DE19932631A1 - Verfahren zur Drehung von Bilddatensätzen mit nichtisotroper Ortsauflösung - Google Patents

Abstract

Verfahren zur Drehung von mindestens zweidimensionalen Bilddatensätzen mit nichtisotroper Ortsauflösung, das folgende Verfahrensschritte beinhaltet: DOLLAR A - Beschreibung einer Drehung eines Bilddatensatzes mit einer Drehmatrix, DOLLAR A - Darstellung der Drehmatrix als Produkt mindestens zweier Scherungsmatrizen, die jeweils genau ein Matrixelement aufweisen, das vom Winkel der Drehung abhängig ist, und deren übrigen Matrixelemente ausschließlich Nullen und Einsen sind, DOLLAR A - Multiplikation des vom Winkel der Drehung abhängigen Matrixelements mindestens einer Scherungsmatrix mit einem Faktor, DOLLAR A - Durchführung der Drehung des Bilddatensatzes im Fourierraum ohne Interpolationen und ohne Bildung eines isotropen Hilfsdatensatzes unter Ausnutzung des Verschiebungssatzes der Fouriertransformation durch Ausführung der Scherungsmatrizen als Verschiebungen von Linienelementen des Bilddatensatzes.

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Drehung von minde­ stens zweidimensionalen Bilddatensätzen mit nichtisotroper Ortsauflösung.

In der Literatur ist eine Vielzahl von Verfahren zur Drehung und Verschiebung von Bilddatensätzen bekannt. Diese Verfahren lassen sich grob in zwei Kategorien einteilen. Bei der ersten Kategorie werden die Rotationen und Translationen eines Da­ tensatzes ausschließlich im Bildraum berechnet. Bei der zwei­ ten Kategorie werden die Rotationen und Translationen unter Zuhilfenahme der Fouriertransformation ganz oder teilweise im Fourierraum berechnet.

Die Verfahren erster Kategorie werden im folgenden beispiel­ haft dargelegt. Ausgehend von einem vorhandenen Bilddatensatz erhält man einen gedrehten Bilddatensatz dadurch, indem man beispielsweise folgende zwei Schritte ausführt. Im ersten Schritt werden die Koordinatenpunkte des gedrehten Bilddaten­ satzes dadurch ermittelt, daß die Koordinatenpunkte des vor­ handenen Bilddatensatzes mit einer Drehmatrix multipliziert werden. Der Wert jedes gedrehten Koordinatenpunkts - dabei kann es sich beispielsweise um den Prozentwert auf einer Grauskala handeln - wird in einem Interpolationsprozeß ermit­ telt. Dazu sind mehr oder weniger viele Werte benachbarter Punkte des vorhandenen Bilddatensatzes oder alle Werte in den Interpolationsprozeß einzubeziehen. Die Interpolationen kön­ nen beispielsweise auf einer Sinc-Interpolation beruhen. Daß vorgenannte Interpolationsprozesse einen erheblichen Rechen­ aufwand bedeuten, soll nachfolgendes Beispiel verdeutlichen. Es wird von einem zweidimensionalen Bild mit jeweils 256 Bildpunkten in beiden Dimensionen ausgegangen. Das bedeutet, daß 65.536 Bildpunkte zu drehen sind. Dies bedeutet wiederum, daß für jeden der 65.536 Bildpunkte schlimmstenfalls jeweils eine Interpolation mit der gleichen Anzahl von Bildpunkten durchgeführt werden muß. Dies bedeutet summa summarum einen ganz erheblichen Rechen- und damit Zeitaufwand. Für Verschie­ bungen von Bilddatensätzen nach Verfahren erster Kategorie werden vorausgehend für eine Drehung beschriebene Schritte entsprechend durchgeführt.

Im folgenden werden die Verfahren zweiter Kategorie beispiel­ haft dargelegt. Dabei bedient man sich insbesondere zur Ver­ ringerung des Rechenaufwands der Fouriertransformation. Die Fouriertransformierte F(k) einer eindimensionalen Bildraum­ funktion f(x) ist allgemein definiert als

Für die Rücktransformation gilt:

Als zentrale Eigenschaft der Fouriertransformation steht bei Verfahren zweiter Kategorie der Verschiebungssatz im Vorder­ grund. Der Verschiebungssatz für eine eindimensionale Fou­ riertransformation lautet:

f(x - x₀) im Bildraum entspricht
e^{j.2. π .x₀.k}.F(k) im Fourierraum.

