CZ309946B6

CZ309946B6 - Způsob stanovení komplexní permitivity

Info

Publication number: CZ309946B6
Application number: CZ2022-253A
Authority: CZ
Inventors: Michal Cifra; Cifra Michal Ing., Ph.D.; Petr KĹŻrka; Petr Bc Kůrka; Daniel HAVELKA; Havelka Daniel Ing., Ph.D.; Jaroslav HavlĂÄŤek; Havlíček Jaroslav Ing., Ph.D
Original assignee: Ústav fotoniky a elektroniky AV ČR, v. v. i
Priority date: 2022-06-09
Filing date: 2022-06-09
Publication date: 2024-02-21
Also published as: CZ2022253A3

Abstract

Předkládané řešení poskytuje způsob stanovení komplexní permitivity měřeného vzorku, který obsahuje kroky: a) určení komplexní permitivity kalibračních vzorků a dielektrického substrátu přenosového vedení; b) aplikace alespoň dvou kalibračních vzorků na úsek přenosového vedení obsahujícího dielektrický substrát, na němž jsou naneseny elektrické vodiče; c) změření rozptylových parametrů přenosového vedení pro každý kalibrační vzorek pomocí obvodového analyzátoru; d) určení konstanty šíření a charakteristické impedance v úseku přenosového vedení se vzorkem pro jeden kalibrační vzorek pomocí numerického simulátoru elektromagnetického pole; e) určení konstanty šíření v úseku přenosového vedení se vzorkem pro druhý kalibrační vzorek pomocí stopové rovnice; f) poskytnutí koeficientů tvaru pole; g) aplikace měřeného vzorku na stejné přenosové vedení; h) změření rozptylových parametrů přenosového vedení s měřeným vzorkem pomocí obvodového analyzátoru; i) určení konstanty šíření v úseku přenosového vedení s měřeným vzorkem pomocí stopové rovnice a výběr správných řešení stopové rovnice pomocí heuristického algoritmu; j) výpočet komplexní permitivity měřeného vzorku naměřených a vypočtených parametrů.

Description

Způsob stanovení komplexní permitivity

Oblast techniky

Vynález se týká způsobu stanovení širokopásmové komplexní permitivity vzorků. Stanovení komplexní permitivity materiálů je důležité pro vývoj elektromagnetických technologií, jako bezdrátové komunikace, radarů, či pro určení elektromagnetických vlastností biomolekul a buněk.

Dosavadní stav techniky

Znalost elektromagnetických vlastností biomolekul je důležitá pro pochopení interakce elektrických polí s biosystémy a pro vývoj nových biomedicínských diagnostických a terapeutických metod. Elektromagnetická pole na rádiových a mikrovlnných frekvencích interagují s biologickými systémy zejména prostřednictvím elektrické složky pole. Stanovení permitivity biomolekul je tedy zásadní pro určení elektromagnetických vlastností proteinů, buněk i celých organismů. Rozvoji v této oblasti však brání velké objemy vzorků potřebné pro určení permitivity.

Permitivita je mírou elektrické polarizovatelnosti dielektrika. Materiál mající vysokou permitivitu se v aplikovaném elektrickém poli polarizuje více než materiál s nízkou permitivitou. Na permitivitu lze hledět také jako na termodynamickou stavovou funkci, která může záviset na frekvenci, magnitudě a směru aplikovaného pole. Jednotkou SI permitivity je farad na metr (F/m).

Odpověď reálných materiál na aplikované elektrické pole obecně závisí na frekvenci pole. Tato závislost odráží skutečnost, že polarizace materiálu se nezmění okamžitě při aplikaci elektrického pole, ale mění se postupně (tj. se zpožděním), a až po jeho aplikaci. Polarizace materiálu je tedy fázově zpožděná. Z toho důvodu se permitivita často uvažuje a vyjadřuje jako vektorově, jako komplexní funkce kruhového kmitočtu aplikovaného pole. Reálná část této funkce odpovídá polarizaci, a komplexní část odpovídá fázovému zpoždění.

V současné době existuje několik typů metod pro stanovení komplexní permitivity. Metody využívající koaxiální sondu jsou většinou nedestruktivní, snadno proveditelné, dovolují měření v širokém frekvenčním rozsahu 0,2 až 50 GHz. Na druhou stranu však vyžadují poměrně velký objem vzorku, vzorek musí homogenní a izotropní, a je velmi problematické měřit pevné vzorky, rovněž se nedaří dosahovat vysoké přesnosti. Metody postavené na měření ve volném prostoru jsou bezkontaktní, a tedy nedestruktivní, frekvenční rozsah může sahat až do 325 GHz, ale jsou drahé a komplikované na provedení a při nižších frekvencích jsou potřeba velmi velké objemy vzorků. Metody využívající rezonanční dutiny jsou přesnější a spokojí se s menším objemem vzorků, ale nejsou vhodné pro materiály s vysokou ztrátou a poskytují výsledky pouze pro jedinou frekvenci. Metody využívající přenosového vedení jsou ekonomicky výhodné, pracují v širokém frekvenčním rozmezí 0,1 až 110 GHz, dovolují měřit i magnetické materiály, a pro měření je potřeba pouze malé množství vzorku. V metodách využívajících přenosového vedení je potřeba přesný tvar vzorku, a pro nízké frekvence je potřeba větší množství vzorku.

Různá provedení metod využívajících přenosového vedení jsou popsána například v US 20190377054, kde je ale horní využitelná frekvence jen 5 GHz; a v publikacích Bao Xiue et al., IEEE Microwave and Wireless Components Letters 28, No. 4 (2018), 356-58 a Liu Song et al., IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques 65, no. 12 (2017): 5063-73, kde je nutné využití mikrofluidického kanálu, a metoda měření není ani v jednom článku přesně popsaná.

