DE102020128953B3

DE102020128953B3 - Verfahren und Vorrichtung zur Herstellung eines Brillenglases, Computerprogrammprodukt sowie die Verwendung des Brillenglases

Info

Publication number: DE102020128953B3
Application number: DE102020128953.7A
Authority: DE
Inventors: Wolfgang Becken; Stephan Trumm; Patrick Kerner; Adam Muschielok; Helmut Altheimer; Gregor Esser; Dietmar Uttenweiler
Original assignee: Rodenstock GmbH
Current assignee: Rodenstock GmbH
Priority date: 2020-11-03
Filing date: 2020-11-03
Publication date: 2022-04-07
Anticipated expiration: 2040-11-04
Also published as: JP2023548199A; EP4241133A1; CL2023001281A1; WO2022096476A1; CN117136326A

Abstract

Die Erfindung betrifft ein Verfahren, ein Computerprogrammprodukt und eine Vorrichtung zur Simulation eines optischen Systems mittels einer Wellenfrontdurchrechnung. Dabei umfasst das Verfahren die Schritte:- Aufstellen zumindest einer Wellenfront-Transferfunktion für das optische System, wobei die Wellenfront-Transferfunktion dafür bestimmt ist, in das optische System einfallenden Wellenfronten unter Berücksichtigung von Abbildungsfehlern mit einer Ordnung größer als die Ordnung eines Defocus jeweils eine zugehörige ausfallende Wellenfront zuzuordnen; und- Auswerten der zumindest einen Wellenfront-Transferfunktion für zumindest eine in das optische System einfallende Wellenfront.

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren und eine Vorrichtung zum Herstellen eines Brillenglases sowie ein Computerprogrammprodukt und die Verwendung des Brillenglases.
Für die Herstellung bzw. Optimierung von Brillengläsern, insbesondere von individuellen Brillengläsern wird jedes Brillenglas so gefertigt, dass für jede gewünschte Blickrichtung oder jeden gewünschten Objektpunkt eine möglichst gute Korrektur eines Refraktionsfehlers des jeweiligen Auges des Brillenträgers erreicht wird. Im Allgemeinen gilt ein Brillenglas für eine gegebene Blickrichtung dann als vollkorrigierend, wenn die Werte für Sphäre, Zylinder und Achse der Wellenfront beim Passieren der Scheitelpunktkugel mit den Werten für Sphäre, Zylinder und Achse der Verordnung für das fehlsichtige Auge übereinstimmen. Bei der Refraktionsbestimmung für ein Auge eines Brillenträgers werden dioptrische Werte (insbesondere Sphäre, Zylinder, Achslage - also insbesondere sphäro-zylindrische Abweichungen) für eine weite (in der Regel unendliche) Entfernung und gegebenenfalls (für Mehrstärkengläser bzw. Gleitsichtgläser) eine Addition oder eine vollständige Nahrefraktion für eine nahe Entfernung (z.B. nach DIN 58208) bestimmt. Bei modernen Brillengläsern können zusätzlich auch von der Norm abweichende Objektentfernungen, die bei der Refraktionsbestimmung verwendet wurden, angegeben werden. Damit ist die Verordnung (insbesondere Sphäre, Zylinder, Achslage und gegebenenfalls Addition oder Nahrefraktion) festgelegt, die an einen Brillenglashersteller übermittelt wird. Kenntnisse über eine spezielle bzw. individuelle Anatomie des jeweiligen Auges oder die tatsächlich im Einzelfall vorliegenden Brechwerte des fehlsichtigen Auges sind dafür nicht erforderlich.
Eine vollständige Korrektur für alle Blickrichtungen gleichzeitig ist aber im Normalfall nicht möglich. Daher werden die Brillengläser derart gefertigt, dass sie vor allem in den hauptsächlichen Nutzungsbereichen, insbesondere in den zentralen Durchblicksbereichen eine gute Korrektur von Fehlsichtigkeiten des Auges und nur geringe Abbildungsfehler bewirken, während in peripheren Bereichen größere Abbildungsfehler zugelassen werden.
Um ein Brillenglas derart fertigen zu können, erfolgt zunächst eine Berechnung der Brillenglasflächen bzw. zumindest einer der Brillenglasflächen derart, dass dadurch die gewünschte Verteilung der unvermeidlichen Abbildungsfehler bewirkt wird. Diese Berechnung und Optimierung erfolgt üblicherweise mittels eines iterativen Variationsverfahrens durch Minimieren einer Zielfunktion. Als Zielfunktion wird insbesondere eine Funktion F mit folgendem funktionalen Zusammenhang zur sphärischen Wirkung S, zum Betrag der zylindrischen Wirkung Z und zur Achslage des Zylinders α (auch als „SZA“-Kombination bezeichnet) berücksichtigt und minimiert: $F = \sum_{i = 1}^{m} [g_{i, S Δ} {(S_{Δ, i} - S_{Δ, i, S o l l})}^{2} + g_{i, Z Δ} {(Z_{Δ, i} - Z_{Δ, i, S o l l})}^{2} + ...]$
Dabei werden in der Zielfunktion F an den Bewertungsstellen i des Brillenglases zumindest die tatsächlichen Refraktionsdefizite der sphärischen Wirkung S_Δ,i und der zylindrischen Wirkung Z_Δ,i sowie Sollvorgaben für die Refraktionsdefizite der sphärischen Wirkung S_Δ,i,Soll und der zylindrischen Wirkung Z_Δ,i,Soll berücksichtigt.
Bereits in DE 103 13 275 A1 wurde erkannt, dass es vorteilhaft ist, die Sollvorgaben nicht als absolute Werte der zu optimierenden Eigenschaften, sondern als deren Abweichungen von der Verordnung, also als geforderte lokale Fehlanpassung anzugeben. Als „Ist“-Werte der zu optimierenden Eigenschaften fließen in die Zielfunktion somit auch nicht absolute Werte dieser optischen Eigenschaften, sondern die Abweichungen von der Verordnung ein. Dies hat den Vorteil, dass die Sollvorgaben unabhängig von der Verordnung (insbesondere Sph_v,Zyl_v,Achse_v,Pr_v,B_v) sind und die Sollvorgaben nicht für jede individuelle Verordnung geändert werden müssen.
Die jeweiligen Refraktionsdefizite an den jeweiligen Bewertungsstellen werden vorzugsweise mit Gewichtungsfaktoren g_i,sΔ bzw. g_i,zΔ berücksichtigt. Dabei bilden die Sollvorgaben für die Refraktionsdefizite der sphärischen Wirkung S_Δ,i,Soll und/oder der zylindrischen Wirkung Z_Δ,i,Soll insbesondere zusammen mit den Gewichtungsfaktoren g_i,SΔ bzw. g_i,ZΔ das sogenannte Brillenglasdesign. Darüber hinaus können insbesondere auch weitere Residuen, insbesondere weitere zu optimierende Größen, wie z.B. Koma und/oder sphärische Aberration und/oder Prisma und/oder Vergrößerung und/oder anamorphotische Verzerrung, usw., berücksichtigt werden, was insbesondere durch den Ausdruck „+...“ in der oben genannten Formel für die Zielfunktion F angedeutet ist.
In manchen Fällen kann es zu einer deutlichen Verbesserung insbesondere einer individuellen Anpassung eines Brillenglases beitragen, wenn bei der Optimierung des Brillenglases nicht nur Abbildungsfehler bis zur zweiten Ordnung (Sphäre, Betrag des Astigmatismus und Achslage), sondern auch höherer Ordnung (z.B. Koma, Dreiblattfehler, sphärische Aberration etc.) berücksichtigt werden.
Es ist aus dem Stand der Technik bekannt, für optische Elemente und insbesondere für Brillengläser, die durch mindestens zwei brechende, refraktive Grenzflächen begrenzt sind, die Form einer Wellenfront zu bestimmen. Dies kann beispielsweise durch numerische Berechnung einer ausreichenden Anzahl an Nachbarstrahlen erfolgen, verbunden mit einem anschließenden Fit der Wellenfront durch Zernike-Polynome. Ein anderer Ansatz beruht auf einer lokalen Wellenfrontdurchrechnung bei der Refraktion (siehe WO 2008/089999 A1 ). Hierbei wird pro Durchblickpunkt nur ein einziger Strahl berechnet (der Hauptstrahl) und begleitend die Ableitungen der Pfeilhöhen der Wellenfront nach den transversalen (zum Hauptstrahl senkrechten) Koordinaten. Diese Ableitungen können bis zu einer bestimmten Ordnung gebildet werden, wobei die zweiten Ableitungen die lokalen Krümmungseigenschaften der Wellenfront (wie z.B. Brechwert, Astigmatismus) beschreiben und die höheren Ableitungen mit den Abbildungsfehlern höherer Ordnung zusammenhängen.
Bei einer Durchrechnung von Licht durch ein Brillenglas werden die lokalen Ableitungen der Wellenfronten an einer geeigneten Position im Strahlverlauf berechnet, um sie dort mit erwünschten Werten, die aus der Refraktion des Brillenglasträgers hervorgehen, zu vergleichen. Als solche Position, an der eine Auswertung der Wellenfronten stattfindet, kann die Scheitelpunktkugel oder beispielsweise die Hauptebene des Auges bei der entsprechenden Blickrichtung herangezogen werden. Alternativ oder zusätzlich kann zur Auswertung der Wellenfronten beispielsweise die Eintrittspupille EP, die Austrittspupille AP und/oder bevorzugt die Ebene nach der Brechung an der Rückfläche L2 der Augenlinse herangezogen werden. Dabei wird angenommen, dass eine sphärische Wellenfront vom Objektpunkt ausgeht und bis zur ersten Brillenglasfläche propagiert. Dort wird die Wellenfront gebrochen und propagiert anschließend zur zweiten Brillenglasfläche, wo sie wieder gebrochen wird. Die letzte Propagation findet dann von der zweiten Grenzfläche bis zur Scheitelpunktkugel (oder der Hauptebene des Auges) statt, wo die Wellenfront mit vorgegebenen Werten für die Korrektion der Refraktion des Auges des Brillenträgers verglichen wird.
Um diesen Vergleich auf Basis der ermittelten Refraktionsdaten des jeweiligen Auges durchzuführen, wird der Auswertung der Wellenfront an der Scheitelpunktkugel ein etabliertes Modell des fehlsichtigen Auges unterstellt, in welchem einem rechtsichtigen Grundauge eine Fehlsichtigkeit (Refraktionsdefizit) überlagert wird. Dies hat sich besonders bewährt, da hierfür weitergehende Kenntnisse über die Anatomie bzw. Optik des jeweiligen Auges (z.B. Verteilung der Brechwerte, Augenlänge, Längenametropie und/oder Brechwertametropie) nicht erforderlich sind. Ausführliche Beschreibungen dieses Modells aus Brillenglas und Refraktionsdefizit sind beispielsweise in Dr. Roland Enders „Die Optik des Auges und der Sehhilfen“, Optische Fachveröffentlichung GmbH, Heidelberg, 1995, Seiten 25 ff. und in Diepes, Blendowske „Optik und Technik der Brille“, Optische Fachveröffentlichung GmbH, Heidelberg, 2002, Seiten 47 ff. enthalten. Als bewährtes Modell wird insbesondere das darin beschriebene Korrektionsmodell nach REINER verwendet.
Dabei wird als Refraktionsdefizit der Mangel oder der Überschuss an Brechwert des optischen Systems des fehlsichtigen Auges im Vergleich zu einem gleich langen rechtsichtigen Auge (Restauge) angesehen. Der Brechwert des Refraktionsdefizits ist insbesondere annähernd gleich der Fernpunktrefraktion mit negativem Vorzeichen. Für eine vollständige Korrektur der Fehlsichtigkeit bilden das Brillenglas und das Refraktionsdefizit zusammen ein Fernrohrsystem (afokales System). Das Restauge (fehlsichtiges Auge ohne eingefügtes Refraktionsdefizit) wird als rechtsichtig angenommen. Ein Brillenglas gilt damit als vollkorrigierend für die Ferne, wenn sein bildseitiger Brennpunkt mit dem Fernpunkt des fehlsichtigen Auges und damit auch mit dem objektseitigen Brennpunkt des Refraktionsdefizits zusammenfällt.
In der Druckschrift DE 10 2017 007 975 A1 bzw. WO 2018/138140 A2 , sind ein Verfahren und eine Vorrichtung beschrieben, die es erlauben, die Berechnung oder Optimierung eines Brillenglases zu verbessern, wobei das Brillenglas bereits mit einfachen Messungen individueller, optischer und Augen-anatomischer Daten sehr wirkungsvoll an die individuellen Anforderungen des Brillenträgers angepasst wird.
Ferner kann gemäß dem Stand der Technik eine Brillenglasoptimierung dadurch ausgeführt werden, dass eine Zielfunktion minimiert wird, die die Wellenfrontaberration innerhalb eines Augenmodells beurteilt. Die Wellenfrontaberration entsteht dabei durch Vergleich einer Referenzwellenfront mit einer Wellenfront, die mittels einer Wellenfrontdurchrechnung durch die brechenden Komponenten eines Augenmodells bestimmt wird. Hierbei muss jede Wellenfront abwechselnd gebrochen und propagiert werden. Diese Vorgehensweise basiert auf den Veröffentlichungen von G. Esser, W. Becken, W. Müller, P. Baumbach, J. Arasa, D. Uttenweiler: „Derivation of the refractive equations for higher order aberrations of local wavefronts by oblique incidence“, J. Opt. Soc. Am. A 27, 218-237 (2010) und G. Esser, W. Becken, W. Müller, P. Baumbach, J. Arasa, D. Uttenweiler: „Derivation of the propagation equations for higher order aberrations of local wavefronts“, J. Opt. Soc. Am. A 28, 2442-2458 (2011), und ist insbesondere in den Patentschriften DE 10 2012 000 390 A1 , US 9,910,294 B2 , DE 10 2011 101 923 A1 und WO 2008/089999 A1 beschrieben.
Es ist auch bekannt, dass alternativ zur Wellenfrontdurchrechnung die Wellenfrontaberrationen mittels eines Strahlenbündels beurteilt werden können. Dabei muss der Verlauf jedes einzelnen Lichtstrahls des Bündels durch das Brillenglas und das Augenmodell berechnet werden, was im Vergleich zur Wellenfrontdurchrechnung höhere Rechenzeiten erfordert.
Auch wenn nach dem Stand der Technik für die einzelnen Berechnungsschritte der Brechung und Propagation von Wellenfronten bereits leistungsfähige Verfahren zur Verfügung stehen, entstehen aufgrund der Anzahl von Brechungen und Propagationen unakzeptabel hohe Rechenzeiten, besonders wenn durch ein- und dasselbe Augenmodell immer wieder neue Wellenfronten hindurchgerechnet werden müssen. Eine mehrfache Hindurchrechnung von Wellenfronten ist z.B. im Fall einer Brillenglasoptimierung auf Grund der iterativen Schritte für die Optimierung notwendig. Des Weiteren können bei der Brillenglasoptimierung wechselnde Blickrichtungen und/oder Objektabstände auftreten, was ebenfalls eine mehrfache Hindurchrechnung von Wellenfronten erfordern kann.
Um ein optisches System per Simulation zu optimieren, muss der Durchgang von Licht durch das System physikalisch beschrieben werden und dann nach geeigneten Kriterien beurteilt werden. Unter einer Optimierung versteht man eine gezielte Abänderung des Systems derart, dass das hindurchgehende Licht hinsichtlich der Kriterien einem gesetzten Ziel möglichst nahekommt. Beispielhaft kann das hindurchgehende Licht durch ein skalares oder ein vektorielles elektromagnetisches Feld beschrieben werden. Weiterhin gibt es die Möglichkeit, in diesem Feld die Flächen gleicher Phase als Wellenfronten zu definieren und diese als Bewertungsgrundlage heranzuziehen.
Vernachlässigt man Interferenzeffekte aufgrund der endlichen Wellenlänge von Licht, dann kann man den Lichtdurchgang statt mit Wellenoptik auch mit geometrischer Optik beschreiben. Nach dem Stand der Technik gibt es in der geometrischen Optik Verfahren zur Durchrechnung von Strahlen (Ray-Tracing). Eine einfache Bedingung, unter der man Ray-Tracing durchführen kann, ist paraxial. Eine besonders einfache Form hierbei ist wiederum die Gaußsche Optik, bei der alle Strahlen in einem Meridian bleiben. Die Beschreibung bezieht sich dann nur auf die Optik innerhalb des einen Meridians (bei rotationssymmetrischen Systemen, bei denen jeder Meridian gleichwertig ist, kann dann das gesamte System stellvertretend in dem einen Meridian beschrieben werden). Eine allgemeinere Form, die sich für zwei unabhängige Meridiane eignet, ist die lineare Optik. Sowohl in der Gaußschen Optik als auch in der linearen Optik ist jedes System dadurch definiert, dass es eine zur Lichtausbreitung des Hauptstrahls senkrechte Eintrittsebene gibt und eine weitere dazu parallele Austrittsebene. Das optische System wird dabei dadurch charakterisiert, wie die Koordinaten und Richtungen eines austretenden Strahls von den entsprechenden Größen des eintretenden Strahls abhängen, wobei diese Abhängigkeit im paraxialen Bereich linear ist.
Alternativ zum Ray-Tracing gibt es auch eine dazu inhaltlich äquivalente Durchrechnung von Wellenfronten (Wave-Tracing), die in der geometrischen Optik als die räumlichen Flächen definiert sind, durch die jeder Strahl eines Bündels senkrecht hindurchtritt. Es gibt in der geometrischen Optik äquivalente Umformulierungen von Wellenfronten. Beispielsweise verwendet man in der Fourier-Optik nicht räumliche Flächen, sondern stattdessen Ebenen senkrecht zur Lichtausbreitung des Hauptstrahls und beschreibt als Funktion der lateralen Koordinaten dieser Ebene die OPD (Optical Path Difference), die jeden Punkt der Ebene von einem vorgegebenen Referenzpunkt trennt.
Wellenfronten oder aber die äquivalenten OPD-Funktionen können auf verschiedene Weisen beschrieben werden. Beispielsweise können diese Funktionen durch Freiformflächen, etwa mit B-Splines beschrieben werden. Für den Fall, dass ein durch eine Pupille begrenzter Ausschnitt der Wellenfront relevant ist, werden Wellenfronten durch Zusammensetzung aus hinreichend vielen Zernike-Polynomen beschrieben (siehe z.B. Born and Wolf: „Principles of Optics“, Oxford, Pergamon, 1970), die mit den entsprechenden Zernike-Koeffizienten gewichtet werden. Eine übliche lokale Beschreibung für die Umgebung eines Hauptstrahls wiederum besteht in der Taylor-Reihenentwicklung, also lokalen Ableitungen der Wellenfront nach den lateralen Koordinaten, die Gewichte darstellen, mit denen Potenzen der Koordinaten zu Wellenfront linearkombiniert werden.
Insbesondere ist es Stand der Technik, Brillengläser zu optimieren, indem Wellenfronten per Wave-Tracing durch Brillengläser hindurch gerechnet werden und danach mit bestimmten Vorgaben verglichen werden, um eine Zielfunktion zu bewerten (siehe z.B. die WO 2008/089999 A1 ). Diese Zielfunktion kann so aufgebaut werden, dass ihre Minimierung zu einer Verbesserung des Brillenglases führt.
In einer Ausführungsform des Standes der Technik werden für die Wellenfronten ausschließlich Wellenfrontfehler der zweiten Ordnung (LOA, Lower Order Aberration) herangezogen. In einer weiteren Ausführungsform des Standes der Technik werden sowohl Wellenfrontfehler der zweiten Ordnung (LOA) herangezogen als auch Wellenfrontfehler der dritten Ordnung oder höherer Ordnung (HOA, Higher Order Aberration). Zur Hindurchrechnung von Wellenfronten, die mit solchen HOA behaftet sind, gibt es im Stand der Technik sowohl Verfahren für die Refraktion (siehe G. Esser, W. Becken, W. Müller, P. Baumbach, J. Arasa, D. Uttenweiler: „Derivation of the refractive equations for higher order aberrations of local wavefronts by oblique incidence“, J. Opt. Soc. Am. A 27, 218-237 (2010), sowie WO 2008/089999 A1 ) als auch für die Propagation siehe (siehe G. Esser, W. Becken, W. Müller, P. Baumbach, J. Arasa, D. Uttenweiler: „Derivation of the propagation equations for higher order aberrations of local wavefronts“, J. Opt. Soc. Am. A 28, 2442-2458 (2011), sowie DE 10 2011 101 923 A1 ). Der große technische Vorteil dieser Verfahren besteht darin, dass sie auf analytischen Formeln basieren und daher nicht auf die rechenzeitintensive Numerik von Ray-Tracing-Verfahren angewiesen sind.
Weiterhin offenbart der Stand der Technik Verfahren, nach denen zur Optimierung des Brillenglases Wellenfronten lediglich durch das Brillenglas selbst gerechnet werden (siehe DE 10 2011 101 923 A1 ), sowie Verfahren, nach denen Wellenfronten sowohl durch das zu optimierende Glas als auch durch ein Augenmodell hindurchgerechnet werden (siehe DE 10 2012 000 390 A1 , US 9,910,294 B2 , DE 10 2017 007 975 B4 ).
Allerdings bietet der Stand der Technik bis jetzt kein Verfahren an, wie man Licht in Form einer Wellenfront inklusive der HOA analytisch durch ein komplexes optisches System hindurch allgemein berechnen kann, so dass man für solch ein System wieder auf rechenzeit-intensive Ray-Tracing-Methoden oder auf eine wiederholt angewandte Durchrechnung der Einzelkomponenten mittels Wave-Tracing, was ebenfalls rechenzeit-aufwändig ist, zurückgreifen muss.
Es ist daher eine Aufgabe der vorliegenden Erfindung, ein Verfahren zur beschleunigten Wellenfrontdurchrechnung durch ein komplexes optisches System bereitzustellen. Insbesondere ist es eine Aufgabe der vorliegenden Erfindung, ein effizientes Verfahren zur Berechnung und/oder Optimierung eines Brillenglases sowie zur Herstellung eines Brillenglases bereitzustellen. Darüber hinaus ist es eine Aufgabe der vorliegenden Erfindung, ein diesbezügliches Computerprogrammprodukt und eine diesbezügliche Vorrichtung bereitzustellen. Diese Aufgaben werden durch die Gegenstände der nebengeordneten Ansprüche gelöst. Vorteilhafte Ausführungsformen sind Gegenstand der Unteransprüche.
Ein erster unabhängiger Aspekt zur Lösung der Aufgabe betrifft ein Verfahren zum Herstellen eines Brillenglases, umfassend ein Berechnen oder Optimieren des Brillenglases unter Verwendung eines Verfahrens, insbesondere eines computerimplementierten Verfahren, zur Simulation eines optischen Systems mittels einer Wellenfrontdurchrechnung, wobei das optische System insbesondere ein komplexes optisches System ist, dessen Wirkung über eine einzelne Brechung, eine einzelne Propagation oder eine einzelne Reflexion hinausgeht, und Bereitstellen von Fertigungsdaten des so berechneten oder optimierten Brillenglases, und/oder Fertigen des so berechneten oder optimierten Brillenglases, wobei das Verfahren zur Simulation des optischen Systems die folgenden Schritte umfasst:

- Aufstellen zumindest einer Wellenfront-Transferfunktion für das optische System, wobei die Wellenfront-Transferfunktion dafür bestimmt ist, in das optische System einfallenden Wellenfronten unter Berücksichtigung von Abbildungsfehlern mit einer Ordnung größer als die Ordnung eines Defocus jeweils eine zugehörige ausfallende Wellenfront zuzuordnen; und
- Auswerten der zumindest einen Wellenfront-Transferfunktion für zumindest eine in das optische System einfallende Wellenfront.

Ein „komplexes optisches System“ ist im Sinne dieser Erfindung insbesondere ein optisches System, dessen Wirkung auf eine beliebige Wellenfront oder alternativ auf ein beliebiges Lichtstrahlenbündel sich weder durch eine Brechung oder Reflexion an einer einzigen Fläche noch durch eine einzige Propagation zwischen zwei unterschiedlichen Ebenen beschreiben lässt. Vielmehr umfasst ein komplexes optisches System mehrere Komponenten, die beim Durchlaufen von Licht bzw. einer Welle bzw. Wellenfront zu mindestens zwei Brechungen, und/oder zu mindestens zwei Propagationen, und/oder zu mindestens einer Brechung und mindestens einer Propagation führen.
Der Begriff „Aufstellen einer Funktion“ umfasst im Sinne der Erfindung ein Festlegen und/oder Definieren der Funktion. Dabei kann das Aufstellen einer Funktion manuell (d.h. insbesondere durch einen Benutzer des Verfahrens) oder automatisch bzw. computerimplementiert mit Hilfe eines Prozessors bzw. Computers erfolgen. Insbesondere umfasst das Aufstellen der zumindest einen Wellenfront-Transferfunktion ein Belegen von Koeffizienten der zumindest einen Wellenfront-Transferfunktion. Das Aufstellen zumindest einer Wellenfront-Transferfunktion kann das Aufstellen nur einer einzigen Wellenfront-Transferfunktion oder das Aufstellen mehrerer, insbesondere zwei oder drei, Wellenfront-Transferfunktionen, umfassen. Beispielsweise kann eine Vielzahl (d.h. zwei, drei, vier, fünf, usw.) von Wellenfront-Transferfunktionen für eine Vielzahl von unterschiedlichen Konfigurationen des optischen Systems aufgestellt werden. Dabei können unterschiedliche Konfigurationen eines optischen Systems allgemein unterschiedliche Parameter, die das optische System charakterisieren bzw. beschreiben, umfassen. Insbesondere können unterschiedliche Konfigurationen eines optischen Systems auch unterschiedliche Positionen und/oder Ausrichtungen von Komponenten des optischen Systems zueinander und/oder unterschiedliche Positionen und/oder Ausrichtungen des optischen Systems (z.B. relativ zu einem anderen optischen System) umfassen. Insbesondere können sich somit sämtliche aufgestellte Wellenfront-Transferfunktionen voneinander unterscheiden.
Mit dem Begriff „Auswerten“ der zumindest einen Wellenfront-Transferfunktion für eine einfallende Wellenfront ist insbesondere gemeint, dass die zumindest eine Wellenfront-Transferfunktion auf eine einfallende Wellenfront angewandt wird. Mit anderen Worten wird durch das „Auswerten“ der zumindest einen Wellenfront-Transferfunktion einer vorgegebenen (in das optische System) einfallenden Wellenfront eine zugehörige ausfallende bzw. auslaufende Wellenfront zugeordnet.
Die zumindest eine Wellenfront-Transferfunktion ist ausgelegt bzw. definiert, um in das optische System einfallenden Wellenfronten unter Berücksichtigung von Abbildungsfehlern mit einer Ordnung größer als die Ordnung eines Defocus jeweils eine zugehörige ausfallende bzw. auslaufende Wellenfront zuzuordnen. Insbesondere ist die zumindest eine Wellenfront-Transferfunktion dafür bestimmt, eine Änderung von in das optische System einfallenden Wellenfronten unter Berücksichtigung von Abbildungsfehlern mit einer Ordnung größer als die Ordnung, welche einem Defocus entspricht, allgemein zu beschreiben. Insbesondere ist die zumindest eine Wellenfront-Transferfunktion ausgelegt und/oder definiert, um die zumindest eine einfallende Wellenfront in eine zugehörige ausfallende bzw. auslaufende Wellenfront zu überführen. Insbesondere ist die Wellenfront-Transferfunktion dafür bestimmt, jeder in das optische System einfallenden Wellenfront eine zugehörige ausfallende bzw. auslaufende Wellenfront zuzuordnen. Dabei berücksichtigt die zumindest eine Wellenfront-Transferfunktion auch Abbildungsfehler bzw. eine Komponente, die über einen Defocus und einen Astigmatismus (entspricht der „Ordnung“ eines Defocus), also je nach Darstellung insbesondere über eine Sphäre und einen Zylinder (inkl. Achslage), hinausgehen/hinausgeht. In einer Beschreibung der Abbildungsfehler nach Zernike (d.h. unter Verwendung von Zernike-Polynomen) und/oder in einer Beschreibung der Abbildungsfehler mit Hilfe einer Taylorentwicklung bedeutet dies insbesondere, dass die zumindest eine Wellenfront-Transferfunktion Abbildungsfehler mit einer Ordnung größer als zwei, d.h. Higher Order Aberrations (HOA) bzw. Abbildungsfehler höherer Ordnung, berücksichtigt. Insbesondere berücksichtigt die zumindest eine Wellenfront-Transferfunktion somit nicht nur Abbildungsfehler bis zur zweiten Ordnung (Sphäre, Betrag des Astigmatismus und Achslage), sondern auch Abbildungsfehler höherer Ordnung, wie z.B. sphärische Aberration, Koma, Dreiblattfehler etc.
Somit betrifft die Erfindung insbesondere ein Verfahren zur Simulation eines optischen Systems wobei ein Verfahren zur Wellenfrontdurchrechnung eingesetzt wird, das folgende Schritte umfasst:

- Aufstellen einer Wellenfront-Transferfunktion für das optische System;
- Auswerten der Wellenfront-Transferfunktion für eine erste in das optische System einfallende Wellenfront;
- Auswerten der Wellenfront-Transferfunktion für eine zweite in das optische System einfallende Wellenfront, die von der ersten Wellenfront verschieden ist;

- die einfallende Wellenfront in eine ausfallende Wellenfront überführt und
- die Änderung einfallender Wellenfronten durch das optische System allgemein beschreibt und
- dabei zumindest eine Komponente berücksichtigt, deren Ordnung über die Ordnung einer Defokus-Komponente hinausgeht und
- wobei die Wirkung des optischen Systems über den einer einzelnen Brechung, einer einzelnen Propagation oder einer einzelnen Reflexion hinausgeht.

