DE102022129314A1

DE102022129314A1 - Verfahren und Vorrichtung zur Bestimmung von Kapazität, Innenwiderstand und Leerlaufspannungskurve einer Batterie

Info

Publication number: DE102022129314A1
Application number: DE102022129314.9A
Authority: DE
Inventors: Wolfgang Bessler
Original assignee: Hochschule Offenburg Koerperschaft Des Oeffentlichen Rechts
Current assignee: Hochschule Offenburg Koerperschaft Des Oeffentlichen Rechts
Priority date: 2022-11-07
Filing date: 2022-11-07
Publication date: 2024-05-08
Also published as: WO2024099513A1

Abstract

Die Erfindung betrifft ein Verfahren sowie eine Vorrichtung und ein Computerprogramm zur Ausführung des Verfahrens zur Bestimmung der Kapazität, des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve einer aufladbaren Batterie. Das Verfahren beruht auf der Messung von Batteriespannung Vmessund Batteriestrom Imessüber einen Zeitraum. Die gemessene Spannung wird auf ein spannungsgeführtes Batteriemodell aufgeprägt, das eine Stromstärke Imodberechnet. Das Batteriemodell wird mit beliebig angenommenen Werten für die zu bestimmenden Parameter (Kapazität und/oder Innenwiderstand und/oder Leerlaufspannungskurve) versehen. Da diese i.d.R. nicht den Werten der realen Batterie entsprechen, ergibt sich ein Unterschied zwischen simulierter Stromstärke Imodund gemessener Stromstärke Imess. Aus diesem Unterschied wird mittels geeigneter Rechenvorschriften die Abweichung zwischen angenommenen und realen Werten für Kapazität, Innenwiderstand und/oder Leerlaufspannungskurve ermittelt. Daraus und aus den angenommenen Werten folgen die realen Werte für Kapazität, Innenwiderstand und/oder Leerlaufspannungskennlinie, welche gespeichert oder einem Nutzer angezeigt werden können. Sind ein oder mehrere der Parameter bereits von Beginn an bekannt, werden die bekannten Werte im Modell verwendet, und nur die unbekannten ermittelt. Die ermittelten Werte können auch verwendet werden, um das Modell zu aktualisieren. Weitere Messdaten, oder eine Wiederholung mit den gleichen Messdaten, erlauben dann eine Erhöhung der Messgenauigkeit. Auch ist eine kontinuierliche Messung von Kapazität, Innenwiderstand und/oder Leerlaufspannungskurve über lange Zeiträume möglich und damit eine Bewertung der Alterung der Batterie.

