DE102009021856B4 - Method for determining an inductance value for determining an armature travel - Google Patents

Abstract

Verfahren zur Ermittlung der Induktivität (Lk) als Eingangsgröße für eine Kennlinie (sk(Lk)) eines Ankerweges (sk) einer Spule eines Schaltmagneten,- wobei die Spule abwechselnd mit einer positiven und einer negativen Spannung (+U, -U) beaufschlagt wird,- und wobei der zeitliche Beginn sowie die zeitliche Dauer zwischen zwei Iterationsschritten (k) denen einer Periodendauer (T) entsprechen,- und wobei eine Impulsdauer (τk) eines jeden Iterationsschritts (k) variabel sein kann,- und wobei zu Beginn des Verfahrens zu einem Start-Zeitpunkt (t=0), welcher sich abhängig von einer äquidistanten Lage der steigenden oder fallenden Flanke an einer steigenden oder fallenden Flanke der Spannung (U) an der Spule des Schaltmagneten orientiert, ein Start-Stromwert (i0) gemessen wird,- und wobei für jeden Iterationsschritt (k) zum Zeitpunkt (t=(k-1)*T+τk) ein erster Stromwert (i1,k) und zum Zeitpunkt (t=k*T) ein zweiter Stromwert (i2,k) gemessen werden, und die Induktivität für den nächsten Iterationsschritt (Lk+1) anhand der Induktivität (Lk) und des zweiten Stromwertes (i2,k-1) des vorangegangenen Iterationsschritts (k-1), wobei für den ersten Iterationsschritt (k=1) anstelle der Induktivität (Lk) eine vorgegebene Start-Induktivität (L1) und anstelle des zweiten Stromwertes (i2,k-1) des Vorgängerintervalls der Start-Stromwert (i0) herangezogen werden, und anhand des ersten Stromwertes (i1,k) und zweiten Stromwertes (i2,k) dieses Iterationsschrittes (k) ermittelt wird.Method for determining the inductance (Lk) as an input variable for a characteristic (sk(Lk)) of an armature travel (sk) of a coil of a switching magnet, - the coil being alternately charged with a positive and a negative voltage (+U, -U). ,- and where the beginning and the time duration between two iteration steps (k) correspond to those of a period (T),- and where a pulse duration (τk) of each iteration step (k) can be variable,- and where at the beginning of the method a starting current value (i0) is measured at a starting time (t=0), which is based on a rising or falling edge of the voltage (U) at the coil of the switching magnet, depending on an equidistant position of the rising or falling edge ,- and where for each iteration step (k) at time (t=(k-1)*T+τk) a first current value (i1,k) and at time (t=k*T) a second current value (i2,k ) are measured, and the inductance for the next iteration step (Lk+1) based on the inductance (Lk) and the second current value (i2,k-1) of the previous iteration step (k-1), whereby for the first iteration step (k= 1) instead of the inductance (Lk), a specified start inductance (L1) and instead of the second current value (i2,k-1) of the previous interval, the start current value (i0) are used, and based on the first current value (i1,k) and second current value (i2,k) of this iteration step (k) is determined.

Description

Technisches Gebiettechnical field

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Ermittlung eines Induktivitätswertes für eine Funktion zur sensorlosen Bestimmung des Ankerweges eines Elektromagneten.The invention relates to a method for determining an inductance value for a function for sensorless determination of the armature travel of an electromagnet.

Stand der TechnikState of the art

Aus der DE 100 34 830 C2 ist ein Verfahren zur Rekonstruktion der Ankerbewegung eines elektromagnetischen Aktors mit mindestens einer Spule bekannt. Die Spule wird mit einem Spannungssprung beaufschlagt und der Verlauf des Stroms durch die Spule und der Verlauf der Spannung an der Spule werden gemessen. Der ohmsche Widerstand wird berechnet. Der verkettete magnetische Fluss als Funktion der Zeit und daraus die Änderung des verketteten magnetischen Flusses als Funktion des Stroms wird berechnet, wobei die Funktion des verketteten magnetischen Flusses die differentielle Induktivität der Spule enthält. Die differentielle Induktivität wird aus der Funktion mit Hilfe eines Integrationsverfahrens abgetrennt.From the DE 100 34 830 C2 a method for reconstructing the armature movement of an electromagnetic actuator with at least one coil is known. A voltage jump is applied to the coil and the course of the current through the coil and the course of the voltage across the coil are measured. The ohmic resistance is calculated. The phase-to-phase magnetic flux as a function of time and from this the change in the phase-to-phase magnetic flux as a function of the current is calculated, with the phase-to-phase magnetic flux function containing the differential inductance of the coil. The differential inductance is separated from the function using an integration process.

Eine Anfangsposition des Ankers wird aus dem Anfangsstrom und dem Anfangswert der Flussänderung bestimmt. Der Bewegungsablauf des Ankers wird mit der Gleichung $$\text{x}=\left(1/{\text{L}}_{\text{x}}\right)\cdot {\displaystyle \underset{0}{\overset{\text{t}}{\int }}\left[\text{u}\left(\text{t}\right)-\text{R}\cdot \text{i}\left(\text{t}\right)-{\text{L}}_{\text{d}}\left(\text{i}\right)\cdot {\text{L}}_{\text{d}}\left(\text{i}\right)\cdot \text{di}/\text{dt}\right]\text{dt}+{\text{x}}_0}$$

berechnet, wobei L_x eine zuvor ermittelte differentielle Größe der Spule ist, welche der Ableitung des magnetischen Flusses nach dem Ankerhub entspricht.An initial position of the armature is determined from the initial current and the initial flux change value. The movement of the armature is given by the equation $$\text{x}=\left(1/{\text{L}}_{\text{x}}\right)\cdot {\displaystyle \underset{0}{\overset{\text{t}}{\int }}\left[\text{and}\left(\text{t}\right)-\text{R}\cdot \text{i}\left(\text{t}\right)-{\text{L}}_{\text{i.e}}\left(\text{i}\right)\cdot {\text{L}}_{\text{i.e}}\left(\text{i}\right)\cdot \text{you}/\text{German}\right]\text{German}+{\text{x}}_0}$$

calculated, where L _x is a previously determined differential size of the coil, which corresponds to the derivation of the magnetic flux after the armature stroke.

Die differentielle Induktivität ist ein Polynom L_d(i) = a₀ + a₂ · i² + ... + a_n · iⁿ, welches mit den Stromwerten der ermittelten Punkte folgender Matrix gebildet wird $$\text{M}=\left[\begin{array}{lllll}1\hfill & {\text{i}}_{\text{1}}^{\text{2}}\hfill & {\text{i}}_{\text{1}}^{\text{4}}\hfill & \cdots \hfill & {\text{i}}_{\text{1}}^{\text{n}}\hfill \\ 1\hfill & {\text{i}}_{\text{2}}^{\text{2}}\hfill & {\text{i}}_{\text{2}}^{\text{4}}\hfill & \cdots \hfill & {\text{i}}_{\text{2}}^{\text{n}}\hfill \\ \cdots \hfill & \cdots \hfill & \cdots \hfill & \cdots \hfill & \cdots \hfill \\ 1\hfill & {\text{i}}_{\text{N}}^{\text{2}}\hfill & {\text{i}}_{\text{N}}^{\text{4}}\hfill & \cdots \hfill & {\text{i}}_{\text{N}}^{\text{n}}\hfill \end{array}\right]$$

wobei N die Zahl der ermittelten Punkte ist.The differential inductance is a polynomial L _d (i) = a ₀ + a ₂ · i ² + ... + a _n · i ⁿ , which is formed with the current values of the determined points of the following matrix $$\text{M}=\left[\begin{array}{lllll}1\hfill & {\text{<figure-callout id="1" label="i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png,DE102009021856B4\_0037.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\text{1}}^{\text{2}}\hfill & {\text{<figure-callout id="1" label="i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png,DE102009021856B4\_0037.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\text{1}}^{\text{4}}\hfill & \cdots \hfill & {\text{i}}_{\text{1}}^{\text{n}}\hfill \\ 1\hfill & {\text{<figure-callout id="2" label="i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\text{2}}^{\text{2}}\hfill & {\text{<figure-callout id="2" label="i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\text{2}}^{\text{4}}\hfill & \cdots \hfill & {\text{i}}_{\text{2}}^{\text{n}}\hfill \\ \cdots \hfill & \cdots \hfill & \cdots \hfill & \cdots \hfill & \cdots \hfill \\ 1\hfill & {\text{i}}_{\text{N}}^{\text{2}}\hfill & {\text{<figure-callout id="4" label="i N" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\text{N}}^{}\hfill & \cdots \hfill & {\text{i}}_{\text{N}}^{\text{n}}\hfill \end{array}\right]$$

where N is the number of points found.

Die JP 2008 - 304 041 A beschreibt eine Vorrichtung zur Erfassung einer Bewegung von beweglichen Teilen eines Magnetventils.The JP 2008 - 304 041 A describes a device for detecting a movement of moving parts of a solenoid valve.

Hierbei wird eine Induktivität als Eingangsgröße für eine Kennlinie eines Ankerweges einer Spule eines Schaltmagneten ermittelt.In this case, an inductance is determined as an input variable for a characteristic of an armature travel of a coil of a switching magnet.

Die Spule wird abwechselnd mit einer positiven Spannung beaufschlagt.The coil is alternately charged with a positive voltage.

Der zeitliche Beginn und die zeitliche Dauer zwischen zwei Iterationsschritten entsprechen denen einer Periodendauer t.The beginning and the duration between two iteration steps correspond to those of a period t.

Eine Impulsdauer T eines jeden Iterationsschrittes ist konstant.A pulse duration T of each iteration step is constant.

Zu Beginn wird zu einem Start-Zeitpunkt, welcher sich abhängig von einer äquidistanten Lage der steigenden oder fallenden Flanke an einer steigenden oder fallenden Flanke der Spannung an der Spule des Schaltmagneten orientiert, ein Start-Stromwert gemessen.At the beginning, a starting current value is measured at a starting time, which is based on a rising or falling edge of the voltage at the coil of the switching magnet depending on an equidistant position of the rising or falling edge.

Für jeden Iterationsschritt werden zum Zeitpunkt (t+T) ein erster Stromwert und zum Zeitpunkt (t) ein zweiter Stromwert gemessen, und eine Induktivität ermittelt.For each iteration step, a first current value is measured at time (t+T) and a second current value at time (t), and an inductance is determined.

Aufgabe der Erfindungobject of the invention

Der Erfindung liegt die Aufgabe der Bereitstellung eines Verfahrens zur Ermittlung der Induktivität als Ausgangsgröße für eine Funktion zur Ankerhubbestimmung zugrunde.The object of the invention is to provide a method for determining the inductance as an output variable for a function for determining the armature stroke.

Lösung der Aufgabesolution of the task

Die Aufgabe wird durch ein Verfahren gemäß Anspruch 1 gelöst.The object is achieved by a method according to claim 1.