Erfindungsgemäß ist erkannt worden, dass für eine herkömmliche schrittweise Wellenfrontdurchrechnung unnötig oft immer wieder dieselben Zwischenschritte wiederholt durchlaufen werden. In allen Fällen, in denen nur die an der letzten Fläche eines optischen Systems (z.B. eines Augenmodells) ausfallende Wellenfront von Interesse ist, ist die explizite Berechnung aller Wellenfronten an den Zwischenflächen überflüssig und kann eingespart werden.
Die vorliegende Erfindung bricht daher mit der aus dem Stand der Technik bekannten Vorgehensweise und schlägt stattdessen ein Verfahren vor, mit dem eine einfallende Wellenfront mit einer einzigen Operation in eine ausfallende Wellenfront übergeführt werden kann. Insbesondere können entsprechende Transferfunktionen für jedes optische System aus beliebig vielen brechenden Flächen und Propagationen aufgestellt bzw. definiert werden, wenn die Parameter eines solchen komplexen Systems gegeben sind. Dabei muss das komplexe optische System, wie z.B. im Fall von einem „Gradient Index“-Objekt (GRIN-Objekt), auch gar nicht auf eine endliche Anzahl von reinen Brechungen und/oder Propagationen zurückführbar sein. Stattdessen reicht eine Spezifikation des optischen Systems durch die Strahl-Transferfunktion aus, die jedem einfallenden Strahl eindeutig einen ausfallenden Strahl zuordnet. Die Schritte zum Aufbau dieser Transferfunktion dürfen aufwändig sein, denn sie müssen nur ein einziges Mal ausgeführt werden. Entscheidend ist, dass der Rechenaufwand der Auswertung der Transferfunktion kleiner sein muss als der Rechenaufwand der Auswertung der einzelnen Teilschritte der Propagation und Brechung bei einem komplexen optischen System.
Der Stand der Technik bietet bis jetzt kein Verfahren an, wie man Licht in Form einer Wellenfront inklusive der HOA analytisch durch ein komplexes optisches System hindurch allgemein berechnen kann, so dass man für solch ein System wieder auf rechenzeit-intensive Ray-Tracing-Methoden oder auf eine zeitaufwändige wiederholte Anwendung von einer Wave-Tracing-Durchrechnung an den Einzelkomponenten zurückgreifen muss. Die vorliegende Erfindung jedoch löst nun dieses Problem mittels eines analytischen und sehr rechenzeitsparenden Verfahrens. Der technische Vorteil der Erfindung besteht insbesondere darin, dass eine hohe Anzahl an verschiedenen Wellenfronten durch ein gegebenes komplexes optisches System sehr effizient durchgerechnet werden kann, indem ausgenutzt wird, dass sich das optische System selbst dabei nicht ändert und der Berechnungsschritt zum Aufstellen einer Wellenfront-Transferfunktion vorab nur ein einziges Mal ausgeführt werden muss.
In einer bevorzugten Ausführungsform betrifft die Erfindung ein Verfahren, insbesondere ein computerimplementiertes Verfahren, zur Optimierung eines optischen Gesamtsystems, wobei das optische System ein zweites Teilsystem des optischen Gesamtsystems darstellt und das optische Gesamtsystem zusätzlich ein erstes Teilsystem umfasst. Das erste Teilsystem und/oder das zweite Teilsystem kann insbesondere im Laufe der Optimierung variiert werden. Unter „Optimierung“ im Sinne der vorliegenden Erfindung wird insbesondere die Berechnung und/oder Optimierung eines (herzustellenden) Brillenglases zur Korrektur einer Fehlsichtigkeit eines Brillenträgers verstanden.
In einerweiteren bevorzugten Ausführungsform ist das erste Teilsystem ein Brillenglas und das zweite Teilsystem ein Modellauge.
Ein „Modellauge“ im Sinne der vorliegenden Erfindung ist insbesondere ein Datensatz mit Augenmodell-Parametern, welche ein reales Auge beschreiben. Vorzugsweise weist das Modellauge auch bereitgestellte (insbesondere gemessene) individuelle Refraktionsdaten eines Brillenträgers auf. Die Augenmodell-Parameter können z.B. zumindest teilweise auf Basis von Standard- bzw. Durchschnittswerten angenommen oder festgelegt werden. Die Augenmodell-Parameter können zumindest teilweise auch gemessen werden.
Insbesondere kann das Verfahren ein Festlegen eines individuellen Augenmodells umfassen, welches zumindest gewisse Vorgaben über geometrische und optische Eigenschaften eines Modellauges individuell festlegt. So können in einem individuellen Augenmodell z.B. zumindest eine Form (Topographie) und/oder Wirkung der Hornhaut, insbesondere einer Hornhautvorderfläche, des Modellauges, ein Hornhaut-Linsen-Abstand d_CL (dieser Abstand zwischen der Hornhaut und einer Linsenvorderfläche des Modellauges wird auch Vorderkammertiefe bezeichnet), Parameter der Linse des Modellauges, welche insbesondere die optische Wirkung der Linse des Modellauges zumindest teilweise festlegen, und ein Linsen-Netzhaut-Abstand d_LR (dieser Abstand zwischen der Linse, insbesondere der Linsenrückfläche, und der Netzhaut des Modellauges wird auch als Glaskörperlänge bezeichnet) in bestimmter Weise, insbesondere derart festgelegt werden, dass das Modellauge die bereitgestellten individuellen Refraktionsdaten aufweist, d.h. dass eine im Modellauge von einem Punkt der Netzhaut des Modellauges auslaufende Wellenfront mit der für das reale Auge des Brillenträger ermittelten (z.B. gemessenen oder anderweitig ermittelten) Wellenfront (bis zu einer gewünschten Genauigkeit) übereinstimmt. Als Parameter der Linse des Modellauges (Linsenparameter) können beispielsweise entweder geometrische Parameter (Form der Linsenflächen und deren Abstand) und vorzugsweise Materialparameter (z.B. Brechungsindizes der einzelnen Komponenten des Modellauges) so vollständig festgelegt werden, dass diese eine optische Wirkung der Linse zumindest teilweise festlegen. Alternativ oder zusätzlich können für das Modellauge auch Linsenparameter festgelegt werden, die die optische Wirkung der Linse des Modellauges direkt beschreiben. Hinsichtlich der Hornhaut wird meistens die Form der Hornhautvorderfläche gemessen, alternativ oder zusätzlich kann aber auch die Wirkung der Hornhaut als Ganzes (keine Differenzierung zwischen Vorder- und Rückfläche) angegeben werden. Eventuell kann auch eine Hornhautrückfläche und/oder eine Hornhautdicke angegeben werden. Sind ferner individuelle Intraokularlinsendaten bekannt bzw. werden diese bereitgestellt, so kann das Festlegen der Parameter der Linse des Modellauges auch anhand der bereitgestellten Intraokularlinsendaten erfolgen.
Im einfachsten Fall eines Augenmodells wird die Refraktion des Auges durch das optische System bestehend aus der Hornhautvorderfläche, der Augenlinse und der Netzhaut bestimmt. In diesem einfachen Modell legen die Lichtbrechung an der Hornhautvorderfläche und die Brechkraft der Augenlinse (vorzugsweise einschließlich der sphärischen und astigmatischen Aberrationen und Aberrationen höherer Ordnung) zusammen mit deren Positionierung relativ zur Netzhaut die Refraktion des Modellauges fest. Dabei werden die einzelnen Größen (Parameter) des Modellauges anhand von individuellen Messwerten für das Auge des Brillenträgers und/oder anhand von Standardwerten und/oder anhand von bereitgestellten individuellen Refraktionsdaten entsprechend festgelegt. Insbesondere können manche der Parameter (z.B. die Topographie der Hornhautvorderfläche und/oder die Vorderkammertiefe und/oder zumindest eine Krümmung einer Linsenfläche, usw.) direkt als individuelle Messwerte bereitgestellt werden. Andere Werte können auch - insbesondere dann, wenn es sich um Parameter handelt, deren individuelle Messung sehr aufwendig ist - aus Werten von Standardmodellen für ein menschliches Auge übernommen werden. Insgesamt müssen aber nicht alle (geometrischen) Parameter des Modellauges aus individuellen Messungen oder aus Standardmodellen vorgegeben werden. Vielmehr können für einen oder mehrere (freie) Parameter eine individuelle Anpassung durch Berechnung unter Berücksichtigung der vorgegebenen Parameter derart vorgenommen werden, dass das dann resultierende Modellauge die bereitgestellten individuellen Refraktionsdaten aufweist. Je nach Anzahl der in den bereitgestellten individuellen Refraktionsdaten enthaltenen Parameter können entsprechend viele (freie) Parameter des Augenmodells individuell angepasst (gefittet) werden.
Für die Berechnung bzw. Optimierung des Brillenglases können eine erste Fläche und eine zweite Fläche des Brillenglases insbesondere als Startflächen mit einer vorgegebenen (individuellen) Position relativ zum Modellauge vorgegeben werden. In einer bevorzugten Ausführungsform wird nur eine der beiden Flächen optimiert. Vorzugsweise handelt es sich hierbei um die Rückfläche des Brillenglases. Vorzugsweise wird dabei sowohl für die Vorderfläche als auch für die Rückfläche des Brillenglases eine entsprechende Startfläche vorgegeben. In einer bevorzugten Ausführungsform wird während des Optimierungsverfahrens aber nur eine Fläche iterativ verändert bzw. optimiert. Die andere Fläche des Brillenglases kann zum Beispiel eine einfache sphärische oder rotationssymmetrische asphärische Fläche sein. Allerdings ist es auch möglich, beide Flächen zu optimieren.
Ausgehend von den beiden vorgegebenen Flächen kann das Verfahren zum Berechnen oder Optimieren ein Ermitteln des Verlaufs eines Hauptstrahls durch zumindest einen Durchblickspunkt (i) zumindest einer zu berechnenden oder optimierenden Fläche des Brillenglases in das Modellauge umfassen. Der Hauptstrahl beschreibt den geometrischen Strahlverlauf ausgehend von einem Objektpunkt durch die beiden Brillenglasflächen, die Hornhautvorderfläche und die Linse des Modellauges vorzugsweise bis zur Netzhaut des Modellauges.
Außerdem kann das Verfahren zum Berechnen oder Optimieren ein Auswerten einer Aberration einer entlang des Hauptstrahls aus einer auf die erste Fläche des Brillenglases auftreffenden sphärischen Wellenfront resultierenden Wellenfront an einer Bewertungsfläche innerhalb des Modellauges im Vergleich zu einer in einem Punkt auf der Netzhaut des Augenmodells konvergierenden Wellenfront (Referenzlicht) umfassen. Insbesondere kann dazu eine auf die erste Fläche (Vorderfläche) des Brillenglases entlang des Hauptstrahls auftreffende, sphärische Wellenfront (w₀) vorgegeben werden. Diese sphärische Wellenfront beschreibt das von einem Objektpunkt ausgehende Licht (Objektlicht). Die Krümmung der sphärischen Wellenfront beim Auftreffen auf die erste Fläche des Brillenglases entspricht dem Kehrwert des Objektabstandes. Vorzugsweise umfasst das Verfahren somit ein Vorgeben eines Objektabstandsmodells, welches jeder Blickrichtung oder jedem Durchblickspunkt der zumindest einen zu optimierenden Fläche des Brillenglases eine Objektentfernung zuordnet. Damit wird vorzugsweise die individuelle Gebrauchssituation, in der das herzustellende Brillenglas zum Einsatz kommen soll, beschrieben.
Die auf das Brillenglas auftreffende Wellenfront wird nun an der Vorderfläche des Brillenglases vorzugsweise zum ersten Mal gebrochen. Anschießend propagiert die Wellenfront entlang des Hauptstrahls innerhalb des Brillenglases von der Vorderfläche zur Rückfläche, wo sie zum zweiten Mal gebrochen wird. Vorzugsweise propagiert die durch das Brillenglas transmittierte Wellenfront nun entlang des Hauptstrahls weiter bis zur Hornhautvorderfläche des Auges, wo sie vorzugsweise wiederum gebrochen wird. Vorzugsweise wird die Wellenfront nach einer weiteren Propagation innerhalb des Auges bis zur Augenlinse auch dort wiederum gebrochen, um schließlich vorzugsweise bis zur Netzhaut des Auges zu propagieren. Je nach optischen Eigenschaften der einzelnen optischen Elemente (Brillenglasflächen, Hornhautvorderfläche, Augenlinse) führt jeder Brechungsvorgang und jeder Propagationsvorgang auch zu einer Deformation der Wellenfront.
Um eine exakte Abbildung des Objektpunktes auf einen Bildpunkt auf der Netzhaut zu erreichen, müsste die Wellenfront die Augenlinse vorzugsweise als konvergierende sphärische Wellenfront verlassen, deren Krümmung genau dem Kehrwert des Abstandes zur Netzhaut entspricht. Ein Vergleich der vom Objektpunkt auslaufenden Wellenfront mit einer (im Idealfall perfekten Abbildung) in einem Punkt auf der Netzhaut konvergierenden Wellenfront (Referenzlicht) erlaubt somit die Auswertung einer Fehlanpassung. Dieser Vergleich und damit die Auswertung der Wellenfront des Objektlichts in dem individuellen Augenmodell können dabei an unterschiedlichen Stellen entlang des Verlaufs des Hauptstrahls insbesondere zwischen der zweiten Fläche des optimierenden Brillenglases und der Netzhaut erfolgen. Insbesondere kann damit die Bewertungsfläche an unterschiedlichen Positionen, insbesondere zwischen der zweiten Fläche des Brillenglases und der Netzhaut liegen. Entsprechend weit wird die Brechung und Propagation des vom Objektpunkt auslaufenden Lichts im individuellen Augenmodell vorzugsweise für jeden Durchblickspunkt berechnet. Die Bewertungsfläche kann sich entweder auf den tatsächlichen Strahlengang beziehen oder auf einen virtuellen Strahlengang, wie er beispielsweise zur Konstruktion der Austrittspupille AP benutzt wird. Im Fall des virtuellen Strahlenganges muss das Licht nach der Brechung durch die Rückfläche der Augenlinse zurückpropagiert werden bis zu einer gewünschten Ebene (bevorzugt bis zur Ebene der AP), wobei der dabei benutzte Brechungsindex dem Medium des Glaskörpers entsprechen muss und nicht etwa der Augenlinse. Falls die Bewertungsfläche hinter der Linse bzw. nach der Brechung an der Linsenrückfläche des Modellauges vorgesehen wird, oder falls die Bewertungsfläche durch Rückpropagation entlang eines virtuellen Strahlenganges erreicht wird (wie im Fall der AP), dann kann die resultierende Wellenfront des Objektlichts vorzugsweise einfach mit einer sphärischen Wellenfront des Referenzlichts verglichen werden. Hierzu umfasst das Verfahren somit vorzugsweise ein Vorgeben einer auf die erste Fläche des Brillenglases auftreffenden sphärischen Wellenfront, ein Ermitteln einer durch die Wirkung zumindest der ersten und zweiten Fläche des Brillenglases, der Hornhautvorderfläche und der Linse des Modellauges aus der sphärischen Wellenfront resultierenden Wellenfront in dem zumindest einen Auge, und eine Auswertung der Aberration der resultierenden Wellenfront im Vergleich zu einer auf die Netzhaut konvergierenden sphärischen Wellenfront. Falls hingegen eine Bewertungsfläche innerhalb der Linse oder zwischen der Linse des Modellauges und dem zu berechnenden bzw. optimierenden Brillenglas vorgesehen sein soll, wird als Referenzlicht einfach eine umgekehrte Propagation von einem Punkt auf der Netzhaut durch die einzelnen Komponenten des Modellauges bis hin zur Bewertungsfläche simuliert, um dort einen Vergleich des Objektlichts mit dem Referenzlicht vorzunehmen.
Wie allerdings bereits eingangs erwähnt, ist eine vollständige Korrektion der Refraktion des Auges gleichzeitig für alle Blickrichtungen des Auges, also für alle Durchblickspunkte der zumindest einen zu optimierenden Brillenglasfläche, im Allgemeinen nicht möglich. Je nach Blickrichtung wird somit vorzugsweise eine absichtliche Fehlanpassung des Brillenglases vorgegeben, welche je nach Anwendungssituation insbesondere in den hauptsächlich genutzten Bereichen des Brillenglases (z.B. zentrale Durchblickspunkte) gering, in den wenig genutzten Bereichen (z.B. periphere Durchblickspunkte) etwas höher sind. Diese Vorgehensweise ist dem Prinzip nach aus herkömmlichen Optimierungsverfahren bereits bekannt.
In einer weiteren bevorzugten Ausführungsform wird die zumindest eine in das optische System einfallende Wellenfront auf Basis einer vorgegebenen Testwellenfront, welche das erste Teilsystem durchläuft, ermittelt.
In einer weiteren bevorzugten Ausführungsform umfasst das Verfahren ferner den Schritt:

- Bewerten des optischen Gesamtsystems auf Basis des Ergebnisses des Auswertens der zumindest einen Wellenfront-Transferfunktion für die zumindest eine in das optische System einfallende Wellenfront, wobei das optische Gesamtsystem unter Variation des ersten Teilsystems so lange bewertet wird, bis die Bewertung eine vorgegebene Bedingung erfüllt.