- 1 CZ 309946 B6

Podstata vynálezu

Předmětem předkládaného vynálezu je způsob stanovení komplexní permitivity měřeného vzorku, který obsahuje kroky:

a) určení komplexní permitivity kalibračních vzorků a dielektrického substrátu přenosového vedení;

b) aplikace alespoň dvou kalibračních vzorků na úsek přenosového vedení obsahujícího dielektrický substrát, na němž jsou naneseny elektrické vodiče;

c) změření rozptylových parametrů přenosového vedení pro každý kalibrační vzorek pomocí obvodového analyzátoru;

d) určení konstanty šíření a charakteristické impedance v úseku přenosového vedení se vzorkem pro jeden kalibrační vzorek pomocí numerického simulátoru elektromagnetického pole;

e) určení konstanty šíření v úseku přenosového vedení se vzorkem pro druhý kalibrační vzorek pomocí stopové rovnice;

f) poskytnutí koeficientů tvaru pole K> a Kb, s výhodou určení koeficientů tvaru pole KaSlKb z konstant šíření kalibračních vzorků a komplexní permitivity kalibračních vzorků a dielektrického substrátu přenosového vedení pomocí rovnic yf - y² ₂ ^A ΐωζ^-^y _K YÚia - Yi^Ě2A kde yi je konstanta šíření v úseku přenosového vedení s prvním kalibračním vzorkem, ';.v je konstanta šíření v úseku přenosového vedení s druhým kalibračním vzorkem, j je imaginární číslo (f= -1), ω je úhlová frekvence (2π/), f je frekvence elektromagnetického pole, ZRL=yi Zi, kde Zi je charakteristická impedance přenosového vedení, ¹ je permitivita prvního ř* f* kalibračního vzorku, ² je permitivita druhého kalibračního vzorku a ^s je permitivita dielektrického substrátu;

g) aplikace měřeného vzorku na stejné přenosové vedení;

h) změření rozptylových parametrů přenosového vedení s měřeným vzorkem pomocí obvodového analyzátoru;

i) určení konstanty šíření v úseku přenosového vedení s měřeným vzorkem pomocí stopové rovnice a výběr správných řešení stopové rovnice pomocí heuristického algoritmu;

Z-*

j) výpočet komplexní permitivity měřeného vzorku ^u z konstanty šíření v úseku přenosového vedení s měřeným vzorkem, z konstanty šíření v úseku přenosového vedení s jedním kalibračním vzorkem a z koeficientů tvaru pole pomocí rovnice

-2CZ 309946 B6 ___________Ml'______

K_A kde Ka a Kb jsou koeficienty tvaru elektrického pole, je konstanta šíření v úseku přenosového vedení s jedním kalibračním vzorkem, yu je konstanta šíření v úseku přenosového vedení €* f* s měřeným vzorkem, ¹ je permitivita jednoho kalibračního vzorku a ^s je permitivita dielektrického substrátu.

Předkládaný vynález tedy poskytuje novou metodu pro získání komplexní permitivity ve frekvenčním pásmu 1,5 GHz až 50 GHz (tj. širokopásmové komplexní permitivity) založené na přenosovém vedení, s výhodou na zemněném koplanámím vlnovodu. Hlavní výhodou této metody je možnost měřit dielektrické vlastnosti extrémně malých objemů vzorků (řádově stovky μΐ), přibližně 20-krát menších než u dosud komerčně dostupných metod. Další výhodou je, že metoda nevyžaduje použití mikrofluidického kanálu. Přesnost stanovení komplexní permitivity je srovnatelná se stávajícími komerčně využívanými metodami. Metoda funguje nezávisle na výrobci obvodového analyzátoru.

Kalibrační i měřené vzorky se aplikují na stejný úsek stejného přenosového vedení. Výhodou je, že nezávisí na skupenství vzorku, vzorek může být plynný, kapalný i pevnolátkový.

Přenosové vedení je definováno jako struktura umožňující šíření elektromagnetické vlny. Přenosové vedení se skládá z planámího dielektrického substrátu, středního vodiče a alespoň dvou zemnicích vodičů, přičemž střední vodič a zemnicí vodiče jsou s výhodou umístěné v jedné rovině (tj. koplanámí přenosové vedení) na jedné straně dielektrického substrátu. S výhodou je přenosové vedení zemněné umístěním dalšího zemnícího vodiče na druhou stranu dielektrického substrátu. Stranami dielektrického substrátu se zde rozumí protilehlé povrchy dielektrického substrátu.

Následující text popisuje výhodná provedení jednotlivých kroků způsobu podle vynálezu.

V krocích a) až e) se určí hodnoty čtyř vstupů pro kalibraci metody. Tyto hodnoty se určí ve frekvenčním pásmu alespoň 1,5 GHz až 50 GHz.

* *

Prvním vstupem je ^és komplexní permitivita dielektrického substrátu a komplexní permitivita 6* f- * kalibračních vzorků, označena dle jejich pořadí jako ¹ .-. atd.

Komplexní permitivita je definována jako ^e — G + JG , kde je její reálná složka a ^Ěi je její .2 imaginární složka a j je imaginární číslo tj. J ^— . Hodnoty komplexní permitivity se určí z referenčních měření, například koaxiální sondou, anebo z hodnot z literatury.

Druhým vstupem jsou rozptylové parametry (scattering parameters, S-parametry) pro všechny kalibrační vzorky. Hodnoty rozptylových parametrů se změří pomocí obvodového analyzátoru ve frekvenčním pásmu alespoň 1,5 GHz až 50 GHz. Obvodový analyzátor je běžně dostupné zařízení, které měří velikost i fázi komplexních obvodových veličin, včetně rozptylových parametrů. Základními stavebními prvky obvodového analyzátoru jsou zdroj, mikrovlnná sestava (směrové vazební členy, můstky, vzorkující přijímače a směšovače) a analyzátor.

