DE102011017113B4

DE102011017113B4 - Verfahren zur Bestimmung von Zustandsgrößen eines Akkumulators

Info

Publication number: DE102011017113B4
Application number: DE102011017113.4A
Authority: DE
Inventors: Robin De Silva; Olaf Großer
Original assignee: IAV GmbH Ingenieurgesellschaft Auto und Verkehr
Current assignee: IAV GmbH Ingenieurgesellschaft Auto und Verkehr
Priority date: 2011-04-14
Filing date: 2011-04-14
Publication date: 2017-11-09
Anticipated expiration: 2031-04-15
Also published as: DE102011017113A1

Abstract

Es ist Aufgabe der vorliegenden Erfindung, die Bestimmung des Alterungsszustandes eines Akkumulators während des Betriebes, z. B. eines Fahrzeuges, das von einer elektrischen Maschine angetrieben wird, zu verbessern und insbesondere die Dynamik der zur Bestimmung des Alterungsszustandes eines Akkumulators verarbeiteten Größen vollständig zu berücksichtigen und dem Messrauschen Rechnung zu tragen. Diese Aufgabe wird erfindungsgemäß mittels eines Verfahrens zur Bestimmung von Zustandsgrößen eines Akkumulators mit einem dreifachen erweiterten Kalman-Filter gelöst, bei dem mit einem ersten Kalman-Filter die Berechnung des Ladezustandes und der durch den Strom erzeugten schnellen und langsamen Überspannungen erfolgt und bei dem mit einem zweiten Kalman-Filter eine Berechnung des Innenwiderstandes erfolgt und bei dem mit einem dritten Kalman-Filter die Berechnung der Zellkapazität erfolgt.

Description

Die vorliegende Erfindung betrifft ein Verfahren zur Bestimmung von Zustandsgrößen eines Akkumulators mit den Merkmalen des Patentanspruches 1.
Zum optimalen Betrieb von Akkumulatoren ist es notwendig, den Alterungsszustand der einzelnen Zellen, auch bekannt als „State of Health” (SOH), zu ermitteln. Dies ist besonders wichtig für den Betrieb von Hochvolt-Traktions-Akkumulatoren in Elektro- und Hybridfahrzeugen, da der SOH direkte Auswirkungen auf die Reichweite des Elektrofahrzeugs und den Verbrauch bei Hybridfahrzeugen hat. Durch eine genaue Ermittlung des SOH kann die Leistungsfähigkeit der einzelnen Zellen und die Lebensdauer des gesamten Hochvolt-Traktions-Akkumulators bestimmt werden. Bisher bekannte Verfahren zur Bestimmung des SOH nehmen einen den SOH bestimmenden Parameter, wie den Innenwiderstand oder die Kapazität, als konstant an und legen ihren Algorithmus für statische Stromprofile aus. In Bezug auf die Bestimmung des SOH für Blei-Akkumulatoren finden sich einige Verfahren in der Literatur wieder, beispielsweise in dem Fachartikel „Cox, Michael und Fritsch, Mike: Automotive ”Smart” Battery with State of Health Conductance Testing and Monitoring Technology (onGUARD^®), in: SAE 2003 World Congress & Exhibition, (2003), S. 1–7.” Anhand des Kapazitätsverlustes wird auf den SOH geschlossen. Für Lithium-Ion-Zellen stehen ähnliche Modelle zur Verfügung. Mit Hilfe eines elektrochemischen Batteriemodells kann z. B. gemäß dem Fachartikel „Fuller, Thomas F.; Doyle, Marc; Newmann, John: Simulation and optimization of the dual lithium ion insertion cell, in: Journal of the Electrochemical Society, (1994), 141, S. 1–10.” die Zellkapazität bestimmt werden. Gemäß dem Bericht „Rakhmatov, Daler; Vrudhula, Sama; Wallach, Deborah A.: Battery lifetime prediction for energy-aware computing, in: Proceedings of the 2002 international symposium on Low power electronics and design, (2002), 6, S. 154–159” wurde ein elektrochemisches Modell für Lithium-Ion-Batterien in tragbaren Elektrogeräten entwickelt, um die Batterielebensdauer zu bestimmen. Gemäß dem Artikel „Spotnitz, R.: Simulation of capacity fade in lithium-ion batteries, in: Journal of Power Sources, (2003), 1 (113), S. 72–80.” wurde das Modell erweitert, indem eine SEI-Schicht (Solid Electrolyte Interface) implementiert und der Zusammenhang zwischen der Impedanzänderung und dem Kapazitätsverlust analysiert wurde. Gemäß dem Beitrag „Ramadass, P.; Haran, Bala; Gomadam, Parthasarathy M.; White, Ralp; Popov, Branko N.: Development of First Principles Capacity Fade Model for Li-Ion Cells, in: Journal of the Electrochemical Society, (2004), 151, S. A196–A203.” konnte durch Implementierung der Lösungsreduktions-Reaktion im elektrochemischen Basismodell eine Möglichkeit bereitgestellt werden, den Kapazitätsverlust zu bestimmen. Bisherige Methoden zur Bestimmung des SOH einer Lithium-Ion-Batterie verwenden unter Laborbedingungen das Verfahren der Impedanzspektroskopie. Dieses Verfahren ist aufgrund seiner Komplexität und des Rechenaufwandes nicht in einem Fahrzeug einsetzbar, vergleiche z. B. „Buller, S.: Impedance-Based Simulation Models for Energy Storage Devices in Advanced Automotive Power Systems, 31, Diss., Shaker – Aachener Beiträge des ISEA, Aachen, 2002.