DE69419813T2

DE69419813T2 - Vorrichtung und Verfahren zur Erzeugung einer annähernden Funktion

Info

Publication number: DE69419813T2
Application number: DE69419813T
Authority: DE
Inventors: Yannick Deville
Original assignee: Koninklijke Philips Electronics NV
Current assignee: Koninklijke Philips NV
Priority date: 1993-05-12
Filing date: 1994-05-06
Publication date: 2000-02-17
Anticipated expiration: 2014-05-07
Also published as: EP0624847A1; DE69419813D1; US5519647A; FR2705155A1; EP0624847B1; JPH06348359A

Description

Die Erfindung betrifft ein Gerät und ein Verfahren zum Erzeugen einer Annäherungsfunktion, die auf ersten Wertpaaren basiert, die eine abhängige Variable mit einer unabhängigen Variablen verknüpft, und zum Bestimmen zweiter Wertpaare der Variablen aus der Annäherungsfunktion.
Ein Gerät und ein Verfahren eingangs erwähnter Art sind aus der Patentschrift US-A-3 789 203 bekannt, in der ein Funktionsgenerator beschrieben wird, der eine Annäherung durch iterative Interpolation versorgt. Das Gerät dient in Datenverarbeitungsanwendungen, die eine Berechnung von Funktionen, wie z. B. sin(x), tan(x), erfordert. Dieses Gerät erfordert nur eine Mindestspeicherkapazität einer Benutzeranordnung. Ausgehend von zwei Punkten, die zu einer zu interpolierenden Funktion gehören, interpoliert das Verfahren zunächst die Funktion mittels einer Geraden zwischen den zwei Punkten und führt anschließend eine Annäherung zu Abweichungen zwischen der Geraden und der Funktion mittels Polynomannäherungen im Anstieg durch. Darauf ersetzt das Gerät die Ausgangspunkte durch Annäherungspunkte zum Reduzieren der Länge des Segments zwischen den zu bearbeitenden Punkten und wiederholt zum Schluß die vorangehenden Operationen.
Ein derartiges Verfahren erfordert ausführliche Rechenmittel und kann nur in leistungsfähigen Computern durchgeführt werden.
Es gibt da Anwendungen, für die ein solches Verfahren nicht verwendbar ist, da die verfügbaren Mittel sich dazu nicht eignen. Außerdem kann es für bestimmte Gebrauchsmöglichkeiten ausreichen, eine angenäherte Berechnung der Funktion für eine beschränkte Zahl von Werten der unabhängigen Variablen auszuführen.
Dies kann eine Sigmoidfunktion an Neuronalpotentialen betreffen, die wenigstens ein Neuron in einem Neuronalnetz liefert. Es kann sich um eine andere nichtlineare Funktion handeln, beispielsweise um eine Wurzelfunktion, zum Errechnen von Abständen zwischen Neuronenzuständen. Die Anwendungen können sich auch auf andere Anordnungen beziehen, wie Funktionsgeneratoren, Rechengeräte u. dgl. Zum Errechnen einer derartigen Funktion, ohne auf eine Annäherungsfunktion zurückzugreifen, sind verschiedene andere Methoden verwendbar.
Die genaue mathematische Berrechnung kann für jeden Wert der durch Programmierung eines Computers mit bekannten Verfahren zu bearbeitenden unabhängigen Variablen erfolgen. Ein derartiges Verfahren erfordert jedesmal die Durchführung derselben Operationen, die eine lange Zeit in Anspruch nehmen, wenn die Anzahl der Werte groß ist.
Auch ist es möglich, vorberechnete Tabellen in einen Speicher einzuschreiben. Das Ergebnis kann im solchen Fall schnell aus dem Speicher ausgelesen werden. Jedoch sind dabei zum Umfassen aller möglichen Werte der unabhängigen Variablen mit hochkapazitiven Tabellen mit geeigneter Auflösung erforderlich. Daher haben diese Rechenmethoden einige Nachteile.
Andererseits kann es erforderlich sein, zwei Variable zu identifizieren, die durch Wertpaare zusammenhängen, die eine abhängige Variable mit einer unabhängigen Variablen verknüpfen. Also kann es bei der Überwachung eines industriellen Verfahrens erforderlich sein, einen Wirkungsgrad R einer Operation in Abhängigkeit von der Temperatur T zu messen, bei der diese Operation R = f(T) erfolgt. Zum Überwachen können die Verfahrensgruppen von Meßpaaren in eine graphische Darstellung aufgetragen werden. Dies kann zum Durchführen einer Kennzeichnung des Verfahrens oder zum Ableiten neuer Steuerparameter für diese Operation stattfinden. Dies ist beispielsweise im Artikel von H. ISHIBUCHI und H. TANAKA "Regression analysis with interval model by neural networks" in "IEEE International Joint Conference on Neural Networks", Vol. 2, S. 18-21, Nov. 1991, SINGAPORE, beschrieben. Diese neuen Parameter sollten die Basis dieser Operation darstellen, und dieser Verfahrensart innewohnende Meßschwankungen sind zu beseitigen. Es ist daher wünschenswert, eine Annäherung der Funktion f(.) zu bestimmen.
Dies kann in einem bestimmten Fall, sich auf andersartige oder fehlerhafte Messungen beziehen, die mit einer Annäherungsfunktion wiedergegeben werden.
In einem anderen Fall stehen genaue Werte zur Verfügung, aber ihre geplante Verwendung erfordert keine hohe Genauigkeit, und es genügt nur eine Annäherungsfunktion.
Eine der Aufgaben der Erfindung ist die Erzeugung einer Annäherungsfunktion unter Verwendung beschränkter Hardware-Mittel, die das schnelle Errechnen einer beschränkten Anzahl von Werten der zielgerichteten abhängigen Variablen ohne die Not wendigkeit einer Bestimmung anderer Werte der Annäherungsfunktion möglich macht. Der Erfindung liegt weiter noch die Aufgabe zugrunde, Werte zu erzeugen, die mit einem gesteuerten Höchstfehler angenähert werden können.
Zur Lösung dieser Aufgabe ist ein Gerät dadurch gekennzeichnet, daß es folgende Mittel enthält:
- erste Mittel:
- zum iterativen Bestimmen wenigstens einer aktuellen Linearregressionsfunktion durch Angleichen erster Fehler mit wechselndem Vorzeichen im Absolutwert, die zwischen ersten Werten der abhängigen Variablen für drei Paare einer Reihe der ersten Paare bzw. zweiten Werten der abhängigen Variablen gemessen sind, die entsprechend der aktuellen Linearfunktion für dieselben Werte der unabhängigen Variablen bestimmt sind.
- zum Wählen jener der aktuellen Linearfunktionen, die die Annäherung aller Paare der Reihe mit Mindestfehlern erzeugt, und
- zum Codieren der gewählten Linearregressionsfunktion mit Hilfe spezifischer Codes, und
- zweite Mittel zum Bestimmen der zweiten Paare mit Hilfe der spezifischen Codes.
Also wird auf vorteilhafte Weise eine Linearregressionsfunktion bestimmt, die die beste Annäherung der verschiedenen Paare bekannter Werte ist. Die so erhaltenen angenäherten Ergebnisse stellen einen zufriedenstellenden Kompromiß für viele Anwendungsmöglichkeiten des Funktionsgenerators dar.
Eine Linearregressionsfunktion ist eine Vereinfachungsfunktion zur Darstellung eines komplexen Phänomens durch die Reduktion der bedeutsamen Parameter. Durch die Wiedergabe der Reihen von Wertpaaren als Punkten in einem zweidimensionalen Raum verändert sich die Linearregressionsfunktion in eine Regressionslinie.
Also kann nach der Definition der Regressionslinie ein angenäherter Wert der abhängigen Variablen auf jedem Punkt der Regressionslinie ohne beschränkte Mittel für beliebige Werte der unabhängigen Variablen berechnet werden.
Die Erfindung bezieht sich ebenfalls auf ein Verfahren zum Erzeugen einer Annäherungsfunktion, das folgende Phasen umfaßt:
- eine erste Phase
- zum iterativen Bestimmen wenigstens einer aktuellen Linearregressionsfunktion mittels Angleichen erster Fehler mit wechselndem Vorzeichen im Absolutwert, und diese ersten Fehler sind zwischen ersten Werten der abhängigen Variablen für drei Paare einer Reihe der ersten Paare bzw. zweiten Werten der abhängigen Variablen gemessen, die entsprechend der aktuellen Linearfunktion für dieselben Werte der unabhängigen Variablen bestimmt sind,
- zum Wählen jener der aktuellen Linearfunktionen, die die Annäherung aller Paare der Reihe mit Minestfehlern erzeugen, und
- zum Codieren der gewählten Linearregressionsfunktion mit Hilfe spezifischer Codes, und
- eine zweite Phase zum Bestimmen der zweiten Paare mit Hilfe der spezifischen Codes.
Das erfindungsgemäße Mittel kann einen programmierten Computer oder eine zugeordnete Schaltung enthalten. Das Mittel kann mit Neuronen betrieben werden.
Eine erfindungsgemäße Anordnung mit Neuroneneinsatz kann in einem Neuronalnetz benutzt werden und insbesondere ein Untersystem dieses Netzes bilden. Für eine richtige Operation sollte das Neuronalnetz Mittel zum Durchführen einer nichtlinearen Aktivierungsfunktion an den Neuronalpotentialen enthalten, die es ausgibt. Erfindungsgemäß kann die mit Neuronen versehene Anordnung eine Annäherung zu dieser nichtlinearen Aktivierungsfunktion errechnen. Sie kann auch Abstände zwischen Neuronenzuständen durch Errechnen einer Annäherung zu einer Quadratwurzelfunktion zur Verwendung im Neuralnetzwerk berechnen.
Wenn die Abmessung der Reihe der eingangs ausgegebenen Wertpaare groß ist, können die Reihen von Paaren zum Bestimmen einer Anzahl von Regressionslinien und so zum Verbessern der Annäherungsgenauigkeit in eine Anzahl von Untergruppen verteilt werden. Also ist die Funktion der Annäherung der Reihen von Paaren eine Linearfunktion in Stücken, für die möglicherweise Kontinuität erforderlich ist.
Bestimmte Paare der Wertpaargruppe können einen bestimmten Einfluß haben, der durch Zuordnen eines spezifischen Gewichtungskoeffizienten zu jedem Paar verwirklichbar ist. In diesem Fall ermöglicht der jedem Paar zugeordnete Fehler den spezifischen Gewichtungskoeffizienten.
Ausführungsbeispiele der Erfindung werden nachstehend anhand der Zeichnung näher erläutert. Es zeigen
Fig. 1 eine graphische Darstellung einer zweidimensionalen Darstellung einer Gruppe von Punkten mit einer Regressionslinie D,
Fig. 2 eine graphische Darstellung einer Gruppe von Punkten und Linien zum Bestimmen einer Umhüllenden,
Fig. 3 ein Ablaufdiagramm einer ersten Abwandlung zum Durchführen des Verfahrens auf der Basis von Punkttripeln,
Fig. 4 ein Ablaufdiagramm einer zweiten Abwandlung zum Durchführen des Verfahrens auf der Basis von Punkttripeln,
Fig. 5 ein Ablaufdiagramm einer dritten Abwandlung zum Durchführen des Verfahrens auf der Basis von Punktpaaren,
Fig. 6 einen Teil eines Ablaufdiagramms zur Darstellung einer Vorwahl von einer unteren Umhüllenden oder einer oberen Umhüllenden der Gruppe von Punkten zugeordneten Punkten,
Fig. 7 ein Ablaufdiagramm zum Bestimmen unterer und oberer Umhüllenden,
Fig. 8 einen Schaltplan eines erfindungsgemäßen Geräts,
Fig. 9 einen Schaltplan eines Coders zum Berechnen und Codieren einer Regressionslinie im Allgemeinen,
Fig. 10 einen Schaltplan eines Coders zum Berechnen und Codieren einer Regressionslinie für die erste Abwandlung,
Fig. 11 einen Schaltplan eines Transcoders zum Berechnen der Werte des abhängigen Variablen aus einer Gruppe codierter Regressionslinien,
Fig. 12 einen Schaltplan einer Neuronalausführung des Komparatormittels nach Fig. 10,
Fig. 13 eine Darstellung einer von einer Anzahl von Linien geformten Annäherungsfunktion,
Fig. 14 zwei Darstellungen zur Veranschaulichung der Gültigkeitsgrenzen von zwei aufeinanderfolgenden Linien,
Fig. 15 eine Darstellung bezüglich der Zusammenfügung aufeinanderfolgender Linien.
Die Erfindung betrifft die Annäherung einer bekannten Funktion nur über eine vorgegebene Anzahl von Punkten, beispielsweise P&sub1;...P&sub6; (Fig. 1) in einer zweidimensionalen Darstellung. Jeden dieser Punkte definiert ein Wertpaar (x, y), das die unabängige Variable x mit der abhängigen Variablen y verknüpft. Weiter unten wird ein Paar von Punkten (oder ein Punkttripel) erwähnt, das sich auf zwei (oder drei) Wertpaare bezieht.
Die Punkte sind entsprechend einer steigender Ordnung der Abszissenwerte Xi angeordnet, die einen mit den Werten ansteigenden Index i definiert.
Erfindungsgemäß wird die Gruppe von Paaren (X&sub1;, Y&sub1;), (X&sub2;, Y&sub2;)... mit einer Regressionslinie D mit folgender Gleichung angenähert:
(1) D : y = p · x + q.
worin x und y aktuelle Variable sind.
Dafür werden diese drei Wertpaare, beispielsweise (X&sub3;, Y&sub3;), (X&sub4;, Y&sub4;), (X&sub5;, Y&sub5;), werden in einer ersten Abwandlung betrachtet, und durch Symmetrieren der Absolutfehler wird eine Regressionslinie D bestimmt. Ein Fehler wird für eine vorgegebene Abszisse anhand des Unterschieds zwischen dem y-Wert des Punktes und der für diesen Punkt auf der Regressionslinie gemessenen Abszisse gemessen. Symmetrieren von Fehlern an drei Punkten besteht im Angleichen von drei Fehlern in Absolutwert mit einem entgegengesetzten Fehlervorzeichen in Bezug auf die zwei anderen für den Punkt mit einer Abszisse. x zwischen den Abszissen x der zwei anderen Punkte. Anschließend wird untersucht, ob für die restlichen Punkte der Gruppe der Fehler, der sie von der Linie trennt, in Absolutwert kleiner ist als oder gleich dem vorher bestimmten Fehler für die drei gewählten Punkte. Die Ursache davon ist, daß Interesse an einem ungünstigsten Fehler in Bezug auf die Gruppe aller in Erwägung zu ziehenden Punkte besteht, d. h. dem in Absolutwert größten Fehler zwischen einem der Punkte und der Regressionslinie. Wenn alle Fehler momentan kleiner oder gleich sind, wird die Linie zur Darstellung der Punkte gewählt, und wenn dies nicht der Fall ist, werden die Operationen zum Bestimmen einer anderen Regressionslinie mit drei neuen Wertpaaren wiederholt.
Es besteht möglicherweise eine Anzahl von Regressionslinien, die alle Punkte der Gruppe darstellen. Gemäß dem Verfahren wird die optimale Regressionslinie zum Minimisieren des oben definierten ungünstigsten Fehlers bestimmt.
In Fig. 1 ist ein Beispiel mit sechs Punkten P&sub1; bis P&sub6; in einer zweidimensionalen Darstellung wiedergegeben. Nunmehr wird der Deutlichkeit halber das Endergebnis beschrieben. Es sei bemerkt, daß die Regressionslinie D in Fig. 1 derart angeordnet ist, daß die Fehler in Absolutwert für die Punkte P&sub3;, P&sub4; und P&sub5; gleich sind. Für die Punkte P&sub1;, P&sub2; und P&sub6; sind die Fehler im Absolutwert kleiner als die vorangehenden. In einer Gruppe von Punkten P1 bis P6 besteht das Verfahren somit aus der Suche nach drei besonderen Punkten, im vorliegenden Fall P&sub3;, P&sub4; und P&sub5;, die das Bestimmen der optimalen Regressionslinie möglich macht, die den ungünstigsten Fehler minimisiert, und aus der anschließenden Co dierung dieser Linie. Wenn im Fall nach Fig. 1 mit einem Endergebnis zwei Gerade D&sub1; und D&sub2; parallel zur Regressionslinie D gezogen werden und einmal durch die Punkte P&sub3; und P&sub5; und zum anderen durch den Punkt P&sub4; gehen, wird sich herausstellen, daß alle Punkte der Gruppe in einem Band liegen, das von den Linien D&sub1; und D&sub2; begrenzt wird, oder daß sie auf diesen Linien liegen.
Die Phase der Bestimmung der Regressionslinie kann zu mehreren Abwandlungen führen, von denen nur die vorteilhaftesten nachstehend beschrieben werden.

