ES2322120B1 - Metodo y sistema para analisis de singularidades en señales digitales. - Google Patents
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Abstract
Método y sistema para análisis de singularidades
en señales digitales.
El método propuesto comprende determinar para
cada punto de la señal un entorno que comprende los primeros
vecinos y calcular para cada punto de la señal una medida de
reconstructibilidad, o medida de singularidad, ponderando las
contribuciones de dicho entorno local del punto. El valor de la
señal en cada punto se infiere a partir de los valores de la señal
en los puntos del entorno local utilizando una fórmula de
reconstrucción. La medida de singularidad incluye la diferencia
entre el valor de la señal en el punto y el valor estimado por su
entorno local. Sobre dicha medida de singularidad se realiza una
transformación logarítmica con el fin de obtener una medida
independiente de la amplitud de la señal digital muestreada y que
varíe de una manera controlada bajo cambios de resolución.
Se propone un sistema con medios para obtener
para cada punto dicha medida de singularidad y para realizar la
referida transformación logarítmica y otros cálculos.
Description
Método y sistema para análisis de singularidades
en señales digitales.
La presente invención concierne al análisis de
señales digitales, es decir señales que están muestreadas a
intervalos regulares, aplicando para la puesta en práctica del
método propuesto análisis de wavelets (ondículas o pequeñas ondas)
que permite identificar algunos subconjuntos de puntos particulares
en el espacio a una escala y posición que son más informativos
acerca de la señal que otros.
La invención hace referencia igualmente a un
sistema para la implementación del método propuesto.
En esta memoria descriptiva se entenderá como
señal digital cualquier colección estructurada de datos muestreada
uniformemente que se pueda representar mediante una matriz
multidimensional cuyas posiciones se denominan puntos de la
señal.
La invención aporta técnicas y herramientas
útiles para el procesado, reconstrucción y compresión de señales
digitales a partir de información parcial acerca de su gradiente y
en particular operando sobre la base de medidas basadas en
gradientes obtenidos por incrementos finitos. Dichas técnicas y
herramientas son implementables de manera ventajosa mediante
algoritmos automáticos materializados en programas de ordenador
ejecutables en entornos computacionales.
La invención, dada la gran eficiencia que
proporciona principalmente en tareas de reconstrucción de señales
digitales, en particular representativas de imágenes, encuentra
aplicación en numerosos campos entre los cuales cabe citar como
aplicaciones específicas la compresión de señales digitales
(incluyendo la compresión de imagen) y la evaluación de líneas de
flujo en señales referidas a fluidos (incluyendo la determinación
de líneas de corriente en imágenes de fenómenos físicos); y como
aplicaciones más generales la detección de estructuras y el
reconocimiento de patrones en imágenes de entornos reales tales
como imágenes fotográficas, geofísicas, biomédicas y de
otros
tipos.
tipos.
La invención concierne señales definidas en
cualquier número de dimensiones, aunque una vez descrito el método
para un número determinado de dimensiones (por ejemplo dos),
resultará bastante evidente para un experto en el sector
generalizarlas para señales definidas en cualquier número de
dimensiones. Por ello, en aras de simplicidad, muchas de las
ecuaciones y derivadas presentadas a lo largo de esta memoria
descriptiva se han escrito para señales 2D, es decir
bidimensionales, susceptibles de constituir elementos tales como
imágenes. Sin embargo, también se han obtenido resultados útiles en
otros números de dimensiones y en particular en el procesamiento
de señales 1D, como las series temporales de la bolsa (ver
referencias [16], [17]).
Las patentes
US-A-5901249,
US-A-6141452 y
US-A-6865291 se refieren a técnicas
de compresión de señales digitales utilizando análisis de
wavelets.
La patente
US-A-6434261 describe un método para
detección y segmentación de imágenes digitales para localizar
objetivos en dichas imágenes basado en una determinación de un
umbral adaptativo para realizar un análisis de wavelets de las
imágenes digitales que son descompuestas en diferentes canales de
escala.
La patente
US-A-7181056 concierne a un método
para la detección automática de regiones de interés en una imagen
digital representativa de al menos una porción de un tejido
biológico, en donde se genera una representación basada en wavelets
de las regiones a explorar.
La patente
US-A-7062085 se refiere a un método
para detectar aspectos en regiones de imágenes en color en donde se
hace referencia a unas características de textura materializadas
mediante coeficientes derivados de una transformada wavelet basada
en análisis de multiresolución de la imagen digital en color.
La solicitud de patente
US-A-2005/0259889 hace referencia a
un método para la eliminación de ruido de una imagen radiológica
comprendiendo la aplicación de una transformación wavelet compleja
a la imagen portadora de un motivo, operando con los coeficientes
wavelet para reducir el ruido.
La solicitud de patente
WO-A-2004/068410 concierne a un
método para la detección de puntos de interés en una imagen digital
que implementa una transformación wavelet, asociando una imagen
sub-muestreada con una imagen origen.
El análisis de singularidad (ver referencia
[14]) que implementa el concepto de caracterizar el comportamiento
local de una función f(x) estimada en R^{m} y definida
sobre R^{d} alrededor de cada uno de sus puntos de dominio
x de acuerdo con el denominado exponente de singularidad de
Hölder o, exponente Hurst denotado por h(x), es muy
útil para muchas tareas de procesado de señales, y en particular,
es muy relevante para fines de compresión y como herramienta de
reconocimiento de patrones, y, dependiendo del contexto, puede ser
utilizado también para revelar información sobre la evolución y
dinámica de señales complejas.
La patente
US-A-6745129 concierne a un método
basado en wavelets para el análisis de singularidades en datos
sísmicos a partir del procesado de una serie temporal representativa
de un registro del fenómeno. El objeto de esta patente es calcular
el exponente de Hölder sobre registros sísmicos a través de una
transformada de wavelet continua. Mediante ese método, al realizar
el análisis de la señal (según se muestra en la Figura 2b de dicha
patente), se producen inestablilidades que repercuten tanto en la
resolución espacial como en la calidad de la determinación del
exponente de Hölder de cada punto (ver discusión de esta cuestión en
la referencia [11]). Esta problemática imposibilita de hecho la
utilización del método de la
US-A-6745129 para tareas de
reconstrucción de señales digitales a diferencia de las propuestas
del método de la presente invención. La presente invención
proporciona una determinación más precisa de los exponentes de
singularidad, tanto en cuanto a su posición, como en cuanto a su
valor. La diferencia de precisión entre la presente invención y la
US-A-6745129 es debida al uso de
medidas de gradiente (que elimina las fluctuaciones indeseables
asociadas a las wavelets complejas (ver referencia [17]) y también
por incorporar dicha medida un indicador del grado de
reconstructibilidad. En base a lo anterior, la presente invención
permite además reconstruir una señal con gran calidad a partir de
información parcial, al contrario del método de la patente
US-A-6745129 (ver referencia
[11]).
Dentro del campo del análisis de señales basado
en wavelets y en particular aplicado al procesado de señales
digitales uno de los métodos utilizados más conocidos es el
denominado Máximos del Módulo de la Transformada de Wavelet
(conocido como WTMM, por sus siglas en inglés) que está determinado
por el máximo local de las proyecciones de wavelet. Mallat y Zhong
(ver referencias [4], [5] y [6]) conjeturaron que este conjunto
puede ser utilizado para reconstruir de manera completa la señal.
Con posterioridad se ha verificado que el conjunto conduce a una
señal atenuada y que se han de introducir varios coeficientes
empíricos para poder reproducir las amplitudes correctas de la
señal. Desde la publicación del documento de Mallat y Zhong ha
habido múltiples intentos de obtener reconstrucción de alta calidad
a partir de WTMM. En cualquier caso, lo mas interesante acerca del
método WTMM es que en el caso de imágenes la mayor cantidad de
líneas están concentradas alrededor de los bordes y contornos; y
puesto que desde hace años se conoce (ver referencia [7]) que los
bordes y contornos contienen la mayoría de la información de una
escena visual, el WTMM se ha evidenciado como un buen candidato
para extraer información perceptual (bordes) utilizando un
algoritmo automático canónico basado en dicho método.