Rozptylové parametry jsou bezrozměrné parametry a jsou definovány pomocí napěťových vln. Rozptylové parametry jsou vždy definovány u přenosového vedení mezi dvěma referenčními rovinami (na vstupu a výstupu vedení), které jsou kolmé ke směru šíření vlny po vedení. Pozice referenčních rovin na směru šíření vlny je definována vzdálenosti podél směru šíření vlny. Brány zařízení, včetně směru šíření vlny, jsou definovány jako všechny vstupy a výstupy zařízení. Pro

-3 CZ 309946 B6 přenosové vedení, které spadá do kategorie dvoubranových zařízení, jsou definovány rozptylové parametry pomocí napěťových vln al a a2, které dopadají na první a druhou bránu vedení a napěťových vln bl a b2, které se odráží od první a druhé brány vedení. Každý z rozptylových parametrů Sil, S12, S21, S22 je komplexní číslo a jsou definovány ve vztahu s napěťovými vlnami rovnicí (1) ₌ (Sil S12x pA b21 ~ \S21 S221 \a21 (1)

V tomto kroku je obrovskou výhodou, že nezáleží, v které vzdálenosti od vzorku se zvolí referenční roviny. Stačí, když budou pro měření rozptylových parametrů všech vzorků zvoleny stejně.

Dále je určena hodnota třetího vstupu, kterým jsou rozptylové parametry na referenčních rovinách vymezujících pouze úsek přenosového vedení s prvním kalibračním vzorkem. Tento vstup se získá pomocí numerického simulátoru elektromagnetického pole. Numerický simulátor je počítačový program, který numericky vypočte rozložení a šíření elektromagnetického pole v objektu skrze jeho prostorovou diskretizaci. Numerické simulátory jsou běžně dostupné, příklady jsou CST Microwave

Studio, COMSOL Multiphysics, ANSYS HFSS. Vstupem pro numerický simulátor jsou rozměry a materiálové vlastnosti (dielektrická permitivita a elektrická vodivost) všech částí přenosového vedení. Z hodnot rozptylových parametrů se určí hodnota konstanty šíření vlny v úseku vedení s prvním kalibračním vzorkem. Konstanta šíření y je definována jako Y ~ ^α+ίβ , kde a [1/m] popisuje útlum vlny a β [1/m] fázovou rychlost šíření vlny na vedení. Hodnota konstanty šíření vlny v úseku vedení s prvním kalibračním vzorkem, označená jako yi, se určí z rovnic (2), (3), (4)·.

cosh^-J (ýri · D) n=----_ř---- (2) kde / je délka úseku přenosového vedení s prvním kalibračním vzorkem a kde parametry A, D se získají z rozptylových parametrů Sil, S12, S21, S22jako:

(i + M+

2S„ (3)

2S_?1 (4)

Dále se určí hodnota čtvrtého vstupu, kterým je Zi - charakteristická impedance úseku přenosového vedení s prvním kalibračním vzorkem. Charakteristická impedance je definována jako podíl napětí a proudu šířících se na vedení. Hodnota charakteristické impedance se určí z numerického simulátoru, kde se hodnota napětí získá numerickou integrací elektrického pole a hodnota proudu numerickou integrací magnetického pole.

Výhoda dalších kroků je, že pro získání všech konstant šíření a dalších výsledků již není potřeba využití numerického simulátoru elektromagnetického pole.

-4CZ 309946 B6

Dále se získá konstanta šíření y₂ na přenosovém vedení s druhým kalibračním vzorkem pomocí stopové rovnice (5)

Tr{M₂ · Mf¹} = 2 · cosh(y₇ · l) cosh(y₃ · Z) — + · sinh(y₇ · l) sinh(y₂ · l), (5) kde yi je konstanta šíření na přenosovém vedení s prvním kalibračním vzorkem, l je délka úseku přenosového vedení s prvním kalibračním vzorkem, Tr značí stopový operátor, M₂ je matice z měření s druhým kalibračním vzorkem, Mi je matice z měření s prvním kalibračním vzorkem, které se získají z naměřených rozptylových parametrů rovnicemi (6), (7), (8), (9), (10) t — $²² ‘1’ — č—' ^ύ21 (8) _T _ $11 ^21 ^— 7 7 ^ύ21 (9) _ ^12^21 ^— $11^22 ^21^- ř >

^ώ21 (10)

Stopová rovnice je rovnicí s jednou neznámou y₂. Rovnice je transcendentní (tzn. nelze y₂explicitně vyjádřit na jednu stranu) a proto se její řešení nalezne pomoci Newton-Raphsonovy metody.

Hlavní výhodou postupu je, že stopová rovnice je citlivá pouze na změny rozptylových parametrů, ne na jejich absolutní hodnotu. Tento postup tak odstraňuje vliv přívodního přenosového vedení (vně referenčních rovin) a všech dalších přenosových nedokonalostí vedoucí k vzorku a ze vzorku od obvodového analyzátoru. Metoda je proto robustní.

Dále se určí koeficienty tvaru elektrického pole K\. Kb, které za předpokladu, že veškerá energie šířící se vlny po přenosovém vedení se nachází v oblasti úseku se vzorkem pouze ve vzorku (tvar pole ve vzorku, popsáno Ka) a v dielektrickém substrátu (tvar pole v dielektrickém substrátu popsáno Kb) (11), (12)·.

ΎΪ - Y²2

JwZ_RÍ(^e/ — ep (Π)

-5CZ 309946 B6 _K Y^IA - Υ^2Α jtoZ_RL€s(Ě] — (12) kde γι je konstanta šíření v úseku přenosového vedení s prvním kalibračním vzorkem, je konstanta šíření v úseku přenosového vedení s druhým kalibračním vzorkem,/je imaginární číslo i² = -Z ^J , ω je úhlová frekvence (2π/), f je frekvence, Ziu Zi, kde Zi je charakteristická impedance přenosového vedení, ¹ je permitivita prvního kalibračního vzorku, ² je permitivita druhého kalibračního vzorku a ^s je permitivita dielektrického substrátu.

Výhodou je, že výše uvedené kroky vedoucí k získání Ka, Kb se mohou provést pro dané přenosové vedení pouze jednou po jeho výrobě. Dále pak lze používat tyto hodnoty pro všechna měření na tomto přenosovém vedení.