Erste Abwandlung er ersten Phase des Verfahrens

In Fig. 3 ist die Reihe der durchzuführenden Schritte zum Bestimmen der optimalen Regressionslinie dargestellt.
Aus der Gruppe von Punkten P&sub1;...PN (Block 100) werden drei beliebige Punkte (Block 100) Pi , Pj, Pk gewählt, wobei i < j < k ist. Diese drei Punkte dienen zum Bestimmen der Regressionslinie, die den Fehler an y für diese drei Punkte minimisiert. Diese Bestimmung erfolgt auf analytische Weise, vorzugsweise mit programmierten Mitteln. Eine Regressionslinie D wird derart bestimmt, daß drei Fehler (Block 104)
EPD (Pi, D), EPD (Pj, D), EPD (Pk, D)
zwischen der Linie D und jedem der Punkte übereinstimmen mit
EPD (Pi, D) = -EPD (Pj, D) = EPD (Pk, D)
worin
EPD (Pi , D) = Yi - (p · Xi + q) ist
und mit gleichen Verhältnissen für die anderen Fehler.
Die Regressionslinie wird mit Hilfe der Koeffizienten p und q der Gleichung (1) bestimmt, so daß
p = Yk - Yi / Xk - Xi
und
q = Xj · Yi - Xi · Yj + Xk · Yj - Xj · Yk + Xk · Yi - Xi · Yk / 2(Xk - Xi)
Der Fehler bezüglich eines Tripels (Pi , Pj, Pk) wird dann wie folgt geschrieben:
ET (Pi, Pj, Pk) = EPD (Pi, D) .
Wenn der Fehler ET so errechnet ist, wird festgestellt, ob die anderen Punkte der Gruppe Fehler erzeugen, deren Absolutwerte kleiner als oder gleich denen der Punkte Pi, Pj, Pk sind. Zu diesem Zweck wird ein Zusatzpunkt Pm (Block 106) gewählt, und der Absolutwert wird für den Fehler EPm, (Block 108) zwischen dem Wert der Variablen y im Punkt Pm und der Linie D berechnet.
Wenn dieser Fehler EPm einen Absolutwert kleiner als oder gleich ET (Block 110) hat (Bezugspunkt Y), wird der Zusatzpunkt Pm angenommen, und das Verfahren geht weiter (Block 112) mit einem folgenden Zusatzpunkt (Block 106). Wenn alle Zusatzpunkte das Kriterium EPm ≤ ET erfüllen, wird die Linie D angenommen, und werden ihre Koeffizienten zum Codieren der optimalen Regressionslinie Dopt benutzt (Block 114).
Wenn dieser Fehler EPm größer ist als ET (Block 110) (Bezugspunkt N), wird das gewählte Tripel von Punkten Pi , Pj, Pk nicht genehmigt und ein anderes Punktetripel (Block 116) aus der Gruppe von Punkten (Block 102) gewählt (Block 116). Das Verfahren endet, wenn eine Linie D (Block 114) erhalten wird, die dieses Kriterium erfüllt, auch dann, wenn nicht alle Punktetripel geprüft sind.
Es können Situationen entstehen, in denen am Ende des Schritts 116 alle möglichen Punkte geprüft sind und keines der Tripel eine Lösung ergeben hat (Block 118). In diesem Fall ist es möglich, den Programmablauf der ersten Abwandlung durch den Ersatz der Prüfung im Block 110 mit folgender Prüfung zu wiederholen:
EPm ≤ α · ET
worin α ein Koeffizient etwas größer als 1 ist. In diesem Zustand ist es auch möglich auf die zweite Abwandlung überzugehen.
Die erste Phase kann folgende Schritte umfassen:
A - Wählen von drei Wertpaaren aus der Reihe,
B - Berechnen der aktuellen Linearregressionsfunktion D und Bestimmen eines zugeordneten Tripelfehlers ET = EPD ,
C - Wählen eines Zusatzpaares,
D - Berechnen eines Zusatzfehlers EPm zwischen dem Zusatzpaar und der Funktion,
E - wenn EPD ≤ ET (110) für das Zusatzpaar ist, geht das Verfahren mit dem Schritt C eines folgenden Zusatzpaares weiter, und
F - wenn EPD > ET für wenigstens ein zusätzliches Paar ist, geht das Verfahren weiter mit dem Schritt A mit einer Auswahl aus einer anderen Gruppe von drei Paaren der Paarenreihe, und
G - wenn EPm ≤ ET für alle Zusatzpaare ist, wird die aktuelle Linearregressionsfunktion codiert und als Linearannäherungsfunktion gespeichert.
Man kann sich dazu entscheiden, die Tripelgruppe durch die Wahl einer steigenden Ordnung, einer fallenden Ordnung oder einer Zufallsordnung für diese Prüfung zu kontrollieren. Das Tripel, das zum Bestimmen der Regressionslinie festgehalten wird, kann daher zu einem beliebigen Zeitpunkt im Lauf der Prüfung detektiert werden. Es ist klar, daß die Geschwindigkeit, mit der die Regressionslinie erhalten wird, vom Zeitpunkt abhängig ist, zu dem das Tripel detektiert wird. Die Implementierung weist einen Komplexitätsgrad im Bereich von N bis N&sup4; auf, worin N die Zahl der Anfangspunkte ist. Die Komplexität ist daher geringer bei einer kleiner Punktezahl. Diese Abwandlung ermöglicht eine Hardware-Implementierung mit einem hohen Grad paralleler Verarbeitung. Sie ist weitgehend unempfindlich für Abschneiden der Werte und ergibt ein genaues Ergebnis.

Zweite Abwandlung der ersten Phase des Verfahrens

In dieser zweiten Abwandlung (Fig. 4) werden aufeinanderfolgend Punkttripel gewählt, wird eine Regressionslinie jedesmal errechnet, und wird durch Rekursion die Linie gewählt, die den größten Fehler EPD erzeugt, d. h. der dem ungünstigsten Fehler für die Gruppe der herangezogenen Punkte entspricht.
In der zweiten Abwandlung umfaßt die erste Phase folgende Schritte:
A - Wählen von drei Wertpaaren aus der Reihe,
B - Berechnen der aktuellen Linearregressionsfunktion D und Bestimmen eines zugeordneten Tripelfehlers ET = EPD ,
C - Vergleichen des Fehlers ET mit einem Optimalfehler Eop mit einem strikt negativen Anfangswert,
D - wenn ET > Eop ist, Auffrischen des Optimalfehlers Eop durch den Austausch von Eop gegen ET und Auffrischen der Codes einer optimalen Linearregressionsfunktion Dop durch den Austausch dieser Codes gegen die Codes der Linearregressionsfunktion D,
E - anschließende Rückkehr nach Schritt A zum Wählen von drei anderen Paaren, und
F - wenn alle Tripel von Wertpaaren der Reihe überprüft sind, bilden die letzten Codes der optimalen Linearfunktion Dop die Codes der Linearannäherungsfunktion.
Bei jeder Prüfung eines Tripels wird der Fehler ET dieses Tripels mit dem zuvor gespeicherten Optimalfehler verglichen, und der Optimalfehler Eop wird mit dem größten Wert des für jedes Tripel bestimmten Fehlers ET aktualisiert. Die optimalen Linienparameter werden ebenfalls aktualisiert. Vor der Durchführung des Schritts A soll der Wert Eop auf einen geringen Negativwert eingestellt werden, zum Beispiel -1.
In diesem Fall ist die Geschwindigkeit des Erhaltens der Regressionslinie nicht vom Prüfverfahren an den Tripeln abhängig. Seine Komplexität liegt beim Grad N³. Der hohe Regelmäßigkeitsgrad des benutzten Algorithmus kann eine Hardware- Implementierung vorteilhaft beeinflussen. Sie ist weitgehend unempfindlich für Abschneiden der Werte und ergibt ein genaues Ergebnis.

Dritte Abwandlung der ersten Phase des Verfahrens

In dieser dritten Abwandlung (Fig. 5) wird zunächst ein Punktepaar gewählt, zu dem ein Zusatzpunkt zwischen diesen zwei Punkten zur Bildung eines Punkttripels gezählt wird. Zu diesem Zweck werden die Schritte A, B und C der ersten Abwandlung geändert; die anderen Schritte bleiben ungeändert. Die geänderten Schritte sind wie folgt:
A1 - Ändern des Schrittes A durch eine solche Wahl von zwei zur Reihe gehörenden Wertpaaren, daß sich zumindest ein zusätzliches Zwischenpaar mit einer unabhängigen Variablen (X&sub1; - X&sub6;) zwischen den unabhängigen Variablen des Paares zur Bildung zumindest eines Tripelpaares befindet,
A2 - Ändern des Schritts A zunächst durch Bestimmen einer Zusatzlinearfunlktion, die das zweite gewählte Paar enthät, und zweitens durch Bestimmen zweiter Fehler zwischen den unabhängigen Variablen der möglichen Zwischenpaaren und der Zusatzlinearfunktion:
und, wenn diese zweiten Fehler alle dasselbe Vorzeichen haben, das Wählen des Zwischenpaares zum Erzeugen des zweiten Fehlers mit dem größten Absolutwert zur Bildung eines Tripelpaares der vom Zwischenpaar und den zwei gewählten Paaren gebildeten Werte,
und, wenn diese zweiten Fehler verschiedene Vorzeichen haben, Fortsetzen des Verfahrens im Schritt A1,
B1 - Schritt B wird mit dem gewählten Tripel durchgeführt,
C1 - Ändern des Schritts C durch die Wahl eines Zusatzpaares, dessen unabhängige Variable nicht zwischen den unabhängigen Variablen der zwei gewählten Paare liegt.
Wenn der Fehler EPm größer als der Fehler ET ist (Block 110), kehrt das Verfahren zum Schritt A1 (Glied 101) mit einer neuen Auswahl eines Punktepaares zurück (Block 102a).
Es sei bemerkt, daß die Entwicklung dieser dritten Abwandlung vom Abtasten der Werte und daher von den Werten selbst abhängig ist. Die Komplexität dieser Abwandlung liegt zwischen N und N³, was in Bezug auf die vorangehenden Abwandlungen etwas vorteilhafter ist. Eine starke Parallelisierung der Ausführungen ist anwendbar, aber die Implementierung der Mittel kann regelmäßig versagen, was ein Behinderung für ihre Integration sein kann. Diese Abwandlung ist weitgehend immun zum Abrunden von Fehlern der Werte und ergibt eine genaue Lösung.