Auf mehrdimensionale Anwendungen übertragen heißt dies, daß eine Verschiebung eines Bilddatensatz um einen beliebigen Vektor sich im Fourierraum in einer Zusatzphase der Fourier­ transformierten abbildet. Im Gegensatz zu Verfahren erster Kategorie sind zur Translation eines Bilddatensatzes keine Interpolationen notwendig. Die Interpolation vollzieht sich dabei aufgrund der Eigenschaften der Fouriertransformation quasi automatisch mit der Transformation in den Fourierraum, Einbringen einer wunschgemäßen Zusatzphase und der entspre­ chenden Rücktransformation. Drehungen von Bilddatensätzen können ebenso unter Zuhilfenahme der Fouriertransformation sowie deren Verschiebungssatz ohne Interpolationen durchge­ führt werden. Dazu wird eine die Rotation beschreibende Dreh­ matrix in ein Produkt entsprechender Scherungsmatrizen zer­ legt. Die Wirkung von Scherungsmatrizen äußert sich in einfa­ chen Verschiebungen von Zeilen bzw. Spalten eines Bilddaten­ satzes. Diese Verschiebungen lassen sich unter Zuhilfenahme der Fouriertransformation und deren Verschiebungssatz im Fou­ rierraum einfach berechnen. Ein Verfahren zweiter Art ist beispielsweise in dem Aufsatz von William F. Eddy, Mark Fitz­ gerald und Douglas C. Nohl "Improved Image Registration by Using Fourier Interpolation", MRM 36, Seiten 923-931, 1996, beschrieben.

Der Fall einer nichtisotropen Ortsauflösung, der bei vielen Anwendungen der häufigere Fall ist, kann mit vorausgehend be­ schriebenem Verfahren zweiter Kategorie nur mit zusätzlichem Aufwand behandelt werden. Nichtisotrope Datensätze sind bei Verfahren erster Kategorie unproblematisch. Bei Drehungen wird beispielsweise anstelle einer kreisförmigen Bahn ledig­ lich eine elliptische Bahn ausgeführt. Der hohe Rechenaufwand für die notwendigen Interpolationen bleibt unverändert. Bei Verfahren zweiter Kategorie muß der nichtisotrope Datensatz in einem ersten Schritt in einen isotropen Hilfsdatensatz um­ gewandelt werden. Danach kann ein Verfahren zweiter Kategorie angewandt werden und abschließend ist der Datensatz wieder in einen nichtisotropen zurück zu wandeln. Diese Wandlungspro­ zesse, sogenannte Resamplingprozesse bedeuten aber unabhängig von der Art und Weise der Durchführung der Resamplingprozesse zusätzlichen Rechenaufwand. In der Praxis wird aus vorgenann­ ten Gründen häufig darauf verzichtet, nichtisotrope Datensät­ ze aufzunehmen.

Der Erfindung liegt daher die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren zu schaffen, welches bei Rotationen und Translationen von nichtisotropen Bilddatensätzen den Berechnungsaufwand verrin­ gert.

Diese Aufgabe wird erfindungsgemäß durch die Merkmale im An­ spruch 1 gelöst. Vorteilhafte Ausgestaltungen der Erfindung sind in den weiteren Ansprüchen beschrieben.

Das Verfahren nach Anspruch 1 umfaßt folgende Verfahrens­ schritte:

• - Beschreibung einer Drehung eines Bilddatensatzes mit einer Drehmatrix,
• - Darstellung der Drehmatrix als Produkt mindestens zweier Scherungsmatrizen, die jeweils genau ein Matrixelement aufweisen, das vom Winkel der Drehung abhängig ist, und deren übrige Matrixelemente ausschließlich Nullen und Ein­ sen sind,
• - Multiplikation des vom Winkel der Drehung abhängigen Ma­ trixelements mindestens einer Scherungsmatrix mit einem Faktor,
• - Durchführung der Drehung des Bilddatensatzes im Fourier­ raum ohne Interpolationen und ohne Bildung eines isotropen Hilfsdatensatzes unter Ausnutzung des Verschiebungssatzes der Fouriertransformation durch Ausführung der Scherungs­ matrizen als Verschiebungen von Linienelementen des Bild­ datensatzes.