Pro určení komplexní permitivity měřeného vzorku se měřený vzorek o neznámé komplexní permitivitě ^y aplikuje na úsek stejného přenosového vedení o stejné délce, jako pro kalibrační vzorky. Poté se změří rozptylové parametry přenosového vedení s měřeným vzorkem pomocí obvodového analyzátoru. Rozptylové parametry se převedou na T-parametry, které tvoří matici Z-*

Mu z měření s měřeným vzorkem o neznámé komplexní permitivitě ^u pomocí rovnic (13), (14), (15), (16), (17) (13) „ _ ^l12 —>

Ní (14) hi —>

^ύ21 (15) hi —------ň<

N;

(16) kde (17)

Následně se ze stopové rovnice získá yu - konstanta šíření v úseku přenosového vedení s měřeným vzorkem pomocí rovnice (18):

Τν{Μ_υ · Mf) = 2 cosh(y₇ · /) coshty^ l) — _|_ ίίθ . sinh(y_; l) smh(y_[7 · i), (18)

-6CZ 309946 B6 kde Mi a Mu jsou matice z naměřených rozptylových parametrů jednoho kalibračního vzorku a měřeného vzorku, γι je konstanta šíření úseku vedení s jedním kalibračním vzorkem a l je délka úseku přenosového vedení. Stopová rovnice je transcendentní (tzn. nelze γυ explicitně vyjádřit na jednu stranu), a proto se její řešení nalezne pomocí Newton-Raphsonovy metody.

Termín Jeden kalibrační vzorek“ znamená kterýkoliv z kalibračních vzorků. Všechny parametry se však týkají stejného kalibračního vzorku.

Newton-Raphsonova metoda je definována jako metoda, která iterativně hledá kořen rovnice pomocí podílu funkce rovnice a její derivace. Po nalezení γυ se toto dosadí do rovnice, z které lze přímo určit permitivitu ^y vzorku jako (19) + K_Aeí] ' (~) ~ (19) kde Ka a Kb jsou koeficienty tvaru elektrického pole, γ> je konstanta šíření v úseku přenosového vedení s jedním kalibračním vzorkem, γυ je konstanta šíření v úseku vedení s měřeným vzorkem, e* ě* ¹ je permitivita jednoho kalibračního vzorku a ^s je permitivita substrátu. Výhodou tohoto postupuje, že permitivita vzorkuje vyjádřená explicitně.

Existuje teoreticky nekonečné množství řešení stopové rovnice pro γυ, protože rovnice obsahuje trigonometrické funkce, které jsou periodické, v komplexním prostoru γυ. Na určení fýzikálně správného řešení se použije heuristický algoritmus. Řešení je nalezeno pomocí NewtonRaphsonovy metody, s výhodou dvacet- anebo vícekrát s náhodnými počáteční podmínkami. Tak se získá soubor řešení a z nich se vyberou neopakující se řešení pro γυ. Následně se tato řešení pro γυ seřadí podle velikosti na základě jejich absolutní hodnoty komplexního čísla. Vyberou se pouze první dvě řešení s nejmenší absolutní hodnotou. Z těchto dvou řešení pro γυ se následně Z-* vypočte permitivita měřeného vzorku ^u jako (20):

Ka (20) kde Ka a Kb jsou koeficienty tvaru elektrického pole, γι je konstanta šíření v úseku přenosového e* f* vedení s jedním kalibračním vzorkem, ¹ je permitivita jednoho kalibračního vzorku a ^s je permitivita dielektrického substrátu. Jelikož byla použita dvě řešení γυ, výsledkem jsou dvě řešení komplexní permitivity měřeného vzorku. Poté se určí frekvenční intervaly platnosti řešení následovně. Naměřené rozptylové parametry celého přenosového vedení (t.j. mezi referenčními rovinami) s kalibračním vzorkem se dosadí do (21), (22), (23):

(7+5^)-(7-¾¾¾¾ (21) (7-5^)-(7 + ¾¾¾¾

2S_3} (22)

-7CZ 309946 B6 cosh VýA · ΰ) ^Y-----------Ϊ----------- (23)

Kde l je délka úseku přenosového vedení pouze se vzorkem. Tím se získají konstanty šíření a y2c pro vedení s prvním a druhým kalibračním vzorkem, které se následně dosadí do stopové rovnice (24):

R = 2- cosh(y_ic · Z) cosh(y_zc · í) - (— + —) · sinh(y_ic · ΐ) sinh(y_2C Γ) V2C Yic'

- Tr{M₂ M(¹}.

(24)

Frekvenční rozsahy, kde je |R|> 100, (kde |R| je definované jako absolutní hodnota reálné části komplexního čísla) se považují za rozsah neplatných řešení. V dalším postupu se použijí hodnoty permitivity ve frekvenčním rozsahu, kde je |R| =< 100. S výhodou se pak heuristicky rozsah platných řešení rozšíří.

Ve frekvenčních rozsazích s platnými řešeními se pak spočte imaginární složka permitivity ^ujak z nalezeného řešení s nejmenší absolutní hodnotou γυ, tak i z řešení s druhou nejmenší absolutní hodnotou γυ. Heuristickým algoritmem se poté vybere řešení, které vede k správným hodnotám imaginární složky permitivity.

Ze zvolených řešení γυ se spočtou i hodnoty reálné složky permitivity. Za předpokladu absence rezonančních jevů v měřeném vzorku se získaný frekvenční průběh poté proloží funkcí, kterou je Havriliak-Negami disperzní funkce, a to jak pro reálnou, tak i imaginární složku řešení komplexní permitivity měřeného vzorku, vztahem (25):

^{ω £h +} ieoíú ⁺ 2_in (/ + (ίωτη)“)4 (25) kde ^E je komplexní permitivita, ⁿ je vysoko-frekvenční limit permitivity, σι je nízkofrekvenční vodivost vzorku, je permitivita vakua (konstanta s hodnotou, 8,854 x 10 ¹² F/m) ω je úhlová ______^Τΐ_______ frekvence, suma jednotlivých disperzních členů ύ+ί'ο'υΟ)® p_ro efektivních n složek vzorku, je dielektrický inkrement efektivní n-té složky vzorku, ^T je charakteristický relaxační čas nté složky vzorku a a β jsou parametry tvaru daného disperzního členu. Následně se eliminují odlehlé hodnoty pomocí iterativního postupu s heuristickým kritériem založeném na vzdálenosti bodu od prokládací funkce - s výhodou tak, že ve výsledném proložení permitivity měřeného vzorku se najde nej vzdálenější bod od prokládací funkce a odstraní se, a postup se opakuje, dokud vzdálenost nej vzdálenějšího bodu permitivity měřeného vzorku od aproximace prokládací fúnkcí nedosáhne hodnoty 3. Výstupem této metody je pak frekvenční závislost komplexní permitivity popsaná prokládací funkcí vycházející z reálně získaných dat předchozím postupem.