„. Sofern die Batterieparameter im Fahrzeug bestimmt werden sollen, werden immer einige Zustandsgrößen, wie z. B. der Innenwiderstand, als konstant angenommen, z. B. in „Haifeng, Dai; Xuezhe, Wei; Zechang, Sun: A New SOH Prediction Concept for the Power. Lithium-ion Battery Used on HEVs, in: Vehicle Power and Propulsion Conference, 2009. VPPC '09. IEEE, (2009), S. 1649–1653.”. Eine Ausnahme wird in „Plett, Gregory L.: Sigmapoint Kalman filtering for battery management systems of LiPB-based HEV battery packs. Part 1: Introduction and state estimation, in: Journal of Power Sources, (2006), 161, S. 1356–1368.” dargestellt, der ansatzweise anhand eines Sigma-Punkt Kalman-Filters die Berechnung der Systemzustände und -parameter zeigt, jedoch von einem statischen Stromprofil ausgeht. Die beschriebenen Verfahren ermitteln den SOH aus einem vorgegebenen Stromverlauf. Ein Verlauf, welcher einem realen Fahrzyklus entspricht, wurde bisher nicht verwendet. Der Unterschied zwischen dem vorgegebenen und dem realen Fahrzyklus liegt in der Dynamik des Stromes. Während bei ersterem der Stromverlauf statisch ist und keine großen Sprünge zwischen dem Entlade- und Ladestrom vorliegen, findet beim realen Fahrzyklus der Wechsel zwischen Entladen und Laden dynamisch statt, wodurch die Identifikation der Zustandsgrößen erschwert wird. Anders gesagt, besteht das System aus mehreren Zustandsgrößen, die sich unterschiedlich schnell ändern (wie z. B. der Ladezustand mit dem Eingangsstrom, während die Kapazität beim Fahrzyklus relativ konstant bleibt), muss eine Trennung der Zustandsgrößen in einem erweiterten Kalman-Filter stattfinden. Dies kann z. B. mittels eines Joint- oder eines Dualen-EKF erfolgen, wie in dem Bericht „Plett, Gregory L.: Dual and Joint EKF for Simultaneous SOC and SOH Estimation, in: EVS21, (2005), S. 1–12.” beschrieben. Gemäß dem Dokument DE 103 28 721 A1 ist ein Verfahren zur Vorhersage einer Restlebensdauer eines elektrischen Energiespeichers Stand der Technik, wobei die Restlebensdauer durch Extrapolation mit Hilfe eines mathematischen Modells des Energiespeichers ermittelt wird. Diese Restlebensdauer wird als Zeit bis zum Erreichen festlegbarer Grenzwerte für die Mindestleistung oder Mindestspeicherfähigkeit festgelegt. Die Restlebensdauer sowie eine Warnung bei Unterschreiten eines vorgebbaren Schwellwertes werden angezeigt. Die Parameter des Energiespeichers werden über die Lebensdauer kontinuierlich an die realen Werte adaptiert. Aus den in regelmäßigen Zeitabständen anhand des Modells berechneten und gespeicherten Werten der auf einen vorgebbaren Ladezustand und Temperatur bezogenen Leistungsfähigkeit und/oder Speicherfähigkeit und den für den jeweiligen Anwendungsfall geforderten Mindestwerten wird die zu erwartende Restlebensdauer durch Extrapolation bestimmt. Gemäß dem Dokument US 2005/0057255 A1 ist weiterhin ein Verfahren zur Schätzung eines Ladungszustands und eines Gesundheitszustandes einer elektrochemischen Zelle bekannt, welches die Modellierung dieser Zelle anhand einer linearen Gleichung umfasst. Die lineare Gleichung wird durch einen zeitvariablen Zustands- und Parameterschätzer basierend auf einem End-Strom, einer Klemmenspannung und einer Temperatur verarbeitet, um Zustände und Parameter dieser Zelle zu bestimmen. Vor dem Hintergrund des Standes der Technik ist es Aufgabe der vorliegenden Erfindung, die Bestimmung des Alterungsszustandes eines Akkumulators während des Betriebes, z. B. eines Fahrzeuges, das von einer elektrischen Maschine angetrieben wird, weiter zu verbessern und insbesondere die Dynamik der zur Bestimmung des Alterungsszustandes eines Akkumulators verarbeiteten Größen vollständig zu berücksichtigen und dem Messrauschen Rechnung zu tragen.
