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Mechanischer Vektorzerleger Bei manchen in der technischen Praxis
zu lösenden Aufgaben ist die selbsttätige Zerlegung eines Vektors, also einer nach
Größe, Richtung und Richtsinn gegebenen Strecke, in zwei dem Richtungssinn nact
gegebene Richtungen durch eine mechanische Vorrichtung erforderlich.
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Das Ergebnis der Vektorzeriegung ist von Bedeutung in doppelter Hinsicht.
Einerseits kommt es darauf an, die in den gegebenen Richtungen liegenden Vektoren
als solche zu finden, andererseits darauf, ob deren Richtungssinn der gleiche oder
entgegengesetzte ist wie derjenige, der den gegebenen Richtungen beigelegt ist.
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Die vorliegende Aufgabe möge durch ein Beispiel aus der artilleristischen
Praxis weiter erläutert werden: Ein Geschütz feuert nach einem Ziel, das unter einem
Winkel a, gegen die durch den Geschützstand verlaufende Nordrichtung gesehen wird.
Es sollen die in die Schußrichtung und in die dazu senkrechte Richtung fallenden
Komponenten eines Windes, der in der Stärke w m/Sek. aus einer unter dem Winkel
aw zur Nordrichtung liegenden Himmelsrichtung weht, hinsichtlich Größe und Richtungssinn
bezüglich der Schußrichtung ermittelt werden. Die Windrichtung a" und die Schußrichtung
a, wienveränderlich, so daß es im Hinblick auf die rasche Eröffnung des Feuers darauf
,ankommt, die genannten Windkomponenten selbsttätig in der Lage von Zeigern im gleichen
Augenblick erkennbar zu machen, in dem die Richtungen a" und a" festliegen. Die
in die Schußrichtung fallende Windkomponente w, beeinflußt nämlich die zur Beschießung
des Zieles erforderliche Rohrerhöhung, die Querwindkomponente w. die zu nehmende
Seitenrichtung. Sowohl bei wi als auch bei w, kommt es aber nicht nur auf Größe
und Richtung, sondern auch auf den Richtungssinn bezüglich der Schußrichtung an,
weil der Gegenwind im allgemeinen auf die Rohrerhöhung entgegengesetzten Einfluß
wie Mitwind hat und der Querwind entgegengesetzte Korrekturen in der Seitenrichtung
erfordert, je nachdem, ob der Querwind bezüglich der Schußrichtung von links oder
von rechts kommt.
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Es sei angenommen, daß der Wind von der Stärke w m/Sek. in einer Richtung
weht, die durch eine gegen die Nordrichtung den Winkel aw einschließende Gerade
durch den Geschützstandort dargestellt wird.
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Der die Stärke und Richtung des Windes darstellende Vektor ist nun
auf die Schußrichtung und auf die dazu senkrechte Richtung zu projizieren, und es
ist festzustellen, ob die in die Schußrichtung fallende Vektorprojektion mit der
Schußrichtung gleich=
sinnig ist oder nicht und ob die senkrecht
dazu liegende Vektorprojektion in der Schußrichtung gesehen von links nach rechts
oder umgekehrt verläuft. Das Beispiel bringt eine Spezialisierung der beschriebenen
Aufgabe nur insofern, als die Richtungen, in denen die Vektorprojektionen gesucht
und beurteilt werden sollen, senkrecht aufeinanderstehen, während diese im allgemeinen
Falle einen beliebigen Winkel einschließen können. -Zur Darstellung des ganz allgemeinen
Falles mögen die auf zwei beliebige Richtungen i und 2 angenommenen Projektionen
des Vektors von der Länge v mit v1 und v2 bezeichnet werden (Fig. i). Die Richtungen,
in welchen die Projektionen gesucht und bezüglich deren Richtungssinn sie zu beurteilen
sind, mögen bezüglich einer festen Nullrichtung 0X, deren Nullpunkt 0 in#den Schnitt
der Richtungen i und 2 verlegt wird, die Winkel a1 und a2 einschließen, der Vektor
soll hierzu unter dem Winkel a" geneigt sein. Die Verlängerung eines beliebig angenommenen
Vektors geht natürlich nicht durch den Punkt 0. Der Vektor kann aber für die hier
zu behandelnde Aufgabe stets in der Parallellage angenommen werden, in welcher seine
Verlängerung den Punkt 0 trifft. Die Winkel a1, a2 und a" mögen alle Werte von 0
bis 2 n annehmen. . Hiernach gilt
| vl-v # cos (21-a") (T) |
| v2 - v # cos (a2 - av) (2) |
Solange dieArgumente (al--a,,) bzw. (a2-a") kleiner als
oder größer als ac sind, ergeben
sich. für v1 und v2 positive Vorzeichen, für Argumente zwischen
und n werden die Vorzeichen negativ. Im ersteren
Falle sind die Vektorprojektionen v1 bzw. v2 mit den Richtungen i und 2 gleichsinnig
-im letzteren gegensinnig (Fig. i).
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Das Problem ist also reduziert auf die mechanische Auflösung, des
oben angegebenen Cleichungspaares nach v1 und v2.