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie, wobei das Verfahren verschiedene Schritte umfasst.
Des Weiteren betrifft die vorliegende Erfindung eine Vorrichtung zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie mit einer Erfassungsvorrichtung zum Erfassen von Messwerten für den Batteriestrom I_exp(t) und die Batteriespannung V_exp(t) der aufladbaren Batterie, vorzugsweise in äquidistanten zeitlichen Abständen Δt oder zu vorgegebenen Zeitpunkten, und einer Auswerte- und Steuervorrichtung, welcher die erfassten Messwerte zuführbar sind, wobei die Auswerte- und Steuervorrichtung zur Durchführung des Verfahrens zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie ausgebildet ist. Unter einer Auswerte- und Steuervorrichtung wird dabei jede geeignete Vorrichtung verstanden, die diese Funktionalität bereitstellt, unabhängig davon, ob im Einzelfall eine Steuerung im engeren Sinn (d.h. eine Steuerung einer Ausgangsgröße ohne Rückkopplung) oder eine Regelung (d.h. eine Steuerung einer Ausgangsgröße unter Verwendung einer Rückkopplung) bewirkt wird.
Des Weiteren betrifft die vorliegende Erfindung ein Computerprogramm zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie für eine Vorrichtung, wobei das Computerprogramm derart ausgestaltet ist, dass bei einem Ablauf des Computerprogramms in der Auswerte- und Steuereinheit einer Vorrichtung zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie das Verfahren zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie durchgeführt wird.
Der Innenwiderstand ist eine der wichtigen charakteristischen Eigenschaften einer Batterie. Er verursacht einen Abfall der Batterie-Klemmenspannung, wenn die Batterie mit Strom belastet wird. Es gibt verschiedene Methoden, um den Innenwiderstand zu messen, z.B. Pulstests oder elektrische Impedanzspektroskopie. Bei einem Pulstest werden Strom I₁ und Spannung V₁ gemessen, dann Strom oder Spannung schnell (< 1 ms) geändert, und Strom I₂ und Spannung V₂ einige Sekunden nach der Änderung erneut gemessen. Der Innenwiderstand R (üblicherweise in Ω angegeben) ergibt sich daraus zu $R = - \frac{V_{2} - V_{1}}{I_{2} - I_{1}} .$
Der Innenwiderstand ist verantwortlich für Spannungsabfälle und Wärmeentwicklung im Batteriebetrieb; er nimmt typischerweise im Laufe der Zeit zu (Alterung der Batterie). Somit nimmt die Leistungsfähigkeit der Batterie ab. Die Kenntnis des Innenwiderstands im Laufe der Betriebsdauer der Batterie ist daher von hoher Wichtigkeit, um Alterungszustand und Leistungsvermögen zu quantifizieren.
Die Leerlaufspannungskurve ist eine weitere charakteristische Eigenschaft einer Batterie. Sie beschreibt den Verlauf der Leerlaufspannung V⁰(DOD) (auch: Ruhespannung, englisch: open-circuit voltage, OCV) als Funktion der Entladetiefe (englisch: depth of discharge, DOD). Es gibt verschiedene Methoden, um die Leerlaufspannungskurve zu messen. Bei einer „Quasi-OCV“-Messung wird die Batterie mit sehr niedrigen Stromstärken vollständig geladen und entladen; die Leerlaufspannungskurve V⁰(DOD) ergibt sich als Mittelwert der gemessenen Spannungsverläufe von Ladung und Entladung. Die Leerlaufspannungskurve erlaubt Aussagen über die Batteriechemie, d.h. welche Elektrodenmaterialien in der Batterie zum Einsatz kommen, und über Alterungszustand und Alterungsmechanismen. Die Kenntnis der Leerlaufspannungskurve ist daher von hoher Wichtigkeit bei der Charakterisierung unbekannter Batterien (z.B. gebrauchter Batterien für Second-Life-Anwendungen) oder bei der Bewertung des Alterungszustands.
Die Kapazität C einer aufladbaren Batterie gibt die Ladungsmenge (typischerweise in Amperestunden, Ah) an, die von einer vollgeladenen Batterie entnommen werden können. Sie ist eine weitere zentrale Kenngröße einer Batterie. Die Messung der Kapazität erfolgt typischerweise im Laborversuch, indem eine volle Batterie mit konstanter Stromstärke I vollständig entladen und die Kapazität nach $C = I \cdot t_{Entladung}$
bestimmt wird. In der DE 10 2019 127 828 A1 wurde ein Verfahren zur Bestimmung der relativen Kapazität C einer gealterten Zelle bezogen auf die Kapazität C_N einer frischen Zelle („Nennkapazität“) entwickelt, dort bezeichnet als „state of health“ (SOH). Jenes Verfahren wird hier weiterentwickelt zur Bestimmung der Kapazität einer unbekannten Batterie.
Die oben genannten Messmethoden (Pulstest, Quasi-OCV-Messung, Konstantstromentladung) erfordern eine Messung in Laborumgebung mit präzisen Messgeräten. Dies ist bei Batterien in praktischer Anwendung in der Regel nicht möglich, da sie fester Bestandteil eines Gerätes sind (z.B. Smartphone, Elektroauto, Heimspeicher) und nicht oder nur mit großem Aufwand ausgebaut und in ein Labor überführt werden können.
Ausgehend von diesem Stand der Technik liegt der Erfindung die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung der Kapazität und/oder des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve einer aufladbaren Batterie während des normalen Einsatzes der Batterie zu schaffen, welches eine verbesserte Genauigkeit aufweist und zudem einfach in einem Batteriemanagementsystem zu implementieren ist. Weiterhin liegt der Erfindung die Aufgabe zugrunde, eine Vorrichtung zu schaffen, welche die Durchführung des vorgenannten Verfahrens ermöglicht. Schließlich liegt der Erfindung die Aufgabe zugrunde, ein Computerprogramm zu schaffen, welches die Durchführung des vorgenannten Verfahrens ermöglicht.
Die technische Aufgabe wird von der vorliegenden Erfindung durch ein Verfahren zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie mit folgenden Schritten gelöst. Ein dynamisches, spannungsgeführtes, mathematisches Batteriemodell wird erstellt, wobei für den Innenwiderstand R und/oder die Leerlaufspannungskurve V⁰ und/oder die Kapazität C vorgegebene Anfangswerte V⁰ _mod, R_mod, C_mod verwendet werden. Die Anfangswerte können beliebig gewählt werden. Alternativ können bekannte Werte verwendet werden, falls einer oder mehrere dieser Parameterwerte bekannt sind und nicht bestimmt werden sollen.
Das Modell beschreibt die Abhängigkeit der Stromstärke von der Spannung, d.h. es weist einen Innenwiderstand R_mod auf. Je nach Modellkomplexität ergibt sich der Innenwiderstand aus einer einzelnen Modellgleichung mit einem einzelnen Parameter (z.B. Ohm'sches Gesetz) oder einer Kombination von Modellgleichungen und mehreren Parametern. Das Modell ist spannungsgeführt. Dementsprechend ist die gemessene Spannung V_mess die Eingangsgröße und die vorhergesagte Stromstärke I_mod die Ausgangsgröße.
Nach einer Ausgestaltung der Erfindung kann das dynamische mathematische Batteriemodell aus einem Gleichungssystem bestehen oder hieraus entwickelt sein, welches folgende Gleichungen umfasst, aber nicht auf diese beschränkt ist: $\frac{dDOD}{d t} = \frac{1}{R_{s} \cdot C} (V^{0} (DOD) - V_{mess})$
$I_{mod} = \frac{1}{R_{s}} (V^{0} (DOD) - V_{mess})$
wobei das Modell die drei Parameter serieller Widerstand R_s, Kapazität der Batterie C und Leerlaufspannungskurve V⁰(DOD) umfasst. Die Entladetiefe DOD nimmt Werte zwischen 0 und 1 an, wobei DOD = 0 eine vollständig geladene Batterie und DOD = 1 eine vollständig entladene Batterie ist. Dieses Gleichungssystem erlaubt die Berechnung der Ausgangsgröße I_mod auf Grundlage der Eingangsgröße V_mess. Es handelt sich damit um ein spannungsgeführtes Modell (Spannung als Eingangsgröße). Alternativ können komplexere Modelle für den Einsatz in dem neuen Verfahren verwendet werden, z.B. erweiterte Ersatzschaltkreismodelle. Alternativ können die Modellgleichungen und Modellparameter auch als Funktion des Ladezustands (englisch: state of charge, SOC) angegeben werden, wobei SOC = 1 - DOD, SOC = 1 eine vollständig geladene Batterie und SOC = 0 eine vollständig entladene Batterie ist, oder als Funktion einer anderen damit zusammenhängenden Batterieeigenschaft.
Messwerte für den Batteriestrom I_mess(t) und die Batteriespannung V_mess(t) der aufladbaren Batterie werden als Funktion der Zeit über einen vorgegebenen Zeitraum T erfasst. Für manche Ausführungsformen der Erfindung werden zusätzlich Messwerte der Batterietemperatur ϑ(t) als Funktion der Zeit über den Zeitraum T erfasst. Die Art der Ladung und Entladung (konstante oder variierende Stromstärke, Unterbrechungen, zwischenzeitliche Wechsel der Stromrichtung) im Zeitraum T ist für das Verfahren grundsätzlich irrelevant. Damit ist das Verfahren der vorliegenden Erfindung auch für Messwerte aus einem praktischen Batteriebetrieb anwendbar. Vorzugsweise umfasst der Zeitraum T mindestens einen Vollzyklus der Batterie, d.h. eine vollständige Ladung von annähernd 0 % Ladezustand bis annähernd 100 % Ladezustand und eine vollständige Entladung von annähernd 100 % bis annähernd 0 % Ladezustand. Alternativ kann der Zeitraum T auch nur einen Vollladezyklus umfassen, d.h. eine vollständige Ladung von annähernd 0 % Ladezustand bis annähernd 100 % Ladezustand. Des Weiteren kann der Zeitraum T auch nur Teilzyklen umfassen, unter der Bedingung, dass die Stromstärke nicht im gesamten Zeitraum gleich null ist (keine ruhende Batterie). Der Zeitraum T kann auch längere oder kürzere Zeiträume umfassen, wobei grundsätzlich gilt, dass je länger T, desto genauer die ermittelten Werte. Der vorgegebene Zeitraum T kann auch erst während der Messung bestimmt werden, beispielsweise indem der kumulierte Ladungsdurchsatz mitgezählt und das Erreichen eines vorgegebenen Ladungsdurchsatzes als Erreichen eines vorgegebenen Zeitraums T gewertet wird. Der vorgegebene Ladungsdurchsatz kann z.B. dem äquivalenten Ladungsdurchsatz eines Vollzyklus entsprechen, in diesem Fall entspricht der Zeitraum T einem so genannten Äquivalenten Vollzyklus. Bei einem Äquivalenten Vollzyklus ist es irrelevant, zwischen welchen Ladezuständen oder mit welcher Zyklentiefe die Batterie betrieben wird, maßgeblich ist nur der kumulierte Ladungsdurchsatz.
Messwerte für die Batteriespannung V_mess(t) werden als Eingangsgröße für das dynamische, spannungsgeführte, mathematische Batteriemodell verwendet und Werte für eine simulierte Stromstärke I_mod(t) werden als Ausgangsgröße des Batteriemodells berechnet. Typischerweise nehmen sowohl die Eingangswerte, welche die Messwerte für die Batteriespannung sind, als auch die Ausgangswerte des Batteriemodells, welche die simulierten Werte für die Stromstärke sind, die Form einer Menge von zeitdiskreten Mess- bzw. Ausgangswerten an. D.h., die Eingangswerte sind eine zeitdiskrete Messreihe der Batteriespannung und die Ausgangswerte eine zeitdiskrete Reihe von Werten der simulierten Stromstärke.
Unter Verwendung der Werte für die simulierte Stromstärke I_mod(t) und der erfassten Messwerte für die Stromstärke I_mess(t) werden mit jeweils einer vorgegebenen Rechenvorschrift Werte für den Innenwiderstand R_cal und/oder die Leerlaufspannungskurve V⁰ _cal und/oder die Kapazität C_cal bestimmt. Für jede der bestimmten Größen wird eine eigene Rechenvorschrift verwendet. Die Werte für die simulierte Stromstärke I_mod(t) und der erfassten Messwerte für die Stromstärke I_mess(t) werden dabei so verwendet, dass eine Abweichung der jeweils zugehörigen Werte voneinander in der Rechenvorschrift verwendet wird. Die Abweichung kann dabei vorzugsweise eine Differenz der Werte für die simulierte Stromstärke I_mod(t) und der erfassten Messwerte für die Stromstärke I_mess(t) oder ein Quotient derer sein. Die Rechenvorschriften benötigen nur die simulierte Stromstärke I_mod(t) und die erfassten Messwerte für die Stromstärke I_mess(t) für eine genaue Bestimmung der Werte für den Innenwiderstand R_cal und/oder die Leerlaufspannungskurve V⁰ _cal und/oder die Kapazität C_cal. Das Verfahren der vorliegenden Erfindung ist somit nicht nur unter Laborbedingungen durchführbar, sondern während jeglichem alltäglichen Gebrauch der Batterie.
Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung kann das Verfahren mindestens zwei Iterationsschritte umfassen, wobei jeder Iterationsschritt die Durchführung des kompletten Verfahrens nach der ersten Ausführungsform umfasst. D.h. Erstellen eines dynamischen, spannungsgeführten, mathematischen Batteriemodells, wobei für den Innenwiderstand R und/oder die Leerlaufspannungskurve V⁰ und/oder die Kapazität C vorgegebene Anfangswerte V⁰ _mod, R_mod, C_mod verwendet werden, Erfassen von Messwerten für den Batteriestrom I_mess(t) und die Batteriespannung V_mess(t) der aufladbaren Batterie über einen vorgegebenen Zeitraum T, Verwenden der Messwerte für die Batteriespannung V_mess(t) als Eingangsgröße für das dynamische, spannungsgeführte, mathematische Batteriemodell, Berechnen von Werten für eine simulierte Stromstärke I_mod(t) als Ausgangsgröße des Batteriemodells und Bestimmen von berechneten Werten für den Innenwiderstand R_cal und/oder die Leerlaufspannungskurve V⁰ _cal und/oder die Kapazität C_cal jeweils unter Verwendung der Werte für die simulierte Stromstärke I_mod(t) und der erfassten Messwerte für die Stromstärke I_mess(t) mit jeweils einer vorgegebenen Rechenvorschrift. Vorzugsweise werden in jedem Iterationsschritt außer dem ersten, d.h. bei jeder kompletten Durchführung aller Schritte des Verfahrens, beim Erstellen eines dynamischen, spannungsgeführten, mathematischen Batteriemodells für die vorgegebenen Anfangswerte R_mod, V⁰ _mod und C_mod für den Innenwiderstand R und/oder die Leerlaufspannungskurve V⁰ und/oder die Kapazität C die im vorherigen Iterationsschritt bestimmten berechneten Werte für den Innenwiderstand R_cal und/oder die Leerlaufspannungskurve V⁰ _cal und/oder die Kapazität C_cal verwendet. Eine solche Anpassung der Anfangsbedingungen für den nachfolgenden Iterationsschritt wird auch „Modell-Update“ genannt. Ein Messzeitraum T ist einem Iterationsschritt zugehörig. Alternativ können auch bereits bekannte Werte als Anfangswerte verwendet werden, oder nur einzelne Werte aktualisiert werden.
Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung kann das Verfahren mindestens zwei Iterationsschritte umfassen, wobei jeder Iterationsschritt die Durchführung der Schritte (a), (c) und (d) des Verfahrens nach Anspruch 1 umfasst. In jedem, außer dem ersten Iterationsschritt, werden an der Stelle der in Schritt (a) vorgegebenen Anfangswerte R_mod, V⁰ _mod und C_mod für den Innenwiderstand R und/oder die Leerlaufspannungskurve V⁰ und/oder die Kapazität C die in Schritt (d) des vorherigen Iterationsschritts bestimmten berechneten Werte für den Innenwiderstand R_cal und/oder die Leerlaufspannungskurve V⁰ _cal und/oder die Kapazität C_cal verwendet. In dieser Ausführungsform wird ein Datensatz aus Messwerten wiederholt ausgewertet, ohne neu zu messen. So können auch verfügbare, in der Vergangenheit gemessene Datensätze ausgewertet werden ohne eine physisch anwesende Batterie. Die Iterationen werden wiederholt bis zur Konvergenz der ermittelten Werte. Eine Konvergenz ist z.B. erreicht, wenn sich die ermittelten Werte aus einem Iterationsschritt um weniger als einen vorgegebenen Prozentsatz, z.B. 1 %, von den ermittelten Werten aus dem vorhergehenden Iterationsschritt unterscheiden.
Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung werden die Verfahren so kombiniert, dass Messwerte über einen Zeitraum T₁ erfasst werden, im Anschluss bis zur Konvergenz der gesuchten Werte mit mehreren, aber mindestens zwei, Iterationsschritten ausgewertet werden, und dies mit einem weiteren Zeitraum T₂ wiederholt wird. Der zweite Zeitraum kann direkt an den ersten anschließen. Der zweite Zeitraum kann auch einen zeitlichen Abstand haben, z.B. einen Tag. In diesem Fall würde eine Batterie täglich einmal ausgemessen und der Datensatz mehrere Male iterativ ausgewertet werden. Dies würde den Alterungszustand der Batterie überwachen.
Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung kann das Verfahren so ausgeführt werden, dass unter Verwendung einer Abweichung zwischen den Werten für die simulierte Stromstärke I_mod(t) und den Messwerten für den Batteriestrom I_mess(t) jeweils Abweichungen ΔR, ΔV⁰, ΔC zwischen den jeweils vorgegebenen Anfangswerten R_mod, V⁰ _mod, C_mod und den jeweils berechneten Werten R_cal, V⁰ _cal, C_cal bestimmt werden. Aus den so bestimmten Abweichungen ΔR, ΔV⁰, ΔC und den vorgegebenen Anfangswerten R_mod, V⁰ _mod, C_mod für Innenwiderstand R und/oder Leerlaufspannungskurve V⁰ und/oder Kapazität C werden die berechneten Werte für Innenwiderstand R_cal und/oder Leerlaufspannungskurve V⁰ _cal und/oder Kapazität C_cal bestimmt. Die Abweichungen ΔR, ΔV⁰, ΔC zwischen den jeweils vorgegebenen Anfangswerten R_mod, V⁰ _mod, C_mod und den jeweils berechneten Werten R_cal, V⁰ _cal, C_cal sowie die Abweichung zwischen den Werten für die simulierte Stromstärke I_mod(t) und den Messwerten für den Batteriestrom I_mess(t) können insbesondere Differenzen sein. Auch Quotienten oder andere Berechnungsarten der Abweichungen sind möglich. Die Verwendung der Abweichung zwischen den Werten für die simulierte Stromstärke I_mod(t) und den Messwerten für den Batteriestrom I_mess(t) zur Bestimmung der Abweichungen ΔR, ΔV⁰, ΔC zwischen den jeweils vorgegebenen Anfangswerten R_mod, V⁰ _mod, C_mod und den jeweils berechneten Werten R_cal, V⁰ _cal, C_cal ermöglicht die Bestimmung der berechneten Werte R_cal, V⁰ _cal, C_cal bei vollkommen beliebig gewählten Anfangswerten R_mod, V⁰ _mod, C_mod. Das ermöglicht eine sehr einfache Anwendung des Verfahrens auch vollkommen ohne jegliches Vorwissen über die Werte der Batterie. Sollten einige Werte wie bspw. Kapazität, Leerlaufspannungskurve oder Innenwiderstand der Batterie bekannt sein, können diese als Anfangswerte R_mod, V⁰ _mod, C_mod eingesetzt werden und beschleunigen so die Bestimmung der restlichen Werte.
Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung kann für die Bestimmung des Innenwiderstands R die folgende Rechenvorschrift verwendet werden: $\frac{d}{d t} (\frac{Δ R \cdot I_{mess}}{b}) = \frac{I_{mod} - I_{mess}}{C},$
wobei ΔR die Differenz zwischen dem Innenwiderstand des Batteriemodells R_mod und dem berechneten Wert für den Innenwiderstand R_cal, b = dV⁰/dDOD die Steigung der Leerlaufspannungskurve, I_mod die Stromstärke des Batteriemodells und I_mess die erfasste Stromstärke der Batterie bezeichnet.
Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung kann für die Bestimmung der Leerlaufspannungskurve V⁰ die folgende Rechenvorschrift verwendet werden: $\frac{d}{d t} (\frac{Δ V^{0}}{b}) = - \frac{I_{mod} - I_{mess}}{C},$
wobei ΔV⁰ die Differenz zwischen der Leerlaufspannungskurve des Batteriemodells $V_{mod}^{0}$
und dem berechneten Wert für die Leerlaufspannungskurve $V_{cal}^{0}, b$
die Steigung der Leerlaufspannungskurve, I_mod die Stromstärke des Batteriemodells und I_mess die erfasste Stromstärke der Batterie bezeichnet.
Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung kann für die Bestimmung der Kapazität C die folgende Rechenvorschrift verwendet werden: $Δ C = \frac{\int_{t = 0}^{T} | I_{mod} (t) | d t}{\int_{t = 0}^{T} | I_{mess} (t) | d t},$
wobei ΔC den Quotienten aus der Kapazität des Batteriemodells C_mod und dem berechneten Wert für die Kapazität der Batterie C_cal, I_mod die Stromstärke des Batteriemodells und I_mess die erfasste Stromstärke der Batterie bezeichnet.
Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung kann für die gleichzeitige Bestimmung des Innenwiderstands R und der Leerlaufspannungskurve V⁰ die folgende Rechenvorschrift verwendet werden: $\frac{d}{d t} (\frac{Δ V_{tot}}{b}) = - \frac{I_{mod} - I_{mess}}{C}$
mit $Δ V_{tot} = Δ V^{0} - Δ R \cdot I_{mess},$
wobei ΔV_tot den Gesamtspannungsunterschied, ΔV⁰ die Differenz zwischen der Leerlaufspannungskurve des Batteriemodells $V_{mod}^{0}$
und dem berechneten Wert für die Leerlaufspannungskurve $V_{cal}^{0}, Δ R$
die Differenz zwischen dem Innenwiderstand des Batteriemodells R_mod und dem berechneten Wert für den Innenwiderstand R_cal, b die Steigung der Leerlaufspannungskurve, I_mod die Stromstärke des Batteriemodells und I_mess die erfasste Stromstärke der Batterie bezeichnet. Der Spannungsunterschied aufgrund des Innenwiderstands ΔR und der Spannungsunterschied aufgrund der Leerlaufspannungskurve ΔV⁰ kombinieren sich zu einem Gesamtunterschied ΔV_tot (der Index „tot“ für total). Bei dieser Bestimmungsart laufen die Bestimmungen des Innenwiderstandes und der Leerlaufspannungskurve gleichzeitig, sodass nur wenige Zyklen notwendig sind, um beide Parameter sehr genau zu bestimmen.
Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung kann für die Berechnung der zeitdiskreten Werte der Differenz des Innenwiderstands ΔR_n und/oder der zeitdiskreten Werte der Differenz der Leerlaufspannungskurve $Δ V_{n}^{0}$
und/oder für die diskreten Werte des Gesamtunterschieds ΔV_tot,n ein numerisches Lösungsverfahren verwendet werden. Hier steht n als Index für die zeitdiskreten Werte der Messgrößen I_mess(t) und V_mess(t) zu bestimmten diskreten Zeitpunkten t_n. Vorzugsweise wird ein implizites Eulerverfahren zur Lösung der Gleichungen verwendet. Das Verfahren ist jedoch nicht auf eine Lösung durch das implizite Eulerverfahren beschränkt, sondern kann auch durch andere numerische Lösungsverfahren gelöst werden. Die Berechnung der diskreten Werte der Differenz des Innenwiderstands ΔR_n erfolgt in dieser Ausführungsform nach: $Δ R_{n} = \frac{b_{n}}{I_{mess, n}} (\frac{Δ t}{C} (I_{mod, n} - I_{mess, n}) + \frac{Δ R_{n - 1} \cdot I_{mess, n - 1}}{b_{n - 1}}),$
wobei b_n den Wert der Steigung der Leerlaufspannungskurve zum Zeitpunkt n, b_n-1 den Wert der Steigung der Leerlaufspannungskurve zum Zeitpunkt n - 1, I_mess,n den erfassten Wert der Stromstärke der Batterie zum Zeitpunkt n, I_mess,n-1 den erfassten Wert der Stromstärke der Batterie zum Zeitpunkt n - 1, I_mod,n die Stromstärke des Batteriemodells zum Zeitpunkt n, Δt den zeitlichen Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Messungen und ΔR_n-1 den diskreten Wert der Differenz des Innenwiderstands zum Zeitpunkt n - 1 bezeichnet. Die Berechnung der diskreten Werte der Differenz der Leerlaufspannungskurve $(Δ V_{n}^{0})$
erfolgt in dieser Ausführungsform nach: $Δ V_{n}^{0} = \frac{Δ t \cdot b_{n}}{C} (I_{mod, n} - I_{mess, n}) + \frac{Δ V_{n - 1}^{0} \cdot b_{n}}{b_{n - 1}},$
wobei $Δ V_{n}^{0}$
den diskreten Wert der Differenz der Leerlaufspannungskurve zum Zeitpunkt n und $Δ V_{n - 1}^{0}$
den diskreten Wert der Differenz der Leerlaufspannungskurve zum Zeitpunkt n-1 bezeichnet. Die Berechnung der diskreten Werte des Gesamtunterschieds (ΔV_tot,n) erfolgt in dieser Ausführungsform nach: $Δ V_{t o t, n} = - \frac{Δ t \cdot b_{n}}{C} (I_{mod, n} - I_{mess, n}) + \frac{Δ V_{t o t, n - 1} \cdot b_{n}}{b_{n - 1}},$
wobei ΔV_tot,n den diskreten Wert der Differenz des Gesamtunterschieds zum Zeitpunkt n und ΔV_tot,n-1 den diskreten Wert der Differenz des Gesamtunterschieds zum Zeitpunkt n - 1 bezeichnet.
Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung kann für die Berechnung der Kapazität mit zeitdiskret erfassten Werten der Stromstärke der Batterie die folgende Rechenvorschrift verwendet werden: $Δ C = \frac{\sum_{n = 1}^{N} | I_{mod, n} | Δ t}{\sum_{n = 1}^{N} | I_{mess, n} | Δ t},$
wobei N die Anzahl der Zeitschritte, Δt die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Messungen, ΔC den Quotienten aus der Kapazität des Batteriemodells C_mod und dem berechneten Wert für die Kapazität der Batterie C_cal, I_mess,n den erfassten Wert der Stromstärke der Batterie zum Zeitpunkt n und I_mod,n die simulierte Stromstärke des Batteriemodells zum Zeitpunkt n bezeichnet.
Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung werden mindestens zwei zeitdiskrete Werte der Differenz des Innenwiderstands ΔR_n zu einem Mittelwert der Differenz des Innenwiderstands ΔR und/oder mindestens zwei zeitdiskrete Werte der Differenz der Leerlaufspannungskurve $Δ V_{n}^{0}$
zu einem Mittelwert der Differenz der Leerlaufspannungskurve $\bar{Δ V^{0}}$
über einen Messzeitraum T gemittelt, wobei im Messzeitraum T n diskrete Messungen von Stromstärke I_mess und Spannung V_mess durchgeführt werden.
Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung wird der Innenwiderstand als Funktion von Entladetiefe und/oder Stromstärke und/oder Temperatur R(DOD,I,ϑ) ermittelt, wobei mehrere Werte, bspw. Mittelwerte, der Differenz des Innenwiderstands ΔR über den Messzeitraum T für die Bestimmung verwendet werden, und wobei die Mittelwerte der Differenz des Innenwiderstands ΔR bestimmt werden, indem abschnittsweise über verschiedene Bereiche der Entladetiefe DOD und/oder Stromstärke I_mess und/oder Temperatur ϑ gemittelt wird. Damit kann ein ladezustands-, stromstärke- und/oder temperaturabhängiger Innenwiderstand R(DOD,I,ϑ) bestimmt werden. Hierfür werden N Messwerte im Zeitraum T für die Stromstärke I_mess,n und die Spannung V_mess,n der Batterie gemessen. Jedem Messwert wird die dem Zeitpunkt zugehörige Temperatur ϑ und Entladetiefe DOD der Batterie zugeordnet. Aus den Messwerten werden zeitdiskrete Werte der Differenz des Innenwiderstands ΔR_n mit derselben Zuordnung berechnet. Das heißt, bspw. hat ein zeitdiskreter Wert der Differenz des Innenwiderstands ΔR_n denselben zugeordneten Wert für die Temperatur ϑ und Entladetiefe DOD der Batterie wie die Messwerte für die Stromstärke I_mess,n und die Spannung V_mess,n. Die zeitdiskreten Werte der Differenz des Innenwiderstands ΔR_n können für gleiche Temperaturen (beispielsweise in vorgegebenen Schritten von z.B. 1 K) bzw. für gleiche Entladetiefen (beispielsweise in vorgegebenen Schritten von z.B. 1 %) bzw. für gleiche Stromstärken (beispielsweise in vorgegebenen Schritten von z.B. 1 % einer vorgegebenen nominellen Stromstärke, wie sie z.B. in einem Datenblatt angegeben ist) in sogenannten Bins gemittelt werden. Mit diesen gemittelten Werten wird ein ladezustands-, stromstärke- und/oder temperaturabhängiger Innenwiderstand R(DOD,I,ϑ) bestimmt. Dies hilft bei einer möglichen Ursachensuche nach Fehlern oder Alterungszuständen der Batterie.
Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung wird die Leerlaufspannungskurve als Funktion der Entladetiefe und/oder der Temperatur, V⁰(DOD,ϑ) ermittelt, wobei mehrere Mittelwerte der Leerlaufspannungskurve ΔV⁰ über den Messzeitraum T für die Bestimmung verwendet werden, und wobei die Mittelwerte der Leerlaufspannungskurve ΔV⁰ bestimmt werden, indem abschnittsweise über verschiedene Bereiche der Entladetiefe (DOD) und/oder der Temperatur ϑ gemittelt wird. Hierfür werden N Messwerte im Zeitraum T für die Stromstärke I_mess,n und die Spannung V_mess,n der Batterie gemessen. Jedem Messwert wird die dem Zeitpunkt zugehörige Temperatur ϑ und Entladetiefe DOD der Batterie zugeordnet. Aus den Messwerten werden zeitdiskrete Werte der Differenz der Leerlaufspannungskurve ΔV⁰ _n, mit derselben Zuordnung berechnet. Das heißt, bspw. hat ein zeitdiskreter Wert der Differenz der Leerlaufspannungskurve ΔV⁰ _n denselben zugeordneten Wert für die Temperatur ϑ und Entladetiefe DOD der Batterie wie die Messwerte für die Stromstärke I_mess,n und die Spannung V_mess,n. Die zeitdiskreten Werte der Differenz der Leerlaufspannungskurve ΔV⁰ _n können für gleiche Temperaturen (z.B. in 1-°C-Schritten) bzw. Entladetiefen (z.B. in 1-%-Schritten) in sogenannten Bins gemittelt werden. Mit diesen gemittelten Werten wird eine ladezustands- und temperaturabhängige Leerlaufspannungskurve V⁰(DOD,ϑ) bestimmt. Dies hilft bei einer möglichen Ursachensuche nach Fehlern oder Alterungszuständen der Batteriebestandteile.
Des Weiteren wird die technische Aufgabe der vorliegenden Erfindung durch eine Vorrichtung zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie mit einer Erfassungsvorrichtung zum Erfassen von Messwerten für den Batteriestrom I_mess(t) und die Batteriespannung V_mess(t) und, für manche Ausführungsformen der Erfindung, für die Batterietemperatur ϑ(t) der aufladbaren Batterie, vorzugsweise in äquidistanten zeitlichen Abständen Δt oder zu vorgegebenen Zeitpunkten, und einer Auswerte- und Steuervorrichtung, welcher die erfassten Messwerte zuführbar sind gelöst. Die Vorrichtung ist dadurch gekennzeichnet, dass die Auswerte- und Steuervorrichtung zur Durchführung des beschriebenen Verfahrens zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie ausgebildet ist. Die Auswerte- und Steuervorrichtung kann insbesondere in das heute in vielen Batteriesystemen verwendeten Batteriemanagementsystem (BMS) integriert werden, welches diese Information dem Benutzer zur Verfügung stellt, beispielsweise mittels eines Displays.
Des Weiteren wird die technische Aufgabe der vorliegenden Erfindung durch ein Computerprogramm zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie gelöst. Das Computerprogramm ist derart ausgestaltet, dass bei einem Ablauf des Computerprogramms in der Auswerte- und Steuervorrichtung das Verfahren zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie durchgeführt wird.
Die Erfindung wird nachstehend anhand in der Zeichnung dargestellter Ausführungsbeispiele näher erläutert. In der Zeichnung zeigen:

1 eine Prinzipdarstellung des Verfahrens zur Bestimmung von Innenwiderstand R, Leerlaufspannungskurve V⁰ und/oder Kapazität C einer aufladbaren Batterie;
2 ein schematisches Blockdiagramm einer unter Last betriebenen Batterie mit einer Vorrichtung nach der Erfindung zur Durchführung des Verfahrens;
3a) ein einfaches Äquivalenzschaltkreismodell einer Batterie;
3b) ein komplexeres Äquivalenzschaltkreismodell einer Batterie;
4 eine experimentell bestimmte Leerlaufspannungskurve V⁰(DOD) sowie deren Ableitung dV⁰/dDOD;
5a) die gemessene Spannung V_mess(t), aufgetragen über der Zeit für vier konsekutive Vollzyklen, beginnend bei einer vollständig entladenen Batterie;
5b) die gemessene Stromstärke I_mess(t), aufgetragen über der Zeit für vier konsekutive Vollzyklen, beginnend bei einer vollständig entladenen Batterie;
6 die Leerlaufspannungskurve V⁰, die Spannung der realen Batterie V_mess und die Spannung des Batteriemodells V_mod, aufgetragen über der Entladetiefe DOD;
7 die Ergebnisse des neuen Verfahrens für die Bestimmung des Innwiderstands R, beispielhaft anhand vier konsekutiver experimenteller Vollzyklen (T₁ bis T₄);
7a) die gemessene Spannung V_mess als Eingangsgröße;
7b) die gemessene Stromstärke I_mess und simulierte Stromstärke I_mod des spannungsgeführten Modells, aufgetragen über der Zeit t;
7c) den nach Gl. (17) ermittelten Unterschied zwischen simuliertem und experimentellem Widerstand ΔR;
7d) den berechneten Innenwiderstand R_cal der Batterie nach Gl. (19) nach jedem Zeitraum T; die gestrichelte Linie ist der unabhängig bestimmte Referenzwert für den Innenwiderstand;
8 die Demonstration des neuen Verfahrens für die Bestimmung des Innwiderstands R, beispielhaft anhand experimenteller Teilzyklen (zwischen 25 % und 75 % Ladezustand);
8a) die gemessene Spannung V_mess, aufgetragen über der Zeit t;
8b) die gemessene Stromstärke I_mess, aufgetragen über der Zeit t;
8c) den berechneten Innenwiderstand R_cal der Batterie, ausgehend von einem beliebigen Startwert (hier 9 mΩ), im Verlauf von insgesamt 10 konsekutiven Modell-Updates;
9 die Demonstration des neuen Verfahrens für die Bestimmung des Innwiderstands R, beispielhaft anhand experimenteller Fahrzyklen im „Worldwide Harmonised Light-Duty Vehicles Test Procedure“ (WLTP)-Protokoll;
9a) die gemessene Spannung V_mess, aufgetragen über der Zeit t;
9b) die gemessene, dynamisch stark variierende Stromstärke I_mess, aufgetragen über der Zeit t;
9c) den berechneten Innenwiderstand R_cal der Batterie, ausgehend von einem beliebigen Startwert (hier 9 mΩ), im Verlauf von insgesamt 40 konsekutiven Modell-Updates;
10 die reale Leerlaufspannungskurve $V_{exp}^{0}$
einer Lithium-Ionen-Batteriezelle, aufgetragen als Spannung über der Entladetiefe DOD, und die initiale Annahme der Leerlaufspannungskurve im Batteriemodell $V_{mod}^{0};$
11 die Ergebnisse des neuen Verfahrens für die Bestimmung der Leerlaufspannungskurve V⁰(DOD), beispielhaft anhand vier konsekutiver experimenteller Vollzyklen (T₁ bis T₄);
11a) die gemessene Spannung V_mess, aufgetragen über der Zeit t;
11b) die gemessene Stromstärke I_mess und die simulierte Stromstärke I_mod des spannungsgeführten Modells, aufgetragen über der Zeit t;
11c) den nach Gl. (29) ermittelten Unterschied zwischen simulierter und experimenteller Leerlaufspannung ΔV⁰;
11d) die nach Gl. (30) bestimmte Leerlaufspannungskurve $V_{cal}^{0} (DOD)$
der Batterie nach jedem Zeitraum T; die gestrichelte Linie ist die unabhängig bestimmte Referenzkurve;
12 die Ergebnisse des neuen Verfahrens für die Bestimmung der Kapazität C, beispielhaft anhand vier konsekutiver experimenteller Vollzyklen (T₁ bis T₄);
12a) die gemessene Spannung V_mess, aufgetragen über der Zeit t;
12b) die gemessene Stromstärke I_mess und die simulierte Stromstärke I_mod des spannungsgeführten Modells, aufgetragen über der Zeit t;
12c) den nach Gl. (37) ermittelten Unterschied zwischen simulierter und experimenteller Leerlaufspannung ΔC;
12d) die ermittelte Kapazität C_cal der Batterie, ausgehend von einem beliebigen Startwert von 30 Ah; die gestrichelte Linie ist der unabhängig bestimmte Referenzwert;
13 die Ergebnisse des neuen Verfahrens für die Bestimmung der Kapazität C, beispielhaft anhand experimenteller Teilzyklen;
13a) die gemessene Spannung V_mess, aufgetragen über der Zeit t für acht konsekutive Teilzyklen;
13b) die gemessene Stromstärke I_mess und die simulierte Stromstärke I_mod des spannungsgeführten Modells, aufgetragen über der Zeit t;
13c) die ermittelte Kapazität C_cal der Batterie, ausgehend von einem beliebigen Startwert (hier C_mod = 2Ah); die gestrichelte Linie ist der unabhängig bestimmte Referenzwert.
14 die Ergebnisse des neuen Verfahrens für die Bestimmung der Kapazität C, beispielhaft anhand experimenteller Fahrzyklen im „Worldwide Harmonised Light-Duty Vehicles Test Procedure“ (WLTP)-Protokoll;
14a) die gemessene Spannung V_mess, aufgetragen über der Zeit t für mehrere Entladungen im WLTP-Fahrzyklus und anschließender Konstantstromladung;
14b) die gemessene Stromstärke I_mess und die simulierte Stromstärke I_mod des spannungsgeführten Modells, aufgetragen über der Zeit t;
14c) die ermittelte Kapazität C_cal der Batterie, ausgehend von einem beliebigen Startwert (hier C_mod = 10 Ah); die gestrichelte Linie ist der unabhängig bestimmte Referenzwert;
15 die Ergebnisse des neuen Verfahrens für die gleichzeitige Bestimmung des Innenwiderstands R und der Leerlaufspannungskurve V⁰(DOD), beispielhaft anhand vier konsekutiver experimenteller Vollzyklen (T₁ bis T₄);
15a) die gemessene Spannung V_mess, aufgetragen über der Zeit t für vier konsekutive Vollzyklen;
15b) die gemessene Stromstärke I_mess und die simulierte Stromstärke I_mod des spannungsgeführten Modells, aufgetragen über der Zeit t;
15c) den nach Gl. (42) ermittelten Unterschied zwischen simulierter und experimenteller Spannung ΔV_tot;
15d) den berechneten Innenwiderstand R_cal der Batterie nach Gl. (19) nach jedem Zeitraum T; die gestrichelte Linie ist der unabhängig bestimmte Referenzwert für den Innenwiderstand;
15e) die nach Gl. (30) bestimmte Leerlaufspannungskurve $V_{cal}^{0} (DOD)$
der Batterie nach jedem Zeitraum T; die gestrichelte Linie ist die unabhängig bestimmte Referenzkurve;
16 die Ergebnisse des neuen Verfahrens für die gleichzeitige Bestimmung des Innenwiderstands R und der Kapazität C, beispielhaft anhand vier konsekutiver experimenteller Vollzyklen (T₁ bis T₄);
16a) die gemessene Spannung V_mess, aufgetragen über der Zeit t für vier konsekutive Vollzyklen;
16b) die gemessene Stromstärke I_mess und die simulierte Stromstärke I_mod des spannungsgeführten Modells, aufgetragen über der Zeit t;
16c) die ermittelte Kapazität C_cal der Batterie nach jedem Zeitraum T; die gestrichelte Linie ist der unabhängig bestimmte Referenzwert für die Kapazität;
16d) den berechneten Innenwiderstand R_cal der Batterie nach Gl. (19) nach jedem Zeitraum T; die gestrichelte Linie ist der unabhängig bestimmte Referenzwert für den Innenwiderstand;
17 die Ergebnisse des neuen Verfahrens für die gleichzeitige Bestimmung des Innenwiderstands R und der Kapazität C, beispielhaft anhand zwölf konsekutiver experimenteller Teilzyklen;
17a) die gemessene Spannung V_mess, aufgetragen über der Zeit t für zwölf konsekutive Teilzyklen;
17b) die gemessene Stromstärke I_mess und die simulierte Stromstärke I_mod des spannungsgeführten Modells, aufgetragen über der Zeit t;
17c) die ermittelte Kapazität C_cal der Batterie nach jedem Zeitraum T; die gestrichelte Linie ist der unabhängig bestimmte Referenzwert für die Kapazität;
17d) den berechneten Innenwiderstand R_cal der Batterie nach Gl. (19) nach jedem Zeitraum T; die gestrichelte Linie ist der unabhängig bestimmte Referenzwert für den Innenwiderstand;
18 die Ergebnisse des neuen Verfahrens für die gleichzeitige Bestimmung von Kapazität C und Leerlaufspannungskurve V⁰, beispielhaft anhand eines experimentellen Vollzyklus;
18a) die gemessene Spannung V_mess, aufgetragen über der Zeit t für einen Vollzyklus;
18b) die gemessene Stromstärke I_mess, aufgetragen über der Zeit t;
18c) die ermittelte Kapazität C_cal der Batterie, ausgehend von einem beliebigen Startwert (hier C_mod = 10Ah) über 9 konsekutive Modellupdates; die gestrichelte Linie ist der unabhängig bestimmte Referenzwert für die Kapazität;
18d) die ermittelte Leerlaufspannungskurve $V_{cal}^{0} (DOD)$
der Batterie über 9 konsekutive Modellupdates; die gestrichelte Linie ist die unabhängig bestimmte Referenzkurve;
19 Ergebnisse des neuen Verfahrens für die gleichzeitige Bestimmung von Kapazität C, Innenwiderstand R und Leerlaufspannungskurve V⁰, beispielhaft anhand eines experimentellen Vollzyklus;
19a) die gemessene Spannung V_mess, aufgetragen über der Zeit t für einen Vollzyklus;
19b) die gemessene Stromstärke I_mess, aufgetragen über der Zeit t;
19c) die ermittelte Kapazität C_cal der Batterie, ausgehend von einem beliebigen Startwert (hier C_mod = 10Ah) über 19 konsekutive Modellupdates; die gestrichelte Linie ist der unabhängig bestimmte Referenzwert für die Kapazität;
19d) den berechneten Innenwiderstand R_cal der Batterie, ausgehend von einem beliebigen Startwert von 9 mΩ über 19 konsekutive Modellupdates; die gestrichelte Linie ist der unabhängig bestimmte Referenzwert für den Innenwiderstand;
19e) die ermittelte Leerlaufspannungskurve $V_{cal}^{0} (DOD)$
der Batterie über 19 konsekutive Modellupdates; die gestrichelte Linie ist die unabhängig bestimmte Referenzkurve.