Vierte Abwandlung der ersten Phase des Verfahrens

Dies betrifft das Ableiten der Regressionslinie aus Umhüllenden.
Die Zahl der zu prüfenden Tripel läßt sich durch das Bestimmen der oberen bzw. unteren Umhüllenden um die Außenpunkte in der zweidimensionalen Darstellung dieser Punktgruppe reduzieren. Eine obere Umhüllende oder eine untere Umhüllende ist derart definiert, daß beim Verbinden von zwei beliebigen Nachbarpunkten der Umhüllenden mittels einer Geraden alle anderen Punkte an derselben Seite der oberen Umhüllenden bzw. der unteren Umhüllenden liegen. Auf diese Weise werden alle zu diesen Umhüllenden gehörenden Punkte bestimmt.
Die Bestimmung der Regressionslinie besteht aus der Berücksichtigung von Nachbarpunktpaaren einer der Umhüllenden, die mit einem Zwischenpunkt kombiniert werden, die nicht zur Umhüllenden zur Bildung eines Tripels gehören, und wird gemäß der Beschreibung der Punktpaare der dritten Abwandlung fortgesetzt. Wird keine optimale Lösung gefunden, werden die Punktpaare der anderen Umhüllenden berücksichtigt.
Zum Verwirklichen einer Umhüllenden wird ein Paar zur Umhüllenden gehörender Zusatzpunkte gewählt. Dann wird bestimmt, ob es ein Punkt gibt, der derart angeordnet ist, daß seine Abszisse in der Mitte zwischen den Abszissen der gewählten Punkte liegt. Wenn dieser Punkt nicht besteht, wird ein anderes Punktepaar derselben Umhüllenden gewählt. Wenn es einer oder mehrere dieser Mittenpunkte gibt, wird der weitest von der Geraden mit den zwei Punkten des Paares liegende Mittenpunkt zum Bilden eines Tripels und zum Bestimmen einer Regressionslinie gewählt. Zum Bestimmen, ob diese Regressionslinie als optimale Regressionslinie wählbar ist, benutzt das Verfahren dieselben Operationen, wie oben für die dritte Abwandlung beschrieben.
Zu diesem Zweck wird die dritte Abwandlung derart geändert (Fig. 6), daß vor dem Schritt 102a (Fig. 5) die erste Phase des Verfahrens einen Schritt (Block 100a) zum Bestimmen einer unteren Umhüllenden und/oder einer oberen Umhüllenden umfaßt, die die Außenpunkte der Gruppe von Punkten miteinander verbindet, wobei die Wahl der Punktpaare im Schritt 102a aus zu einer der Umhüllenden gehörenden Nachbarpunkten erfolgt. Das Punktpaar wird gewählt, wenn es zumindest einen Zwischenpunkt mit einer Abszisse zwischen den Abszissen der Punkte des Punktpaares gibt. Wenn es eine Anzahl von Zwischenpunkten gibt, wird das Tripel mit dem Zwischenpunkt gebildet, der weitest von der Geraden durch die zwei das Punktpaar bildenden Punkte entfernt ist. Wird keine Lösung bei der ersten Umhüllenden gefunden, wird das Verfahren mit der zweiten Umhüllenden fortgesetzt.
Die unteren und oberen Umhüllenden werden entsprechend dem Ablaufdiagramm in Fig. 7 bestimmt. Da der Index der Punkte größer wird, wenn die Variable x ansteigt, bildet der erste Punkt Po einen Teil beider Umhüllenden. In Bezug auf die untere Umhüllende führen die zur unteren Umhüllenden gehörenden Punkte den Bezugsbuchstaben Q. Ein aktueller Punkt Q hat den Index v.
Im Schritt 400 sind die ersten zwei Punkte der Umhüllenden: Qo = Po und Q&sub1; = P&sub1;. Der letzte aktuelle Punkt Qv wird mit v = 1 für P&sub1; bezeichnet. Die Anzahl von k bearbeiteter Punkte wird gezählt.
Schritt 402: Es wird eine erste Prüfung durchgeführt, die bestimmen soll, ob der letzte Punkt PN-1 zum Detektieren des Endes der Umhüllendenbestimmung bearbeitet ist.
Schritt 404: Im entgegengesetzten Fall wird geprüft, ob v ≥ 1 ist. Wenn v < 1 ist, wird v inkrementiert (v = v + 1) und der Punkt Pk wird als der Punkt Qv genommen (Schritt 407). Der Index k wird zum Bearbeiten des folgenden Punktes P (Schritt 409) inkrementiert, und das Verfahren geht nach dem Schritt 402 weiter.
Wenn v ≥ 1 ist, wird eine Gerade durch die Punkte Qv-1 und Qv (schritt 406) berechnet, und das Zeichen des Fehlers in der abhängigen Variablen zwischen dem aktuellen Punkt Pk und dieser Linie (Qv-1, Qv) wird bestimmt. Dies dient zum Bestimmen, ob der aktiuelle Punkt sich über oder unter der Linie (Qv-1, Qv) befindet.
Wenn das Signal ≤ o ist, muß der letzte Punkt Qv entfernt werden, v ist derart zu dekrementieren, daß v = v - 1 ist (Schritt 410), und das Verfahren muß mit dem Schritt 404 weitergehen. Auf diese Weise kann es erforderlich sein, bestimmte bereits genehmigte Punkte zu entfernen, wenn ein folgender Punkt es notwendig macht, sie zu streichen.
Wenn das Zeichen strikt positiv ist, geht das Verfahren mit dem Schritt 407 mit einem folgenden Punkt weiter.
Dieses Ablaufdiagramm bezieht sich auf die Bestimmung unterer und oberer Umhüllenden durch die Umkehr des Vorzeichens des heranzuziehenden Fehlers.
Für ein gutes Verständnis der benutzten Mechanismen wird der einfache, aus den Punkten P&sub1;, P&sub2;, P&sub3;, P&sub4; in Fig. 2 bestehende Fall jetzt als Beispiel herangezogen, und die untere Umhüllende wird bestimmt. Der Punkt P&sub1; ist der erste Punkt der Umhüllenden, so daß Qo = P&sub1; · P&sub2; als der zweite Punkt Q&sub1; genommen wird. Die P1 und P2 verbindende Gerade Lo wird berechnet. Das Segment P&sub1;, P&sub2; wird als das erste Segment der unteren Umhüllenden genehmigt. Geprüft wird, ob P&sub3; über der Linie Lo liegt, was in Fig. 2 der Fall ist. Das Segment P&sub2; P&sub3; wird als das zweite Segment der unteren Umhüllenden angenommen. Anschließend wird die P&sub2; und P&sub3; verbindende Gerade L&sub1; berechnet, und es wird geprüft, ob P&sub4; über der Linie L&sub1; liegt. Das ist in Fig. 2 nicht der Fall. Daher werden P&sub3; und die Linie L&sub1; zunächst beiseitigt. Ebenso wenn P&sub4; unter der Linie Lo liegt, werden der Punkt P&sub2; und die Linie Lo auch beseitigt, da sie nicht zur unteren Umhüllenden gehören können, und das Verfahren geht mit der Bestimmung der P&sub1; und P&sub4; verbindenden Geraden L&sub2; weiter, wonach die folgenden Punkte (nicht dargestellt) kontrolliert werden.
Die Komplexität der Durchführung dieser auf Umhüllenden basierenden Abwandlung ist vom Grad N² und von der Datenabtastordnung abhängig. Diese Komplexität ist geringer als die der vorangehenden Abwandlungen, und liefert alos ein schnelleres Ergebnis. Die Implementierungsregelmäßigkeit ist durchschnittlich, aber diese Abwandlung ist weitgehend immun zum Abrunden von Fehlern der Werte, und sie bietet eine genaue Lösung.
Für bestimmte Anwendungen kann es wünschenswert sein, die Genauigkeit der Bestimmung der Annäherungsfunktion in bestimmten Bereichen der unabhängigen Variablen x zu verbessern und den Punkten Pi Gewichtungskoeffizienten Wi zuzuordnen. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn die Annäherungsfunktion geringfügig mit der unabhängigen Variablen x schwanken kann. Die Gewichtungskoeffizienten können bestimmten Punkten zugeordnet werden. Diese können gemeinsam für eine Anzahl von Punkten oder für jeden Punkt individuell sein. Im Weiteren werden die Gewichtungskoeffizienten Wi als strikt positiv betrachtet.
In dem Fall, in dem es Gewichtungskoeffizienten gibt, wird ein Fehler EPD zwischen einem Punkt Pi und der Regressionslinie D wie folgt definiert:
EPD(Pi, D) = Wi · [Yi - (p · Xi + q)], worin EPD ein Wert mit einem Vorzeichen ist. Die Bestimmung der Regressionslinie D für drei Punkte Pi , Pj, Pk wird dann derart geändert, daß die Variablen p und q der Gleichung (1) wie folgt aussehen:
(2) p = NUMP/DET und q = NUMQ/DET
worin die Mengen NUMP, NUMQ und DET wie folgt definiert werden:
DET = Wi · Wj · (Xj - Xi) + Wj · Wk · (Xk - Xj) + Wi · Wk · (Xk - Xi)
NUMP = Wi · Wj · (Yj - Yi) + Wj · Wk · (Yk - Yj) + Wi · Wk · (Yk - Yi)
NUMQ = Wi · Wj · (Xj · Xi - Yj · Yi ) + Wj · Wk · (Xk · Xj - Yj . Yk) + Wi · Wk · (Xi · Xi - Yi - Yk).
Außerdem kann der zu diesem Tripel gehörende Fehler ET mit folgender Gleichung geschrieben und berechnet werden:
ET(Pi, Pj, Pk) = EPD(Pi, D)
worin EPD(Pi, D) = -EPD(Pj, D) = EPD(Pk, D) ist,
