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Die
vorliegende Erfindung betrifft ein Verfahren zur Minimierung des
Fehlers einer Messgröße gemäß dem Oberbegriff
des Patentanspruchs 1.
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Üblicherweise
weisen Messsignale neben dem Informationsanteil einen Rauschanteil
auf. Üblicherweise
wird die Rauschamplitude bzw. der Rauschanteil eines Messsignals
durch Tiefpassfilterung auf Kosten der Responszeit reduziert.
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Aus
diesem Grunde ist es erforderlich, beim Bewerten eines Messsignals
im allgemeinen einen Kompromiss zwischen kleiner Rauschamplitude
und kurzer Responsezeit zu finden.
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Nach
dem Stand der Technik werden oft Filter mit fester hoher Bandbreite
eingesetzt, welche eine kurze Responsezeit aufweisen; derartige
Filter weisen aber eine hohe Rauschamplitude auf. Andererseits kann
durch die Verwendung von Filtern mit fester niedriger Bandbreite
die Rauschamplitude reduziert werden, allerdings, wie bereits erwähnt resultiert
diese Vorgehensweise in einer längeren
Responsezeit.
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Wenn
also neben einer kurzen Responsezeit eine geringe Rauschamplitude
erwünscht
ist, dann ist ein Filter mit fester Bandbreite, wie es der Stand der
Technik lehrt, nicht geeignet.
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Des
weiteren sind nach dem Stand der Technik Verfahren zur Fehlerminimierung
bekannt, welche auf einer Steuerung der Bandbreite anhand fest vorgegebener
Werte basieren. Hierbei können
die Resultate nur für
einen bestimmten Bereich des Signals optimal sein.
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Aus
der
DE 3620614 A1 ist
ein Verfahren zum Filtern eines verrauschten Signals für einen Regler
bekannt, im Rahmen dessen das Eingangssignal für den Regler vor der Zuführung zum
Regler einem Filter zugeführt
wird, dessen Zeitkonstante in der einen Richtung klein und in der
anderen Richtung groß ist,
wobei der Filter als Tiefpassfilter ausgeführt ist.
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Für den Fall,
dass das Messsignal eine große
Variation in Richtung des „gefährlichen" Zustandes aufweist
(z.B. ein Behälter
läuft plötzlich leer), wird
die Bandbreite des Tiefpassfilters auf einen hohen Wert (schnell)
eingestellt, so dass die Regelung zuverlässig den „gefährlichen" Zustand verhindert (Behälter wird
schnell nachgefüllt).
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Für den Fall,
dass das Messsignal normale Variationen aufweist, wie sie für die immer
vorhandenen Störungen
typisch sind, wird die Bandbreite des Tiefpassfilters auf einen
niedrigen Wert (langsam) eingestellt, so dass die Regelung ein Istwertsignal ohne
Störungen
erhält.
Die Steuerung der Bandbreite des Tiefpassfilters übernimmt
eine Schaltung, die im wesentlichen die Differenz zwischen dem ungefilterten
Messsignal und dem tiefpassgefilterten Messsignal bewertet.
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Aus
der
DE 19983795 T1 ist
ein Verfahren zum Filtern eines Prozessgrößenausgangssignals bekannt,
bei dem das Sensor signal durch einen Tiefpassfilter geleitet wird,
dessen Bandbreite einstellbar ist. Für den Fall, dass das Messsignal
große
Störanteile
aufweist, wird die Bandbreite des Tiefpassfilters auf einen niedrigen
Wert (langsam) eingestellt, so dass die Störanteile herausgefiltert werden.
Für den Fall,
dass das Messsignal keine Störanteile
aufweist, wird die Bandbreite des Tiefpassfilters auf einen hohen
Wert (schnell) eingestellt, so dass das Messsignal kaum verzögert wird.
Die Verzögerung
des Messsignals im Falle hoher Störanteile wird in Kauf genommen,
da Störungen
nur gelegentlich auftreten.
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Die
Steuerung der Bandbreite des Tiefpassfilters übernimmt gemäß der
DE 19983795 T1 eine Schaltung,
die im wesentlichen die Variation eines Steuersignals in einem vorgegebenen
Frequenzbereich misst. Eine große
Variation (Störung
vorhanden) hat eine niedrige Bandbreite beim Tiefpassfilter (langsam)
zur Folge (Störung
ausfiltern). Als Steuersignal dient entweder das Originalsignal
oder, falls vorhanden, ein Signal eines anderen Sensors, der ein
unabhängiges
Maß für die Störung liefert.
