2U3 0 (4) 12 a d E
11
a Pour un cylindre fixé rigidement à x = 0 et libre à x = ú, les solutions de l'équation (4) doivent satisfaire les conditions limites: U1 =0 a For a cylinder rigidly fixed at x = 0 and free at x = ú, the solutions of equation (4) must satisfy the limiting conditions: U1 = 0
U2 0U2 0
U - 0U - 0
U3 0U3 0
dU3 0dU3 0
- = 0 à =0- = 0 to = 0
et --d1 + (U3 + nU2) = 0 d'3 2 d% dU2u I1n dU dU d-U2 - nU1 ± 1 2n -3 + 2) =0 (5) 0 3 ddU d2__3 -) n(nU3 + U2) = 0 3U UU3 + dU d3U3 - (2) n ( dU + d = = d k3 d%----)= à =-t Si la flexibilité de la base est introduite pour permettre la liberté de rotation du cylindre, la condition dU3 = 0 est d% remplacée par d2 U + -3 = vn(nU3 U2) d2 2 La solutionàl'équation (4) est prise sous la forme Uj() = Aj exp (X) j 1,2,3 (6) and --d1 + (U3 + nU2) = 0 of 3 2 d% dU2u I1n dU dU2 - nU1 ± 1 2n -3 + 2) = 0 (5) 0 3 ddU d2__3 -) n (nU3 + U2) = 0 3U UU3 + dU d3U3 - (2) n (dU + d = = d k3 d% ----) = at = -t If the flexibility of the base is introduced to allow the freedom of rotation of the cylinder the condition dU3 = 0 is replaced by d2 U + -3 = vn (nU3 U2) d2 2 The solution to equation (4) is taken as Uj () = Aj exp (X) j 1,2, 3 (6)
o Aj et > sont des constantes inconnues. o Aj and> are unknown constants.
La substitution dans les équations différentielles (4) donne trois équations linéaires simultanées de la forme Lij (, u) Aj = 0, i = 1,2,3 (7) = 1 The substitution in the differential equations (4) gives three simultaneous linear equations of the form Lij (, u) Aj = 0, i = 1,2,3 (7) = 1
o les éléments de la matrice L sont des fonctions des pro- o the elements of the matrix L are functions of the pro-
priétés matérielles P. E et Y et du paramètre non dimension- material properties P. E and Y and the non-dimensional parameter
hh
nel (a) du cylindre.nel (a) of the cylinder.
Le paramètre > suit à partir de l'équation (7) sur les racines d'un polynome réel de quatrième ordre en 2 correspondant à det (Lij) = 0 (B) Pour chaque terme XK (K = 1...B) déterminé à partir de l'équation (8), les rapports B1 = A1/A3 et B2 = A2/A3 sont The parameter> follows from equation (7) on the roots of a real fourth order polynomial in 2 corresponding to det (Lij) = 0 (B) For each term XK (K = 1 ... B) determined from equation (8), the ratios B1 = A1 / A3 and B2 = A2 / A3 are
trouvés par substitution dans l'équation (7). found by substitution in equation (7).
La solution de l'équation (6) pour chaque Xve est alors superposée pour donner: Uj (t) = SajK KK expe) j = 1,2,3 (9) K=1 o a j j = 1,2 ajk j 3 The solution of equation (6) for each Xve is then superimposed to give: Uj (t) = SajK KK expe) j = 1,2,3 (9) K = 1 o a j j = 1,2 ajk j 3
et C sont des constantes inconnues.and C are unknown constants.