1 zeigt eine schematische Darstellung des Verfahrens. Zu sehen sind die aufladbare Batterie 106, der erste und zweite Bestandteil des Gesamtalgorithmus 102, 104 sowie der Gesamtalgorithmus 100 selbst. Erfasste Messwerte der Spannung V_mess(t) der aufladbaren Batterie 106 werden an den ersten Teil des Gesamtalgorithmus 102 übertragen. Der erste Teil des Gesamtalgorithmus 102 umfasst das spannungsgeführte Batteriemodell. Im Batteriemodell werden beliebig angenommene Anfangswerte für die zu bestimmenden Größen Innenwiderstand R_mod und/oder die Leerlaufspannungskurve V⁰ _mod und/oder die Kapazität C_mod verwendet. Aus der gemessenen Spannung V_mess(t) und den beliebigen Größen werden Werte für eine simulierte Stromstärke I_mod(t) als Ausgangsgröße des Batteriemodells berechnet. Die Werte der simulierten Stromstärke I_mod(t) und erfasste Messwerte für den Batteriestrom I_mess(t) der aufladbaren Batterie 106 werden an den zweiten Teil des Gesamtalgorithmus 104 übertragen. Mit jeweils einer vorgegebenen Rechenvorschrift werden in diesem Teil berechnete Werte für den Innenwiderstand R_cal und/oder die Leerlaufspannungskurve V⁰ _cal und/oder die Kapazität C_cal jeweils unter Verwendung der Werte für die simulierte Stromstärke I_mod(t) und der erfassten Messwerte für die Stromstärke I_mess(t) mit jeweils einer vorgegebenen Rechenvorschrift bestimmt. Die bestimmten Werte R_cal, V⁰ _cal und C_cal werden als Update an das spannungsgeführte Modell übertragen und ersetzen dort die angenommenen Werte R_mod, V⁰ _mod und C_mod. Die bestimmten Werte R_cal, V⁰ _cal und C_cal werden als Ergebnis des Gesamtalgorithmus 100 ausgegeben.
Wie in 2 dargestellt, lässt sich dieser Gesamtalgorithmus 100 auf einfache Weise in ein bestehendes Batteriemanagementsystem integrieren. Hierzu muss in dem Batteriemanagementsystem (nicht dargestellt) lediglich eine Auswerte- und Steuereinheit 120 zur Durchführung des Verfahrens enthalten sein. Die Auswerte- und Steuereinheit 120 umfasst eine Einheit 110 zur Messung der Batteriespannung U_mess, die mit den Anschlüssen (Polen) der aufladbaren Batterie 106 verbunden ist. Weiterhin umfasst die Auswerte- und Steuereinheit 120 eine Einheit 112 zur Messung des Batteriestroms I_mess, die in beliebiger Weise ausgebildet sein kann. Beispielsweise kann die Einheit 112 einen Shunt-Widerstand umfassen, der im Strompfad zwischen den Batteriepolen und einer beliebigen Last R_L liegt, die auch mit dem Bezugszeichen 114 bezeichnet ist. Die Einheit 112 kann dabei zur Messung der Spannung über den Shunt-Widerstand und zur Berechnung des Stroms aus dem gemessenen Spannungsabfall und dem Widerstandswert des Shunt-Widerstands ausgebildet sein. In einer weiteren Ausführung der Erfindung kann die Auswerte- und Steuereinheit 120 auch eine Vorrichtung zum Erfassen der Temperatur der Batterie (nicht abgebildet) umfassen.
Die Auswerte- und Steuereinheit 120 kann auch eine Anzeigeeinheit 116 umfassen, auf welcher die ermittelten Werte angezeigt werden. Die Auswerte- und Steuereinheit 120 umfasst zur Durchführung der für die Realisierung des Verfahrens erforderlichen Berechnungen eine Recheneinheit 118, die beispielsweise als Mikroprozessoreinheit ausgebildet sein kann. Die Mikroprozessoreinheit kann dabei auch einen Analog/Digital-Wandler aufweisen, der ihr zugeführte analoge Größen U_mess und I_mess zeitlich abtastet und in digitale Werte umsetzt.
Das in dem Verfahren verwendete Batteriemodell muss in der Lage sein, den zeitlichen Verlauf der Stromstärke bei einem gegebenen Verlauf der Spannung vorherzusagen. Dafür muss das Modell folgende Eigenschaften aufweisen. Das Modell beschreibt die Abhängigkeit der Spannung vom Ladezustand (state of charge, SOC) oder einer damit zusammenhängenden Größe wie der Entladetiefe (depth of discharge, DOD), der vorhandenen Restladung oder der vorhandenen Restenergie. Ein notwendiger Modellparameter ist dafür die Kapazität C der Batterie. Ein weiterer notwendiger Modellparameter ist die Leerlaufspannungskurve V⁰(DOD). Das Modell beschreibt die Abhängigkeit der Spannung von der Stromstärke, d.h. es weist einen Innenwiderstand R_mod auf. Je nach Modellkomplexität ergibt sich der Innenwiderstand aus einer einzelnen Modellgleichung mit einem einzelnen Parameter (z.B. Ohm'sches Gesetz) oder einer Kombination von Modellgleichungen und mehreren Parametern. Der Innenwiderstand könnte durch einen auf das Modell angewandten Pulstest nach Gl. (1) bestimmt werden. Das Modell ist spannungsgeführt. Dementsprechend ist die gemessene Spannung V_mess die Eingangsgröße und die vorhergesagte Stromstärke I_mod die Ausgangsgröße.
Es gibt viele verschiedene Modellierungsansätze, die diese Voraussetzungen erfüllen, z.B. Äquivalenzschaltkreismodelle oder physikalisch-chemische Modelle. Ein einfaches, aber für die Demonstration der Methode ausreichendes Äquivalenzschaltkreismodell ist in 3 a) dargestellt. Es besteht aus einer Spannungsquelle V⁰ und einem seriellen Widerstand R_s. Dieses Modell wird mathematisch durch ein differenziell-algebraisches Gleichungssystem beschrieben: $\frac{dDOD}{d t} = \frac{1}{R_{s} \cdot C} (V^{0} (DOD) - V_{mess}),$
$I_{mod} = \frac{1}{R_{s}} (V^{0} (DOD) - V_{mess}) .$
Das Modell hat die drei Parameter serieller Widerstand R_s, Kapazität der Batterie C und Leerlaufspannungskurve V⁰(DOD). Die Entladetiefe DOD nimmt Werte zwischen 0 und 1 an, wobei DOD = 0 eine vollständig geladene Batterie und DOD = 1 eine vollständig entladene Batterie ist. Der DOD steht in direktem Zusammenhang mit dem Ladezustand (englisch: state of charge, SOC): $SOC = 1 - DOD .$
Der Ladezustand SOC ist eine üblich verwendete Größe, um anzugeben, wie voll die Batterie ist. Das Gleichungssystem (3) und (4) erlaubt die Berechnung der Ausgangsgröße I_mod auf Grundlage der Eingangsgröße V_mess. Es handelt sich damit um ein spannungsgeführtes Modell (Spannung als Eingangsgröße).
Andere, komplexere Modelle sind ebenso für den Einsatz in dem neuen Verfahren geeignet, z.B. erweiterte Ersatzschaltkreismodelle wie in 3b). Durch den Einsatz von Vorwissen über die Batterie in komplexeren Modellen, z.B. die Annahme einer Spannungshysterese η_hys, kann die Genauigkeit des Verfahrens erhöht werden. Der Äquivalenzschaltkreis in 3b) ist ein Beispiel für ein Modell, in dem der Innenwiderstand R_mod aus mehreren Modellelementen folgt, hier aus der R_s-(RC)₁-(RC)₂-Kette.
Für die Demonstration des vorliegenden Verfahrens wurden Experimente mit kommerziellen Lithium-Ionen-Pouchzellen mit einer Nennspannung von 3,75 V und einer Nennkapazität von 20 Ah durchgeführt. Die Zellen haben eine negative Elektrode aus Graphit und eine positive Elektrode aus einer Mischung aus Lithium-Nickel-Mangan-Kobaltoxid (NMC) und Lithium-Manganoxid (LMO). Die Zellen wurden bei 25 °C Umgebungstemperatur vermessen. Es wurden drei verschiedene Messprotokolle durchgeführt. Die Daten dieser Messungen sind die Grundlage für alle hier vorgestellten Verfahren.

1. Vollzyklen: CCCV-Entladung auf 3,0 V, CCCV-Ladung auf 4,2 V, 1C-Rate, C/10-Abschaltstrom, keine Pause) für mehrere Zyklen, beginnend mit einer vollständig entladenen Batterie. Diese Messdaten sind in 5 gezeigt.
2. Teilzyklen: CC-Entladung und -Ladung zwischen 25 % und 75 % Ladezustand für mehrere Teilzyklen
3. Fahrzyklen: Ausgehend von einer vollgeladenen Batterie wurde ein dynamisches Lastprofil durchgeführt, das auf Basis der „Worldwide Harmonised Light-Duty Vehicles Test Procedure“ (WLTP) erstellt wurde. Dieses Profil enthält schnell aufeinanderfolgende Entlade- und Ladephasen, die aus den Beschleunigungs- und Bremsvorgängen eines Elektrofahrzeugs resultieren.