Vorteile der ErfindungAdvantages of the Invention

Für das erfindungsgemäße Verfahren wird der Strom in den Umkehrpunkten des sägezahnförmigen Stromverlaufs bei Verwendung einer pulsweitenmodulierten Spannung gemessen.For the method according to the invention, the current is measured at the reversal points of the sawtooth current profile when using a pulse width modulated voltage.

Der Stromverlauf wird in zeitliche Iterationsintervalle aufgeteilt, wobei die Länge des Iterationsintervalls der Periodendauer entspricht.The course of the current is divided into time iteration intervals, with the length of the iteration interval corresponding to the period duration.

Zu dem Zeitpunkt, an dem die Spule mit der positiven Spannung beaufschlagt wird („positive“ Pulsweitenmodulation (PWM)), beginnt ein Intervall.At the point in time when the coil is charged with the positive voltage ("positive" pulse width modulation (PWM)), an interval begins.

Das Intervall dauert bis zur nächsten, äquidistant folgenden steigenden Flanke der Speisespannung der Spule.The interval lasts until the next equidistant rising edge of the supply voltage of the coil.

Bei einer „negativen“ PWM wird mit einer negativen Spannungsbeaufschlagung begonnen, die analog berechnet wird, wobei hierbei zu berücksichtigen ist, dass bei einer negativen Spannungsbeaufschlagung das Verfahren mit einer fallenden Flanke begonnen wird und die fallenden Flanken äquidistant liegen.In the case of a "negative" PWM, a negative voltage application is started, which is calculated analogously, whereby it must be taken into account that with a negative voltage application, the process starts with a falling edge and the falling edges are equidistant.

Beginnt die PWM daher mit einer negativen Spannungsbeaufschlagung, verändert sich der zeitliche Abstand zwischen den Bereichen mit positiven Spannungswerten bei einer Veränderung der Tastverhältnisse.Therefore, if the PWM starts with a negative voltage application, the time interval between the areas with positive voltage values changes when the duty cycles change.

Die nachfolgenden Ausführungen beziehen sich nur auf den Fall einer positiven PWM, d.h. es wird mit einer positiven Spannungsbeaufschlagung begonnen.The following explanations only refer to the case of a positive PWM, i.e. it starts with a positive voltage application.

Zu Beginn des Verfahrens wird zu einem Zeitpunkt der ersten positiven Spannungsbeaufschlagung ein Start-Stromwert gemessen.At the beginning of the method, a starting current value is measured at a point in time when the first positive voltage is applied.

Zu diesem Zeitpunkt beginnt das erste Iterationsintervall, wobei am Ende der Impulsdauer ein erster Stromwert und am Ende der Periodendauer, das dem Ende des Iterationsintervalls entspricht, ein zweiter Stromwert gemessen wird.At this point in time, the first iteration interval begins, with a first current value being measured at the end of the pulse duration and a second current value being measured at the end of the period duration, which corresponds to the end of the iteration interval.

Nach Beendigung des ersten Iterationsintervalls wird die Induktivität ermittelt. Für deren Berechnung bilden ein vorgegebener Start-Induktivitätswert, der Start-Stromwert, der erste Stromwert und der zweite Stromwert die Grundlage.After the end of the first iteration interval, the inductance is determined. A predetermined starting inductance value, the starting current value, the first current value and the second current value form the basis for calculating this.

Für die nachfolgenden Iterationsintervalle werden anstelle des Start-Induktivitätswertes der Induktivitätswert aus dem vorausgegangenen Iterationsintervall und anstelle des Start-Stromwertes der zweite Stromwert aus dem vorausgegangenen Iterationsintervall verwendet.For the subsequent iteration intervals, the inductance value from the preceding iteration interval is used instead of the starting inductance value, and the second current value from the preceding iteration interval is used instead of the starting current value.

Mittels des Induktivitätswertes, der für jedes Iterationsintervall rekursiv ermittelt wird, kann ein entsprechender Ankerweg anhand eines Kennfeldes ermittelt werden. Aufgrund der häufigen Aktualisierung des Induktivitätswertes und somit des Ankerhubweges kann beispielsweise ein Dead-Beat-Regler realisiert werden, mit dem ein Pulsweitenmodulator den Strom in einer ohmschen-induktiven Last mit hoher Dynamik regeln kann.Using the inductance value, which is determined recursively for each iteration interval, a corresponding armature travel can be determined using a characteristic diagram. Due to the frequent updating of the inductance value and thus of the armature stroke path, a deadbeat controller can be implemented, for example, with which a pulse width modulator can control the current in an ohmic-inductive load with high dynamics.

In einer vorteilhaften Ausführungsform werden für die Ermittlung des Induktivitätswertes zudem die zum Start-Zeitpunkt gemessene Start-Spannung oder in jedem Iterationsintervall die zum Ende der Periodendauer gemessene Spannung des vorangegangenen Iterationsintervalls berücksichtigt.In an advantageous embodiment, the starting voltage measured at the start time or the voltage measured at the end of the period duration of the preceding iteration interval in each iteration interval are also taken into account for determining the inductance value.

In einer weiteren vorteilhaften Ausführungsform wird für die Ermittlung des Induktivitätswertes eine vorgegebene Schrittweite herangezogen. Über die Schrittweite kann die Konvergenzgeschwindigkeit gesteuert werden.In a further advantageous embodiment, a predetermined increment is used to determine the inductance value. The convergence speed can be controlled via the increment.

Beispielsweise kann eine zu kleine Schrittweite zu einer langsamen Konvergenz führen. In diesem Fall folgt der errechnete Induktivitäts-/Ankerweg bei einer Bewegung des Ankers den tatsächlichen Werten nur mit einer erkennbaren Verzögerung. Eine zu große Schrittweite kann dagegen zu Instabilitäten oder insbesondere durch Messwertrauschen zu unbefriedigendem Konvergenzverhalten führen.For example, too small a step size can result in slow convergence. In this case, when the armature moves, the calculated inductance/armature path only follows the actual values with a noticeable delay. On the other hand, too large a step size can lead to instabilities or, in particular, to unsatisfactory convergence behavior due to measured value noise.

Die erfindungsgemäße iterative Berechnung der Induktivität und des Widerstands basiert auf folgenden Annahmen:

• 1) Halbleiterschalter sind ideal.
• 2) Der Aktor (Elektromagnet) lässt sich durch eine R-L-Reihenschaltung beschreiben.
• 3) Der Ankerstrom lückt nicht. Das wird dadurch erreicht, dass der Ankerstrom bei einer halbgesteuerten Brücke entweder hinreichend groß ist oder indem eine vollgesteuerte Brücke verwendet wird. Damit ist keine Fallunterscheidung infolge des nichtnegativen Stroms bei der halbgesteuerten Brücke erforderlich.
• 4) Die Speisespannung der Brückenschaltung ist abschnittsweise innerhalb der Zyklusdauer der PWM (Pulsweitenmodulation) konstant. Bei einer Anwendung in einem Fahrzeug wird die Speisespannung zumeist die Bordnetzspannung sein.

The iterative calculation of the inductance and the resistance according to the invention is based on the following assumptions:

• 1) Solid state switches are ideal.
• 2) The actuator (electromagnet) can be described by an RL series connection.
• 3) The armature current does not gap. This is achieved in that the armature current is either sufficiently large with a half-controlled bridge or by using a fully controlled bridge. Thus, no case distinction is required due to the non-negative current in the half-controlled bridge.
• 4) The supply voltage of the bridge circuit is constant in sections within the cycle time of the PWM (pulse width modulation). When used in a vehicle, the supply voltage will usually be the vehicle electrical system voltage.

Der Spannungsverlauf der R-L-Reihenschaltung kann durch die Gleichung $$\text{u}\left(\text{t}\right)=\text{Ri}\left(\text{t}\right)+\text{L}\frac{\text{di}}{\text{dt}}$$

mit $$\text{u}\left(\text{t}\right)=\{\begin{array}{cc}{\text{U}}_{\text{k}},& \left(\text{k}-1\right)*\text{T}\le \text{t}<\left(\text{k}-1\right)*\text{T}+{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}\\ -{\text{U}}_{\text{k}},& \left(\text{k}-1\right)*\text{T}+{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}\le \text{t}<\text{k}*\text{T}\end{array}$$

beschrieben werden.The voltage curve of the RL series circuit can be calculated using the equation $$\text{and}\left(\text{t}\right)=\text{Ri}\left(\text{t}\right)+\text{L}\frac{\text{you}}{\text{German}}$$

with $$\text{and}\left(\text{t}\right)=\{\begin{array}{cc}{\text{u}}_{\text{k}},& \left(\text{k}-1\right)*\text{T}\le \text{t}<\left(\text{k}-1\right)*\text{T}+{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}\\ -{\text{u}}_{\text{k}},& \left(\text{k}-1\right)*\text{T}+{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}\le \text{t}<\text{k}*\text{T}\end{array}$$

to be discribed.

Dabei ist U_k die Spannung, T die Periodendauer der Pulsweitenmodulation mit dem Tastverhältnis τ/T und keine Laufvariable einer Iteration mit einem Anfangswert „1“, wobei die Zeitdauer zwischen zwei Iterationsschritten k und k+1 der Periodendauer T entspricht.U _k is the voltage, T is the period of the pulse width modulation with the duty cycle τ/T and is not a running variable of an iteration with an initial value of “1”, with the time between two iteration steps k and k+1 corresponding to the period T.

Zur Vereinfachung der Darstellung wird im Folgenden eine lokale Zeit t_k* = t-(k-1)*T mit dem Wertebereich 0<= t_k*<T verwendet. Entsprechend ist $$\text{u}\left({\text{t}}_{\text{k}}\text{*}\right)=\{\begin{array}{cc}{\text{U}}_{\text{k}},& 0\le {\text{t}}_{\text{k}}\text{*}<{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}\\ -{\text{U}}_{\text{k}},& {\mathrm{\tau }}_{\text{k}}\le {\text{t}}_{\text{k}}\text{*}<\text{T}\end{array}.$$

To simplify the representation, a local time t _k * = t-(k-1)*T with the value range 0<= t _k *<T is used below. Corresponding is $$\text{and}\left({\text{t}}_{\text{k}}\text{*}\right)=\{\begin{array}{cc}{\text{u}}_{\text{k}},& 0\le {\text{t}}_{\text{k}}\text{*}<{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}\\ -{\text{u}}_{\text{k}},& {\mathrm{\tau }}_{\text{k}}\le {\text{t}}_{\text{k}}\text{*}<\text{T}\end{array}.$$

Lückt der Strom nicht, ergibt sich der Strom i(t_k*) mit dem Startwert i_2,k-1 = i(t=(k-1)*T) bei einem abschnittsweise konstant angenommenen Widerstand R_k und einer abschnittsweise konstant angenommenen Induktivität L_k aus $$\text{i}\left({\text{t}}_{\text{k}}\text{*}\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\left(1-{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\text{t}}_{\text{k}}*}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\right)+{\text{i}}_{\text{2}\text{,k}-\text{1}}*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}{\text{*t}}_{\text{k}}\text{*}}{{\text{L}}_{\text{k}}}},& 0\le {\text{t}}_{\text{k}}*<{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}\\ -\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}+\left(\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{\text{R}}\left(2*{\text{e}}^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-1\right)+{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}\right)*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}{\text{*t}}_{\text{k}}\text{*}}{{\text{L}}_{\text{k}}}},& {\mathrm{\tau }}_{\text{k}}\le {\text{t}}_{\text{k}}\text{*}<\text{T}\end{array}$$