Diese Aufgabe wird erfindungsgemäß mittels eines Verfahrens zur Bestimmung von Zustandsgrößen eines Akkumulators mit einem dreifachen erweiterten Kalman-Filter gelöst, bei dem mit einem ersten Kalman-Filter die Berechnung des Ladezustandes und der durch den Strom erzeugten schnellen und langsamen Überspannungen erfolgt und bei dem mit einem zweiten Kalman-Filter eine Berechnung des Innenwiderstandes erfolgt und bei dem mit einem dritten Kalman-Filter die Berechnung der Zellkapazität erfolgt, mit folgenden Schritten:

a.) Berechnung des Ladezustandes mittels des ersten Kalman-Filters unter der Annahme, dass die Zellkapazität konstant ist,
b.) Bestimmung der Konvergenzzeit des Ladezustandes,
c.) Berechnung des Innenwiderstandes mittels des zweiten Kalman-Filters mit einer definierbaren Verzögerung unter der Annahme, dass die Zellkapazität konstant ist,
d.) Berechnung der Zellkapazität mittels des dritten Kalman-Filters mit einer von der Konvergenzzeit des Ladezustandes abhängigen Verzögerung,
e.) Berechnung des Alterungszustandes des Akkumulators in Abhängigkeit der gemäß Schritt a.), c.) und d.) berechneten Zustandsgrößen.

Erfindungsgemäß vorteilhaft werden zunächst mittels dieses dreifachen erweiterten Kalman-Filters alle zu adaptierenden Größen voneinander getrennt, da diese sich im Laufe eines Fahrzyklus unterschiedlich schnell ändern, so dass sämtliche Abhängigkeiten der Zellgrößen untereinander korrekt definiert werden können.
Dadurch, dass gemäß Schritt b.) die Konvergenzzeit des Ladezustandes des Akkumulators bestimmt und bevorzugt abgespeichert wird, ergibt sich der Vorteil, dass eine Grundlage zur Entscheidung bereitsteht, wann eine Berechnung der Zellkapazität ohne ein Überschwingen bzw. einen erheblichen Fehler möglich ist. Die Konvergenzzeit des Ladezustandes des Akkumulators entspricht dabei der Zeit, welche vergeht, bis der Ladezustand einen bestimmten stabilen Wert annimmt oder in einem definierten Wertebereich liegt.
Dadurch, dass gemäß Schritt c.) die Berechnung des Innenwiderstandes mit einer Verzögerung erfolgt, ist es vorteilhaft möglich, übermäßig stark von der Realität abweichende berechnete Werte des Innenwiderstandes zu vermeiden, da die Initialisierungsfehler bei der Berechnung des Ladezustandes des Akkumulators zunächst ausgeblendet werden. Die Verzögerung kann z. B. in Abhängigkeit des Fehlers bei der Berechnung des Ladezustandes des Akkumulators erfolgen.
In einer vorteilhaften Ausführung ist es erfindungsgemäß vorgesehen, das Messrauschen der verwendeten Kalman-Filter zu korrigieren. Auf diese Weise können auch Änderungen von Größen, die kleiner oder gleich dem Messrauschen sind, vom Kalman-Filter herausgefiltert werden. Das wird z. B. für die Berechnung des Ladezustandes mittels des ersten Kalman-Filters dadurch erreicht, dass in Abhängigkeit einer Differenz zwischen der gemessenen und der vom ersten Kalman-Filter im Rahmen der Berechnung des Ladezustandes ebenfalls berechneten Batteriespannung eine Umschaltung zwischen verschiedenen Werten für das Messrauschen erfolgt. Durch diese Korrektur des Messrauschens schwingt das System auch bei großen Initialisierungsfehlern sehr schnell ein und außerdem werden so plötzlich auftretende große Messfehler übersprungen. Der Wechsel zwischen den Werten für das Messrauschen erfolgt bevorzugt mittels eines Übertragungsgliedes 1. Ordnung, so dass ein Überschwingen durch eine zu große Kalman-Verstärkung, hervorgerufen durch den Wechsel der Werte für das Messrauschen, vermieden wird.
In einer weiteren vorteilhaften Ausführung ist es erfindungsgemäß vorgesehen, dass solange gemäß Schritt d.) die Berechnung der Zellkapazität mittels des dritten Kalman-Filters verzögert ist, da der Ladezustand noch konvergiert bzw. noch nicht einen bestimmten stabilen Wert annimmt oder in einem definierten Wertebereich liegt, dennoch eine Berechnung der Zellkapazität mittels des dritten Kalman-Filters auszuführen, indem der Berechnung der Zellkapazität solange die gemessene Batteriespannung zu Grunde gelegt wird. Wenn jedoch der Ladezustand nicht mehr konvergiert bzw. einen bestimmten stabilen Wert annimmt oder in einem definierten Wertebereich liegt, erfolgt die Berechnung der Zellkapazität auf Grundlage der mittels des ersten Kalman-Filters modellierten Batteriespannung.
Weitere vorteilhafte Ausgestaltungen sind den abhängigen Patentansprüchen und dem nachfolgenden Ausführungsbeispiel zu entnehmen.
Dabei zeigen:
1: den Zusammenhang zwischen der Kapazität und dem Ladezustand,
2: den Ablauf der Berechnung des Ladezustandes,
3: den Zusammenhang zwischen dem Ladezustand und der Leerlaufspannung,
4: ein Modell eines Akkumulators,
5: das dreifache erweiterte Kalman-Filter,
6: den Verlauf der Alterung der Kapazität,
7: eine graphische Darstellung des totalen Differentials,
8: eine Darstellung einer Regelung des Messrauschens,
9: ein Detail der Regelung des Messrauschens.