Otra rama de investigación también centrada en
el uso del WTMM fue iniciada por Arneodo y colaboradores (ver
referencias [1] y [2]) que reconocieron la capacidad de que el WTMM
pueda tratar con señales multiescala, centrando sus estudios en
sistemas en los que se conocía que presentaban propiedades de
invariancia de escala, tales como flujos turbulentos y sistemas
caóticos.
El principal inconveniente de todas las
propuestas basadas en el WTMM es la imposibilidad de extraer de
manera sistemática los máximos cuando éstos se acumulan
(topológicamente), situación que ocurre siempre cuando se trata de
señales reales, como se discute en [17]. En [10] se estudió el
problema y se propusieron soluciones parciales.
Al margen del uso del WTMM, se conocen en este
campo de la técnica las investigaciones recientes del presente
inventor, A. Turiel, relativas al análisis de singularidades basado
en medidas de gradiente. En dichos trabajos se define la medida de
gradiente \mu asociada a una señal s(x) sobre un
conjunto arbitrario A como la integral del módulo de gradiente
sobre ese conjunto:
Dichas investigaciones de A. Turiel muestran que
cuando se trabaja sobre datos reales, discretizados y con ruido,
es necesario operar con transformadas de wavelets de las medidas de
la manera siguiente: dada una wavelet \Psi, la transformada de
wavelet de la medida de gradiente \mu a una escala r y en un
punto x viene dada por la expresión:
donde d es la dimensión de
la
señal.
La transformada de wavelet de la medida \mu
permite determinar el exponente de singularidad local, ya que el
término dominante cuando la escala r es pequeña depende de
r como una ley de potencias (ver referencia [14]).
Con la introducción de medidas de gradiente es
posible mejorar la resolución espacial de los exponentes de
singularidad (ver referencias [11] y [14]). De este modo en lugar
de tener un exponente de singularidad cada diez píxeles o de
precisar un control de las oscilaciones debidas a la wavelet, es
posible asignar un exponente de singularidad a cada pixel con un
mínimo de dispersión del punto. Se aprecia que existen diferencias
en las capacidades de resolución de las diferentes wavelets, por lo
que se ha reconocido la necesidad de buscar una wavelet optimizada
apta para tratar con datos discretizados.
Un elemento importante en la construcción de
wavelets con capacidad de resolución optimizada es el concepto de
reconstrucción de señales a partir de información parcial acerca de
su gradiente. Los planteamientos teóricos e implementaciones
prácticas acerca de un algoritmo de reconstrucción de gradiente
aparecen introducidos en la referencia [12], donde se presenta una
discusión acerca de la estructura de señales multifractales (ver
referencias [8], [3] sobre la estructura multifractal de los
fluidos turbulentos). Para señales con estructura multifractal, el
conjunto asociado al vértice superior de la jerarquía es bien
conocido, al menos desde un punto de vista teórico, y se denomina
la Variedad Más Singular (MSM, por sus siglas en inglés), que es
el conjunto que comprende los puntos con valores más singulares (es
decir, más negativos) de h (x).
En la referencia [12] antes mencionada se
sostuvo la tesis de que la MSM contiene suficiente información para
reconstruir de manera completa la señal, analizándose la
reconstrucción de imágenes, aunque las fórmulas son válidas para
cualquier número de dimensiones. La fórmula de reconstrucción que
se obtuvo en [12] para dominios infinitamente grandes es la
siguiente:
donde:
- s es una señal dada,
- 5 es la variedad más singular
o MSM de dicha señal s
- 6 es el vector de gradiente
esencial de s, es decir, el gradiente restringido a la MSM,
cuyas componentes son
- 1000 es el kernel vectorial de
reconstrucción universal, que en el espacio de Fourier viene dado
por la expresión:
y
- la notación \bullet significa producto
escalar de convolución, es decir,
9 , donde
* significa el producto de convolución ordinario de funciones.
De los estudios realizados por el presente
inventor (ver referencia [12]) tomando en consideración las
medidas de gradientes se ha concluido que, de existir, hay
únicamente un posible algoritmo para reconstruir señales a partir
del gradiente basado en MSM en dominios infinitamente grandes.
Asimismo es conocido que el MSM conduce a muy buenas
reconstrucciones con este algoritmo (ver referencias [11] y [12]
para imágenes, y [15], [16] para series temporales).
\vskip1.000000\baselineskip
La presente invención propone un método para
análisis de singularidades en señales digitales que comprende
a) determinar para cada punto de la señal un
entorno de primeros vecinos; y
b) calcular para cada punto x de la señal
una medida de reconstructibilidad o capacidad de reconstrucción que
proporciona el entorno (a la que llamaremos, indistintamente,
"medida de singularidad") a partir del mencionado entorno,
construida a partir de la inferencia del valor de la señal en
x a partir del valor de la señal en los puntos de dicho
entorno de x utilizando la función de reconstrucción
explicada en la referencia [12] e indicada en la fórmula (4)
anterior, pero adaptada al entorno, de manera que se obtiene una
medida de singularidad que contiene la diferencia entre el valor
medido del punto y el valor inferido a partir de su entorno.
El método propuesto comprende además
ventajosamente una tercera etapa c) en la cual se realiza al menos
una transformación logarítmica sobre dicha medida de
reconstructibilidad que suprime la dependencia de la medida del
número total de puntos de la señal, obteniéndose así un exponente
de singularidad para cada punto de la
señal.
señal.
En una realización mejorada el método propuesto
comprende las siguientes etapas:
a1) obtener una función derivada estable de una
señal digital, que está muestreada a intervalos regulares;
b1) obtener para cada punto de dicha señal
digital, una medida de singularidad de la función en ese punto,
ponderando las contribuciones de un entorno local del punto
(utilizando una función de reconstrucción como se ha indicado antes)
y el valor de la derivada en todos los puntos de dicho entorno
local, y
c1) realizar al menos una transformación
logarítmica sobre dicha medida de singularidad con el fin de
obtener una medida independiente de la amplitud de la señal
digital muestreada y que varíe de una manera controlada bajo
cambios de resolución.
La invención comprende también la generalización
de la medida de singularidad según lo descrito en el apartado de
antecedentes anterior, al proponer una nueva medida de singularidad
basada en el conjunto o variedad de puntos impredecibles, UPM por
sus siglas en inglés; es decir, se parte de considerar la
agrupación de todos los puntos impredecibles, en oposición a los
otros puntos que son predecibles.
\vskip1.000000\baselineskip
Figura 1: Izquierda: Imagen original del
MeteoSat, adquirida el 27 de Diciembre de 2004. Derecha:
Singularidades asociadas; los colores más brillantes están
asociados a los valores menores, mientras que los más oscuros se
asocian a valores mayores. En el centro de esta imagen se aprecian
frentes coherentes de ondas de varios cientos de kilómetros de
extensión propagándose hacia el noroeste.
Figura 2: Izquierda: Imagen de una
proliferación de algas en el Lago Mendota (Suiza) en falso color;
Derecha: Singularidades asociadas; los colores más
brillantes están asociados a los menores valores, mientras que los
más oscuros se asocian a valores mayores. El análisis de
singularidades nos permite mejorar la determinación visual de
estructuras.
Figura 3: Arriba: Imagen Original del
canal 80 de LandSat sobre una resolución aparente de 2.5 metros;
Abajo: Singularidades obtenidas después de procesar la
imagen. Los valores menores son representados más brillantes. Se
puede percibir el contorno de algunos barcos y sus estelas así como
algunos frentes de ola.