Die Entscheidungsgröße, bei
welcher Störungsamplitude welche
Bandbreite für
den Tiefpassfilter zu wählen ist,
ist nicht determiniert und muss dem entsprechenden Anwendungsfall
experimentell angepasst werden.
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Aus
der
US 5399335 ist ein
Verfahren zum Verarbeiten eines digitalen Signals in einem Gerät mit einem
Eingang und einem Ausgang des Fehlers einer Messgröße bekannt,
bei dem das Sensorsignal durch einen Tiefpassfilter geleitet wird,
dessen Bandbreite einstellbar ist. Tritt das Signal deutlich aus
einem Toleranzband heraus, so wird eine wahre Eingangssignalvariation
erkannt und die Bandbreite des Filters wird hochgesetzt um sicherzustellen,
dass der Filter der wahren Eingangssignalvariation schnell folgen
kann. Dieses schnelle Folgen geht in nachteiliger Weise auf Kosten
der Rauschunterdrückung.
Bleibt danach die Eingangssignalvariation kleiner als das Toleranzband
oder wechselt sie das Vorzeichen, so wird die Bandbreite des Filters
wieder zurückgenommen,
so dass das Eingangssignal wieder stark gefiltert wird.
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Um
die Signalvariation zu ermitteln, wird gemäß der
US 5399335 immer die Differenz des
Originalsignals voller Bandbreite mit einer gefilterten Version
verglichen, wobei zur Bewertung der Signalvariation diese immer
mit der gleichen konstanten Rauschamplitude verglichen wird, die
dem Rauschen bei maximaler Bandbreite entspricht.
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Der
vorliegenden Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren
zur Minimierung des Fehlers einer Messgröße, insbesondere eines zu messenden Signals
anzugeben, welches die Nachteile des Standes der Technik vermeidet.
Insbesondere soll eine hinsichtlich des Rauschens und der Responsezeit optimale
Signalausgabe gewährleistet
werden.
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Diese
Aufgabe wird durch die Merkmale des Patentanspruchs 1 gelöst. Weitere
Ausgestaltungen und Vorteile gehen aus den Unteransprüchen hervor.
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Demnach
wird ein Verfahren zur Minimierung des Fehlers einer Messgröße, insbesondere
eines zu messenden Signals, mittels Filterung mit variabler Bandbreite
vorgeschlagen, bei dem nicht rauschbedingte Signaländerungen,
also Änderungen des
Informationsanteils des Signals frühestmöglich erkannt werden, wobei
erfindungsgemäß die Bandbreite
anhand eines verfahrensimmanenten physikalischen Kriteriums geregelt
wird.
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Bevorzugterweise
wird gemäß der Erfindung die
Bandbreite derart geregelt, dass die Variation des Mess-Signals
ein vorgegebenes Vielfaches des intrinsischen Rauschens des Messwertgebers
gerade nicht übersteigt;
die Bandbreitenregelung erfolgt vorzugsweise durch Auswahl des geeigneten
Filters aus einer Filterbank, welche eine Parallelschaltung oder eine
Serienschaltung von Filtern sein kann.
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Des
weiteren ist es möglich,
die Filterung in einem Rechner durchzuführen, so dass keine Filterhardware
benötigt
wird. Für
ein in einem Rechner implementiertes Verfahren kann sich eine Serienschaltung
als vorteilhaft erweisen, da die Ausgabedaten eines Filters zur
Berechnung der Ausgabedaten des nächstliegenden Filters mit niedrigerer
Handbreite verwendet werden können.
Hierbei kann eine Datenratenreduzierung stadtfinden, welche erheblich
Rechenzeit und Speicherplatz spart. Dahingegen liefert bei einer
hardwarebasierten Lösung
eine Parallelschaltung die schnellsten Resultate, da bei einer Serienschaltung
die Gruppenlaufzeiten (also die Responszeiten) der Filter addiert
werden müssen.
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Hierbei
wird das intrinsische Rauschen aus der bekannten spektralen Rauschleistungsdichte
des Messwertgebers und der Bandbreite des jeweiligen Filters berechnet;
in vorteilhafter Weise wird als Variation des Messsignals die Differenz
des betrachteten Filterausgangs zu einer noch stärker bandbreitenbegrenzten
Version des Signals betrachtet.