Der Alterungszustand der Zelle eines Akkumulators SOH kann z. B. in Prozent angegeben werden. Vor der Inbetriebnahme (engl. BOL = Begin-of-Life) hat die Zelle 100% SOH, 0% SOH liegen beim Lebenszyklusende (engl. EOL = End-of-Life) vor. Der EOL wird erreicht, wenn z. B. nur noch 80% der Nennkapazität zur Verfügung stehen, der Innenwiderstand sich verdoppelt hat oder die Zelle nicht mehr die geforderte Leistung erbringen kann. Der SOH repräsentiert die Alterung der Leistungsparameter (Innenwiderstand und Kapazität) eines Akkumulators bzw. einer Batterie und ihre Eignung, die geforderte Leistung im Kontrast zu einer neuen Batterie zu liefern. Er ist somit eine Interpretation der Messung der Zellparameter. Die Interpretation hängt von der Wahl der Gewichtungsfaktoren in Gleichung 1 ab. Je nach Fahrzeugtyp (Elektrofahrzeug oder Hybridfahrzeug) müssen die SOH-bestimmenden Parameter gemäß Gleichung 1 anders gewichtet werden, denn ein reines Elektrofahrzeug stellt wesentlich größere Anforderungen an seine Traktionsbatterie, als ein Hybridfahrzeug. Die Kapazität der Batterie bestimmt hier die Reichweite. Beim Hybridfahrzeug wird die Traktionsbatterie durch den Verbrennungsmotor unterstützt. Schnelle und hohe Leistungsanforderungen werden von der Batterie gefordert. Hier spielt die Erhöhung des Innenwiderstandes der Batterie eine wesentliche Rolle. Je größer der Innenwiderstand, desto größer die Spannung U_Ri, die an ihm abfällt. Folglich steht bei einem hohen Innenwiderstand weniger Gesamtleistung zur Verfügung. Für eine exakte Bestimmung des SOH ist daher eine Wichtung der beiden Parameter α und β notwendig. Für ein Hybridfahrzeug, welches hohe und schnelle Leistungsanforderungen an seine Traktionsbatterie stellt, müsste der Innenwiderstand höher gewichtet werden, beim Elektrofahrzeug würde der umgekehrte Fall vorliegen. Die Gewichtung kann nach der Gleichung 1 umgesetzt werden. Die Parameter α und β stellen hierbei die Gewichtungsfaktoren (in Prozent) dar.
Der Ladezustand (engl. SOC – State-of-Charge) ist eine elementare Zustandsgröße eines Akkumulators. Der SOC repräsentiert die aus einem Akkumulator noch entnehmbare Lademenge. Er wird allgemein in Prozent oder Amperestunden angegeben. Der SOC bezieht sich auf die nominale Kapazität C_n. Er wird gemäß Gleichung 2 SOC = SOC_o + 1/C_n·∫I(t)dt (2) mit SOC_o als Anfangsladezustand und I(t) als zeitlich veränderlicher Eingangsstrom berechnet. Die nominale Kapazität C_n wird aus dem Datenblatt des Herstellers entnommen und auch als Nennkapazität bezeichnet. Für die Normierung des SOC wird oftmals die aktuelle Kapazität anstatt der Nennkapazität verwendet. Dies ist dann sinnvoll, wenn eine gleichzeitige Information zur aktuellen Kapazität ausgegeben wird bzw. vorhanden ist. Die Normierung des SOC auf die aktuelle Kapazität folgt dann dem in 1 dargestellten Verlauf. Der Vorteil dieser Darstellungsweise ist, dass die oberen und unteren Grenzen des SOC sich in Abhängigkeit der Kapazität ändern, was zu einer genaueren Angabe des SOC führt. Die Adaption bzw. die Berechnung des SOC folgt dem in 2 dargestellten Verlauf. Durch die Integration des Stromes entsteht der SOC in Amperestunden. Die Normierung mit der Kapazität führt zu dem SOC in Prozent, aus dem anhand der in 3 gezeigten OCV-SOC-Kennlinie auf die Leerlaufspannung (engl. OCV – Open Circuit Voltage) geschlossen werden kann.
Durch die Korrektur der Leerlaufspannung wird der SOC neu angepasst. Sofern die Nennkapazität zur Normierung benutzt wird, stimmt zwar die OCV, aber der SOC wird falsch adaptiert, denn bezogen auf die Leerlaufspannung bleibt der SOC gleich. Das Verhältnis der beiden Größen zueinander ist im Datenblatt der jeweiligen Zelle definiert. Jedem Spannungswert der Zelle wird genau ein Ladezustandswert zugeordnet.
Für weitere Betrachtungen ist das Modell eines Akkumulators in den Zustandsraum zu übertragen. Die folgenden Differentialgleichungen sind in Anlehnung an das in 4 dargestellte elektrische Ersatzschaltbild einer Batterie aufgestellt.