Durch einfache, einmal durchzuführende Multiplikationen eines Matrixelements von eine Drehung beschreibenden Scherungsma­ trizen mit Faktoren sind aufwendige Umwandlungen von nichti­ sotropen Bilddatensätzen in isotrope Hilfsdatensätze und ent­ sprechende Rückumwandlungen zum Zweck der Drehung von nichti­ sotropen Bilddatensätzen im Fourierraum überflüssig. Die An­ wendung der Erfindung auf einem Rechnersystem verringert die notwendige Rechenzeit.

In einer vorteilhaften Ausgestaltung ist der Faktor aus­ schließlich von wenigstens einem eine nichtisotrope Ortsauf­ lösung beschreibenden Verhältnis einer Ortsauflösung in einer ersten Dimension zur Ortsauflösung in einer zweiten Dimension abhängig. Mit einem derart gewählten Faktor wird der Fehler zwischen wunschgemäß gedrehtem Bilddatensatz und durch Anwen­ dung des Verfahrens gedrehtem Bilddatensatz minimiert.

In einer besonders vorteilhaften Ausgestaltung gemäß dem Un­ teranspruch 3 bzw. 4 wird für zwei- bzw. dreidimensionale Bilddatensätze vorgenannter Fehler gleich Null.

In einer vorteilhaften Ausgestaltung handelt es sich um Bild­ datensätze, die von einem Computer- oder Magnetresonanz- Tomographiegerät erzeugt werden. Dabei ist die Erfindung ins­ besondere auf dem Gebiet der funktionellen Magnetresonanzto­ mographie vorteilhaft einsetzbar, weil dort die in zeitlicher Folge aufgenommene Bilddatensätze zum Zwecke der Bewegungs­ korrektur fortlaufend zu drehen und zu verschieben sind.

Weitere Vorteile, Merkmale und Einzelheiten der Erfindung er­ geben sich aus dem im folgenden beschriebenen Ausführungsbei­ spiel für ein Verfahren für einen zweidimensionalen Bild­ datensatz sowie anhand der Zeichnungen. Dabei zeigen:

Fig. 1 ein Ablaufdiagramm eines Verfahrens zweiter Kategorie für einen zweidimensionalen Bilddatensatz gemäß dem Stand der Technik und,

Fig. 2 in einer Ausführungsform der Erfindung ein Ablaufdia­ gramm des Verfahrens für einen zweidimensionalen Bilddaten­ satz und

Fig. 3 in einer Ausführungsform der Erfindung ein Ablaufdia­ gramm des Verfahrens für einen dreidimensionalen Bilddaten­ satz.

In den Fig. 1 und 2 wird ein zweidimensionaler Bilddatensatz betrachtet, der aus einer definierten Anzahl von Bildpunkten besteht, deren räumliche Anordnung beispielsweise mittels ei­ nes kartesischen Koordinatensystems mit zwei Koordinatenach­ sen, die als x- und y-Achse bezeichnet werden, beschrieben wird. Damit ist die räumliche Anordnung eines Bildpunktes durch einen bestimmten Koordinatenpunkt (x, y) eindeutig be­ stimmt. Der Wert eines Bildpunktes am Koordinatenpunkt (x, y) wird über eine Funktion f(x, y) eindeutig definiert. Dabei re­ präsentiert vorgenannter Wert beispielsweise einen Grauwert auf einer Farbskala. Ein Faktor a beschreibt das Verhältnis der Ortsauflösung entlang der x-Achse zur Ortsauflösung ent­ lang der y-Achse. Der Bilddatensatz ist um den Koordinatenur­ sprung um den Winkel α zudrehen.

