DE19615211A1 - Verfahren zur Rekonstruktion der Zeitinformation einer Handschriftvorlage - Google Patents

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Rekonstruktion der Zeitinformation einer Handschriftvorlage.

Für die automatische Erkennung handschriftlicher Zeichen oder Zeichenfolgen ist es bekannt, daß die Kenntnis des zeitlichen Verlaufs des Schriftzugs die Erkennungsleistung wesentlich fördert. Oft ist aber nur ein statisches Bild einer Handschriftvorlage verfügbar (Off-line-Erkennung). Es sind daher schon verschiedene Ansätze zur Rekonstruk­ tion der Zeitinformation der Handschriftvorlage, d. h. des vermutlichen zeitlichen Verlaufs des Schriftzugs aus dein statischen Bild gemacht worden.

In [1] ist ein Verfahren beschrieben, welches die einzel­ nen Kreuzungspunkte einer Liniendarstellung des Schrift­ bildes, insbesondere einer Polygonapproximation, nach vor­ gegebenen Kriterien auflöst in durchgehende Linien. Ein wesentliches Kriterium ist der zwischen zwei Liniensegmen­ ten an einem Kreuzungspunkt eingeschlossene Richtungswin­ kel. Das Verfahren birgt vor allem Unsicherheiten bei Ver­ zweigungspunkten ohne klar dominierende durchgehende Linie und berücksichtigt kaum die bei Handschrift häufige dop­ pelte Liniendurchfahrung und Richtungsumkehr.

Bei dem in [2] beschriebenen Verfahren wird ebenfalls auf der Basis einer Polygonapproximation ein Weg durch den Schriftzug bestimmt, der jeden Linienabschnitt mindestens einmal durchschreitet und bezüglich der Gesamtweglänge ein Minimum gegenüber anderen Weglängen aufweist (sogenanntes Chinese Postman Problem). Zu offen endenden Seitenlinien können für die formale mathematische Beschreibung paral­ lele Hilfslinien eingeführt werden. Eine Reihe zusätzli­ cher Kriterien sind bei der Durchschreitung des Schrift­ zugs zu beachten. Dieses Vorgehen ist auf Besonderheiten der arabischen Schrift abgestellt und führt bei anderen Handschriften nicht zu zufriedenstellenden Ergebnissen.

Das in [3] beschriebene Verfahren sieht die Zerlegung der Liniendarstellung des Schriftbilds in eine Vielzahl von Grundelementen (primitives) vor, deren Aufeinanderfolge wiederum durch eine Reihe von Regeln bestimmbar sein soll. Die Vorgabe von Grundelementen und Regeln ist problema­ tisch und die Problemlösung kaum mathematisch formulier­ bar.

Ebenfalls mathematisch schwer formulierbar ist ein Ansatz aus (4), bei welchem aus einer Vielzahl von Einzelheiten des Pixelbilds nach globalen, regionalen und lokalen Re­ geln der Zeitverlauf des Schriftzugs rekonstruiert werden soll. Die lokal anzuwendenden Regeln dominieren den Ent­ scheidungsprozeß.

Aufgabe der vorliegenden Erfindung ist es, ein weiteres Verfahren zur Rekonstruktion der Zeitinformation einer Handschriftvorlage anzugeben. Insbesondere ist auch ein Verfahren angestrebt, das mathematisch gut formulierbar ist.

Die Erfindung ist im Patentanspruch 1 beschrieben. Die Un­ teransprüche enthalten vorteilhafte Ausgestaltungen und Weiterbildungen der Erfindung.