Das Ersatzschaltbild setzt sich aus der Leerlaufspannung OCV, einer Spannung U_R die am Innenwiderstand R_i der Lithium-Ion-Zelle abfällt und den Spannungen U_s (für schnelle dynamische Änderungen (s)) und U_l (für langsame dynamische Änderungen (l)) an den Tiefpässen zusammen. Die Leerlaufspannung ist als Funktion des Ladezustandes SOC definiert. Zwischen diesen beiden Größen besteht ein nichtlinearer Zusammenhang, der durch die OCV-SOC-Kennlinie wiedergegeben wird, wie in Gleichung 3 gezeigt. OCV = f(SOC) (3)
Dabei bezieht sich f(SOC) auf die oben beschriebene Definition des SOC mit der Normierung auf C_akt, siehe Gleichung 4.
Für die Ermittlung der OCV-SOC-Kennlinie wird z. B. ein Polynom vierten Grades erstellt. Für die Erstellung des Polynoms wird die Abhängigkeit der Leerlaufspannung von dem Ladezustand aus dem Datenblatt z. B. in Matlab eingelesen und anhand der Matlab-Funktion „polyfit” das Polynom erzeugt, siehe Gleichung 5. OCV = f(SOC) = a·SOC⁴ + b·SOC³ + c·SOC² + d·SOC + e. (5)
Der Strom wird so definiert, dass ein positiver Wert die Batterie im Fahrzeug lädt und ein negativer diese entlädt. Die Berechnung für den Lade- und Entladewiderstand ist identisch und folgt dem Ohmschen Gesetz, siehe Gleichung 6. U_R(t) = R_i(t)·I_Batt(t) (6)
Für die Berechnung des ersten Tiefpasses gilt gemäß Gleichung 7: U_s(t) = U_s(t₀) + 1/C_s·∫I(t)dt – 1/(C_s·R_s)·∫U_s(t)dt. (7)
Analog wird gemäß Gleichung 8 der zweite Tiefpass berechnet: U_l(t) = U_l(t₀) + 1/C_l·∫I(t)dt – 1/(C_l·R_l)·∫U_l(t)dt (8)
Die aufgestellten Gleichungen 3 bis 8 müssen für die weitere Berechnung in den diskreten Bereich überführt werden. Eine detaillierte Beschreibung zur Überführung in den diskreten Zeitbereich findet der Fachmann in den Standartwerken zur Regelungstechnik. Aus Gleichung 3 folgt wie in Gleichung 9 gezeigt: OCV_k = f(SOC_k). (9)
Die Auflösung des Integrals aus Gleichung 4 kann mit Hilfe eines diskreten Zeitintervalls Δt = t₁ – t₀ durchgeführt werden, siehe Gleichung 10. SOC_k = SOC_k-1 + Δt·I_k-1/C_akt (10)
Für das Ohmsche Gesetz ergibt sich U_R,k = R_i,k-1·I_k-1. (11)
Für die Gleichungen 7 und 8 wird ebenfalls für die Diskretisierung das genannte diskrete Zeitintervall verwendet: U_s,k = (1 – Δt/τ_s)·U_s,k-1 + Δt/C_s·I_k-1 (12) mit τ_s = C_s·R_s, U_l,k = (1 – Δt/τ_l)·U_l,k-1 + Δt/C_l·I_k-1 (13) mit τ_l = C_l·R_l.
Aus dem Maschenumlauf und unter Berücksichtigung der Stromrichtung ergibt sich U_k = OCV_k – U_R,k – U_s,k – U_l,k. (14)
Aus den Gleichungen 10 bis 14 können die Zustandsmatrizen und -vektoren für den Zustandsraum aufgestellt werden, wobei eine ausführliche Erläuterung zur Aufstellung der Zustandsmatrizen und -vektoren der Fachmann ebenfalls Standartwerken entnehmen kann. Da der Innenwiderstand R_i,k mehrere Abhängigkeiten aufweist, u. a. vom Strom, Ladezustand und der Temperatur und nicht konstant ist, wird der Innenwiderstand direkt in den Zustandsvektor hineingeschrieben. Die Berechnung der dort abfallenden Spannung erfolgt nachträglich über das Ohmsche Gesetz.
Gleichung 15 ergibt sich aus der Systemmatrix
der Eingangsmatrix
und dem Zustandsvektor
Aus der Systemausgangsgleichung (14) ergibt sich y_k = OCV_k – U_R,k – U_s,k – U_l,k = f(SOC_k) – R_i,k·I_k – U_s,k – U_l,k (16) mit der Ausgangsmatrix C = [1-1-1-1].
Für R_s, R_l, C_s und C_l können folgende Initialisierungswerte für eine Lithium-Ion-Zelle angenommen werden: R_s = 0.928 mΩ, R_l = 1.977 mΩ, C_s = 980 F und C_l = 1018 F. Die Werte werden während der Simulation anhand der Sprungantwort der Zelle angepasst.