oder (3) ET = Wi · Wj · Wk · (Xi · Yj - Xj · Yi) + Xj · Yk - Xj) + (Xk · Yi - Xi · Yk) / DET
Die erste und die zweite Abwandlung der ersten Phase des oben beschriebenen Verfahrens kann durch Zufuhr der obigen Gewichtungskoeffzienten durchgeführt werden. Dies läßt sich durch Programmierung einer Recheneinrichtung verwirklichen.
Wenn ein Punktepaar durch die Zufuhr von Gewichtungskoeffizienten W gewählt wird, läßt sich das Verfahren wie folgt anpassen.
Für die das Tripel bildenden Punkte Pi , P&sub1;, Pk wird ein Faktor F&sub1; definiert, der die betreffenden Koordinaten und die betreffenden Gewichtungskoeffizienten der Punkte Pi , P&sub1;, Pk miteinanderverknüpft Der Faktor F&sub1; wird dem zentralen Punkt 1 derart zugeordnet, daß
ist.
Dieser Faktor F&sub1; beeinflußt die Bestimmung des Zwischenpunktes P&sub1; , der zum Bilden eines Tripels unter Berücksichtigung der den Punkten zugeordneten Gewichte gewählt werden muß (i < 1 < k). Es wird ein Punkt P&sub1; gewählt, und die dem Tripel Pi , P&sub1;, Pk zugeordnete Regressionslinie D&sub1; sowie der dem Tripel zugeordnete Fehler ET1 werden berechnet.
Für die vorliegende Abwandlung des Verfahrens wird nur der Schritt A2 der dritten Abwandlung (Block 102b, Fig. 5) geändert. Dieser Schritt bestimmt das Vorhandensein und den Wert eines zum Bilden eines Tripels dienenden Zwischenpunkts. Zunächst wird versucht, eine unter Pi und Pk liegende Regressionslinie zu erzeugen. Für jeden Zwischenpunkt P&sub1; wird festgestellt, ob F&sub1; = 1 ist, und ob EPD (Pi, D&sub1;) < 0 ist. Wenn zumindest ein Punkt diese Bedingung erfüllt, liegt keine Regressionslinie unter Pi und Pk, und sonst wird eine Menge Gmax bestimmt, die der Höchstwert ist zwischen:
. einerseits den Mengen EPD(Pi, DP) für alle Zwischenpunkten, und
. andererseits den folgenden Mengen (a), nur für die Zwischenmengen, für die F&sub1; < 1 ist,
worin (a) F&sub1; + 1 / F&sub1; - 1 · EPD(Pi, D&sub1;
Wenn es zumindest einen Zwischenpunkt derart gibt, daß F&sub1; > 1 ist, wird eine weitere Menge Gmin definiert, die der in (a) angenommene Mindestwert nur für jene Zwischenpunkte ist, für die F&sub1; > 1 ist. Jetzt wird geprüft, ob es zumindest einen Zwischenpunkt gibt, für den:
EPD(Pi, D&sub1;) ≥ 0 ist
Gmax ≤ α ET1 ist und
Gmin · α ≥ ET1 ist (α, Koeffizient ≥ 1). Wenn es einen solchen Punkt gibt, wird er als der Zwischenpunkt zum Erzeugen des Tripels gewählt.
Wenn es keinen Zwischenpunkt gibt, für den F&sub1; > 1 gilt, wird untersucht, ob es zumindest einen Zwischenpunkt gibt, bei dem
EPD(Pi, D&sub1;) ≥ 0 ist, und
Gmax ≤ α ET1(α: Koeffizient ≥ 1).
Wenn es einen derartigen Punkt gibt, wird er als Zwischenpunkt zum Erzeugen eines Tripels gewählt.
Wenn kein Tripel erzeugt ist, wird versucht, eine Regressionslinie über den Punkten Pi und Pk zu erzeugen. Dasselbe Verfahren wird mit dem invertierten Vorzeichen der Fehler EPD durchgeführt.
Wenn kein Punkt P&sub1; gewählt ist, wird der Prozeß mit einem anderen Paar Pi, Pk neu gestartet.
Wenn die Gruppe der zu verarbeitenden Punkte zu groß ist, um von einer einzigen Regressionslinie dargestellt zu werden, wird mit dem Verfahren eine Anzahl von Regressionslinien benutzt, die entsprechend dem oben beschriebenen Verfahren bestimmt sind.
In Fig. 13 ist ein Beispiel dargestellt, in dem die Annäherungsfunktion von einer Anzahl von Regressionslinien gebildet wird.
In einem ersten Zustand kann auf Basis der Bekanntschaft der zu bearbeitenden Variablen verlangt werden, entsprechend der unabhängigen Variablen x jeder Re gressionslinie Grenzen zu stellen. Also kann es wüschenswert sein, eine Regressionslinie Da zwischen den Werten [xa, xb[ der Variablen zu haben, wobei die Grenze xa eingeschlossen und die Grenze xb ausgeschlossen sind. Gleiches gilt für [xb, xc[ und Dc für [xc, xd[. In diesem Fall wird das Problem auf die Bestimmung einer Geraden in einem bestimmten Bereich und jedesmal auf die Durchführung des bereits beschribenen Verfahrens beschränkt.
Es ist jedoch möglich, für jede Linie mit dem Verfahren die Grenzen entsprechend der unabhängigen Variablen x zu bestimmen, ohne daß diese Grenzen bereits am Anfang festgesetzt sind.
Das Prinzip der Bestimmung einer optimalen Begrenzung zwischen zwei benachbarten Regressionslinien ist in Fig. 14-A dargestellt. Angenommen sei, daß es zwei nichtoptimalen Regressionslinien D1 und D2 gibt. Die Linie D1 wird ausgehend von N1 Punkten und die Linei D2 ausgehend von den N2 Restpunkten bestimmt, wobei N1 + N2 = N ist, worin N die Gesamtzahl der Punkte ist. Die Linien D1 und D2 bilden eine Annäherung mit Maximalfehler E1 bzw. E2. Wenn angenommen sei, daß E2 größer ist als E1 und daß E2 reduziert werden muß, bedeutet dies, daß ein zu D2 gehörender Punkt auf D1 übertragen werden muß. Wenn die Anzahl der Punkte abnimmt, bleibt der Restfehler gleich oder wird kleiner. Wenn die Anzahl der Punkte ansteigt, bleibt der Restfehler gleich oder wird größer. Im vorliegende Beispiel können die Fehler E1 und E2 abhängig von der Anzahl n von zu den Linien D1 und D2 gehörenden Punkten sich ändern, wie in Fig. 14-B dargestellt. Infolgedessen ist die sich ergebende Gesamtannäherung von D1 und D2 optimal, wenn diese Fehler nahe beieinander, d. h. in der von einer gestrichelten Linie in Fig. 14-B begrenzten Zone liegen. Diese Fehler sind unter Berücksichtigung der Art der Werte der unabhängigen Variablen nicht notwendigerweise gleich.
Zum Bestimmen des Abszissenwerts Xlim zwischen zwei Geraden wird:
- die Linie D1 für eine vorgegebene Anzahl von Punkten bestimmt und der Höchstfehler E1 berechnet,
- die Linie D2 für die Restpunkte bestimmt und der Höchstfehler E2 berechnet,
- werden E1 und E2 miteinander verglichen und wird ein Punkt von der Linie mit dem größeren Fehler auf die Linie mit dem kleineren Fehler übertragen,
- wird der Grenzwert Xlim bestimmt, wenn im Verhältnis zwischen den zwei Fehlern eine Umkehrung erfolgt.
Dieses Verfahren wird in der Wiederholung an einer Anzahl von Linien durchgeführt, die durch eine Anzahl von Abszissengrenzen voneinander abgegrenzt sind.
Die Linien werden aus einer diskreten und begrenzten Reihe von Meßwerten bestimmt. Jedoch ist es für die Benutzung der Regressionslinien notwendig, ihre Domäne zu definieren, die sich über ein Kontinuum von Werten zwischen zwei Abszissengrenzen erstreckt. Die Bestimmung der Linien ergibt eine Reihe von Geraden, deren Enden nicht notwendigerweise miteinder verbunden sind. Für bestimmte Anwendungen kann es nützlich sein, das Auftreten einer Abweichung des Wertes der abhängigen Variablen y für benachbarte Werte (Xlim - ) und (Xlim + ) der unabhängigen Variablen zu vermeiden, worin ein sehr geringer Wert ist. Es ist möglich, zu gewährleisten, daß die Abszissengrenze Xlim ausschließlich zu beiden Linien gehört. Auch ist es möglich, daß der Bestimmung der Aufeinanderfolge von Linien eine Operation zum Zusammenfügen der Linien folgt.
Dies ist in Fig. 15 dargestellt. Eine Lösung kann sein, die Linie D1 bis zu einer Abszisse des zur Linie D2 gehörenden ersten Punktes auszuwerten, und die Linie D2 ausgehend vom neuen Wert der so bestimmten abhängigen Variablen y neu zu berechnen. Also durch Festhalten des letzten zu D2 gehörenden Punktes wird eine neue Linie D'2 bestimmt, die als gestrichelte Linie in Fig. 15 dargestellt ist. Ein gleichartiges Verfahren kann zum Ersetzen der Linie D3 durch die Linie D'3 durchgeführt werden. Auf diese Weise wird eine aus einer Anzahl von Regressionslinien bestehende Gruppe erhalten, die im vorliegenden Beispiel die Linien D1, D'2 und D'3 enthält. Diese Gruppe stellt eine Annäherung der Meßmengen durch Reduktion eines Maximalfehlers zwischen den Meßmengen und der Liniengruppe dar. Eine für diese Reduktion geeignetere Abwandlung soll gewährleisten, daß die Linien entsprechend den größten Fehlern ihre Grenzpunkte als Grenzpunkte auf die Linien entsprechend den kleinsten Fehlern auferlegen.