Unter „Bewerten“ eines Systems wird im Sinne dieser Beschreibung insbesondere ein Bewerten des Systems mit Hilfe eines Funktionals bzw. einer Zielfunktion verstanden. Insbesondere kann das Bewerten eines Systems ein Minimieren eines Funktionals bzw. einer Zielfunktion, beispielsweise mittels eines iterativen Variationsverfahrens, umfassen. Im Falle einer Brillenglasoptimierung kann als Zielfunktion z.B. die eingangs erwähnte Funktion $F = \sum_{i = 1}^{m} [g_{i, S Δ} {(S_{Δ, i} - S_{Δ, i, S o l l})}^{2} + g_{i, Z Δ} {(Z_{Δ, i} - Z_{Δ, i, S o l l})}^{2} + ...]$
verwendet werden. Da das Minimieren einer Zielfunktion sowie dafür verwendete iterative Variationsverfahren dem Fachmann wohlbekannt sind, wird im Rahmen dieser Erfindung nicht näher darauf eingegangen. Die vorgegebene Bedingung für die Bewertung kann insbesondere ein vorgegebener Schwellenwert der Zielfunktion sein. Unterschreitet die Zielfunktion bei einer bestimmten Variation bzw. Konfiguration des ersten Teilsystems diesen Schwellenwert, so ist das Ziel, nämlich das Gesamtsystem zu optimieren, erreicht. Eine weitere Variation und/oder ein weiteres Bewerten ist dann nicht mehr notwendig.
Insbesondere umfasst die Variation des ersten Teilsystems eine Änderung zumindest einer brechenden Fläche und/oder zumindest eines Abstandes zwischen brechenden Flächen des ersten Teilsystems, und/oder ein Verkippen und/oder Verschieben des ersten Teilsystems gegenüber dem zweiten Teilsystem. Für den Fall, dass das erste Teilsystem ein Brillenglas ist, kann eine Variation des ersten Teilsystems bzw. Brillenglases z.B. eine Veränderung der Form zumindest einer Brillenglasfläche (Vorder- und/oder Rückfläche) umfassen.
Insbesondere betrifft die Erfindung gemäß einer bevorzugten Ausführungsform somit ein Verfahren zur Optimierung eines optischen Gesamtsystems, wobei das optische System ein zweites Teilsystem des optischen Gesamtsystems darstellt und das optische Gesamtsystem zusätzlich ein erstes Teilsystem umfasst, welches im Laufe der Optimierung variiert werden kann, und
wobei die in das optische System einfallende Wellenfront durch das Durchlaufen einer Testwellenfront durch das erste Teilsystem ermittelt wird und das optische Gesamtsystem auf Basis des Ergebnisses des Auswertens der Wellenfront-Transferfunktion für die in das optische System einfallende Wellenfront bewertet wird und bei dem das erste Teilsystem so lange variiert und das optische Gesamtsystem bewertet wird, bis die Bewertung eine vorgegebene Bedingung erfüllt.
Ist das erste Teilsystem ein Brillenglas, so kann, um das Brillenglas zu optimieren, z.B. die zumindest eine zu berechnende oder optimierende Fläche des Brillenglases solange iterativ variiert werden, bis eine Aberration der resultierenden Wellenfront einer vorgegebenen Sollaberration entspricht, also insbesondere um vorgegebene Werte der Aberration von der Wellenfront des Referenzlichts (z.B. einer sphärischen Wellenfront, deren Krümmungsmittelpunkt auf der Netzhaut liegt) abweicht. Die Wellenfront des Referenzlichts wird hier auch als Referenzwellenfront bezeichnet. Vorzugsweise umfasst das Verfahren dazu ein Minimieren einer Zielfunktion F, insbesondere analog zu der eingangs bereits beschriebenen Zielfunktion.
In einer weiteren bevorzugten Ausführungsform wird das Bewerten des optischen Gesamtsystems auf Basis des Ergebnisses des Auswertens der zumindest einen Wellenfront-Transferfunktion für eine erste in das optische System einfallende Wellenfront und ferner auf Basis des Ergebnisses des Auswertens der zumindest einen Wellenfront-Transferfunktion für eine zweite einfallende Wellenfront vorgenommen, wobei sich das erste Teilsystem beim Einfallen der ersten Wellenfront in einer ersten Position und Ausrichtung zum zweiten Teilsystem befindet, wobei sich das erste Teilsystem beim Einfallen der zweiten Wellenfront in einer zweiten Position und Ausrichtung zum zweiten Teilsystem befindet, und wobei sich die erste Position von der zweiten Position und/oder die erste Ausrichtung von der zweiten Ausrichtung unterscheidet. Mit dieser Vorgehensweise können z.B. unterschiedliche Durchblickspunkte berücksichtigt bzw. ausgewertet werden.
Insbesondere kann die Erfindung gemäß einer bevorzugten Ausführungsform somit ein Verfahren zur Optimierung eines optischen Gesamtsystems betreffen, wobei das Bewerten des optischen Gesamtsystems neben dem Ergebnis des Auswertens der Wellenfront-Transferfunktion für die in das optische System einfallende Wellenfront das Ergebnis eines zusätzlichen Auswertens der Wellenfront-Transferfunktion für eine weitere einfallende Wellenfront umfasst,
wobei die in das optische System einfallende weitere Wellenfront durch das Durchlaufen der Testwellenfront durch das erste Teilsystem ermittelt wird, wobei sich das erste Teilsystem in einer zweiten Position und einer Ausrichtung zum zweiten Teilsystem befindet, die sich von der Position und/oder die erste Ausrichtung von der zweiten Position bzw. Ausrichtung beim Auswerten der Wellenfront-Transferfunktion für die einfallende Wellenfront unterscheidet.
Insbesondere betrifft die Erfindung gemäß einer weiteren bevorzugten Ausführungsform somit ein Verfahren zur Optimierung eines optischen Gesamtsystems, wobei das optische System ein zweites Teilsystem des optischen Gesamtsystems darstellt und das optische Gesamtsystem zusätzlich ein erstes Teilsystem umfasst, welches im Laufe der Optimierung variiert werden kann,
wobei die in das optische System einfallende erste Wellenfront durch das Durchlaufen einer Testwellenfront durch das erste Teilsystem ermittelt wird, wobei sich das erste Teilsystem in einer ersten Konfiguration befindet, und das optische Gesamtsystem auf Basis des Ergebnisses des Auswertens der Wellenfront-Transferfunktion für die erste in das optische System einfallende Wellenfront bewertet wird, und
wobei die in das optische System einfallende zweite Wellenfront durch das Durchlaufen der Testwellenfront durch das erste Teilsystem ermittelt wird, wobei sich das erste Teilsystem in einer zweiten Konfiguration befindet, die auf Basis der Bewertung festgelegt wird, und das optische Gesamtsystem auf Basis des Ergebnisses des Auswertens der Wellenfront-Transferfunktion für die zweite in das optische System einfallende Wellenfront bewertet wird.
Insbesondere können bei dem Verfahren zusätzlich weitere Variationen des ersten Teilsystems und Bewertungen des optischen Gesamtsystems durchgeführt werden, bis die Bewertung eine vorgegebene Bedingung erfüllt.
Insbesondere kann die Erfindung ein Verfahren zur Optimierung eines optischen Gesamtsystems betreffen, wobei das optische System ein zweites Teilsystem des optischen Gesamtsystems darstellt und das optische Gesamtsystem zusätzlich ein erstes Teilsystem umfasst, welches im Laufe der Optimierung variiert werden kann, und
wobei die in das optische System einfallende erste Wellenfront durch das Durchlaufen einer Testwellenfront durch das erste Teilsystem ermittelt wird, wobei sich das erste Teilsystem in einer ersten Position und einer ersten Ausrichtung zum zweiten Teilsystem befindet, und
wobei die in das optische System einfallende zweite Wellenfront durch das Durchlaufen der Testwellenfront durch das erste Teilsystem ermittelt wird, wobei sich das erste Teilsystem in einer zweiten Position und einer zweiten Ausrichtung zum zweiten Teilsystem befindet, wobei sich die erste Position und/oder die erste Ausrichtung von der zweiten Position bzw. Ausrichtung unterscheiden, und wobei die Bewertung des optischen Gesamtsystems das Ergebnis des Auswertens der Wellenfront-Transferfunktion für die erste in das optische System einfallende Wellenfront und das Ergebnis des Auswertens der Wellenfront-Transferfunktion für die zweite in das optische System einfallende Wellenfront umfasst.
Insbesondere umfasst das Bewerten des optischen Gesamtsystems ein erstes Bewerten auf Basis des Ergebnisses des Auswertens der zumindest einen Wellenfront-Transferfunktion für eine erste in das optische System einfallende Wellenfront umfasst, wobei sich beim Einfallen der ersten Wellenfront in das optische System das erste Teilsystem in einer ersten Konfiguration befindet, wobei
das Bewerten des optischen Gesamtsystems ein zweites Bewerten auf Basis des Ergebnisses des Auswertens der zumindest einen Wellenfront-Transferfunktion für eine zweite in das optische System einfallende Wellenfront umfasst, wobei sich beim Einfallen der zweiten Wellenfront in das optische System das erste Teilsystem in einer zweiten Konfiguration, welche auf Basis des ersten Bewertens festgelegt wird, befindet, und wobei vorzugsweise
auf Basis des zweiten Bewertens zusätzlich eine oder mehrere weitere Variationen der Konfiguration des ersten Teilsystems vorgenommen werden und für jede dieser weiteren Konfigurationen des ersten Teilsystems das optische Gesamtsystem bewertet wird, bis die Bewertung eine vorgegebene Bedingung erfüllt, wobei
sich die unterschiedlichen Konfigurationen des ersten Teilsystems insbesondere in zumindest einer brechenden Fläche und/oder zumindest einem Abstand zwischen brechenden Flächen des ersten Teilsystems, und/oder in einer Position und/oder Ausrichtung des ersten Teilsystems gegenüber dem zweiten Teilsystem unterscheiden.
Für den Fall, dass das erste Teilsystem ein Brillenglas ist, kann eine Konfiguration des ersten Teilsystems z.B. durch die Form zumindest einer Brillenglasfläche charakterisiert sein. Eine Variation des ersten Teilsystems bzw. Brillenglases kann z.B. eine Veränderung der Form zumindest einer Brillenglasfläche umfassen.
In einer weiteren bevorzugten Ausführungsform wird das Bewerten des optischen Gesamtsystems auf Basis des Ergebnisses des Auswertens einer ersten Wellenfront-Transferfunktion für eine erste in das optische System einfallende Wellenfront und ferner auf Basis des Ergebnisses des Auswertens einer zweiten Wellenfront-Transferfunktion für eine weitere, insbesondere zweite oder dritte, einfallende Wellenfront vorgenommen, wobei sich das erste Teilsystem beim Einfallen der ersten Wellenfront in einer ersten Position und Ausrichtung zum zweiten Teilsystem befindet, wobei sich das erste Teilsystem beim Einfallen der weiteren Wellenfront in einer zweiten Position und Ausrichtung zum zweiten Teilsystem befindet, wobei sich die erste Position von der zweiten Position und/oder die erste Ausrichtung von der zweiten Ausrichtung unterscheidet, und wobei sich die zweite Wellenfront-Transferfunktion von der ersten Wellenfront-Transferfunktion unterscheidet.
Insbesondere ist die erste Wellenfront-Transferfunktion für eine erste Konfiguration des zweiten Teilsystems und die zweite Wellenfront-Transferfunktion für eine zweite, von der ersten Konfiguration des zweiten Teilsystems unterschiedliche Konfiguration des zweiten Teilsystems aufgestellt, wobei die erste Konfiguration des zweiten Teilsystems z.B. eine erste Akkommodation des Modellauges und die zweite Konfiguration des zweiten Teilsystems eine zweite Akkommodation des Auges bzw. Modellauges beschreibt.
Insbesondere kann die Erfindung somit in einer bevorzugten Ausführungsform ein Verfahren zum Optimieren eines Brillenglases betreffen, wobei die Bewertung des optischen Gesamtsystems zusätzlich zum Ergebnis des Auswertens der Wellenfront-Transferfunktion für die erste in das optische System einfallende Wellenfront und ggf. zusätzlich zum Ergebnis des Auswertens der Wellenfront-Transferfunktion für die zweite in das optische System einfallende Wellenfront das Ergebnis der Auswertung einer weiteren Wellenfront-Transferfunktion für eine dritte in das optische System einfallende Wellenfront umfasst, und
wobei die in das optische System einfallende dritte Wellenfront durch das Durchlaufen der Testwellenfront durch das erste Teilsystem ermittelt wird, wobei sich das erste Teilsystem in einer weiteren Position und einer weiteren Ausrichtung zum zweiten Teilsystem befindet, wobei sich die erste Position und/oder die erste Ausrichtung von der weiteren Position bzw. Ausrichtung unterscheiden und wobei sich die weitere Wellenfront-Transferfunktion von der Wellenfront-Transferfunktion unterscheidet, weil das optisch System eine andere Konfiguration aufweist als bei der Auswertung der Wellenfrontransfer-Funktion bei der Auswertung für die erste in das optische System einfallende Wellenfront, und
wobei die Änderung der Konfiguration des optischen Systems eine Akkommodation des Auges wiedergeben kann.
Dies Ausführungsform, in der zwei Konfigurationen des Auges berücksichtigt werden, kann vorteilhafterweise insbesondere für die Optimierung von Gleitsichtgläsern verwendet werden.
In einer weiteren bevorzugten Ausführungsform ist das erste Teilsystem ein Brillenglas und das zweite Teilsystem ein Modellauge, wobei Blickbewegungen des Modellauges, die eine Veränderung der Position des Durchstoßpunktes des Hauptstrahls durch die Brillenglasflächen und/oder eine Veränderung der Einfallswinkel auf eine Brillenglasfläche bewirken, als eine Veränderung der Position und/oder der Ausrichtung des Brillenglases im Koordinatensystem des Auges beschrieben werden. Auf diese Weise können insbesondere verschiedene Durchblickspunkte durch eine Augenbewegung berücksichtigt werden.
In einer weiteren bevorzugten Ausführungsform ist das optische System ein GRIN-System oder umfasst zumindest ein GRIN-Element, wobei GRIN die Abkürzung für „Gradient Index“ bedeutet.
Vorzugsweise werden sowohl die einfallenden als auch die jeweils zugehörige ausfallende Wellenfront jeweils durch Koeffizienten zu Basiselementen eines (gemeinsamen) Basissystems dargestellt. Dabei ordnet die zumindest eine Wellenfront-Transferfunktion den einfallenden Wellenfronten die jeweils zugehörige ausfallende Wellenfront vorzugsweise derart zu, dass sie für ein (insbesondere für jedes) in der Darstellung einer ausfallenden Wellenfront vertretene Basiselement den Koeffizienten der ausfallenden Wellenfront zu diesem Basiselement zumindest in Abhängigkeit vom Koeffizienten der zugehörigen einfallenden Wellenfront zum selben Basiselement ermittelt.
Besonders bevorzugt werden dabei die Basiselemente nach zumindest einem Ordnungsparameter klassifiziert und die zumindest eine Wellenfront-Transferfunktion ordnet den einfallenden Wellenfronten die jeweils zugehörige ausfallende Wellenfront insbesondere derart zu, dass sie für ein (insbesondere jedes) in der Darstellung einer ausfallenden Wellenfront vertretene Basiselement den Koeffizienten zu diesem in der Darstellung der ausfallenden Wellenfront vertretenen Basiselement zumindest in Abhängigkeit derjenigen Koeffizienten der zugehörigen einfallenden Wellenfront zu denjenigen Basiselementen ermittelt, deren Wert des Ordnungsparameters dem Wert des Ordnungsparameters des jeweiligen in der Darstellung der ausfallenden Wellenfront vertretenen Basiselements entspricht.
Darüber hinaus ist es insbesondere bevorzugt, wenn die zumindest eine Wellenfront-Transferfunktion den einfallenden Wellenfronten die jeweils zugehörige ausfallende Wellenfront derart zuordnet, dass sie für ein (insbesondere jedes) in der Darstellung einer ausfallenden Wellenfront vertretene Basiselement den Koeffizienten zu diesem in der Darstellung der ausfallenden Wellenfront vertretenen Basiselement in Abhängigkeit von Koeffizienten der zugehörigen einfallenden Wellenfront zu einer Mehrzahl (insbesondere aller) derjenigen Basiselemente ermittelt, deren Wert des Ordnungsparameters kleiner oder gleich dem Wert des Ordnungsparameters des jeweiligen in der Darstellung der ausfallenden Wellenfront vertretenen Basiselements ist. Insbesondere können hierbei Koeffizienten der zugehörigen einfallenden Wellenfront zu einer Mehrzahl von Basiselementen mit unterschiedlichen Werten ihrer Ordnungsparameter berücksichtigt werden.
Insbesondere kann sowohl jede einfallende als auch die jeweils zugehörige ausfallende Wellenfront bezüglich eines Basissystems dargestellt werden, wobei Basiselemente jeder einfallenden Wellenfront nach zumindest einem Ordnungsparameter klassifiziert werden, und wobei die zumindest eine Wellenfront-Transferfunktion für einen vorgegebenen Wert eines ersten Ordnungsparameters dadurch gegeben ist, dass sie für jede in das optische System einfallende Wellenfront zumindest eines der Basiselemente, deren Ordnungsparameter kleiner oder gleich dem vorgegebenen Wert ist, in jeweils ein zugehöriges Basiselement der zugehörigen ausfallenden Wellenfront überführt, deren Ordnung kleiner als der vorgegebene Wert ist. Insbesondere werden die Basiselemente für jeden Wert des ersten Ordnungsparameters zusätzlich nach zumindest einem zweiten Ordnungsparameter klassifiziert, dessen Wertebereich vom Wert des ersten Ordnungsparameters abhängt.
Insbesondere werden in einer bevorzugten Ausführungsform sowohl jede einfallende als auch die jeweils zugehörige ausfallende Wellenfront jeweils durch Koeffizienten, welche zu Basiselementen eines Basissystems zugehörig sind, dargestellt, wobei die Basiselemente nach zumindest einem Ordnungsparameter klassifiziert werden, und wobei die zumindest eine Wellenfront-Transferfunktion dadurch gegeben ist, dass sie für jede in das optische System einfallende Wellenfront zumindest einen Koeffizienten, welcher einem Basiselement mit einem Ordnungsparameter kleiner oder gleich einem vorgegebenen Wert zugeordnet ist, in einen zu demselben Basiselement zugehörigen Koeffizienten der ausfallenden Wellenfront überführt. Insbesondere können hierzu zumindest die Koeffizienten zu Basiselementen der einfallenden Wellenfront, deren Ordnungsparameter kleiner oder gleich als der vorgegebene Wert sind, berücksichtigt werden. Mit anderen Worten können zumindest die Koeffizienten zu Basiselementen der einfallenden Wellenfront, deren Ordnungsparameter kleiner oder gleich als der vorgegebene Wert sind, in einen Koeffizienten der ausfallenden Wellenfront, dessen Ordnungsparameter kleiner oder gleich dem vorgegebenen Wert ist, überführt werden.
Insbesondere kann die zumindest eine Wellenfront-Transferfunktion dadurch gegeben sein, dass sie für jede in das optische System einfallende Wellenfront zumindest die Koeffizienten zu den Basiselementen, deren Ordnungsparameter kleiner oder gleich einem vorgegebenen Wert sind, in einen Koeffizienten zu dem Basiselement der zugehörigen ausfallenden Wellenfront, dessen Ordnungsparameter gleich dem vorgegebenen Wert ist, überführt werden. Dabei können auch die Koeffizienten von Basiselementen der einfallenden Wellenfront, deren Ordnungsparameter größer als der vorgegebene Wert ist, berücksichtigt werden.
Bei einer geeigneten Wahl des Basissystems können Mischterme unterschiedlicher Ordnung vorteilhafterweise vernachlässigt werden, so dass jeweils ein zu einem Basiselement einer bestimmten Ordnung zugehöriger Koeffizient der einfallenden Wellenfront in einen zu demselben Basiselement zugehörigen Koeffizienten der ausfallenden Wellenfront überführt werden kann.
In einer weiteren bevorzugten Ausführungsform ist der Ordnungsparameter ein erster Ordnungsparameter, wobei die Basiselemente des Basissystems zusätzlich nach zumindest einem zweiten Ordnungsparameter klassifiziert werden, dessen Wertebereich vom Wert des ersten Ordnungsparameters abhängt.
Die zumindest eine Wellenfront-Transferfunktion kann z.B. für eine vorgegebene Ordnung p dadurch gegeben sein, dass sie zumindest eine der Aberrationen E₂, E₃, ..., E_p der ersten p Ordnungen jeder in das optische System einfallenden Wellenfront in jeweils eine der Aberrationen E'₂, E'₃, ..., E'_p der ersten p Ordnungen der ausfallenden Wellenfront überführt. Alternativ können Aberrationen auch in drei Dimensionen verwendet werden, wobei in diesem Fall die zumindest eine Wellenfront-Transferfunktion für jede vorgegebene Ordnung p dadurch gegeben ist, dass sie für 2 ≤ q_x + q_y ≤ p die Aberrationen $E_{q_{z}, q_{y}}$
der ersten p Ordnungen jeder in das optische System einfallenden zweidimensionalen Wellenfront in zumindest eine der Aberrationen $E'_{n_{x}, n_{y}}$
der ersten p Ordnungen der ausfallenden zweidimensionalen Wellenfront überführt, wobei $2 \leq n_{x} + n_{y} \leq p sowie q_{x}, q_{y} \geq 0 und n_{x}, n_{y} \geq 0 gilt .$
In einer weiteren bevorzugten Ausführungsform (zweidimensionaler Fall) ist somit das Basissystem eine Zerlegung nach Aberrationen (bzw. wird das Basissystem durch eine Zerlegung nach Aberrationen definiert oder festgelegt), wobei der Ordnungsparameter eine Ordnung p der Aberrationen ist, wobei die zu den Basiselementen des Basissystems zugehörigen Koeffizienten dadurch gegeben sind, dass ein Koeffizient p-ter Ordnung der einfallenden Wellenfront eine Aberration E_p der einfallenden Wellenfront ist und dass ein Koeffizient p-ter Ordnung der zugehörigen ausfallenden Wellenfront eine Aberration E'_p der zugehörigen ausfallenden Wellenfront ist, und wobei p ≥ 2 ist.
In einer weiteren bevorzugten Ausführungsform (dreidimensionaler Fall) ist das Basissystem eine Zerlegung nach Aberrationen (bzw. wird das Basissystem durch eine Zerlegung nach Aberrationen definiert oder festgelegt), wobei der erste Ordnungsparameter die Summe p von Ordnungen p_x und p_y der Aberrationen ist, wobei der zweite Ordnungsparameter eine der Ordnungen p_x und p_y ist, wobei die zu den Basiselementen des Basissystems zugehörigen Koeffizienten dadurch gegeben sind, dass Koeffizienten p-ter Ordnung der einfallenden Wellenfront Aberrationen E_px,py der einfallenden Wellenfront sind und dass Koeffizienten p-ter Ordnung der zugehörigen ausfallenden Wellenfront Aberrationen E'_px,py der zugehörigen ausfallenden Wellenfront sind, und wobei p ≥ 2 und p_x ≥ 0 und p_y ≥ 0 sind.
In einer weiteren bevorzugten Ausführungsform weist die zumindest eine Wellenfront-Transferfunktion die Form $E'_{p} = β^{- {\bar{r}}_{1}^{0} (p - 1)} \sum_{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{p - 1}} {\bar{b}}_{p k} β^{- Δ {\bar{r}}_{1} (p - 1, k *)} E_{2}^{k_{1}} E_{3}^{k_{2}} \dots E_{p}^{k_{p - 1}}, p = 2,3,4, \dots$
auf, wobei die Indizes des Tupels k = (k₁, k₂,..., k_p-1) über den Bereich P(k*) ≤ p-2 und 0 ≤ k₁ ≤ 2(p - P(k*) - 2) + δ_P(k*),0 laufen, wobei $P (k *) = \sum_{j = 1}^{p - 2} j k_{j + 1},$
und wobei $- {\bar{r}}_{1}^{0} (p - 1) = p - δ_{(p - 1),1}$
und -Δr ₁p - 1,k*) = (p - 3) + δ_(p-1),1 - P(k**) gelten, und wobei β = (-BE₂ + A)^-1 als Funktion der zumindest einen einfallenden Wellenfront und des optischen Systems gegeben ist, und wobei A, B und die Wellenfront-TransferKoeffizienten b _pk als Funktion der Komponenten des optischen Systems gegeben sind.
Die zumindest eine Wellenfront-Transferfunktion kann für jede vorgegebene Ordnung p auch dadurch gegeben sein, dass sie die Taylor-Ableitungen w⁽²⁾, w⁽³⁾, ..., w^(p) der ersten p Ordnungen jeder in das optische System einfallenden Wellenfront in zumindest eine der Taylor-Ableitungen w'⁽²⁾, w'⁽³⁾, ..., w'^(p) der ersten p Ordnungen der ausfallenden Wellenfront überführt. Alternativ können Taylor-Ableitungen auch in drei Dimensionen verwendet werden, wobei in diesem Fall die zumindest eine Wellenfront-Transferfunktion für jede vorgegebene Ordnung p dadurch gegeben ist, dass sie für 2 ≤ q_x + q_y ≤ p die Taylor-Ableitungen $w^{(q_{x}, q_{y})}$
der ersten p Ordnungen jeder in das optische System einfallenden zweidimensionalen Wellenfront in zumindest eine der Taylor-Ableitungen $w'^{(n_{x}, n_{y})}$
der ersten p Ordnungen der ausfallenden zweidimensionalen Wellenfront überführt, wobei $2 \leq n_{x} + n_{y} \leq p sowie q_{x}, q_{y} \geq 0 und n_{x}, n_{y} \geq 0 gilt .$
In einer weiteren bevorzugten Ausführungsform (zweidimensionaler Fall) ist somit das Basissystem eine Zerlegung nach Taylor-Ableitungen (bzw. wird das Basissystem durch eine Zerlegung nach Taylor-Ableitungen definiert oder festgelegt), wobei der Ordnungsparameter eine Ordnung p der Taylor-Ableitungen ist, wobei die zu den Basiselementen des Basissystems zugehörigen Koeffizienten dadurch gegeben sind, dass ein Koeffizient p-ter Ordnung der einfallenden Wellenfront eine Taylor-Ableitung w^(p) der einfallenden Wellenfront ist und dass der Koeffizient p-ter Ordnung der zugehörigen ausfallenden Wellenfront eine Taylor-Ableitung w'^(p) der zugehörigen ausfallenden Wellenfront ist, und wobei p ≥ 2 ist. Bei den Taylor-Ableitungen kann es sich um Taylor-Ableitungen der Wellenfront-Pfeilhöhen oder um Taylor-Ableitungen der Wellenfront-OPD (OPD = Optical Path Difference) handeln.
Das Basissystem ist somit in einer bevorzugten Ausführungsform (zweidimensionaler Fall) eine Zerlegung nach Taylor-Ableitungen der Wellenfront-Pfeilhöhen, wobei der Ordnungsparameter eine Ordnung p der Taylor-Ableitungen der Wellenfront-Pfeilhöhen ist, wobei die zu den Basiselementen des Basissystems zugehörigen Koeffizienten dadurch gegeben sind, dass ein Koeffizient p-ter Ordnung der einfallenden Wellenfront eine Taylor-Ableitung w^(p) der Pfeilhöhe der einfallenden Wellenfront ist und dass der Koeffizient p-ter Ordnung der zugehörigen ausfallenden Wellenfront eine Taylor-Ableitung w'^(p) der Pfeilhöhe der zugehörigen ausfallenden Wellenfront ist, und wobei p ≥ 2 ist. Dabei bedeutet die Bezeichnung w^(p) die Taylor-Ableitung der Ordnung p der Funktion w der einfallenden Wellenfront, bevorzugt an der Stelle 0. Entsprechend bedeutet w'^(p) die Taylor-Ableitung der Ordnung p der Funktion w' der ausfallenden Wellenfront, bevorzugt an der Stelle 0.
In einer alternativen bevorzugten Ausführungsform (zweidimensionaler Fall) ist das Basissystem eine Zerlegung nach Taylor-Ableitungen einer Wellenfront-OPD (optical path difference), wobei der Ordnungsparameter eine Ordnung p der Taylor-Ableitungen der Wellenfront-OPD ist, wobei die zu den Basiselementen des Basissystems zugehörigen Koeffizienten dadurch gegeben sind, dass ein Koeffizient p-ter Ordnung der einfallenden Wellenfront eine Taylor-Ableitung OPD^(p) der einfallenden Wellenfront ist und dass der Koeffizient p-ter Ordnung der zugehörigen ausfallenden Wellenfront eine Taylor-Ableitung OPD'^(p) der zugehörigen ausfallenden Wellenfront ist, und wobei p ≥ 2 ist. Dabei bedeutet die Bezeichnung OPD^(p) die Taylor-Ableitung der Ordnung p der Funktion OPD der einfallenden Wellenfront, bevorzugt an der Stelle 0. Entsprechend bedeutet OPO'^(p) die Taylor-Ableitung der Ordnung p der Funktion OPD' der ausfallenden Wellenfront, bevorzugt an der Stelle 0.
In einer weiteren bevorzugten Ausführungsform (dreidimensionaler Fall) ist das Basissystem eine Zerlegung nach Taylor-Ableitungen (bzw. wird das Basissystem durch eine Zerlegung nach Taylor-Ableitungen definiert oder festgelegt), wobei der erste Ordnungsparameter die Summe p von Ordnungen p_x und p_y der Taylor-Ableitungen ist, wobei der zweite Ordnungsparameter eine der Ordnungen p_x und p_y ist, wobei die zu den Basiselementen des Basissystems zugehörigen Koeffizienten dadurch gegeben sind, dass Koeffizienten p-ter Ordnung der einfallenden Wellenfront Taylor-Ableitungen w^(px,py) der einfallenden Wellenfront sind und dass die Koeffizienten p-ter Ordnung der zugehörigen ausfallenden Wellenfront Taylor-Ableitungen w'^(px,py) der zugehörigen ausfallenden Wellenfront sind, und wobei p ≥ 2 und p_x ≥ 0 und p_y ≥ 0 sind. Auch hier kann es sich bei den Taylor-Ableitungen um Taylor-Ableitungen der Wellenfront-Pfeilhöhen oder um Taylor-Ableitungen der Wellenfront-OPD handeln.
Das Basissystem ist somit in einer bevorzugten Ausführungsform (dreidimensionaler Fall) eine Zerlegung nach Taylor-Ableitungen der Wellenfront-Pfeilhöhen ist, wobei der erste Ordnungsparameter die Summe p von Ordnungen p_x und p_y der Taylor-Ableitungen der Wellenfront-Pfeilhöhen ist, wobei der zweite Ordnungsparameter eine der Ordnungen p_x und p_y ist, wobei die zu den Basiselementen des Basissystems zugehörigen Koeffizienten dadurch gegeben sind, dass Koeffizienten p-ter Ordnung der einfallenden Wellenfront Taylor-Ableitungen w^(px,py) der Pfeilhöhe der einfallenden Wellenfront sind und dass die Koeffizienten p-ter Ordnung der zugehörigen ausfallenden Wellenfront Taylor-Ableitungen w'^(px,py) der Pfeilhöhe der zugehörigen ausfallenden Wellenfront sind, und wobei p ≥ 2 und p_x ≥ 0 und p_y ≥ 0 sind. Dabei bedeutet die Bezeichnung w^(px,py) die Taylor-Ableitung der Ordnung p = p_x + p_y der Funktion w(x,y) der einfallenden Wellenfront, bevorzugt an der Stelle x = 0, y = 0. Entsprechend bedeutet w'^(px,py) die Taylor-Ableitung der Ordnung p = p_x + p_y der Funktion w'(x', y') der ausfallenden Wellenfront, bevorzugt an der Stelle x' = 0, y' = 0. In einer alternativen bevorzugten Ausführungsform (dreidimensionaler Fall) ist das Basissystem eine Zerlegung nach Taylor-Ableitungen einer Wellenfront-OPD ist, wobei der erste Ordnungsparameter die Summe p von Ordnungen p_x und p_y der Taylor-Ableitungen der Wellenfront-OPD ist, wobei der zweite Ordnungsparameter eine der Ordnungen p_x und p_y ist, wobei die zu den Basiselementen des Basissystems zugehörigen Koeffizienten dadurch gegeben sind, dass Koeffizienten p-ter Ordnung der einfallenden Wellenfront Taylor-Ableitungen OPO^(px,py) der einfallenden Wellenfront sind und dass die Koeffizienten p-ter Ordnung der zugehörigen ausfallenden Wellenfront Taylor-Ableitungen OPD'^(px,py) der zugehörigen ausfallenden Wellenfront sind, und wobei p ≥ 2 und p_x ≥ 0 und p_y ≥ 0 sind. Dabei bedeutet die Bezeichnung OPD^(px,py) die Taylor-Ableitung der Ordnung p = p_x + p_y der Funktion OPD der einfallenden Wellenfront, bevorzugt an der Stelle x = 0, y = 0. Entsprechend bedeutet OPD'^(px,py) die Taylor-Ableitung der Ordnung p = p_x + p_y der Funktion OPD' der ausfallenden Wellenfront, bevorzugt an der Stelle x' = 0, y' = 0.
Die zumindest eine Wellenfront-Transferfunktion kann für jede vorgegebene Ordnung p auch dadurch gegeben sein, dass sie die Ableitungen t⁽¹⁾, t⁽²⁾, ..., t⁽ⁱ⁾ der ersten i = p - 1 Ordnungen einer Richtungsfunktion t(x) jeder in das optische System einfallenden Wellenfront in zumindest eine der Ableitungen t'⁽¹⁾, t’⁽²⁾, ..., t'⁽ⁱ⁾ der ersten i = p - 1 Ordnungen einer Richtungsfunktion der ausfallenden Wellenfront überführt. Alternativ können lokale Richtungen der Wellenfront auch in drei Dimensionen verwendet werden, wobei in diesem Fall die zumindest eine Wellenfront-Transferfunktion für jede vorgegebene Ordnung i = p - 1 dadurch gegeben ist, dass sie für 2 ≤ j_x + j_y ≤ i die Taylor-Ableitungen $t_{x}^{(j_{x}, j_{y})}, t_{y}^{(j_{x}, j_{y})}$
der ersten i = p - 1 Ordnungen jeder in das optische System einfallenden zweidimensionalen Wellenfront in zumindest eine der Ableitungen $t'_{x}^{(n_{x}, n_{y})}, t'_{y}^{(n_{x}, n_{y})}$
der ersten i = p - 1 Ordnungen der ausfallenden zweidimensionalen Wellenfront überführt, wobei 1 ≤ n_x + n_y ≤ i sowie j_x,j_y > 0 und n_x, n_y ≥ 0 gilt.
In einer weiteren bevorzugten Ausführungsform (zweidimensionaler Fall) ist somit das Basissystem eine Zerlegung nach Ableitungen von Richtungsfunktionen (bzw. wird das Basissystem durch eine Zerlegung nach Ableitungen von Richtungsfunktionen definiert oder festgelegt), wobei der Ordnungsparameter eine Ordnung i der Ableitungen der Richtungsfunktionen ist, wobei die zu den Basiselementen des Basissystems zugehörigen Koeffizienten dadurch gegeben sind, dass ein Koeffizient i-ter Ordnung der einfallenden Wellenfront eine Ableitung t⁽ⁱ⁾ einer Richtungsfunktion t(x) der einfallenden Wellenfront ist und dass ein Koeffizient i-ter Ordnung der zugehörigen ausfallenden Wellenfront eine Ableitung t'⁽ⁱ⁾ einer Richtungsfunktion t'(x’) der zugehörigen ausfallenden Wellenfront ist, und wobei i ≥ 1 ist.
In einer weiteren bevorzugten Ausführungsform (dreidimensionaler Fall) ist das Basissystem eine Zerlegung nach Ableitungen von Richtungsfunktionen (bzw. wird das Basissystem durch eine Zerlegung nach Ableitungen von Richtungsfunktionen definiert oder festgelegt),. wobei der erste Ordnungsparameter die Summe i von Ordnungen i_x und i_y der Ableitungen der Richtungsfunktionen ist, wobei der zweite Ordnungsparameter eine der Ordnungen i_x und i_y ist, wobei die zu den Basiselementen des Basissystems zugehörigen Koeffizienten dadurch gegeben sind, dass Koeffizienten i-ter Ordnung der einfallenden Wellenfront Ableitungen t_x ^(ix,iy), t_y ^(ix,iy) von Richtungsfunktionen t_x(x,y), t_y(x,y) der einfallenden Wellenfront sind und dass Koeffizienten i-ter Ordnung der zugehörigen ausfallenden Wellenfront Ableitungen t'_x ^(ix,iy), t'_y ^(ix,iy) von Richtungsfunktionen t'_x(x',y), t'_y(x',y) der zugehörigen ausfallenden Wellenfront sind, und wobei i ≥ 1 und i_x ≥ 0 und i_y ≥ 0 gilt.
Ferner können Zernike-Polynome in zwei Dimensionen verwendet werden. Dabei kann die zumindest eine Wellenfront-Transferfunktion für jede vorgegebene Ordnung p dadurch gegeben sein, dass sie die Zernike-Koeffizienten Z₂, Z₃, ..., Z_p der ersten p Ordnungen jeder in das optische System einfallenden Wellenfront in zumindest einen der Zernike-Koeffizienten Z'₂, Z'₃, ..., Z'_p der ersten p Ordnungen der ausfallenden Wellenfront überführt, wobei sich die Zernike Koeffizienten insbesondere auf eine festgelegte Pupille beziehen. Alternativ können Zernike-Polynome in drei Dimensionen verwendet werden, wobei in diesem Fall die zumindest eine Wellenfront-Transferfunktion für jede vorgegebene Ordnung p dadurch gegeben ist, dass sie für 2 ≤ q ≤ p die Zernike-Koeffizienten $Z_{q}^{r}$
der ersten p radialen Ordnungen jeder in das optische System einfallenden zweidimensionalen Wellenfront in zumindest einen der Zernike- Koeffizienten $Z'_{n}^{m}$
der ersten p radialen Ordnungen der ausfallenden zweidimensionalen Wellenfront überführt, wobei 2 ≤ n ≤ p, und wobei n und q die radialen Ordnungen sowie m und r die in Schritten von 2 variierenden azimutalen Ordnungen sind, wobei -q ≤ r ≤ q und -n ≤ m ≤ n ist, wobei sich die Zernike Koeffizienten insbesondere auf eine festgelegte Pupille beziehen.
In einer weiteren bevorzugten Ausführungsform (zweidimensionaler Fall) ist somit das Basissystem eine Zerlegung nach Zernike-Polynomen (bzw. wird das Basissystem durch eine Zerlegung nach Zernike-Polynomen definiert oder festgelegt), wobei der Ordnungsparameter eine radiale Ordnung n der Zernike-Polynome ist, wobei die zu den Basiselementen des Basissystems zugehörigen Koeffizienten dadurch gegeben sind, dass ein Koeffizient n-ter Ordnung der einfallenden Wellenfront ein Zernike-Koeffizient Z_n der einfallenden Wellenfront ist und dass ein Koeffizient n-ter Ordnung der ausfallenden Wellenfront ein Zernike-Koeffizient Z'_n der zugehörigen ausfallenden Wellenfront ist, wobei n ≥ 2 ist, und wobei sich die Zernike-Koeffizienten insbesondere auf eine festgelegte Pupille beziehen.
In einer weiteren bevorzugten Ausführungsform (dreidimensionaler Fall) ist das Basissystem eine Zerlegung nach Zernike-Polynomen (bzw. wird das Basissystem durch eine Zerlegung nach Zernike-Polynomen definiert oder festgelegt), wobei der erste Ordnungsparameter eine radiale Ordnung n der Zernike-Polynome ist, wobei der zweite Ordnungsparameter eine azimutale Ordnung m der Zernike-Polynome ist, wobei die zu den Basiselementen des Basissystems zugehörigen Koeffizienten dadurch gegeben sind, dass Koeffizienten n-ter Ordnung der einfallenden Wellenfront Zernike-Koeffizienten Z_n ^m der einfallenden Wellenfront sind und dass Koeffizienten n-ter Ordnung der zugehörigen ausfallenden Wellenfront Zernike-Koeffizienten Z'_n ^m der zugehörigen ausfallenden Wellenfront sind, wobei n ≥ 2 und -n ≤ m ≤ n gilt, wobei m für gerade n gerade ist, wobei m für ungerade n ungerade ist, und wobei sich die Zernike-Koeffizienten insbesondere auf eine festgelegte Pupille beziehen.
Ein weiterer unabhängiger Aspekt zur Lösung der Aufgabe betrifft ein Computerprogrammprodukt, welches maschinenlesbaren Programmcode umfasst, der, wenn er geladen wird auf einem Computer, zur Ausführung des oben beschriebenen erfindungsgemäßen Verfahrens geeignet ist. Insbesondere ist unter einem Computerprogrammprodukt ein auf einem Datenträger gespeichertes Programm zu verstehen. Insbesondere ist der Programmcode auf einem Datenträger gespeichert. Mit anderen Worten umfasst das Computerprogrammprodukt computerlesbare Anweisungen, welche, wenn geladen in einen Speicher eines Computers und ausgeführt von dem Computer, bewirken, dass der Computer ein oben beschriebenes erfindungsgemäßes Verfahren durchführt. Das Computerprogrammprodukt kann insbesondere ein durch einen Computer lesbares Speichermedium umfassen, welches einen Code darauf gespeichert aufweist, wobei der Code, wenn er durch einen Prozessor ausgeführt wird, bewirkt, dass der Prozessor ein erfindungsgemäßes Verfahren implementiert. Insbesondere kann das Computerprogrammprodukt auch ein Speichermedium mit einem darauf gespeicherten Computerprogramm umfassen oder sein, wobei das Computerprogramm ausgelegt ist, wenn geladen und ausgeführt auf einem Computer, ein erfindungsgemäßes Verfahren durchzuführen. Insbesondere bietet die Erfindung ein Computerprogrammerzeugnis, insbesondere in Form eines Speichermediums oder eines Datenstroms, welches Programmcode enthält, der ausgelegt ist, wenn geladen und ausgeführt auf einem Computer, ein erfindungsgemäßes Verfahren, insbesondere in einer bevorzugten Ausführungsform, durchzuführen.
Gemäß eines Beispiels umfasst eine Vorrichtung zur Simulation eines optischen Systems mittels einer Wellenfrontdurchrechnung, wobei das optische System insbesondere ein komplexes optisches System ist, dessen Wirkung über eine einzelne Brechung, einer einzelnen Propagation oder einer einzelnen Reflexion hinausgeht:

- ein Modellierungsmodul zum Bereitstellen zumindest einer Wellenfront-Transferfunktion für das optische System, wobei die Wellenfront-Transferfunktion dafür bestimmt ist, jeder in das optische System einfallenden Wellenfront unter Berücksichtigung von Abbildungsfehlern mit einer Ordnung größer als die Ordnung eines Defocus eine zugehörige ausfallende Wellenfront zuzuordnen;
- ein Auswertemodul zum Auswerten der zumindest einen Wellenfront-Transferfunktion für zumindest eine in das optische System einfallende Wellenfront.

Das Modellierungsmodul kann eine Schnittstelle und eine Speichereinrichtung umfassen, womit die Wellenfront-Transferfunktion bereitgestellt und gespeichert werden kann. Unter einem Bereitstellen der Wellenfront-Transferfunktion wird insbesondere ein Aufstellen der Wellenfront-Transferfunktion verstanden. Das Aufstellen der Wellenfront-Transferfunktion kann dabei manuell (per Hand) erfolgen. Die aufgestellte Wellenfront-Transferfunktion kann in diesem Fall in das Modellierungsmodul, insbesondere mit Hilfe einer Eingabeeinrichtung, eingegeben werden. Alternativ kann die Wellenfront-Transferfunktion auch automatisch bzw. computerimplementiert bereitgestellt bzw. aufgestellt werden. Entsprechend kann das Modellierungsmodul eine Recheneinheit bzw. einen Prozessor umfassen, mit der bzw. dem die Wellenfront-Transferfunktion (automatisiert) bereitgestellt bzw. aufgestellt werden kann
Insbesondere umfasst die Vorrichtung ferner eine Datenschnittstelle zum Erfassen von Daten des optischen Systems bzw. Gesamtsystems, ein Bewertungsmodul zum Bewerten des optischen Gesamtsystems, und/oder ein Optimierungsmodul zum Optimieren des ersten Teilsystems.
In einem weiteren Aspekt betrifft die Erfindung eine Vorrichtung zum Herstellen eines Brillenglases umfassend:

Berechnungs- oder Optimierungsmittel, welche ausgelegt sind, das Brillenglas unter Verwendung eines Verfahrens zur Simulation eines optischen Systems mittels einer Wellenfrontdurchrechnung zu berechnen oder zu optimieren, wobei das optische System ein komplexes optisches System ist, dessen Wirkung über eine einzelne Brechung, einer einzelnen Propagation oder einer einzelnen Reflexion hinausgeht; und
Bearbeitungsmittel, welche ausgelegt sind, das Brillenglas fertig zu bearbeiten;
wobei das Verfahren zur Simulation des optischen Systems die folgenden Schritte umfasst:
- - Bereitstellen zumindest einer Wellenfront-Transferfunktion für das optische System, wobei die Wellenfront-Transferfunktion dafür bestimmt ist, in das optische System einfallenden Wellenfronten unter Berücksichtigung von Abbildungsfehlern mit einer Ordnung größer als die Ordnung eines Defocus jeweils eine zugehörige ausfallende Wellenfront zuzuordnen; und
- - Auswerten der zumindest einen Wellenfront-Transferfunktion für zumindest eine in das optische System einfallende Wellenfront.

In einem weiteren Aspekt betrifft die Erfindung eine Verwendung eines nach dem erfindungsgemäßen Herstellungsverfahren hergestellten Brillenglases in einer vorgegebenen durchschnittlichen oder individuellen Gebrauchsstellung des Brillenglases vor den Augen eines bestimmten Brillenträgers zur Korrektur einer Fehlsichtigkeit des Brillenträgers.
Für die oben genannten weiteren unabhängigen Aspekte und insbesondere für diesbezügliche bevorzugte Ausführungsformen gelten auch die vor- oder nachstehend gemachten Ausführungen zu den Ausführungsformen des ersten Aspekts.
Insbesondere gelten für einen unabhängigen Aspekt der vorliegenden Erfindung und für diesbezügliche bevorzugte Ausführungsformen auch die vor- und nachstehend gemachten Ausführungen zu den Ausführungsformen der jeweils anderen unabhängigen Aspekte.
Im Folgenden werden einzelne Ausführungsformen zur Lösung der Aufgabe anhand der Figuren beispielhaft beschrieben. Dabei weisen die einzelnen beschriebenen Ausführungsformen zum Teil Merkmale auf, die nicht zwingend erforderlich sind, um den beanspruchten Gegenstand auszuführen, die aber in bestimmten Anwendungsfällen gewünschte Eigenschaften bereitstellen. So sollen auch Ausführungsformen als unter die beschriebene technische Lehre fallend offenbart angesehen werden, die nicht alle Merkmale der im Folgenden beschriebenen Ausführungsformen aufweisen. Ferner werden, um unnötige Wiederholungen zu vermeiden, bestimmte Merkmale nur in Bezug auf einzelne der im Folgenden beschriebenen Ausführungsformen erwähnt. Es wird darauf hingewiesen, dass die einzelnen Ausführungsformen daher nicht nur für sich genommen, sondern auch in einer Zusammenschau betrachtet werden sollen. Anhand dieser Zusammenschau wird der Fachmann erkennen, dass einzelne Ausführungsformen auch durch Einbeziehung von einzelnen oder mehreren Merkmalen anderer Ausführungsformen modifiziert werden können. Es wird darauf hingewiesen, dass eine systematische Kombination der einzelnen Ausführungsformen mit einzelnen oder mehreren Merkmalen, die in Bezug auf andere Ausführungsformen beschrieben werden, wünschenswert und sinnvoll sein kann und daher in Erwägung gezogen und auch als von der Beschreibung umfasst angesehen werden soll.
Figurenliste

1 zeigt eine schematische Skizze für ein beispielhaftes optisches System;
2 zeigt eine schematische Skizze zur Spezifikation eines optischen Systems mittels einer Strahl-Transferfunktion;
3 zeigt eine schematische Skizze zur Transformation zwischen Wellenfronten w(x),w'(x) in der w-Darstellung und den Funktionen t(x),t'(x') in der t-Darstellung gemäß einer Ausführungsform der vorliegenden Erfindung;
4 zeigt ein schematisches Ablaufdiagramm gemäß einer Ausführungsform der vorliegenden Erfindung auf Taylorreihen-Basis in einem Meridian;
5 zeigt eine schematische Skizze zum Zusammenhang zwischen der OPD τ(x) und der Richtung eines t(x) Strahls, der senkrecht auf einer Wellenfront w(x) steht;
6 zeigt eine schematische Skizze zur Strahl-Transferfunktion für die Propagation;
7a und 7b zeigen schematische Skizzen zur Strahl-Transferfunktion für die Brechung;
8 zeigt eine schematische Skizze eines Young-Diagramms zum Tupel k = (1,0,2);
9 zeigt eine schematische Skizze eines modifizierten Gullstrand-Emsley-Auges (mGE-Auge) zur Illustration eines Ausführungsbeispiels der vorliegenden Erfindung.

Detaillierte Beschreibung der Zeichnungen
Im Kontext dieser Erfindung werden folgende Begriffe wie folgt verwendet (sofern nichts anderes angegeben, beschrieben in einem Meridian):

• Strahl Infinitesimales Lichtbündel, beschrieben als Gerade, Halbgerade oder Strecke im Raum, die bevorzugt anhand von Durchstoßpunkten durch Ebenen und Richtungsparameter beschrieben werden. Im Falle eines Meridians wird ein Strahl beschrieben durch
- - x Positionsparameter eines Strahls
- - t Richtungsparameter eines Strahls
- - (x, t) Parameter eines einfallenden Strahls
- - (x', t') Parameter eines ausfallenden Strahls
Im Falle von zwei Meridianen wird ein Strahl beschrieben durch
- - x, y Positionsparameter eines Strahls
- - t_x, t_y Richtungsparameter eines Strahls
- - (x, y, t_x, t_y) Parameter eines einfallenden Strahls
- - (x', y', t_x, t'_y) Parameter eines ausfallenden Strahls
• Wellenfront Im Fall eines Meridians ist eine Wellenfront eine Kurve in dem betrachteten Meridian, die senkrecht auf Strahlen steht. Der Einfachheit halber wird eine Kurve dabei auch als Fläche bezeichnet.
- - w(x) Funktion zur Beschreibung einer Wellenfront als Fläche
- - w^(p) Ableitung der Ordnung p der Funktion w(x), bevorzugt an der Stelle x = 0
- - E_p = nw^(p) Aberration der Ordnung p der Wellenfront w(x), wobei n der Brechungsindex ist
- - t(x) Funktion zur Beschreibung einer Wellenfront durch Abhängigkeit des Richtungsparameters vom Positionsparameter
- - t⁽ⁱ⁾ Ableitung der Ordnung i der Funktion t(x), bevorzugt an der Stelle x = 0
- - w(x), w^(p), E_p, t(x), t⁽ⁱ⁾ Größen zur Beschreibung der einfallenden Wellenfront
- - w'(x'), w'^(p), E'_p, t'(x') , t'⁽ⁱ⁾ Größen zur Beschreibung der ausfallenden Wellenfront

Im Fall von zwei Meridianen ist eine Wellenfront eine Fläche im Raum, die senkrecht auf Strahlen steht

- w(x,y) Funktion zur Beschreibung einer Wellenfront als Fläche
- $w^{(p_{x}, p_{y})}$
Ableitung der Ordnung p = p_x + p_y der Funktion w(x,y), bevorzugt an der Stelle x = 0, y = 0
- $E_{p_{x}, p_{y}} = n w^{(p_{x}, p_{y})}$
Aberration der Ordnung p = p_x + p_y der Wellenfront w(x,y), wobei n der Brechungsindex ist
- t_x(x,y), t_y(x,y) Funktionen zur Beschreibung einer Wellenfront durch Abhängigkeit des Richtungsparameters vom Positionsparameter
- $t_{x}^{(i_{x}, i_{y})}, t_{x}^{(i_{x}, i_{y})}$
Ableitung der Ordnung i = i_x + i_y der Funktionen t_x(x,y), t_y(x,y), bevorzugt an der Stelle x = 0, y = 0
- $w (x, y), w^{(p_{x}, p_{y})}, E_{p_{x}, p_{y}}, t_{x} (x, y), t_{y} (x, y), t_{x}^{(i_{x}, i_{y})}, t_{y}^{(i_{x}, i_{y})}$
Größen zur Beschreibung der einfallenden Wellenfront
- $w' (x', y'), w'^{(p_{x}, p_{y})}, E'_{p_{x}, p_{y}}, t'_{x} (x', y'), t'_{y} (x', y'), t'_{x}^{(i_{x}, i_{y})}, t'_{y}^{(i_{x}, i_{y})}$
Größen zur Beschreibung der ausfallenden Wellenfront
- • Strahl-Transferfunktion Im Fall eines Meridians Funktion f(x,t), die einem einfallenden Strahl mit Parametern (x, t) die Parameter (x', t') eines ausfallenden Strahls zuordnet
- f^prop (x, t) Strahl-Transferfunktion für die reine Propagation
- f^ref (x,t) Strahl-Transferfunktion für die reine Refraktion

Im Fall von zwei Meridianen Funktion f(x,y,t_x,t_y), die einem einfallenden Strahl mit Parametern (x,y,t_x,t_y) die Parameter (x',y',t'_x,t'_y) eines ausfallenden Strahls zuordnet

- f^prop(x, y, t_x, t_y) Strahl-Transferfunktion für die reine Propagation
- f^ref (x,y, t_x, t_y) Strahl-Transferfunktion für die reine Refraktion
- • Wellenfront-Transferfunktion Erfindungsgemäß ermittelte Funktion, die bei einer gegebenen Strahl-Transferfunktion f (x, t) bzw. f(x,y, t_x, t_y) einer einfallenden Wellenfront eine ausfallende Wellenfront zuordnet
- • Wellenfront-Transferkoeffizienten Erfindungsgemäß ermittelte Koeffizienten, die bei einer gegebenen Strahl-Transferfunktion f(x, t) eines optischen Systems den Transfer einer Wellenfront durch das System beschreiben
- c _ik Koeffizient zur Bestimmung der Ableitung t'⁽ⁱ⁾ der Ordnung i einer ausfallenden Wellenfront, der die Abhängigkeit von den Ableitungen t⁽¹⁾, ..., t⁽ⁱ⁾ der Funktion einer einfallenden Wellenfront beschreibt, wobei sich das Tupel k = (k₁,k₂,...,k_i) auf den Beitrag des Produkts ${(t^{(1)})}^{k_{1}} {(t^{(2)})}^{k_{2}} \dots {(t^{(i)})}^{k_{i}}$
bezieht;
- b _pk Koeffizient zur Bestimmung der Ableitung w'^(p) bzw. der Aberration E'_p der Ordnung p einer ausfallenden Wellenfront, der die Abhängigkeit von den Ableitungen w⁽²⁾, ..., w^(p) bzw. von den Aberrationen E₂,..., E_p einer einfallenden Wellenfront beschreibt, wobei sich das Tupel k = (k₁, k₂,...,k_p-1) auf den Beitrag des Produkts ${(w^{(2)})}^{k_{1}} {(w^{(3)})}^{k_{2}} \dots {(w^{(p)})}^{k_{p - 1}} bzw . E_{2}^{k_{1}} E_{3}^{k_{2}} \dots E_{p}^{k_{p - 1}}$
bezieht.