Das in 5 dargestellte dreifache erweiterte Kalman-Filter besteht aus einem ersten Kalman-Filter zur Berechnung des Ladezustandes SOC_akt und der Spannungen U_s und U_l der RC-Glieder, einem zweiten Kalman-Filter zur Berechnung des Innenwiderstandes R_i,akt, sowie einem dritten Kalman-Filter zur Berechnung der Kapazität C_akt. Eine Trennung der zu adaptierenden Größen ist notwendig, da diese sich im Laufe eines Fahrzyklus unterschiedlich schnell ändern. Entscheidend für die Detektierbarkeit der Parameteränderung ist ihre Größe. Änderungen, die kleiner oder gleich dem Messrauschen sind, können vom jeweiligen Kalman-Filter nicht herausgefiltert werden. Der Ladezustand ändert sich kontinuierlich mit dem Strom. Somit ist die Differenz zwischen aktuellem und vorherigem Wert abhängig von der Stromamplitude. Beim Innenwiderstand besteht nicht nur eine Stromabhängigkeit, sondern auch eine Abhängigkeit vom SOC und der Temperatur. Der momentane SOC bestimmt maßgeblich die Größe des Innenwiderstandes. Diese Änderung liegt im Bereich von +/–0,06 mΩ und kann während eines Fahrzyklus von Rauschsignalen überlagert werden. Zur Berechnung der Kapazität muss zunächst der korrekte Ladezustand ermittelt werden, da dieser für die Linearisierung der Systemmatrix benötigt wird. Dies wird sich im Weiteren anhand des totalen Differentials zeigen. Während eines Fahrzyklus ändert sich die Kapazität in Hinblick auf die Alterung der Zelle nicht. Für die erweiterten Kalman-Filter müssen die Zustandsraummatrizen und -vektoren neu angepasst werden. Da das erweiterte Kalman-Filter für ein nichtlineares System ausgelegt wird, muss dementsprechend der zu berechnende Zustandsvektor als Funktion seiner Zustands- und Eingangsgrößen zusammengefasst werden. Aus Gleichung 15 ergeben sich die Gleichungen x_1,k+1 = f₁(x_1,k, u_k, θ_k), (17) x_2,k+1 = f₂(x_2,k, u_k) (18) und θ_k+1 = θ_k + ψ θ / k (19) mit
Aus Gleichung 16 folgt: y_k = h_k(x_1,k, x_2,k, u_k, θ_k). (20)
Für die Filter ergeben sich folgende Zustandsraummatrizen und -vektoren:
und A_{2 bzw. θ} = [1], B_{2 bzw. θ} = [0], C_2,θ = [1].
Diese Matrizen und Vektoren werden in die Gleichungen 17 bis 20 eingesetzt.
x_2,k+1 = f₂(x_2,k, u_k) = [1]·(R_i,k) (22) θ_k+1 = [C_akt,k] + ψ θ / k (23) U_k = g(SOC_k, C_akt,t, R_i,k, U_s,k, U_l,k) = OCV(SOC_k, C_akt,k) – R_i,k·I_k – U_s,k – I_l,k (24)
Eine Untersuchung auf Beobachtbarkeit und Steuerbarkeit zeigt, dass die Zustandsraumgleichungen des ersten Systems vollständig steuerbar und beobachtbar sind. Beim zweiten und dritten System liegt keine vollständige Beobachtbarkeit und Steuerbarkeit in Bezug auf das gesteuerte System f(x, u) vor. Für das autonome System f(x) ist eine Beobachtbarkeit, aber keine Steuerbarkeit vorhanden. Liegt keine Steuerbarkeit vor, können die Zustandsgrößen nicht von außen beeinflusst bzw. gesteuert werden. Die Beobachtbarkeit reicht aber aus, damit das erweiterte Kalman-Filter richtig funktioniert. Dies wird auch durch die Linearisierung in jedem Berechnungsschritt erreicht. Zusätzlich wird bei der Kapazitätsberechnung ein Rauschen ψ θ / k aufaddiert, siehe Gleichung 23, um das Kalman-Filter für eine sehr kleine Änderung der Kapazität (wenige mAh) zu sensibilisieren, da die Alterung der Kapazität dem in 6 dargestellten Verlauf folgt. Die Darstellung in 6 kann der Literaturstelle „Spotnitz, R.: Simulation of capacity fade in lithium-ion batteries, in: Journal of Power Sources, (2003), 1 (113), S. 72–80.” entnommen werden. Befindet sich der momentane Kapazitätswert im Bereich B und C ist eine Änderung der Kapazität während der Fahrt nicht messbar. Im Bereich A und D hingegen, ist die Änderung der Kapazität so groß, dass diese auch während der Fahrt messbar ist. Diese Änderung würde aber vom Messrauschen überlagert werden. Durch das Rauschsignal wird die Kapazität in jedem Schritt neu angepasst, da der Fehler ε ungleich Null bleibt. Das Rauschen ist normalverteilt in einem Wertebereich von –0,001 bis 0,001 (entspricht +/–1 mAh) mit einem Erwartungswert Null.