Weiterhin wurde eine Quasi-OCV-Messung bei 0,05C-Rate durchgeführt. Die damit ermittelte Leerlaufspannungskurve V⁰(DOD) sowie deren Ableitung dV⁰/dDOD sind in 4 gezeigt und dienen als Referenz für das neue Verfahren. Zu sehen ist die Leerlaufspannungskurve V⁰(DOD) in gepunkteter Linie als Spannung aufgetragen über der Entladetiefe DOD. Die Kurve zeigt eine annähernd lineare Entladung der Batterie bis kurz vor der vollständigen Entladung. Die Ableitung der Leerlaufspannungskurve dV⁰/dDOD ist als durchgezogene Linie dargestellt und als Spannung über der Entladetiefe DOD aufgetragen. Die Spannung für die Ableitung lässt sich an der Achse auf der rechten Seite des Diagramms ablesen. Die Kurve zeigt einen annähernd konstanten Verlauf bis kurz vor der vollständigen Entladung.
Der Innenwiderstand wurde unabhängig aus den Vollzyklen bei 1C bestimmt nach $R = \frac{{\bar{V}}_{chg} - {\bar{V}}_{dis}}{2 \cdot I},$
mit V _chg als mittlere Ladespannung zwischen 25 % und 75 % SOC, V _dis die mittlere Entladespannung zwischen 75 % und 25 % SOC und I = 20 A. Es wurde ein Wert von R = 4,579 mΩ ermittelt. Die Kapazität der Batterie wurde, ebenfalls aus den Vollzyklen, zu C = 19,96 Ah bestimmt und entspricht damit fast genau der Nennkapazität von 20 Ah. Diese Werte für C und R dienen ebenfalls als Referenz für das neue Verfahren. Das neue Verfahren wird im Folgenden insbesondere auf Messwerte von vier konsekutiven Vollzyklen angewendet. Diese sind in 5 gezeigt. Zu sehen sind der Verlauf der gemessenen Spannung V_mess(t), aufgetragen über der Zeit in Abbildung a), und der Verlauf der gemessenen Stromstärke I_mess(t), aufgetragen über der Zeit in Abbildung b). Die vier Vollladezyklen sind gut zu erkennen. Es wurde mit einer vollständig entladenen Batterie begonnen. Weiterhin wird das Verfahren exemplarisch auch anhand der Teilzyklen und des WLTP-Lastprofils demonstriert.
Bestimmung des Innenwiderstands
Die reale Batterie weist einen realen Innenwiderstand auf, den wir mit R bezeichnen. Stellvertretend wird mittels des Verfahrens ein Wert R_cal bestimmt, der dem realen Innenwiderstand sehr nahe ist. Das Modell hat einen angenommenen Innenwiderstand, den wir mit R_mod bezeichnen. Wir bezeichnen den Unterschied als ΔR mit $Δ R = R_{mod} - R_{cal} .$
Aufgrund dieses Unterschieds wird das spannungsgeführte Batteriemodell eine andere Stromstärke I_mod aufweisen als die reale Batterie. Wir bezeichnen den gemessenen Strom der realen Batterie mit I_mess. Aus dem Unterschied zwischen I_mod und I_mess kann daher auf ΔR geschlossen werden. Diese Beziehung wird im Folgenden hergeleitet.
Die Herleitung erfolgt anhand 6. Diese zeigt das Spannungsverhalten bei einer Batterieentladung mit konstanter Stromstärke. Gezeigt ist zunächst die Leerlaufspannungskurve V⁰(DOD), hier ein beispielhafter Verlauf einer Lithium-Ionen-Batteriezelle mit einer Ladeschlussspannung von 4,2 V und einer Entladeschlussspannung von 3,0 V. Wir nehmen an, dass sich die reale Batterie an einem beliebigen Betriebspunkt befindet, markiert in der Abbildung als „operation point exp“, der einer bestimmten Entladetiefe DOD_exp entspricht. Bei Entladung mit der Stromstärke I_mess liegt die Spannung der realen Batterie V_mess(DOD_exp) aufgrund des Innenwiderstands R niedriger als die Leerlaufspannung, und zwar auf der in 6 gezeigten Kurve V_mess(DOD). Wir nehmen an, dass der Innenwiderstand des Batteriemodells größer ist als der der realen Batterie, also ΔR > 0. Das Batteriemodell weist daher bei gleicher Entladetiefe DOD_exp eine noch niedrigere Spannung V_mod(DOD_exp) auf, und zwar auf der in 6 gezeigten Kurve V_mod(DOD). Wir bezeichnen den Spannungsunterschied zwischen den beiden Kurven als ΔV_R = V_mod(DOD_exp) - V_mess(DOD_exp). Im Beispiel von 6 ist ΔV_R < 0. Wir definieren die Stromstärke als positiv für Batterieentladung. Nach dem Ohm'schen Gesetz folgt daher der Zusammenhang $Δ V_{R} = - Δ R \cdot I_{mess} .$
Das hier vorgestellte Verfahren verwendet ein spannungsgeführtes Batteriemodell. Das Modell hat also zu jedem Zeitpunkt per Definition die gleiche Spannung wie die reale Batterie. Die Verschiebung der Kennlinien um ΔV_R gegeneinander (für den gleichen DOD_exp) führt dazu, dass das Modell eine andere Entladetiefe DOD_mod im Vergleich zur realen Batterie (bei gleicher Spannung V_mess) aufweist. Das Modell befindet sich demnach in dem in 6 markierten Betriebspunkt „operation point (mod)“. Den Unterschied in den Entladetiefen bezeichnen wir als ΔDOD mit $Δ DOD = {DOD}_{mod} - {DOD}_{exp} .$
In unserem Beispiel ist ΔDOD < 0. 6 zeigt anschaulich, dass ΔV_R und ΔDOD ein Steigungsdreieck bilden. Die Steigung -ΔV_R/ΔDOD entspricht der Steigung der Kennlinie dWdDOD und, weil diese parallel zur Leerlaufspannung verschoben ist, der Steigung der Leerlaufspannungskurve dV⁰/dDOD, die wir im Folgenden als b bezeichnen: $- \frac{Δ V_{R}}{Δ DOD} = \frac{d V^{0}}{dDOD} \equiv b .$
Das negative Vorzeichen ist notwendig, da ΔV < 0 und ΔDOD < 0, jedoch auch b < 0.
Einsetzen von Gl. (8) in Gl. (10) liefert einen Zusammenhang zwischen ΔDOD und der unbekannten Größe ΔR, $Δ DOD = \frac{Δ R \cdot I_{mess}}{b} .$
Wir entwickeln als Nächstes einen Ausdruck für ΔDOD. Die Entladetiefe ändert sich zeitlich aufgrund eines angelegten Stroms. Dies lässt sich mit einer einfachen Differenzialgleichung beschreiben, die wir sowohl auf die reale Batterie als auch auf das Modell anwenden: $\frac{{dDOD}_{exp}}{d t} = \frac{I_{mess}}{C},$
$\frac{{dDOD}_{mod}}{d t} = \frac{I_{mod}}{C} .$
Wir ziehen Gl. (12) von Gl. (13) ab und substituieren Gl. (9) zu $\frac{d (Δ DOD)}{d t} = \frac{I_{mod} - I_{mess}}{C} .$
Diese Gleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung von ΔDOD bei einem Unterschied zwischen simulierter und experimenteller Stromstärke. Wir setzen Gl. (11) ein und erhalten $\frac{d}{d t} (\frac{Δ R \cdot I_{mess}}{b}) = \frac{I_{mod} - I_{mess}}{C} .$
Diese Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen der gesuchten Größe ΔR, der Messgröße I_mess, dem Ausgang des spannungsgeführten Modells I_mod sowie den Modellparametern C und b.
Für die Berechnung von ΔR muss die Zeitableitung der linken Seite von Gl. (15) integriert werden. Im praktischen Batteriebetrieb wird die Messgröße I_mess zu bestimmten diskreten Zeitpunkten t_n bestimmt. Es bietet sich daher ein implizites Euler-Verfahren für die Lösung von Gl. (15) an: $\frac{Δ R_{n} \cdot I_{mess, n}}{b_{n}} - \frac{Δ R_{n - 1} \cdot I_{mess, n - 1}}{b_{n - 1}} = \frac{Δ t}{C} \cdot (I_{mod, n} - I_{mess, n}) .$
Hier ist n der aktuelle Zeitpunkt der Messung und Δt = t_n - t_n-1 der zeitliche Abstand zum vorherigen Messpunkt. Diese Gleichung kann nach der gesuchten Größe ΔR aufgelöst werden: $Δ R_{n} = \frac{b_{n}}{I_{m e s s, n}} (\frac{Δ t}{C} (I_{mod, n} - I_{mess, n}) + \frac{Δ R_{n - 1} \cdot I_{mess, n - 1}}{b_{n - 1}}) .$
Diese Gleichung ist das zentrale Ergebnis dieser Analyse. Sie erlaubt die Berechnung von ΔR aus diskreten Zeitreihen von I_mess und I_mod. Für jeden Zeitschritt wird ein Wert von ΔR erhalten. Dieser kann bei Bedarf über mehrere Zeitschritte N gemittelt werden nach $\bar{Δ R} = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} Δ R_{n} .$
Diese Mittelung kann auch über bestimmte DOD-Abschnitte oder über Abschnitte von Strom oder Temperatur erfolgen, sodass die DOD-, Strom- oder Temperaturabhängigkeit von ΔR erhalten wird. Die zu bestimmende Größe für den Innenwiderstand der realen Batterie R_cal ergibt sich in einem abschließenden Schritt nach Gl. (7) zu $R_{cal} = R_{mod} - \bar{Δ R} .$
Bis zu diesem Punkt ist die Herleitung vollkommen unabhängig von der Art des verwendeten Batteriemodells. Dieses wird erst bei der Berechnung von Gl. (19) relevant. Der für diese Formel notwendige Innenwiderstand des Modells R_mod errechnet sich aus den Modellparametern. Für das einfache Äquivalenzschaltkreismodell in 3a) ist R_mod = R_m. Für das beispielhafte komplexe Äquivalenzschaltkreismodell in 3b) ergibt sich R_mod = R_s + R₁ + R₂.
Um die Genauigkeit des Verfahrens zu erhöhen und/oder das Modell für weitere Messdaten zu verwenden, kann im Anschluss eine Anpassung („Update“) der Modellparameter erfolgen. Für das einfache Äquivalenzschaltkreismodell in 3a) erfolgt dies in Analogie zu Gl. (19) nach $R_{s, neu} = R_{s} - \bar{Δ R} .$
Für komplexere Modelle muss der ermittelte Wert ΔR in geeigneter Weise auf die Modellparameter verteilt werden. Für das beispielhafte komplexe Äquivalenzschaltkreismodell in 3b) kann beispielsweise ΔR zu jeweils 1/3 von den drei Parametern R_s, R₁ und R₂ abgezogen werden.
Die oben dargestellte Ergebnisgleichung (15) wurde anhand 6 unter der Annahme einer konstanten Stromstärke hergeleitet. Diese Annahme diente lediglich zur Plausibilisierung und ist nicht Voraussetzung für das vorliegende Verfahren. Ein Batteriebetrieb mit zeitlich beliebig variierender Stromstärke (Entladung oder Ladung) kann gedanklich aufgeteilt werden in kurze Abschnitte konstanter Stromstärke - ein solcher Abschnitt ist beispielsweise der Abstand Δt zwischen zwei Messpunkten, wie er in der diskretisierten Form Gl. (17) verwendet wird. Bei infinitesimal kurzen Zeitabschnitten geht das in 6 gezeigte Steigungsdreieck vom Differenzenquotienten ΔV/ΔDOD in den Differenzialquotienten dV/dDOD über. Die Ergebnisgleichung (15) ist damit exakt gültig, unabhängig von Dynamik und Vorzeichen der Stromstärke.
Mit den hergeleiteten Gleichungen erfolgt die Bestimmung des Innenwiderstands in der Praxis in folgenden Schritten. Zuerst wird ein spannungsgeführtes Batteriemodell mit bekannten und/oder vorbestimmten Parameterwerten für die Kapazität C_mod und die Leerlaufspannungskurve $V_{mod}^{0} (DOD)$
bereitgestellt. Beliebige Startwerte werden für den oder die mit dem Innenwiderstand R des Modells zusammenhängenden Parameter (z.B. R_s für das einfache Äquivalenzschaltkreismodell in 3a) angenommen. Die Batterie wird über einen Zeitraum T mit Messung der Stromstärke I_mess und der Spannung V_mess betrieben. Anschließend wird die simulierte Stromstärke I_mod über den Zeitraum T mittels des spannungsgeführten Modells berechnet. Darauf folgt die Berechnung von ΔR nach Gl. (17). Die Werte ΔR_n werden über den Zeitraum T zum Mittelwert ΔR gemittelt. Anschließend wird der Näherungswert R_cal für den realen Innenwiderstand nach Gl. (19) berechnet. Optional wird die Durchführung des Verfahrens wiederholt, wobei der oder die mit dem Innenwiderstand R_mod zusammenhängenden Parameter in dem Batteriemodell auf die ermittelten Werte gesetzt werden („Modell-Update“). Damit erfolgt eine iterative Annäherung des Innenwiderstands des Modells an den echten Innenwiderstand.
Im Folgenden wird das Verfahren anhand der bereits erwähnten experimentellen Daten demonstriert, und zwar anhand aller drei Datensätze (Vollzyklen, Teilzyklen, Fahrzyklen). Es wird das einfache Äquivalenzschaltkreismodell von 3a) verwendet. Die Kapazität wird auf den Referenzwert von C = 19,96 Ah gesetzt, die Leerlaufspannungskurve auf den in 4 gezeigten Referenzverlauf. Der Parameter für den seriellen Widerstand wird auf einen beliebigen Startwert gesetzt, hier exemplarisch auf R_s = 9 mΩ.
Die Ergebnisse für experimentelle Vollzyklen sind in 7 dargestellt. Als Zeitraum T wird ein Lade-/Entladezyklus gewählt (ca. 2,1 h). 7a) zeigt die gemessene Spannung V_mess als Eingangsgröße für das spannungsgeführte Modell. 7b) zeigt sowohl die gemessene Stromstärke I_mess als auch die simulierte Stromstärke I_mod aus dem spannungsgeführten Modell. Während des Zeitraums T₁ (zwischen 0 und 2 h) ist eine deutliche Abweichung I_mod - I_mess der beiden Kurven ersichtlich. 7c) zeigt den nach Gl. (17) ermittelten Unterschied zwischen simuliertem und experimentellem Widerstand ΔR unter Verwendung der in 7b) gezeigten Daten. Der Wert ΔR variiert zeitlich. Im ersten Zyklus (zwischen 0 und 2 h) nimmt er Werte um die 4 mΩ an, mit deutlichen Spitzen insbesondere am jeweiligen Ende der Ladung und der Entladung. Der über die erste Zyklusdauer T₁ gemittelte Wert beträgt ΔR = 4,32 mΩ. Daraus wird nach Gl. (19) der berechnete Innenwiderstand R_cal der Batterie zu $R_{cal} = R_{mod} - \bar{Δ R} = R_{s} - \bar{Δ R} = 9 m Ω - 4,32 m Ω = 4,68 m Ω .$
Dieser Wert liegt sehr dicht am Referenzwert von 4,58 mΩ. Bereits nach dem ersten Vollzyklus kann also der Innenwiderstand mit dem neuen Verfahren bestimmt werden. Damit ist das Verfahren erfolgreich demonstriert.
Der serielle Widerstand des Modells wird nun nach Gl. (20) auf den neuen Wert gesetzt, R_s,neu = R_s - ΔR, bevor mit dem zweiten Iterationsschritt im Zeitraum T₂ fortgefahren wird. Analog wird nach T₂, T₃ und T₄ verfahren. Die ermittelten Innenwiderstände sind in 7d) dargestellt, ausgehend vom angenommenen Startwert. Das Verfahren stabilisiert nahe des Referenzwerts. Gleichzeitig wird die Vorhersagequalität des spannungsgeführten Modells besser (vgl. 7b) für Zeiträume > 2 h) und damit ΔR kleiner (vgl. 7c) für Zeiträume > 2 h).
Diese Ergebnisse verwenden Vollzyklen. Um die Flexibilität des Verfahrens zu demonstrieren, wurde es weiterhin auf Teilzyklen (25 % bis 75 % Ladezustand) und auf Fahrzyklen (Belastung der Batterie im Elektrofahrzeug) angewendet. Die Ergebnisse sind in 8 (Teilzyklen) und 9 (Fahrzyklen) dargestellt. Die experimentellen Datensätze bestehen aus jeweils 2-3 Stunden Batteriebetrieb. Wir folgen der beschriebenen Vorgehensweise. Der Startwert für den seriellen Widerstand wird zu R_s = 9 mΩ gewählt. Als Zeitraum T wählen wir die Dauer des gesamten Datensatzes (2,1 h für die Teilzyklen, 3,2 h für die Fahrzyklen). Nach Gl. (19) erhalten wir damit einen neuen Wert für R_cal. Damit aktualisieren wir das Modell nach Gl. (20) und wiederholen dies mit den gleichen experimentellen Daten aus dem Zeitraum T, bis R_cal auf einen konstanten Wert konvergiert. Für die Teilzyklen ist dies nach ca. 5 Aktualisierungen der Fall, für die Fahrzyklen nach ca. 25. Die konvergierten Werte liegen bei R_cal = 4,20 mΩ (Teilzyklen, 8d) bzw. R_cal = 4,14 mΩ (Fahrzyklen, 9d), diese Werte liegen dicht am Referenzwert von R = 4,58 mΩ.
Anhand jedes einzelnen der gezeigten Datensätze konnte damit das neue Verfahren zur Bestimmung des Innenwiderstands einer aufladbaren Batterie erfolgreich demonstriert und seine hohe Flexibilität bezüglich Eingangsdaten gezeigt werden.
Bestimmung der Leerlaufspannungskurve
Die reale Batterie weist eine reale Leerlaufspannungskurve auf, die wir mit V⁰(DOD) bezeichnen. Stellvertretend wird mittels des Verfahrens ein Wert $V_{cal}^{0}$
bestimmt, der dem realen Innenwiderstand sehr nahe ist. Das Modell hat eine angenommene Leerlaufspannungskurve, die wir mit $V_{mod}^{0}$
bezeichnen. Wir bezeichnen den Unterschied als ΔV⁰ mit $Δ V^{0} = V_{mod}^{0} - V_{cal}^{0} .$
Alle drei Parameter $Δ V^{0}, V_{mod}^{0} und V_{cal}^{0}$
hängen von der Entladetiefe DOD ab. Aufgrund des Unterschieds wird das spannungsgeführte Batteriemodell grundsätzlich eine unterschiedliche Stromstärke I_mod aufweisen als die reale Batterie I_mess. Aus dem Unterschied zwischen I_mod und I_mess kann daher auf ΔV⁰ geschlossen werden. Diese Beziehung wird im Folgenden hergeleitet.
10 zeigt zwei Leerlaufspannungskurven. Als reale Kurve $V_{exp}^{0} (DOD)$
ist beispielhaft die einer Lithium-lonen-Batteriezelle mit einer Ladeschlussspannung von 4,2 V und einer Entladeschlussspannung von 3,0 V dargestellt. Für das Modell $V_{mod}^{0} (DOD)$
wird ein linearer Verlauf zwischen den Schlussspannungen angenommen. Für einen gegebenen Betriebspunkt DOD_exp (in 10 markiert als „operation point exp.“) führt dies zum Unterschied ΔV⁰; im Beispiel von 10 ist ΔV⁰ < 0.
Das hier vorgestellte Verfahren verwendet ein spannungsgeführtes Batteriemodell. Das Modell hat also zu jedem Zeitpunkt per Definition die gleiche Spannung wie die reale Batterie. Die Verschiebung der Kennlinien um ΔV⁰ gegeneinander (für den gleichen DOD_exp) führt dazu, dass das Modell eine andere Entladetiefe DOD_mod im Vergleich zur realen Batterie (bei gleicher Spannung V_mess) aufweist. Das Modell befindet sich demnach in dem in 10 markierten Betriebspunkt „operation point mod“. Den Unterschied in den Entladetiefen bezeichnen wir als ΔDOD mit $Δ DOD = {DOD}_{mod} - {DOD}_{mess} .$
In unserem Beispiel ist ΔDOD < 0. 10 zeigt anschaulich, dass ΔV⁰ und ΔDOD ein Steigungsdreieck bilden. Die Steigung -ΔV⁰/ΔDOD entspricht der Steigung der Kennlinie $d V_{mod}^{0} / dDOD,$
die wir als b bezeichnen: $- \frac{Δ V^{0}}{Δ DOD} = b .$
Wir entwickeln als Nächstes einen Ausdruck für ΔDOD. Die Entladetiefe ändert sich zeitlich aufgrund eines angelegten Stroms. Dies lässt sich mit einer einfachen Differenzialgleichung beschreiben, die wir sowohl auf die reale Batterie als auch auf das Modell anwenden: $\frac{{dDOD}_{exp}}{d t} = \frac{I_{mess}}{C},$
$\frac{{dDOD}_{mod}}{d t} = \frac{I_{mod}}{C} .$
Wir ziehen Gl. (24) von Gl. (25) ab und substituieren Gl. (22) zu $\frac{d (Δ DOD)}{d t} = \frac{I_{mod} - I_{mess}}{C} .$
Diese Gleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung von ΔDOD bei einem Unterschied zwischen simulierter und experimenteller Stromstärke. Wir setzen Gl. (23) ein und erhalten $\frac{d}{d t} (\frac{Δ V^{0}}{b}) = - \frac{I_{mod} - I_{mess}}{C} .$
Diese Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen der gesuchten Größe ΔV⁰, der Messgröße I_mess, dem Ausgang des spannungsgeführten Modells I_mod sowie den Modellparametern C und b.
Für die Lösung muss die Zeitableitung der linken Seite von Gl. (27) integriert werden. Im praktischen Batteriebetrieb wird die Messgröße I_mess zu bestimmten diskreten Zeitpunkten t_n bestimmt. Es bietet sich daher ein implizites Euler-Verfahren für die Lösung von Gl. (27) an: $\frac{Δ V_{n}^{0}}{b_{n}} - \frac{Δ V_{n - 1}^{0}}{b_{n - 1}} = - \frac{Δ t}{C} \cdot (I_{mod, n} - I_{mess, n}) .$
Hier ist n der aktuelle Zeitpunkt der Messung und Δt = t_n - t_n-1 der zeitliche Abstand zum vorigen Messpunkt. Diese Gleichung kann nach der gesuchten Größe ΔV⁰ aufgelöst werden: $Δ V_{n}^{0} = - \frac{Δ t \cdot b_{n}}{C} (I_{mod, n} - I_{mess, n}) + \frac{Δ V_{n - 1}^{0} \cdot b_{n}}{b_{n - 1}} .$
Diese Gleichung ist das zentrale Ergebnis dieser Analyse. Sie erlaubt die Berechnung von ΔV⁰ aus diskreten Zeitreihen von I_mess und I_mod. Für jeden Zeitschritt wird ein Wert von ΔV⁰ erhalten. Da ΔV⁰ von DOD abhängt, müssen abschnittsweise Mittelwerte gebildet werden (z.B. alle 1-DOD-Prozentpunkte).
Die zu bestimmende Leerlaufspannungskurve der realen Batterie ergibt sich in einem abschließenden Schritt nach Gl. (21) zu $V_{cal}^{0} (DOD) = V_{mod}^{0} (DOD) - Δ V^{0} (DOD),$
wobei $V_{mod}^{0} (DOD)$
der im Modell verwendete Parameter ist. Um die Genauigkeit des Verfahrens zu erhöhen und/oder das Modell für weitere Messdaten zu verwenden, kann im Anschluss eine Anpassung („Update“) des Modellparameters erfolgen nach $V_{neu}^{0} = V_{mod}^{0} - Δ V^{0} .$
Die Bestimmung der Leerlaufspannungskurve erfolgt in der Praxis in folgenden Schritten. Zuerst wird ein spannungsgeführtes Batteriemodell mit bekannten Parameterwerten für die Kapazität C_mod und für den oder die mit dem Innenwiderstand R_mod zusammenhängenden Parameter (z.B. R_s für das einfache Äquivalenzschaltkreismodell in 3a) bereitgestellt. Ein beliebiger Startwert wird für den Verlauf der Leerlaufspannungskurve $V_{mod}^{0} (D O D)$
angenommen, vorzugsweise ein linearer Verlauf zwischen Lade- und Entladeschlussspannung. Die Batterie wird über einen Zeitraum T mit Messung von Stromstärke I_mess und Spannung V_mess betrieben. Anschließend wird die simulierte Stromstärke I_mod über den Zeitraum T mittels des spannungsgeführten Modells berechnet. Darauf folgt die Berechnung von ΔV⁰ nach Gl. (29). Die Werte $Δ V_{n}^{0}$
werden abschnittsweise für DOD-Bereiche zum Mittelwert $\bar{Δ V^{0}} (DOD)$
über den Zeitraum T gemittelt. Anschließend wird der Näherungswert für die reale Leerlaufspannungskurve nach Gl. (30) berechnet. Optional wird die Durchführung des Verfahrens wiederholt, wobei der Parameter für den Verlauf der Leerlaufspannungskurve im Batteriemodell auf den ermittelten Wert gesetzt wird („Modell-Update“). Damit erfolgt eine iterative Annäherung der Leerlaufspannungskurve des Modells an die echte Leerlaufspannungskurve.
Die Mittelung von $Δ V_{n}^{0}$
kann auch abschnittsweise für verschiedene Bereiche von gemessenen Temperaturen durchgeführt werden. Damit kann eine temperaturabhängige Leerlaufspannungskurve V⁰(DOD, ϑ) bestimmt werden. Die Leerlaufspannungskurve V⁰ hängt von der Entladetiefe ab. Für eine vollständige Erfassung muss der Zeitraum T daher so gewählt werden, dass die Batterie alle Ladezustände zwischen 0 % und 100 % mindestens einmal durchlaufen hat. Falls innerhalb von T nur ein Teilbereich durchlaufen wird, kann die Leerlaufspannungskurve nur in diesem Teilbereich bestimmt werden.
Im Folgenden wird das beschriebene Verfahren anhand der bereits erwähnten experimentellen Daten demonstriert, und zwar anhand der Vollzyklen (5). Es wird das einfache Äquivalenzschaltkreismodell von 3a) verwendet. Die Kapazität wird auf den Referenzwert von C = 19,96 Ah gesetzt, der serielle Widerstand auf den Referenzwert von R_s = 4,579 mΩ. Die Leerlaufspannungskurve V⁰(DOD) wird auf einen beliebigen Startwert gesetzt, und zwar einen linearen Verlauf zwischen den Schlussspannungen. Als Zeitraum T wird ein Lade-/Entladezyklus gewählt (ca. 2,1 h).
Die Ergebnisse sind in 11 dargestellt. 11a) zeigt die gemessene Spannung V_mess als Eingangsgröße für das spannungsgeführte Modell, aufgetragen über der Zeit. 11b) zeigt sowohl die gemessene Stromstärke I_mess als auch die simulierte Stromstärke I_mod aus dem spannungsgeführten Modell, aufgetragen über der Zeit. Während des Zeitraums T₁ (zwischen 0 und 2 h) ist eine deutliche Abweichung I_mod - I_mess der beiden Kurven ersichtlich, die in den darauffolgenden Zeitperioden immer kleiner wird. 11c) zeigt den nach Gl. (29) ermittelten Unterschied zwischen simulierter und experimenteller Leerlaufspannung ΔV⁰ unter Verwendung der in 11b) gezeigten Daten. Der Wert ΔV⁰ variiert zeitlich während des Zeitraums T₁ (zwischen 0 und 2 h): Die Werte sind symmetrisch bezüglich Ladung und Entladung und weisen Ausschläge bis auf -0,35 V auf. Über die erste Zyklusdauer T₁ werden diese Werte abschnittsweise für jeden DOD-Prozentpunkt gemittelt. Daraus wird nach Gl. (30) der Näherungswert für die reale Leerlaufspannungskurve V⁰(DOD) bestimmt. 11d) zeigt die zu Beginn angenommene lineare Kurve als dicke durchgezogene Linie sowie die nach T₁ ermittelte Kurve als dünne durchgezogene Linie. Diese liegt bereits nah an der Referenzkurve, die als gestrichelte Linie ebenfalls in 11d) dargestellt ist. Bereits nach zwei Vollzyklen kann die Leerlaufspannungskurve mit dem neuen Verfahren bestimmt werden. Damit ist das Verfahren erfolgreich demonstriert.
Nach dem Zeitraum T₁ wird das Modell mit der ermittelten Kurve erneuert, bevor mit dem zweiten Zyklus im Zeitraum T₂ fortgefahren wird. Analog wird nach T₂, T₃ und T₄ verfahren. Die ermittelten Kurven sind ebenfalls in 11d) dargestellt. Das Verfahren stabilisiert sich nahe der Referenzkurve. Gleichzeitig wird die Vorhersagequalität des spannungsgeführten Modells besser (vgl. 11b) für Zeiträume > 2 h) und damit ΔV⁰ kleiner (vgl. 11c) für Zeiträume > 2 h).
Mit diesen Ergebnissen konnte das neue Verfahren zur Bestimmung der Leerlaufspannungskurve einer aufladbaren Batterie erfolgreich demonstriert werden.