In einer sehr allgemeinen Form ist ein optisches System bereits dann vollständig spezifiziert, wenn es eine Vorschrift gibt, die zu jedem einfallenden Strahl eindeutig einen ausfallenden Strahl definiert (diese Vorschrift heißt Strahl-Transferfunktion). Alle weiteren Einzelheiten des optischen Systems sind dann zur Spezifikation des optischen Verhaltens irrelevant, so dass das System auch als „Black Box“ aufgefasst werden kann. Fällt nun begleitend zu einem Hauptstrahl eine Wellenfront auf ein solches System ein, dann kann die ausfallende Wellenfront nach dem Stand der Technik inklusive ihrer HOA nur dadurch bestimmt werden, indem man ein ausreichend gewähltes Bündel von Nachbarstrahlen aufwändig mittels Ray-Tracing durchrechnet und auf der ausfallenden Seite wieder eine Wellenfront daraus numerisch bestimmt, beispielsweise durch ein Fit-Verfahren.
Eine schrittweise analytische Durchrechnung von Fläche zu Fläche mittels der Verfahren aus WO 2008 089 999 A1 und DE 10 2011 101 923 A1 löst die Aufgabe der vorliegenden Erfindung nicht, denn nicht jedes optische System muss tatsächlich aus Einzelkomponenten bestehen, die sich durch brechende Flächen oder Propagationen in einem homogenen Medium beschreiben lassen. Beispielsweise besitzt ein GRIN-System (Gradient Index System) außer der Eingangs- und der Ausgangsfläche überhaupt keine internen brechenden Flächen und erreicht seine Wirkung durch die Inhomogenität des Materials. Auch ein solches GRIN-System besitzt ein wohldefiniertes Verhalten hinsichtlich der Abbildung von Strahlen, aber die Wellenfrontdurchrechnung kann nicht mit einem in der WO 2008 089 999 A1 und DE 10 2011 101 923 A1 beschriebenen Verfahren durchgeführt werden.
Selbst wenn das komplexe optische System nur aus einer endlichen Anzahl aus brechenden Flächen und Propagationen im homogenen Medium besteht, wie es schematisch in 1 dargestellt ist, liefern die Verfahren aus WO 2008 089 999 A1 und DE 10 2011 101 923 A1 zwar ein Ergebnis, aber nur zum Preis einer sehr hohen Rechenzeit. Dies gilt insbesondere dann, wenn eine hohe Anzahl an Grenzflächen vorliegt oder wenn ein optisches System sehr häufig immer wieder mit verschiedenen Wellenfronten durchgerechnet werden soll.
Zwar könnte es naheliegend erscheinen, eine Hintereinanderausführung der bestehenden Verfahren aus dem Stand der Technik durch gegenseitiges Einsetzen der analytischen Formeln zu einem analytischen Verfahren zu kombinieren, jedoch wäre dabei die Anzahl der entstehenden Terme so hoch, dass es völlig aussichtslos erscheint, diese wieder so geeignet zusammenzufassen, dass ein Rechenzeitvorteil entsteht. Auch dieses Problem wird jedoch durch die vorliegende Erfindung gelöst, indem sie auf die Ausführung der überflüssigen Zwischenschritte verzichtet und eine Vorschrift zum Wellenfront-Transfer aufstellt, die von vornherein direkt auf der Strahl-Transferfunktion basiert.
Die 2 zeigt schematisch ein optisches System zur Definition der Strahl-Transferfunktion. In der linearen Optik ist es gebräuchlich, ein System per definitionem durch eine Eintrittsebene und eine Austrittsebene zu begrenzen. Allgemeiner kann man ein optisches System auch durch zwei nicht parallele Ebenen oder durch zwei beliebige Flächen begrenzen. Wesentlich an der Spezifikation ist aber, dass es (zunächst im Falle eines einzelnen Meridians) auf der einfallenden Fläche eine Koordinate x sowie auf der ausfallenden Fläche eine Koordinate x' gibt, die zur Beschreibung der Durchstoßpunkte des Strahls dienen. Weiterhin muss eine eindeutige Möglichkeit existieren, die Richtung eines einfallenden Strahls gegen die Eintrittsfläche festzulegen (etwa durch einen Winkel a), sowie die Richtung des ausfallenden Strahls gegen die Austrittsfläche zu definieren (etwa durch einen Winkel α'). Im Falle von zwei Meridianen muss es entsprechend auf der einfallenden Seite zwei Koordinaten x, y und zwei Winkel a_x, a_y geben, sowie auf der ausfallenden Seite Koordinaten x', y' und zwei Winkel α'_x, α'_y.
Definiert man dann als Strahlvektor für einen Meridian $ρ : = (_{t}^{x}) : = (_{n t a n α}^{x}) ρ' : = (_{t'}^{x'}) : = (_{n' t a n α'}^{x'})$
dann ist das optische System eindeutig spezifiziert, wenn eine Strahl-Transferfunktion f: R² → R² mit den Komponenten f_x, f_t gegeben ist, die ρ nach ρ' überführt: $ρ' = ƒ (ρ) \Leftrightarrow (_{t'}^{x'}) = (_{ƒ_{t} (x, t)}^{ƒ_{x} (x, t)})$
In zwei Meridianen ist das optische System eindeutig spezifiziert, wenn es eine entsprechende Strahl-Transferfunktion f: R⁴ → R⁴ gibt.
Es ist sowohl in der Gauß'schen Optik (f: R² → R²) als auch in der linearen Optik (f: R⁴ → R⁴) Stand der Technik, dass die Wirkung eines mit f beschriebenen Systems durch eine Systemmatrix T beschrieben wird: $ρ' = T ρ, \Leftrightarrow (_{t'}^{x'}) = (\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}) (_{t}^{x})$
wobei die 2x2 Systemmatrix (auch Transferenz genannt), definiert ist durch $T = J a c (ƒ) = (\begin{matrix} \partial x' / \partial x & \partial x' / \partial t \\ \partial t' / \partial x & \partial t' / \partial t \end{matrix}) = (\begin{matrix} ƒ_{x}^{(1,0)} & ƒ_{x}^{(0,1)} \\ ƒ_{t}^{(1,0)} & ƒ_{t}^{(0,1)} \end{matrix}) = : (\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}) .$
wobei Jac die Jacobi Matrix bezeichnet, wobei die Einträge A, B, C, D Konstanten sind, die das optische System charakterisieren, und wobei die Notation $ƒ^{m} = ƒ^{(m_{x}, m_{t})} = \partial^{m} ƒ = (\partial^{m_{x}} / \partial x^{m_{x}} \partial^{m_{t}} / \partial t^{m_{t}}) ƒ$
verwendet wird. Weiter ist im Stand der Technik bekannt, dass in einem Meridian eine Wellenfront mit Krümmung k und Vergenz S = nk, die in das System eintritt, beim Austritt zu einer Wellenfront mit Vergenz 5' = n'k'führt, wobei die ausfallende Vergenz durch $S' = - \frac{C - D S}{A - B S}$
gegeben ist.
Im Fall von zwei Meridianen kann ein entsprechender Zusammenhang angegeben werden, siehe Qiang L, Shaomin W, Alda J, Bernabeu E: „Transformation of nonsymmetric Gaussian beam into Symmetrie one by means of tensor ABCD law“, Optic - International Journal for Light and Electron Optics (OPTIK) 85(2): 67-72 (1990). Weiterhin kann das System auch nichtlineare Komponenten, wie z.B. eine prismatische Wirkung besitzen.
Die Beschreibung in GI.(3) zur Behandlung von Strahlen mittels einer Matrix T kann man als Beschreibung für die erste Ordnung auffassen, die Beschreibung in GI.(5) zur Behandlung der Vergenzen von Wellenfronten als Beschreibung für die zweite Ordnung. Andererseits gibt es im Stand der Technik keine verfügbare Beschreibung zur Behandlung von Wellenfronteigenschaften höherer Ordnung (HOA) wie z.B. Koma oder sphärische Aberration, wenn nur die Strahl-Transferfunktion / gegeben ist. An dieser Stelle setzt die vorliegende Erfindung an.
Erfindungsgemäß ist erkannt worden, dass zu einer Wellenfront w(x) eine Funktion t(x) gehört, die durch eine eindeutige und umkehrbare Transformation H aus w(x) hervorgeht. Die fixe Input-Größe t, die ursprünglich für die lineare Optik entwickelt worden war, wird erfindungsgemäß so uminterpretiert, dass sie auch zur nichtlinearen Beschreibung von Wellenfronten eingesetzt werden kann, indem man eine Abhängigkeit t(x) zulässt. Variiert man x, erhält man dann auf der ausfallenden Seite nach GI.(2) zwei Funktionen x'(x) und t'(x), die implizit einen Zusammenhang t'(x') definieren. Diese Funktion t'(x') entspricht eindeutig einer ausfallenden Wellenfront w'(x'), die man durch Anwenden der zu H inversen Transformation H^-1 erhält. Dieser Zusammenhang ist in der 3 schematisch dargestellt.
Wellenfronten können beispielsweise als symbolische Funktionen dargestellt werden oder als Freiformflächen. Weiterhin können Wellenfronten nach Basissystemen entwickelt werden, wobei die Ordnung bei der Abzählung nach der Basissysteme als Ordnungsparameter fungieren kann. Ordnungsparameter können bevorzugt so eingesetzt werden, dass Beiträge in ihrer numerischen Größenordnung mit zunehmendem Ordnungsparameter abnehmen, so dass Beiträge bis zu einem bestimmten Wert des Ordnungsparameters berücksichtigt werden und für noch höhere Werte des Ordnungsparameters vernachlässigt werden. Ähnlich kann bei Vorhandensein mehrerer Ordnungsparameter vorgegangen werden.
Bevorzugt werden Wellenfronten durch Zernike-Polynome dargestellt. In einer besonders bevorzugten Ausführungsform der Erfindung werden Wellenfronten durch Taylorreihen dargestellt, d.h. sie werden durch ihre lokalen Ableitungen an einer Referenzposition charakterisiert, die bevorzugt bei x = 0 liegt. In dieser Ausführungsform ist der Ordnungsparameter die Ordnung p der Ableitung w'^(p)(x'), die bestimmt werden soll, in zwei Meridianen die Summe p = p_x + p_y der Ordnungen der Ableitung $w'^{(p_{x}, p_{y})} (x', y') .$
In einer bestimmten Ausführungsform werden (in einem Meridian) optische Systeme betrachtet, die parallele Ein- und Austrittsebenen aufweisen und deren Strahl-Transferfunktion f (x, t) die Eigenschaft f(0,0) = 0 besitzt. Bevorzugt trifft auf ein solches System ein Strahl an der Stelle x = 0 mit Richtung t = 0 auf, der wegen f(0,0) = 0 das System auch wieder mit x' = 0 und t' = 0 verlässt. Nach einem weiteren Merkmal der Ausführungsform findet das grundsätzliche Vorgehen anhand einer Taylorreihe für die Wellenfronten dadurch statt, vorzugsweise ausgewertet an der Stelle x = 0. Automatisch haben dann ein- und ausfallende Wellenfronten, die senkrecht auf den Strahlen stehen müssen, verschwindende erste Ableitungen w⁽¹⁾(0) = 0 und w'⁽¹⁾(0) = 0.
Die 4 zeigt ein schematisches Ablaufdiagramm gemäß einer Ausführungsform der vorliegenden Erfindung auf Taylorreihen-Basis in einem Meridian. In dieser Ausführungsform muss nach Festlegung einer Ordnung p auch die Strahl-Transferfunktion f (x, t) in Form aller ihrer partiellen Ableitungen $ƒ_{x}^{(1,0)} (0,0), ƒ_{x}^{(0,1)} (0,0),$
$ƒ_{t}^{(1,0)} (0,0), ƒ_{t}^{(0,1)} (0,0), ƒ_{x}^{(2,0)} (0,0), \dots$
bis hin zur Ordnung (p - 1) vorliegen. Liegen diese vor, dann kann im nächsten Schritt direkt das Verfahren zur Bestimmung der Wellenfront-Transferfunktion, bevorzugt zur Belegung von Wellenfront-Transferkoeffizienten für die Wellenfrontdurchrechnung durchgeführt werden (siehe 4). Liegen die Ableitungen der Strahl-Transferfunktion jedoch nicht vor, dann müssen diese zuvor bestimmt werden. Falls das optische System aus einer Abfolge von brechenden Flächen besteht, deren Zwischenräume aus homogenen Medien bestehen, dann können die Ableitungen von f (x, t) aus der Form und Lage der Flächen und den Brechungsindizes bestimmt werden. Bevorzugt stehen auch alle Flächen senkrecht auf dem Strahl zu x = 0 , dann können die Ableitungen von f(x, t) aus den Ableitungen der Flächen und aus deren Abständen bestimmt werden. Liegen jedoch keine Zwischenflächen vor (z.B. bei einem GRIN-Material), dann müssen die Ableitungen von f (x, t) anderweitig bestimmt werden, beispielsweise durch Messung oder durch Simulation.
Das Verfahren kann beispielsweise dadurch ausgeführt werden, indem die Koeffizienten c _ik zur Durchrechnung in der t-Darstellung aus den Ableitungen von f (x, t) bis zur Ordnung i = p - 1 bestimmt werden. Dies kann numerisch oder bevorzugt symbolisch erfolgen. In einer bevorzugten Ausführungsform jedoch werden aus den Koeffizienten c _ik mit Hilfe der Transformation H zuerst die Koeffizienten b _pk zur Wellenfront-Durchrechnung in der w-Darstellung bis zur Ordnung p direkt aus den Koeffizienten c _ik und aus den Ableitungen von f (x, t) bestimmt, wobei dieser Schritt wieder numerisch oder bevorzugt symbolisch durchgeführt werden kann.
Liegen die Koeffizienten b _pk bis zur Ordnung p einmal vor, dann kann die Wellenfrontdurchrechnung von Wellenfronten bis zur Ordnung p mit beliebig vielen Wellenfronten wiederholt werden.
Für eine Wellenfrontdurchrechnung bei umgekehrter Lichtrichtung kann alternativ aus der Strahl-Transferfunktion / die Umkehrfunktion gebildet werden und dann das erfindungsgemäße Verfahren zur Bestimmung von Koeffizienten c _ik oder von Koeffizienten b _pk verwendet werden, oder die bereits bis zu einer Ordnung p ermittelte Wellenfront-Transferfunktion kann bei gegebenen Koeffizienten direkt invertiert werden, um die Ableitungen der einfallenden Wellenfront durch die Ableitungen der ausfallenden Wellenfront zu bestimmen.
Ausführungsform für die Transformation H
Jeder Zusammenhang zwischen einer Wellenfront w(x) und einer Funktion t(x) ist eine Transformation. Eine Transformation kann symbolisch oder numerisch beschrieben werden. Eine bevorzugte Ausführungsform besteht darin, die Funktion t(x) auch in eine Taylorreihe zu entwickeln und die Ableitungen t⁽ⁱ⁾(x) durch Ableitungen w^(p)(x) auszudrücken, bevorzugt für x = 0.
Die Aufgabe, die Beschreibung einer räumlichen Fläche durch w(x) in eine Funktion t(x) zu überführen, die auf eine Ebene bezogen ist, wird erfindungsgemäß folgendermaßen gelöst. Anders als im Stand der Technik, in dem die OPD auch Anlass zu einer Funktion τ(x) gibt, die einen definierten Zusammenhang zur Wellenfront w(x) besitzt, bezeichnet t(x) eine Richtung und keine OPD. Deshalb muss hier zuerst ein Zusammenhang zwischen t(x) und τ(x) hergestellt werden.
In der 5 ist eine Wellenfront zusammen mit ihrer Referenz-Ebene gezeigt, die beide von einem Nachbarstrahl mit Richtung t durchstoßen werden. Der Tangens des Richtungswinkels a, der per Definition durch tan a = t/n gegeben ist, ist andererseits gleich dem Seitenverhältnis des in 5 gezeigten rechtwinkligen Dreiecks. Setzt man die Länge der Hypotenuse gleich 1, dann ist die Länge der Gegenkathete zu a durch τ_x/n gegeben (proportional zur Ableitung der OPD). Dies ergibt die Gleichung $t a n α = : \frac{t (x)}{n} = - \frac{τ_{x} (x) / n}{\sqrt{1 - {(τ_{x} (x) / n)}^{2}}}$
Wiederholtes Ableiten von GI.(6) nach x und Auswertung für x = 0 führt auf $\begin{matrix} t^{(1)} = - τ^{(2)} \\ t^{(2)} = - τ^{(3)} \\ t^{(3)} = - τ^{(4)} - 3 τ^{{(2)}^{3}} / n^{2} \\ t^{(4)} = - τ^{(5)} - 18 τ^{{(2)}^{2}} τ^{(3)} / n^{2} \\ ⋮ \end{matrix}$
und Substitution der Ableitungen τ⁽²⁾, τ⁽³⁾, τ⁽⁴⁾, ... durch die Ausdrücke aus GI.(B6) in „Appendix B“ der Veröffentlichung von G. Esser, W. Becken, W. Müller, P. Baumbach, J. Arasa, D. Uttenweiler: „Derivation of the refractive equations for higher order aberrations of local wavefronts by oblique incidence“, J. Opt. Soc. Am. A 27, 218-237 (2010), ergibt für die Transformation H: $\begin{matrix} t^{(1)} = - n w^{(2)} \\ t^{(2)} = - n w^{(3)} \\ t^{(3)} = - n (w^{(4)} - 6 w^{{(2)}^{3}}) - 3 {(n w^{(2)})}^{3} / n^{2} \\ = - n (w^{(4)} - 3 w^{{(2)}^{3}}) \\ t^{(4)} = - n (w^{(5)} - 40 w^{{(2)}^{2}} w^{(3)}) - 18 {(n w^{(2)})}^{2} (n w^{(3)}) / n^{2} \\ = - n (w^{(5)} - 22 w^{{(2)}^{2}} w^{(3)}) \\ ⋮ \end{matrix}$
Durch Umkehrung dieser Gleichungen erhält man die Transformation H^-1: $\begin{matrix} w^{(2)} = - t^{(1)} / n \\ w^{(3)} = - t^{(2)} / n \\ w^{(4)} = - (t^{(3)} + 3 t^{{(1)}^{3}} / n^{2}) / n \\ w^{(5)} = - (t^{(4)} + 22 t^{{(1)}^{2}} t^{(2)} / n^{2}) / n \\ ⋮ \end{matrix}$
Belegung der Strahl-Transferfunktionen für eine elementare Propagation und Brechung
Propagation
Die 6 zeigt eine schematische Skizze zur Strahl-Transferfunktion für die Propagation. Ein Strahl, der von einer Eintrittsebene zu einer Austrittsebene im Abstand d = τ/n propagiert, wobei τ die OPD ist, die das Licht bei senkrechtem Einfall zurücklegen würde, tritt dort versetzt aus. Die Strahl-Transferfunktion ist daher ziemlich einfach, weil sich die Richtung nicht ändert und daher t' = t ist. Die Ortskomponente erfüllt (x' - x)/(,r/n) = tan α = t/n, so dass x' = x + tτ/n² ist. Die Strahl-Transferfunktion lautet damit $(\begin{matrix} x' \\ t' \end{matrix}) = ƒ^{p r o p} (x, t) = (\begin{matrix} x + t τ / n^{2} \\ t \end{matrix}),$

Die Strahl-Transferfunktion f^prop(x, t) für die Propagation in GI.(10) hängt bemerkenswerterweise sowohl von x als auch t nur linear ab. Daher sind die Ableitungen

ƒ^{p r o p (n_{x}, n_{t})} (x, t)

von f^prop (x, t) sehr einfach und verschwinden für alle höheren Ordnungen n_x + n_t ≥ 2, wie in der folgenden Tabelle 1 gezeigt. Tabelle 1: Ableitungen der Strahl-Transferfunktion f^prop(x, t) an der Stelle (x, t) = (0,0)

Wellenfront Ordnung	Abl.-Ord. n _x + n _t	x Ord. n _x	t Ord. n _t	$ƒ_{x}^{p r o p (n_{x}, n_{t})}$	$ƒ_{t}^{p r o p (n_{x}, n_{t})}$
1	0	0	-0	0	0
2	1	1	0	1	0
2	1	0	1	τ/n ²	1
Alle höheren Ordnungen verschwinden

Im speziellen Fall eines verschwindenden Propagationsabstandes τ = 0 muss die Strahl-Transferfunktion f^prop (x, t) die Identität sein mit Jacobi-Matrix Jac f^prop = 1. Der einzige Eintrag, durch den sich die Ableitungen von diesem trivialen Fall unterscheiden, ist $ƒ_{x}^{p r o p (0,1)} = τ / n^{2} .$
Brechung
Die 7 zeigt eine schematische Skizze zur Strahl-Transferfunktion für die Propagation. Die Brechung ist deutlich schwieriger zu behandeln, und eine Strahl-Transferfunktion f^ref (x, t) für Brechung in geschlossener Form als Funktion der Eigenschaften der brechenden Fläche anzugeben, ist i.a. nicht möglich. Dies liegt daran, dass der Durchstoßpunkt eines Nachbarstrahls durch eine willkürliche Fläche nur iterativ bestimmt werden kann. Obwohl es für Wellenfronten mittels einer Transformation H eine Möglichkeit gibt, die räumliche Fläche w(x) in eine Eigenschaft t(x) zu überführen, kommt hinzu, dass es keine entsprechende Transformation für die brechende Fläche an sich gibt, ohne die vorhandene Parallaxe falsch zu behandeln. Die Brechung muss also weiterhin an einem Punkt im Raum stattfinden, der i.a. außerhalb der Eintrittsebene liegt.
Da für eine reine Brechung keine Propagation stattfindet, ist die Austrittsebene identisch mit der Eintrittsebene. Die erfindungsgemäß zu lösende Aufgabe lautet also: wenn ein Nachbarstrahl (x, t) gegeben ist, der an der Eintrittsebene in Richtung einer brechenden Fläche startet, welche Parameter (x', t') als Funktion von (x, t) entsprechen dann dem gebrochenen Strahl, bezogen auf dieselbe Ebene?
Der bevorzugte Anwendungsbereich des Verfahrens betrifft Situationen, in denen der Strahl (x, t) einen eindeutigen Schnittpunkt mit der Fläche besitzt. Dieser Schnittpunkt wird mit (x,z(x)) bezeichnet, wobei die Durchstoßkoordinate durch die eindeutige Funktion x(x, t) gegeben sei. Der Richtungstangens der Flächennormale sei mit t bezeichnet (siehe 7). Er ist durch das Negative der ersten Ableitung der Fläche gegeben, t = -z ⁽¹⁾, die ebenfalls eine Funktion von x ist und somit auch eine Funktion t(x, t) = t(x(x, t)). Die Richtungen t des einfallenden Strahls und t der Fläche geben entsprechend dem Snellius'schen Brechungsgesetz Anlass zu einer Richtung t' des gebrochenen Strahls, und die rückwärtige Verlängerung des gebrochenen Strahls schneidet die Eintrittsebene an der eindeutigen Position x' (siehe 7).
Das Snellius'sche Brechungsgesetz besagt, dass $n' s i n (a r c t a n (t' / n') - a r c t a n t) = n s i n (a r c t a n (t / n) - a r c t a n t)$
$\Leftrightarrow \frac{t' - n' \bar{t}}{\sqrt{1 + {(t' / n')}^{2}}} = \frac{t - n \bar{t}}{\sqrt{1 + {(t / n)}^{2}}}$
ist, was nach Auflösen nach t' ergibt $t' (x, t) = n' \frac{b n - w {\bar{z}}^{(1)}}{w + b n {\bar{z}}^{(1)}}$
wobei $w = \sqrt{n'^{2} - n^{2} b^{2}}, b = \frac{t + n {\bar{z}}^{(1)}}{\sqrt{n^{2} + t^{2}} \sqrt{1 + {\bar{z}}^{{(1)}^{2}}}}$
ist, und z ⁽¹⁾ an der Position x(x, t) ausgewertet wird.
Sobald x(x, t) und t'(x, t) bekannt sind, kann aus 7 geometrisch direkt abgelesen werden, dass $x' (x, t) = \bar{x} (x, t) - \frac{t' (x, t)}{n'} \bar{z} (\bar{x} (x, t))$
sein muss. Die Strahl-Transferfunktion für Brechung lautet damit $(_{t'}^{x'}) = ƒ^{r e f} (x, t) = (\begin{matrix} \bar{x} (x, t) - t' (x, t) \bar{z} (\bar{x} (x, t)) / n' \\ t' (x, t) \end{matrix})$
Erfindungsgemäß wird auch ein Verfahren zur Berechnung der Funktion x(x, t) zur Verfügung gestellt. Die Richtung des einfallenden Strahls erfüllt die Beziehung tan a = t/n und daher $\frac{t}{n} = \frac{\bar{x} (x, t) - x}{\bar{z} (\bar{x} (x, t))}$
Obwohl GI.(16) nicht geschlossen nach x(x, t) aufgelöst werden kann, kann man die partiellen Ableitungen bezüglich (x, t) von GI.(16) aufstellen und diese sukzessive für die Ableitungen x ^(1,0) x ⁽ ^0,1), x ^(2,0), x ⁽ ¹ ^, ¹⁾, x ^(0,2), x ^(3,0) ^, etc. an der Position (x,t) = (0,0) lösen.
Eine andere Ausführungsform, deren Vorteil eine kompaktere Schreibweise ist, besteht in der Wahl eines geeigneten Ansatzes x _Ansatz(x, t) und der Einführung der Funktion $\bar{x} (x, t) = {\bar{x}}_{A n s a t z} (x, t) + δ \bar{x} (x, t)$
in GI.(16). Die Funktion x _Ansatz(x, t) wird als konsistente Lösung von GI.(16) in der Ordnung k bezeichnet, und k wird als Konsistenzordnung der Funktion x _Ansatz(x, t) bezeichnet, wenn (k + 1) die niedrigste Ordnung ist, für die eine der Ableitungen δx ^(1,0) δx ^(o,1), δx ^(2,0), δx ^(1,1) δx ^(0,2), δx ⁽ ^3,0), etc. nicht verschwindet. Die folgende Tabelle 2 zeigt die verschiedenen Ausführungsformen der Funktion x _Ansatz(x,t) und ihre Ordnungskonsistenz. Tabelle 2:

x _Ansatz (x, t) Ordnungskonsistenz

x 2

x + t/n z (x) 4

x + t/n z (x + t/n z (x)) 6

$x + \frac{t / n \bar{z} (x)}{1 - t / n {\bar{z}}^{(1)} (x)}$
6

Analog zu Tabelle 1 sind in der folgenden Tabelle 3 die Ableitungen der Strahl-Transferfunktion f^ref (x, t) für die Brechung gezeigt. Im Gegensatz zum Fall von f^prop(x, t) bricht die Tabelle für {ref (x, t) i.a. bei keiner endlichen Ordnung ab. Außer für

ƒ_{x}^{r e f^{(1,0)}} = 1 und ƒ_{t}^{r e f^{(0,1)}} = 1

sind alle Einträge in Tabelle 3 proportional zu (n - n'). Das ist zu erwarten, weil sich f^ref(x, t) für n' = n auf die Identität reduzieren muss mit Jacobi-Matrix Jac f^ref = 1. Tabelle 3: Ableitungen der Strahl-Transferfunktion f^ref (x, t) an der Stelle (x, t) = (0,0)

Ordnung der Wellen front	Abl.-Ord. n _x + n _t	x Ord. n _x	t Ord. n _t	$ƒ_{x}^{r e f^{(n_{x}, n_{t})}}$	$ƒ_{t}^{r e f^{(n_{x}, n_{t})}}$
1	0	0	0	0	0
2	1	1	0	1	-(n' - n) z ⁽²⁾
2	1	0	1	0	1
3	2	2	0	0	-(n' - n) z ⁽³⁾
3	2	1	1	0	0
3	2	0	2	0	0
4	3	3	0	(n' - n) × 3/n' z ⁽²⁾²	-(n' - n) ( z ⁽⁴⁾ + 3n/n'²(n - n') z (²)³)
4	3	2	1	(n' - n)/·(nn') z (²)	-(n' - n)/(nn'²)(3n ² - nn' + n'²) z ⁽²⁾²
4	3	1	2	0	-(n' - n)/(nn'²)(3n + n') z ⁽²⁾
4	3	0	3	0	-(n' - n) × 3/(n ² n'²)(n + n')