Předkládaný vynález tedy poskytuje novou metodu pro získání širokopásmové komplexní permitivity založené na přenosovém vedení, s výhodou na zemněném koplanámím vlnovodu. Hlavní výhodou této metody je možnost měřit dielektrické vlastnosti extrémně malých objemů vzorků (řádově pL), přibližně 20-krát menších než u dosud známých a komerčně dostupných metod. Přesnost stanovení komplexní permitivity je srovnatelná se stávajícími komerčně využívanými metodami. Metoda funguje nezávisle na výrobci obvodového analyzátoru.

-8CZ 309946 B6

Objasnění výkresů

Obr. 1 znázorňuje schematicky zemněné koplanární přenosové vedení.

Obr. 2 znázorňuje srovnání výsledků určení komplexní permitivity metodou podle vynálezu (popsanou v příkladu provedení) ve srovnání s metodou využívající koaxiální sondu, pro vodný roztok cysteinu o koncentraci 50 mg/ml. (Re: reálná složka; Im: imaginární složka)

Obr. 3 znázorňuje standardní odchylku pro 5 průběhů stanovené komplexní permitivity pro vodný roztok cysteinu o koncentraci 50 mg/ml.

Obr. 4 znázorňuje srovnání výsledků určení komplexní permitivity metodou podle vynálezu (popsanou v příkladu provedení) ve srovnání s metodou využívající koaxiální sondu, pro vodný roztok alaninu o koncentraci 100 mg/ml.

Obr. 5 znázorňuje standardní odchylku pro 5 průběhů stanovené komplexní permitivity pro vodný roztok alaninu o koncentraci 100 mg/ml.

Obr. 6 znázorňuje srovnání výsledků určení komplexní permitivity metodou podle vynálezu (popsanou v příkladu provedení) ve srovnání s metodou využívající koaxiální sondu, pro vodný roztok cysteinu o koncentraci 100 mg/ml.

Obr. 7 znázorňuje standardní odchylku pro 5 průběhů stanovené komplexní permitivity pro vodný roztok cysteinu o koncentraci 100 mg/ml.

Obr. 8 znázorňuje srovnání výsledků určení komplexní permitivity metodou podle vynálezu (popsanou v příkladu provedení) ve srovnání s metodou využívající koaxiální sondu, pro vodný roztok alaninu o koncentraci 150 mg/ml.

Obr. 9 znázorňuje standardní odchylku pro 5 průběhů stanovené komplexní permitivity pro vodný roztok alaninu o koncentraci 150 mg/ml.

Obr. 10 znázorňuje srovnání výsledků určení komplexní permitivity metodou podle vynálezu (popsanou v příkladu provedení) ve srovnání s metodou využívající koaxiální sondu, pro vodný roztok cysteinu o koncentraci 150 mg/ml.

Obr. 11 znázorňuje standardní odchylku pro 5 průběhů stanovené komplexní permitivity pro vodný roztok cysteinu o koncentraci 150 mg/ml.

Příklady uskutečnění vynálezu

Příklad 1

Jeden typ přenosového vedení je znázorněn na obr. 1. Jedná se o koplanární zemněné přenosové vedení s invertovanou středovou částí, které obsahuje vodivé zemnicí dráhy 1, signálovou vodivou dráhu 2, dielektrický substrát 3, prokovené otvory 4 vodivě spojující vodivé zemnicí dráhy na obou stranách substrátu, prokovené otvory 5 vodivě spojující signálovou vodivou dráhu na obou stranách substrátu, a nevodivá hranice 6 pro vymezení místa pro kapalný vzorek. Vzorky pro měření byly připraveny rozpuštěním aminokyselin L-alanin (čistota 98,5 %, P.Lab CZ, R30761) a L-cystein (čistota 98 %, P.Lab CZ, C10502) v ultračisté vodě Millipore Q. Připravené koncentrace byly 50 mg/ml, 100 mg/ml a 150 mg/ml.

- 9 CZ 309946 B6

Jako kalibrační vzorky byly použity voda (Millipore Q) a vodný roztok L-alaninu o koncentraci 50 mg/ml. Každý vzorek byl nanesen na přenosové vedení v objemu 250 mikrolitrů. Mezi jednotlivými vzorky bylo přenosové vedení vždy očištěno isopropanolem a vysušeno proudem dusíku. Měření každého vzorku bylo provedeno 5x a probíhalo v teplotě 23 °C.

U kalibračních vzorků byla stanovena komplexní permitivita metodou měření otevřenou koaxiální sondou Agilent 85070E Dielectric Probe Kit (0,5 až 50 GHz, 201 frekvenčních bodů, tenká elektroda). Kalibrace byla provedena kalibračními standardy vzduch, zkrat (Přípravek 030 ze sady Agilent 85070E) a ultra čistá voda. Výsledná hodnota komplexní permitivity byla získána zprůměrováním 9 měření (3 nezávislé vzorky a každý byl změřen 3x).

Permitivita dielektrického substrátu RO4350B (508 pm) byla definována jako 3,74 + 0,03j přes celé frekvenční pásmo.

U každého vzorku byly změřeny rozptylové parametry ve frekvenčním rozsahu 1,5 až 50 GHz na obvodovém analyzátoru ZVA67 (Rohde & Schwarz) s nastavením výkon 0 dBm, šířka pásma 200 Hz, počet bodů 1601 a lineární rozložení frekvenčních bodů. Kalibrace obvodového analyzátoru byla provedena kalibrační sadou (viz Havelka Daniel et al. Sensors and Actuators B: Chemical, no. 273 (2018), 62-69.) postavené na kalibrační technice Multiline TRL (Thru průchod, Reflect - odraz (byl použit zkrat) a čtyři Line - přenosových vedení o délce 1 mm, 2 mm, 4 mm, 8 mm).