Bestimmung der Kapazität
Die reale Batterie weist eine reale Kapazität auf, die wir mit C bezeichnen. Stellvertretend wird mittels des Verfahrens ein Wert C_cal bestimmt, der der realen Kapazität sehr nahe kommt. Das Modell hat eine angenommene Kapazität, die wir mit C_mod bezeichnen. Wir bezeichnen den Unterschied als ΔC mit $Δ C = \frac{C_{mod}}{C_{cal}} .$
Da die im Modell angenommene Kapazität in der Regel nicht der realen Kapazität entspricht, wird das spannungsgeführte Batteriemodell grundsätzlich eine andere Stromstärke I_mod aufweisen als die der realen Batterie I_mess. Aus dem Unterschied zwischen I_mod und Z_mess kann daher auf ΔC geschlossen werden. Diese Beziehung wird im Folgenden hergeleitet.
Die Batterie wird über einen Zeitraum T betrieben. Die dabei durchgesetzte Ladungsmenge Q_cal ergibt sich durch Integration nach $Q_{cal} = \int_{t = 0}^{T} | I_{mess} (t) | d t .$
Wir wählen den Betrag der Stromstärke, um unabhängig von der Art des Betriebs (Ladung, Entladung oder Kombination von beidem) zu sein - nur die absolut durchgesetzte Ladungsmenge ist relevant. Das spannungsgeführte Modell wird über den gleichen Zeitraum mit der experimentell gemessenen Spannung beaufschlagt. Die dabei vom Modell durchgesetzte Ladungsmenge Q_mod ergibt sich analog durch Integration nach $Q_{mod} = \int_{t = 0}^{T} | I_{mod} (t) | d t .$
Der Quotient von Q_mod und Q_cal entspricht dem Quotienten von C_mod und C_cal, d.h. $\frac{Q_{mod}}{Q_{cal}} = \frac{C_{mod}}{C_{cal}} .$
Die Kombination von Gl. (32) bis (35) ergibt $Δ C = \frac{\int_{t = 0}^{T} | I_{mod} (t) | d t}{\int_{t = 0}^{T} | I_{mess} (t) | d t} .$
Diese Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen der gesuchten Größe ΔC, der Messgröße I_mess und dem Ausgang des spannungsgeführten Modells I_mod. Für die praktische Anwendung müssen die Integrale in Gl. (36) berechnet werden. Im praktischen Batteriebetrieb wird die Messgröße I_mess zu bestimmten diskreten Zeitpunkten t_n bestimmt. Damit ergibt sich Gl. (32) zu $Δ C = \frac{\sum_{n = 1}^{N} | I_{mod, n} | Δ t}{\sum_{n = 1}^{N} | I_{mess, n} | Δ t}$
mit N als Anzahl der Messpunkte im Zeitraum T und Δt als Zeitschrittweite. Diese Gleichung ist das zentrale Ergebnis dieser Analyse. Sie erlaubt die Ermittlung von ΔC aus diskreten Zeitreihen von I_mess und I_mod. Die zu bestimmende Kapazität der realen Batterie ergibt sich in einem abschließenden Schritt nach Gl. (32) zu $C_{cal} = C_{mod} \cdot \frac{1}{Δ C} .$
Um die Genauigkeit des Verfahrens zu erhöhen und/oder das Modell für weitere Messdaten zu verwenden, kann im Anschluss eine Anpassung („Update“) der Modellparameter erfolgen. Für das einfache Äquivalenzschaltkreismodell in 3a) erfolgt dies in Analogie zu Gl. (38) nach $C_{neu} = C_{mod} \cdot \frac{1}{Δ C} .$
Die Bestimmung der Kapazität erfolgt in der Praxis in folgenden Schritten. Zuerst wird ein spannungsgeführtes Batteriemodell mit bekannten Parameterwerten für den oder die mit dem Innenwiderstand R_mod zusammenhängenden Parameter (z.B. R_s für das einfache Äquivalenzschaltkreismodell in 3a) und für die Leerlaufspannungskurve $V_{mod}^{0} (DOD)$
bereitgestellt. Ein beliebiger Startwert wird für die Kapazität C_mod angenommen. Die Batterie wird über einen Zeitraum T mit Messung von Stromstärke I_mess und Spannung V_mess betrieben. Anschließend wird die simulierte Stromstärke I_mod über den Zeitraum T mittels des spannungsgeführten Modells berechnet. Darauf folgt die Berechnung von ΔC nach Gl. (37). Anschließend wird der Näherungswert für die reale Kapazität nach Gl. (38) berechnet. Optional wird die Durchführung des Verfahrens wiederholt, wobei der Parameter für die Kapazität im Batteriemodell auf den ermittelten Wert gesetzt wird („Modell-Update“). Damit erfolgt eine iterative Annäherung an den echten Wert der Kapazität.
Im Folgenden wird das beschriebene Verfahren anhand der bereits erwähnten experimentellen Daten demonstriert, und zwar anhand aller drei Datensätze (Vollzyklen, Teilzyklen, Fahrzyklen). Es wird das einfache Äquivalenzschaltkreismodell von 3a) verwendet. Der serielle Widerstand wird auf den Referenzwert von R_s = 4,579 mΩ gesetzt, die Leerlaufspannungskurve auf den in 4 gezeigten Referenzverlauf. Es werden beliebige Startwerte für die Kapazität gewählt, hier beispielhaft unterschiedliche Werte für die drei untersuchten Datensätze.
Ergebnisse für Vollzyklen sind in 12 gezeigt. Als Startwert für die im Modell angenommene Kapazität wird C = 30 Ah verwendet. Als Zeitraum T wird ein Lade-/Entladezyklus gewählt (ca. 2,1 h), der Algorithmus wird jeweils nach vier Zeiträumen T₁ bis T₄ angewendet, als Beispiel für eine kontinuierliche Verwendung der experimentellen Zeitreihen. 12a) zeigt die experimentell gemessene Spannung. Diese Daten dienen als Eingangsgröße für das spannungsgeführte Modell. 12b) zeigt die gemessene Stromstärke I_mess und die mit dem Modell simulierte Stromstärke I_mod. Im Zeitraum T₁ (zwischen 0 und 2 h) weicht diese signifikant von dem experimentellen Messwert ab. Dies ist ein Zeichen dafür, dass die im Modell angenommene Kapazität von C = 30 Ah falsch ist. 12d) zeigt die mit dem Verfahren ermittelten Werte für die Kapazität, ausgehend von der angenommenen Anfangskapazität, hier als Funktion der durchgeführten Updates. Nach einem Zeitraum T₁ von rund 2 Stunden wurde die Kapazität erstmalig ermittelt, der Wert liegt bereits sehr dicht am Referenzwert. Im zweiten Zeitraum T₂ ist die in 12b) gezeigte Abweichung zwischen simulierter und experimenteller Stromstärke weiter reduziert, gleichzeitig geht der Quotient ΔC in 12c) gegen eins. Am Ende des Datensatzes, nach gut achtstündiger Messung mit vier Vollzyklen und vier Updates, ist der Referenzwert erreicht.
13 zeigt Ergebnisse in gleicher Vorgehensweise, jedoch anhand von experimentellen Teilzyklen, hier wurde die Batterie zwischen 25 % und 75 % Ladezustand zykliert. Es werden gleiche Zeiträume T₁ bis T₄ von jeweils rund 2 Stunden gewählt, entsprechend 2 Teilzyklen. Als Startwert für die im Modell angenommene Kapazität wird C = 2 Ah verwendet. Auch hier ist am Ende der insgesamt gut achtstündigen Messreihe der Referenzwert für die Kapazität erreicht.
14 zeigt Ergebnisse für experimentelle Fahrzyklen. Als Zeitraum T wird hier der gesamte gezeigte Datensatz von gut acht Stunden verwendet. Als Startwert für die im Modell angenommene Kapazität wird C = 10 Ah verwendet. Auf diese Daten wird mehrfach der Algorithmus angewendet und der Modellparameter jeweils aktualisiert. Nach vier solcher Updates wird der Referenzwert erreicht.
Anhand jedes einzelnen der gezeigten Datensätze konnte damit das neue Verfahren zur Bestimmung der Kapazität einer aufladbaren Batterie erfolgreich demonstriert und seine hohe Flexibilität bezüglich Eingangsdaten und Startwerten gezeigt werden.
Gleichzeitige Bestimmung von Innenwiderstand und Leerlaufspannungskurve
Innenwiderstand und Leerlaufspannungskurve lassen sich gleichzeitig bestimmen, dafür kombinieren wir die Ansätze aus der Bestimmung des Innenwiderstandes und der Leerlaufspannungskurve. Der Spannungsunterschied aufgrund des Innenwiderstands ΔV_R nach Gl. (8) (6) und der Spannungsunterschied aufgrund der Leerlaufspannungskurve ΔV⁰ nach GI. (21) (10) kombinieren sich zu einem Gesamtunterschied ΔV_tot (der Index „tot“ für total) nach $Δ V_{tot} = Δ V^{0} - Δ R \cdot I_{mess} .$
Analog zu GI. (15) und (27) lässt sich dafür folgender Ausdruck herleiten: $\frac{d}{d t} (\frac{Δ V_{tot}}{b}) = - \frac{I_{mod} - I_{mess}}{C} .$
Die Diskretisierung ergibt $Δ V_{tot, n} = - \frac{Δ t \cdot b_{n}}{C} (I_{mod, n} - I_{mess, n}) + \frac{Δ V_{tot, n - 1} \cdot b_{n}}{b_{n - 1}} .$
Diese Gleichung erlaubt die Berechnung von ΔV_tot aus diskreten Zeitreihen von I_mess und I_mod. Für jeden Zeitschritt wird ein Wert von ΔV_tot erhalten. Mit Gl. (40) können daraus in einem nachfolgenden Schritt ΔV⁰ und ΔR berechnet werden. Dafür wird ΔV_tot abschnittsweise über einer Matrix von DOD und I_mess gemittelt. Für jeden DOD-Abschnitt wird nach Gl. (40) ein linearer Fit von ΔV_tot gegen I_mess durchgeführt. Aus dem y-Achsenabschnitt ergibt sich ΔV⁰(DOD), aus der Steigung ΔR(DOD). Der letztgenannte Wert kann bei Bedarf über alle DOD gemittelt werden.
Anschließend werden die zu bestimmenden Batterieeigenschaften R_cal und $V_{cal}^{0}$
analog zu GI. (19) und (30) bestimmt. Abschließend kann ein Update der Modellparameter analog zu GI. (20) und (31) durchgeführt werden.
Die gleichzeitige Bestimmung von Innenwiderstand und Leerlaufspannungskurve erfolgt in der Praxis in folgenden Schritten. Zuerst wird ein spannungsgeführtes Batteriemodell mit einem bekannten Parameterwert für die Kapazität C_mod bereitgestellt. Ein beliebiger Startwert wird für den oder die mit dem Innenwiderstand R_mod zusammenhängenden Parameter (z.B. R_s für das einfache Äquivalenzschaltkreismodell in 3a) und für den Verlauf der Leerlaufspannungskurve $V_{mod}^{0} (DOD)$
angenommen (sinnvoll ist hier die Annahme eines linearen Verlaufs zwischen Lade- und Entladeschlussspannung). Die Batterie wird über einen Zeitraum T mit Messung von Stromstärke I_mess und Spannung V_mess betrieben. Anschließend wird die simulierte Stromstärke I_mod über den Zeitraum T mittels des spannungsgeführten Modells berechnet. Darauf folgt die Berechnung von ΔV_tot nach Gl. (42). Die Werte ΔV_tot werden abschnittsweise in einer Matrix von DOD- und I_mess-Abschnitten zum Mittelwert $\bar{Δ V_{tot}} (DOD, I_{exp})$
über den Zeitraum T gemittelt. Anschließend werden ΔV⁰(DOD) und ΔR(DOD) nach Gl. (40) durch lineare Regression von $\bar{Δ V_{tot}} (DOD, I_{mess})$
gegen I_mess für jeden DOD-Abschnitt berechnet. Darauffolgend wird ΔR(DOD) über alle DOD zu ΔR gemittelt. Anschließend wird der Näherungswert für den realen Innenwiderstand R_cal nach Gl. (19) und der Näherungswert für die reale Leerlaufspannungskurve $V_{cal}^{0} (DOD)$
nach Gl. (30) berechnet. Optional wird die Durchführung des Verfahrens wiederholt, wobei der oder die mit dem Innenwiderstand R_mod zusammenhängenden Parameter und die Leerlaufspannungskurve $V_{mod}^{0}$
im Batteriemodell auf die ermittelten Werte gesetzt werden („Modell-Update“). Damit erfolgt eine iterative Annäherung an die echten Werte von Innenwiderstand und Leerlaufspannungskurve.
Die Mittelung von ΔV_tot kann auch abschnittsweise für verschiedene gemessene Temperaturen durchgeführt werden. Der Wert ΔR(DOD) muss nicht notwendigerweise über alle DOD gemittelt werden. Damit können ladezustands-, stromstärke- und/oder temperaturabhängige Werte für den Innenwiderstand R(DOD,I,ϑ) und die Leerlaufspannungskurve V⁰(DOD,ϑ) bestimmt werden.
Im Folgenden wird das beschriebene Verfahren anhand der bereits erwähnten experimentellen Daten demonstriert, und zwar anhand der Vollzyklen (5). Es wird das einfache Äquivalenzschaltkreismodell von 3a) verwendet. Das Batteriemodell erhält einen beliebigen Startwert für den seriellen Widerstand, hier R_s = 9 mΩ. Die Leerlaufspannungskurve V⁰(DOD) wird ebenfalls auf einen beliebigen Startwert gesetzt, und zwar einen linearen Verlauf zwischen den beiden Schlussspannungen. Die Kapazität wird auf den Referenzwert von C = 19,96 Ah gesetzt. Als Zeitraum T wird ein Lade-/Entladezyklus gewählt (ca. 2,1 h).
Die Ergebnisse sind in 15 dargestellt. 15a) zeigt die gemessene Spannung V_mess als Eingangsgröße für das spannungsgeführte Modell. 15b) zeigt sowohl die gemessene Stromstärke I_mess als auch die simulierte Stromstärke I_mod aus dem spannungsgeführten Modell. Im Zeitraum T₁ (zwischen 0 und 2 h) ist eine deutliche Abweichung I_mod - I_mess der beiden Kurven ersichtlich. 15c) zeigt den nach Gl. (2) ermittelten Unterschied zwischen simulierter und experimenteller Spannung ΔV_tot unter Verwendung der in 15b) gezeigten Daten. Der Wert ΔV_tot variiert zeitlich während des Zeitraums T₁ (zwischen 0 und 2 h). Über die erste Zyklusdauer T₁ werden diese Werte abschnittsweise in einer Matrix für jeden DOD-Prozentpunkt und jede Stromstärke I_mess (auf ganze Ampere) gemittelt. Für jeden individuellen DOD-Abschnitt wird eine lineare Regression des Verlaufs ΔV_tot gegen I_mess durchgeführt und daraus nach Gl. (40) die Werte ΔV⁰(DOD) und ΔR(DOD) berechnet. Der letztgenannte Wert wird über den gesamten DOD-Bereich gemittelt zu ΔR. Schließlich werden die Modellparameter auf die neuen Werte gesetzt nach Gl. (20) und (31). Das Verfahren wird für die Zeiträume T₂ bis T₄ wiederholt. Die auf diese Weise ermittelten Innenwiderstände sind in 15d) dargestellt, ausgehend vom angenommenen Startwert. Das Verfahren stabilisiert sich nach drei Zyklen nahe dem Referenzwert. Die ermittelten Leerlaufspannungskurven sind in 15e) dargestellt. Das Verfahren stabilisiert sich auch hier nach drei Zyklen nahe der Referenzkurve. Gleichzeitig wird die Vorhersagequalität des spannungsgeführten Modells besser (vgl. 15b) für Zeiträume > 2 h) und damit ΔV_tot kleiner (vgl. 15c) für Zeiträume > 2 h).
Mit diesen Ergebnissen konnte das neue Verfahren zur gleichzeitigen Bestimmung von Innenwiderstand und Leerlaufspannungskurve einer aufladbaren Batterie erfolgreich demonstriert werden.
Gleichzeitige Bestimmung von Innenwiderstand und Kapazität
Die oben dargestellten Verfahren zur Bestimmung von Kapazität und Innenwiderstand können kombiniert werden. Dies erlaubt die gleichzeitige Bestimmung dieser beiden Parameter. Dafür ist keine neue Theorieentwicklung nötig, lediglich eine Kombination der praktischen Umsetzungen.
Die gleichzeitige Bestimmung von Kapazität und Innenwiderstand erfolgt in der Praxis in folgenden Schritten. Zuerst wird ein spannungsgeführtes Batteriemodell mit bekannten Parameterwerten für die Leerlaufspannungskurve $V_{mod}^{0} (DOD)$
bereitgestellt. Beliebige Startwerte werden für die Kapazität C_mod und den oder die mit dem Innenwiderstand R_mod zusammenhängenden Parameter angenommen (z.B. R_s für das einfache Äquivalenzschaltkreismodell in 3a). Die Batterie wird über einen Zeitraum T mit Messung von Stromstärke I_mess und Spannung V_mess betrieben. Anschließend wird die simulierte Stromstärke I_mod über den Zeitraum T mit dem spannungsgeführten Modell berechnet. Darauf folgt die Berechnung von ΔR nach Gl. (17). Die Werte für ΔR werden über den Zeitraum T zum Mittelwert ΔR gemittelt. Anschließend wird ΔC nach Gl. (37) berechnet. Anschließend wird der Näherungswert für den realen Innenwiderstand R_cal nach Gl. (19) und der Näherungswert für die reale Kapazität nach Gl. (38) berechnet. Optional wird die Durchführung des Verfahrens wiederholt, wobei die Kapazität C_mod und der oder die mit dem Innenwiderstand R_mod zusammenhängenden Parameter im Batteriemodell auf die ermittelten Werte gesetzt werden („Modell-Update“). Damit erfolgt eine iterative Annäherung an die echten Werte von Kapazität und Innenwiderstand.
Die Mittelung von ΔR kann auch abschnittsweise für verschiedene Bereiche der Entladetiefe DOD, verschiedene gemessene Temperaturen oder verschiedene Stromstärken I_mess durchgeführt werden. Damit kann ein ladezustands-, stromstärke- und/oder temperaturabhängiger Innenwiderstand R(DOD, I, ϑ) bestimmt werden.
Im Folgenden wird das beschriebene Verfahren anhand der bereits erwähnten experimentellen Daten demonstriert, und zwar anhand der Vollzyklen (5) und der Teilzyklen. Es wird das einfache Äquivalenzschaltkreismodell von 3a) verwendet. Das Batteriemodell erhält die gemessene Leerlaufspannungskurve V⁰(DOD) wie in 4 gezeigt. Die Kapazität wird auf einen beliebigen Startwert gesetzt, hier exemplarisch C = 30 Ah für die Vollzyklen und C = 2 Ah für die Teilzyklen. Der Parameter für den seriellen Widerstand wird ebenfalls auf einen beliebigen Startwert gesetzt, hier exemplarisch auf R_s = 1 mΩ.
16 zeigt Ergebnisse für die Vollzyklen. Als Zeitraum T wird ein Lade-/Entladezyklus gewählt (ca. 2,1 h). Aus 16c) und 16d) ist ersichtlich, dass Kapazität und Innenwiderstand nach bereits drei Modell-Updates (also nach drei Vollzyklen) gegen den Referenzwert konvergieren. 17 zeigt analoge Ergebnisse für die Teilzyklen. Als Zeitraum T wird hier ein Teil-Lade-/Entladezyklus gewählt (ca. 1 h). Aus 17c) und 17d) ist ersichtlich, dass Kapazität und Innenwiderstand nach rund zehn Modell-Updates (also nach zehn Teilzyklen) gegen den Referenzwert konvergieren. Diese Ergebnisse demonstrieren den erfolgreichen Einsatz des neuen Verfahrens für die gleichzeitige Bestimmung von Innenwiderstand und Kapazität.
Gleichzeitige Bestimmung von Leerlaufspannungskurve und Kapazität
Die zuvor dargestellten Verfahren zur Bestimmung von Kapazität und Leerlaufspannungskurve können kombiniert werden. Dies erlaubt die gleichzeitige Bestimmung dieser beiden Parameter. Dafür ist keine neue Theorieentwicklung nötig, lediglich eine Kombination der praktischen Umsetzungen.
Die gleichzeitige Bestimmung von Kapazität und Leerlaufspannungskurve erfolgt in der Praxis in folgenden Schritten. Zuerst wird ein spannungsgeführtes Batteriemodell mit bekannten Parameterwerten für den oder die mit dem Innenwiderstand R_mod zusammenhängenden Parameter (z.B. R_s für das einfache Äquivalenzschaltkreismodell in 3a) bereitgestellt. Beliebige Startwerte werden für die Kapazität C_mod und für den Verlauf der Leerlaufspannungskurve $V_{mod}^{0} (DOD)$
angenommen (sinnvoll ist die Annahme eines linearen Verlaufs zwischen Lade- und Entladeschlussspannung). Die Batterie wird über einen Zeitraum T mit Messung von Stromstärke I_mess und Spannung V_mess betrieben. Anschließend wird die simulierte Stromstärke I_mod über den Zeitraum T mit dem spannungsgeführten Modell berechnet. Darauf folgt die Berechnung von ΔV⁰ nach Gl. (29). Die Werte für ΔV⁰ werden abschnittsweise für DOD-Bereiche zum Mittelwert $\bar{Δ V^{0}} (DOD)$
über den Zeitraum T gemittelt. Anschließend wird ΔC nach Gl. (37) berechnet. Anschließend werden die Näherungswerte für die reale Leerlaufspannungskurve $V_{cal}^{0} (DOD)$
nach Gl. (30) und für die reale Kapazität C_cal nach Gl. (38) berechnet. Optional wird die Durchführung des Verfahrens wiederholt, wobei die Kapazität C_mod und die Leerlaufspannungskurve $V_{mod}^{0}$
im Batteriemodell auf die ermittelten Werte gesetzt werden („Modell-Update“). Damit erfolgt eine iterative Annäherung an die echten Werte von Kapazität und Leerlaufspannungskurve.
Im Folgenden wird das beschriebene Verfahren anhand der bereits erwähnten experimentellen Daten demonstriert, und zwar anhand eines Vollzyklus. Es wird das einfache Äquivalenzschaltkreismodell aus 3a) verwendet. Die Kapazität wird auf einen beliebigen Startwert gesetzt, hier exemplarisch C = 10 Ah. Die Leerlaufspannungskurve V⁰(DOD) wird ebenfalls auf einen beliebigen Startwert gesetzt, und zwar einen linearen Verlauf zwischen den beiden Schlussspannungen. Der Parameter für den seriellen Widerstand wird auf den Referenzwert von R_s = 4,579 mΩ gesetzt. Als Zeitraum T wird ein Lade-/Entladezyklus gewählt (ca. 2,1 h). Das Verfahren wird insgesamt neun Mal auf diesen Zeitraum angewendet und jeweils ein Modell-Update durchgeführt. Ergebnisse sind in 18 dargestellt. Aus 18c) ist ersichtlich, dass die Kapazität nach bereits drei Modell-Updates gegen den Referenzwert konvergiert. 18d) zeigt, dass die Bestimmung der Leerlaufspannungskurve weitere Updates erfordert; hier ist nach neun Updates der Referenzwert erreicht. Diese Ergebnisse demonstrieren den erfolgreichen Einsatz des neuen Verfahrens für die gleichzeitige Bestimmung von Leerlaufspannungskurve und Kapazität einer aufladbaren Batterie.
Gleichzeitige Bestimmung von Kapazität, Innenwiderstand und Leerlaufspannungskurve
Die oben dargestellten Verfahren zur Bestimmung von Kapazität, Innenwiderstand und Leerlaufspannungskurve können kombiniert werden. Dies erlaubt die gleichzeitige, vollständige Charakterisierung aller relevanten Parameter einer unbekannten Batterie. Dafür ist keine neue Theorieentwicklung nötig, lediglich eine Kombination der praktischen Umsetzungen.
Die gleichzeitige Bestimmung von Kapazität, Innenwiderstand und Leerlaufspannungskurve erfolgt in der Praxis in folgenden Schritten. Zuerst wird ein spannungsgeführtes Batteriemodell bereitgestellt. Es werden beliebige Startwerte für die Kapazität C_mod, den oder die mit dem Innenwiderstand R_mod zusammenhängenden Parameter (z.B. R_s für das einfache Äquivalenzschaltkreismodell in 3a) und für den Verlauf der Leerlaufspannungskurve $V_{mod}^{0} (DOD)$
angenommen (sinnvoll ist die Annahme eines linearen Verlaufs zwischen Lade- und Entladeschlussspannung). Die Batterie wird über einen Zeitraum T mit Messung von Stromstärke I_mess und Spannung V_mess betrieben. Anschließend wird die simulierte Stromstärke I_mod über den Zeitraum T mit dem spannungsgeführten Modell berechnet. Darauf folgt die Berechnung von ΔV_tot nach Gl. (42). Die Werte für ΔV_tot werden in einer Matrix von DOD- und I_mess-Abschnitten zum Mittelwert $\bar{Δ V_{tot}} (DOD, I_{mess})$
über den Zeitraum T gemittelt. ΔV⁰(DOD) und ΔR(DOD) werden nach Gl. (40) durch lineare Regression von $\bar{Δ V_{tot}} (DOD, I_{mess})$
gegen I_mess für jeden DOD-Abschnitt berechnet. Die Werte ΔR(DOD) werden über alle DOD zu ΔR gemittelt. ΔC wird nach Gl. (37) berechnet. Anschließend werden die Näherungswerte für den realen Innenwiderstand nach Gl. (19), für die reale Leerlaufspannungskurve nach Gl. (30) und für die reale Kapazität nach Gl. (38) berechnet. Optional wird die Durchführung des Verfahrens wiederholt, wobei die Kapazität C_mod und der oder die mit dem Innenwiderstand R_mod zusammenhängenden Parameter und die Leerlaufspannungskurve $V_{mod}^{0}$
im Batteriemodell auf die ermittelten Werte gesetzt werden („Modell-Update“). Damit erfolgt eine iterative Annäherung an die echten Werte von Kapazität, Innenwiderstand und Leerlaufspannungskurve.
Im Folgenden wird das beschriebene Verfahren anhand der experimentellen Daten demonstriert, und zwar anhand eines Vollzyklus. Es wird das einfache Äquivalenzschaltkreismodell von 3a) verwendet. Das Batteriemodell erhält beliebige Startwerte für die Kapazität von C = 10 Ah und für den mit dem Innenwiderstand zusammenhängenden Parameter von R_s = 9 mΩ. Die Leerlaufspannungskurve V⁰(DOD) wird ebenfalls auf einen beliebigen Startwert gesetzt, und zwar einen linearen Verlauf zwischen den beiden Schlussspannungen. Als Zeitraum T wird ein Lade-/Entladezyklus gewählt (ca. 2,1 h). Das Verfahren wird insgesamt 19 Mal auf diesen Zeitraum angewendet und jeweils ein Modell-Update durchgeführt. Ergebnisse sind in 19 dargestellt. 19a) und 19b) zeigen Spannung und Strom der Batterie über den Zeitraum T. Die ermittelten Werte von Kapazität, Innenwiderstand und Leerlaufspannungskurve als Funktion der fortlaufenden Modell-Updates sind in 19c), 19d) und 19e) gezeigt, jeweils ausgehend von den Startwerten. Die gestrichelten Linien sind die unabhängig bestimmten Referenzwerte. Nach 19 Modell-Updates konvergieren alle drei Parameter (Kapazität, Innenwiderstand und Leerlaufspannungskurve) gegen die Referenzwerte. Mit diesen Ergebnissen konnte das neue Verfahren zur gleichzeitigen Bestimmung von Innenwiderstand, Leerlaufspannungskurve und Kapazität einer aufladbaren Batterie erfolgreich demonstriert werden. Das Verfahren erlaubt somit die vollständige Charakterisierung aller relevanten Parameter einer unbekannten Batterie.
Liste wesentlicher Bezeichnungen von Variablen und Parametern