If the current does not gap, the current i(t _k *) results with the starting value i _2,k-1 = i(t=(k-1)*T) with a resistance R k assumed to be constant in sections and a resistance R _k assumed to be constant in sections Inductance L _k off $$\text{i}\left({\text{t}}_{\text{k}}\text{*}\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\left(1-{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\text{t}}_{\text{k}}*}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\right)+{\text{<figure-callout id="2" label="i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\text{2}\text{,k}-\text{1}}*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}{\text{*t}}_{\text{k}}\text{*}}{{\text{L}}_{\text{k}}}},& 0\le {\text{t}}_{\text{k}}*<{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}\\ -\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}+\left(\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{\text{R}}\left(2*{\text{e}}^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-1\right)+{\text{<figure-callout id="2" label="i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}\right)*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}{\text{*t}}_{\text{k}}\text{*}}{{\text{L}}_{\text{k}}}},& {\mathrm{\tau }}_{\text{k}}\le {\text{t}}_{\text{k}}\text{*}<\text{T}\end{array}$$

Damit folgt der Strom i_2,k = i(t_k*=T) = i(t =k*T) zu $${\text{i}}_{\text{2}\text{,k}}=-\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{\text{R}}+\left(\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{\text{R}}\left(2*{\text{e}}^{\frac{\text{R}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{\text{L}}}-1\right)+{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}\right)*{\text{e}}^{\frac{\text{R*T}}{\text{L}}}$$

Hence the current i _2,k = i(t _k *=T) = i(t =k*T) follows $${\text{<figure-callout id="2" label="i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\text{2}\text{,k}}=-\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{\text{R}}+\left(\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{\text{R}}\left(2*{\text{e}}^{\frac{\text{R}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{\text{L}}}-1\right)+{\text{<figure-callout id="2" label="i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}\right)*{\text{e}}^{\frac{\text{R*T}}{\text{L}}}$$

Der Ist-Strom am Ende des k-ten Iterationsschrittes i_2,k soll bei einem Dead-Beat-Regler gleich dem Sollwert des k-ten Iterationsschrittes ${\text{i}}_{\text{k}}^{\text{s}}$

sein. Entsprechend ergibt sich die erforderliche Impulsdauer τ_k' aus Gleichung (3) als $${\mathrm{\tau }}_{\text{k}}\text{'}=\frac{{\text{L}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\text{log}\left(\frac{{\text{R}}_{\text{k}}}{{\text{2*U}}_{\text{k}}}\left(\left({\text{i}}_{\text{k}}^{\text{s}}+\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\right)*{\text{e}}^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}\text{*T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}\right)+\frac{1}{2}\right)$$

The actual current at the end of the kth iteration step i _2,k should be equal to the desired value of the kth iteration step in a dead-beat controller ${\text{i}}_{\text{k}}^{\text{s}}$

be. Correspondingly, the required pulse duration τ _k ' results from equation (3) as $${\mathrm{\tau }}_{\text{k}}\text{'}=\frac{{\text{L}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\text{log}\left(\frac{{\text{<figure-callout id="2" label="R k" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">R</figure-callout>}}_{\text{k}}}{{\text{2*U}}_{\text{k}}}\left(\left({\text{i}}_{\text{k}}^{\text{s}}+\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\right)*{\text{e}}^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}\text{*T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-{\text{<figure-callout id="2" label="i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}\right)+\frac{1}{2}\right)$$

Da die Impulsdauer τ_k reell, positiv und kleiner als die Periodendauer T ist, ist Gleichung (4) entsprechend einzuschränken. Einerseits ist sicherzustellen, dass das Argument des Logarithmus nicht negativ wird. Andererseits ist τ_k maximal gleich der Periodendauer T. Es ergibt sich die einzustellende Impulsdauer τ_k zu $${\mathrm{\tau }}_{\text{k}}=\{\begin{array}{c}\text{T},\frac{{\text{L}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\text{log}\left(\frac{{\text{R}}_{\text{k}}}{{\text{2*U}}_{\text{k}}}\left(\left({\text{i}}_{\text{2}\text{,k}}^{\text{s}}+\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\right)*{\text{e}}^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}\text{*T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-{\text{i}}_{\text{2}\text{,k}}-1\right)+\frac{1}{2}\right)>\text{T}\\ \mathrm{0,}\left(\frac{{\text{R}}_{\text{k}}}{{\text{2*U}}_{\text{k}}}\left(\left({\text{i}}_{\text{2}\text{,k}}^{\text{s}}+\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\right)*{\text{e}}^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}\text{*T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}\right)+\frac{1}{2}\right)<1\\ \frac{{\text{L}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\text{log}\left(\frac{{\text{R}}_{\text{k}}}{{\text{2*U}}_{\text{k}}}\left(\left({\text{i}}_{\text{2}\text{,k}}^{\text{s}}+\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\right)*{\text{e}}^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}\text{*T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}\right)+\frac{1}{2}\right),\text{ sonst}\end{array}$$

Since the pulse duration τ _k is real, positive and smaller than the period T, Equation (4) must be restricted accordingly. On the one hand it has to be ensured that the argument of the logarithm does not become negative. On the other hand, τ _k is at most equal to the period duration T. The result is the pulse duration τ _k to be set $${\mathrm{\tau }}_{\text{k}}=\{\begin{array}{c}\text{T},\frac{{\text{L}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\text{log}\left(\frac{{\text{<figure-callout id="2" label="R k" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">R</figure-callout>}}_{\text{k}}}{{\text{2*U}}_{\text{k}}}\left(\left({\text{<figure-callout id="2" label="i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\text{2}\text{,k}}^{\text{s}}+\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\right)*{\text{e}}^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}\text{*T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-{\text{<figure-callout id="2" label="i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\text{2}\text{,k}}-1\right)+\frac{1}{2}\right)>\text{<figure-callout id="0" label="T" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">T</figure-callout>}\\ \mathrm{0,}\left(\frac{{\text{<figure-callout id="2" label="R k" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">R</figure-callout>}}_{\text{k}}}{{\text{2*U}}_{\text{k}}}\left(\left({\text{<figure-callout id="2" label="i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\text{2}\text{,k}}^{\text{s}}+\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\right)*{\text{e}}^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}\text{*T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-{\text{<figure-callout id="2" label="i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}\right)+\frac{1}{2}\right)<1\\ \frac{{\text{L}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\text{log}\left(\frac{{\text{<figure-callout id="2" label="R k" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">R</figure-callout>}}_{\text{k}}}{{\text{2*U}}_{\text{k}}}\left(\left({\text{<figure-callout id="2" label="i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\text{2}\text{,k}}^{\text{s}}+\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\right)*{\text{e}}^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}\text{*T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-{\text{<figure-callout id="2" label="i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}\right)+\frac{1}{2}\right),\text{otherwise}\end{array}$$

Nach Gleichung (2) ergeben sich die Ströme i_1,k = i(t_k*=τ_k) und i_2,k = i(t=k*T) zu $$\begin{array}{l}{i}_{\mathrm{1,}k}=\frac{U_k}{R_k}\left(1-{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\right)+{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\\ {\text{i}}_{\text{2}\text{,k}}=-\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}+\left(\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\left(2*{\text{e}}^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-1\right)+{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}\right)*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\end{array}$$

According to equation (2), the currents i _1,k = i(t _k *=τ _k ) and i _2,k = i(t=k*T) are obtained $$\begin{array}{l}{\mathrm{<figure-callout\; id="1"\; label="i"\; filenames="DE102009021856B4\_0036.png,DE102009021856B4\_0037.png"\; state="\{\{state\}\}">i</figure-callout>}}_{\mathrm{1,}k}=\frac{u_k}{R_k}\left(1-{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\right)+{\text{<figure-callout id="2" label="i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{<figure-callout id="2" label="L k i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">L</figure-callout>}}_{\text{k}}}}& \\ {\text{i}}_{}{}_{\text{2}\text{,k}}=-\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}+\left(\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\left(2*{\text{e}}^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-1\right)+{\text{<figure-callout id="2" label="i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}\right)*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\end{array}$$

Die Parameter Induktivität L_k und Widerstand R_k können durch Lösen der Gleichungen (6) eindeutig bestimmt werden.The parameters inductance L _k and resistance R _k can be uniquely determined by solving equations (6).

Eine numerische Lösung kann mittels eines Gradientenverfahrens erfolgen. Dazu wird das Gleichungssystem $${\text{f}}_{\text{k}}\left({\text{R}}_{\text{k}}{\text{,L}}_{\text{k}}\right)=\left[\begin{array}{c}{\text{f}}_{\text{1}\text{,k}}\left({\text{R}}_{\text{k}}{\text{,L}}_{\text{k}}\right)\\ {\text{f}}_{\text{2}\text{,k}}\left({\text{R}}_{\text{k}}{\text{,L}}_{\text{k}}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{U_k}{R_k}\left(1-{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\right)+{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-{\text{i}}_{\mathrm{1,}\text{k}}\\ -\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}+\left(\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\left(2*{\text{e}}^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-1\right)+{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}\right)*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}}\end{array}\right]$$

betrachtet, für das Nullstellen bezüglich der Induktivität L_k und Widerstand R_k zu ermitteln sind.A numerical solution can be achieved using a gradient method. The system of equations becomes $${\text{f}}_{\text{k}}\left({\text{R}}_{\text{k}}{\text{,L}}_{\text{k}}\right)=\left[\begin{array}{c}{\text{<figure-callout id="1" label="f" filenames="DE102009021856B4\_0036.png,DE102009021856B4\_0037.png" state="{{state}}">f</figure-callout>}}_{\text{1}\text{,k}}\left({\text{R}}_{\text{k}}{\text{,L}}_{\text{k}}\right)\\ {\text{<figure-callout id="2" label="f" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">f</figure-callout>}}_{\text{2}\text{,k}}\left({\text{R}}_{\text{k}}{\text{,L}}_{\text{k}}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{u_k}{R_k}\left(1-{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\right)+{\text{<figure-callout id="2" label="i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-{\text{<figure-callout id="1" label="i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png,DE102009021856B4\_0037.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\mathrm{1,}\text{k}}\\ -\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}+\left(\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\left(2*{\text{e}}^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-1\right)+{\text{<figure-callout id="2" label="i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}\right)*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-{\text{<figure-callout id="2" label="i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\mathrm{2,}\text{k}}\end{array}\right]$$

considered, for which zeros with respect to the inductance L _k and resistance R _k are to be determined.