Gerät zum Durchführen der ersten Phase

In Fig. 8 ist ein Schaltplan eines Geräts zum Erzeugen einer erfindungsgemäßen Annäherungsfunktion dargestellt. Das Gerät 5 empfängt Paare (Xi, Yi), die die abhängige Variable Yi mit der unabhängigen Variablen Xi verknüpft. Die Paare (Xi, Yi) treten in die ersten Mittel 10 zum Bestimmen und Codieren der Linearregressionsfunktion ein, die eine Annäherung der Meßpaare darstellt. Die so bestimmten spezifischen Codes werden (auf der Leitung 9) auf die zweiten Mittel 17 übertragen, die zweite Paare (XA, Y'A) gemäß spezifischen Codes der Annäherungsfunktion bestimmen.
Unterschieden wird zwischen der zweiten Abwandlung, die alle Regressionslinien durch jede mögliche Kombination von Tripeln mit der Reihe erster Paare be stimmt, und den anderen Abwandlungen, die für jede (in Verknüpfung mit ihrem Fehler ET) bestimmte Regressionslinie überprüft, ob die restlichen zusätzlichen Punkte Zusatzfehler ergeben, die kleiner als oder gleich dem Fehler des Tripels ET sind.
In Fig. 9 ist ein an die zweite Abwandlung angepaßtes Gerät dargestellt. Es enthält:
- einen Speicher 12c MEM, der insbesondere alle zur Gruppe zu bearbeitender Punkte gehörenden Punkte speichert. Diese Punkte werden von ihren Koordinaten (x, y) und vorkommendenfalls von ihren Gewichten W oder von ihren invertierten Gewichten 1/W dargestellt,
- eine Recheneinheit 13c COMPUT, die für jedes selektierte Tripel die an jedes Tripel angepaßte Regressionslinie berechnet, d. h. die Codes p, q der Linie und den mit dem Tripel verknüpften Fehler ET.
Außerdem ermöglicht eine Steuereinheit 11c CONTR die Steuerung der Operationen und die Adressierung neuer Tripel vom Schreib/Leseteil des Speichers 12c und die Belieferung der Recheneinheit 13c mit neuen Tripeln. Die Wahl der festzuhaltenden Regressionslinie, d. h. für die vorliegenden Abwandlung, wobei die Regressionslinie den größten Tripelfehler erzeugt, wird von der Recheneinheit 13c durchgeführt.
Fig. 10 entspricht mehreren Abwandlungen, die für jede aktuelle Regressionslinie nachprüft, ob die anderen Zusatzpunkte der Reihe einen kleineren Fehler als der Tripelfehler erzeugt.
Zu diesem Zweck enthält das erste Mittel 10 eine Recheneinheit 13c und eine Komparatoreinheit 14c, die zusammen das Rechenmittel 19c bilden.
Die Recheneinheit 13c überträgt die Codes p, q der Regressionslinie des aktuellen Tripels auf die Komparatoreinheit 14c COMPAR, die bestimmt, ob die Zusatzpunkte der Gruppe von Punkten einen kleineren Fehler mit dieser Regressionslinie erzeugen als mit dem von den Punkten des aktuellen Tripels erzeugten Fehler. Zu diesem Zweck führt die Komparatoreinheit 14c folgende Prüfung durch:
EPm > ET.
Wenn die aktuelle Regressionslinie abgelehnt wird (positive Prüfung), wird ein anderes Tripel gewählt und ein gleiches Verfahren wieder gestartet. Ist die Prüfung negativ für alle Zusatzpunkte, wird die Regressionslinie genehmigt, und die Recheneinheit 13c lädt ihre Parameter in den Speicher 12c.
Für die Abwandlungen, die auf der Basis eines Punktepaares arbeiten, wird die Recheneinheit 13c zum Bestimmender Zwischenpunkte zur Tripelbildung aus den Punktepaaren programmiert, die selbst wieder von Punktumhüllenden abgeleitet werden können. Im letztgenannten Fall wird die Recheneinheit 13c auch zum Bestimmen der Umhüllenden programmiert. Anschießend werden in der Komparatoreinheit 14c die Fehler bezüglich der verschiedenen Tripel verglichen.
Zum Steuern der Operationen und zum Adressieren neuer Tripel (wenn die also geprüften Tripel nicht zufriedenstellend sind) enthält das Gerät, wie oben erwähnt, ein Steuergerät 11c, das folgende Elemente steuert:
- den Schreib/Leseteil des Speichers 12c,
- die Versorgung der Recheneinheit 13c mit neuen Tripeln,
- die Übertragung aller aufeinanderfolgend zu prüfenden Zusatzpunkte auf die Komparatoreinheit 14c.
Die erste Phase des Verfahrens ist mit dem Komparatormittel 14c (Fig. 12) mit einer Neuronalstruktur durchführbar. Es wird der komplizierteste Fall in Erwägung gezogen, in dem jedem Punkt Pi Gewichtungskoeffizienten zugeordnet werden. Wenn es keine Gewichtungskoeffizienten gibt, genügt es, diesen Koeffizienten die Werteinheit in folgenden Erläuterungen zu erteilen. Als Beispiel kann der Speicher 12c (Fig. 9, 10) die invertierten Werte der den Punkten Pi zugeordneten einzelnen Koeffizienten Wi speichern. Die Recheneinheit 13c bestimmt die Codes -p, -q, ET und -ET für ein vorgegebenes Tripel entsprechend den Gleichungen (2) und (3).
Die in der Einheit 14c für einen zu prüfenden Zusatzpunkt Pm zu kontrollierende Bedingung mit den Parameteren Xm, Ym, Wm ist:
Ym - pXm - ET/Wm) - q > 0,
worin Ym - p · Xm + (ET/ Wm) - q < 0.
Diese Prüfungen können leicht mit einer Einheit 14c mit einer Neuronalorganisation durchgeführt werden. Diese Prüfungen enthalten tatsächlich Linearfunktionen, Schwellenfunktionen und Logikfunktionen, die sich in einem Neuronalnetz leicht verwirklichen lassen.
Eine derartige Neuronalkomparatoreinheit ist in Fig. 12 dargestellt. Sie enthält drei Neuronen N1, N2, N3. Die Neuronen N1 und N2 empfangen die Daten E1, E2, E3, E4. Das Neuron N3 empfängt die Ausgangssignale aus den Neuronen N1 und N2. Jedem der Eingangssignale an diese Neuronen wird ein synaptischer Koeffizient Ci gemäß einer bekannten in Neuronalnetzen benutzten Technik zugeordnet. Diese Technik wird beispielsweise im Artikel von R. P. Lippmann "An introduction to computing with neural nets" IEEE ASSP Magazine, April 1987, S. 4 bis 22 beschrieben.
Zum Durchführen der obigen Prüfungen werden die Neuronen N1 und N2 entsprechend der Tabelle I programmiert: TABELLE I
Alle synaptischen Koeffizienten des Neuons N3 sind gleich 1.
Die Neuronen N1 und N2 berechnen je ein Neuronalpotential s derart, daß
s = ΣiCi · Ei
Diesem Potential s soll eine Aktivierungsfunktion A angelegt werden. Für die Neuronen N1 und N3 sieht die Aktivierungsfunktion A&sub1; wie folgt aus:
A&sub1;(s) = 1, wenn s > 0 ist,
A&sub1;(s) = 0, wenn s ≤ 0 ist.
Für das Neuron N2 sieht die Aktivierungsfunktion A2 wie folgt aus:
A&sub2;(s) = 1, wenn s > 0 ist,
A&sub2;(s) = 0, wenn s ≥ 0 ist.
Das Ausgangssignal des Neurons N1 beträgt 1, wenn die zu kontrollierende Bedingung erfüllt wird, und gleich 0, wenn sie nicht erfüllt wird.
Es sei bemerkt, daß die Daten -p, -q, -ET, +ET in der Tabelle I Codes sind, die im Schaltplan nach Fig. 12 als synaptische Koeffizienten erscheinen. Die Daten Ym, Xm, 1/Wm sind Daten, die an den Eingängen im selben Schaltbild erscheinen. Wenn alle Zusatzpunkte kontrolliert sind und eine Regressionslinie gewählt ist, werden die in den Speicher 12c geladenen Codes p, q, W aufeinanderfolgend zum Durchführen der zweiten Phase des Verfahrens benutzt (Fig. 11).
Die Bedeutung der hier beschriebenen Neuronalversion ist, daß die verschiedenen durchzuführenden Operationen in den bereits beschriebenen Abwandlungen parallel durchführbar sind. Eine derartige Neuronalversion arbeitet dabei sehr schnell.
Wenn die Regressionslinien bestimmt sind, wird die aus der Berechnung der zweiten Paare (XA, Y'A) von Werten der Variablen bestehende zweite Phase im Decoder mittel 17 durchgeführt (Fig. 11). Die Codes der Linien werden in einen Speicher 12a geladen, der im Lauf der zweiten Phase zum Ausgeben der Codes der adressierten Regressionslinien von einem Steuergerät 11a adressiert wird. Der Speicher 12a, der beispielsweise in Zeilen organisiert ist, enthält für jede Regressionslinie die Parameter p, q und xL, worin xL die obere Begrenzung der Abszisse ist, für die jede Regressionslinie defniert ist.