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Es
ist insbesondere vorgesehen, dass ausgehend von einem Filter höchster verfügbarer Bandbreite
immer kleinere Bandbreiten betrachtet werden, bis, wie bereits erläutert, die
jeweilige Variation des Messsignals größer ist als das zugehörige intrinsische
Rauschen des Messwertgebers. Ausgewählt und zur Anzeige verwendet
wird der Filter mit der niedrigsten Bandbreite für den gilt, dass sowohl bei diesem
als auch bei allen Filter mit höherer
Bandbreite zu diesem Zeitpunkt die Variation des Messsignals ein
vorgegebenes Vielfaches des intrinsischen Rauschens des Messwertgebers
nicht übersteigt.
Wenn kein Filterausgang mit dieser Eigenschaft ermittelt werden
kann, so wird der Filterausgang mit der höchsten Bandbreite ausgewählt, da
dessen Responsezeit am kürzesten
ist.
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Durch
das erfindungsgemäße Verfahren
ist gewährleistet,
dass eine nicht rauschbedingte Signaländerung, d.h. eine Variation
des Informationsanteils frühestmöglichst
erkannt wird, da zum einen der nächst
niedrigere Filter eine Variation im Messsignal aufweist, die größer ist
als das intrinsische Rauschen, so dass eine nicht rauschbedingte
Signaländerung
vorliegen muss. Zum anderen kann die Signaländerung nicht früher erkannt
werden, da alle Filter höherer
Bandbreite so große
Variationen aufweisen, dass sie den Informationsanteil des Signals
verdecken. Das durch das erfindungsgemäße Verfahren erzielbare frühestmögliche Erkennen
einer Änderung im
Informationsanteil des Signals ist ein wichtiger Vorteil, beispielsweise
bei thermischen Strahlungsdetektoren oder weiteren sicherheitsrelevanten
Anwendungen. Des weiteren weist das hier vorgestellte Verfahren
den Vorteil auf, dass der Bandbreitenregelung ein physikalisches
Kriterium zugrunde liegt.
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Im
Rahmen einer Variante des erfindungsgemäßen Verfahrens können anstelle
des o.g. Kriteriums ein weniger restriktives Kriterium oder anstatt
eines Filters aus der Filterbank eine normierte Linearkombination
von zumindest zwei Ausgängen
der Filterbank benutzt werden.
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Vorzugsweise
handelt es sich bei den verwendeten Filtern um Tiefpassfilter.
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Das
hier vorgestellte Verfahren ist rückkopplungsfrei und bietet
eine prinzipbedingte Stabilität.
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Die
Erfindung wird im folgenden beispielhaft anhand der beigefügten Figuren
näher erläutert. Es stellen
dar:
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1:
Eine Darstellung eines Signals ohne Rauschen als Funktion der Zeit,
d.h. eine Darstellung des Informationsanteils des Signals; in allen
weiteren Figuren beträgt
die spektrale Rauschleistungsdichte der Messsignale immer 1/Sqrt(Hz);
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2:
Eine Darstellung des Signals gemäß 1 mit
Rauschen als Funktion der Zeit, wobei das Signal durch einen Filter
mit einer Bandbreite von 25 mHz geführt wurde;
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3:
Eine Darstellung des Signals gemäß 1 mit
Rauschen als Funktion der Zeit, wobei das Signal durch einen Filter
mit einer Bandbreite von 3 mHz geführt wurde;
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4:
Eine Darstellung des Signals gemäß 1 mit
Rauschen als Funktion der Zeit, wobei das Signal durch einen Filter
mit einer Bandbreite von 0,4 mHz geführt wurde;
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5:
Eine Darstellung des Fehlersignals für das Signal gemäß 3;
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6:
Eine Darstellung des Fehlersignals mit gesteuerter Bandbreite gemäß der Erfindung;
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7:
Eine Darstellung eines exemplarischen Entscheidungsvorganges mit
zwei Filtern gemäß der Erfindung;
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8:
Eine Darstellung eines exemplarischen Entscheidungsvorganges mit
mehreren Filtern gemäß der Erfindung;
und
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9:
Eine Darstellung des Ausgangssignals bei gesteuerter Bandbreite
gemäß dem erfindungsgemäßen Verfahren.