Der Wert für i_2,k-1 kann bei k=1 geeignet gewählt werden. Dies kann beispielsweise beim Einschalten i=0 sein. Alternativ kann die Messung der Ströme bereits für ein bis zwei Iterationsschritte erfolgen, bevor die ersten Werte für den Widerstand R und die Induktivität L berechnet werden.The value for i _2,k-1 can be suitably chosen for k=1. This can be i=0 when switching on, for example. Alternatively, the currents can be measured for one or two iteration steps before the first values for the resistance R and the inductance L are calculated.

Die numerische Lösung gelingt über das Newtonverfahren mit Hilfe der Jacobimatrix $${\text{J}}_{\text{k}}\left({\text{R}}_{\text{k}}{\text{,L}}_{\text{k}}\right)=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial {\text{f}}_{\text{1}\text{,k}}\left({\text{R}}_{\text{k}}{\text{,L}}_{\text{k}}\right)}{\partial {\text{R}}_{\text{k}}}& \frac{\partial {\text{f}}_{\text{1}\text{,k}}\left({\text{R}}_{\text{k}}{\text{,L}}_{\text{k}}\right)}{\partial {\text{L}}_{\text{k}}}\\ \frac{\partial {\text{f}}_{\text{2}\text{,k}}\left({\text{R}}_{\text{k}}{\text{,L}}_{\text{k}}\right)}{\partial {\text{R}}_{\text{k}}}& \frac{\partial {\text{f}}_{\text{2}\text{,k}}\left({\text{R}}_{\text{k}}{\text{,L}}_{\text{k}}\right)}{\partial {\text{L}}_{\text{k}}}\end{array}\right]$$

The numerical solution is achieved using Newton's method with the help of the Jacobian matrix $${\text{J}}_{\text{k}}\left({\text{R}}_{\text{k}}{\text{,L}}_{\text{k}}\right)=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial {\text{<figure-callout id="1" label="f" filenames="DE102009021856B4\_0036.png,DE102009021856B4\_0037.png" state="{{state}}">f</figure-callout>}}_{\text{1}\text{,k}}\left({\text{R}}_{\text{k}}{\text{,L}}_{\text{k}}\right)}{\partial {\text{R}}_{\text{k}}}& \frac{\partial {\text{<figure-callout id="1" label="f" filenames="DE102009021856B4\_0036.png,DE102009021856B4\_0037.png" state="{{state}}">f</figure-callout>}}_{\text{1}\text{,k}}\left({\text{R}}_{\text{k}}{\text{,L}}_{\text{k}}\right)}{\partial {\text{L}}_{\text{k}}}\\ \frac{\partial {\text{<figure-callout id="2" label="f" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">f</figure-callout>}}_{\text{2}\text{,k}}\left({\text{R}}_{\text{k}}{\text{,L}}_{\text{k}}\right)}{\partial {\text{R}}_{\text{k}}}& \frac{\partial {\text{<figure-callout id="2" label="f" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">f</figure-callout>}}_{\text{2}\text{,k}}\left({\text{R}}_{\text{k}}{\text{,L}}_{\text{k}}\right)}{\partial {\text{L}}_{\text{k}}}\end{array}\right]$$

Die partiellen Ableitungen ergeben sich zu $${\text{J}}_{\mathrm{11,}\text{k}}=\frac{\partial {\text{f}}_{\text{1}\text{,k}}}{\partial {\text{R}}_{\text{k}}}=-\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}^{\text{2}}}\left(1-e^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\right)+\frac{{\text{t}}_{\text{k}}*{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}*{\text{R}}_{\text{k}}}*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}*\frac{{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}$$

$${\text{J}}_{\text{12}\text{,k}}=\frac{\partial {\text{f}}_{\text{1}\text{,k}}}{\partial {\text{L}}_{\text{k}}}=\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_k}{{\text{L}}_{\text{k}}^{\text{2}}}\left(-\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}+{\text{i}}_{\text{2}\text{,k}-\text{1}}\right)*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}$$

$$\begin{array}{l}{\text{J}}_{\text{21}\text{,k}}=\frac{\partial {\text{f}}_{\text{2}\text{,k}}}{\partial {\text{R}}_{\text{k}}}=\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}^{\text{2}}}-\frac{\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}\left(2*\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}*{\text{e}}^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}+{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}-\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\right)*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\hfill \\ +\left(\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}^{\text{2}}}-2*\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}^{\text{2}}}*e^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}+2*\frac{{\text{U}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}*{\text{L}}_{\text{k}}}*{\text{e}}^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\right)*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{l}{\text{J}}_{\text{22}\text{,k}}=\frac{\partial {\text{f}}_{\text{2}\text{,k}}}{\partial {\text{L}}_{\text{k}}}=\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}^{\text{2}}}\left(2*\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}*{\text{e}}^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}+{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}-\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\right)*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\hfill \\ -2*\frac{{\text{U}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}^{\text{2}}}*{\text{e}}^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\hfill \end{array}$$

The partial derivatives result in $${\text{<figure-callout id="11" label="J" filenames="DE102009021856B4\_0038.png" state="{{state}}">J</figure-callout>}}_{\mathrm{11,}\text{k}}=\frac{\partial {\text{<figure-callout id="1" label="f" filenames="DE102009021856B4\_0036.png,DE102009021856B4\_0037.png" state="{{state}}">f</figure-callout>}}_{\text{1}\text{,k}}}{\partial {\text{R}}_{\text{k}}}=-\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}^{\text{2}}}\left(1-e^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\right)+\frac{{\text{t}}_{\text{k}}*{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}*{\text{R}}_{\text{k}}}*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-{\text{<figure-callout id="2" label="i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}*\frac{{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}$$

$${\text{<figure-callout id="12" label="J" filenames="DE102009021856B4\_0038.png" state="{{state}}">J</figure-callout>}}_{\text{12}\text{,k}}=\frac{\partial {\text{<figure-callout id="1" label="f" filenames="DE102009021856B4\_0036.png,DE102009021856B4\_0037.png" state="{{state}}">f</figure-callout>}}_{\text{1}\text{,k}}}{\partial {\text{L}}_{\text{k}}}=\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_k}{{\text{L}}_{\text{k}}^{\text{2}}}\left(-\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}+{\text{<figure-callout id="2" label="i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\text{2}\text{,k}-\text{1}}\right)*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}$$

$$\begin{array}{l}{\text{J}}_{\text{21}\text{,k}}=\frac{\partial {\text{<figure-callout id="2" label="f" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">f</figure-callout>}}_{\text{2}\text{,k}}}{\partial {\text{R}}_{\text{k}}}=\frac{{\text{u}}_{\text{<figure-callout id="2" label="k R k" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">k</figure-callout>}}}{{\text{R}}_{\text{k}}^{}}-\frac{\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}\left(2*\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}*{\text{e}}^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}+{\text{<figure-callout id="2" label="i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}-\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\right)*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\hfill \\ +\left(\frac{{\text{u}}_{\text{<figure-callout id="2" label="k R k" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">k</figure-callout>}}}{{\text{R}}_{\text{k}}^{}}-2*\frac{{\text{u}}_{\text{<figure-callout id="2" label="k R k" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">k</figure-callout>}}}{{\text{R}}_{\text{k}}^{}}*e^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}+2*\frac{{\text{u}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}*{\text{L}}_{\text{k}}}*{\text{e}}^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\right)*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{l}{\text{J}}_{\text{22}\text{,k}}=\frac{\partial {\text{<figure-callout id="2" label="f" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">f</figure-callout>}}_{\text{2}\text{,k}}}{\partial {\text{L}}_{\text{k}}}=\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}^{\text{2}}}\left(2*\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}*{\text{e}}^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}+{\text{<figure-callout id="2" label="i" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">i</figure-callout>}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}-\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\right)*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\hfill \\ -2*\frac{{\text{u}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{<figure-callout id="2" label="k L k" filenames="DE102009021856B4\_0036.png" state="{{state}}">k</figure-callout>}}}{{\text{L}}_{\text{k}}^{}}*{\text{e}}^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\hfill \end{array}$$

Eine iterative Lösung gelingt damit über $$\left[\begin{array}{c}{\text{R}}_{\text{k}+\text{1}}\\ {\text{L}}_{\text{k}+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\text{R}}_{\text{k}}\\ {\text{L}}_{\text{k}}\end{array}\right]-\mathrm{\lambda }*{\text{J}}_{\text{k}}^{-1}\left({\text{R}}_{\text{k}},{\text{L}}_{\text{k}}\right)*{\text{f}}_{\text{k}}\left({\text{R}}_{\text{k}},{\text{ L}}_{\text{k}}\right).$$

An iterative solution succeeds with this $$\left[\begin{array}{c}{\text{R}}_{\text{k}+\text{1}}\\ {\text{L}}_{\text{k}+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\text{R}}_{\text{k}}\\ {\text{L}}_{\text{k}}\end{array}\right]-\mathrm{\lambda }*{\text{J}}_{\text{k}}^{-1}\left({\text{R}}_{\text{k}},{\text{L}}_{\text{k}}\right)*{\text{f}}_{\text{k}}\left({\text{R}}_{\text{k}},{\text{L}}_{\text{k}}\right).$$

Dabei sind J_k und f_k jeweils mit den Schätzwerten L_k und R_k aus dem Iterationsschritt k zu bilden, wobei zusätzlich die Messwerte i_1,k, i_2,k-1, i_2,k, τ_k und U_k aus dem (k-1)-ten bzw. k-ten Iterationsschritt berücksichtigt werden. Die Werte R_k+1 und L_k+1 werden daher im k-ten Schritt auf der Basis der Messwerte des k-ten Schritts sowie der Altwerte R_k und L_k gebildet. Sie dienen im Schritt k+1 dann zur Bestimmung des einzustellenden Pulsweitenverhältnis τ_k+1. Über die Schrittweite λ kann in Gleichung (13) die Konvergenzgeschwindigkeit gesteuert werden. Ein zu kleiner Wert von λ führt möglicherweise zu langsamer Konvergenz. Ein zu großer Wert von λ kann zu Instabilitäten oder insbesondere durch Messwertrauschen zu unbefriedigendem Konvergenzverhalten führen.In this case, J _k and f _k are each to be formed with the estimated values L _k and R _k from iteration step k, with the measured values i _1,k , i _2,k-1 , i _2,k , τ _k and U _k also being derived from the (k-1)-th or k-th iteration step. The values R _k+1 and L _k+1 are therefore formed in the k th step on the basis of the measured values of the k th step and the old values R _k and L _k . They are then used in step k+1 to determine the pulse width ratio τ _k+1 to be set. The convergence speed can be controlled via the increment λ in Equation (13). Too small a value of λ may result in slow convergence. Too large a value of λ can lead to instabilities or, in particular, to unsatisfactory convergence behavior due to measured value noise.