Dále byly z numerického simulátoru CST Microwave Studio získány hodnoty rozptylových parametrů a zi - charakteristická impedance úseku přenosového vedení s prvním kalibračním vzorkem - vodou. Pro výpočet rozptylových parametrů v simulátoru byl použit frekvenční řešič, tetrahedrální mřížka s adaptivním zjemňováním sítě s hranicí pro všechny rozptylové parametry nastavena na 0,01 s 1 kontrolou. Hranice pro parametr kz/kO = 0,005 s2 kontrolami. Počet průchodů pro zjemňování sítě minimálně 3 a maximálně 20. Buzení elektromagnetické vlny bylo realizováno pomocí vlno vodného portu a okrajové podmínky byly nastaveny na otevřený konec ze všech 6 stran.

Rozptylové parametry, určeny z numerického simulátoru, Sil, S12, S21, S22 byly převedeny na parametry A, D pomoci rovnic (l+S_1})fl-S₂₂)+S_i2S₂₁A=-------------------, _D _ U - ^S11) · (7 + S₂₂) + S₁₂S₂₁

2S₂₁

Hodnota konstanty šíření vlny v úseku přenosového vedení s prvním kalibračním vzorkem, označena jako γι, byla určena z rovnice:

cosh^-/(ýA D) n=----1---kde l je délka úseku přenosového vedení s prvním kalibračním vzorkem.

Změřené rozptylové parametry prvního a druhého kalibračního vzorku byly pak přepočteny na Tparametry (elementy matice M) pomocí následujících vzorců:

-10 CZ 309946 B6

S 12^21 - $ 11^22

T_]2

J21 T22.

kde M_n je buď měření pro první kalibrační vzorek (voda) Mi nebo měření pro druhý kalibrační vzorek (alanin 50 mg/ml) M₂, spočteno z odpovídajících rozptylových parametrů.

Dále získáme konstantu šíření /2 na přenosovém vedení s druhým kalibračním vzorkem (alanin 50 mg/ml) pomocí stopové rovnice

Tr{M₂ · Afý^;) = 2 · cosh(y_; · I) cosh(y₂ ·/) — (— + —}· sinh(y₇ · l) sinh(y₂ · 0, kde γι je konstanta šíření na přenosovém vedení s prvním kalibračním vzorkem (voda), l je délka úseku vedení s kalibračním vzorkem, Tr značí stopový operátor, M? je matice z měření s druhým kalibračním vzorkem, Mi je matice z měření s prvním kalibračním vzorkem, které získáme z naměřených rozptylových parametrů následovně •$12$21 - $11-^22

Stopová rovnice je rovnicí s jednou neznámou y₂. Řešení y₂ se nalezne pomocí NewtonRaphsonovy metody implementované v numerickém řešiči vpasolve v programu Matlab (verze R2021B). Řešič je nastaven na hledání řešení y₂ v rozsahu -10 000 až 10 000 pro reálnou složku, a od -Inf do +Inf pro imaginární složku.

- 11 CZ 309946 B6

Dále se určí koeficienty tvaru elektrického pole Ka, Kb, které za předpokladu, že veškerá energie šířící se vlny po vedení se nachází pouze ve vzorku (tvar pole Ka) a v dielektrickém substrátu (tvar pole Kb):

Yl - Ύ²2 j(oZ_RL(ej — ef) (26) „ Υ&Α-Υ&Α — ef) (27) kde yi je konstanta šíření v úseku přenosového vedení s prvním kalibračním vzorkem, w je konstanta šíření v úseku přenosového vedení s druhým kalibračním vzorkem, j je imaginární číslo, ω je úhlová frekvence (2π/), f je frekvence, Z_M. γι Zi, kde Zi je charakteristická e* r’ impedance vedení, ¹ je permitivita prvního kalibračního vzorku, ² je permitivita druhého kalibračního vzorku a ^s je permitivita substrátu.

Dále se aplikuje měřený vzorek o neznámé permitivitě ^u na úsek přenosového vedení o stejné délce, jako pro kalibrační vzorky. Poté se změří rozptylové parametrů celého vedení se vzorkem pomocí obvodového analyzátoru. Rozptylové parametry byly převedeny na T-parametry, které tvoří matici Mu z měření s měřeným vzorkem o neznámé permitivitě ^υ

Následně se ze stopové rovnice získá yu - konstanta šíření v úseku vedení s měřeným vzorkem o neznámé permitivitě:

Tr{M_u · Mf¹} = 2 cosh(y₇ · l) cosh(y_y · í) - 02 _|_ Πθ . smh(y_; · /) smh(y_[; · i), kde Mi a Mu jsou matice z naměřených rozptylových parametrů prvního kalibračního vzorku a měřeného vzorku, yi je konstanta šíření úseku vedení s prvním kalibračním vzorkem a l je délka úseku vedení.

-12 CZ 309946 B6

Existuje teoreticky nekonečné množství řešení stopové rovnice pro γυ, protože rovnice obsahuje trigonometrické funkce, které jsou periodické, v komplexním prostoru γυ. Na určení fyzikálně správného řešení se použije tento heuristický algoritmus.

Řešení γυ se nalezne pomocí Newton-Raphsonovy metody implementované v numerickém řešiči vpasolve v programu Matlab (verze R2021B). Řešič je nastaven na hledání řešení ';.v v rozsahu 0 až 2000 pro reálnou složku, a od -8000 do +4000 pro imaginární složku.