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In 1 ist
der idealisierte Fall eines Signals ohne Rauschen dargestellt. Das
Signal führt
zum Zeitpunkt t = 0 einen Sprung von 0 auf 3 aus und bleibt dann
konstant.
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Eine
realistische Darstellung liefern die 2, 3 und 4.
Hierbei wird das Signal aus Bild 1 mit Rauschen bei verschiedenen
Bandbreiten dargestellt, wobei zu diesem Zweck das Signal durch Tiefpässe mit
verschiedenen Bandbreiten geschickt wird. Die Bandbreiten sind 25
mHz für 1, 3 mHz
für 3 und
0.4 mHz für 4.
Wie den 2, 3 und 4 zu
entnehmen ist, weist das Signal mit höherer Bandbreite eine höhere Rauschamplitude
auf; anderseits wird der Sprung bei t = 0 schneller dargestellt.
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In 5 ist
das Fehler-Signal für
eine Bandbreite von 3 mHz dargestellt. Das Fehler-Signal ist die
Differenz zwischen dem Informationsanteil, hier gemäß 1,
und dem Messsignal hinter einem Tiefpass (hier mit einer Bandbreite
von 3 mHz gemäß 3).
Vom Zeitpunkt t = 0 bis zur Responsezeit des Tiefpassfilters entspricht
der Fehler der vollen Höhe des
Sprungs; die Responsezeit des Tiefpassfilters beträgt in diesem
Fall ca. 130 s. Dies bedeutet, dass die schnelle bzw. signifikante
Signaländerung
(d.h. der Sprung) erst nach ca. 130 Sekunden erkannt wird. Anschließend wird,
wie aus 3 ersichtlich, das Fehler-Signal
durch das Rauschen dominiert, welches für die Bandbreite des Filters
charakteristisch ist.
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Gemäß der Erfindung
kann ein Signal erzeugt werden, das einen kleineren Fehler aufweist, als
der exemplarische 3 mHz Filter, indem für Zeiten kurz bzw. unmittelbar
nach dem Sprung ein Filterausgang mit höherer Bandbreite und für spätere Zeitpunkte
ein Filterausgang mit niedriger Bandbreite betrachtet wird. Auf
diese Weise werden die Vorteile hoher und niedriger Bandbreite in
vorteilhafter Weise kombiniert.
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Beispielsweise
kann (im Rahmen des hier gezeigten Beispiels) für Zeitpunkte bis zu t = 200
s ein Filter mit höherer
Bandbreite als 3 mHz eingesetzt werden, der zwar eine höhere Rauschamplitude als
der 3 mHz Filter aber eine kürzere
Responsezeit aufweist, so dass der Fehler insgesamt geringer ist. Für Zeitpunkte über t =
1000 s kann bevorzugterweise ein Filter mit niedriger Bandbreite
als 3 mHz verwendet werden, der, wie bereits erläutert, eine geringere Rauschamplitude
als der 3 mHz Filter aufweist. Somit ist der daraus resultierende
Fehler geringer als der Fehler bei Verwendung eines 3 mHz Filters,
wenn der Informationsanteil konstant bleibt bzw. keine schnelle
Veränderung
eintritt, so dass kein Fehler mehr durch die lange Responsezeit
des Filters mit niedriger Bandbreite zu erwarten ist.
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Dies
wird in 6 verdeutlicht. Hierbei zeigt Kurve
A das „verbesserte" Fehler-Signal, welches aus
der erfindungsgemäßen geregelten
Bandbreite resultiert. Zum Vergleich ist das Fehler-Signal, welches
der Verwendung eines 3 mHz Filters entspricht, als Kurve B dargestellt.
Des weiteren wird anhand der Kurve C, welche der rechten Y-Achse
zugeordnet ist, die jeweils verwendete Bandbreite (in mHz) des Filters,
welcher zur Anzeige kommt, veranschaulicht. Demnach werden Bandbreiten
mit Werten zwischen 25 mHz und 0,75 mHz verwendet. Das durch die
vorliegende Erfindung gewonnene Signal zeigt einen Fehler, der im
Intervall t = 360 s bis t = 800 s dem Fehler des 3 mHz Filters entspricht.
In den anderen Bereichen ist der Fehler erheblich geringer.