Figura 4: Arriba: Imagen imk01020.imc de
Hans van Hateren; Medio: Puntos más singulares, MSM; Abajo:
Reconstrucción a partir de la MSM.
Figura 5: Arriba: Mapa de temperatura
superficial del mar obtenido por medio de sensores de microondas
embarcados en satélite el día 1 de Febrero de 2003. Abajo:
Exponentes de singularidad derivados; los valores más singulares
son representados en colores más brillantes.
Figura 6: Arriba: Campo geostrófico de
corrientes derivado por cuatro satélites altimétricos para el día 1
de Febrero de 2003. Abajo: Superposición del campo
geostrófico de corrientes y de las singularidades de la Figura 5,
abajo.
\vskip1.000000\baselineskip
El objeto de la presente invención, tal como se
ha indicado en el apartado anterior, comprende el cálculo de una
medida de reconstructibilidad para calcular de manera precisa los
exponentes de singularidad de una señal digital, y que dichos
exponentes permitan obtener reconstrucciones de gran calidad. Los
requisitos básicos para definir una medida de singularidad \mu
basada en el conjunto de puntos impredecibles UPM son los
siguientes:
- i)
- La medida \mu debe hacer referencia al comportamiento singular local de las funciones.
- ii)
- La medida \mu debe conducir a una variedad más singular MSM tan cercana al conjunto de puntos impredecibles UPM como sea posible.
Las medidas del conjunto de puntos impredecibles
son medidas de singularidad que también tienen en cuenta el grado
de predecibilidad de los puntos según la ecuación
\vskip1.000000\baselineskip
donde F es la UPM y el
superíndice "c" denota el conjunto complementario, es decir,
los puntos predecibles; esta ecuación (5) es una consecuencia de la
ecuación (4) tal como se describe en [12]. Por tanto, la ecuación
(5) muestra que la divergencia del gradiente tomado sólo sobre los
puntos predecibles se
anula.
El inventor propone aquí que la mejor manera de
continuar trabajando sobre singularidades es definir las medidas
basadas en el conjunto de puntos impredecibles como proyecciones de
wavelets de medidas de gradiente estándar. De este modo, la medida
del conjunto de puntos impredecibles es una proyección de wavelet
de la medida de gradiente expresamente diseñada, para que se
penalice la impredecibilidad. Ello conlleva generalizar el
concepto de proyección de wavelet, a fin de producir proyecciones
de wavelet con valores vectoriales. El uso de proyecciones de
wavelet con valores vectoriales es bien conocido desde hace algún
tiempo y no introduce especiales complejidades en la forma de
abordar el problema.
Otra diferencia principal en relación con el
análisis de singularidad estándar detallado en los antecedentes
referidos es que en la propuesta de la presente invención no se
realizan proyecciones de wavelet de la medida de singularidad a
diversas escalas r para extraer los exponentes de singularidad
mediante una regresión logarítmica aplicada a la ecuación (3).
\vskip1.000000\baselineskip
Ha de destacarse que proyectar la medida sobre
una wavelet a diversas escalas es costoso en tiempo de computación
y sólo sirve para mejorar la resolución de las estructuras menos
singulares a expensas de empeorar la de las más singulares (véase
la argumentación al respecto en la referencia [17]). Dado que el
objetivo fundamental en relación con la presente invención es
extraer las estructuras más singulares, resulta perjudicial
realizar las proyecciones a lo largo de múltiples escalas; en lugar
de ello, se propone utilizar un estimador puntual (ver referencias
[17], [9]) de los exponentes de singularidad, a saber:
donde {T_{\Psi} \mu (\cdot,
r_{0})} es la media de la proyección de wavelet a lo largo de
toda la señal y sirve para disminuir la amplitud relativa de la
corrección o(1/log r_{0}). Al aplicar la ecuación
(7), se precisa que r_{0} sea lo suficientemente pequeño
para despreciar esta corrección. La escala r_{0} se define
como la menor accesible, es decir, la escala de un pixel.
Convencionalmente se asigna una medida de Lebesgue de 1 a la
totalidad del dominio espacial, con lo que, para el caso de una
imagen de N \times M pixeles, el valor de r_{0} se
fijaría
en:
así que, en general, se precisa que
las imágenes sean lo suficientemente grandes para hacer del primer
término de la parte derecha de la ecuación (7) una buena
aproximación al exponente de singularidad. Esto implica típicamente
tener imágenes de al menos 100 pixeles en una de las
direcciones.
Un aspecto importante de la presente invención
reside en el diseño de wavelets numéricas para implementar medidas
de singularidad basadas en variedades de puntos impredecibles. Más
adelante se presentan dos implementaciones de medidas basadas en
variedades de puntos impredecibles de este tipo, que proporcionan
un buen resultado en aplicaciones prácticas. El diseño está
orientado, en su conjunto, al procesamiento de señales digitales y,
en consecuencia, las wavelets se definen (implícitamente) mediante
unos pesos numéricos, aunque la presentación está basada en una
teoría y es fácil de generalizar a un esquema continuo.
Otro elemento importante del método propuesto
reside en la manera de definir y/o establecer estimaciones
numéricas estables del gradiente \nablas para que el núcleo
de reconstrucción sea estable numéricamente. Para ello se proponen
dos opciones posibles: diferencias de un pixel o punto hacia la
derecha y diferencias de medio pixel, es decir, las diferencias de
valor al desplazarse una posición a la derecha en el primer caso, o
la interpolación equivalente a la diferencia que se obtendría al
desplazarse media posición a la derecha y a la izquierda del punto,
en el segundo caso. Ambas están definidas por núcleos de derivación
descritos en el espacio de Fourier.
Es decir la derivada estable de la etapa al) del
método, antes referida, se obtiene por derivada de incrementos
hacia la derecha de un punto o centrados de medio punto.
En las fórmulas que siguen se caracterizará
\partial_{x}, aunque la caracterización de \partial_{y} es
análoga. Este operador actúa sobre una señal digital multiplicando
simplemente la transformada de Fourier de la señal por el núcleo de
derivación, y luego anti-transformando el
resultado. Se asume que hay N_{x} pixels o puntos en la
dirección x y N_{y} en la dirección y.
Diferencia de un pixel/punto hacia la
derecha:
\vskip1.000000\baselineskip
Diferencia de medio pixel/punto:
Otro aspecto básico del método propuesto
consiste en la introducción del nuevo concepto de transformada de
Fourier en cruz. Para estimar el grado de predecibilidad de un
punto dado, se aplica una fórmula de reconstrucción, que viene
expresada por la siguiente ecuación
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
para el menor número de vecinos
posible de un punto, concretamente sus primeros vecinos. En 2D
(siendo d la dimensión de la señal; por tanto, d = 2
en este caso) esto consiste en 4 puntos vecinos, que forman, junto
con el punto original, una cruz. Para cualquier cantidad
p(x) se representan los vecinos de cualquier punto
x_{0} mediante un vector de 5 componentes que comprende
dicho punto y sus cuatro vecinos más cercanos, siguiendo la
convención de indexación señalada en el siguiente dibujo que
ilustra la representación esquemática de la indexación de los
puntos en la cruz de 2D. De este modo se asignará al punto central
el índice 0, al punto de su derecha el índice 1, al punto de su
izquierda el índice 2, al punto de encima suyo el índice 3 y al
punto de debajo suyo el índice 4. Así, se convierte el entorno de
primeros vecinos del punto en estudio en el vector (p_{0},
p_{1}, p_{2}, p_{3},
p_{4}).