Eigentliche Durchrechnung durch das optische System
Das eigentliche Ziel besteht darin, für das ausfallende Licht eine Funktion t'(x') zu finden, die für eine gegebene Funktion t(x) die Gleichung $ƒ (x, t (x)) = (_{ƒ_{t} (x, t (x))}^{ƒ_{x} (x, t (x))}) = (\begin{matrix} x' (x) \\ t' (x' (x)) \end{matrix})$
erfüllt.
Bevorzugt wird dieses Ziel durch Einführen der Zwischenvariablen $\begin{matrix} u (x) : = x' (x) \\ v (x) : = t' (x' (x)) \end{matrix}$
erreicht, mit denen GI.(18) die Form $(_{v (x)}^{u (x)}) = ƒ (x, t (x))$
annimmt. Eine Kombination der beiden Gleichungen (19) und (20) ergibt $v (x) = t' (u (x))$
was den Startpunkt des Verfahrens darstellt. Das Grundprinzip besteht im wiederholten Ableiten von GI.(21) $\begin{matrix} v^{(1)} = u^{(1)} t'^{(1)} \\ v^{(2)} = {(u^{(1)})}^{2} t'^{(2)} + u^{(2)} t'^{(1)} \\ v^{(3)} = {(u^{(1)})}^{3} t'^{(3)} + 3 u^{(1)} u^{(2)} t'^{(2)} + u^{(3)} t'^{(1)} \\ ⋮ \end{matrix}$
worin aus Gründen der besseren Lesbarkeit das Argument '(0) ' weggelassen ist. Der erste Schritt zum Erreichen des Ziels besteht darin, GI.(22) nacheinander nach den gesuchten Ableitungen t'⁽¹⁾, t^'(2), t'⁽³⁾,... aufzulösen und damit durch die Ableitungen von u und v auszudrücken: $\begin{matrix} t'^{(1)} = \frac{v^{(1)}}{u^{(1)}} \\ t'^{(2)} = \frac{u^{(1)} v^{(2)} - u^{(2)} v^{(1)}}{{(u^{(1)})}^{3}} \\ t'^{(3)} = \frac{u^{(1)} v^{(3)} - u^{(3)} v^{(1)}}{{(u^{(1)})}^{4}} - 3 u^{(2)} \frac{u^{(1)} v^{(2)} - u^{(2)} v^{(1)}}{{(u^{(1)})}^{5}} \\ ⋮ \end{matrix}$
Der zweite Schritt besteht darin, die Ableitungen von u und v durch Ableitungen der Funktion t(x) (einfallendes Licht) und Ableitungen von f (x, t) (Eigenschaften des optischen Systems) auszudrücken. Ableiten von GI.(20) führt für u⁽ⁱ⁾ auf $\begin{matrix} u^{(1)} = ƒ_{x}^{(0,1)} t^{(1)} + ƒ_{x}^{(1,0)} \\ u^{(2)} = ƒ_{x}^{(1,0)} t^{(2)} + ƒ_{x}^{(2,0)} + 2 ƒ_{x}^{(1,1)} t^{(1)} + ƒ_{x}^{(0,2)} t^{{(1)}^{2}} \\ u^{(3)} = ƒ_{x}^{(0,1)} t^{(3)} + ƒ_{x}^{(3,0)} + 3 (ƒ_{x}^{(2,1)} + ƒ_{x}^{(1,2)} t^{(1)}) t^{(1)} + 3 (ƒ_{x}^{(1,1)} + ƒ_{x}^{(0,2)} t^{(1)}) t^{(2)} + ƒ_{x}^{(0,3)} t^{{(1)}^{3}} \\ ⋮ \\ v^{(1)} = u^{(1)} (ƒ_{x} \to ƒ_{t}) \\ v^{(2)} = u^{(2)} (ƒ_{x} \to ƒ_{t}) \\ v^{(3)} = u^{(3)} (ƒ_{x} \to ƒ_{t}) \\ ⋮ \end{matrix}$
wobei erneut die Argumente ‚(0)‘ und ‚(0,0)‘ fortgelassen sind. Ein vorläufiges Ergebnis für t'^(i)\, ausgedrückt durch t⁽ⁱ⁾, wird dann dadurch erhalten, dass man GI.(24) in GI.(23) einsetzt.
Lösungen in t-Darstellung
Setzt man Gl.(24) in Gl.(23) für t'⁽ⁱ⁾ ein, dann entstehen mit zunehmender Ordnung i rasch sehr viele ähnliche Terme mit Mischtermen aus Potenzen von Ableitungen t⁽ⁱ⁾, deren Auswertung beim Einsetzen numerischer Werte für t⁽ⁱ⁾ viel Rechenzeit erfordert. Daher ist die Aufgabe, eine rechenzeitsparende Methode aufzustellen, die mit vielen verschiedenen Wellenfronten wiederholt ausgewertet werden kann, durch schlichtes Einsetzen von GI.(24) in GI.(23) noch nicht gelöst. Erfindungsgemäß ist vielmehr erkannt worden, dass die symbolischen Ausdrücke, die die Abhängigkeit der Lösung t'⁽ⁱ⁾ von den Ableitungen t⁽ⁱ⁾ beschreibt, vor dem Einsetzen numerischer Werte so sortiert und zusammengefasst werden muss, dass nur die minimale Anzahl an Mischtermen aus Potenzen von Ableitungen t⁽ⁱ⁾ numerisch ausgewertet werden muss.
Die Ordnung i = 1 ergibt noch direkt einen Bruch $t'^{(1)} = \frac{ƒ_{t}^{(0,1)} t^{(1)} + ƒ_{t}^{(1,0)}}{ƒ_{x}^{(0,1)} t^{(1)} + ƒ_{x}^{(1,0)}} = \frac{D t^{(1)} + C}{B t^{(1)} + A} = : β (D t^{(1)} + C)$
wobei man der Kürze halber die Abkürzung $\frac{1}{β} : = u^{(1)} = ƒ_{x}^{(0,1)} t^{(1)} + ƒ_{x}^{(1,0)} = B t^{(1)} + A$
benutzen kann.
Die nächsthöhere Ordnung t'⁽²⁾ in GI.(23) ergibt schon: $\begin{matrix} t'^{(2)} = β^{3} (u^{(1)} v^{(2)} - u^{(2)} v^{(1)}) \\ = β^{3} [\begin{matrix} (B t^{(1)} + A) (D t^{(2)} + ƒ_{t}^{(2,0)} + 2 ƒ_{t}^{(1,1)} t^{(1)} + ƒ_{t}^{(0,2)} t^{{(1)}^{2}}) \\ - (D t^{(1)} + C) (B t^{(2)} + ƒ_{x}^{(2,0)} + 2 ƒ_{x}^{(1,1)} t^{(1)} + ƒ_{x}^{(0,2)} t^{{(1)}^{2}}) \end{matrix}] \\ = β^{3} [\begin{matrix} (A D - B C) t^{(2)} + (B D - D B) t^{(1)} t^{(2)} \\ + (A ƒ_{t}^{(2,0)} - C ƒ_{x}^{(2,0)}) + (B ƒ_{t}^{(2,0)} + 2 A ƒ_{t}^{(1,1)} - D ƒ_{x}^{(2,0)} - 2 C ƒ_{x}^{(1,1)}) t^{(1)} \\ + (A ƒ_{t}^{(0,2)} + 2 B ƒ_{t}^{(1,1)} - C ƒ_{x}^{(0,2)} - 2 D ƒ_{x}^{(1,1)}) t^{{(1)}^{2}} + (B ƒ_{t}^{(0,2)} - D ƒ_{x}^{(0,2)}) t^{{(1)}^{3}} \end{matrix}] \\ = β^{3} [\begin{matrix} t^{(2)} + (A ƒ_{t}^{(2,0)} - C ƒ_{x}^{(2,0)}) + (B ƒ_{t}^{(2,0)} + 2 A ƒ_{t}^{(1,1)} - D ƒ_{x}^{(2,0)} - 2 C ƒ_{x}^{(1,1)}) t^{(1)} \\ + (A ƒ_{t}^{(0,2)} + 2 B ƒ_{t}^{(1,1)} - C ƒ_{x}^{(0,2)} - 2 D ƒ_{x}^{(1,1)}) t^{{(1)}^{2}} + (B ƒ_{t}^{(0,2)} - D ƒ_{x}^{(0,2)}) t^{{(1)}^{3}} \end{matrix}] \end{matrix}$
d.h. also z.B. vier Beiträge zur Potenz t ⁽¹⁾², die sich ausklammern lässt, und deren Vorfaktoren sich zum Vorfaktor (Af_t ^(0,2) + 2Bf_t ^(1,1) - Cf_x ⁽⁰²⁾ - 2Df_x ^(1,1) zusammenfassen lassen.
Erfindungsgemäß kann die Methode angewendet werden unabhängig vom Wert der Determinante detT = AD - BC. Bevorzugt nutzt die Erfindung aus, dass optische Systeme symplektisch sind und det T = AD - BC = 1 erfüllen.
Fortgesetztes Einsetzen und Zusammenfassen führt auf Lösungen der Struktur $\begin{array}{l} \begin{matrix} t'^{(1)} = β [{\bar{c}}_{1,1} t^{(1)} + {\bar{c}}_{1,0}] \\ t'^{(2)} = β^{3} [t^{(2)} + {\bar{c}}_{2,0} + {\bar{c}}_{2,1} t^{(1)} + {\bar{c}}_{2,2} t^{{(1)}^{2}} + {\bar{c}}_{2,3} t^{{(1)}^{3}}] \\ t'^{(3)} = β^{4} [t^{(3)} + β (\begin{array}{l} ({\bar{c}}_{3,0} + {\bar{c}}_{3,1} t^{(1)} + {\bar{c}}_{3,2} t^{{(1)}^{2}} + {\bar{c}}_{3,3} t^{{(1)}^{3}} + {\bar{c}}_{3,4} t^{{(1)}^{4}} + {\bar{c}}_{3,5} t^{{(1)}^{5}}) \\ + ({\bar{c}}_{3,01} + {\bar{c}}_{3,11} t^{(1)} + {\bar{c}}_{3,21} t^{{(1)}^{2}}) t^{(2)} + {\bar{c}}_{3,02} t^{{(2)}^{2}} \end{array})] \\ t'^{(4)} = β^{5} [\begin{matrix} t^{(4)} + β^{2} (\begin{array}{l} ({\bar{c}}_{4,0} + {\bar{c}}_{4,1} t^{(1)} + \dots + {\bar{c}}_{4,7} t^{{(1)}^{7}}) \\ + ({\bar{c}}_{4,01} + {\bar{c}}_{4,11} t^{(1)} + \dots + {\bar{c}}_{4,41} t^{{(1)}^{4}}) t^{(2)} \\ + ({\bar{c}}_{4,02} + {\bar{c}}_{4,12} t^{(1)} + {\bar{c}}_{4,22} t^{{(1)}^{2}}) t^{{(2)}^{2}} + {\bar{c}}_{4,03} t^{{(2)}^{3}} \end{array}) \\ + β (({\bar{c}}_{4,001} + {\bar{c}}_{4,101} t^{(1)} + {\bar{c}}_{4,201} t^{{(1)}^{2}}) t^{(3)} + {\bar{c}}_{4,011} t^{(2)} t^{(3)}) \end{matrix}] \end{matrix} \\ t'^{(5)} = β^{6} [t^{(5)} + \dots] \end{array}$
Allgemein sind die Lösungen t'⁽ⁱ⁾ gegeben durch einen Summenansatz der Form $\begin{matrix} t'^{(i)} = β^{- {\bar{r}}_{1}^{0} (i)} \sum_{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{i}} {\bar{c}}_{i k} β^{- Δ {\bar{r}}_{1} (i, k *)} t^{{(1)}^{k_{1}}} t^{{(2)}^{k_{2}}} \dots t^{{(i)}^{k_{i}}} \\ = β^{- {\bar{r}}_{1}^{0} (i)} [t^{(i)} + \sum_{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{i - 1}} {\bar{c}}_{i k} β^{- Δ {\bar{r}}_{1} (i, k *)} t^{{(1)}^{k_{1}}} t^{{(2)}^{k_{2}}} \dots t^{{(i - 1)}^{k_{i - 1}}}], i = 1,2,3,... \end{matrix}$
mit Koeffizienten c _ik gegeben, wobei die untere Zeile nur im symplektischen Fall gilt, und wobei k = (k₁, k₂,. .., k_i) ein Tupel k ∈ $N_{0}^{i}$
aus Exponenten ist; k* = (k₂,... , k_i) ist ein Tupel, das aus k durch Fortlassen des ersten Elements entsteht, k^** = (k₃, ..., k_i) entsteht aus k durch Fortlassen der ersten beiden Elemente.
Die Exponenten von β sind gegeben durch $\begin{matrix} - {\bar{r}}_{1}^{0} (i) = (i + 1) - δ_{i 1} \\ - Δ {\bar{r}}_{1} (i, k *) = (i - 2) + δ_{i 1} - P (k * *) \end{matrix}$
Die Koeffizienten c _ik sind in Tabelle 4 angegeben. Zur besseren Lesbarkeit kann eine Kurzschreibweise benutzt werden $\begin{matrix} T_{A C}^{(n_{x}, n_{t})} : = A ƒ_{t}^{(n_{x}, n_{t})} - C ƒ_{x}^{(n_{x}, n_{t})} \\ T_{B D}^{(n_{x}, n_{t})} : = B ƒ_{t}^{(n_{x}, n_{t})} - D ƒ_{x}^{(n_{x}, n_{t})} \end{matrix}$
sowie eine Symmetrie-Transformation X, die jede Ableitung $ƒ_{x}^{(n_{x}, n_{t})}, ƒ_{t}^{(n_{x}, n_{t})}$
durch $X (ƒ_{x}^{(n_{x}, n_{t})})$
bzw. $X (ƒ_{t}^{(n_{x}, n_{t})})$
ersetzt und in einer Vertauschung der Ordnungen n_x, n_t sowie einem Vorzeichen besteht: $\begin{matrix} X (ƒ_{x}^{(n_{x}, n_{t})}) = {(- 1)}^{n_{x} + n_{t}} ƒ_{x}^{(n_{t}, n_{x})} \\ X (ƒ_{t}^{(n_{x}, n_{t})}) = {(- 1)}^{n_{x} + n_{t} + 1} ƒ_{t}^{(n_{t}, n_{x})} \end{matrix}$
Gl. (32) impliziert direkt X(A) = -B, X(B) = -A, X(C) = D, X(D) = C, und für die Ausdrücke in GI. (31) $\begin{matrix} X (T_{A C}^{(n_{x}, n_{t})}) = {(- 1)}^{n_{x} + n_{t}} T_{B D}^{(n_{t}, n_{x})} \\ X (T_{B D}^{(n_{x}, n_{t})}) = {(- 1)}^{n_{x} + n_{t}} T_{A C}^{(n_{t}, n_{x})} \end{matrix}$
Die Summation in GI.(29) ist so aufgebaut, dass das Tupel k* über einen Bereich k* ∈ P_∪(i - 1) läuft, der nur von der Ordnung i abhängt, wobei die Menge P_∪ definiert ist durch $\begin{matrix} P_{\cup} (p) : = {k \in N_{0}^{p} | P (k) \leq p} = \cup_{q = 1}^{P} P (q) \\ w o b e i P (p) : = {k \in N_{0}^{p} | P (k) = p} = \cup_{m = 1}^{P} P (p, m), \\ w o b e i P (p, m) : = {k \in N_{0}^{p} | P (k) = p \land M (k) = m} \end{matrix}$
Dabei sind die in GI.(34) verwendeten Zahlen die Größe M(κ) und die Partitionsordnung P(k) und definiert durch $\begin{matrix} M (k) : = \sum_{v = 1}^{p} k_{v} = k_{1} + k_{2} + \dots + k_{p} \\ P (k) : = \sum_{v = 1}^{p} v k_{v} = k_{1} + 2 k_{2} + \dots + p k_{p} \end{matrix}$
Der Index k₁ läuft dabei über den Bereich 0 ≤ k₁ ≤ 2(i - P(k*) - 1) + δ_P(k*),0, der von der Ordnung i und k*abhängt.
Ein Tupel kann alternativ zur Darstellung durch Angabe von Zahlen auch graphisch dargestellt werden, vorzugsweise mit Hilfe von Young-Diagrammen (siehe 7). Eine besonders bevorzugte Form dieser Darstellung besteht darin, für ein gegebenes Tupel k das Diagramm so zu wählen, dass die Anzahl der Kästchen gleich P(k) ist. Ist i_max der Index (also die Ordnung) des höchsten nichtverschwindenden Eintrags von k, dann enthält das Young-Diagramm, wie in der 8 dargestellt, an seiner linken Seite ein Rechteck aus i_max Zeilen und k_imax Spalten. Alle weiteren Spalten des Diagramms werden von rechts hinzugefügt, als nächstes ein Rechteck aus (i_max -1) Zeilen und k_imax-1 Spalten, und das Diagramm endet an seiner rechten Seite mit einem Rechteck aus einer Zeile und k₁ Spalten.

In der folgenden Tabelle 4 sind die Koeffizienten c _ik für allgemeine optische Systeme angegeben sowie für eine einfache Propagation über eine Distanz d = τ/n sowie für eine Propagation durch eine Einzelfläche mit Flächenableitungen _Z ⁽²⁾ _,Z ⁽³⁾,_Z ⁽⁴⁾ _,... zwischen zwei Medien mit Brechungsindizes n und n'. Tabelle 4:

Ord	Indizes		Vorfaktor	Term	Koeffizient c _ik ≡ c _i,(k1,k*)
i	k ₁	k*	β ^-Δ ^r1	Term	Symbol	Allgemeiner Fall	einfache Propagation, Distanz τ/n	Brechung an Einzelfläche (β =1 )
1	0	0	1	1	c _1,0	C	0	-(n'-n) z ⁽²⁾
1	1	0	1	t ⁽¹⁾	c _1,1	X( c _1,1 )=D	1	1
2	0	0	1	1	c _2,0	$T_{A C}^{(2,0)}$	0	-(n'-n) z ⁽³⁾
2	1	0	1	t ⁽¹⁾	c _2,1	$2 T_{A C}^{(1,1)} + T_{B D}^{(2,0)}$	0	0
2	2	0	1	(t ⁽¹⁾)²	c _2,2	$X ({\bar{c}}_{2,1}) = T_{A C}^{(0,2)} + 2 T_{B D}^{(1,1)}$	0	0
2	3	0	1	(t ⁽¹⁾)³	c _2,3	$X ({\bar{c}}_{2,0}) = T_{B D}^{(0,2)}$	0	0
2	0	1	1	t ⁽²⁾	c _2,01	1	1	1
3	0	0	β	1	c _3,0	$- 3 T_{A C}^{(2,0)} ƒ_{x}^{(2,0)} + A T_{A C}^{(3,0)}$	0	$- (n' - n) (_{3 (n^{2} / n'^{2} - 1) {\bar{z}}^{{(2)}^{3}}}^{{\bar{z}}^{(4)} +})$
3	1	0	β	t ⁽¹⁾	c _3,1	$\begin{array}{l} - 6 T_{A C}^{(2,0)} ƒ_{x}^{(1,1)} - 3 (T_{B D}^{(2,0)} + 2 T_{A C}^{(1,1)}) ƒ_{x}^{(2,0)} \\ + 3 A T_{A C}^{(2,1)} + B T_{A C}^{(3,0)} + A T_{B D}^{(3,0)} \end{array}$	0	-3(n'-n)(n'+3n)/n ^'2 z ⁽²⁾³
3	2	0	β	(t ⁽¹⁾)²	c _3,2	$\begin{array}{l} 3 A (T_{A C}^{(1,2)} + T_{B D}^{(2,1)}) + B (3 T_{A C}^{(2,1)} + T_{B D}^{(3,0)}) - 3 T_{A C}^{(2,0)} ƒ_{x}^{(0,2)} \\ - 6 (2 T_{A C}^{(1,1)} + T_{B D}^{(2,0)}) ƒ_{x}^{(1,1)} - 3 (T_{A C}^{(0,2)} + 2 T_{B D}^{(1,1)}) ƒ_{x}^{(2,0)} \end{array}$	0	-3(n'-n)(2n'+3n)/(nn ^'2)) z ⁽²⁾
3	3	0	β	(t ⁽¹⁾)³	c _3,3	X( c _3,2)	0	-3(n'-n)(n'+n)/(n ² n’²)
3	4	0	β	(t ⁽¹⁾)⁴	c _3,4	X( c _3,1)	0	0
3	5	0	β	(t ⁽¹⁾)⁵	c _3,5	X( c _3,0)	0	0
3	0	1	β	t ⁽²⁾	c _3,01	$- 3 (B T_{A C}^{(2,0)} - A T_{A C}^{(1,1)} + ƒ_{x}^{(2,0)})$	0	0
3	1	1	β	t ⁽¹⁾ t ⁽²⁾	c _3,11	$- 3 (B T_{B D}^{(2,0)} - A T_{A C}^{(1,1)} + 3 ƒ_{x}^{(1,1)})$	0	0
3	2	1	β	(t ⁽¹⁾)² t ⁽²⁾	c _3,21	X( c _3,01)	0	0
3	0	2	β	(t ⁽²⁾)²	c _3,02	-3B	-3τ/n ²	0
3	0	01	β	t ⁽³⁾	c _3,001	1	1	1
4	0	0	β ²	1	c _4,0	$\begin{array}{l} 15 T_{A C}^{(2,0)} {(ƒ_{x}^{(2,0)})}^{2} \\ \begin{array}{l} + A (A T_{A C}^{(4,0)} - 6 T_{A C}^{(3,0)} ƒ_{x}^{(2,0)}) \\ - 4 T_{A C}^{(2,0)} ƒ_{x}^{(3,0)} \end{array} \end{array}$	0	$- (n' - n) (\begin{matrix} {\bar{z}}^{(5)} + 2 (n - n') / n'^{2} \times \\ (9 n + 11 n') {\bar{z}}^{{(2)}^{2}} {\bar{z}}^{(3)} \end{matrix})$
4	1	0	β ²	t ⁽¹⁾	c _4,1	$\begin{array}{l} - 2 (9 A T_{A C}^{(2,1)} + 5 B T_{A C}^{(3,0)} + A T_{B D}^{(3,0)}) ƒ_{x}^{(2,0)} \\ + 15 (2 T_{A C}^{(1,1)} + T_{B D}^{(2,0)}) {(ƒ_{x}^{(2,0)})}^{2} \\ - 12 (A T_{A C}^{(3,0)} - 5 T_{A C}^{(2,0)} ƒ_{x}^{(2,0)}) ƒ_{x}^{(1,1)} \\ + A (\begin{array}{l} 4 A T_{A C}^{(3,1)} + 2 B T_{A C}^{(4,0)} + A T_{B D}^{(4,0)} - \\ 12 T_{A C}^{(2,0)} ƒ_{x}^{(2,1)} - 8 (T_{A C}^{(1,1)} + T_{B D}^{(2,0)}) ƒ_{x}^{(3,0)} \end{array}) ƒ_{x}^{(1,1)} \end{array}$	0	-2(n' - n) · (7n'+ 18n)/n'² z ⁽²⁾ z ⁽³⁾
4	2	0	β ²	(t ⁽¹⁾)²	c _4,2	$\begin{array}{l} A^{2} (6 T_{A C}^{(2,2)} + 4 T_{B D}^{(3,1)}) + 2 A B (4 T_{A C}^{(3,1)} + T_{B D}^{(4,0)}) \\ + 60 T_{A C}^{(2,0)} {(ƒ_{x}^{(1,1)})}^{2} - 6 (A T_{A C}^{(3,0)} - 5 T_{A C}^{(2,0)} ƒ_{x}^{(2,0)}) \\ + B^{2} T_{A C}^{(4,0)} + 4 (\begin{matrix} - 9 A T_{A C}^{(2,1)} - B T_{A C}^{(3,0)} - 5 A T_{B D}^{(3,0)} \\ + 15 (2 T_{A C}^{(2,1)} + T_{B D}^{(2,0)} ƒ_{x}^{(2,0)}) \end{matrix}) ƒ_{x}^{(1,1)} \\ - 12 A T_{A C}^{(2,0)} ƒ_{x}^{(1,2)} + \\ 3 (\begin{array}{l} (\begin{array}{l} 2 A (3 T_{A C}^{(1,2)} + 5 T_{B D}^{(2,1)}) + 2 B (T_{A C}^{(2,1)} + T_{B D}^{(3,0)}) \\ - 5 (T_{A C}^{(0,2)} + 2 T_{B D}^{(1,1)} ƒ_{x}^{(2,0)}) \end{array}) ƒ_{x}^{(2,0)} \\ + 8 (A T_{A C}^{(1,1)} + B T_{A C}^{(2,0)}) ƒ_{x}^{(2,1)} \end{array}) \\ - 4 (A T_{A C}^{(0,2)} + B (4 T_{A C}^{(1,1)} + T_{B D}^{(2,0)})) ƒ_{x}^{(3,0)} \end{array}$	0	-2(n' - n) · (5n'+ 9n)/(nn'²) z ⁽³⁾
4	3	0	β ²	(t ⁽¹⁾)³	c _4,3	$\begin{array}{l} A^{2} (4 T_{A C}^{(1,3)} + 6 T_{B D}^{(2,2)}) + 4 A B (3 T_{A C}^{(2,2)} + 2 T_{B D}^{(3,1)}) \\ + B^{2} (4 T_{A C}^{(3,1)} + T_{B D}^{(4,0)}) - A T_{A C}^{(2,0)} ƒ_{x}^{(0,3)} + \\ 2 (\begin{array}{l} - 5 B T_{A C}^{(3,0)} - A (9 T_{A C}^{(2,1)} + T_{B D}^{(2,0)}) + \\ 30 T_{A C}^{(2,0)} ƒ_{x}^{(1,1)} + 15 (2 T_{A C}^{(1,1)} + T_{B D}^{(2,0)}) ƒ_{x}^{(2,0)} \end{array}) ƒ_{x}^{(0,2)} \\ + 3 (\begin{array}{l} 20 (2 T_{A C}^{(1,1)} + T_{B D}^{(2,0)}) {(ƒ_{x}^{(1,1)})}^{2} \\ - 8 (A T_{A C}^{(1,1)} + B T_{A C}^{(2,0)}) ƒ_{x}^{(1,2)} + \\ (- 2 (\begin{array}{l} A T_{A C}^{(0,3)} + B T_{A C}^{(1,2)} \\ + 5 A T_{B D}^{(1,2)} + 3 B T_{B D}^{(2,1)} \end{array}) + 5 T_{B D}^{(0,2)} ƒ_{x}^{(2,0)}) ƒ_{x}^{(2,0)} \\ - 4 (\begin{array}{l} 3 A T_{A C}^{(1,2)} + B T_{A C}^{(2,1)} + 5 A T_{B D}^{(2,1)} \\ + B T_{B D}^{(3,0)} - 5 (T_{A C}^{(0,2)} + 2 T_{B D}^{(1,1)}) ƒ_{x}^{(2,0)} \end{array}) ƒ_{x}^{(1,1)} \\ - 4 (A T_{A C}^{(0,2)} + 4 B T_{A C}^{(1,1)} + B T_{B D}^{(2,0)}) ƒ_{x}^{(2,1)} \end{array}) \\ - 8 (A T_{B D}^{(0,2)} + B T_{B D}^{(1,1)}) ƒ_{x}^{(3,0)} \end{array}$	0	0
4	4	0	β ²	(t ⁽¹⁾)⁴	c _4,4	X( c _4,3)	0	0
4	5	0	β ²	(t ⁽¹⁾)⁵	c _4,5	X( c _4,2)	0	0
4	6	0	β ² β ²	(t ⁽¹⁾)⁶	c _4,6	X( c _4,1)	0	0
4	7	0	β ²	(t ⁽¹⁾)⁷	c _4,7	X( c _4,0)	0	0
4	0	1	β ²	t ⁽²⁾	c _4,01	$\begin{array}{l} 6 A^{2} T_{A C}^{(2,1)} - 12 A T_{A C}^{(2,0)} ƒ_{x}^{(1,1)} + 30 B T_{A C}^{(2,0)} ƒ_{x}^{(2,0)} - \\ 18 A T_{A C}^{(1,1)} ƒ_{x}^{(2,0)} + 15 {(ƒ_{x}^{(2,0)})}^{2} - 6 A B T_{A C}^{(3,0)} + 4 A ƒ_{x}^{(3,0)} \end{array}$	0	-6(n'-n)(2n'+3n)/ n'² z (²⁾²)
4	1	1	β ²	t ⁽¹⁾ t ⁽²⁾	c _4,11	$\begin{array}{l} - 60 A T_{A C}^{(1,1)} ƒ_{x}^{(1,1)} + 12 A^{2} T_{A C}^{(1,2)} ƒ_{x}^{(1,1)} + 30 B T_{B D}^{(2,0)} ƒ_{x}^{(2,0)} \\ - 10 B^{2} T_{A C}^{(3,0)} - 2 A B T_{B D}^{(3,0)} - 18 A T_{A C}^{(0,2)} ƒ_{x}^{(2,0)} - \\ 12 A T_{A C}^{(2,0)} ƒ_{x}^{0,2} + 24 B T_{A C}^{(1,1)} ƒ_{x}^{(2,0)} + \\ 36 B T_{A C}^{(2,0)} ƒ_{x}^{(1,1)} + 90 ƒ_{x}^{(2,0)} ƒ_{x}^{(1,1)} - 18 A ƒ_{x}^{(2 l,1)} \end{array}$	0	-6(n' - n) · (5n'+ 6n)/(nn'²) z ⁽²⁾
4	2	1	β ²	(t ⁽¹⁾)² t ⁽²⁾	c _4,21	$6 (\begin{array}{l} A^{2} T_{A C}^{(0,3)} - 3 B^{2} T_{A C}^{(2,1)} - B^{2} T_{B D}^{(3,0)} - 7 A T_{A C}^{(1,1)} ƒ_{x}^{(0,2)} \\ - 8 A T_{A C}^{(0,2)} ƒ_{x}^{(1,1)} + 3 A^{2} T_{B D}^{(2,1)} + 8 B T_{B D}^{(2,0)} ƒ_{x}^{(1,1)} + \\ 7 B T_{B D}^{(1,1)} ƒ_{x}^{(2,0)} + 20 {(ƒ_{x}^{(1,1)})}^{2} - A ƒ_{x}^{(1,2)} + \\ A B (ƒ_{x}^{(0,2)} ƒ_{t}^{(2,0)} - ƒ_{x}^{(2,0)} ƒ_{t}^{(0,2)}) + 10 ƒ_{x}^{(2,0)} ƒ_{x}^{(0,2)} \\ - B ƒ_{x}^{(2,1)} \end{array})$	0	-18(n' - n) · (n' + n)/(n ² n’²)
4	3	1	β ²	(t ⁽¹⁾)³ t ⁽²⁾	c _4,31	X( c _4,11)	0	0
4	4	1	β ²	(t ⁽¹⁾)⁴ t ⁽²⁾	c _4,41	X( c _4,01)	0	0
4	0	2	β ²	(t ⁽²⁾)2	c _4,02	$3 (\begin{array}{l} A^{2} T_{A C}^{(0,2)} - 6 A B T_{A C}^{(1,1)} + \\ 5 B^{2} T_{B D}^{(2,0)} - 4 A ƒ_{x}^{(1,1)} + 10 B ƒ_{x}^{(2,0)} \end{array})$	0	0
4	1	2	β ²	t ⁽¹⁾)(t ⁽²⁾)²	c _4,12	$3 (\begin{array}{l} - A B (3 T_{A C}^{(0,2)} + 2 T_{B D}^{(1,1)}) + \\ 5 B^{2} T_{B D}^{(2,0)} - 5 A ƒ_{x}^{(0,2)} + 20 B ƒ_{x}^{(1,1)} \end{array})$	0	0
4	2	2	β ²	(t ⁽¹⁾)²(t ⁽²⁾)²	c _4,22	$6 B (- 2 A T_{B D}^{(0,2)} + 2 B T_{B D}^{(1,1)} + 3 ƒ_{x}^{(0,2)})$	0	0
4	0	01	β	t ⁽³⁾	c _4,001	$2 (2 A T_{A C}^{(1,1)} - 2 B T_{A C}^{(2,0)} - 3 ƒ_{x}^{(2,0)})$	0	0
4	1	01	β	t ⁽¹⁾ t ⁽³⁾	c _4,101	$4 (A T_{A C}^{(0,2)} - B T_{B D}^{(0,2)} - 4 ƒ_{x}^{(1,1)})$	0	0
4	2	01	β	(t ⁽¹⁾)² t ⁽³⁾	c _4,201	X( c _4,001)	0	0
4	0	3	β ²	(t ⁽²⁾)³	c _4,03	15 B ²	15τ² / n ⁴	0
4	0	11	β	t ⁽²⁾ t ⁽³⁾	c _4,011	-10B	-10τ/n ²	0
4	0	001	1	t ⁽⁴⁾	c _4,0001	1	1	1
5	0	0	β ³	1	c _5,0	...	0	$\begin{array}{l} - (n' - n) \times \\ (\begin{array}{l} {\bar{z}}^{(6)} + (...) {\bar{z}}^{{(2)}^{5}} + \\ (...) {\bar{z}}^{{(2)}^{2}} {\bar{z}}^{(4)} + (...) {\bar{z}}^{(2)} {\bar{z}}^{{(3)}^{2}} \end{array}) \end{array}$
⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮
5	0	0	1	1	c _5,00001	1	1	1
6	0	0	β ⁴	1	c _6,0		0	$\begin{array}{l} - (n' - n) \times \\ (\begin{array}{l} {\bar{z}}^{(7)} + (...) {\bar{z}}^{{(2)}^{4}} {\bar{z}}^{(3)} + \\ (...) {\bar{z}}^{{(2)}^{2}} {\bar{z}}^{(5)} + (...) {\bar{z}}^{(2)} {\bar{z}}^{(3)} {\bar{z}}^{(4)} \\ + (...) {\bar{z}}^{{(3)}^{3}} \end{array}) \end{array}$

Lösungen in w-Darstellung
Die Lösungen für die Ableitungen der Wellenfronten w'^(p) erhält man durch Anwendung der Transformation H (siehe 3), um die Ableitungen w'⁽²⁾, w^'(3), w'⁽⁴⁾, ... der ausfallenden Wellenfront als Funktion der Ableitungen w⁽²⁾, w⁽³⁾, w⁽⁴⁾, ... der einfallenden Wellenfront zu beschreiben. Zu diesem Zweck kann man GI.(9) auf w'^(p), t'⁽ⁱ⁾ statt auf w^(p), t⁽ⁱ⁾ anwenden und erhält
w'⁽²⁾ = -t'⁽¹⁾/n', w'⁽³⁾ = -t'⁽²⁾/n', w'⁽⁴⁾ = -(t'⁽³⁾ + 3t'⁽¹⁾³ /n'²) /n', ....
Danach kann man alle Ableitungen t'⁽ⁱ⁾ auf der rechten Seite dieser Gleichungen durch die Lösungen der t-Darstellung aus Gl.(28),(29) substituieren und so durch die Ableitungen t^(k) ausdrücken. Schließlich wendet man dann die inverse Transformation H^-1 an, indem man alle Ableitungen t^(k) durch entsprechende Funktionen von Ableitungen w^(k) gemäß GI.(8) ersetzt.