Die Multiplikationsinverse zu der Matrix J ist: $${\text{J}}_{\text{k}}^{-1}=\frac{1}{{\text{J}}_{\mathrm{11,}\text{k}}*{\text{J}}_{\mathrm{22,}\text{k}}-{\text{J}}_{\mathrm{12,}\text{k}}*{\text{J}}_{\mathrm{21,}\text{k}}}*\left[\begin{array}{cc}{\text{J}}_{\mathrm{22,}\text{k}}& -{\text{J}}_{\mathrm{12,}\text{k}}\\ -{\text{J}}_{\mathrm{21,}\text{k}}& {\text{J}}_{\mathrm{11,}\text{k}}\end{array}\right],$$

The multiplication inverse of the matrix J is: $${\text{J}}_{\text{k}}^{-1}=\frac{1}{{\text{J}}_{\mathrm{11,}\text{k}}*{\text{J}}_{\mathrm{22,}\text{k}}-{\text{J}}_{\mathrm{12,}\text{k}}*{\text{J}}_{\mathrm{21,}\text{k}}}*\left[\begin{array}{cc}{\text{J}}_{\mathrm{22,}\text{k}}& -{\text{J}}_{\mathrm{12,}\text{k}}\\ -{\text{J}}_{\mathrm{21,}\text{k}}& {\text{J}}_{\mathrm{11,}\text{k}}\end{array}\right],$$

In einer vorteilhaften Ausführungsform können zwischen zwei Iterationsschritten k und k+1 die Werte R_k+1 und L_k+1 mehrfach ermittelt werden. Hierzu wird eine weitere Iterationsschleife mit einer Laufvariablen j durchgeführt. Diese weitere Iterationsschleife wird mindestens einmal durchlaufen. Die maximale Anzahl Iterationsschritte j kann mit der zur Verfügung stehenden Rechenzeit korrelieren.In an advantageous embodiment, the values R _k+1 and L _k+1 can be determined multiple times between two iteration steps k and k+1. For this purpose, a further iteration loop is carried out with a control variable j. This further iteration loop is run through at least once. The maximum number of iteration steps j can correlate with the available computing time.

Zusätzlich zu der Gleichung (13) kann somit für jeden Iterationsschritt k eine iterative Lösung mit folgender Gleichung erfolgen: $$\left[\begin{array}{c}{\text{R}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}+1}\\ {\text{L}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\text{R}}_{\text{k}+\text{1}\text{,j}}\\ {\text{L}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}}\end{array}\right]-\mathrm{\lambda }*{\text{J}}_{\text{k}\text{,j}}^{-1}\left({\text{R}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}},{\text{ L}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}}\right)*{\text{f}}_{\text{k}\text{,j}}\left({\text{R}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}},{\text{ L}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}}\right).$$

In addition to equation (13), an iterative solution with the following equation can be used for each iteration step k: $$\left[\begin{array}{c}{\text{R}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}+1}\\ {\text{L}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\text{R}}_{\text{k}+\text{1}\text{,j}}\\ {\text{L}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}}\end{array}\right]-\mathrm{\lambda }*{\text{J}}_{\text{k}\text{,j}}^{-1}\left({\text{R}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}},{\text{L}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}}\right)*{\text{f}}_{\text{k}\text{,j}}\left({\text{R}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}},{\text{L}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}}\right).$$

Die (innere) Iteration mit der Laufvariablen j beginnt mit dem Wert j=1. Der Widerstandswert R_k+1,j des aktuellen Iterationsschrittes k+1 wird auf den Widerstandwert R_k,n des vorangegangenen Iterationsschrittes k und des letzten Iterationsschrittes j=n gesetzt.The (inner) iteration with the control variable j starts with the value j=1. The resistance value R _k+1,j of the current iteration step k+1 is set to the resistance value R _k,n of the preceding iteration step k and the last iteration step j=n.

Als Startwerte bei k=1 und j=1 können für R_k,n der im letzten Betriebszyklus ermittelte und gespeicherte Widerstandswert R oder ein Nennwert des Wicklungswiderstands R_wicklung der Spule genommen werden.The resistance value R determined and stored in the last operating cycle or a nominal value of the winding resistance R _winding of the coil can be taken as starting values for k=1 and j=1 for R _k,n .

Bei einer zeitveränderlichen Induktivität und einem nicht vernachlässigbaren Betrag L * i(t) gegenüber dem ohmschen Spannungsabfall R*i(t) nimmt die Gleichung (1) die folgende Form an: $$\text{u}\left(\text{t}\right)=\text{R}*\text{i}\left(\text{t}\right)+\frac{\partial \text{L}}{\partial \text{t}}*\text{i}\left(\text{t}\right)+\text{L}\left(\text{t}\right)\frac{\partial \text{i}}{\partial \text{t}}=\underset{\tilde{\text{R}}\left(\text{t}\right)}{\underbrace{\left[R+\frac{\partial \text{L}}{\partial \text{t}}\right]}}*\text{i}\left(\text{t}\right)+\text{L}\left(\text{t}\right)\frac{\partial \text{i}}{\partial \text{t}}$$

For a time-varying inductance and a non-negligible amount L * i(t) compared to the ohmic voltage drop R*i(t), equation (1) takes the following form: $$\text{and}\left(\text{t}\right)=\text{R}*\text{i}\left(\text{t}\right)+\frac{\partial \text{L}}{\partial \text{t}}*\text{i}\left(\text{t}\right)+\text{L}\left(\text{t}\right)\frac{\partial \text{i}}{\partial \text{t}}=\underset{\tilde{\text{R}}\left(\text{t}\right)}{\underbrace{\left[R+\frac{\partial \text{L}}{\partial \text{t}}\right]}}*\text{i}\left(\text{t}\right)+\text{L}\left(\text{t}\right)\frac{\partial \text{i}}{\partial \text{t}}$$

Die Zeitvariabilität hat daher denselben Einfluss wie ein fiktiver zeitveränderlicher Widerstand R̃(t). Ist die Veränderung der Induktivität verglichen mit der Grundfrequenz der PWM langsam und die Zeitfunktion R̃(t) aus der Identifikation bekannt, kann für die Regelung die Gleichung (5) weiter verwendet werden. Anstelle des ohmschen Widerstands R_k ist lediglich der zum jeweiligen Iterationsschritt k geltende Wert von R̃_k(t) zu verwenden, wobei der Widerstand nach folgender Gleichung ermittelt wird: $${\tilde{\text{R}}}_{\text{k}}={\text{R}}_{\text{k}}+\frac{{\text{L}}_{\text{k}}-{\text{L}}_{\text{k}}-1}{\text{T}}.$$

The time variability therefore has the same influence as a fictitious time-varying resistance R̃(t). If the change in inductance is slow compared to the fundamental frequency of the PWM and the time function R̃(t) is known from the identification, equation (5) can continue to be used for control. Instead of the ohmic resistance R _{k ,} the value of R̃ _k (t) valid for the respective iteration step k is to be used, whereby the resistance is determined using the following equation: $${\tilde{\text{R}}}_{\text{k}}={\text{R}}_{\text{k}}+\frac{{\text{L}}_{\text{k}}-{\text{L}}_{\text{k}}-1}{\text{T}}.$$

Zur Identifikation des Systems kann folgende Gleichung (16) verwendet werden: $$\left[\begin{array}{c}{\tilde{\text{R}}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}+1}\\ {\text{L}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\tilde{\text{R}}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}}\\ {\text{L}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}}\end{array}\right]-\mathrm{\lambda }*{\text{J}}_{\text{k}\text{,j}}^{-1}\left({\tilde{\text{R}}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}},{\text{L}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}}\right)*{\text{f}}_{\text{k}\text{,j}}\left({\tilde{\text{R}}}_{\text{k}+\text{1}\text{,j}},{\text{ L}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}}\right)$$

The following equation (16) can be used to identify the system: $$\left[\begin{array}{c}{\tilde{\text{R}}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}+1}\\ {\text{L}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\tilde{\text{R}}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}}\\ {\text{L}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}}\end{array}\right]-\mathrm{\lambda }*{\text{J}}_{\text{k}\text{,j}}^{-1}\left({\tilde{\text{R}}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}},{\text{L}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}}\right)*{\text{f}}_{\text{k}\text{,j}}\left({\tilde{\text{R}}}_{\text{k}+\text{1}\text{,j}},{\text{L}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}}\right)$$

Mittels einer Iteration mit der Laufvariablen j können die Induktivität L_k+1,j und der Widerstand R̃_k+1,j zwischen zwei Iterationsschritten k mehrfach bestimmt werden. Prinzipiell besteht die Möglichkeit, die Iteration über j zur Lösung des Gleichungssystems f_k=0 in jedem Iterationsschritt k bis zu einem ausreichenden Maß an Konvergenz durchzuführen. Mindestens sollte jedoch ein Iterationsschritt j pro Iterationsschritt k durchgeführt werden. Die maximale Anzahl an Iterationsschritten j ist insbesondere bei sog. Online-Anwendungen durch die zwischen zwei Iterationsschritten k zur Verfügung stehende Rechenzeit beschränkt.By means of an iteration with the running variable j, the inductance L _k+1,j and the resistance R̃ _k+1,j can be determined several times between two iteration steps k. In principle, it is possible to iterate over j to solve the system of equations f _k =0 in each iteration step k up to a sufficient degree of convergence. However, at least one iteration step j should be carried out for each iteration step k. The maximum number of iteration steps j is limited, particularly in so-called online applications, by the computing time k available between two iteration steps.

Im Vergleich der Gleichung (16) zu der Gleichung (13) liegen einerseits in jedem Iterationsschritt k verschiedene Werte von L und R vor und andererseits wird R̃(t) anstelle R(t) ermittelt.In the comparison of equation (16) to equation (13), on the one hand there are k different values of L and R in each iteration step and on the other hand R̃(t) is determined instead of R(t).

Die Gleichung (16) liefert somit neben der zeitveränderlichen Induktivität L_k+1 den fiktiven Widerstand R̃_k+1. Die Ermittlung des Widerstandswerts erfolgt zeitkontinuierlich über R = R̃(t) - L(t). In zeitdiskreter Darstellung lässt sich dies durch folgende Gleichung $${\text{R}}_{\text{k}+1}={\tilde{\text{R}}}_{\text{k}+1}-\frac{{\text{L}}_{\text{k}+1}-{\text{L}}_{\text{k}}}{\text{T}}$$

über den entsprechenden Differenzquotienten approximieren, wobei die Periodendauer T die Zeitspanne zwischen den beiden Zeitpunkten t=k*T (Ermittlung von R_k+1 und L_k+1) und t=(k-1)*T (Ermittlung von R_k und L_k) ist.In addition to the time-varying inductance L _{k+1 ,} equation (16) thus provides the fictitious resistance R̃ _k+1 . The resistance value is determined continuously over time via R = R̃(t) - L(t). In a time-discrete representation, this can be represented by the following equation $${\text{R}}_{\text{k}+1}={\tilde{\text{R}}}_{\text{k}+1}-\frac{{\text{L}}_{\text{k}+1}-{\text{L}}_{\text{k}}}{\text{T}}$$

using the corresponding difference quotient, with the period T being the time span between the two points in time t=k*T (determination of R _k+1 and L _k+1 ) and t=(k-1)*T (determination of R _k and L _k ).