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
Es decir, respecto al centro de la cruz, la
posición del resto de puntos se corresponde con los desplazamientos
de \pm1 (en unidades de punto) ya sea en la dirección x o
en la dirección y. Para definir una transformada de Fourier
especializada o adaptada a esta configuración en cruz, se ha de
tener en cuenta que la frecuencia básica de Nyquist en cada
dirección es de 2\pi/3. Para simplificar la notación se introduce
el elemento complejo básico \zeta:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
Conforme a la invención, se define la
transformada directa de Fourier en cruz de cualquier vector de 5
componentes 1003 como el vector complejo de 5
componentes 1004 obtenido según la siguiente
fórmula:
donde F es la siguiente matriz
compleja de 5 x
5:
\vskip1.000000\baselineskip
Esta matriz representa la combinación lineal de
los armónicos asociados a los desplazamientos en la cruz y está
diseñada para representar con la máxima fidelidad la composición en
el centro de la cruz, a partir de los puntos más cercanos. La
inversa de esta matriz se puede calcular fácilmente,
y esta última matriz es necesaria
para realizar la anti- transformada de Fourier en
cruz.
Se precisa definir implementaciones del
gradiente y la fórmula de reconstrucción restringida a la cruz, a
fin de evaluar rápidamente el grado de predecibilidad del punto
central en función de los vecinos. Por este motivo, esta invención
propone unas implementaciones adecuadas del gradiente y de la
fórmula de reconstrucción de dicho gradiente, sobre la base de la
transformada de Fourier en cruz.
Una primera implementación es la del operador de
gradiente en cruz en funciones de operador de gradiente local, que
es el operador 1005 . En el espacio de Fourier,
dicho operador actúa simplemente multiplicando cualquier función
por las funciones 1006 para obtener las coordenadas
x e y, respectivamente. La función
1007 se define para entornos en cruz como sigue:
y, de manera análoga, se
tiene:
que se definen de tal manera que
representan diferencias de medio pixel; de hecho \sqrt{3} = 2
sin(\pi/3).
Una segunda implementación es la del operador de
reconstrucción en cruz, que es una de las inversas del operador de
gradiente en cruz. Como el operador de gradiente elimina cualquier
constante sumada a cada componente del vector de 5 componentes que
representa los vecinos, la reconstrucción está completamente
definida excepto por un cambio de esa constante; nuestra
implementación del operador de reconstrucción en cruz que se
propone es tal que el vector de 5 componentes resultante tiene una
media de cero, \sum^{4}_{i=0} p_{i} = 0. Por ello, las señales
deben tener la media sustraída antes de aplicarse estos dos
operadores. Para ello se aplican los elementos de matriz de la
primera línea de la transformada de Fourier en cruz inversa para no
introducir armónicos cuando se aplique el operador de
reconstrucción. Como la suma de los elementos de esa primera línea
es (2 \times d) -1 (cuyo resultado es 3 en el caso de
señales 2D), para sustraer la media se suman todos los valores del
vector entorno (primeros vecinos) y se divide por ((2 \times
d) -1), y al resultado se le suma la primera componente del
vector de entorno y se le restan las otras componentes.
La reconstrucción en cruz es el operador
1008 En el espacio de Fourier 1009
tiene dos componentes funcionales, 1010 ; el
operador actúa como la suma del producto de cada componente con la
componente correspondiente (x e y) del gradiente sobre el que
opera. La componente 1011 se define para un entorno
de cruz como sigue:
y, de manera análoga para
1012 ,
De este modo la medida de singularidad definida
en la etapa b1) del método de esta invención puede detallarse
mediante los siguientes pasos para una señal genérica definida en
un espacio de dimensión d arbitraria:
- -
- se extrae el entorno de los (2 \times d) primeros vecinos de un punto de base x, obteniendo los primeros vecinos del punto x, modificando consecutivamente cada uno y sólo uno de los índices de coordenadas de dicho punto x, primero sumando -1 y luego sumando +1, formando un vector de (2 \times d)+1 componentes, cuya primera componente es el valor de la señal en el punto x, la segunda el valor de la señal en el punto obtenido al modificar la primera coordenada sumándole -1, la tercera el valor de la señal en el punto obtenido al modificar la primera coordenada sumándole +1, la cuarta el valor de la señal en el punto obtenido al modificar la segunda coordenada sumándole -1 y así sucesivamente;
- -
- se extrae la tendencia de este vector, que se define como la suma de sus valores dividido por ((2 x d)-1) y esta tendencia se aplica al vector, añadiéndola a la componente referida al punto de base x y sustrayéndola de las otras componentes, de manera que de este modo el nuevo vector obtenido tiene media nula;
- -
- se aplica un operador de gradiente local sobre el citado vector de media nula, lo cual devuelve (2 \times d)+1 vectores de gradiente cada uno de ellos de d componentes, que definen el gradiente local:
- -
- se anulan las componentes de dicho gradiente local asociadas al punto x;
- -
- se aplica al gradiente local, con las componentes anuladas, un operador de reconstrucción asociado unívocamente al citado operador de gradiente local obteniendo un vector de (2 \times d)+1 componentes, que se denomina señal estimada;
- -
- se aplica una vez más el operador de gradiente local sobre dicho vector de (2 \times d)+1 componentes o señal estimada y se obtienen (2 \times d)+1 vectores de d componentes, que definen el gradiente local estimado;
- -
- se obtienen (2 \times d)+1 vectores de d componentes que expresan la diferencia de gradientes entre dicho gradiente local y dicho gradiente local estimado, y a partir de estos (2 \times d) +1 vectores de diferencia de gradientes se obtiene la medida de la singularidad asociada al punto x.
Los operadores de gradiente en cruz y de
reconstrucción en cruz son dos de los procedimientos incluidos en
esta invención susceptibles de implementarse mediante algoritmos
básicos materializados de manera ventajosa en programas de ordenador
ejecutables en un entorno computacional, para el diseño y cálculo
de las medidas de singularidad basadas en variedades de puntos
impredecibles. En particular tales programas o partes de los mismos
pueden incluirse en rutinas almacenadas en microprocesadores o
microchips. Estos operadores pueden simplificarse a una forma
matricial de ((2 \times d)+1) x ((2 \times d)+1),
para una implementación numérica más rápida.
A continuación se describen dos medidas de
singularidad diseñadas de acuerdo con los principios de la presente
invención:
- -
- medida de singularidad de correlación local (lcsm por sus siglas en inglés); y
- -
- medida de singularidad de correlación global (gcsm por sus siglas en inglés)
Ambas medidas pueden implementarse mediante
algoritmos específicos materializados de manera ventajosa en
programas de ordenador ejecutables en un entorno computacional. En
particular tales programas o partes de los mismos pueden incluirse
en rutinas almacenadas en microprocesadores o microchips.
La medida de singularidad de correlación local
se ha concebido para medir la impredecibilidad de un punto dado,
simplemente calculando la diferencia entre el valor real de la
señal sin media (es decir, una vez suprimida la media) en un punto
dado y el valor inferido a partir de sus cuatro vecinos (cuando
d=2). Esta medida tiene como objetivo evaluar
T_{\Psi_{lcsm}}\mu(x_{0},r_{0}) en un punto
dado x_{0} y en el caso d=2 comprende los
siguientes pasos:
- 1.
- Se
convierten los vecinos de x_{0} en un vector de 5
componentes
1013 según el esquema de indexación en cruz del gráfico antes presentado.
- 2.
- Se
rectifica el vector convenientemente: en primer lugar se obtiene
24 , y el vector rectificado,1014 , se define como:
- 3.
- Se aplica el operador de gradiente en cruz a \vec{p} para obtener los vectores \vec{g}_{x} y \vec{g}_{y}.
- 4.
- Se conserva el valor de las componentes asociadas al índice 0 de dichos vectores para su uso posterior, A_{x} = g_{x,0}, A_{y} = g_{y,0}.
- 5.