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Erfindungsgemäß wird die
Bandbreite derart geregelt, dass die Variation des betrachteten
Signals ein vorgegebenes Vielfaches des intrinsischen Rauschens
des Messwertgebers gerade nicht übersteigt. Zur
Regelung der Bandbreite der Filter wird vorzugsweise wie folgt vorgegangen:
Es wird der betragsmäßige Abstand
des betrachteten Filterausgangs zu einem zweiten Filterausgang mit
niedrigerer Bandbreite bewertet. Dies bedeutet, dass der zweite
Filter mit niedrigerer Bandbreite für den betrachteten Filter das Messsignal
ohne Rauschen darstellt. Wenn der Abstand zwischen dem betrachteten
Filterausgang und dem zweiten Ausgang des Filters mit niedrigerer Bandbreite
so klein ist, dass der Abstand als statistisches Rauschen des betrachteten
Filterausgangs interpretierbar ist, dann kann der betrachtete Filter
zur Anzeige herangezogen werden. Ein solcher Filter soll im weiteren
ein erlaubter Filter genannt werden.
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Wenn
der Abstand zwischen dem betrachteten Filterausgang und dem zweiten
Ausgang des Filters mit niedrigerer Bandbreite so groß ist, dass
er nicht als statistisches Rauschen interpretierbar ist, dann wird
eine signifikante Änderung
des Informationsanteils erkannt. Dieser Filter ist kein erlaubter
Filter. Dies hat die Verwendung eines Filters mit höherer Bandbreite
zur Folge, da in diesem Fall eine geringe Responsezeit den Fehler
minimieren wird. Für
die Durchführung
des Verfahrens werden mindestens drei Filter mit unterschiedlicher
Bandbreite benötigt.
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Als
Schwellenwert für
den betragsmäßigen Abstand
des betrachteten Filterausgangs zu einem Filterausgang niedrigerer
Bandbreite wird ein Vielfaches der Standardabweichung σ des intrinsischen Rauschens
des Messwertgebers verwendet, wodurch der Signalbewertung ein messanordnungsinhärentes physikalisches
Kriterium zugrunde liegt. Dadurch wird vermieden, dass ein Filter
aufgrund beliebiger bzw. außerhalb
der Messanordnung generierter Parameter ausgesucht wird und somit
zur Anzeige kommt. Wenn der Abstand zwischen dem betrachteten Filterausgang
und einem Filterausgang niedrigerer Bandbreite innerhalb des Sollintervalls liegt,
dann entspricht dieser Abstand dem statistischen Rauschen des betrachteten
Filterausgangs.
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Ein
exemplarischer derartiger Entscheidungsvorgang ist in 7 veranschaulicht.
Kurve A zeigt das aus einem 3 mHz Filter gewonnene Signal und Kurve
B das aus einem 1.6 mHz Filter gewonnene Signal; die Kurven C und
D stellen ein Band um das Signal des 1.6 mHz Filters dar. Dieses
Band entspricht +/– 5 σ des intrinsischen
Rauschens des 3 mHz Signals, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass bei
konstantem Informationsanteil das 3 mHz Signal das Band verlässt, vernachlässigbar
klein ist. Gemäß der Erfindung
ist es möglich,
um den Einfluss des Rauschens des Filters geringerer Bandbreite
zu eliminieren, nur die obere, unabhängige Hälfte des Rauschspektrums zu
betrachten.
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Die
Kurve E stellt den Verlauf eines logischen Signals dar, welches
anzeigt, wann der betragsmäßige Abstand
des 3 mHz Signals zu dem 1.6 mHz Signal kleiner ist, als 5 σ des 3 mHz
Signals. Dieses logische Signal ist somit das Signal, welches anzeigt,
ob und wann ein betrachteter Filter ein erlaubter Filter ist und
zur Anzeige herangezogen werden kann.
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Wie 7 zu
entnehmen ist, verlässt
im Intervall t = 70 s bis t = 360 s das 3 mHz Signal das 5 σ Band um
das 1.6 mHz Signal. Das bedeutet, dass gemäß der Erfindung das 3 mHz Signal
zwischen t = 70 s und t = 360 s nicht zur Anzeige dienen kann, da
der Abstand zwischen dem betrachteten Filterausgang und dem Ausgang
des Filters mit der niedrigeren Bandbreite von 1.6 mHz so groß ist, dass
er nicht als statistisches Rauschen interpretierbar ist.