Als ein Ausführungsbeispiel zur Drehung eines zweidimensiona­ len Datensatzes zeigt Fig. 1 ein Ablaufdiagramm für ein Ver­ fahren zweiter Kategorie gemäß dem Stand der Technik. In ei­ nem ersten Schritt ist aus dem nichtisotropen Bilddatensatz ein isotroper Hilfsdatensatz zu erzeugen. Diese Operation wird durch die inverse Streckmatrix S ^-1 beschrieben. Dabei ist die inverse Streckmatrix S ^-1 definiert als

Der isotrope Hilfsdatensatz wird der eigentlichen Drehung un­ terworfen. Dies wird durch Anwendung einer Drehmatrix R auf jeden Bildpunkt beschrieben. Dabei ist die Drehmatrix R defi­ niert als

Um diese Drehung, wie eingangs beschrieben, im Fourierraum unter Ausnutzung des Verschiebungssatzes der Fouriertransfor­ mation durchführen zu können, ist die Drehmatrix R in ein Produkt von Scherungsmatrizen zu zerlegen. Zwischen den Sche­ rungsmatrizen A und B sowie der Drehmatrix R besteht folgen­ der Zusammenhang:

R = A.B.A.

Dabei sind die Scherungsmatrizen A und B definiert als

Abschließend ist der isotrope, gedrehte Hilfsdatensatz wieder in die ursprüngliche, nichtisotrope Ortsauflösung zu überfüh­ ren. Dies wird durch Anwendung der Streckmatrix S auf den isotropen, gedrehten Hilfsdatensatz beschrieben.

Der vollständige Drehprozeß des zweidimensionalen, nicht­ isotropen Bilddatensatzes nach einem Verfahren zweiter Kate­ gorie gemäß dem Stand der Technik um einen Winkel α wird al­ so durch folgende Matrizenoperation beschrieben:

S ^-1.A.B.A.S.

Dabei erfolgt zumindest das Abarbeiten der eigentlichen Dre­ hung, die durch die Matrizenoperation R = A.B.A beschrieben ist, im Fourierraum.

Fig. 2 zeigt in einer Ausführungsform der Erfindung ein Ab­ laufdiagramm des Verfahrens zur Drehung eines zweidimensiona­ len Bilddatensatzes. Dabei wird die Drehung des nichtisotro­ pen Bilddatensatzes ohne Bildung eines isotropen Hilfsdaten­ satzes durch die ausschließliche Anwendung eines Produkts dreier Scherungsmatrizen A _mod.B _mod.A _mod auf den Bilddatensatz erreicht. Dabei sind die Scherungsmatrizen A _mod und B _mod defi­ niert als

Die Scherungsmatrizen A_mod und B _mod sind dadurch gekennzeich­ net, daß ihr vom Winkel der Drehung abhängiges Matrixelement gegenüber den Scherungsmatrizen A bzw. B mit dem Faktor a bzw. 1/a multipliziert ist. Die Anwendung des Produkts von Scherungsmatrizen A _mod.B _mod.A _mod wird im Fourierraum unter Zu­ hilfenahme des Verschiebungssatzes der Fouriertransformation berechnet.

In der Fig. 3 wird ein dreidimensionale Bilddatensatz betrach­ tet, der aus einer definierten Anzahl von Bildpunkten be­ steht, deren räumliche Anordnung beispielsweise mittels eines kartesischen Koordinatensystems mit drei Koordinatenachsen, die als x-, y- und z-Achse bezeichnet werden, beschrieben wird. Damit ist die räumliche Anordnung eines Bildpunktes durch einen bestimmten Koordinatenpunkt (x, y, z) eindeutig be­ stimmt. Der Wert eines Bildpunktes am Koordinatenpunkt (x, y, z) wird über eine Funktion f(x, y, z) eindeutig definiert. Dabei repräsentiert vorgenannter Wert beispielsweise einen Grauwert auf einer Farbskala. Ein Faktor b beschreibt das Verhältnis der Ortsauflösung entlang der x-Achse zur Ortsauf­ lösung entlang der y-Achse und ein Faktor c das Verhältnis der Ortsauflösung entlang der x-Achse zur Ortsauflösung ent­ lang der z-Achse. Der Bilddatensatz ist um den Koordinatenur­ sprung zu drehen. Dabei wird im Dreidimensionalen eine belie­ bige Drehung um den Koordinatenursprung mittels dreier Teil­ drehungen um die drei Koordinatenachsen beschrieben. Eine Teildrehung des Bilddatensatzes um die z-Achse beschreibt der Winkel β, um die y-Achse der Winkel γ und um die x-Achse der Winkel δ.