- Se ajustan dichas dos componentes a cero, g_{x,0} = g_{y,0} = 0.
- 6.
- Se aplica el operador de reconstrucción en cruz a los vectores resultantes \vec{g}_{x} y \vec{g}_{y}, para obtener la señal reconstruida \vec{r}.
- 7.
- Se aplica de nuevo el operador de gradiente en cruz a \vec{r} para obtener los gradientes estimados \vec{\rho}_{x} y \vec{\rho}_{y}.
- 8.
- Se define la medida de singularidad de correlación local como el módulo de la diferencia de los gradientes en cruz en el centro de dicha cruz, a saber:
- De hecho, este último paso significa conservar el módulo de una proyección de wavelet con valores vectoriales, pero para simplificar la notación se deja tal cual está.
- 9.
- A continuación se obtiene el exponente de singularidad h(x_{0}) aplicando la ecuación (7).
Es decir, la medida de la singularidad asociada
al punto x comprende:
- -
- retener de los (2 \times d) + 1 vectores de diferencia de gradiente local obtenidos las d componentes asociadas al punto x, y
- -
- obtener la medida de singularidad como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de estas d componentes
con lo que se obtiene una medida de
singularidad de correlación local apta para medir la
impredecibilidad de un punto
dado.
La medida de singularidad de correlación global
mejora la de correlación local teniendo en cuenta no sólo el tamaño
de las desviaciones entre las señales estimadas y las reales, sino
también la diferencia entre las direcciones de los gradientes
obtenidos. Por este motivo, los datos iniciales no son solamente la
señal s(\vec{x}), sino también el gradiente
\nablas(\vec{x}). Es muy importante proporcionar una
caracterización estable de \nablas(\vec{x}); para ello
se han utilizado los dos núcleos mencionados anteriormente: un
núcleo de diferencias de un pixel hacia delante y un núcleo de
incrementos de medio pixel.
La medida de singularidad de correlación global
tiene una estructura más compleja; sin embargo, el inventor ha
comprobado que es la más eficaz para evaluar singularidades y a la
vez garantizar una gran calidad de reconstrucción. La obtención de
esta medida se realiza en dos etapas: en primer lugar, se obtiene
una diferencia de gradiente para todos los puntos; a continuación,
se construye la medida en cada punto x_{0} combinando las
diferencias de gradiente asociadas a dicho punto y el gradiente
\nablas en cada grupo de vecinos de dicho punto. Esta
medida tiene como objetivo evaluar
T_{\Psi_{lcsm}}\mu(x_{0},r_{0}) en un punto
dado x_{0} y comprende los siguientes pasos:
Primera etapa: obtener las diferencias de
gradiente en cada punto x_{0}.
- 1.
- Se
convierten los vecinos de x_{0} en un vector de 5
componentes
1013 según el esquema de indexación en cruz del gráfico antes presentado.
- 2.
- Se
rectifica el vector convenientemente: en primer lugar se obtiene
26 , y el vector rectificado,1014 , se define como:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
- 3.
- Se aplica el operador de gradiente en cruz a \vec{p} para obtener los vectores \vec{g}_{x} y \vec{g}_{y}.
- 4.
- Se conserva el valor de las componentes asociadas al índice 0 de dichos vectores para su uso posterior, A_{x} = g_{x,0}, A_{y} = g_{y,0}.
- 5.
- Se ajustan dichas dos componentes a cero, g_{x,0} = g_{y,0} = 0.
- 6.
- Se aplica el operador de reconstrucción en cruz a los vectores resultantes \vec{g}_{x} y \vec{g}_{y}, para obtener la señal reconstruida \vec{r}.
- 7.
- Se aplica de nuevo el operador de gradiente en cruz a \vec{r} para obtener los vectores de gradiente estimado \vec{\rho}_{x} y \vec{\rho}_{y}.
- 8.
- Se genera la diferencia de gradiente asociada al punto central, (\varepsilon_{x}, \varepsilon_{y})= (\rho_{x} - A_{x}, \rho_{y} - A_{y}).
Segunda etapa: se evalúa la medida de
singularidad de correlación global combinando las diferencias de
gradiente y los gradientes del grupo de vecinos de cada punto
conforme a los siguientes pasos:
- 1.
- Para cada punto x_{0}, se considera la ventana de 3 x 3 centrada a su alrededor. En esta ventana, cada punto tiene unas coordenadas x_{0}+(d_{x},d_{y}), donde d_{x}, d_{y} pueden tomar los valores -1, 0, 1.
- 2.
- Se calcula la autoproyección de las diferencias de gradientes en esta ventana, S(x_{0}):
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
Es decir, la medida de la singularidad asociada
al punto x comprende:
- -
- tomar el hipercubo d-dimensional que rodea a un punto x dado, formado por los puntos obtenidos cuando se suma -1, 0 ó +1 a los índices de coordenada, lo que proporciona 3^{d} puntos;
- -
- retener para cada punto de dicho hipercubo el vector d dimensional la diferencia de gradiente local de ese punto, y
- -
- sumar estos 3^{d} vectores de d dimensiones, y calcular el producto escalar del vector resultante con el vector d dimensional de diferencia de gradiente asociado al punto x, lo que proporciona un índice de alineación de diferencias de gradiente local.
El índice de alineación de diferencias de
gradiente permite deducir la existencia de una coherencia espacial
entre los errores cometidos al prescindir del punto central cuando
la señal es reconstruida, lo cual permite diferenciar entre ruido
(de orientación aleatoria) y señal coherente.
- 3.
- Se obtiene la energía del gradiente asociada a esta ventana, E(x_{0}):
\vskip1.000000\baselineskip
- 4.
- Se obtiene la energía de diferencia de gradiente del punto x_{0}, e(x_{0}):
- 5.
- Finalmente se define la medida de singularidad de correlación global como:
- En este caso, la definición es mucho más compleja y la linealidad se ha perdido por completo, incluso si se consideran las proyecciones de wavelet con valores vectoriales.
- Se observa que se ha obtenido la energía de gradiente del citado hipercubo como la suma de los módulos al cuadrado de los gradientes de cada punto del hipercubo.
- Por otro lado se observa que la medida de singularidad global es el producto de la medida de singularidad de correlación local obtenida según lo anteriormente explicado, por la raíz cuadrada del valor absoluto del índice de alineación de diferencias de gradiente local dividido por la energía de gradiente del hipercubo.
- 6.
- A continuación se obtiene el exponente de singularidad h(x_{0}) aplicando la ecuación (7).
\newpage
La invención descrita hasta este punto puede
ponerse en la práctica mediante técnicas de computación que se
ejecutaran en unidades operativas o de cálculo. La implementación
del método comprende un sistema para análisis de singularidades en
señales digitales caracterizado por comprender en una versión
básica:
- medios para obtener para cada punto de la
señal un entorno local que comprende los primeros vecinos; y
- medios para calcular para cada punto x
de la señal una medida de reconstructibilidad, o medida de
singularidad, a partir del correspondiente entorno asociado a cada
punto, construida a partir de la inferencia del valor de cada punto
a partir del valor de los puntos de dicho entorno utilizando para
el cálculo la siguiente función o fórmula de reconstrucción
donde
- s es una señal dada,
- 5 es la variedad más singular
o MSM de dicha señal s,
- 1017 es el gradiente esencial
de s,
- \vec{g} es el kernel de reconstrucción
universal, y
- el símbolo \bullet significa producto
escalar de convolución,
conteniendo dicha medida de
singularidad la diferencia entre el valor medido y el valor
inferido para cada
punto.