Das erfindungsgemäße Verfahren behandelt die Rekonstruk­ tion der Zeitinformation als für den gesamten betrachteten Schriftzug globales Optimierungsproblem und kann auf lo­ kale Interpretationsregeln verzichten. An einem Kreu­ zungspunkt wird nicht eine Einzelentscheidung über den weiteren Verlauf getroffen, sondern alle möglichen Über­ gänge auf ein anderes Segment sind zulässig und werden mit im Regelfall unterschiedlichen Kostengewichten belastet. Die Entscheidung über einen einzelnen Kreuzungspunkt wird im Rahmen der globalen Optimierung gefällt. Wesentlich ist, daß die Übergänge zwischen Segmenten bewertet werden. In einer bevorzugten Ausführungsform wird die Rekonstruk­ tion der Zeitinformation formal auf ein graphentheoreti­ sches Standardproblem, daß sogenannte Travelling Salesman Problem (TSP) zurückgeführt.

Die Erfindung ist nachfolgend anhand von Beispielen unter Bezugnahme auf die Abbildungen noch eingehend veranschau­ licht. Dabei zeigt:

Fig. 1 ein Pixelbild eines handgeschriebenen Buchstabens

Fig. 2 eine Skelettdarstellung der Fig. 1

Fig. 3 die Fig. 2 mit einem zugehörigen Line-Graphen

Fig. 4 den Line-Graphen der Fig. 3 allein

Fig. 5A den mit Kostengewichten versehenen Line-Graphen

Fig. 5B den vervollständigten Line-Graphen

Fig. 5C den um einen Hilfsknoten erweiterten vollständigen Line-Graphen

Fig. 6 ein Beispiel für eine Winkelbewertung

Fig. 7 die Zerlegung eines längeren Schriftzugs in Teil­ probleme

Fig. 8A-C ein weiteres Beispiel einer handgeschriebenen Buchstabens und dessen Line-Graphen.

Das Pixelbild der Fig. 1 stellt ein rechtwinkliges Schwarz-Weiß Punktraster eines handgeschriebenen Buchsta­ bens "s" dar. Das erfindungsgemäße Verfahren geht vorzugs­ weise von einer Liniendarstellung wie in Fig. 2 aus, die aus dem Pixelbild der Fig. 1 durch eines von mehreren be­ kannten Verfahren zur sogenannten Skelettierung von Schriftbildern (z. B. [5], [6]) abgeleitet ist. Der Schriftzug kann unterteilt werden in mehrere Linienseg­ mente, die Eckpunkte, z. B. A, D, F in Fig. 2 und Kreuzungs­ punkte, in denen drei oder mehr Segmente zusammenlaufen, z. B. B, C, E in Fig. 2, verbinden.

Für die Rekonstruktion der Zeitinformation des Schriftzugs wird ein Weg durch das Linienbild bestimmt, welcher jedes Liniensegment mindestens einmal durchläuft. Eine Rich­ tungseinschränkung braucht dabei nicht vorgenommen werden, ergibt sich aber zum Teil implizit durch die Annahme, daß bei einem längeren Schriftzug mit mehreren Zeichen diese in einer Schreibrichtung, z. B. von links nach rechts fortlaufend aufeinanderfolgen. Es ist weiter als zulässig betrachtet, daß durch Richtungsumkehr ein Segment unmittelbar nacheinander in entgegengesetzten Richtungen durchlaufen wird.

Das Überwechseln von einem Segment auf ein anderes Segment durch Durchqueren eines gemeinsamen Kreuzungspunkt sei als Übergang bezeichnet. Durch die a priori uneingeschränkten Übergangsmöglichkeiten ergibt sich in der Problemstellung eine Mehrzahl von Wegen, welche die Bedingung, jedes Seg­ ment mindestens einmal zu durchlaufen, erfüllen. Die Ent­ scheidung, welcher der möglichen Wege vermutlich derjenige ist, der zu dem untersuchten Schriftbild geführt hat, wird als globale Optimierungsaufgabe behandelt, indem erfin­ dungsgemäß jedem Übergang von einem Segment auf ein an­ deres ein Kostengewicht zugewiesen wird und der Weg be­ stimmt wird, dessen Kostengewichtssumme gegenüber anderen Wegen ein Minimum einnimmt. Die Kostengewichte werden vor­ zugsweise von bei einem Übergang erfolgenden Richtungsän­ derung abhängig zugewiesen.