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Die mechanische Ermittlung von v1 und v2 wird erfindungsgemäß wie
folgt bewerkstelligt: Ein Körper W (Fig. 2) -ist um eine Achse d drehbar und- längs
dieser Achse verschiebbar gelagert. Die Oberfläche des Körpers W wird folgendermaßen
bestimmt: Die Gleichung v1 - v # cos a wird auf ein System bezogen,
dessen Koordinaten gekennzeichnet sind und. einen der Größe v entsprechenden Vektor,
der in der Drehachse d liegt, durch eine in der Norrrialebene durch den V ektörenendpunkt
liegende Strecke von der den Wert v, -f- v1 entsprechenden Länge, woher vä eine
beliebige Konstante bedeutet, sowie durch den Polarwinkel a = (a1 - a,,),
den diese Strecke gegen eine anzunehmende Grundrichtung einschließt. Hiernach ist
jeder Normalschnitt zur Drehachse des Kurvenkörpers W durch eine polare Kosinuslinie
begrenzt, die ihrerseits festgelegt wird durch das Argument a - a1
- a,, und die durch die Funktion v1 _--. v # cos (a1 - a,,)
bestimmte Fahrstrahllänge v1, die als positiver oder negativer. Zuschlag zu einer
beliebig wählbaren konstanten Länge v, zu nehmen ist. Bringt man einen federnden
Abtaststift a1 in die durch den Vektor v festgelegte Querschnittsebene, deren Spur
in Fig. 2 mit e bezeichnet ist, und gleichzeitig in die Axialebene, welcher der
Wert a = (a1 - a") entspricht, so wird der gesuchte Wert v1 durch
die Verschiebung dieses Abtaststiftes al dargestellt und kann an der Skala 5 abgelesen
werden. Ein zweiter in derselben Querschnittebene liegender und gegen den Körper
W angedrückter Abtaststift a2 kann um den Winkel a1 - a2 gegen a1 versetzt
gelagert werden. Seine Einstellung gibt dann jeweils den der Gleichung (2) entsprechenden
Wert v2 an. Die dem Wert v entsprechende Relativlage zwischen dem Körper W und der
Abtaststiftebene e wird dadurch hergestellt, daß der Körper W mittels riner
Zahnstange ic in der Achsrichtung verschoben wird. Die Zahnstange u wird durch das
Einstellrad h ängetrieben. Die Achse d ist längs verschieblich gelagert in einer
Hülse k, welche durch ein Vorgelege z gedreht werden kann. Bei der Drehung nimmt
die' Hülse h mittels des Mitnehmerstifte`s m den auf der Achse d festsitzenden
Körper W mit. In Verbindung mit dem Vorgelege wird eine AdditionsmaschinehT benutzt,
in welcher die Differenz a der Winkel a1 und a" mechanisch hergestellt wird. Auf
diese Weise wird bei Einstellung der Werte -a1 und a,, an den Einstellrädern .Al
bzw. A, eine Verdrehung des Körpers W um den Winkel a. erreicht.
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Die den jeweils gegebenen Ausgangswerten v, «l a2 und a,, entsprechende
Relativlage zwischen dem Körper W und den Abtaststiften a1 ,Lind a2 wird -.demnach
gleichzeitig mit der an den Einstellrädern T', Al, A#, vorzunehmenden Festlegung
der Ausgangswerte erreicht. In dieser Relativlage sind die Abtaststifte a1 und a2
aus einer dem Wert v, .entsprechenden Nullage heraus in der Weise verschoben, daß
die Ergebnisse v1 und v2 unmittelbar auf drei Skalen s ablesbar sind. Es bereitet
natürlich keine Schwierigkeiten, noch weitere um die Winkel (al - a3), (a1
-l- a4) . . , gegen a1 versetzte Abtaststifte in der Ebene 2 anzuordnen und
auf diese Weise gleichzeitig noch die in weiteren Richtungen gesuchten -Vektorprojektionen
v3 , ,:,. nach Größe und Richtungssinn
mechanisch zu erzielen, so
daß zu den Gleichungen (i) und (z) noch eine beliebige Zahl weiterer Gleichungen
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hinzugefügt werden kann. Jede dieser Gleichungen liefert Größe und Richtungssinn
von Vektorprojektionen v3 ... in Abhängigkeit von v, a" und den durch die
Winkel a3 . . . gegebenen Richtungen 3 .,..
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Solange das Gerät nur für die Ermittlung undBeurteilung vonVektorproj
ektionen in stets um dieselben Winkel (a1 - a2), (a1 - a3)
...
voneinander abweichenden Richtungen benutzt wird, sind die Führungslager
b1, b2, b3 . .
der Kontaktstifte a1, a2, a3 ... ortsfest. Soll das
Gerät für die Vektorzerlegung nach Richtungen benutzt werden, die von Fall zu Fall
frei wählbare Winkel gegeneinander einschließen, so sind die Führungslager auf einen
mit einer Skala versehenen Kreisring K beweglich und einstellbar anzuordnen. In
diesem Fall können alle Richtungen durch Verschiebung der entsprechenden Führungslager
und damit natürlich auch die erste Richtung (i) unmittelbar durch - Verschiebung
des Führungslagers bi eingestellt werden, so daß die Additionsmaschine M
wegfällt und die Achse d nur nach Maßgabe von a" zu drehen ist.
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Die rechten Seiten der Gleichungen (i), (3) ..., die mit dem beschriebenen
Gerät mechanisch auflösbar sind, haben alle den Faktor v gemeinsam. Man erkennt
hieraus, daß die Aufgabe auch dadurch gelöst werden kann, daß man die Werte
v # cos # (a - a") herstellt und diese mit dem nur von v abhängigen
Faktor
multipliziert. Dies kann mit Hilfe von mechanischen Multipliziermaschinen geschehen.
An Stelle des Körpers W tritt dann eine Scheibe, deren Umfang durch die Polargleichung
r-v#cos a+vo bestimmt ist, oder eine Scheibe mit einer dieser Gleichung entsprechenden
Nut, durch welche die Kontaktstifte mit bekannten Mitteln gesteuert werden.