Conforme a una realización mejorada, el sistema
comprenderá además medios para realizar al menos una transformación
logarítmica sobre dicha medida de reconstructibilidad destinada a
suprimir la dependencia del número de puntos de la señal y
proporcionando un exponente de singularidad para cada punto de la
señal y en general:
medios para obtener una función derivada estable
de una señal digital, muestreada a intervalos regulares;
medios para obtener para cada punto de dicha
señal digital muestreada una medida de singularidad de la función
en ese punto, ponderando las contribuciones de un entorno local del
punto y el valor de la derivada en todos los puntos de dicho
entorno local; y
medios para realizar al menos una transformación
logarítmica sobre dicha medida de singularidad con el fin de
obtener una medida independiente de la amplitud de la señal digital
muestreada y que varíe de una manera controlada bajo cambios de
resolución.
Los citados medios comprenderán en general
unidades de cálculo o de procesamiento de datos integradas en el
sistema o materializadas en forma de circuito integrado o unidad de
procesado dedicada. Las instrucciones para la ejecución de las
etapas del método estarán grabadas en programas cargables en las
unidades operativas o integradas en circuitos electrónicos.
Se detallan a continuación unos ejemplos, que
han de ser tomados a título no limitativo de aplicación del método
conforme a la invención en diferentes campos. Todas las señales
digitales procesadas en los ejemplos siguientes han sido obtenidas
de bases de datos públicas. Dichas señales han sido procesadas
utilizando un programa escrito por el inventor en lenguaje C y
ejecutado en un ordenador personal con sistema operativo Linux. Los
exponentes de singularidad obtenidos han sido convertidos en
imágenes digitales por el mismo programa.
Ejemplo
1
Los exponentes de singularidad permiten
reconocer estructuras muy sutiles que sólo son ligeramente
evidentes en imágenes diferentes. Esto es así porque los exponentes
miden el grado de transición (es decir, su brusquedad) de la señal
en cada punto independientemente de su amplitud real. Esto se puede
utilizar para detectar pequeñas modificaciones en un medio y para
evidenciar la existencia de nuevas estructuras en imágenes. El
rango de aplicaciones cubre todo tipo de imágenes, desde imaginería
médica hasta teledetección, así como para detectar
fotografías
manipuladas.
manipuladas.
En la Figura 1 de los dibujos se indica la
detección de ondas internas oceánicas a partir de una imagen de
satélite MeteoSat (ver referencia [14]). La imagen de la izquierda
muestra una porción de una imagen del canal visible del satélite
MeteoSat V adquirida el 27 de diciembre de 2004 sobre la cresta
submarina de Mascarene (área al Nordeste de Madagascar); la imagen
tiene una resolución de 2.5 kilómetros \times 2.5 kilómetros
aproximadamente, y comprende 500x500 pixels (lo que corresponde a
un área de 1250 km x 1250 km). Las nubes aparecen como áreas
blancas, borrosas, mientras que el mar es el fondo oscuro. La
imagen de la derecha muestra los exponentes de singularidad
asociados; la obtención de los mismos llevó alrededor de 10
segundos en un ordenador portátil con dos procesadores Centrino a
1.8 Mhz (los tiempos de los otros ejemplos están referidos al mismo
ordenador). Además de una estructura más rica asociada a las nubes
y a los flujos atmosféricos, se reveló la existencia de frentes
concéntricos oceánicos de hasta 500 Km. de largo, probablemente
ondas internas, en el centro de la imagen. Hoy en día se sabe que
tener un buen conocimiento de las ondas internas oceánicas es clave
para conocer los procesos de disipación de energía y de mezcla (de
nutrientes, dispersión de contaminantes, etc) en los océanos; a
pesar de ello, existe muy poca información, y poco sistemática,
sobre las zonas del planeta afectadas por estas ondas. Por ejemplo,
las citadas en la imagen de la derecha, a pesar de su enorme
extensión (diversos frentes de hasta 500 km de longitud separados
hasta 300 km) no se habían publicado hasta la fecha.
En la Figura 2 en la parte superior izquierda se
muestra una imagen de una floración de algas en el lago Mendota
(Suiza) en falso color, como una combinación de varios canales para
incrementar los detalles (origen y detalles de procesamiento sobre
la imagen: desconocidos). En la derecha se muestra los exponentes
de singularidad, obtenidos tras apenas 3 segundos de cálculo.
En la Figura 3 se muestra una vista de la bahía
de los Alfacs (NE España, en el Delta del Ebro) registrada por la
banda 80 del LandSat, en fecha indefinida. La resolución de esta
imagen es de 2.5 metros, y la zona representada cubre 500x500
pixels. En la parte de debajo de la figura se muestran los
exponentes de singularidad (tiempo de cálculo: 10 segundos).
Algunos buques apenas evidentes en la imagen de arriba aparecen con
contornos bien cerrados en la imagen de abajo.
Ejemplo
2
Debido a la fórmula de reconstrucción, es
posible regenerar una imagen a partir del conjunto de los puntos
más singulares con gran calidad. Dicho conjunto suele estar
bastante disperso, constituyendo el 20-30% de los
puntos totales. Para completar la descripción, se debe registrar y
almacenar el gradiente sobre dichos puntos, y se debe codificar de
manera compacta. Se ha constatado que los gradientes cambian con
suavidad por las líneas de variedad de puntos impredecibles UPM y
se estima factible poder codificarlos de manera compacta. Por lo
tanto, la reconstrucción de imágenes a partir de la variedad de
puntos impredecibles UPM ha evidenciado tener el potencial de
proporcionar códigos de compresión de alta calidad para
imágenes.
En la Figura 4 en la parte superior se muestra
una imagen de van Hataren identificada en la referencia [18] como
imk01020.imc. Esta imagen ha sido obtenida con una cámara CCD con
distancia focal de 28 mm y está definida por una matriz de 1536
\times 1024 pixels; los datos están codificados como niveles de
gris en 12 bits nominales. La obtención de los exponentes de
singularidad llevó unos 50 segundos. En la parte central de la
figura se muestra el 30% de puntos más singulares. En la parte
inferior se ha reconstruido la imagen a partir de los gradientes
sobre la MSM mostrada en la parte central, obteniéndose una
calidad medida por el Peak
Signal-to-Noise Ratio (PSNR) de 37
dB, el cual indica alta calidad.
Ejemplo
3
Debido a las raíces teóricas en las que se
fundamenta la definición de exponentes de singularidad, los mismos
son particularmente útiles cuando se utilizan para analizar
imágenes de variables escalares en flujos turbulentos. La teoría
predice que las singularidades son advectadas (esto es, arrastradas
por el fluido), cosa que puede utilizarse para trazar las líneas de
corriente. En esencia, se puede seguir el camino de las corrientes
analizando simplemente las imágenes asociadas a la temperatura, la
concentración de clorofila y otros indicadores análogos. Los
resultados de las singularidades derivadas de la temperatura de la
superficie del mar estimados por sensores de microondas (MW SST)
embarcados en los satélites Modis Acqua y TRMM se comparan con los
mapas de altimetría.
Los datos de altimetría son difíciles de
producir y tienen una resolución espacial muy mala, que se ha de
filtrar mediante un filtro de paso bajo. Además, para producir
mapas de altimetría de calidad, se deben combinar diversos
altímetros activos, pero desde 2003 sólo siguen en funcionamiento
dos satélites, y pronto sólo uno de ellos estará activo, o incluso
ninguno. Por el contrario, la MW SST es mucho más económica, se
obtiene sinópticamente en grandes zonas y es fácil de procesar. Tal
como muestra la comparación, las singularidades delinean bastante
bien los patrones de circulación, demostrando que están canalizadas
por el flujo. Por lo tanto, determinar corrientes utilizando el
análisis de singularidades emerge con fuerza como una alternativa
interesante para sistemas oceanográficos operacionales para la
gestión del riesgo mediambiental.