Die Gleichungen 17 bis 24 stellen die Grundgleichungen der erweiterten Kalman-Filter im diskreten Zeitbereich dar. Aufgrund der Nichtlinearität des Systems ist zudem eine Linearisierung im momentanen Arbeitspunkt erforderlich. Diese erfolgt in Abhängigkeit der entsprechenden Zustandsgröße und fließt direkt in die Berechnung der Kalman-Verstärkung mit ein. Dazu müssen die Ableitungen von U_k nach SOC_k, R_i,k, U_s,k, U_l,k und nach C_akt,k berechnet werden. Für die Ableitung nach dem Ladezustand, Innenwiderstand und den beiden Spannungen der Übertragungsfunktionen kann die partielle Ableitung verwendet werden und ergibt für den Ladezustand:
Die Lösung dieser Ableitung ist die Ableitung des Polynoms, welches die Abhängigkeit der Leerlaufspannung vom Ladezustand definiert. Die partiellen Ableitungen der übrigen Zustandsgrößen ergeben
Die Berechnung der Ableitung von C_akt,k erfordert das totale Differential, wie in dem Bericht „Plett, Gregory L.: Dual and Joint EKF for Simultaneous SOC and SOH Estimation, in: EVS21, (2005), S. 1–12.” beschrieben, da U_k vom Ladezustand abhängig ist und dieser wiederum von der aktuellen Kapazität. Formell lässt sich dies als U_k = g(SOC_k) = g(f(C_akt,k)) beschreiben. Während die partielle Ableitung nur Informationen in Richtung der jeweiligen Größe, nach der abgeleitet werden soll, enthält, berücksichtigt das totale Differential die gesamten Informationen über die Ableitung, siehe Gleichungen 29 und 30.
Der Term
darf Null gesetzt werden, da die Leerlaufspannung nach 3 unabhängig von der Kapazität definiert ist.
Mit SOC – / k = SOC + / k – 1 + Δt/C_akt,k·I_k folgt
Wird SOC + / k – 1 = SOC – / k – 1 + K_k-1[U_Batt – g(SOC_k-1, C_akt,k, R_i,k-1, U_s,k-1, U_l,k-1)] in Gleichung 31 eingesetzt, ergibt sich:
Die Lösung der letzten Gleichung muss rekursiv erfolgen. Zur Initialisierung der nachfolgenden Rekursionsschritte werden die Terme des totalen Differentials gleich Null gesetzt. Dabei wird angenommen, dass die Kalman-Verstärkung keine Funktion der Kapazität ist. Die Verstärkung ist zwar abhängig von der Kapazität, diese ist aber vernachlässigbar klein und stünde im keinen Verhältnis zum Berechnungsaufwand. 7 zeigt die graphische Darstellung des totalen Differentials anhand einer Regelschleife.
Das Aufstellen der restlichen Matrizen (Kovarianz und Messrauschen) erfolgt nach Simulationsergebnissen, Erfahrungs- und Literaturwerten und wird im Laufe der Simulation einmalig angepasst. Für die Kovarianzmatrix aus dem ersten Kalman-Filter zur Berechnung des Ladezustandes SOC ergibt sich:
Als Richtlinie gilt hier: Ein Wert kleiner als 0,01 gibt dem Modell an, dass der Initialisierungswert der jeweiligen Zustandsgröße relativ genau ist. P_SOC,0(1,1) gibt die Sicherheit des Initialisierungswertes für den Ladezustand an. Da das Modell den zuletzt bekannten Wert speichert, die Zelle sich aber auch selbst entlädt, wird hier der Wert 1 angenommen. Für die Initialisierungswerte der Spannungen an den RC-Gliedern kann ein geringerer Wert eingetragen werden, da die Diffusions- und Polarisationsvorgänge erst bei Belastung der Batterie Einfluss gewinnen. Ihr Wert ist abhängig von der Stromgröße, da diese aber zum Simulationsstart gleich Null ist, können die Spannungen ebenfalls als Null angenommen werden. Für die Kovarianzmatrizen aus dem zweiten Kalman-Filter zur Berechnung des Innenwiderstandes und dem dritten Kalman-Filter zur Berechnung der Zellkapazität ergibt sich analog zum Kovarianzwert des Ladezustandes: P_Ri,0 = 1 (34) bzw. P_C,0 = 1. (35)
Das Messrauschen R_SOC,k wird für die Berechnung des Ladezustandes in Abhängigkeit des Fehlers ε definiert. Auf diese Weise schwingt das System bei einem großen Initialisierungsfehler sehr schnell ein. Außerdem werden große plötzliche Messfehler übersprungen. Der Fehler ε wird in Prozent angegeben. Der Wechsel zwischen den unterschiedlichen Werten erfolgt mit einer Übertragungsfunktion 1. Ordnung, um ein Überschwingen durch eine zu große Kalman-Verstärkung (hervorgerufen durch den Wechsel der Werte für das Messrauschen) zu vermeiden. Das Messrauschen wird definiert als:
Für die Berechnung des Innenwiderstandes wird das Messrauschen in Abhängigkeit der Stromgröße definiert. R_Ri,k+1 = R_Ri,k·(1 + K_p(I_akt – I_ref)) (37)
Dabei ist K_p = 0,001 der Verstärkungsfaktor und I_Ref = C² (mit C = Cn/Stunde) der Referenzstrom. Die Werte für K_p und I_Ref werden anhand von Simulationsdurchläufen an das Modell angepasst. Wird die Implementierung nach Gleichung 37 durchgeführt, würde das Messrauschen immer kleiner werden, weshalb ein Schalter eingesetzt wird, der das Messrauschen in Abhängigkeit der Größe des Stromes regelt und zwischen der Gleichung 37 und einem konstanten Wert für das Messrauschen wechselt, siehe 8. Dieser Wert wird entsprechend groß gewählt (= 10), um auch für kleine Ströme eine Anpassung des Innenwiderstandes zu garantieren. Für die Kapazitätsberechnung muss das Messrauschen R_C,k in Abhängigkeit der Konvergenzzeit der Ladezustandsberechnung und des Fehlers ε definiert werden. Eine Berechnung der Kapazität während der Ladezustand gegen den Sollwert konvergiert, würde aufgrund des relativ großen Fehlers ε zu einer zu großen Kalman-Verstärkung führen. Dies führt wieder zu einem Überschwingen in der Kapazitätsberechnung und eine Erhöhung der Konvergenzzeit. Damit keine Anpassung der Kapazität durch das Filter durchgeführt wird, muss der Fehler ε Null gesetzt werden. Um dies zu erreichen, wird, während der Ladezustand konvergiert, dem Kalman-Filter zur Berechnung der Kapazität die gemessene Batteriespannung anstatt der modellierten übergeben.