Řešení je nalezeno pomocí Newton-Raphsonovy metody s opakováním stokrát s náhodnými počáteční podmínkami. Tak se získá soubor řešení a z nich se vyberou neopakující se řešení pro γυ. Následně se tato řešení pro γυ seřadí podle velikosti na základě jejich absolutní hodnoty komplexního čísla. Vyberou se pouze první dvě řešení s nejmenší absolutní hodnotou. Z těchto dvou řešení pro γυ se následně vypočte permitivita měřeného vzorku ^u jako:

[Κ_β4+Κ_α^]·(^) -k_bc_s kde Ka a Kb jsou koeficienty tvaru elektrického pole, je konstanta šíření v úseku vedení e* f* s jedním vzorkem, ¹ je permitivita jednoho kalibračního vzorku a ^s je permitivita substrátu. Jelikož byly použity dvě řešení γυ, výsledkem jsou dvě řešení permitivity. Poté se určí frekvenční intervaly platnosti řešení následovně. Naměřené rozptylové parametry celého přenosového vedení (tj. mezi referenčními rovinami) s kalibračním vzorkem se dosadí do:

U+S_n)-(l-S₂₂)+S_]2S₂₁2S₂, — S₂₁) · (1 + S₂₂) + s₁₂s₂₁2S„ costrTýri D) ^{r =}-------i-------

Tím se získají přibližné konstanty šíření y_ÍC a pro celé vedení s prvním a druhým kalibračním vzorkem, které se dosadí do stopové rovnice (24):

(y_jr y_7r\ ---+ — · sinh(/_7C · l) sinh(y₂c ’ 0 “ Tr(M₂ · Mý⁷}. Y2C Yic'

Frekvenční rozsah, kde je |R|> 100, (kde |R| je definované jako absolutní hodnota reálné části komplexního čísla) se považuje za rozsah neplatných řešení. V dalším postupu se použijí hodnoty permitivity ve frekvenčním rozsahem, kde je v |R| =< 100. Frekvenční rozsah neplatných řešení se v praxi nachází uprostřed měřeného frekvenčního intervalu a rozděluje oblast platných řešení na dvě části - nízkofrekvenční (definována frekvenčním intervalem f < fl) a vysokofrekvenční část (definována frekvenčním intervalem f > f2). fl je frekvence, na které dosáhne funkce popsaná rovnicí (24) hodnoty |R|= 100, když probíhá výpočet od nejnižšího frekvenčního bodu 1,5 G z k vyšším frekvenční bodům. f2 je frekvence, na které dosáhne funkce popsaná rovnicí (24) hodnoty |R|= 100, když probíhá výpočet od nejvyššího frekvenčního bodu 50 GHz k nižším frekvenčním bodům. Hodnota fl se pak upravila heuristicky na 8,2 GHz a hodnota f2 na 18,2 GHz. Imaginární složka permitivity ^y je pak spočtena jak z nalezeného řešení s nejmenší absolutní hodnotu γυ, tak i z řešení s druhou nejmenší absolutní hodnotu γυ. Vzniknou tak dva frekvenční průběhy imaginární složky Oba průběhy se pak proloží polynomem 4. řádu a z těchto proložených průběhů se udělá průměr, který dá průběh označený zde jako P. Následně se

-13 CZ 309946 B6 v oblasti f < f 1 zvolí řešení γυ vedoucí, k hodnotám imaginární složky permitivity nad průběhem P a v oblasti f > f2 se zvolí řešení γυ vedoucí k hodnotám imaginární složky permitivity pod průběhem P. Ze zvolených řešení γυ se spočtou i hodnoty reálné složky permitivity.

Získané řešení se poté proloží následující funkcí (která se získá z rovnice (25) po dosazení a = β = 1 a uvážení, že se ve vzorku nachází n=2 složky (1 - voda, 2 - alanin, nebo cystein) za předpokladu zanedbatelné nízkofrekvenční vodivosti vzorku σί), pro reálnou i imaginární složku řešení permitivity měřeného vzorku:

Δ; Δτ e* (ω) = + ——--1- ——-1 + ιωτ_; 1 + ιωτ₂ kde ^Ě je komplexní permitivita, je vysoko-frekvenční limit permitivity, co je úhlová frekvence (2π/), /je frekvence elektromagnetického pole, Δ/ a A^jsou dielektrické inkrementy příslušných složek vzorku (1 - voda, 2 - alanin nebo cystein), τ_; a v jsou charakteristické relaxační časy příslušných složek vzorku (1 - voda, 2 - alanin nebo cystein). Ve výsledném proložení permitivity neznámého vzorku se nalezne nej vzdálenější bod od prokládací funkce a odstraní se. Postup se opakuje, dokud vzdálenost nej vzdálenějšího bodu permitivity neznámého vzorku od aproximace prokládací fúnkcí modelem nedosáhne hodnotu 3. Výstupem této metody je pak průběh permitivity popsaný prokládací funkcí vycházející z dat získaných předchozím postupem. Výsledky pro měřené vzorky jsou uvedeny v obrázcích.

Claims

1. Způsob stanovení komplexní permitivity měřeného vzorku, vyznačující se tím, že obsahuje kroky:

f) poskytnutí koeficientů tvaru pole K> a Kb;

g) aplikace měřeného vzorku na stejné přenosové vedení;

j) výpočet komplexní permitivity měřeného vzorku z konstanty šíření v úseku přenosového vedení s měřeným vzorkem, z konstanty šíření v úseku přenosového vedení s jedním kalibračním vzorkem a z koeficientů tvaru pole pomocí rovnice + λ/eý] - K_Be* + _ _______________Ml'________ kde Ka άΚβ jsou koeficienty tvaru elektrického pole, je konstanta šíření v úseku přenosového vedení s jedním kalibračním vzorkem, y^je konstanta šíření v úseku přenosového vedení s měřeným vzorkem, €*7 je permitivita jednoho kalibračního vzorku ař'/jc permitivita dielektrického substrátu.