La Figura 5 muestra en la parte inferior los
exponentes de singularidad derivados de una imagen de temperatura
de la superficie del mar (imagen superior) mediante microondas (MW
SST) - AMSR-E-TMI, correspondiente
al 1 de Febrero del 2003 (tiempo de cálculo: unos 5 segundos). La
zona mostrada corresponde a la corriente del Golfo de México. El
mapa de temperaturas está dado en una malla en proyección
cilíndrica con una resolución angular constante de ¼ de grado. En
la Figura 6, arriba, se muestra el campo de corrientes geostrófico
obtenido por la interpolación de cuatro satélites altimétricos; en
la parte inferior de la figura se muestra la superposición de los
dos campos (singularidades de temperatura y campo de velocidades
geostrófico).
Se incluyen a continuación una serie de
referencias a publicaciones científicas del estado de la técnica
que reflejan aspectos explicados en la presente invención.
[1] A. Arneodo. Wavelet analysis of
fractals: from the mathematical concepts to experimental reality. In
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Claims (19)
1. Método para análisis de singularidades en
señales digitales, caracterizado porque comprende las
siguientes etapas:
a) determinar para cada punto x de la
señal un entorno de primeros vecinos o entorno local; y
b) calcular para cada punto x de la señal
una medida de reconstructibilidad, o medida de singularidad, a
partir del entorno local asociado, construida a partir de la
inferencia del valor de la señal en dicho punto a partir del valor
de los puntos de dicho entorno local utilizando la siguiente
fórmula de reconstrucción
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
donde:
- s es una señal dada,
- 5 es la variedad más singular
o MSM de dicha señal s,
- 1017 es el gradiente esencial
de s,
- \vec{g} es el kernel de reconstrucción
universal, y
- el símbolo \bullet significa producto
escalar de convolución
estando dicha fórmula de
reconstrucción adaptada al citado entorno, de manera que la medida
de singularidad contiene la diferencia entre el valor medido y el
valor inferido por la fórmula de
reconstrucción.
2. Método de acuerdo con la reivindicación 1,
caracterizado por incluir además una tercera etapa c) que
comprende realizar al menos una transformación logarítmica sobre
dicha medida de singularidad que suprime la dependencia de la
medida del número de puntos de la señal, obteniendo un exponente de
singularidad para cada punto de la señal.
3. Método de acuerdo con la reivindicación 2,
caracterizado porque comprende, antes de realizar la etapa
a), obtener una función derivada estable de dicha señal digital que
está muestreada a intervalos regulares, y porque en la etapa b)
comprende obtener para cada punto de dicha señal digital muestreada
una medida de singularidad de la función en ese punto, ponderando
las contribuciones de un entorno local del punto y el valor de la
derivada en todos los puntos de dicho entorno local.
4. Método según la reivindicación 3,
caracterizado porque la derivada estable de la señal digital
que precede a la etapa a) se obtiene por derivada de incrementos
de un punto hacia la derecha o incrementos centrados de medio
punto, estando en ambos casos la derivada definida en el espacio de
Fourier por la multiplicación de la señal por los correspondientes
núcleos de derivación, donde asumiendo que hay N_{x} puntos
en una dirección coordenada x en la que se quiere derivar,
los núcleos de derivación se expresan como sigue:
\vskip1.000000\baselineskip
Diferencia de un punto hacia la derecha:
\vskip1.000000\baselineskip
\newpage
Diferencia centrada de medio punto:
comprendiendo las siguientes
etapas:
- se aplica la transformada de Fourier a dicha
señal;
- se multiplica por el núcleo asociado a cada
una de las d componentes una copia de la transformada de
Fourier de la señal; y
- se aplica la antitransformada a estas d
componentes.
5. Método de acuerdo con la reivindicación 2,
caracterizado porque la transformación logarítmica de la
etapa c) que es al menos una, se realiza de la forma siguiente:
- -
- para cada punto de la señal digital muestreada se toma la medida obtenida en la etapa b) y se divide por la media de las medidas de todos los puntos; y
- -
- el logaritmo del resultado se divide por el logaritmo de la escala mínima de la señal digital muestreada, el cual se define como la raíz d-ésima del número total de puntos de la señal, donde d es la dimensión o número de variables propias de la señal.
6. Método de acuerdo con la reivindicación 5,
caracterizado porque la medida de singularidad definida en la
etapa b) se calcula mediante los siguientes pasos:
- -
- se calcula el vector de entorno de los (2 \times d) primeros vecinos de un punto de base x, obteniendo los primeros vecinos del punto x sumando consecutivamente a cada uno y sólo uno de los índices de coordenadas de dicho punto x, primero -1 y luego +1, formando el vector de entorno de (2 \times d)+1 componentes, cuya primera componente es el valor de la señal en el punto x, la segunda el valor de la señal en el punto obtenido al sumar -1 a la primera coordenada de x, la tercera el valor de la señal en el punto obtenido al sumar +1 a la primera coordenada de x, la cuarta el valor de la señal en el punto obtenido al sumar -1 a la segunda coordenada de x, y así sucesivamente;
- -
- se extrae la tendencia de este vector, que se define como la suma de sus componentes dividida por ((2 \times d)-1) y esta tendencia se aplica al vector de entorno, añadiéndola a la componente referida al punto de base x y sustrayéndola de las otras componentes, de manera que de este modo el nuevo vector de entorno obtenido tiene media nula;
- -
- se aplica un operador de gradiente local sobre el citado vector de media nula, lo cual devuelve (2 \times d)+1 vectores de gradiente cada uno de ellos de d componentes, que definen el gradiente local:
- -
- se anulan las componentes de dicho gradiente local asociadas al punto x;
- -
- se aplica a dicho gradiente local, con las componentes anuladas, un operador de reconstrucción local asociado unívocamente al citado operador de gradiente local obteniendo un vector de (2 \times d)+1 componentes, que se denomina señal estimada;
- -
- se aplica una vez más el operador de gradiente local sobre dicho vector de (2 \times d)+1 componentes o señal estimada y se obtienen (2 \times d)+1 vectores, uno por cada punto del entorno local, de d componentes cada uno, que definen el gradiente local estimado para ese entorno;
- -
- se obtienen (2 \times d)+1 vectores de d componentes que expresan la diferencia de gradientes entre dicho gradiente local y dicho gradiente local estimado, y
- -
- a partir de estos (2 \times d) +1 vectores de diferencia de gradientes se obtiene la medida de singularidad asociada al punto x.
7. Método de acuerdo con la reivindicación 6
caracterizado porque el citado operador de gradiente local
aplicado al vector de (2 \times d)+1 componentes
comprende, para cada entorno de un punto x definido por el
vector de (2 \times d) +1 componentes que incluye el valor
de la señal en el punto x y en sus (2 \times d)
vecinos, ejecutar una transformada de Fourier local, que sólo
tiene en cuenta este entorno.
8. Método de acuerdo con la reivindicación 7,
caracterizado porque la citada transformada de Fourier local
está construida como una matriz de ((2 \times d)+1))
\times ((2 \times d)+1)), cuyos elementos son todos de
valor 1 excepto los de la diagonal principal y de las diagonales
adyacentes, donde todos los elementos de la diagonal principal
excepto el primero por la izquierda, que vale 1, valen la
exponencial compleja 2 \times \pi \times i/3 donde i es la
raíz cuadrada de -1 y los elementos de las diagonales adyacentes
valen consecutivamente 1, exponencial de -2 \times \pi \times
i/3, 1, y así sucesivamente, comenzando desde arriba a la izquierda
hacia abajo a la derecha.
9. Método de acuerdo con la reivindicación 8,
caracterizado porque se calcula la transformada de Fourier
local, aplicando matricialmente la matriz descrita de ((2 \times
d)+1)) x ((2 \times d)+1)) a un vector de entorno
de (2 \times d)+1 componentes.