Weiterhin darf die Kapazität nach der Konvergenzzeit des Ladezustandes nicht sofort angepasst werden. Da die Genauigkeit des Batteriemodells zwischen einem Minimum und Maximum (+/–|εmax|) liegt, kann es sein, dass der Fehler ε auch nach der Konvergenzzeit des Ladezustandes nicht Null ist. Eine Berechnung der Kapazität sofort nach dieser Zeit führt dazu, dass, falls zu diesem Zeitpunkt |εmax| anliegt, die Kalman-Verstärkung für die Kapazitätsberechnung zu groß gewählt wird und zu einem Überschwingen führt.
Deshalb wird die Größe des momentanen Fehlers ε nach der Einschwingzeit kontrolliert. Bei einem Fehler größer als ein vordefinierter Referenzwert, wird ein großer Wert (R_C,k = 10) für das Messrauschen übergeben, so dass noch keine bzw. nur eine langsame Anpassung der Kapazität durch das Kalman-Filter stattfinden kann und der ermittelte Kapazitätswert in jedem Abtastschritt nahezu unverändert übergeben wird. Ein großer Fehler würde zu einer großen Verstärkung führen und die Kapazität zunächst falsch adaptieren und ihre Konvergenzzeit erhöhen. Bei einem Fehler kleiner als der Referenzwert, wird ein Schalter umgelegt, der das Messrauschen dauerhaft auf einen festen Wert (R_C,k = 0,1) setzt.
Realisiert wird dies über einen R-S-Flip-Flop, bei dem nur der Set-Eingang benutzt wird. Der nichtinvertierte Flip-Flop-Ausgang legt dabei den Schalter in 9 um. Eine Anpassung der Kapazität durch das Kalman-Filter wird daraufhin vorgenommen.
Es gilt

Claims

Verfahren zur Bestimmung von Zustandsgrößen eines Akkumulators mit einem dreifachen erweiterten Kalman-Filter, bei dem mit einem ersten Kalman-Filter die Berechnung des Ladezustandes erfolgt und bei dem mit einem zweiten Kalman-Filter eine Berechnung des Innenwiderstandes erfolgt und bei dem mit einem dritten Kalman-Filter die Berechnung der Zellkapazität erfolgt, mit folgenden Schritten: a.) Berechnung des Ladezustandes mittels des ersten Kalman-Filters unter der Annahme, dass die Zellkapazität konstant ist, b.) Bestimmung der Konvergenzzeit des Ladezustandes, c.) Berechnung des Innenwiderstandes mittels des zweiten Kalman-Filters mit einer definierbaren Verzögerung unter der Annahme, dass die Zellkapazität konstant ist, d.) Berechnung der Zellkapazität mittels des dritten Kalman-Filters mit einer von der Konvergenzzeit des Ladezustandes abhängigen Verzögerung, e.) Berechnung des Alterungszustandes des Akkumulators in Abhängigkeit der gemäß Schritt a.), c.) und d.) berechneten Zustandsgrößen.
Verfahren nach Patentanspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass die Verzögerung der Berechnung des Innenwiderstandes mittels des zweiten Kalman-Filters in Abhängigkeit des Fehlers bei der Berechnung des Ladezustandes des Akkumulators erfolgt.
Verfahren nach Patentanspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass das Messrauschen der verwendeten Kalman-Filter korrigiert wird.
Verfahren nach Patentanspruch 3, dadurch gekennzeichnet, dass zur Korrektur des Messrauschens eine Umschaltung zwischen verschiedenen Werten für das Messrauschen erfolgt.
Verfahren nach Patentanspruch 4, dadurch gekennzeichnet, dass der Wechsel zwischen den Werten für das Messrauschen mittels eines Übertragungsgliedes 1. Ordnung erfolgt.
Verfahren nach nach einem der Patentansprüche 1 bis 5, dadurch gekennzeichnet, dass solange gemäß Schritt d.) die Berechnung der Zellkapazität mittels des dritten Kalman-Filters verzögert ist, da der Ladezustand noch konvergiert, dennoch eine Berechnung der Zellkapazität mittels des dritten Kalman-Filters ausgeführt wird, wobei der Berechnung der Zellkapazität solange die gemessene Batteriespannung zu Grunde gelegt wird.
Verfahren nach Patentanspruch 6, dadurch gekennzeichnet, dass wenn der Ladezustand nicht mehr konvergiert, die Berechnung der Zellkapazität auf Grundlage der mittels des ersten Kalman-Filters modellierten Batteriespannung erfolgt.