Die Bestimmung der Richtungsabweichung zweier Segmente an einem gemeinsamen Kreuzungspunkt kann nach an sich bekann­ ten Verfahren erfolgen, z. B. wie in [1], wo auch eine Be­ wertungsfunktion für die Richtungsänderung angegeben ist, die aber nur zur lokalen Entscheidungsfindung dient. Eine solche Abhängigkeit zugewiesener Kostengewichte von einer Richtungsänderung der Schriftzugslinie soll die Gewohnhei­ ten beim Schreiben berücksichtigen. Hierbei kann insbeson­ dere eine Abhängigkeit vorgegeben werden, bei welcher die Kostengewichte von einem Maximum für eine 90-Grad-Rich­ tungsänderung nach Null Grad und nach 180 Grad hin jeweils monoton fallen. Die Abhängigkeit der Kostengewichte von der Richtungsänderung kann auch vorteilhaft aus Trainings-Schriftproben, deren originale Zeitinformation bekannt ist, abgeleitet werden, z. B. indem häufiger auftretenden Richtungsänderungswinkeln geringere Kostengewichte zugewiesen werden als weniger häufig auftretenden, oder indem die Kostengewichtszuweisung auf maximale Rekonstruk­ tionsleistung bei Anwendung auf die Trainings-Schriftpro­ ben abgestimmt wird.

Zur Lösung der Optimierungsaufgabe wird vorteilhafterweise die Liniendarstellung der Fig. 2 des Schriftzugs überführt in eine sogenannte Line-Graph-Darstellung. Diese Transfor­ mation ist veranschaulicht in Fig. 3, wo die Linienseg­ mente jeweils durch Buchstabenpaare AB, BC, BE, . . . der durch die Segmente jeweils verbundenen beiden Eck­ und/oder Kreuzungspunkte A bis F bezeichnet sind. Für die Line-Graph-Darstellung werden die Segmente als Knoten des Line-Graphen behandelt. Knoten des Line-Graphen, deren zu­ gehörige Segmente der Liniendarstellung in einem Kreu­ zungspunkt zusammentreffen, sind im Line-Graph durch eine als Kante bezeichnete Linie unmittelbar verbunden. Den einzelnen Kanten des Line-Graphs kann daher jeweils genau ein zulässiger Segmentübergang der Liniendarstellung zuge­ ordnet und auch dessen jeweiliges Kostengewicht zugewiesen werden. In Fig. 4 ist der aus Fig. 2 gemäß Fig. 3 gebil­ dete Line-Graph allein und in Fig. 5A mit zugewiesenen Ko­ stengewichten C(ABC), C(BCD), etc. dargestellt. Für den Line-Graph der Fig. 5A ist die Optimierungsaufgabe in äquivalenter Weise so zu lösen, daß ein Weg durch den Line-Graphen bestimmt wird, der jeden Knoten mindestens einmal enthält und dessen Summe der Kostengewichte aller dabei durchlaufener Kanten ein Minimum einnimmt. Es muß nicht jede Kante durchlaufen werden und es können Kanten mehrfach, auch unmittelbar aufeinanderfolgend und in entgegengesetzten Richtungen durchlaufen werden. Die Kostengewichte mehrfach durchlaufener Kanten werden dabei (ebenso wie die Kostengewichte mehrfach erfolgter Über­ gänge bei der Liniendarstellung) mehrfach gezählt.