10. Método de acuerdo con la reivindicación 9,
caracterizado porque se calcula la antitransformada de
Fourier local aplicando la matriz inversa de la descrita en la
reivindicación 8, la cual existe siempre.
11. Método de acuerdo con la reivindicación 10
caracterizado porque para cada entorno de un punto x
definido por un vector \vec{p} de (2 \times d)+1
componentes, la aplicación a \vec{p} del citado operador de
gradiente local da un resultado expresado por el vector de
gradiente local para el punto x y los puntos de su entorno y
comprende las siguientes etapas:
- -
- se aplica la transformada de Fourier local a \vec{p};
- -
- se construye la derivada a lo largo de una dirección coordenada dada multiplicando por i\sqrt{3} la componente del vector transformada de Fourier de \vec{p} asociada al punto que se obtiene cuando se modifican las coordenadas del punto x al sumar -1 al índice de dicha dirección coordenada y multiplicando por -i\sqrt{3} la componente de dicho mismo vector obtenida al modificar las coordenadas del punto x al sumar +1 a dicho índice coordenado, y anulando las restantes componentes, obteniendo así d vectores de derivada, uno por cada coordenada;
- -
- se aplica la antitransformada de Fourier local a estos d vectores de (2 \times d)+1 componentes, representando así cada vector la derivada a lo largo de cada una de las d direcciones coordenadas en todos los puntos del entorno local; y
- -
- se reordenan las componentes de estos d vectores, agrupando para cada uno de los puntos del entorno local las d derivadas asociadas a ese punto, obteniéndose (2 \times d)+1 vectores de gradiente local, de d componentes cada uno, que reproducen el gradiente en cada punto del entorno local.
12. Método de acuerdo con la reivindicación 6
caracterizado porque dicho operador de reconstrucción
aplicado al gradiente local se define como el inverso del operador
de gradiente local, y comprende las siguientes etapas:
- se aplica la transformada de Fourier local a
los d vectores de derivada a lo largo de cada dirección
coordenada, cada uno de (2 \times d)+1 componentes;
- se construye el vector de reconstrucción a lo
largo de una dirección coordenada dada dividiendo por
i\sqrt{3} la componente del vector transformada de Fourier
local de \vec{p} asociada al punto que se obtiene cuando se
modifican las coordenadas del punto x al sumar -1 al índice
de dicha dirección coordenada y dividiendo por -i\sqrt{3}.
la componente de dicho mismo vector obtenida al modificar las
coordenadas del punto x al sumar +1 a dicho índice
coordenado, y anulando las restantes componentes, obteniendo así
d vectores de reconstrucción a lo largo de una dirección,
uno por cada coordenada;
- -
- se suman estos d vectores de reconstrucción; y
- -
- se aplica la antitransformada de Fourier local al vector de (2 \times d)+1 componentes resultante del paso anterior.
13. Método de acuerdo con la reivindicación 6,
caracterizado porque el paso final de la etapa b) por el que
se obtiene la medida de singularidad asociada al punto x
comprende:
- -
- retener de los (2 \times d) + 1 vectores de diferencia de gradientes obtenidos las d componentes asociadas al punto x, y
- -
- obtener la medida de singularidad como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de estas d componentes
con lo que se obtiene una medida de
singularidad de correlación local apta para medir la
impredecibilidad de un punto
dado.
14. Método de acuerdo con la reivindicación 6,
caracterizado porque el paso final de la etapa b) por el que
se obtiene la medida de singularidad asociada al punto x
comprende:
- -
- tomar un hipercubo d-dimensional que rodea un punto x dado, formado por los puntos obtenidos al sumar -1, 0 ó +1 a cada índice de coordenadas de x lo que proporciona 3^{d} puntos;
- -
- retener para cada punto de dicho hipercubo el vector d-dimensional asociado a la componente central (asociada al punto de base) de la diferencia de gradiente, y
- -
- sumar estos 3^{d} vectores, y calcular el producto escalar del vector resultante con el vector d-dimensional de diferencia de gradiente asociada al punto x,
con lo que se obtiene un índice de
alineación de diferencias de gradiente que permite deducir la
existencia de una coherencia espacial entre los errores cometidos
al prescindir del punto central cuando la señal es reconstruida, lo
cual permite diferenciar entre ruido (de orientación aleatoria) y
señal
coherente.
15. Método de acuerdo con la reivindicación 14,
caracterizado porque comprende además:
- -
- antes de realizar la etapa a), obtener una función derivada estable de dicha señal digital que está muestreada a intervalos regulares, y obtener en la etapa b) para cada punto de dicha señal digital muestreada una medida de singularidad de la función en ese punto, ponderando como sigue las contribuciones de un entorno local del punto y el valor de la derivada en todos los puntos de dicho entorno local;
- -
- obtener la energía de gradiente del citado hipercubo efectuando la suma de los módulos al cuadrado de los gradientes de cada punto del hipercubo;
- -
- obtener una medida de singularidad de correlación local en el punto x mediante las operaciones siguientes:
- -
- retener de los (2 \times d) + 1 vectores de diferencia de gradientes obtenidos las d componentes asociadas al punto x, y
- -
- obtener la medida de singularidad como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de estas d componentes; y
- -
- obtener la medida de singularidad de correlación global como el producto de la medida de singularidad de correlación local por la raíz cuadrada del valor absoluto del índice de alineación de diferencias de gradiente local, dividido este último por la energía de gradiente del hipercubo.
16. Método según la reivindicación 15,
caracterizado porque la derivada estable de la señal digital
que precede a la etapa a) se obtiene por derivada de incrementos
de un punto hacia la derecha o incrementos centrados de medio
punto, estando en ambos casos definida la derivada en el espacio de
Fourier por la multiplicación de la señal por los correspondientes
núcleos de derivación, donde asumiendo que hay N_{x} puntos en
una dirección coordenada x en la que se quiere derivar
dichos núcleos de derivación, los núcleos de derivación se expresan
como sigue:
Diferencia de un punto hacia la derecha:
\vskip1.000000\baselineskip
Diferencia centrada de medio punto:
\newpage
comprendiendo las siguientes
etapas:
- se aplica la transformada de Fourier a dicha
señal;
- se multiplica por el núcleo asociado a cada
una de las d componentes una copia de la transformada de
Fourier de la señal; y
- se aplica la antitransformada a estas d
componentes.
17. Sistema para análisis de singularidades en
señales digitales caracterizado por comprender:
- -
- medios para obtener para cada punto de la señal un entorno local que comprende los primeros vecinos; y
- -
- medios para calcular para cada punto x de la señal una medida de reconstructibilidad, o medida de singularidad, a partir del entorno local asociado, construida a partir de la inferencia del valor de la señal en dicho punto a partir del valor de los puntos de dicho entorno local utilizando la siguiente fórmula de reconstrucción
donde:
- s es una señal dada,
- 5 es la variedad más singular
o MSM de dicha señal s,
- 1017 es el gradiente esencial
de s,
- \vec{g} es el kernel de reconstrucción
universal, y
- el símbolo \bullet significa producto
escalar de convolución, conteniendo dicha medida de singularidad la
diferencia entre el valor medido y el valor inferido para cada
punto.
18. Sistema de acuerdo con la reivindicación 17
caracterizado por incluir además medios para realizar al
menos una transformación logarítmica sobre dicha medida de
reconstructibilidad que suprime la dependencia del número de puntos
de la señal, lo que proporciona un exponente de singularidad para
cada punto de la señal.
19. Sistema de acuerdo con la reivindicación 18,
caracterizado por comprender además:
medios para obtener una función derivada estable
de la señal digital, muestreada a intervalos regulares; y
medios para obtener para cada punto de dicha
señal digital muestreada una medida de singularidad de la señal en
ese punto, ponderando las contribuciones del citado entorno local
del punto y el valor de dicha derivada estable en todos los puntos
de dicho entorno local.
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