Der vollständige Drehprozeß eines dreidimensionalen, nicht­ isotropen Bilddatensatzes ist danach für eine Ausführung der Drehung im Fourierraum unter Ausnutzung des Verschiebungssat­ zes der Fouriertransformation durch folgende Matrizenoperation beschrieben:

Dabei sind die Teildrehmatrizen R _{3D β}, R _{3D γ}, und R _{3D δ} sowie die Streckmatrix S _3D definiert als

Ferner sind die Teildrehmatrizen R _{3D β}, R _{3D γ}, und R _{3D δ} als Produk­ te von jeweils drei Scherungsmatrizen darstellbar:

R _{3D ν} = A _{3D ν}.B _{3D ν}.A _{3D ν} mit ν = β, γ, δ.

Dabei sind die Scherungsmatrizen A _{3D ν} und B _{3D ν} mit ν = β, γ, δ definiert als

Bei einem Verfahren zweiter Kategorie gemäß dem Stand der Technik werden zur Drehung eines nichtisotropen, dreidimen­ sionalen Datensatzes folgende Schritte ausgeführt: Zunächst wird ein isotroper Hilfsdatensatz erzeugt. Dies Operation be­ schreibt die inverse Streckmatrix S _3D ^-1. Danach wird die ei­ gentliche Drehung im Fourierraum unter Ausnutzung des Ver­ schiebungssatzes der Fouriertransformation ausgeführt. Diese Operation wird durch die Produkte der Scherungsmatrizen A _{3D ν}.B _{3D ν}.A _{3D ν} mit ν = β, γ, δ beschrieben. Abschließend wird der gedrehte, isotrope Hilfsdatensatz in die nichtisotrope Ursprungsauflösung zurück gewandelt. Diese Operation be­ schreibt die Streckmatrix S _3D.

In einer Ausführungsform der Erfindung gemäß Fig. 3 wird die Drehung eines nichtisotropen, dreidimensionalen Bilddatensatz ohne Bildung eines Hilfsdatensatzes ausgeführt. Zur Herlei­ tung dieses Verfahrens wird vorgenannte Matrizenoperation um­ gewandelt in

Dabei sind die Teilstreckmatrizen S _{3D β}, S _{3D γ} und S _{3D δ} definiert als

Der vollständige Drehprozeß eines dreidimensionalen, nicht­ isotropen Bilddatensatzes wird damit auch durch folgende Ma­ trizenoperation beschrieben:

Die Drehung eines nichtisotropen, dreidimensionalen Bild­ datensatzes ohne Bildung eines isotropen Hilfsdatensatzes wird durch die ausschließliche Anwendung eines Produkts dreier Produkte dreier modifizierter Scherungsmatrizen gemäß fol­ gender Matrizenoperation erreicht:

[A _{3D β mod}.B _{3D β mod}.A _{3D β mod}].[A _{3D γ mod}.B _{3D γ mod}.A _{3D γ mod}].[A _{3D δ mod}.B _{3D δ mod}.A _{3D δ mod}].

Dabei sind die modifizierten Scherungsmatrizen A _{3D ν mod} und B _{3D ν mod} mit ν = β, γ, δ definiert als

Die Scherungsmatrizen A _{3D ν mod} und B _{3D ν mod} mit ν = β, γ, δ werden im Fourierraum unter Ausnutzung des Verschiebungssatzes der Fouriertransformation ausgeführt.

Die modifizierten Scherungsmatrizen A _{3D ν mod} und B _{3D ν mod} mit ν = β, y, δ gehen aus den Scherungsmatrizen A _{3D ν} und B _{3D ν} mit v = β, γ, δ dadurch hervor, daß ihr vom Winkel der Drehung abhän­ giges Matrixelement mit den Faktoren b und 1/b bzw. c und 1/c bzw. c/b und b/c multipliziert werden.