Das Ergebnis löst noch nicht die Aufgabe optimal kurzer Rechenzeit bei der Auswertung, weil aufgrund der Transformationen H, H^-1 Mischterme entstehen, die vielfach vorkommen. Erfindungsgemäß kann man diese aber wieder zusammenfassen in der Form

\begin{matrix} E'_{2} = β [{\bar{b}}_{2,1} E_{2} + {\bar{b}}_{2,0}] \\ E'_{3} = β^{3} [E_{3} + {\bar{b}}_{3,0} + {\bar{b}}_{3,1} E_{2} + {\bar{b}}_{3,2} E_{2}^{2} + {\bar{b}}_{3,3} E_{2}^{3}] \\ E'_{4} = β^{4} [E_{4} + β (\begin{array}{l} ({\bar{b}}_{4,0} + {\bar{b}}_{4,1} E_{2} + {\bar{b}}_{4,2} E_{2}^{2} + {\bar{b}}_{4,3} E_{2}^{3} + {\bar{b}}_{4,4} E_{2}^{4} + {\bar{b}}_{4,5} E_{2}^{5}) \\ + ({\bar{b}}_{4,01} + {\bar{b}}_{4,11} E_{2} + {\bar{b}}_{4,21} E_{2}^{2}) E_{3} + {\bar{b}}_{4,02} E_{3}^{2} \end{array})] \\ E'_{5} = β^{5} [\begin{array}{l} E_{5} + β^{2} (\begin{array}{l} ({\bar{b}}_{5,0} + {\bar{b}}_{5,1} E_{2} + ... + {\bar{b}}_{5,7} E_{2}^{7}) \\ + ({\bar{b}}_{5,01} + {\bar{b}}_{5,11} E_{2} + ... + {\bar{b}}_{5,41} E_{2}^{4}) E_{3} \\ + ({\bar{b}}_{5,02} + {\bar{b}}_{5,12} E_{2} + {\bar{b}}_{5,22} E_{2}^{2}) E_{3}^{2} + {\bar{b}}_{5,03} E_{3}^{3} \end{array}) \\ + β (({\bar{b}}_{5,001} + b_{5,101} E_{2} + {\bar{b}}_{5,201} E_{2}^{2}) E_{3} + {\bar{b}}_{5,011} E_{3} E_{4}) \end{array}] \\ E'_{6} = β^{6} [E_{6} + ...] \end{matrix}

wobei

β = {(- B E_{2} + A)}^{- 1}

ist, und wobei zur einfacheren Interpretation mit ophthalmischen Größen die Notation E'_p = n'w'^(p), E_p = nw^(p) verwendet wurde (per Definition gehört die niedrigste nichtverschwindende Ordnung, die der Krümmung entspricht, zur Ordnung p = 2 in der w-Darstellung, aber zu i = 1 in der t-Darstellung). Ein Vergleich von GI.(36) mit GI.(28) zeigt, dass die Lösungen E'_p für p = i + 1 genau die gleiche Struktur aufweise wie die Lösungen t'⁽ⁱ⁾. Tatsächlich lassen sich die GIn.(36) durch einen Summenansatz zusammenfassen:

\begin{matrix} E'_{p} = β^{- {\bar{r}}_{1}^{0} (p - 1)} \sum_{k_{1}, k_{2},..., k_{p - 1}} {\bar{b}}_{p k} β^{- Δ {\bar{r}}_{1} (p - 1, k *)} E_{2}^{k_{1}} E_{3}^{k_{2}} \dots E_{p}^{k_{p - 1}} \\ = β^{- {\bar{r}}_{1}^{0} (p - 1)} [E_{p} + \sum_{k_{1}, k_{2},..., k_{p - 2}} {\bar{b}}_{p k} β^{- Δ {\bar{r}}_{1} (p - 1, k *)} E_{2}^{k_{1}} E_{3}^{k_{2}} \dots E_{p - 1}^{k_{p - 2}}], p = 2,3,4,... \end{matrix}

wobei die untere Zeile wieder nur im symplektischen Fall gilt. Die Koeffizienten b _pk entstehen durch die Koeffizienten c _ik als Ergebnis der Transformationen H, H^-1 und lassen sich auf diese zurückführen, wie in der folgenden Tabelle 5 gezeigt ist. Tabelle 5:

Ord	Indizes		Vorfaktor	Aberrationen	Koeffizient b _pk = b _{p,(k1, k *)}
p	k ₁	k *	β ^-Δr1	Term	Symbol	Allgemeiner Fall	Einfache Propagation, Distanz τ/n	Brechung an Einzelfläche (β = 1)
2	0	0	1	1	b _2,0	-C	0	(n'-n) z ⁽²⁾
2	1	0	1	E ₂	b _2.1	D	1	1
3	0	0	1	1	b _3,0	$- {\bar{c}}_{2,0} = - T_{A C}^{(2,0)}$	0	(n'- n) z ⁽³⁾
3	1	0	1	E ₂	b _3,1	$+ {\bar{c}}_{2,1} = 2 T_{A C}^{(1,1)} + T_{B D}^{(2,0)}$	0	0
3	2	0	1	$E_{2}^{2}$	b _3,2	$- {\bar{c}}_{2,2} = - X ({\bar{c}}_{2,1}) = - (T_{A C}^{(0,2)} + 2 T_{B D}^{(1,1)})$	0	0
3	3	0	1	$E_{2}^{3}$	b _3,3	$+ {\bar{c}}_{2,3} = X ({\bar{c}}_{2,0}) = T_{B D}^{(0,2)}$	0	0
3	0	1	1	E ₃	b _3,01	1	1	1
4	0	0	β	1	b _4,0	- c _3,0 - 3A ² C ³/n'²	0	$\begin{array}{l} (n' \\ - n) (\begin{array}{l} {\bar{z}}^{(4)} \\ - 6 n (n' - n) / n^{' 2} {\bar{z}}^{{(2)}^{3}} \end{array}) \end{array}$
4	1	0	β	E ₂	b ₄,₁	+ c _3,1 + 3AC ²(2BC + 3AD)/n'²	0	6(n'- n)(n' - 3n)/n'² z ⁽²⁾²
4	2	0	β	$E_{2}^{2}$	b _4,2	- c _3,2 - 3C(B ² C ² + 6ABCD + 3A ² D ²)/n’²	0	6(n'- n)(n'+ 3n)/(nn’²) z (²)
4	3	0	β	$E_{2}^{3}$	b _4,3	+ c _3,3 - 3A/n ² + 3D(3B ² C ² + 6ABCD + A ² D ²) /n'²	0	-6(n' - n)(n' + n)/(n ² n'²)
4	4	0	β	$E_{2}^{4}$	b _4,4	- c _3,4 + 3B/n ² - 3BD ²(3BC + 2AD)/n'²	-3τ /n⁴	0
4	5	0	β	$E_{2}^{5}$	b _4,5	+ c _3,5 + 3B ² D ³/n'²	3τ²/n⁶	0
4	0	1	β	E ₃	b _4.01	+ c _3,01	0	0
4	1	1	β	E ₂ E ₃	b _4.11	- c _3,1.1	0	0
4	2	1	β	$E_{2}^{2} E_{3}$	b _4,21	+ c _3,21	0	0
4	0	2	β	$E_{3}^{2}$	b _4,02	- c _3,02 = 3B	3τ/n ²	0
4	0	01	β	E ₄	b _4,001	1	1	1
5	0	0	β ²	1	b _5,0	$- {\bar{c}}_{4,0} - 22 A^{2} C^{2} T_{A C}^{(2,0)} / n'^{2}$	0	$(n' - n) (\begin{array}{l} {\bar{z}}^{(5)} - 40 n \times \\ (n' - n) / n^{' 2} {\bar{z}}^{{(2)}^{2}} {\bar{z}}^{(3)} \end{array})$
5	1	0	β ²	E ₂	b _5,1	$\begin{array}{l} + {\bar{c}}_{4,1} + 22 A C (2 (A D + B C) T_{A C}^{(2,0)} + A C (2 T_{A C}^{(1,1)} + T_{B D}^{(2,0)}) \\ / n^{' 2} \end{array}$	0	10(n'- n)(3n'- 8n) /n’² z ⁽²⁾ z ⁽³⁾
5	2	0	β ²	$E_{2}^{2}$	b ₅ _,2	$\begin{array}{l} - {\bar{c}}_{4,2} - \\ 22 (\begin{array}{l} (A^{2} D^{2} + 6 A B C D + B^{2} C^{2}) T_{A C}^{(2,0)} + A C \times \\ (\begin{array}{l} 4 (A D + B C) T_{A C}^{(1,1)} + A C (T_{A C}^{(0,2)} + 2 T_{B D}^{(1,1)}) \\ - B C T_{B D}^{(2,0)} - 2 D ƒ_{x}^{(2,0)} \end{array}) \end{array}) / n'^{2} \end{array}$	0	10(n'- n)(n'+ 4n)/(nn'²) z ⁽³⁾
5	3	0	β ²	$E_{2}^{3}$	b _5,3	$\begin{array}{l} + {\bar{c}}_{4,3} + \\ 22 (\begin{array}{l} 2 A B D^{2} T_{A C}^{(2,0)} + A C \times \\ (2 B C (T_{A C}^{(0,2)} + 2 T_{B D}^{(1,1)}) + A (2 D T_{A C}^{(0,2)} + C T_{B D}^{(0,2)})) \\ + (A^{2} D^{2} + 6 A B C D + B^{2} C^{2}) (2 T_{A C}^{(1,1)} + T_{B D}^{(2,0)}) \\ / n'^{2} \end{array}) \\ + 6 A (2 B T_{A C}^{(2,0)} - 2 A T_{A C}^{(1,1)} + 3 ƒ_{x}^{(2,0)}) / n^{2} \end{array}$	0	0
5	4	0	β ²	$E_{2}^{4}$	b ₅ _,4	- c _4,4 -	0	0
						$+ 6 (\begin{array}{l} 4 B^{2} T_{A C}^{(2,0)} - 2 A^{2} (T_{A C}^{(0,2)} + T_{B D}^{(1,1)}) \\ + 6 A ƒ_{x}^{(1,1)} + B ƒ_{x}^{(2,0)} \end{array}) / n^{2}$
5	5	0	β ²	$E_{2}^{5}$	b _5,5	$\begin{array}{l} + {\bar{c}}_{4,5} + \\ 22 (\begin{array}{l} (A^{2} D^{2} + 6 A B C D + B^{2} C^{2}) T_{B D}^{(0,2)} + B D \times \\ (\begin{array}{l} B D (6 T_{A C}^{(1,1)} + T_{B D}^{(2,0)}) + 2 A D T_{A C}^{(0,2)} + 4 B C T_{B D}^{(1,1)} \\ + 2 (C ƒ_{x}^{(0,2)} - 2 D B ƒ_{x}^{(1,1)}) \end{array}) \end{array}) \\ / n'^{2} \\ + 6 (\begin{array}{l} 4 A^{2} T_{B D}^{(0,2)} - 2 B^{2} (T_{A C}^{(1,1)} + T_{B D}^{(2,0)}) \\ - A ƒ_{x}^{(0,2)} - 6 B ƒ_{x}^{(1,1)} \end{array}) / n^{2} \end{array}$	0	0
5	6	0	β ²	$E_{2}^{6}$	b _5,6	$\begin{array}{l} - {\bar{c}}_{4,6} - \\ 22 B D (B (3 D T_{A C}^{(0,2)} + 2 D T_{B D}^{(1,1)} + 2 C T_{B D}^{(0,2)}) - 2 D ƒ_{x}^{(0,2)}) \\ / n'^{2} \\ + 6 B (2 B T_{B D}^{(1,1)} - 2 A T_{B D}^{(0,2)}) + 3 ƒ_{x}^{(0,2)}) / n^{2} \end{array}$	0	0
5	7	0	β ²	$E_{2}^{7}$	b _5,7	$+ {\bar{c}}_{4,7} + 22 B^{2} D^{2} T_{B D}^{(0,2)} / n'^{2}$	0	0
5	0	1	β ²	E₃	b _5,01	+ c _4,11 + 22A ² C ²/n’²	0	10(n'-n)(n'-4n) /(nn'²) z ⁽²⁾²
5	1	1	β ²	E₂E₃	b _5,11	- c _4,11 - 44AC(AD + BC)n'²	0	10(n'- n)(3n'+ 8n) /(nn'²) z ⁽²⁾
5	2	1	β ²	$E_{2}^{2} E_{3}$	b _5,21	+ c _4,21 + 22((A ² D ² + 4ABCD + B ² C ²)/n'² - A ²/n ²)	0	-40(n'-n)(n'+n)/(n ² n'²)
5	3	1	β ²	E₂E₃	b _5,31	- c _4,31 + 2B(22D(AD + BC)n'² + 7A/n ²)	0	0
5	4	1	β ²	$E_{2}^{4} E_{3}$	b _5,41	+ c _4,41 + 2B ²(11D ²/n'² + 4/n ²)	0	0
5	0	2	β ²	$E_{3}^{2}$	b _5,02	- c _4,02	0	0
5	1	2	β ²	$E_{2} E_{3}^{2}$	b _5,12	+ c _4,12	0	0
5	2	2	β ²	$E_{2}^{2} E_{3}^{2}$	b _5,22	- c _4,22	0	0
5	0	01	β	E₄	b _5.001	+ c _4,001	0	0
5	1	01	β	E₂E₄	b _5.101	- c _4,101	0	0
5	2	01	β	$E_{2}^{2} E_{4}$	b _5,201	+ c _4,201	0	0
5	0	3	β ²	$E_{3}^{3}$	b _5,03	15B ²	15τ² /n ⁴	0
5	0	11	β	E ₃ E ₄	b _5,011	-10B	-10τ /n ²	0
5	0	001	1	E ₅	b _5,0001	1	1	1
6	0	0	β ³	1	b _6,0	...	0	$\begin{array}{l} (n' - n) \times \\ (\begin{array}{l} {\bar{z}}^{(6)} + (\dots) {\bar{z}}^{{(2)}^{5}} + \\ (\dots) {\bar{z}}^{{(2)}^{2}} {\bar{z}}^{(4)} + (\dots) {\bar{z}}^{(2)} {\bar{z}}^{{(2)}^{3}} \end{array}) \end{array}$
⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮
6	0	0	1	1	b _6.00001	1	1	1
7	0	0	β ⁴	1	b _7,0		0	...

Ausführungsbeispiel
Ein einfaches Ausführungsbeispiel ist der Lichtdurchgang durch einen Meridian eines Augenmodells von Bennett und Rabbetts, d.h. ein modifiziertes Gullstrand-Emsley-Auge (mGE-Auge) ist, das an biometrischen Studien angepasst ist (siehe R. Rabetts: „Bennett & Rabbetts' Clinical Visual Optics“, Butterworth Heinemann Elsevier Health Sciences, 2007, ISBN: 9780750688741). Der Augapfel enthält eine Cornea mit Brechkraft S_c, sowie eine Augenlinse mit Brechkräften L₁ und L₂ an Vorder- bzw. Rückfläche. Die Krümmungsradien der Cornea und der beiden Linsenflächen sind r_c, r₁ bzw. r₂. Der Abstand zwischen Cornea und Linsenvorderfläche ist durch die Vorderkammertiefe d_CL gegeben, die Linsendicke ist durch d_L gegeben, und die Glaskörpertiefe durch d_LR. Die Brechungsindizes der Kammerflüssigkeit ist n_CL, der der Augenlinse n_L, und der des Glaskörpers n_LR. Nach dem Stand der Technik sind folgende Werte für die biometrischen Parameter gebräuchlich: $\begin{matrix} d_{C L} = 3.6 m m, \\ d_{L} = 3.7 m m, \\ d_{L R} = 16.7859082 m m, \\ r_{C} = 7.8 m m, \\ r_{1} = 11.0 m m, \\ r_{2} = - 6.47515 m m, \\ n_{C L} = 1.336 \\ n_{L} = 1.422 \\ n_{L R} = 1.336 \\ {\bar{z}}_{C}^{(2)} = 1 / r_{C} = 128.2051282 m^{- 1}, S_{C} = (n_{C L} - 1) {\bar{z}}_{C}^{(2)} = 43.076923 d p t \\ {\bar{z}}_{L 1}^{(2)} = 1 / r_{1} = 90.9090909 m^{- 1}, L_{1} = (n_{L} - n_{C L}) {\bar{z}}_{L 1}^{(2)} = 7.81818181 d p t \\ {\bar{z}}_{L 2}^{(2)} = 1 / r_{2} = - 154.436576 m^{- 1}, L_{2} = (n_{L R} - n_{L}) {\bar{z}}_{L 2}^{(2)} = 13.28154560 d p t \end{matrix}$
In GI.(39) rührt keiner der Werte mit mehr als drei Nachkommastellen aus einer direkten Messung her, sondern aus Konsistenzbetrachtungen, mit denen das Modell exakt emmetrop ist, d.h. eine ebene Wellenfront muss auf eine Kugelwelle abgebildet werden, die genau auf der Retina konvergiert.
Da sowohl das Gullstrand-Emsley-Auge als auch das Bennett-Rabbetts-Auge nach dem Stand der Technik paraxial und daher nur bis zu Wellenfront-Aberrationen zweiter Ordnung spezifiziert ist, eignen sich diese Modelle nicht unmittelbar als Ausführungsbeispiel für die Durchrechnung von Aberrationen höherer Ordnung, solange man hier keine geeignete Spezifikation für die HOA ergänzt. Für den Zweck des vorliegenden Ausführungsbeispiels soll die Eigenschaft des emmetropen Auges auch für HOA beibehalten werden. Bevorzugt sind die beiden Linsenflächen auch einschließlich der HOA exakte Kugelflächen, wohingegen die HOA der Cornea dann so gewählt werden müssen, dass das Auge die obige Emmetropieforderung erfüllt.
Für jede Kugelfläche verschwinden die ungeraden Ableitungen der Funktion z(x), wohingegen die geraden Ableitungen durch die Krümmung z ⁽²⁾ eindeutig bestimmt sind in Form von ${\bar{z}}^{(4)} = 3 {({\bar{z}}^{(2)})}^{3}, {\bar{z}}^{(6)} = 45 {({\bar{z}}^{(2)})}^{5}$
Numerisch bedeutet das für vier weitere biometrische Parameter $\begin{matrix} {\bar{z}}_{L 1}^{(4)} = 2.253944 \times 10^{6} m^{- 3}, & {\bar{z}}_{L 1}^{(6)} = 2.794145 \times 10^{11} m^{- 5} \\ {\bar{z}}_{L 2}^{(4)} = - 1.105024 \times 10^{7} m^{- 3}, & {\bar{z}}_{L 2}^{(6)} = - 3.953332 \times 10^{12} m^{- 5} \end{matrix}$
Das erfindungsgemäße Verfahren kann nun dazu benutzt werden, um die höheren Ordnungen ${\bar{z}}_{C}^{(4)},$
, ${\bar{z}}_{C}^{(6)}$
der Cornea so zu wählen, dass die Wellenfront, die nach der Brechung an der Linsen-Rückfläche entsteht, genau auf die Retina konvergiert, also genau eine Kugelwelle mit Radius d_LR ist. Das Kriterium ist, dass eine einfallende ebene Welle (w^(k) = 0) auf die ausfallenden Ableitungen $w'^{(4)} = 3 {(w'^{(2)})}^{3}, w'^{(6)} = 45 {(w'^{(2)})}^{5}$
führt, analog zu GI.(40). Eine besonders bevorzugte Alternative zu Ableitungen w'^(p) als Beschreibung von Wellenfronten sind Aberrationen E'_p = n'w'^(p), also im Fall der Kugelwelle $\begin{matrix} E'_{4} / n' = 3 {(E'_{2} / n')}^{3}, & E'_{6} / n' = 45 {(E'_{2} / n')}^{5} \\ E'_{4} = 3 n_{L R}^{- 2} E'_{2}^{3}, & E'_{6} = 45 n_{L R}^{- 4} E'_{2}^{5} \end{matrix}$
wobei n' = n_LR. Andererseits ergeben sich die Aberrationen E'₂, E'₄, E'₆ durch GI.(38) und Gl. (36) in Abhängigkeit des optischen Systems, und eine einfallende ebene Welle bedeutet, dass die Aberrationen E_p = 0 für alle Ordnungen p sind. Für jede Ordnung p trägt also nur der niedrigste Koeffizient b _pk für k = 0 bei: $\begin{matrix} E'_{2} = β {\bar{b}}_{2,0}, & E'_{4} = β^{4} β {\bar{b}}_{4,0}, & E'_{6} = β^{6} β^{3} {\bar{b}}_{6,0} \end{matrix}$
wobei b _2,0 = -C aus Tabelle 5 ist, und wobei weiter b _4,0 eine Funktion des zu ermittelnden Parameters ${\bar{z}}_{C}^{(4)}$
ist und wobei b _6,0 eine Funktion der beiden zu ermittelnden Parameter ${\bar{z}}_{C}^{(4)}, {\bar{z}}_{C}^{(6)}$
ist. Durch Einsetzen von GI.(44) in GI.(43) ergibt sich die Forderung $\begin{matrix} {\bar{b}}_{4,0} = 3 {(β n_{L R})}^{- 2} {\bar{b}}_{2,0}^{3}, & {\bar{b}}_{6,0} \end{matrix} = 45 {(β n_{L R})}^{- 4} {\bar{b}}_{2,0}^{5}$
Einsetzen aller bekannten numerischen Werte in Tabelle 5 führt auf die Koeffizienten $\begin{matrix} {\bar{b}}_{4,0} ({\bar{z}}_{C}^{(4)}) = 2.11526 \times 10^{5} m^{- 3} + 0.253296 {\bar{z}}_{C}^{(4)} \\ {\bar{b}}_{6,0} ({\bar{z}}_{C}^{(4)}, {\bar{z}}_{C}^{(6)}) = 2.204136 \times 10^{11} m^{- 5} - 3.36879 \times 10^{4} m^{- 2} {\bar{z}}_{C}^{(4)} + 3.36306 m {({\bar{z}}_{C}^{(4)})}^{2} + 0.143949 {\bar{z}}_{C}^{(6)} \end{matrix}$
wobei sich β für E₂ = 0 nach GI.(37) auf β = A^-1 reduziert, und die Werte für A und C mit Hilfe von GI.(49) ermittelt werden.
Die Gleichungen (46) werden durch ${\bar{z}}_{C}^{(4)} = - 2.05536 \times 10^{4} m^{- 3}, {\bar{z}}_{C}^{(6)} = - 1.51137 \times 10^{12} m^{- 5}$
gelöst, so dass zusammen mit GI.(41) und Gl. (39) alle biometrischen Parameters 6ter Ordnung des mGE-Auges ermittelt sind. Die Art, wie GI.(47) zustande kommt, zeigt die technischen Vorteile der Erfindung auf. Auch wenn dasselbe Ergebnis auch durch wiederholte Anwendung des aus dem Stand der Technik bekannten Verfahrens erhalten werden kann, ist der Weg über die Koeffizienten b _4,0, b _6,0 direkter und eignet sich, die Abhängigkeit von den Parametern ${\bar{z}}_{C}^{(4)}, {\bar{z}}_{C}^{(6)}$
darzustellen, während der Einfluss aller anderen Brechungen und Propagationen zu diesem Moment schon zusammengefasst und vor-ausgewertet ist.