Sofern eine Veränderung von R_k und L_k im Verhältnis zur Grundfrequenz der PWM „langsam“ ist, kann die Gleichung (13) ergänzt werden und R_k und L_k können wie folgt bestimmt werden: $$\left[\begin{array}{c}{\tilde{\text{R}}}_{\text{k}+\text{1}}\\ {\text{L}}_{\text{k}+\text{1}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\tilde{\text{R}}}_{\text{k}}\\ {\text{L}}_{\text{k}}\end{array}\right]-\mathrm{\lambda }*{\text{J}}_{\text{k}}^{-1}*\left({\tilde{\text{R}}}_{\text{k}}{\text{,L}}_{\text{k}}\right)*{\text{f}}_{\text{k}}\left({\tilde{\text{R}}}_{\text{k}}{\text{,L}}_{\text{k}}\right)$$

$${\text{R}}_{\text{k}+1}={\tilde{\text{R}}}_{\text{k}+1}-\frac{{\text{L}}_{\text{k}+1}-{\text{L}}_{\text{k}}}{\text{T}}$$

If changing _Rk and _Lk is “slow” relative to the fundamental frequency of the PWM, equation (13) can be supplemented and _Rk and _Lk can be determined as follows: $$\left[\begin{array}{c}{\tilde{\text{R}}}_{\text{k}+\text{1}}\\ {\text{L}}_{\text{k}+\text{1}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\tilde{\text{R}}}_{\text{k}}\\ {\text{L}}_{\text{k}}\end{array}\right]-\mathrm{\lambda }*{\text{J}}_{\text{k}}^{-1}*\left({\tilde{\text{R}}}_{\text{k}}{\text{,L}}_{\text{k}}\right)*{\text{f}}_{\text{k}}\left({\tilde{\text{R}}}_{\text{k}}{\text{,L}}_{\text{k}}\right)$$

$${\text{R}}_{\text{k}+1}={\tilde{\text{R}}}_{\text{k}+1}-\frac{{\text{L}}_{\text{k}+1}-{\text{L}}_{\text{k}}}{\text{T}}$$

Durch die Gleichungen (18.1) und (18.2) wird die Echtzeitfähigkeit maßgeblich gesteigert.Equations (18.1) and (18.2) significantly increase real-time capability.

Als Startwerte für die Iteration auf Basis der Messwerte aus dem Iterationsschritt k sind jeweils die Ergebnisse aus dem vorangegangenen Iterationsschritt k-1 zu verwenden. Dieser Algorithmus ist dann echtzeitfähig, sofern die Iteration nur für eine kleine Anzahl an Iterationsschritten j ausgeführt wird. Dabei ist zu berücksichtigen, dass das Ende der Iteration über j vor dem Ende der PWM erfolgt.The results from the previous iteration step k-1 are to be used as starting values for the iteration based on the measured values from iteration step k. This algorithm is then capable of real-time if the iteration is only carried out for a small number of iteration steps j. It should be noted that the end of the iteration over j occurs before the end of the PWM.

Figurenlistecharacter list

Es zeigen:

• 1: zeitliche Verläufe der Spannung und des Stromes;
• 2: ein Flussdiagramm einer Variante des erfindungsgemäßen Verfahrens;
• 3: ein Flussdiagramm einer weiteren Variante des erfindungsgemäßen Verfahrens;
• 4: ein Schaubild einer Brückenschaltung.

Show it:

• 1 : Voltage and current curves over time;
• 2 : a flow chart of a variant of the method according to the invention;
• 3 : a flowchart of a further variant of the method according to the invention;
• 4 : a diagram of a bridge circuit.

In 1 sind zeitliche Verläufe der Spannung u(t) und des Stromes i(t) dargestellt. Der Zeitverlauf t ist in einzelne Iterationsschritte k unterteilt. Die Zeitdauer eines Iterationsschritts k entspricht der Periodendauer T. Die Impulsdauer τ_k eines Iterationsschritts k kann unterschiedlich sein, ist in 1 jedoch konstant. Während der Impulsdauer τ_k liegt eine positive Spannung +U_k an, andernfalls liegt eine negative Spannung -U_k an.In 1 the time characteristics of the voltage u(t) and the current i(t) are shown. The time course t is divided into individual iteration steps k. The duration of an iteration step k corresponds to the period duration T. The pulse duration τ _k of an iteration step k can be different, is in 1 however constant. A positive voltage +U _k is present during the pulse duration τ _k , otherwise a negative voltage -U _k is present.

Weiterhin sind die Iterationsschritte von k=1 bis k=4 eingetragen.Furthermore, the iteration steps from k=1 to k=4 are entered.

Die zeitliche Dauer des Iterationsschritts k=1 beträgt (0; T].The duration of the iteration step k=1 is (0; T].

Die zeitliche Dauer des Iterationsschritts k=2 ist (T; 2T].The duration of the iteration step k=2 is (T; 2T].

Allgemein ist die zeitliche Dauer des Iterationsschritts k ((k-1)*T; k*T].In general, the duration of the iteration step is k ((k-1)*T; k*T].

Der Verlauf des Stroms i(t) ist aufgrund des Wechsels zwischen positiver und negativer Spannung U_k sägezahnförmig.The course of the current i(t) is sawtooth-shaped due to the alternation between positive and negative voltage U _k .

Die Spannung U_k wird zum Zeitpunkt t=(k-1)*T gemessen. Im ersten Iterationsschritt k=1 wird als Spannungswert U₁ die Speisespannung U der Brückenschaltung herangezogen.The voltage U _k is measured at time t=(k-1)*T. In the first iteration step k=1, the supply voltage U of the bridge circuit is used as the voltage value U ₁ .

Zum Zeitpunkt t=0 wird der Strom io gemessen.The current io is measured at time t=0.

Am Ende der Impulsdauer, d.h. zum Zeitpunkt t=(k-1)*T+τ_k, wird der Strom i_i,k gemessen. Am Ende der Periodendauer, d.h. zum Zeitpunkt t=k*T, wird der Strom i_2,k gemessen.At the end of the pulse duration, ie at the time t=(k-1)*T+τ _k , the current i _i,k is measured. At the end of the period, ie at the time t=k*T, the current i _2,k is measured.

In 2 ist ein Flussdiagramm einer Variante des erfindungsgemäßen Verfahrens dargestellt.In 2 a flowchart of a variant of the method according to the invention is shown.

In Schritt S1 werden die Periodendauer T und die Schrittweite λ eingelesen, die Konstanten sind und beim Systementwurf festgelegt werden.In step S1, the period T and the increment λ are read in, which are constants and are specified in the system design.

Ein Start-Induktivitätswert L₁ und ein Start-Widerstandswert R₁ werden geeignet festgelegt. Dazu können beispielsweise Nennwerte der Parameter, Erfahrungswerte aus der Entwurfsphase oder verwendete gespeicherte Werte vom letzten Durchlauf vor dem letzten Ausschalten (wird weiter unten ausgeführt) verwendet werden.A starting inductance value L ₁ and a starting resistance value R ₁ are set appropriately. For example, nominal values of the parameters, empirical values from the design phase or used stored values from the last run before the last switch-off (will be explained further below) can be used for this purpose.

Weiterhin wird in Schritt S1 zum Start-Zeitpunkt t=0 ein Start-Stromwert i_2,0 gemessen.Furthermore, a starting current value i _2.0 is measured in step S1 at the starting time t=0.

In Schritt S2 wird die Laufvariable k auf den Wert „1“ gesetzt.In step S2, the control variable k is set to the value "1".

In Schritt S3 wird zum Zeitpunkt t=(k-1)*T der Spannungswert U_k gemessen.In step S3, the voltage value U _k is measured at time t=(k−1)*T.

In Schritt S4 wird der Wert der Impulsdauer τ_k über das Regelungsgesetz, beispielsweise mittels der Gleichung (5) bestimmt, wobei der Sollwert ${\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}}^{\text{s}}$

von einer übergeordneten Steuerung vorgegeben werden kann.In step S4, the value of the pulse duration τ _k is determined via the control law, for example by means of equation (5), with the desired value ${\text{i}}_{}^{}$${}_{\mathrm{2,}\text{k}}^{\text{s}}$

can be specified by a higher-level controller.

In Schritt S5 wird zum Zeitpunkt t=(k-1)*T+τ_k der Stromwert i_1,k gemessen.In step S5, the current value i _1,k is measured at time t=(k−1)*T+τ _k .

In Schritt S6 wird zum Zeitpunkt t=k*T der Stromwert i_2,k gemessen.In step S6, the current value i _2,k is measured at time t=k*T.

In Schritt S7 werden die Induktivität L_k+1 und der Widerstand R_k+1 gemäß der Gleichung (13) ermittelt.In step S7, the inductance L _k+1 and the resistance R _k+1 are determined according to equation (13).

In Schritt S8 wird der Ankerweg s_k+1(L_k+1) aus dem s(L)-Kennfeld bestimmt.In step S8, the anchor travel s _k+1 (L _k+1 ) is determined from the s(L) family of characteristics.

In Schritt S9 erfolgt eine Abfrage, ob das Steuergerät eingeschalten bleibt.In step S9 there is a query as to whether the control unit remains switched on.

Sofern dies zutrifft, wird in Schritt S10 die Variable der Iterationsintervallzähler k um den Wert „1“ erhöht und es erfolgt ein Rücksprung zu Schritt S3. Andernfalls, d.h. bei einem Ausschalten des Steuergeräts, folgt Schritt S11.If this is the case, in step S10 the variable of the iteration interval counter k is increased by the value “1” and a return to step S3 takes place. Otherwise, i.e. when the control device is switched off, step S11 follows.

In Schritt S11 wird das Verfahren beendet.In step S11, the process ends.

Alternativ können die zuletzt berechnete Induktivität L_k+1 und der Widerstand R_k+1 im Nachlauf des Steuergerätes als Startwerte (siehe Ausführungen in Schritt S1 zu den Werten der Start-Induktivität L₁ und des Start-Widerstands R₁) für den erneuten Betrieb nach dem Einschalten abgespeichert werden, wobei diese Variante gestrichelt dargestellt ist.Alternatively, the last calculated inductance L _k+1 and the resistance R _k+1 in the run-on of the control unit can be used as starting values (see statements in step S1 regarding the values of the starting inductance L ₁ and the starting resistance R ₁ ) for renewed operation be saved after switching on, this variant being shown in dashed lines.

In 3 ist ein Flussdiagramm einer weiteren Variante des erfindungsgemäßen Verfahrens dargestellt.In 3 a flowchart of a further variant of the method according to the invention is shown.

In Schritt S1 werden die Periodendauer T und die Schrittweite λ eingelesen, die Konstanten sind und beim Systementwurf festgelegt werden.In step S1, the period T and the increment λ are read in, which are constants and are specified in the system design.

Ein Start-Induktivitätswert L₁ und ein Start-Widerstandswert R₁ werden geeignet, beispielsweise Nennwerte der Parameter oder Erfahrungswerte aus der Entwurfsphase, oder verwendete gespeicherte Werte vom letzten Durchlauf vor dem letzten Ausschalten (wird weiter unten ausgeführt), festgelegt.A starting inductance value L ₁ and a starting resistance value R ₁ are determined appropriately, for example nominal values of the parameters or empirical values from the design phase, or stored values used from the last run before the last switch-off (discussed further below).