C: Kapazität der Batterie
Cmod: Anfangswert im Batteriemodell für die Kapazität
Ccal: berechneter Wert für die Kapazität
ΔC: Abweichung zwischen Anfangswert der Kapazität und berechnetem Wert der Kapazität
Imess(t): gemessener Batteriestrom
Imess,n: erfasster Wert der Stromstärke der Batterie zum Zeitpunkt n
Imod(t): Modell-Batteriestrom
Imod,n: simulierte Stromstärke des Batteriemodells zum Zeitpunkt n
Vmess(t): gemessene Batteriespannung
Vmess,n: erfasster Wert der Spannung der Batterie zum Zeitpunkt n
V0: Leerlaufspannungskurve
V0mess: gemessene Leerlaufspannungskurve
V0mod: Anfangswert im Batteriemodell für die Leerlaufspannungskurve
V0cal: berechneter Wert für die Leerlaufspannungskurve
ΔV0: Abweichung zwischen Anfangswert der Leerlaufspannungskurve und berechnetem Wert der Leerlaufspannungskurve
ΔV0n: zeitdiskrete Werte der Differenz der Leerlaufspannungskurve
ΔVtot: Gesamtspannungsunterschied
ΔVtot,n: diskrete Werte des Gesamtunterschieds
ΔV0: Mittelwert der Differenz der Leerlaufspannungskurve
V0(DOD, ϑ): Leerlaufspannungskurve als Funktion der Entladetiefe und/oder der Temperatur
b: Steigung der Leerlaufspannungskurve
R: Innenwiderstand
Rmod: Anfangswert im Batteriemodell für den Innenwiderstand
Rcal: berechneter Wert für den Innenwiderstand
ΔR: Abweichung zwischen Anfangswert des Innenwiderstands und berechnetem Wert des Innenwiderstands
ΔRn: zeitdiskrete Werte der Differenz des Innenwiderstands
ΔR: Mittelwert der Differenz des Innenwiderstands
R(DOD,I,ϑ): Innenwiderstand als Funktion von Entladetiefe und/oder Stromstärke und/oder Temperatur
SOC: Ladezustand (state of charge)
DOD: Entladetiefe (depth of discharge)
t: Zeit
Δt: Abtastintervall
T: (Mess-) Zeitraum
ϑ: Temperatur
BMS: Batteriemanagementsystem