Gemäß einem weiteren vorteilhaften Schritt wird der ur­ sprüngliche Line-Graph der Fig. 5A, dessen Kanten unmit­ telbare Übergänge zwischen zwei Segmenten des Schriftzugs repräsentieren, durch Ergänzungskanten zu einem vollstän­ digen Line-Graph, d. h. einem Line-Graph, bei welchem jeder Knoten mit jedem anderen Knoten unmittelbar durch eine Kante verbunden ist ergänzt. Die Ergänzungskanten reprä­ sentieren mittelbare Segmentwechsel in der Liniendarstel­ lung über mindestens ein weiteres Segment. Den Ergänzungs­ kanten werden wiederum Kostengewichte zugewiesen, die je­ weils als Kostensumme des kostengünstigsten Verbindungs­ wegs im ursprüngliche Line-Graphen bestimmt werden.

Im skizzierten Beispiel der Fig. 5B, in welcher einige der Ergänzungskanten mit größerer Strichbreite eingezeichnet sind (der Übersichtlichkeit halber sind die Ergänzungskan­ ten BE-CD und BC-EF nicht eingezeichnet), wäre beispiels­ weise das Kostengewicht C(ABCD) der Ergänzungskante zwi­ schen Knoten AB und CD gleich der Summe der Kostengewichte C(ABC) und C(BCD) unter der Annahme, daß im ursprünglichen Line-Graphen der Fig. 5A der kostengünstigste Weg (d. h. der Weg mit der geringsten Kostengewichtssumme der durch­ laufenen Kanten) von AB über BC nach CD führt.

Für den vollständigen Line-Graph der in Fig. 5B skizzier­ ten Art stellt sich die Optimierungsaufgabe so, daß der Weg durch den Line-Graphen bestimmt wird, der jeden Knoten genau einmal enthält und ein Minimum der Kostengewichts­ summe der durchlaufenen Kanten aufweist. Bei einem solchen Weg wird keine Kante mehrfach durchlaufen.

Schließlich wird der vollständige Line-Graph der in Fig. 5B skizzierten Art noch vorteilhafterweise nach Art der Fig. 5C durch einen Hilfsknoten P erweitert der mit jedem Knoten des vollständigen Line-Graph über eine Hilfskante in unterbrochenen Linien verbunden ist. Der besondere Vor­ teil dieses Schrittes liegt darin, daß damit die Optimie­ rungsaufgabe mit der Suche nach einem jeden Knoten genau einmal enthaltenden geschlossenen Pfad (Rundweg) durch den erweiterten Line-Graph wiederum unter Minimierung der Ko­ stengewichtssumme auf eine besonders eingehend untersuchte Graphentheoretische Problemstellung des sogenannten "Tra­ velling Salesman Problems" gebracht ist und für die Lösung dieser Formulierung der Optimierungsaufgabe auf eine große Zahl von Lösungsansätzen zurückgegriffen werden kann, ohne die erfindungswesentliche Bewertung der Segmentübergänge aufgeben zu müssen. Die Rundreise im Travelling Salesman Problem ist äquivalent einem Hamilton-Zyklus mit minimalem Gewicht in einem vollständigen Graphen.

Das Ergebnis der Optimierungsaufgabe in der letztgenannten Formulierung liefert einen Rundweg durch den erweiterten Line-Graphen. Die auf diesem Rundweg über je eine Hilfs­ kante mit dem Hilfsknoten P verbundenen Knoten des Line-Graph werden als Startknoten und als Schlußknoten eines nicht geschlossenen optimalen Weges durch den Line-Graph behandelt. Aus diesem Weg durch den Line-Graph läßt sich unmittelbar ein Weg durch die Liniendarstellung mit einem Startsegment und einem Schlußsegment ableiten. Die Seg­ mentfolge dieses Wegs enthält die gesuchte Zeitinformation des Schriftzugs. Aus der bis dahin symmetrischen Betrach­ tung wird im Regelfall eine eindeutige Variante durch die bei gegebener Schriftart vorgegebene Schreibrichtung, z. B. von links nach rechts in lateinischer Schrift, unter­ scheidbar sein. Bei Einzelzeichen können andere aus dem Stand der Technik bekannte Kriterien, z. B. typische Strichformen an Startpunkten und Schlußpunkten von Schriftzügen hilfsweise mit herangezogen oder beide symme­ trische Lösungen der Zeichenerkennung unterworfen werden.