Die Werte R₁ und L₁ werden den Iterationsvariablen R̃_1,n und L_1,n als Startwerte für den fiktiven Widerstandswert R̃_1,n bzw. für die zeitveränderliche Start-Induktivität L_1,n zugewiesen. Weiterhin wird in Schritt S1 zum Start-Zeitpunkt t=0 ein Start-Stromwert i_2,0 gemessen.The values R ₁ and L ₁ are assigned to the iteration variables R̃ _1,n and L _1,n as starting values for the fictitious resistance value R̃ _1,n and for the time-varying starting inductance L _1,n, respectively. Furthermore, a starting current value i _2.0 is measured in step S1 at the starting time t=0.

In Schritt S2 wird die Variable des Iterationsschritts k auf den Wert „1“ gesetzt.In step S2, the variable of the iteration step k is set to the value "1".

In Schritt S3 wird zum Zeitpunkt t=(k-1)*T der Spannungswert U_k gemessen.In step S3, the voltage value U _k is measured at time t=(k−1)*T.

In Schritt S4 wird der Wert der Impulsdauer τ_k über das Regelungsgesetz, beispielsweise mittels der Gleichung (5) bestimmt, wobei der Sollwert i_2,k von einer übergeordneten Steuerung vorgegeben werden kann..In step S4, the value of the pulse duration τ _k is determined via the control law, for example by means of equation (5), with the setpoint i _2,k being able to be specified by a higher-level controller.

In Schritt S5 wird zum Zeitpunkt t=(k-1)*T+τ_k der Stromwert i_1,k gemessen.In step S5, the current value i _1,k is measured at time t=(k−1)*T+τ _k .

In Schritt S6 wird zum Zeitpunkt t=k*T der Stromwert i_2,k gemessen.In step S6, the current value i _2,k is measured at time t=k*T.

In Schritt S7 wird die Laufvariable j auf den Wert „1“ gesetzt.In step S7, the control variable j is set to the value "1".

Weiterhin wird der Widerstandswert R_k+1,j des aktuellen Iterationsschritts k auf den Widerstandswert R̃_k,n des vorangegangenen Iterationsschrittes k-1 und des letzten Iterationsschrittes j gesetzt.Furthermore, the resistance value R _k+1,j of the current iteration step k is set to the resistance value R _k,n of the preceding iteration step k-1 and the last iteration step j.

Als Startwert bei k=1 und j=1 kann für R̃_k,n der im letzten Betriebszyklus ermittelte und gespeicherte Widerstandswert R̃ oder der Nennwert des Wicklungswiderstands R_wicklung genommen werden.The resistance value _R̃ determined and stored in the last operating cycle or the nominal value of the winding resistance R _winding can be taken as the starting value for k=1 and j=1 for R̃ k,n.

Zudem wird der Induktivitätswert L_k+1,j des aktuellen Iterationsschritts k auf den Induktivitätswert L_k,n des vorangegangenen Iterationsschrittes k-1 und des letzten Iterationsschrittes j gesetzt.In addition, the inductance value L _k+1,j of the current iteration step k is set to the inductance value L _k,n of the preceding iteration step k-1 and the last iteration step j.

In Schritt S8 werden die Induktivität L_k+1,j und der Widerstand R̃_k+1,,j gemäß der Gleichung (16) ermittelt.In step S8, the inductance L _k+1,j and the resistance R _k+1,,j are determined according to equation (16).

In Schritt S9 erfolgt die Abfrage, ob die Laufvariable j den Endwert n erreicht hat. Sofern dies nicht zutrifft, wird in Schritt S10 die Variable des Iterationsintervalls j um den Wert „1“ erhöht und es erfolgt ein Rücksprung zu Schritt S8. Andernfalls folgt Schritt S11.In step S9, the query is made as to whether the running variable j has reached the final value n. If this is not the case, in step S10 the variable of the iteration interval j is increased by the value “1” and a return to step S8 takes place. Otherwise step S11 follows.

In Schritt S11 werden der Widerstandswert R̃_k+1,n auf R_k+1 und der Induktivitätswert L_k+1,n auf L_k+1 gesetzt.In step S11, the resistance value R _k+1,n is set to R _k+1 and the inductance value L _k+1,n to L _k+1 .

In Schritt S12 wird der Widerstand R_k+1 gemäß der Gleichung (17) ermittelt.In step S12, the resistance R _k+1 is determined according to equation (17).

In Schritt S13 wird der Ankerweg s_k+1(L_k+1) aus dem s(L)-Kennfeld bestimmt.In step S13, the anchor travel s _k+1 (L _k+1 ) is determined from the s(L) family of characteristics.

In Schritt S14 erfolgt eine Abfrage, ob das Steuergerät eingeschalten bleibt.In step S14, a query is made as to whether the control unit remains switched on.

Sofern dies zutrifft, wird in Schritt S15 die Variable des Iterationsintervalls k um den Wert „1“ erhöht und es erfolgt ein Rücksprung zu Schritt S3. Andernfalls, d.h. bei einem Ausschalten des Steuergeräts, folgt Schritt S16.If this is the case, in step S15 the variable of the iteration interval k is increased by the value “1” and a return to step S3 takes place. Otherwise, i.e. when the control unit is switched off, step S16 follows.

In Schritt S16 wird das Verfahren beendet.In step S16, the process is ended.

Alternativ können die zuletzt berechnete Induktivität L_k+1 und der Widerstand R_k+1 im Nachlauf des Steuergerätes als Startwerte (siehe Ausführungen in Schritt S1 zu den Werten der Start-Induktivität L₁ und des Start-Widerstands R₁) für den erneuten Betrieb nach dem Einschalten abgespeichert werden, wobei diese Variante gestrichelt dargestellt ist.Alternatively, the last calculated inductance L _k+1 and the resistance R _k+1 in the run-on of the control unit can be used as starting values (see statements in step S1 regarding the values of the starting inductance L ₁ and the starting resistance R ₁ ) for renewed operation be saved after switching on, this variant being shown in dashed lines.

In 4 ist eine mögliche Realisierung einer vollgesteuerten Brückenschaltung mit der Speisespannung U der Brücke dargestellt.In 4 a possible realization of a fully controlled bridge circuit with the supply voltage U of the bridge is shown.

BezugszeichenlisteReference List

i2,0i2.0

Start-Stromwertstart current value

i1,ki1,k

erster Stromwert im Iterationsschritt kfirst current value in iteration step k

i2,ki2, k

zweiter Stromwert im Iterationsschritt k second current value in iteration step k

kk

Iterationsschritt, LaufvariableIteration step, control variable

jj

Iterationsschritt, LaufvariableIteration step, control variable

nn

Endwert der Laufvariablen j Final value of the control variable j

L1L1

Start-Induktivitätswertstarting inductance value

LkLuke

Induktivitätswert im Iterationsschritt k, berechnet auf Basis der Messwerte bei k-1Inductance value in iteration step k, calculated based on the measured values at k-1

L1,nL1,n

Start-Induktivitätswert der Iteration jStarting inductance value of iteration j

Lk,jLuke, j

Induktivitätswert in den Iterationsschritten k und j, berechnet auf Basis der Messwerte bei k-1Inductance value in iteration steps k and j, calculated based on the measured values at k-1

R1R1

Start-Widerstandswertstarting resistance value

Rkrk

Widerstandswert im Iterationsschritt k, berechnet auf Basis der Messwerte bei k-1Resistance value in the iteration step k, calculated on the basis of the measured values at k-1

Rk,jRk,j

fiktiver Widerstandswert in den Iterationsschritten k und j, berechnet auf Basis der Messwerte bei k-1fictitious resistance value in the iteration steps k and j, calculated on the basis of the measured values at k-1

R̃1,nR̃1,n

Startwert des fiktiven Widerstandswerts R̃_k,j der Iteration j Initial value of the fictitious resistance value R̃ _k,j of iteration j

sksc

Ankerweganchor way

sk(Lk)sk(Lk)

Kennlinie curve

S1S1

SchrittStep

S2S2

SchrittStep

S3S3

SchrittStep

S4S4

SchrittStep

S5S5

SchrittStep

S6S6

SchrittStep

S7S7

SchrittStep

S8S8

SchrittStep

S9S9

SchrittStep

S10S10

SchrittStep

S11S11

SchrittStep

S12S12

SchrittStep

S13S13

SchrittStep

S14S14

SchrittStep

S15S15

SchrittStep

S16S16

Schritt Step

TT

Periodendauerperiod duration

tt

Zeitpunkt time

Uu

Speisespannung der Brückenschaltungsupply voltage of the bridge circuit

UkUK

Spannungswert im Iterationsschritt k Stress value in iteration step k

τkτk

Impulsdauer im Iterationsschritt kPulse duration in iteration step k

XX

Schrittweiteincrement

Claims (9)

Verfahren zur Ermittlung der Induktivität (L_k) als Eingangsgröße für eine Kennlinie (s_k(L_k)) eines Ankerweges (s_k) einer Spule eines Schaltmagneten, - wobei die Spule abwechselnd mit einer positiven und einer negativen Spannung (+U, -U) beaufschlagt wird, - und wobei der zeitliche Beginn sowie die zeitliche Dauer zwischen zwei Iterationsschritten (k) denen einer Periodendauer (T) entsprechen, - und wobei eine Impulsdauer (τ_k) eines jeden Iterationsschritts (k) variabel sein kann, - und wobei zu Beginn des Verfahrens zu einem Start-Zeitpunkt (t=0), welcher sich abhängig von einer äquidistanten Lage der steigenden oder fallenden Flanke an einer steigenden oder fallenden Flanke der Spannung (U) an der Spule des Schaltmagneten orientiert, ein Start-Stromwert (i₀) gemessen wird, - und wobei für jeden Iterationsschritt (k) zum Zeitpunkt (t=(k-1)*T+τ_k) ein erster Stromwert (i_1,k) und zum Zeitpunkt (t=k*T) ein zweiter Stromwert (i_2,k) gemessen werden, und die Induktivität für den nächsten Iterationsschritt (L_k+1) anhand der Induktivität (L_k) und des zweiten Stromwertes (i_2,k-1) des vorangegangenen Iterationsschritts (k-1), wobei für den ersten Iterationsschritt (k=1) anstelle der Induktivität (L_k) eine vorgegebene Start-Induktivität (L₁) und anstelle des zweiten Stromwertes (i_2,k-1) des Vorgängerintervalls der Start-Stromwert (i₀) herangezogen werden, und anhand des ersten Stromwertes (i_1,k) und zweiten Stromwertes (i_2,k) dieses Iterationsschrittes (k) ermittelt wird.Method for determining the inductance (L _k ) as an input variable for a characteristic curve ( _sk (L _k )) of an armature travel ( _sk ) of a coil of a switching magnet, - the coil being alternately supplied with a positive and a negative voltage (+U, - U) is applied, - and wherein the time beginning and the time duration between two iteration steps (k) correspond to those of a period duration (T), - and wherein a pulse duration (τ _k ) of each iteration step (k) can be variable, - and a starting current value at the beginning of the method at a starting time (t=0), which is based on a rising or falling edge of the voltage (U) at the coil of the switching magnet, depending on an equidistant position of the rising or falling edge (i ₀ ) is measured, - and wherein for each iteration step (k) at time (t=(k-1)*T+τ _k ) a first current value (i _1,k ) and at time (t=k*T ) a second current value (i _2,k ) can be measured, and the inductance for the next iteration step (L _k+1 ) based on the inductance (L _k ) and the second current value (i _2,k-1 ) of the previous iteration step (k -1), where for the first iteration step (k=1) instead of the inductance (L _k ) a given start inductance (L ₁ ) and instead of the second current value (i _2,k-1 ) of the previous interval the start current value ( i ₀ ) are used, and is determined on the basis of the first current value (i _1,k ) and second current value (i _2,k ) of this iteration step (k). Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass zum Zeitpunkt (t=(k-1)*T) die Spannung (U_k) gemessen und zur Ermittlung der Induktivität (L_k+1) herangezogen wird.procedure after claim 1 , characterized in that at the time (t=(k-1)*T) the voltage (U _k ) is measured and used to determine the inductance (L _k+1 ). Verfahren nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, dass zum Start-Zeitpunkt (t=0) die Spule mit einer positiven Spannung (+U) beaufschlagt wird, und die Induktivität (L_k+1) und ein Widerstand (R_k+1) mittels eines vorgegebenen Start-Widerstands (R₁), einer vorgegebenen Impulsdauer (τ_k) und einer Schrittweite (λ) anhand der Gleichung $$\left[\begin{array}{c}{\text{R}}_{\text{k}+1}\\ {\text{L}}_{\text{k}+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\text{R}}_{\text{k}}\\ {\text{L}}_{\text{k}}\end{array}\right]-\mathrm{\lambda }{\text{*J}}_{\text{k}}^{-1}\left({\text{R}}_{\text{k}},{\text{L}}_{\text{k}}\right)*{\text{f}}_{\text{k}}\left({\text{R}}_{\text{k}},{\text{L}}_{\text{k}}\right)$$