Bezugszeichenliste

100: Gesamt-Algorithmus
102: erster Bestandteil des Gesamt-Algorithmus
104: zweiter Bestandteil des Gesamt-Algorithmus
106: Batterie
110: Einheit zur Spannungsmessung
112: Einheit zur Strommessung
114: Last
116: Anzeigeeinheit
118: Recheneinheit
120: Auswerte- und Steuereinheit

ZITATE ENTHALTEN IN DER BESCHREIBUNG
Diese Liste der vom Anmelder aufgeführten Dokumente wurde automatisiert erzeugt und ist ausschließlich zur besseren Information des Lesers aufgenommen. Die Liste ist nicht Bestandteil der deutschen Patent- bzw. Gebrauchsmusteranmeldung. Das DPMA übernimmt keinerlei Haftung für etwaige Fehler oder Auslassungen.
Zitierte Patentliteratur

DE 102019127828 A1 [0007]

Claims

Ein Verfahren zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie (106), wobei das Verfahren folgende Schritte umfasst: (a) Erstellen eines dynamischen, spannungsgeführten, mathematischen Batteriemodells, wobei für den Innenwiderstand R und/oder die Leerlaufspannungskurve V⁰ und/oder die Kapazität C vorgegebene Anfangswerte V⁰ _mod, R_mod, C_mod verwendet werden; (b) Erfassen von zeitdiskreten Messwerten für den Batteriestrom I_mess(t) und die Batteriespannung V_mess(t) der aufladbaren Batterie über einen vorgegebenen Zeitraum T; (c) Verwenden der Messwerte für die Batteriespannung V_mess(t) als Eingangsgröße für das dynamische, spannungsgeführte, mathematische Batteriemodell und Berechnen von Werten für eine simulierte Stromstärke I_mod(t) als Ausgangsgröße des Batteriemodells; und (d) Bestimmung von berechneten Werten für den Innenwiderstand R_cal und/oder die Leerlaufspannungskurve V⁰ _cal und/oder die Kapazität C_cal jeweils unter Verwendung der Werte für die simulierte Stromstärke I_mod(t) und der erfassten Messwerte für die Stromstärke I_mess(t) mit jeweils einer vorgegebenen Rechenvorschrift.
Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass (a) das Verfahren mindestens zwei Iterationsschritte umfasst; (b) wobei jeder Iterationsschritt die Durchführung der Schritte (a) bis (d) des Verfahrens nach Anspruch 1 umfasst; und (c) wobei in jedem, außer dem ersten, Iterationsschritt an der Stelle der in Schritt (a) vorgegebenen Anfangswerte R_mod, V⁰ _mod und C_mod für den Innenwiderstand R und/oder die Leerlaufspannungskurve V⁰ und/oder die Kapazität C die in Schritt (d) des vorherigen Iterationsschritts bestimmten berechneten Werte für den Innenwiderstand R_cal und/oder die Leerlaufspannungskurve V⁰ _cal und/oder die Kapazität C_cal verwendet werden.
Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass (a) das Verfahren mindestens zwei Iterationsschritte umfasst; (b) wobei jeder Iterationsschritt die Durchführung der Schritte (a), (c) und (d) des Verfahrens nach Anspruch 1 umfasst; und (c) wobei in jedem, außer dem ersten, Iterationsschritt an der Stelle der in Schritt (a) vorgegebenen Anfangswerte R_mod, V⁰ _mod und C_mod für den Innenwiderstand R und/oder die Leerlaufspannungskurve V⁰ und/oder die Kapazität C die in Schritt (d) des vorherigen Iterationsschritts bestimmten berechneten Werte für den Innenwiderstand R_cal und/oder die Leerlaufspannungskurve V⁰ _cal und/oder die Kapazität C_cal verwendet werden.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3, wobei (a) unter Verwendung einer Abweichung zwischen den Werten für die simulierte Stromstärke I_mod(t) und den Messwerten für den Batteriestrom I_mess(t) jeweils Abweichungen ΔR, ΔV⁰, ΔC zwischen den jeweils vorgegebenen Anfangswerten R_mod, V⁰ _mod, C_mod und den jeweils berechneten Werten R_cal, V⁰ _cal, C_cal berechnet werden; und (b) aus den so bestimmten Abweichungen ΔR, ΔV⁰, ΔC und den vorgegebenen Anfangswerten R_mod, V⁰ _mod, C_mod für Innenwiderstand R und/oder Leerlaufspannungskurve V⁰ und/oder Kapazität C die berechneten Werte für Innenwiderstand R_cal und/oder Leerlaufspannungskurve V⁰ _cal und/oder Kapazität C_cal berechnet werden.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, dass für die Bestimmung des Innenwiderstands R die folgende Rechenvorschrift verwendet wird: $\frac{d}{d t} (\frac{Δ R \cdot I_{mess}}{b}) = \frac{I_{mod} - I_{mess}}{C},$
wobei ΔR die Differenz zwischen dem Innenwiderstand des Batteriemodells R_mod und dem berechneten Wert für den Innenwiderstand R_cal, b die Steigung der Leerlaufspannungskurve, I_mod die Stromstärke des Batteriemodells und I_mess die erfasste Stromstärke der Batterie bezeichnet.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, dass für die Bestimmung der Leerlaufspannungskurve V⁰ die folgende Rechenvorschrift verwendet wird: $\frac{d}{d t} (\frac{Δ V^{0}}{b}) = - \frac{I_{mod} - I_{mess}}{C},$
wobei ΔV⁰ die Differenz zwischen der Leerlaufspannungskurve des Batteriemodells $V_{mod}^{0}$
und dem berechneten Wert für die Leerlaufspannungskurve $V_{cal}^{0}, b$
die Steigung der Leerlaufspannungskurve, I_mod die Stromstärke des Batteriemodells und I_mess die erfasste Stromstärke der Batterie bezeichnet.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, dass für die Bestimmung der Kapazität C die folgende Rechenvorschrift verwendet wird: $Δ C = \frac{\int_{t = 0}^{T} | I_{mod} (t) | d t}{\int_{t = 0}^{T} | I_{mess} (t) | d t},$
wobei ΔC den Quotienten aus der Kapazität des Batteriemodells C_mod und dem berechneten Wert für die Kapazität der Batterie C_cal, I_mod die Stromstärke des Batteriemodells und I_mess die erfasste Stromstärke der Batterie bezeichnet.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, dass für die gleichzeitige Bestimmung des Innenwiderstands R und der Leerlaufspannungskurve V⁰ die folgende Rechenvorschrift verwendet wird: $\frac{d}{d t} (\frac{Δ V_{tot}}{b}) = - \frac{I_{mod} - I_{mess}}{C}$
mit $Δ V_{tot} = Δ V^{0} - Δ R \cdot I_{mess},$
wobei ΔV_tot den Gesamtspannungsunterschied, ΔV⁰ die Differenz zwischen der Leerlaufspannungskurve des Batteriemodells $V_{mod}^{0}$
und dem berechneten Wert für die Leerlaufspannungskurve $V_{cal}^{0},$
ΔR die Differenz zwischen dem Innenwiderstand des Batteriemodells R_mod und dem berechneten Wert für den Innenwiderstand R_cal, b die Steigung der Leerlaufspannungskurve, I_mod die Stromstärke des Batteriemodells und I_mess die erfasste Stromstärke der Batterie bezeichnet.
Verfahren nach Anspruch 5 bis 8, dadurch gekennzeichnet, dass für die Berechnung der zeitdiskreten Werte der Differenz des Innenwiderstands ΔR_n und/oder der zeitdiskreten Werte der Differenz der Leerlaufspannungskurve $Δ V_{n}^{0}$
und/oder für die zeitdiskreten Werte des Gesamtspannungsunterschieds ΔV_tot,n und/oder für den Wert des Quotienten ΔC aus der Kapazität des Batteriemodells C_mod und dem berechneten Wert für die Kapazität der Batterie C_cal ein numerisches Lösungsverfahren verwendet wird.
Verfahren nach den Ansprüchen 4 bis 9, dadurch gekennzeichnet, dass mindestens zwei zeitdiskrete Werte der Differenz des Innenwiderstands ΔR_n zu einem Mittelwert der Differenz des Innenwiderstands ΔR und/oder mindestens zwei zeitdiskrete Werte der Differenz der Leerlaufspannungskurve $Δ V_{n}^{0}$
zu einem Mittelwert der Differenz der Leerlaufspannungskurve $\bar{Δ V^{0}}$
über einen Messzeitraum T gemittelt werden.
Verfahren nach den Ansprüchen 1 bis 10, dadurch gekennzeichnet, dass der Innenwiderstand als Funktion von Entladetiefe und/oder Stromstärke und/oder Temperatur R(DOD, I, ϑ) ermittelt wird, wobei mehrere Mittelwerte der Differenz des Innenwiderstands ΔR für die Ermittlung verwendet werden, und wobei die Mittelwerte der Differenz des Innenwiderstands ΔR bestimmt werden, indem Werte der Differenz des Innenwiderstands ΔR_n über den Messzeitraum T abschnittsweise über verschiedene Bereiche der Entladetiefe DOD und/oder Stromstärke I und/oder Temperatur ϑ gemittelt werden.
Verfahren nach den Ansprüchen 1 bis 9, dadurch gekennzeichnet, dass die Leerlaufspannungskurve als Funktion der Entladetiefe und/oder der Temperatur, V⁰(DOD, ϑ) ermittelt wird, wobei mehrere Mittelwerte der Leerlaufspannungskurve $\bar{Δ V^{0}}$
für die Ermittlung verwendet werden, und wobei die Mittelwerte der Leerlaufspannungskurve $\bar{Δ V^{0}}$
bestimmt werden, indem Werte der Leerlaufspannungskurve $Δ V_{n}^{0}$
über den Messzeitraum T abschnittsweise über verschiedene Bereiche der Entladetiefe (DOD) und/oder der Temperatur ϑ gemittelt werden.
Vorrichtung zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie (106) mit einer Auswerte- und Steuereinheit (120), die eine Erfassungsvorrichtung zum Erfassen von Messwerten für den Batteriestrom I_mess(t) und die Batteriespannung V_mess(t) und/oder die Temperatur ϑ_mess(t) (110, 112) der aufladbaren Batterie, vorzugsweise in äquidistanten zeitlichen Abständen Δt oder zu vorgegebenen Zeitpunkten, umfasst und einer Recheneinheit (118), welcher die erfassten Messwerte zuführbar sind, dadurch gekennzeichnet, dass die Auswerte- und Steuervorrichtung (120) zur Durchführung des Verfahrens nach einem der Ansprüche 1 bis 12 ausgebildet ist.
Computerprogramm zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie (106), dadurch gekennzeichnet, dass das Computerprogramm derart ausgestaltet ist, dass bei einem Ablauf des Computerprogramms in einer Datenverarbeitungseinheit, insbesondere der Auswerte- und Steuervorrichtung gemäß Anspruch 13, das Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 12 durchgeführt wird.