Für einfache Schleifen innerhalb des Schriftzugs wie in Fig. 6 dargestellt ergibt sich bei der Zuweisung eines Ko­ stengewichts für den Übergang zwischen dem Schleifenseg­ ment L und einem am Kreuzungspunkt K zusammentreffenden normalen Liniensegment S die Situation, daß prinzipiell zwei Übergänge (Pfeillinien in Fig. 6) geometrisch unter­ scheidbar sind und wegen unterschiedlicher Richtungsände­ rungen verschiedene Kostengewichte c(SL)₁ und c(SL)₂ zuzu­ weisen wären, was der formale Lösungsweg aber nicht vor­ sieht. Eine bevorzugte Ausführungsform sieht hierzu vor, daß für den Übergang zwischen dem normalen Liniensegment und dem Schleifensegment das kleinere dieser beiden Ko­ stengewichte zugewiesen wird, c(SL) = Min (c(SL)₁, c(SL)₂). Gemäß einer anderen Ausführungsform kann das Schleifensegment durch einen fiktiven Trennpunkt in zwei Teilsegmente (z. B. L₁, L₂) aufgespalten werden, denen dann die beiden für das Schleifensegment in Frage kommenden Ko­ stengewichte eindeutig zuweisbar sind. Das Kostengewicht für den Übergang zwischen den Teilsegmenten ist niedrig, vorzugsweise gleich Null zu setzen. Vorzugsweise wird zur Bestimmung der Winkel eine approximierte Liniendarstellung mit aus Geradenstücken zusammengesetztem Schriftzug wie in Fig. 6 verwandt.

Bei der Darstellung der Optimierungsaufgabe mit einem Hilfsknoten nach Art der Fig. 5C sind den Hilfskanten zur formalen Problemlösung ebenfalls Kostengewichte zuzuwei­ sen. Hierfür werden vorteilhafterweise zwei Situationen unterschieden, die anhand der Fig. 7 erläutert werden.

In Fig. 7 liegt der Name "Duxbury" handschriftlich mit ei­ nem isolierten Anfangsbuchstaben "D" und einem mit durch­ gehender Linie geschriebenen Rest "uxbury" in Liniendar­ stellung vor. Eck- und Kreuzungspunkte sind eingetragen aber nicht näher bezeichnet. Für den längeren Wortteil ist zweifelsfrei das Vorliegen einer Zeichenfolge anzunehmen, für deren gesamten Schriftzug wegen der Schreibrichtung von links nach rechts der Startpunkt im linken Bereich und der Schlußpunkt im rechten Bereich zu suchen ist. Auf die­ ser Basis wäre die Zahl der möglichen Wege bereits einge­ schränkt. Die Zahl der Liniensegmente und damit der Knoten des Line-Graph wäre aber hoch und die formale Lösung der Optimierungsaufgabe damit sehr aufwendig. Es ist daher sinnvoll die Untersuchung des langen Schriftzugs in Tei­ laufgaben zu zerlegen. Hierfür wird der längere Schriftzug so in aufeinanderfolgende Abschnitte zerlegt, daß die Li­ nienführung von einem Abschnitt zum nächsten eindeutig ist. Die durch die senkrechten Linien markierten Schnitt­ stellen auf der Schriftlinie werden jeweils nur einmal von links nach rechts durchlaufen. Verfahren zu einer solchen Zerlegung sind an sich bekannt. Besonders vorteilhaft ist es, aus der vorgegebenen Schreibrichtung (z. B. von links nach rechts) einen Wortanfang und ein Wortende abzuleiten und Schnittstellen derart in Liniensegmente einzufügen, daß an der Schnittstelle auf beiden Seiten des Schriftzugs diesselbe Zusammenhangsgebiet (Kontur) vorliegt und von den beiden durch das durchschnittene Liniensegment verbun­ denen Kreuzungspunkten der eine näher am Wortanfang und der andere näher am Wortende liegt. Die mittleren Ab­ schnitte weisen dann ein eindeutiges Eingangssegment und ein eindeutiges Ausgangssegment auf und die Optimierungs­ aufgabe wird für jeden Abschnitt separat gelöst, wobei je­ weils Anfangssegment und Schlußsegment vorgegeben sind. Die links und rechts endständigen Abschnitte zeigen inso­ fern eine Besonderheit, als hierbei um dem Ergebnis der Rekonstruktionsoptimierung nicht vorzugreifen, eventuell mehrere Startsegmente bzw. Schlußsegmente vorgegeben und die daraus resultierenden mehreren Ergebnisse der Optimie­ rung nochmals untereinander verglichen werden können.