Auf Basis der Parameterwerte können alle Ableitungen der beteiligten Strahl-Transferfunktionen bis zur Ordnung p = 6 zusammengefasst werden. In der folgenden Tabelle 6 sind alle Ableitungen der Strahl-Transferfunktionen der brechenden Komponenten des mGE-Auges gezeigt, in Tabelle 7 diejenigen für die Propagationen, und in Tabelle 8 die des gesamten mGE-Auges. Die Ableitungen der Strahl-Transferfunktionen f^C,ref, f^L1,ref , f^L2,ref der Brechungen können anhand von Tabelle 3 durch Einsetzen bestimmt werden, die der Strahl-Transferfunktionen f^e,prop, f^dCL,prop, f^dL,prop der Propagationen anhand von Tabelle 1. Da das mGE-Auges symmetrisch ist, verschwinden diese Ableitungen für ungerade Ordnungen p (d.h. für gerade Werte der Summe n_x + n_t der Ordnungen der Ableitungen), so dass die Tabellen 6, 7 und 8 nur Einträge für gerade Ordnungen aufweisen. Tabelle 6: Ableitungen der Strahl-Transfer-Funktionen f^C,ref , f^L1,ref , f^L2,ref der Brechungen der Komponenten des Auges

Ordnung			Cornea S _C		Vorderfläche Linse L ₁		Rückfläche Linse L ₂
p	n _x	n _t	$ƒ_{x}^{C, r e f^{(n_{x}, n_{t})}}$	$ƒ_{t}^{C, r e f^{(n_{x}, n_{t})}}$	$ƒ_{x}^{L 1, r e f^{(n_{x}, n_{t})}}$	$ƒ_{t}^{L 1, r e f^{(n_{x}, n_{t})}}$	$ƒ_{x}^{L 2, r e f^{(n_{x}, n_{t})}}$	$ƒ_{t}^{L 2, r e f^{(n_{x}, n_{t})}}$
2	1	0	1	-43.0769 dpt	1	-7.81818 dpt	1	-13.2815 dpt
2	0	1	0	1	0	1	0	1
4	3	0	12401.2 m^-2	4.067615*10⁵ m^-3	1499.46 m^-2	-1.82825*10⁵ m^-3	-4605.89 m^-2	-1.01543*10⁶m³
4	2	1	32.2432 m^-1	-10671.29 m^-2	4.11528m^-1	-1440.95 m^-2	6.99105 m¹	4809.53 m^-2
4	1	2	0	-104.645 m^-1	0	-15.7145 m^-1	0	-29.3143 m^-1
4	0	3	0	-1.31923	0	-0.197152	0	0.197152
6	5	0	-3.93649*10⁸ m^-4	4.80357*10¹¹ m^-5	1.78842*10⁸ m^-4	-2.14040*10¹⁰ m^-5	-1.72307*10⁹ m^-4	-3.88671*10¹¹ m^-5
6	4	1	1.24986*10⁷ m^-3	6.19886*10⁸ m^-4	1.06288*10⁶ m^-3	-1.70212*10⁸ m^-4	5.83689*10⁶ m^-3	1.82661*10⁹m^-4
6	3	2	5.49284*10⁴m^-2	-8.19587*10⁶ m^-3	4694.07 m^-2	-1.25104*10⁸m^-3	-14721.4 m^-2	-8.08185*10⁶ m^-3
6	2	3	126.595 m^-1	-5.87327*10⁴ m^-2	12.604 m^-1	-8231.94 m^-2	22.7901 m^-1	33476.3 m^-2
6	1	4	0	98.8023 m^-1	0	-36.5481 m^-1	0	-117.301 m^-1
6	0	5	0	8.70184	0	0.194345	0	0.194345

Tabelle 7: Ableitungen der Strahl-Transfer-Funktionen f^e,prop, f^dCL,prop, f^dL,prop der Propagationen der Komponenten des Auges

Ordnung			Hornhautscheitelabstand e		Vorderkammertiefe d _CL		Linsendicke d _L
p	n _x	n _t	$ƒ_{x}^{e, p r o p^{(n_{x}, n_{t})}}$	$ƒ_{t}^{e, p r o p^{(n_{x}, n_{t})}}$	$ƒ_{x}^{d C L, p r o p^{(n_{x}, n_{t})}}$	$ƒ_{t}^{d C L, p r o p^{(n_{x}, n_{t})}}$	$ƒ_{x}^{d L, p r o p^{(n_{x}, n_{t})}}$	$ƒ_{t}^{d L, p r o p^{(n_{x}, n_{t})}}$
2	1	0	1	0	1	0	1	0
2	0	1	0.013 m	1	2.69461*10^-3 m	1	2.60197*10^-3 m	1
Alle höheren Ordnungen verschwinden

Die Ableitungen der komponentenweisen Strahl-Transferfunktionen f^C,ref, f^L1,ref, f^L2,ref, f^e,prop, f^dCL,prop, f^dL,prop innerhalb des mGE-Auges sind der Ausgangspunkt, um die totale Strahl-Transferfunktion f^mGE des gesamten mGE-Auges zu ermitteln. Da f^mGE als Verkettung

ƒ^{m G E} (ρ) = ƒ^{L 2, r e f} (ƒ^{d L, p r o p} (ƒ^{L 1, r e f} (ƒ^{d C L, p r o p} (ƒ^{C, r e f} (ρ))))),

definiert ist, können alle Ableitungen von f^mGE bis zur Ordnung p = 6 mit Hilfe der Kettenregel aus den Ableitungen der komponentenweisen Strahl-Transferfunktionen bestimmt werden. Tabelle 8: Ableitungen der Strahl-Transfer-Funktionen f^mGE des modifizierten Gullstrand-Emsley-Auges

Ordnung			mod. Gullstrand-Emsley-Auge mGE
p	n _x	n _t	$ƒ_{x}^{m G E^{(n_{x}, n_{t})}}$	$ƒ_{t}^{m G E^{(n_{x}, n_{t})}}$
2	1	0	0.753858	-60.00001 dpt
2	0	1	5.24176*10^-3 m	0.909314
4	3	0	12221.93 m^-2	-9.72751 *10⁵ m^-3
4	2	1	-32.6185 m^-1	-10883.5 m^-2
4	1	2	-0.595797	-110.553 m^-1
4	0	3	-7.82984*10^-3 m	-1.56287
6	5	0	7.24284*10⁸ m^-4	-5.76462*10¹⁰ m^-5
6	4	1	1.20722*10⁷ m^-3	-3.549999*10⁸ m^-4
6	3	2	10955.5*10⁴ m^-2	-8.559098*10⁶ m^-3
6	2	3	-88.57369 m^-1	-4.62591*10⁴ m^-2
6	1	4	1.407511	271.8149 m^-1
6	0	5	0.056790 m	11.548181

Aus den Ableitungen der Strahl-Transferfunktion können nun wiederum der Vorfaktor β und die Wellenfront-Transfer-Koeffizienten b _pk des mGE-Auges bestimmt werden, die zur Auswertung der Wellenfrontdurchrechnung in GI.(38),(36) erforderlich sind.
Nach GI.(4) gilt: $T = (\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0.753858 & 0.00524176 m \\ - 60.00001 d p t & 0.909314 \end{matrix})$
Außerdem ist der Vorfaktor β nach GI.(26) spezifisch für die einfallende Wellenfront t⁽¹⁾ = -w⁽²⁾ = -nE₂ = E₂, wobei GI.(8) und die Definition E_p = nw^(p) ausgenutzt werden können sowie die Tatsache, dass der Brechungsindex im Raum vor dem Auge durch n = 1 gegeben ist. Der Vorfaktor β kann dann nach GI.(37) mit Hilfe von aus GI.(49) aus E₂ bestimmt werden.

Die Bestimmung der Wellenfront-Transfer-Koeffizienten b _pk kann schließlich durch Einsetzen der numerischen Werte der Ableitungen der Strahl-Transferfunktion aus Tabelle 8 in Tabelle 5 durchgeführt werden. Das Ergebnis ist in der folgenden Tabelle 9 dargestellt. Tabelle 9: Wellenfront-Transfer-Koeffizienten b_pk für das modifizierte Gullstrand-Emsley-Auge

Indizes		Wellenfront-Ordnung p
k*	k ₁	2	3	4	5	6
(0)	0	60.0000 dpt	0	2.06320*10⁵ m^-3	0	3.54733*10⁹ m^-5
	1	0.909314	0	-28692.2 m^-2	0	2.16457*10⁹ m^-4
	2		0	597.737 m^-1	0	-7.52551*10⁶ m^-3
	3		0	-6.69794	0	-1.03962*10⁶ m^-2
	4			2.26513*10^-2 m	0	23021.1 m^-1
	5			2.91006*10^-5 m²	0	-237.259
	6				0	1 .70495 m
	7				0	-0.009055 m²
	8					2.21606*10^-5 m³
	9					2.38306*10^-9 m⁴
(1)	0		1	0	-46287.1 m^-2	0
	1			0	655.057 m^-1	0
	2			0	-10.7069	0
	3				-0.0343949 m	0
	4				6.44793*10^-4 m²	0
	5					0
	6					0
(2)	0			0.0157253 m	0	-2547.464 m^-1
	1				0	16.42902
	2				0	-0.607000 m
	3					0.00119945 m²
	4					-98305.4 m⁴
(0,1)	0			1	0	1216.102 m⁵
	1				0	-17.7499 m⁶

	2				0	-0.0983983 m⁷
	3					0.00136332 m⁸
	4					-98305.4 m⁴
(3)	0				4.12141*10^-4 m²	0
	1					0
	2					0
(1,1)	0				0.0524176 m	0
	1					0
	2					0
(0,0,1)	0				1	0
	1					0
	2					0
(4)	0					1.51224*10^-5 m³
(2,1)	0					0.00288499 m²
(0,2)	0					0.0524176 m
(1,0,1)	0					0.0786265 m
(0,0,0,1)	0					1

Das eigentliche Ziel, nämlich die wiederholte Durchrechnung verschiedener Wellenfronten durch das mGE-Auge, kann nun auf Basis der Werte aus GI.(49) und aus Tabelle 9 erreicht werden.

Die Ergebnisse für E'_p sind für die Ordnungen p ≤ 6 in der folgenden Tabelle 10 gezeigt. In der ersten Spalte stehen die Ergebnisse für eine ebene einfallende Wellenfront, die nach Konstruktion des emmetropen mGE-Auges auf eine Kugelwelle abgebildet wird. Die zweite und die dritte Spalte beziehen sich auf eine einfallende Wellenfront aus 40 cm Entfernung, wobei die dritte Spalte einer exakten Kugelwelle entspricht und die zweite Spalte der Näherung zweiter Ordnung an diese Kugelwelle. Die vierte Spalte schließlich zeigt einer willkürlich gewählten Wellenfront, deren HOA nur beispielhaft gewählt sind. Tabelle 10: Aberrationen E'₂, E'₃, E'₄, E'₅, E'₆ der ausfallenden Wellenfront nach der Wellenfront-Durchrechnung von verschiedenen Wellenfronten mit Aberrationen E₂, E₃, E₄, E₅, E₆ durch das modifizierte Gullstrand-Emsley-Auge

	Aberrationen und Vorfaktor	ebene Wellenfront	Wellenfront aus 40 cm Entfernung		willkürliche Wellenfront mit HOA
	Aberrationen und Vorfaktor	ebene Wellenfront	Wellenfront 2.Ordnung (Parabel)	Kugelwelle	willkürliche Wellenfront mit HOA
Input	E ₂	0	-2.5 dpt	-2.5 dpt	-2.5 dpt
	E ₃	0	0	0	-1.0*10³ m^-2
	E ₄	0	0	-46.875 m^-3	7.0*10⁵ m^-3
	E ₅	0	0	0	-2.0*10⁸ m^-4
	E ₆	0	0	-4.39453*10³ m^-5	5.0*10¹⁰ m^-5
Output	β	1.32651	1 .26348	1.26348	1.26348
	E' ₂	79.5906 dpt	75.4005 dpt	75.4005 dpt	75.4005 dpt
	E' ₃	0	0	0	-1.50974*10³ m^-2
	E' ₄	8.47409*10⁵ m^-3	1.05563*10⁶ m^-3	1.05551*10⁶ m^-3	2.98485*10⁶ m^-3
	E' ₅	0	0	0	-8.09790*10⁸ m^-4
	E' ₆	4.51123*10¹⁰ m^-5	- 1.88462*10¹⁰ m^-5	- 1.88111*10¹⁰ m^-5	3.31012*10¹¹ m^-5

Das erfindungsgemäße Verfahren kann bevorzugt zur Optimierung von Brillengläsern eingesetzt werden, wobei dann statt des mGE-Auges die tatsächlichen biometrischen Parameter des individuellen Auges zu verwenden sind, und die Input-Wellenfront für die Durchrechnung bevorzugt eine Wellenfront zweiter Ordnung ist, die aus dem zu optimierenden Brillenglas stammt. Das Brillenglas ist dabei so zu bestimmen, dass die Output-Wellenfront in Bezug auf eine Metrik der Kugelwelle möglichst nahekommt, die auf die Retina konvergiert.

Claims

Verfahren zum Herstellen eines Brillenglases, umfassend ein Berechnen oder Optimieren des Brillenglases unter Verwendung eines Verfahrens zur Simulation eines optischen Systems mittels einer Wellenfrontdurchrechnung, wobei das optische System ein komplexes optisches System ist, dessen Wirkung über eine einzelne Brechung, eine einzelne Propagation oder eine einzelne Reflexion hinausgeht, und Bereitstellen von Fertigungsdaten des so berechneten oder optimierten Brillenglases, und/oder Fertigen des so berechneten oder optimierten Brillenglases, wobei das Verfahren zur Simulation des optischen Systems die folgenden Schritte umfasst: - Aufstellen zumindest einer Wellenfront-Transferfunktion für das optische System, wobei die Wellenfront-Transferfunktion dafür bestimmt ist, in das optische System einfallenden Wellenfronten unter Berücksichtigung von Abbildungsfehlern mit einer Ordnung größer als die Ordnung eines Defocus jeweils eine zugehörige ausfallende Wellenfront zuzuordnen; und - Auswerten der zumindest einen Wellenfront-Transferfunktion für zumindest eine in das optische System einfallende Wellenfront.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei das Verfahren ein Verfahren zur Optimierung eines optischen Gesamtsystems ist, wobei das optische System ein zweites Teilsystem des optischen Gesamtsystems darstellt und das optische Gesamtsystem zusätzlich ein erstes Teilsystem umfasst, wobei insbesondere das erste Teilsystem und/oder das zweite Teilsystem im Laufe der Optimierung variiert werden kann.
Verfahren nach Anspruch 2, wobei das erste Teilsystem ein Brillenglas und das zweite Teilsystem ein Modellauge (10) ist.
Verfahren nach Anspruch 2 oder 3, wobei die zumindest eine in das optische System einfallende Wellenfront auf Basis einer vorgegebenen Testwellenfront, welche das erste Teilsystem durchläuft, ermittelt wird.
Verfahren nach einem der Ansprüche 2 bis 4, ferner umfassend den Schritt: - Bewerten des optischen Gesamtsystems auf Basis des Ergebnisses des Auswertens der zumindest einen Wellenfront-Transferfunktion für die zumindest eine in das optische System einfallende Wellenfront, wobei das optische Gesamtsystem unter Variation des ersten Teilsystems so lange bewertet wird, bis die Bewertung eine vorgegebene Bedingung erfüllt, wobei die Variation des ersten Teilsystems insbesondere eine Änderung zumindest einer brechenden Fläche und/oder zumindest eines Abstandes zwischen brechenden Flächen des ersten Teilsystems, und/oder ein Verkippen und/oder Verschieben des ersten Teilsystems gegenüber dem zweiten Teilsystem umfasst.
Verfahren nach Anspruch 5, wobei das Bewerten des optischen Gesamtsystems auf Basis des Ergebnisses des Auswertens der zumindest einen Wellenfront-Transferfunktion für eine erste in das optische System einfallende Wellenfront und ferner auf Basis des Ergebnisses des Auswertens der zumindest einen Wellenfront-Transferfunktion für eine zweite einfallende Wellenfront vorgenommen wird, wobei sich das erste Teilsystem beim Einfallen der ersten Wellenfront in einer ersten Position und Ausrichtung zum zweiten Teilsystem befindet, wobei sich das erste Teilsystem beim Einfallen der zweiten Wellenfront in einer zweiten Position und Ausrichtung zum zweiten Teilsystem befindet, und wobei sich die erste Position von der zweiten Position und/oder die erste Ausrichtung von der zweiten Ausrichtung unterscheidet.
Verfahren nach einem der Ansprüche 5 bis 6, wobei das Bewerten des optischen Gesamtsystems auf Basis des Ergebnisses des Auswertens einer ersten Wellenfront-Transferfunktion für eine erste in das optische System einfallende Wellenfront und ferner auf Basis des Ergebnisses des Auswertens einer zweiten Wellenfront-Transferfunktion für eine weitere einfallende Wellenfront vorgenommen wird, wobei sich das erste Teilsystem beim Einfallen der ersten Wellenfront in einer ersten Position und Ausrichtung zum zweiten Teilsystem befindet, wobei sich das erste Teilsystem beim Einfallen der weiteren Wellenfront in einer zweiten Position und Ausrichtung zum zweiten Teilsystem befindet, wobei sich die erste Position von der zweiten Position und/oder die erste Ausrichtung von der zweiten Ausrichtung unterscheidet, und wobei sich die zweite Wellenfront-Transferfunktion von der ersten Wellenfront-Transferfunktion unterscheidet.
Verfahren nach einem der Ansprüche 2 bis 7, wobei das erste Teilsystem ein Brillenglas und das zweite Teilsystem ein Modellauge ist, und wobei Blickbewegungen des Modellauges, die eine Veränderung der Position des Durchstoßpunktes des Hauptstrahls durch die Brillenglasflächen und/oder eine Veränderung der Einfallswinkel auf eine Brillenglasfläche bewirken, als eine Veränderung der Position und/oder der Ausrichtung des Brillenglases im Koordinatensystem des Auges beschrieben werden.
Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche, wobei das optische System ein GRIN-System ist oder zumindest ein GRIN-Element umfasst.
Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche, wobei die zumindest eine Wellenfront-Transferfunktion die Form $E'_{p} = β^{- {\bar{r}}_{1}^{0} (p - 1)} \sum_{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{p - 1}} {\bar{b}}_{p k} β^{- Δ {\bar{r}}_{1} (p - 1, k *)} E_{2}^{k_{1}} E_{3}^{k_{2}} \dots E_{p}^{k_{p - 1}}, p = 2,3,4, \dots$
aufweist und wobei die Indizes des Tupels k = (k₁, k₂,...,k_p-1) über den Bereich P(k*) ≤ p - 2 und 0 ≤ k₁ ≤ 2(p - P(k*) - 2) + δP(k*),0 laufen, wobei P(k*) = $\sum_{j = 1}^{p - 2} j k_{j + 1},$
und wobei $- {\bar{r}}_{1}^{0} (p - 1) = p - δ_{(p - 1),1}$
und -Δr ₁(p- 1, k*) = (p - 3) + δ_(p-1),1 - P(k**) gelten, und wobei β = (-BE₂ + A)^-1 als Funktion der zumindest einen einfallenden Wellenfront und des optischen Systems gegeben ist, und wobei A, B und die Wellenfront-Transfer-Koeffizienten b _pk als Funktion der Komponenten des optischen Systems gegeben sind.
Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche, wobei sowohl die einfallenden als auch die ausfallenden Wellenfronten jeweils durch Koeffizienten zu Basiselementen eines Basissystems dargestellt werden, dessen Basiselemente nach zumindest einem Ordnungsparameter klassifiziert werden, und wobei die zumindest eine Wellenfront-Transferfunktion dadurch gegeben ist, dass sie den in das optische System einfallenden Wellenfronten die jeweils zugehörige ausfallende Wellenfront derart zuordnet, dass sie für ein in der Darstellung einer ausfallenden Wellenfront vertretenes Basiselement den Koeffizienten zu diesem in der Darstellung der ausfallenden Wellenfront vertretenen Basiselement in Abhängigkeit von Koeffizienten der zugehörigen einfallenden Wellenfront zu einer Mehrzahl derjenigen Basiselemente ermittelt, deren Wert des Ordnungsparameters kleiner oder gleich dem Wert des Ordnungsparameters des jeweiligen in der Darstellung der ausfallenden Wellenfront vertretenen Basiselements ist.
Verfahren nach Anspruch 11, wobei das Basissystem eine Zerlegung nach Aberrationen ist, wobei der Ordnungsparameter eine Ordnung p der Aberrationen ist, wobei die zu den Basiselementen des Basissystems zugehörigen Koeffizienten dadurch gegeben sind, dass ein Koeffizient p-ter Ordnung der einfallenden Wellenfront eine Aberration E_p der einfallenden Wellenfront ist und dass ein Koeffizient p-ter Ordnung der zugehörigen ausfallenden Wellenfront eine Aberration E'_p der zugehörigen ausfallenden Wellenfront ist, und wobei p ≥ 2 ist.
Verfahren nach Anspruch 11 oder 12, wobei der Ordnungsparameter ein erster Ordnungsparameter ist, und wobei die Basiselemente des Basissystems zusätzlich nach zumindest einem zweiten Ordnungsparameter klassifiziert werden, dessen Wertebereich vom Wert des ersten Ordnungsparameters abhängt.
Verfahren nach einem der Ansprüche 11 bis 13, wobei das Basissystem eine Zerlegung nach Taylor-Ableitungen von Wellenfront-Pfeilhöhen ist, wobei der Ordnungsparameter eine Ordnung p der Taylor-Ableitungen der Wellenfront-Pfeilhöhen ist, wobei die zu den Basiselementen des Basissystems zugehörigen Koeffizienten dadurch gegeben sind, dass ein Koeffizient p-ter Ordnung der einfallenden Wellenfront eine Taylor-Ableitung w^(p) der Pfeilhöhe der einfallenden Wellenfront ist und dass der Koeffizient p-ter Ordnung der zugehörigen ausfallenden Wellenfront eine Taylor-Ableitung w'^(p) der Pfeilhöhe der zugehörigen ausfallenden Wellenfront ist, und wobei p ≥ 2 ist.
Verfahren nach einem der Ansprüche 11 bis 13, wobei das Basissystem eine Zerlegung nach Taylor-Ableitungen einer Wellenfront-OPD ist, wobei der Ordnungsparameter eine Ordnung p der Taylor-Ableitungen der Wellenfront-OPD ist, wobei die zu den Basiselementen des Basissystems zugehörigen Koeffizienten dadurch gegeben sind, dass ein Koeffizient p-ter Ordnung der einfallenden Wellenfront eine Taylor-Ableitung OPD^(p) der einfallenden Wellenfront ist und dass der Koeffizient p-ter Ordnung der zugehörigen ausfallenden Wellenfront eine Taylor-Ableitung OPD'^(p) der zugehörigen ausfallenden Wellenfront ist, und wobei p ≥ 2 ist.
Verfahren nach einem der Ansprüche 11 bis 13, wobei das Basissystem eine Zerlegung nach Ableitungen von Richtungsfunktionen ist, wobei der Ordnungsparameter eine Ordnung i der Ableitungen der Richtungsfunktionen ist, wobei die zu den Basiselementen des Basissystems zugehörigen Koeffizienten dadurch gegeben sind, dass ein Koeffizient i-ter Ordnung der einfallenden Wellenfront eine Ableitung t⁽ⁱ⁾ einer Richtungsfunktion t(x) der einfallenden Wellenfront ist und dass ein Koeffizient i-ter Ordnung der zugehörigen ausfallenden Wellenfront eine Ableitung f'⁽ⁱ⁾ einer Richtungsfunktion f`(x`) der zugehörigen ausfallenden Wellenfront ist, und wobei i ≥ 1 ist.
Verfahren nach einem der Ansprüche 11 bis 13, wobei das Basissystem eine Zerlegung nach Zernike-Polynomen ist, wobei der Ordnungsparameter eine radiale Ordnung n der Zernike-Polynome ist, wobei die zu den Basiselementen des Basissystems zugehörigen Koeffizienten dadurch gegeben sind, dass ein Koeffizient n-ter Ordnung der einfallenden Wellenfront ein Zernike-Koeffizient Z_n der einfallenden Wellenfront ist und dass ein Koeffizient n-ter Ordnung der ausfallenden Wellenfront ein Zernike-Koeffizient Z'_n der zugehörigen ausfallenden Wellenfront ist, wobei n ≥ 2 ist, und wobei sich die Zemike-Koeffizienten insbesondere auf eine festgelegte Pupille beziehen.
Verfahren nach Anspruch 13, wobei das Basissystem eine Zerlegung nach Aberrationen ist, wobei der erste Ordnungsparameter die Summe p von Ordnungen p_x und p_y der Aberrationen ist, wobei der zweite Ordnungsparameter eine der Ordnungen p_x und p_y ist, wobei die zu den Basiselementen des Basissystems zugehörigen Koeffizienten dadurch gegeben sind, dass Koeffizienten p-ter Ordnung der einfallenden Wellenfront Aberrationen E_px,py der einfallenden Wellenfront sind und dass Koeffizienten p-ter Ordnung der zugehörigen ausfallenden Wellenfront Aberrationen E'_px,py der zugehörigen ausfallenden Wellenfront sind, und wobei p ≥ 2 und p_x ≥ 0 und p_y ≥ 0 sind.
Verfahren nach Anspruch 13, wobei das Basissystem eine Zerlegung nach Taylor-Ableitungen von Wellenfront-Pfeilhöhen ist, wobei der erste Ordnungsparameter die Summe p von Ordnungen p_x und p_y der Taylor-Ableitungen der Wellenfront-Pfeilhöhen ist, wobei der zweite Ordnungsparameter eine der Ordnungen p_x und p_y ist, wobei die zu den Basiselementen des Basissystems zugehörigen Koeffizienten dadurch gegeben sind, dass Koeffizienten p-ter Ordnung der einfallenden Wellenfront Taylor-Ableitungen w^(px,py) der Pfeilhöhe der einfallenden Wellenfront sind und dass die Koeffizienten p-ter Ordnung der zugehörigen ausfallenden Wellenfront Taylor-Ableitungen w'^(px,py) der Pfeilhöhe der zugehörigen ausfallenden Wellenfront sind, und wobei p ≥ 2 und p_x ≥ 0 und p_y ≥ 0 sind.
Verfahren nach Anspruch 13, wobei das Basissystem eine Zerlegung nach Taylor-Ableitungen einer Wellenfront-OPD ist, wobei der erste Ordnungsparameter die Summe p von Ordnungen p_x und p_y der Taylor-Ableitungen der Wellenfront-OPD ist, wobei der zweite Ordnungsparameter eine der Ordnungen p_x und p_y ist, wobei die zu den Basiselementen des Basissystems zugehörigen Koeffizienten dadurch gegeben sind, dass Koeffizienten p-ter Ordnung der einfallenden Wellenfront Taylor-Ableitungen OPD^(px,py) der einfallenden Wellenfront sind und dass die Koeffizienten p-ter Ordnung der zugehörigen ausfallenden Wellenfront Taylor-Ableitungen OPD'^(px,py) der zugehörigen ausfallenden Wellenfront sind, und wobei p ≥ 2 und p_x ≥ 0 und p_y ≥ 0 sind.
Verfahren nach Anspruch 13, wobei das Basissystem eine Zerlegung nach Ableitungen von Richtungsfunktionen ist, wobei der erste Ordnungsparameter die Summe i von Ordnungen i_x und i_y der Ableitungen der Richtungsfunktionen ist, wobei der zweite Ordnungsparameter eine der Ordnungen i_x und i_y ist, wobei die zu den Basiselementen des Basissystems zugehörigen Koeffizienten dadurch gegeben sind, dass Koeffizienten i-ter Ordnung der einfallenden Wellenfront Ableitungen t_x ^(ix,iy), t_y ^(ix,iy) von Richtungsfunktionen t_x(x,y), t_y(x,y) der einfallenden Wellenfront sind und dass Koeffizienten i-ter Ordnung der zugehörigen ausfallenden Wellenfront Ableitungen t'_x ^(ix,iy), t'_y ^(ix,iy) der Richtungsfunktionen t'_x(x',y'), t'_y(x',y') der zugehörigen ausfallenden Wellenfront sind, und wobei i ≥ 1 und i_x ≥ 0 und i_y ≥ 0 gilt.
Verfahren nach Anspruch 13, wobei das Basissystem eine Zerlegung nach Zernike-Polynomen ist, wobei der erste Ordnungsparameter eine radiale Ordnung n der Zernike-Polynome ist, wobei der zweite Ordnungsparameter eine azimutale Ordnung m der Zernike-Polynome ist, wobei die zu den Basiselementen des Basissystems zugehörigen Koeffizienten dadurch gegeben sind, dass Koeffizienten n-ter Ordnung der einfallenden Wellenfront Zernike-Koeffizienten Z_n ^m der einfallenden Wellenfront sind und dass Koeffizienten n-ter Ordnung der zugehörigen ausfallenden Wellenfront Zernike-Koeffizienten Z_n ^m der zugehörigen ausfallenden Wellenfront sind, wobei n ≥ 2 und -n ≤ m ≤ n gilt, wobei m für gerade n gerade ist und für ungerade n ungerade ist, und wobei sich die Zernike-Koeffizienten insbesondere auf eine festgelegte Pupille beziehen.
Computerprogrammprodukt umfassend computerlesbare Anweisungen, welche, wenn geladen in einen Speicher eines Computers und ausgeführt von dem Computer, bewirken, dass der Computer ein Verfahren gemäß einem der Ansprüche 1 bis 22 durchführt.
Vorrichtung zum Herstellen eines Brillenglases umfassend: Berechnungs- oder Optimierungsmittel, welche ausgelegt sind, das Brillenglas unter Verwendung eines Verfahrens zur Simulation eines optischen Systems mittels einer Wellenfrontdurchrechnung zu berechnen oder zu optimieren, wobei das optische System ein komplexes optisches System ist, dessen Wirkung über eine einzelne Brechung, einer einzelnen Propagation oder einer einzelnen Reflexion hinausgeht; und Bearbeitungsmittel, welche ausgelegt sind, das Brillenglas fertig zu bearbeiten; wobei das Verfahren zur Simulation des optischen Systems die folgenden Schritte umfasst: - Bereitstellen zumindest einer Wellenfront-Transferfunktion für das optische System, wobei die Wellenfront-Transferfunktion dafür bestimmt ist, in das optische System einfallenden Wellenfronten unter Berücksichtigung von Abbildungsfehlern mit einer Ordnung größer als die Ordnung eines Defocus jeweils eine zugehörige ausfallende Wellenfront zuzuordnen; und - Auswerten der zumindest einen Wellenfront-Transferfunktion für zumindest eine in das optische System einfallende Wellenfront.
Verwendung eines nach dem Herstellungsverfahren gemäß Anspruch 1 hergestellten Brillenglases in einer vorgegebenen durchschnittlichen oder individuellen Gebrauchsstellung des Brillenglases vor den Augen eines bestimmten Brillenträgers zur Korrektur einer Fehlsichtigkeit des Brillenträgers.