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8 stellt
das Verfahren für
mehrere Filter unterschiedlicher Bandbreite beispielhaft dar. Hierbei betragen
die Bandbreiten der Filter 25, 12, 6, 3, 1.6 und 0.8 mHz. In der
Figur sind die diesen Filtern entsprechenden logischen Signale als
Kurven A, B, C, D, E bzw. F eingetragen. Des weiteren ist als Kurve G
die Bandbreite des Filters eingetragen (Kurve G ist der rechten
Y-Achse zugeordnet), welcher der erlaubte Filter mit der kleinsten
Bandbreite ist, wobei auch alle Filter mit höherer Bandbreite ebenfalls
erlaubte Filter sind.
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9 zeigt
das Ausgangssignal bei gesteuerter Bandbreite gemäß der vorliegenden
Erfindung. Aus der Figur ist ersichtlich, dass das angezeigte Signal
bei gesteuerter Bandbreite dem Sprung bei t = 0 schnell folgt; zudem
wird mit zunehmender Zeit das Rauschen geringer.
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Das
hier vorgestellte Verfahren kann beispielsweise bei einer elektronischen
Waage angewandt werden, so dass unmittelbar nachdem ein Gewicht
auf die Waage gelegt wird, eine brauchbare Anzeige geliefert werden
kann. Diese ist zwar noch nicht sehr genau, stellt aber dennoch
sofort einen Wert dar, der dem aktuellen Gewicht entspricht und nicht
der vorherigen Anzeige. Wenn das Gewicht länger auf der Waage bleibt,
dann wird das angezeigte Ergebnis im Laufe der Zeit genauer.
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Des
weiteren kann das erfindungsgemäße Verfahren
zur Anzeige der Signale verwendet werden, die von einer Vorrichtung
zur Messung von kleinen Gaskonzentrationen erzeugt werden, wie beispielsweise
von einem Photometer mit thermischen Detektoren.
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Das
erfindungsgemäße Verfahren
weist den Vorteil auf, dass der Bandbreitenregelung ein physikalisches
Kriterium zugrunde liegt. Wenn die spektrale Rauschleistungsdichte
der Signalquelle bekannt ist, dann kann daraus das Abstands-Kriterium
für jeden
Filter abgeleitet werden. Vorzugsweise wird der Wert 5 σ gewählt, andere
Werte oder Vielfache von σ sind
aber auch denkbar. Somit ist eine willkürliche Schwellwert-Festlegung
ausgeschlossen, welche für einen
bestimmten Signalverlauf ungeeignet sein kann.
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Außerdem wird
durch das erfindungsgemäße Verfahren
die erforderliche Datenmenge im Vergleich zum Stand der Technik
reduziert. Wenn z.B. die zur Anzeige kommenden Signale gespeichert werden,
dann sind bei niedriger Bandbreite auch entsprechend wenig Datenpunkte
notwendig. Gemäß der Erfindung
werden schnelle Signaländerungen
sofort erfasst sofern der Informationsanteil aus dem Rauschen hervortritt.
Bei einem sich nur langsam ändernden
Informationsanteil werden lediglich wenige Mittelwerte über lange
Zeiten gespeichert. Das Verfahren verletzt das Abtasttheorem für Signalanteile die
aus dem Rauschen heraustreten nicht. Somit können alle Informationen, die
der Messwertgeber vom Signalanteil erfassen kann, auch gespeichert.
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Ein
weiterer Vorteil des Verfahrens besteht darin, dass es inhärent stabil
ist, da keine Rückkopplung
stattfindet. Als besonders vorteilhaft erweist sich die Anwendung
des Verfahrens für
den Fall, dass die spektrale Rauschleistungsdichte des Signals konstant
ist und weitgehend unabhängig
von der Signalamplitude. Das ist in weiten Bereichen für Signale aus
Sensoren der Fall, die keine Quantendetektoren sind, z.B. Dehnmessstreifen,
Platin- und Nickel- Thermistoren, NTCs und PTCs, Halbleiter – Temperatursensoren,
Thermoelemente, Feldplatten, piezoresistive Sensoren, thermische
Strahlungsdetektoren etc. In diesen Fällen ist die Rauschamplitude
eine Funktion der Wurzel aus der Bandbreite, so dass sich die Regelung
der Bandbreite einfach durchzuführen ist,
da in diesem Fall das Abstands-Kriterium besonders einfach ist,
da die Rauschamplitude um den Faktor a kleiner wird, wenn die Bandbreite
um den Faktor a*a reduziert wird.