Also enthält der Speicher 12a eine Parametertabelle
xL1, po, qo
...........
xLm, pm-1, qm-1
entsprechend den m gespeicherten Regressionslinien.
Das Decodermittel 17 enthält
- das Steuergerät 11a,
- den Speicher 12a, und
- eine Decodereinheit 13a. Diese Decodereinheit empfängt einen angeforderten Wert XA der unabhängigen Variablen, für die ein Ergebnis Y'A aus der Annäherungsfunktion erhalten werden muß. Zu diesem Zweck liefert das Steuergerät 112 aufeinanderfolgend bestimmte Codezeilen aus dem Speicher 12a, und für jede Codezeile kontrolliert die Decodereinheit 13a den Code xL, um die Möglichkeit der Bearbeitung des Wertes XA der Eingangsvariablen durch die in dieser Zeile codierten Regressionslinie zu bestimmen. Wenn das nicht der Fall ist, fordert die Einheit 13a eine andere Codezeile aus dem Steuergerät 11a an. Wenn diese Anforderung erfüllt wird, führt die Einheit 13a folgende Berechnung durch:
Y'A = pn · XA + qn,
ob die Linie in der Ordnung n die angeforderte Linie ist.
Nach obiger Beschreibung kann das erste Mittel 10 ein Coder sein und das zweite Mittel 17 ein Decoder, wobei diese beiden Einrichtungen voneinander getrennt sind. Faktisch können die Einrichtungen im Abstand voneinander liegen, wobei die Coderoperationen von den Decoderoperationen getrennt sind. Jedoch können die zwei Mittel 10 und 17 auch ein einfaches Coder/Decodergerät sein. Im letztgenannten Fall können bestimmte Elemente aufeinanderfolgend verschiedene Operationen durchführen. Dies bedeutet insbesondere, daß
- es einen einfachen Speicher 12 gibt, der die Parameter der Wertpaare und die Codes der bestimmten Regressionslinien speichern kann.
- es ein einfaches Steuergerät 11 geben kann, das die Funktionen der Steuergeräte 11c und 11a kombiniert,
- die Recheneinheit 13c und die Decodereinheit 13a auch eine einfache Einheit 13 sein können.
Auch ist es möglich, das Decodermittel 17 (Fig. 11) entsprechend einer Organisation mit einer Parallelstruktur zu verwirklichen. Eine Möglichkeit dabei ist der parallele Vergleich des angeforderten Wertes XA mit allen Codes xL. Dies ergibt eine Gruppe von Signalen TL zur Darstellung der Ergebnisse dieser Vergleichsprüfungen. Darauf wird für alle Werte von L eine Prüfung parallel durchgeführt, die die Signale TL und TL+1 je zwei und zwei kombiniert und angibt, ob der angeforderte Wert XA innerhalb des Intervalls des Indexes L liegt. Diese Prüfung wird für einen einzigen Wert von L mit der Bezeichnung n kontrolliert. Dies ergibt die entsprechenden Codes p" und q", und aus diesen Codes wird der Wert Y'A genauso abgeleitet, wie oben beschrieben.
Das erste Mittel 10 (Codierung) in Verknüpfung mit dem zweiten Mittel 17 (Decodierung) kann zum Bestimmen des Werts einer Annäherungsfunktion mit Hilfe wenigstens einer Regressionslinie benutzt werden. Diese Bestimmungen können für beliebige Werte der unabhängigen Variablen (innerhalb der vorgegebenen Grenzen, die den Aktionsbereich jeder Regressionslinie definieren) durchgeführt werden. Dieses Verfahren schließt die unnötige Speicherung von Werttabellen aus, von denen nicht alle Werte ausgenützt werden. Nach dem Verfahren werden nur die für die Anwendung erforderlichen Werte bestimmt. Die Bedeutung des Verfahrens nach der Erfindung ist, daß damit nur die erforderlichen Werte bestimmt werden. In Kombination mit einem Neuronalprozessor kann das erfindungsgemäße Gerät zum Berechnen einer nichtlinearen Funktion verwendet werden, beispielsweise einer Sigmoidfunktion. Ein Neuronalprozessor berechnet Neuronalpotentiale, die sich aus den Summen der Produkte synaptischer Koeffizienten und aus Neuronalzuständen ergeben. Die Technik wird im oben erwähnten Dokument von R. P. Lippmann weiter erläutert. Jedes Neuronalpotential soll der Aktion einer nichtlinearen Funktion unterworfen werden. Dazu bildet jedes Neuronalpotential die in obiger Beschreibung angegebenen unabhängigen Variablen, und die Berechnung beispielsweise der Funktion th(x) erfolgt nur für die angeforderten nützlichen Werte. Das Verfahren gibt angenäherte werte aus, aber diese Annäherung läßt sich mit einer Genauigkeit erhalten, die mit der Vergrößerung der Anzahl berechneter Regressionslinien und im vorliegenden Fall mit der Vergrößerung der Gewichtungskoeffziezienten erhöht werden. Nichtsdestoweniger bleibt die Genauigkeit von der Genauigkeit der Koordinaten der Anfangspaare abhängig.
Ein Verfahren dieser Art ist insbsondere wichtig für die Berechnung bekannter Funktionen (wie z. B. mathematische Funktionen) oder explizit unbekannter Funktionen, beispielsweise einer von Meßpunkten dargestellten Funktion, die mittels einer Linearregressionsfunktion vereinfacht werden kann.
In ihrer Neuronalausführung ist die Erfindung wichtig für Neuronalanwendungen, da sie nicht nur eine homogene Bearbeitung bietet, aber auch einen hohen Grad der Raumsparung der erforderlichen Hardware-Architektur.
Die Abwandlungen des Verfahrens können in ihren Hardware- Implementierungen zum Kombinieren ihrer Vorteile kombiniert werden. Dies bietet zum Beispiel folgende Vorteile:
Wenn es zwei Gewichte gibt, erscheinen zwei Kombinationen wichtig:
.Die erste Kombination benützt an erster Stelle die erste auf Punkttripeln basierende Abwandlung. Wird keine Lösung gefunden, wird ein Sprung nach der zweiten Abwandlung gemacht, die ebenfalls auf Punkttripeln basiert. Dies kann folgende Vorteile bieten:
.Ungeachtet der Daten wird eine Lösung erhalten.
.Wenn immer eine genaue Lösung erforderlich ist, ermöglicht diese Kombination das Erreichen einer Höchstgeschwindigkeit. Im Allgemeinen wird die Lösung direkt von der ersten gewählten Abwandlung geliefert, die die Abwandlung ist, die am schnellsten eine genaue Lösung im Fall von Gewichten liefert. Die zweite Abwandlung ist viel langsamer, gewährleistet aber, daß die Kombination immer eine Lösung bietet.
.Die zweite Kombination benützt zunächst die auf Punktpaaren basierende Abwandlungen. Wenn sie keine Lösung findet (die angenähert werden kann), wird die zweite Abwandlung auf der Basis von Punkttripeln benützt. Dies bietet folgende Vorteile:
.Ungeachtet der Daten wird eine Lösung erhalten (nötigenfalls angenähert).
.Im Mittel ist diese Kombination schneller als die vorangehende.
.Andererseits bietet sie eine angenäherte Lösung.
Wenn es keine Gewichte gibt, besteht eine interessante Kombination, bei der zunächst die auf der Punktumhüllenden basierende Abwandlung benützt wird. Wenn diese Abwandlung keine Lösung ergibt, wird die auf Punkttripeln basierende Abwandlung benützt. Dies bietet folgende Vorteile:
.Ungeachtet der Daten wird eine Lösung erhalten.
.Diese Kombination bietet die beste Mittelgeschwindigkeit.
Wenn die Linearregressionsfunktion in Übereinstimmung mit dem beschriebenen Verfahren bestimmt ist, ist es nicht nur möglich, die Werte Y'A zu bestimmen, die aus der Funktion hervorgehen, sondern auch die Werte, die aus der Ableitung dieser Funktion hervorgehen. Faktisch ist es für einen angeforderten Wert XA der unabhängigen Variablen nur erforderlich, zum Erhalten des Werts der entsprechenden Ableitung den vom Wert XA aus dem Speichermittel hergeleiteten Wert p zu lesen.