Die Abschnitte mit vorgegebenem Startsegment und Schluß­ segment stellen den einen der genannten beiden Fälle bei der Zuweisung von Kostengewichten zu den Hilfskanten dar. Da die Optimierungsaufgabe nicht zu einer Lösung führen soll, welche einen Weg mit anderem Start- und/oder Schluß­ segment als den vorgegebenen als Ergebnis liefern soll, werden in einer solchen Situation den Hilfskanten, die zu den dem vorgegebenen Start- bzw. Schlußsegment entspre­ chenden Knoten des Line Graph führen, geringe Kostenge­ wichte, vorzugsweise nicht höher als das niedrigste Ko­ stengewicht des vollständigen Line-Graphen (Fig. 5B) ins­ besondere gleich Null, und den übrigen Hilfskanten hohe Kostengewichte, insbesondere höher als das höchste Kosten­ gewicht des vollständigen Line-Graphen, zugewiesen.

Der andere der beiden Fälle bei der Zuweisung von Kosten­ gewichten zu den Hilfskanten ist typischerweise bei der Betrachtung von Einzelzeichen wie dem "D" in Fig. 7 gege­ ben, wo kein Anfangssegment und kein Schlußsegment sicher vorgebbar ist. Zu diesem Fall werden vorzugsweise allen Hilfskanten gleiche Kostengewichte, die auch gleich Null sein können, zugewiesen.

In Fig. 8A ist als weiteres Beispiel ein handschriftliche Buchstabe B im Pixelbild dargestellt. Fig. 8B zeigt die daraus abgeleitete Liniendarstellung (Skelett) mit Knoten und Kanten des Line-Graphen, der in Fig. 8C mit Ergän­ zungskanten (punktiert) vervollständigt und durch Hilfs­ knoten P und Hilfskanten (unterbrochene Linien) erweitert ist.

Die Erfindung ist nicht auf die beschriebenen Beispiele beschränkt und insbesondere mit weiteren Verfahren der Er­ kennung von handschriftlicher Information kombinierbar.

Literatur

[1] Boccignone, Chianese, Cardella, Marcelli: "Recove­ ring Dynamic Information From Static Handwriting" in Pattern Recognition, Vol. 26, No. 3, pp. 409-418, 1993
[2] Abuhaiba, Ahmed: "Restoration of Temporal Informa­ tion In Off-Line Arabic Handwriting" in Pattern Recognition, Vol. 26, No. 7, pp. 1009-1017, 1993
[3] Govindaraju, Wang, Srihari: "Using Temporal Infor­ mation In Off-Line Word Recognition" USPS Advanced Technology Conference, pp. 529-543, 1992
[4] Doermann, Rosenfeld: "Recovery Of Temporal Infor­ mation From Static Images on Handwriting", Procee­ dings of the IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition 1992, pp. 162-168
[5] E. Mandler, M.F. Oberländer: "A Single Pass Algo­ rithm for Fast Contour Coding of Binary Images Proceedings of the 12th DAGM-Symposium, pp. 248-255, 1990 (in german)
[6] P. Kwok: "A Thinning Algorithm by Contour Genera­ tion", Communications of the ACM, Vol. 31, No. 11, pp. 1314-1324, 1988