kk
Les conditions de fixation aux extrémités du cylin- The fixing conditions at the ends of the cylinder
dre sont maintenant utilisées pour déterminer Ck. La substi- dre are now used to determine Ck. The substitute
tution de l'équation (9) dans l'équation (5) donne un jeu de huit équations linéaires simultanées de la forme Pi; Cj = 0 i = 1....B (10) j=l des solutions non triviales pour C. ne sont possibles que si det (Pij) = 0 (11) La fréquence naturelle tu et les facteurs XK sont déterminés à partir de la solution simultanée des équations (B) et (11), The construction of equation (9) in equation (5) gives a set of eight simultaneous linear equations of the form Pi; Cj = 0 i = 1 .... B (10) j = l non-trivial solutions for C. are possible only if det (Pij) = 0 (11) The natural frequency tu and the factors XK are determined from of the simultaneous solution of equations (B) and (11),
ce qui ne peut être fait que numériquement. - which can only be done numerically. -
Lorsqu'on a trouvée etc K, les rapports Ck/C8 sont When we have found etc. K, the Ck / C8 ratios are
calculés à partir de l'équation (10). calculated from equation (10).
La fonction U. peut alors être interprétée comme les formes de mode axial et elle peut être écrite sous la forme: U () = ab exp (Ak) j =1,2,3 (12) K=l ob cK/8 h = 1..... 7 A12 o bK = K The U. function can then be interpreted as the axial mode forms and it can be written in the form: U () = ab exp (Ak) j = 1,2,3 (12) K = 1 ob cK / 8 h = 1 ..... 7 A12 o bK = K
Le paramètre est choisi pour donner U3 (-)= 1. The parameter is chosen to give U3 (-) = 1.
Un programme d'ordinateur peut être écrit afin de résoudre les équations (8) et (11) et afin de déterminer les fonctions Uj() Afin de s'assurer de la capacité des transducteurs piézo-électriques d'attaquer le cylindre et de fonctionner comme capteurs,il est nécessaire de déterminer, en utilisant les équations (2) et (12) la contrainte directe Exx et A computer program can be written to solve equations (8) and (11) and to determine the functions Uj () to ensure the ability of the piezoelectric transducers to attack the cylinder and operate as sensors, it is necessary to determine, using equations (2) and (12) the direct Exx stress and
ú@B en certains points de la surface extérieure du cylindre. ú @ B at certain points on the outer surface of the cylinder.
Ces contraintes sont données par: Exx = Sli l K1 xx Il 2 I (13) These constraints are given by: Exx = Sli l K1 xx Il 2 I (13)
ú&S = S22 2 2Kú & S = S22 2 2K
et elles sont des fonctions de x et 2 sous la forme Exx = ixx cos n ( (1 4) Eeg = 9@ cos n a Les quantités Exx et e99 peuvent tre calculées dans un and they are functions of x and 2 in the form Exx = ixx cos n ((1 4) Eeg = 9 @ cos n a The quantities Exx and e99 can be calculated in a
programme d'ordinateur.computer program.
En utilisant l'analyse ci-dessus, pour un cylindre d'acier (E = 210 x 109 n/m2 et V = 0,3) ayant h = 0,5 mm, a = 6,25 mm et. = 12 mm, une extrémité étant rigidement fixée sur la base, on trouve que la fréquence naturelle f du mode n = 2 est de 22,8 kHz. Les déplacements du cylindre (formes de mode) et les distributions de contraintes directes le long de l'axe du cylindre sont tels que représenté sur les figures 5 et 6. La fonction de"dilatation"(Exx + Ag@), qui concerne le couplage piézo-électrique selon le mode vibration Using the above analysis, for a steel cylinder (E = 210 x 109 n / m2 and V = 0.3) having h = 0.5 mm, a = 6.25 mm and. = 12 mm, one end being rigidly fixed on the base, we find that the natural frequency f of the mode n = 2 is 22.8 kHz. The displacements of the cylinder (mode shapes) and the direct stress distributions along the axis of the cylinder are as shown in FIGS. 5 and 6. The "expansion" function (Exx + Ag @), which concerns the piezoelectric coupling according to the vibration mode
est telle que représentée sur la figure 7. is as shown in Figure 7.