Claims

1. Gerät (5) zum Erzeugen einer Annäherungsfunktion auf der Basis erster Wertpaare ((X&sub1;, Y&sub1;) bis (X&sub6;, Y&sub6;)), die eine abhängige Variable (Y&sub1; bis Y&sub6;) mit einer unabhängigen Variablen (X&sub1; bis X&sub6;) verknüpft, und zum Bestimmen zweiter Wertpaare (XA, Y'A) der Variablen entsprechend der Annäherungsfunktion, dadurch gekennzeichnet, daß das Gerät folgende Mittel enthält:

- erste Mittel (10):

- zum iterativen Bestimmen wenigstens einer aktuellen Regressionslinie D mit der Gleichung y = px + q, worin x und y aktuelle Variable sind, durch Angleichen erster Fehler mit wechselndem Vorzeichen im Absolutwert, die zwischen ersten Werten (Y&sub3;, Y&sub4;, Y&sub5;) der abhängigen Variablen für drei Paare (X&sub3;, Y&sub3;)(X&sub4;, Y&sub4;)(X&sub5;, Y&sub5;) einer Reihe der ersten Paare bzw. zweiter Werten (Y'&sub3;, Y'&sub4;, Y'&sub5;) der abhängigen Variablen gemessen sind, die entsprechend der aktuellen Regressionslinie für dieselben Werte der unabhängigen Variablen bestimmt sind.