Claims (5)

1. Verfahren zur Drehung von mindestens zweidimensionalen Bilddatensätzen mit nichtisotroper Ortsauflösung, beinhaltend folgende Merkmale:

• - Beschreibung einer Drehung eines Bilddatensatzes mit einer Drehmatrix,
• - Darstellung der Drehmatrix als Produkt mindestens zweier Scherungsmatrizen, die jeweils genau ein Matrixelement aufweisen, das vom Winkel der Drehung abhängig ist, und deren übrige Matrixelemente ausschließlich Nullen und Ein­ sen sind,
• - Multiplikation des vom Winkel der Drehung abhängigen Ma­ trixelements mindestens einer Scherungsmatrix mit einem Faktor,
• - Durchführung der Drehung des Bilddatensatzes im Fourier­ raum ohne Interpolationen und ohne Bildung eines isotropen Hilfsdatensatzes unter Ausnutzung des Verschiebungssatzes der Fouriertransformation durch Ausführung der Scherungs­ matrizen als Verschiebungen von Linienelementen des Bild­ datensatzes.

2. Verfahren nach Anspruch 1, beinhaltend folgendes Merkmal:

• - Der Faktor ist ausschließlich von wenigstens einem eine nichtisotrope Ortsauflösung beschreibenden Verhältnis ei­ ner Ortsauflösung in einer ersten Dimension zur Ortsauflö­ sung in einer zweiten Dimension abhängig.

3. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 2, beinhaltend folgende Merkmale:

• - Beschreibung der Drehung eines zweidimensionalen Bild­ datensatzes um einen Winkel α mit einer 2×2-Drehmatrix:
  
• - Darstellung der 2×2-Drehmatrix als Produkt dreier 2×2- Scherungsmatrizen, wobei das Produkt aus zwei gleichen oberen 2×2-Dreiecksmatrizen und einer unteren 2×2- Dreiecksmatrix besteht und die Hauptdiagonalelemente der 2×2-Dreiecksmatrizen gleich Eins sind:
  
• - Multiplikation der vom Winkel α abhängigen Matrixelemente der 2×2-Scherungsmatrizen mit einem Faktor a, der das Ver­ hältnis der Ortsauflösung in der ersten Dimension zur Ortsauflösung in der zweiten Dimension beschreibt, bzw. 1/a:
  

4. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 2, beinhaltend folgende Merkmale:

• - Beschreibung der Drehung eines dreidimensionalen Bild­ datensatzes mit einem Produkt von drei 3×3-Teildreh­ matrizen, die Erweiterungen der zweidimensionalen 2×2- Drehmatrix sind, wobei um einem Winkel β um eine kartesi­ sche Koordinatenachse der dritten Dimension, um einen Win­ kel γ einer kartesische Koordinatenachse der zweiten Di­ mension und um einen Winkel δ um eine kartesische Koordi­ natenachse der ersten Dimension gedreht wird:
  
• - Darstellung jeder 3×3-Teildrehmatrix als ein Produkt dreier 3×3-Scherungsmatrizen, wobei jedes Produkt aus zwei gleichen oberen 3×3-Dreiecksmatrizen und einer unteren 3×3-Dreiecksmatrix besteht, die Hauptdiagonalelemente der 3×3-Dreiecksmatrizen gleich Eins sind und deren übrigen Matrixelemente genau ein Element aufweisen, welches vom Winkel der zugehörigen Teildrehung abhängig ist, und an­ sonsten Null sind:
  
• - Multiplikation der von den Winkeln β, γ und δ abhängigen Matrixelemente der 3×3-Scherungsmatrizen mit Faktoren b, 1/b, c, 1/c, c/b und b/c, wobei der Faktor b das Verhält­ nis der Ortsauflösung in der ersten Dimension zur Ortsauf­ lösung in der zweiten Dimension und der Faktor c das Ver­ hältnis der Ortsauflösung in der ersten Dimension zur Ortsauflösung in der dritten Dimension beschreibt:
  

5. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, beinhaltend folgendes Merkmal:

• - Die Bilddatensätze werden von einem Computer- oder Magnet­ resonanz-Tomographiegerät erzeugt.