Pour un cylindre similaire avec son extrémité côté base articulée par rapport à ladite base plutôt que rigidement fixée sur cette base, la fréquence naturelle de For a similar cylinder with its base end hinged to said base rather than rigidly attached to this base, the natural frequency of
vibration est de 8 kHz et les déplacements et les distribu- vibration is 8 kHz and the movements and
tions de contraintes sont tels que représentés sur les constraints are as represented on the
figures 8 et 9.Figures 8 and 9.
De ce qui précède, l'importance de la rigidité de la partie de base et son effet sur les caractéristiques vibratoires du cylindre sont clairement démontrées. Du fait que la partie cylindrique 3 doit être produite avec des caractéristiques dynamiques reproductibles, on peut voir From the foregoing, the importance of the rigidity of the base portion and its effect on the vibratory characteristics of the cylinder are clearly demonstrated. Since the cylindrical part 3 has to be produced with reproducible dynamic characteristics, we can see
que la base 5 doit être étudiée de telle façon que la rigi- that base 5 should be studied in such a way that the rigidity
dité de la base ne dépende pratiquement que des propriétés du matériau plutôt que de la forme exacte de la structure de support, c'est-à-dire que la base doit être suffisamment The basis of the base depends essentially on the properties of the material rather than the exact shape of the support structure, ie the base must be sufficiently
massive pour fixer l'extrémité adjacente de la partie cylin- to fix the adjacent end of the cylindrical portion
drique de manière rigide, comme illustré sur la figure 1. dries rigidly, as shown in Figure 1.
A cet effet, la partie de base 5 ferme de préférence l'extré- For this purpose, the base part 5 preferably closes the end.
mité de la partie cylindrique 3 et, par conséquent, elle présente une surface de section au moins aussi grande que of the cylindrical portion 3 and therefore has a cross-sectional area at least as large as
celle de la partie cylindrique 3.that of the cylindrical part 3.
En ce qui concerne les positions des transducteurs, les possibilités du détecteur peuvent être supposées comme suit: L'ensemble d'attaque formé par les transducteurs With regard to the positions of the transducers, the possibilities of the detector can be assumed as follows: The driving assembly formed by the transducers
piézo-électriques 7 fixés à la surface de la partie cylin- piezoelectric devices 7 fixed to the surface of the cylindrical part
drique 3 peut être pris en compte en considérant le travail effectué par un transducteur 9 dans l'excitation selon le mode n = 2. En utilisant les résultats donnés dans un livre intitulé "Design of Resonant Piezoelectric Transducers" par R. Holland et E.P. Eer Nisse publié par MIT Press, on peut 3 can be taken into account considering the work done by a transducer 9 in excitation mode n = 2. Using the results given in a book entitled "Design of Resonant Piezoelectric Transducers" by R. Holland and EP Eer Nisse published by MIT Press, one can
montrer que la fonction de travail W associée à un transduc- show that the work function W associated with a transduc-
teur 9 peut être écrite sous la forme W = ave rA(e xx + E..)dxdG = avef (Cxx + eg)dxf cos2 8dE (15) 9 can be written as W = ave rA (e xx + E ..) dxdG = avef (Cxx + eg) dxf cos2 8dE (15)
o V est la tension appliquée, e est le coefficient de cou- o V is the applied voltage, e is the coefficient of
plage piézo-électrique, A est la surface du transducteur et piezoelectric range, A is the surface of the transducer and
(E X,óBB) représente les contraintes directes dans le transduc- (E X, бBB) represents the direct stresses in the transduc-
teur. Pour interpréter l'équation (15), on supposera que le transducteur est mince et que les contraintes sont les mêmes tor. To interpret Equation (15), assume that the transducer is thin and the constraints are the same
que celles intervenant sur la surface du cylindre. than those intervening on the surface of the cylinder.