- zum Wählen jener der aktuellen Regressionslinien, die die Annäherung aller Paare der Reihe mit Mindestfehlern erzeugt, und

- zum Codieren der gewählten Regressionslinie mit Hilfe spezifischer Codes (p, q), und

- zweite Mittel (17) zum Bestimmen der zweiten Paare (XA, Y'A) mit Hilfe der spezifischen Codes.

2. Gerät nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß das erste Mittel (10) folgende Elemente enthält:

Speichermittel (12c) zum Speichern der Werte der ersten Paare und der spezifischen Codes p und q,

Rechenmittel (13c)(19c) zum aufeinanderfolgenden Berechnen der spezifischen Codes p, q aktueller Regressionslinien und ihrer betreffenden ersten Fehler mit Angleich im Absolutwert ET, und zum Wählen zumindest einer aktuellen Regressionslinie, und Mittel (11c) zum Steuern der Speichermittel (12c) und der Rechenmittel (13c).

3. Gerät (5) nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, daß zum Wählen der Regressionslinie das erste Mittel Mittel (14c) enthält:

zum gleichartigen Bestimmen von Zusatzfehlern für die anderen Wertpaare (X&sub1;, Y&sub1;)(X&sub2;, Y&sub2;)(X&sub6;, Y&sub6;) der Reihe,

zum Vergleichen der Zusatzfehler mit den angeglichenen ersten Fehler ET, und zum Wählen der aktuellen Regressionslinie, die Zusatzfehler ausgibt, die im Absolutwert kleiner als oder gleich den angeglichenen ersten Fehlern ET sind.

4. Gerät nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß zum Wählen der Regressionslinie die Rechenmittel (13c) jene der aktuellen Regressionslinien wählen, die die maximalen angeglichenen ersten Fehler ET abgeben.

5. Gerät nach einem oder mehreren der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, daß die zweiten Mittel folgende Elemente enthalten:

- Speichermittel (12a) zum Speichern der spezifischen Codes p und q zumindest einer Regressionslinie,

- Rechenmittel (13a) zum Wählen einer zum Wert gehörenden Regressionslinie in Beantwortung eines Werts der unabhängigen Variablen XA, und zum Berechnen eines dem Wert der unabhängigen Variablen XA zugeordneten Werts der abhängigen Variablen Y'A, ausgehend von den spezifischen aus dem Speichermittel empfangenen Codes p und q, und

- Mittel (11a) zum Adressieren der spezifischen Codes p und q der Regressionslinie an die Rechenmittel bei Anforderung der spezifischen Codes p und q der Regressionslinien vom Mittel.

6. Verfahren zum Erzeugen einer Annäherungsfunktion auf der Basis erster Wertpaare ((X&sub1;, Y&sub1;) bis (X&sub6;, Y&sub6;)), die eine abhängige Variable (Y1 bis Y&sub6;) mit einer unabhängigen Variablen (X&sub1; bis X&sub6;) verknüpft, und zum Bestimmen zweiter Wertpaare (XA, Y'A) der Variablen entsprechend der Annäherungsfunktion in einem Gerät zum Erzeugen einer Annäherungsfunktion auf der Basis erster Wertpaare ((X&sub1;, Y&sub1;) bis (X&sub6;, Y&sub6;)), die eine abhängige Variable (Y&sub1; bis Y&sub6;) mit einer unabhängigen Variablen (X&sub1; bis X&sub6;) verknüpft, und zum Bestimmen zweiter Wertpaare (XA, Y'A) der Variablen entsprechend der Annäherungsfunktion, dadurch gekennzeichnet, daß das Verfahren folgende Schritte umfaßt:

- eine erste Phase:

- zum iterativen Bestimmen wenigstens einer aktuellen Regressionslinie D mit der Gleichung D: y = px + q, worin x und y aktuelle Variable sind, mittels Angleichen erster Fehler mit wechselndem Vorzeichen im Absolutwert, wobei diese ersten Fehler zwischen ersten Werten (Y&sub3;, Y&sub4;, Y&sub5;) der abhängigen Variablen für drei Paare (X&sub3;, Y&sub3;), (X&sub4;, Y&sub4;), (X&sub5;, Y&sub5;) einer Reihe der ersten Paare bzw. zweiten Werten (Y'&sub3;, Y'&sub4;, Y'&sub5;) der abhängigen Variablen gemessen sind, die entsprechend der aktuellen Regressionslinie für dieselben Werte (X&sub3;, X&sub4;, X&sub5;) der unabhängigen Variablen bestimmt sind,

- zum Wählen jener der aktuellen Regressionslinien, die die Annäherung aller Paare der Reihe mit Mindestfehlern erzeugen, und

- zum Codieren der gewählten Regressionslinie mit Hilfe spezifischer Codes p und q, und

- eine zweite Phase zum Bestimmen der zweiten Paare (XA, Y'A) mit Hilfe der spezifischen Codes p und q.

7. Verfahren nach Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet, daß die erste Phase folgende Schritte umfaßt:

A - Wählen (102) von drei Wertpaaren (P3, P4, P5) aus der Reihe,

B - Berechnen (104) der aktuellen Regressionslinie D und Bestimmen eines zugeordneten Tripelfehlers ET = EPD ,

C - Wählen (106) eines Zusatzpaares (P1, P2, P6),

D - Berechnen (108) eines Zusatzfehlers EPm zwischen dem Zusatzpaar und der Funktion,

E - wenn EPD ≤ ET (110) für das Zusatzpaar (110) ist, geht das Verfahren mit dem Schritt C eines folgenden Zusatzpaares weiter, und

F - wenn EPD > ET für wenigstens ein Zusatzpaar (110) ist, geht das Verfahren weiter mit dem Schritt A mit einer Auswahl aus einer anderen Gruppe von drei Paaren der Paarreihe, und G - wenn EPm ≤ ET für alle Zusatzpaare (112) ist, wird die aktuelle Regressionslinie codiert und als Linearannäherungsfunktion gespeichert (114).

8. Verfahren nach Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet, daß die erste Phase folgende Schritte umfaßt:

A - Wählen (102) von drei Wertpaaren (P3, P4, P5) aus der Reihe,

C - Vergleichen (210) des Fehlers ET mit einem Optimalfehler Eop mit einem strikt negativen Anfangswert,

D - wenn ET > Eop ist, Auffrischen (114) des Optimalfehlers Eop durch den Austausch von Eop gegen ET und Auffrischen der Codes einer optimalen Regressionslinie Dop durch den Austausch dieser Codes gegen die Codes der Regressionslinie,

E - anschließende Rückkehr (116) nach Schritt A zum Wählen von drei anderen Paaren, und

F - wenn alle Tripel von Wertpaaren der Reihe überprüft sind (116), bilden die letzten Codes der optimalen Regressionslinie Dop die Codes der Linearannäherungsfunktion (114).

9. Verfahren nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet, daß die erste Phase folgende geänderte Schritte umfaßt:

A1 - Ändern des Schrittes A durch eine solche Wahl (102a) von zwei zur Reihe gehörenden Wertpaaren, daß sich zumindest ein zusätzliches Zwischenpaar mit einer unabhängigen Variablen (X&sub1; - X&sub6;) zwischen den unabhängigen Variablen des Paares zur Bildung zumindest eines Tripelpaares befindet,

A2 - Ändern des Schritts A zunächst durch Bestimmen (102a) einer Zusatzregressionslinie, die das zweite gewählte Paar enthät, und zweitens durch Bestimmen zweiter Fehler zwischen den abhängigen Variablen der möglichen Zwischenpaare und der Zusatzregressionslinie:

und, wenn diese zweiten Fehler alle dasselbe Vorzeichen haben, das Wählen des Zwischenpaares zum Erzeugen des zweiten Fehlers mit dem größten Absolutwert zur Bildung eines Tripelpaares der vom Zwischenpaar und den zwei gewählten Paaren gebildeten Werte,

und wenn diese zweiten Fehler verschiedene Vorzeichen haben, Fortsetzen des Verfahrens im Schritt A1,

B1 - Schritt B (104) wird mit dem gewählten Tripel durchgeführt,

C1 - Ändern des Schritts C (106) durch die Wahl eines Zusatzpaares, dessen unabhängige Variable nicht zwischen den unabhängigen Variablen der zwei gewählten Paare liegt.

10. Verfahren nach Anspruch 9, in dem Sinne geändert, daß vor dem Schritt A1 die Wertpaare als Punkte (P1-P6) in einem zweidimensionalen Raum dargestellt werden, wobei die erste Phase des Verfahrens einen Schritt (100a) zum Bestimmen einer unteren Umhüllenden und einer oberen Umhüllenden umfaßt, die die Außenpunkte der Punktgruppe verbinden, und die Wahl der zwei Wertpaare im Schritt A1 aus benachbarten zu einer der Umhüllenden gehörenden Punkten getroffen wird.

11. Verfahren nach einem oder mehreren der vorangehenden Ansprüche 6 bis 10, dadurch gekennzeichnet, daß ein spezifischer Gewichtungskoeffizient, der das Gewicht der ersten Fehler bestimmt, jedem Wert in der Wertreihe der unabhängigen Variablen zugeordnet wird.

12. Verfahren nach einem oder mehreren der vorangehenden Ansprüche 6 bis 10, dadurch gekennzeichnet, daß damit eine Annäherungsfunktion mit einer Reihe verknüpfter Regressionslinien erzeugt wird.