mit $${\text{J}}_{\mathrm{11,}\text{k}}=\frac{\partial {\text{f}}_{\mathrm{1,}\text{k}}}{\partial {\text{R}}_{\text{k}}}=\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}^2}\left(1-{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\right)+\frac{{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}*{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}*{\text{R}}_{\text{k}}}*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}*\frac{{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}*{\text{e}}^{\text{-}\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}$$

$${\text{J}}_{\mathrm{12,}\text{k}}=\frac{\partial {\text{f}}_{\text{1}\text{,k}}}{\partial {\text{L}}_{\text{k}}}=\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}^2}\left(-\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}+{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}\right)*e^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}$$

$$\begin{array}{l}{\text{J}}_{\mathrm{21,}\text{k}}=\frac{\partial {\text{f}}_{\mathrm{2,}\text{k}}}{\partial {\text{R}}_{\text{k}}}=\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}^2}-\frac{\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}\left(2*\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}*e^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}+{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}-\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\right)*e^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\\ +\left(\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}^2}-2*\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}^2}*e^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}+2*\frac{{\text{U}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}*{\text{L}}_{\text{k}}}\right)*e^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\end{array}$$

$$\begin{array}{l}{\text{J}}_{\mathrm{22,}\text{k}}=\frac{\partial {\text{f}}_{\mathrm{2,}\text{k}}}{\partial {\text{L}}_{\text{k}}}=\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}^2}\left(2*\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}*e^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}+{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}-\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\right)*e^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\\ -2*\frac{{\text{U}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}^2}*e^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}*e^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\end{array}$$

$${\text{f}}_{\text{k}}\left({\text{R}}_{\text{k}},{\text{L}}_{\text{k}}\right)=\left[\begin{array}{c}{\text{f}}_{\mathrm{1,}\text{k}}\left({\text{R}}_{\text{k}},{\text{L}}_{\text{k}}\right)\\ {\text{f}}_{\mathrm{2,}\text{k}}\left({\text{R}}_{\text{k}},{\text{L}}_{\text{k}}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\left(1-e^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\right)+{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}*e^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-{\text{i}}_{\mathrm{1,}\text{k}}\\ -\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}+(\frac{{\text{U}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\left(2*e^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-1\right)+{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1})*e^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}}\end{array}\right]$$

ermittelt wird.procedure after claim 2 , characterized in that at the start time (t = 0) the coil with a positive voltage (+U) is applied, and the inductance (L _{k + 1} ) and a resistance (R _{k + 1} ) by means of a predetermined start Resistance (R ₁ ), a predetermined pulse duration (τ _k ) and an increment (λ) using the equation $$\left[\begin{array}{c}{\text{R}}_{\text{k}+1}\\ {\text{L}}_{\text{k}+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\text{R}}_{\text{k}}\\ {\text{L}}_{\text{k}}\end{array}\right]-\mathrm{\lambda }{\text{*J}}_{\text{k}}^{-1}\left({\text{R}}_{\text{k}},{\text{L}}_{\text{k}}\right)*{\text{f}}_{\text{k}}\left({\text{R}}_{\text{k}},{\text{L}}_{\text{k}}\right)$$

with $${\text{J}}_{\mathrm{11,}\text{k}}=\frac{\partial {\text{f}}_{\mathrm{1,}\text{k}}}{\partial {\text{R}}_{\text{k}}}=\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}^2}\left(1-{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\right)+\frac{{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}*{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}*{\text{R}}_{\text{k}}}*{\text{e}}^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}*\frac{{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}*{\text{e}}^{\text{-}\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}$$

$${\text{J}}_{\mathrm{12,}\text{k}}=\frac{\partial {\text{f}}_{\text{1}\text{,k}}}{\partial {\text{L}}_{\text{k}}}=\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}^2}\left(-\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}+{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}\right)*e^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}$$

$$\begin{array}{l}{\text{J}}_{\mathrm{21,}\text{k}}=\frac{\partial {\text{f}}_{\mathrm{2,}\text{k}}}{\partial {\text{R}}_{\text{k}}}=\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}^2}-\frac{\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}\left(2*\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}*e^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}+{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}-\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\right)*e^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\\ +\left(\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}^2}-2*\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}^2}*e^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}+2*\frac{{\text{u}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}*{\text{L}}_{\text{k}}}\right)*e^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\end{array}$$

$$\begin{array}{l}{\text{J}}_{\mathrm{22,}\text{k}}=\frac{\partial {\text{f}}_{\mathrm{2,}\text{k}}}{\partial {\text{L}}_{\text{k}}}=\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*\text{T}}{{\text{L}}_{\text{k}}^2}\left(2*\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}*e^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}+{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}-\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\right)*e^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\\ -2*\frac{{\text{u}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}^2}*e^{\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}*e^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\end{array}$$

$${\text{f}}_{\text{k}}\left({\text{R}}_{\text{k}},{\text{L}}_{\text{k}}\right)=\left[\begin{array}{c}{\text{f}}_{\mathrm{1,}\text{k}}\left({\text{R}}_{\text{k}},{\text{L}}_{\text{k}}\right)\\ {\text{f}}_{\mathrm{2,}\text{k}}\left({\text{R}}_{\text{k}},{\text{L}}_{\text{k}}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\left(1-e^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}\right)+{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1}*e^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-{\text{i}}_{\mathrm{1,}\text{k}}\\ -\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}+(\frac{{\text{u}}_{\text{k}}}{{\text{R}}_{\text{k}}}\left(2*e^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-1\right)+{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}-1})*e^{-\frac{{\text{R}}_{\text{k}}*{\mathrm{\tau }}_{\text{k}}}{{\text{L}}_{\text{k}}}}-{\text{i}}_{\mathrm{2,}\text{k}}\end{array}\right]$$

is determined. Verfahren nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, dass für jeden Iterationsschritt (k) mindestens ein Iterationsschritt (j) anhand der Gleichung $\left[\begin{array}{c}{\text{R}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}+1}\\ {\text{L}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\text{R}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}}\\ {\text{L}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}}\end{array}\right]-\mathrm{\lambda \ast }{\text{J}}_{\text{k},\text{j}}^{-1}\left({\text{R}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}},{\text{L}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}}\right)*{\text{f}}_{\text{k}\text{,j}}\left({\text{R}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}},{\text{L}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}}\right)$

durchgeführt wird.procedure after claim 3 , characterized in that for each iteration step (k) at least one iteration step (j) based on the equation $\left[\begin{array}{c}{\text{R}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}+1}\\ {\text{L}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\text{R}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}}\\ {\text{L}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}}\end{array}\right]-\mathrm{\lambda \ast }{\text{J}}_{\text{k},\text{j}}^{-1}\left({\text{R}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}},{\text{L}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}}\right)*{\text{f}}_{\text{k}\text{,j}}\left({\text{R}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}},{\text{L}}_{\text{k}+\mathrm{1,}\text{j}}\right)$

is carried out. Verfahren nach Anspruch 3 oder 4, dadurch gekennzeichnet, dass anstatt des Widerstands (R_k+1) ein zeitveränderlicher Widerstand (R̃_k+1) nach der Gleichung ${\tilde{\text{R}}}_{\text{k}+1}={\text{R}}_{\text{k}+1}+\frac{{\text{L}}_{\text{k}+1}-{\text{L}}_{\text{k}}}{\text{T}}$

ermittelt wird.procedure after claim 3 or 4 , characterized in that instead of the resistance (R _{k + 1} ) a time-varying resistance (R̃ _{k + 1} ) according to the equation ${\tilde{\text{R}}}_{\text{k}+1}={\text{R}}_{\text{k}+1}+\frac{{\text{L}}_{\text{k}+1}-{\text{L}}_{\text{k}}}{\text{T}}$

is determined. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass zum Startzeitpunkt (t=0) die Spule mit einer negativen Spannung (-U) beaufschlagt wird.procedure after claim 1 or 2 , characterized in that at the start time (t=0) the coil is subjected to a negative voltage (-U). Verfahren nach mindestens einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass das Verfahren mit dem Einschalten eines Steuergerätes gestartet und mit dem Ausschalten des Steuergerätes beendet wird.Method according to at least one of the preceding claims, characterized in that the method starts when a control unit is switched on and ends when the control unit is switched off. Verfahren nach mindestens einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass anstelle der vorgegebenen Start-Induktivität (L₁) eine aus einem bereits abgeschlossenen Verfahren ermittelte Induktivität (L_k+1) herangezogen wird.Method according to at least one of the preceding claims, characterized in that instead of the specified starting inductance (L ₁ ), an inductance (L _k+1 ) determined from a method which has already been completed is used. Verfahren nach mindestens einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass anstelle des vorgegebenen Start-Widerstands (R₁) ein aus einem bereits beendeten Verfahren ermittelter Widerstand (R_k+1) herangezogen wird.Method according to at least one of the preceding claims, characterized in that instead of the specified starting resistance (R ₁ ), a resistance (R _k+1 ) determined from a method which has already ended is used.

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