Claims (9)

1. Verfahren zur Rekonstruktion der Zeitinformation einer Handschriftvorlage mit folgenden Merkmalen

• - aus dem durch optische Abtastung der Vorlage ge­ wonnenen digitalisierten Bild werden Endpunkte und Kreuzungspunkte sowie diese verbindende Linienseg­ mente innerhalb eines zusammenhängenden Schrift­ zugs bestimmt
• - allen möglichen Übergängen zwischen je zwei Seg­ menten über einen gemeinsamen Kreuzungspunkt wird ein Kostengewicht zugewiesen
• - es wird ein Weg durch den Schriftzug bestimmt, der jedes Segment mindestens einmal durchläuft und dessen Kostengewicht-Summe aller auf diesem Weg erfolgter Übergänge ein Minimum im Vergleich zu anderen Wegen einnimmt.

2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die Kostengewichte in Abhängigkeit von dem Winkel, den die an dem betroffenen Übergang beteiligten Segmente am Kreu­ zungspunkt einschließen, gewählt werden.

3. Verfahren nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß die Kostengewichte für einen Winkel von 90 Grad maximal sind und nach 0 Grad und nach 180 Grad hin monoton fallen.

4. Verfahren nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß die Kostengewichte aus Lernproben mit gegebener Zeitinfor­ mation ermittelt werden.

5. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, daß die Darstellung des Schriftzugs mit Liniensegmenten und Kreuzungspunkten in eine Line-Graph-Darstellung übergeführt wird, in welcher die Linienseg­ mente durch Knoten und die Übergänge zwischen Linienseg­ menten durch Kanten zwischen den zugeordneten Knoten re­ präsentiert sind, und daß ein Weg durch den Line-Graphen bestimmt wird, der jeden Knoten mindestens einmal enthält und dessen Kostengewichts-Summe aller auf diesem Weg durchlaufener Kanten ein Minimum im Vergleich zu anderen Wegen einnimmt.

5. Verfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß der Line-Graph durch Ergänzungskanten zwischen ursprüng­ lich nicht unmittelbar verbundenen Knoten zu einem voll­ ständigen Graphen ergänzt wird, wobei den Ergänzungskanten Kostengewichte zugewiesen werden, die gleich der Summe der Kostengewichte der Kanten des jeweils kostengünstigsten indirekten Wegs im ursprünglichen Line-Graphen sind, und daß ein Weg durch den vollständigen Line-Graphen bestimmt wird, der jeden Knoten genau einmal enthält und ein Mini­ mum der Kostengewichts-Summe aufweist.

7. Verfahren nach Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet, daß ein Hilfsknoten und Hilfskanten von diesem zu allen Knoten des vollständigen Line-Graphen eingeführt werden und ein geschlossener Rundweg durch den vollständigen Line-Graphen mit Hilfsknoten und Hilfskanten bestimmt wird, der jeden Knoten einschließlich des Hilfsknotens genau einmal ent­ hält (Travelling Salesman Problem).

8. Verfahren nach Anspruch 7, dadurch gekennzeichnet, daß allen Hilfskanten gleiche Kostengewichte zugewiesen wer­ den.

9. Verfahren nach Anspruch 7, dadurch gekennzeichnet, daß aus dem vollständigen Line-Graphen ein Knotenpaar als Startknoten und als Schlußknoten vorgegeben werden und den Hilfskanten zu diesen beiden Knoten geringe Kostenge­ wichte, die nicht höher sind als das niedrigste Kostenge­ wicht des Line-Graphen, und den übrigen Hilfskanten hohe Kostengewichte, die höher sind als das höchste Kostenge­ wicht des vollständigen Line-Graphen, zugewiesen werden.