En clair, le couplage selon le mode est déterminé par les valeurs des intégrales f (Exx + eB)dx et r cos 29dO et, pour un couplage maximum, ces valeurs doivent être Clearly, the coupling according to the mode is determined by the values of the integrals f (Exx + eB) dx and r cos 29d0 and, for a maximum coupling, these values must be
aussi grandes que possible.as big as possible.
Pour chaque transducteur 9, on a fcos 29d2, o a est l'angle au centre sous-tendu par le transducteur. Du For each transducer 9, we have fcos 29d2, where a is the center angle subtended by the transducer. Of
fait que huit transducteurs 9 sont fixés autour de la cir- eight transducers 9 are fixed around the cir-
conférence de la partie cylindrique 3, a est limité à 121<45'. conference of the cylindrical part 3, a is limited to 121 <45 '.
Pour un couplage maximum, g doit être proche de 45'. For maximum coupling, g must be close to 45 '.
Pour un angle aussi grand, les transducteurs 9 doivent être courbés, avec une courbure complémentaire de celle de la partie 3. On peut obtenir ce résultat, par exemple, en fixant For such a large angle, the transducers 9 must be curved, with a curvature complementary to that of part 3. This result can be obtained, for example, by fixing
tout d'abord un anneau polarisé radialement de matériau piézo- first a radially polarized ring of piezo material
électrique sur la surface de la partie cylindrique 3, puis on the surface of the cylindrical part 3, then
en formant les transducteurs 9 au moyen d'encoches équidis- by forming the transducers 9 by means of equidistant slots
tantes sur l'anneau selon des incréments de 45'. aunts on the ring in increments of 45 '.
La longueur axiale d'un transducteur 9 et sa posi- The axial length of a transducer 9 and its position
tion sur la partie cylindrique 3 par rapport à la partie de base 5 pour un couplage maximal sont déterminées par la valeur de f ( xx + eBC)dx. La figure 7 représente la manière dont la fonction de.dilatation (e xx + CES) varie le long de la longueur du cylindre pour un cylindre d'acier ayant les dimensions a = 6,25 mm, h = 0,5 mm, 1 = 12 mm. Sa forme indique que le couplage peut être amené à une valeur optimale selon l'une des deux manières suivantes: 1 ) Si l'arête inférieure d'un transducteur 9 est alignée avec l'extrémité du cylindre 3, la figure 7 montre que sa longueur peut être augmentée jusqu'à une valeur qui amène son arête supérieure à un point X o E xx c09est égal on the cylindrical portion 3 with respect to the base portion 5 for maximum coupling are determined by the value of f (xx + eBC) dx. Fig. 7 shows how the function of dilation (e xx + CES) varies along the length of the cylinder for a steel cylinder having dimensions a = 6.25 mm, h = 0.5 mm, 1 = 12 mm. Its shape indicates that the coupling can be brought to an optimum value in one of two ways: 1) If the lower edge of a transducer 9 is aligned with the end of the cylinder 3, Figure 7 shows that its length can be increased to a value that brings its edge higher than a point X o E xx c09is equal
à zéro. Dans ce cas, f(exx +4e)dx sera négatif. La vérifi- to zero. In this case, f (exx + 4e) dx will be negative. The verification
cation des termes Lxx et e5e pour cette région montre que la contrainte axiale est généralement plus grande que la contrainte circonférentielle et que le mode est excité en introduisant des contraintes de courbure "en balancier" le long de la longueur du cylindre; 2') Cas o l'arête supérieure du transducteur cation of the terms Lxx and e5e for this region shows that the axial stress is generally larger than the circumferential stress and that the mode is excited by introducing "pendulum" bending stresses along the length of the cylinder; 2 ') Case where the upper edge of the transducer
est alignée avec la partie supérieure du cylindre 3. Sa lon- is aligned with the upper part of the cylinder 3. Its length
gueur peut alors être augmentée jusqu'à son arête inférieure can then be increased to its lower edge
au point X. Dans cette situation, les contraintes circon- In this situation, the constraints circumscribe
férentielles sont dominantes et le mode est excité en intro- are dominant and the mode is excited by introducing
duisant des contraintes de courbure circonférentielle qui circumferential curvature constraints that
tendent à distordre la section circulaire du cylindre. tend to distort the circular section of the cylinder.
Le dernier cas ci-dessus (2') constitue bien entendu The last case above (2 ') is of course
l'arrangement usuel connu.the usual arrangement known.
On peut voir que pour des transducteurs dont la lon- It can be seen that for transducers whose length
gueur atteint environ 3 mm, le mode est mieux excité en plaçant les transducteurs à la base du cylindre 3 adjacente à la partie de base 5. Le couplage selon le mode est alors environ 20 % supérieur par rapport à l'arrangement du cas As it reaches about 3 mm, the mode is better excited by placing the transducers at the base of the cylinder 3 adjacent to the base portion 5. The mode coupling is then about 20% greater than the case arrangement
2') ci-dessus.2 ') above.
Le fait de placer les transducteurs 9 de manière Positioning the transducers 9 so
adjacente à la partie de base 5 présente l'avantage supplé- adjacent to the base part 5 has the added advantage
mentaire de ne pas nécessiter de conducteurs longs destinés to avoid the need for long drivers
à connecter les transducteurs au circuit associé. to connect the transducers to the associated circuit.
Il y a lieu de noter que la discussion ci-dessus s'applique aussi bien à la situation o les transducteurs induisent des vibrations et à la situation o les transducteurs agissent It should be noted that the above discussion applies equally well to the situation where the transducers induce vibrations and to the situation where the transducers act.
comme capteurs pour détecter des vibrations. as sensors to detect vibrations.
L'analyse ci-dessus indique en outre que lorsqu'on The above analysis further indicates that when
applique une accélération linéaire le long d'un axe perpen- applies linear acceleration along an axis
diculaire à l'axe de détection, on produit des déplacements de la forme générale: U1: Ux(x,t) cos 9 D5 U2 Uy(x,t) sin (16) 2 y (16) U3 = Uz(x,t) cos 2 Du fait de cette variation avec 9, ce mouvement est dice to the detection axis, displacements of the general form are produced: U1: Ux (x, t) cos 9 D5 U2 Uy (x, t) sin (16) 2 y (16) U3 = Uz (x, t) cos 2 Because of this variation with 9, this movement is
orthogonal par rapport à la vibration de détection princi- orthogonal to the main detection vibration
pale du cylindre 3. Les fonctions Ux, U et U dépendent y z 3. The Ux, U and U functions depend on z
de la forme détaillée de l'accélération, c'est-à-dire cons- the detailed form of acceleration, that is to say,
tante ou harmonique. On peut conclure cependant à partir des équations 16 que ces déplacements ne forment que des termes d'erreur, c'est-à-dire produisent un signal de sortie 15. qui n'est pas distingable de celui formé par une vitesse aunt or harmonic. However, it can be concluded from equations 16 that these displacements only form error terms, that is to say produce an output signal that is not distinguishable from that formed by a speed
de rotation si les deux conditions suivantes sont satis- of rotation if the two following conditions are satisfied
faites: (a) l'accélération présente un contenu harmonique au voisinage immédiat de la fréquence de fonctionnement du cylindre (b) les transducteurs capteurs sont physiquement do: (a) the acceleration has a harmonic content in the immediate vicinity of the operating frequency of the cylinder (b) the sensor transducers are physically
désalignés ou déséquilibrés électriquement. misaligned or unbalanced electrically.
Une accélération constante n'engendrera par consé- Constant acceleration will not result in
quent pas d'erreurs de type "g" de la même façon que le dis- no "g" type errors in the same way as
positif usuel de détection de vitesse angulaire de roue gyroscopique. usual positive angular velocity detection of gyroscopic wheel.
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