2. Způsob podle nároku 1, vyznačující se tím, že koeficienty tvaru pole Ka a Kb se určí z konstant šíření kalibračních vzorků a komplexní permitivity kalibračních vzorků a dielektrického substrátu přenosového vedení pomocí rovnic

Ύ²ι-Ύ²2 ^A ~ ^e^) _K Y2^elA~Yl^Ě2A j(i)Z_RL€l(G] — Čp kde yi je konstanta šíření v úseku přenosového vedení s prvním kalibračním vzorkem, y^ je konstanta šíření v úseku přenosového vedení s druhým kalibračním vzorkem,/je imaginární číslo (j ² = -1), ω je úhlová frekvence (2π/), /je frekvence elektromagnetického pole, Zrl =γι Zi , kde Zi je charakteristická impedance úseku přenosového vedení s prvním kalibračním vzorkem, 6*1 je permitivita prvního kalibračního vzorku, 6*2 je permitivita druhého kalibračního vzorku a C*s je permitivita dielektrického substrátu.

- 15 CZ 309946 B6

3. Způsob podle kteréhokoliv z předcházejících nároků, vyznačující se tím, že konstanta šíření v úseku přenosového vedení se vzorkem pro jeden kalibrační vzorek se určí z rozptylových parametrů na referenčních rovinách vymezujících pouze úsek přenosového vedení s tímto kalibračním vzorkem, které se získají pomocí numerického simulátoru elektromagnetického pole; a 5 hodnota konstanty šíření vlny v úseku vedení s tímto kalibračním vzorkem, označená jako yi , se určí z rovnic:

cosh · D)

-------------Ϊ------------(28) kde l je délka úseku přenosového vedení s prvním kalibračním vzorkem a kde parametry A, D se

10 získají z rozptylových parametrů Sil, S12, S21, S22 jako:

. _ U + $11) ' (7 - $22) + $12$21

2S,i (29) „ _ Q ~ $11)' (,1 + $22) + $12$21

2S_7S (30)

4. Způsob podle kteréhokoliv z předcházejících nároků, vyznačující se tím, že konstanta šíření 72 na přenosovém vedení s druhým kalibračním vzorkem se určí pomocí stopové rovnice

Tr{M₂ · Mf¹} — 2 cosh(y; l) cosh(y2 ’ 0 ^— (“ + ' sinh(yj 0 siiih(y2 · 0, (31)

15 kde γι je konstanta šíření na přenosovém vedení s prvním kalibračním vzorkem, l je délka úseku přenosového vedení s prvním kalibračním vzorkem, Tr značí stopový operátor, M? je matice z měření s druhým kalibračním vzorkem, Mi je matice z měření s prvním kalibračním vzorkem, které se získají z naměřených rozptylových parametrů rovnicemi

- 16CZ 309946 B6 , _ $22

12 — ^— 7 ^d21 (34) t — ¹ 21 - 7—> ^d21 (35)

5. Způsob podle nároku 4, vyznačující se tím, že se řešení stopové rovnice získá pomocí NewtonRaphsonovy metody.

5

6. Způsob podle kteréhokoliv z předcházejících nároků, vyznačující se tím, že konstanta šíření v úseku přenosového vedení s měřeným vzorkem se získá tak, že se rozptylové parametry přenosového vedení s měřeným vzorkem převedou na T-parametry, které tvoří matici Mu z měření s měřeným vzorkem pomocí rovnic

- 17CZ 309946 B6 kde

Ό=— ^ύ21 (37)

Λ; =

Τ₂₁ =

Μ_υ $22 $2!

(38) , _ $11

21 — Ζ~>

$21 (39) $12$21 — $11$22 $21 (40)

Λί Τ12 ?21 ^221' (41) a následně se ze stopové rovnice získá yu - konstanta šíření v úsek přenosového vedení s měřeným 5 vzorkem pomocí rovnice (18)'.

Ττ·{Μ_υ · Mj¹} = 2 cosh(y₇ · l) cosh(yy · l) — · sinhfy, · l) sinh(y_y · Z), (42) kde AT/ a Mu jsou matice z naměřených rozptylových parametrů jednoho kalibračního vzorku a měřeného vzorku, yi je konstanta šíření úseku vedení s jedním kalibračním vzorkem a l je délka úseku přenosového vedení, přičemž řešení stopové rovnice se nalezne pomocí Newton-Raphsonovy 10 metody a přičemž pro určení fýzikálně správného řešení se použije heuristický algoritmus.

7. Způsob podle kteréhokoliv z předcházejících nároků, vyznačující se tím, že konstanta šíření yu v úseku přenosového vedení s měřeným vzorkem se dosadí do rovnice

[^B^es + Ka^€1 1 * ^— Kb^ěs (43) kde Ka a Kb jsou koeficienty tvaru elektrického pole, yi je konstanta šíření v úseku přenosového 15 vedení s jedním kalibračním vzorkem, yu je konstanta šíření v úseku vedení s měřeným vzorkem, €*; je permitivita jednoho kalibračního vzorku a C*s je permitivita substrátu, a tak se získá komplexní permitivita €*u měřeného vzorku.

- 18CZ 309946 B6

8. Způsob podle nároku 6, vyznačující se tím, že heuristický algoritmus pro určení frekvenčních rozsahů platných řešení rovnice (42) se aplikuje tak, že se naměřené rozptylové parametry celého přenosového vedení, tedy i úseky před a za kalibračním vzorkem dosadí do rovnice _ U + ' (7 ^— $22) + S_]3S₃₁ ~ 2š;_} ' (44) (/ -5_;j)-(/+s₂₂) + s₇₂S₂₁ (45) cosh^-2f\M D) ^K =--------Ϊ-------- (46) kde l je délka úseku přenosového vedení se vzorkem; tím se získají konstanty šíření yic a y₂c pro vedení s prvním a druhým kalibračním vzorkem, které se následně dosadí do stopové rovnice (24)·.

R — 2 cosh(y_1C · l) cosh(/_2C · /) - (— + —) · sinli(y_ic · /) sinh(y_2C l)

V2C Klí?⁷

- Tr{M₂ · Mf¹}.

(47) kde frekvenční rozsahy s platnými řešeními yu jsou ty, kde je |R|=< 100, přičemž |R| je definované jako absolutní hodnota reálné části komplexního čísla.

9. Způsob podle kteréhokoliv z předcházejících nároků, vyznačující se tím, že finální frekvenční průběh permitivity měřeného vzorku se získá tak, že se vybere fyzikálně správné řešení konstanty šíření yu pro každý frekvenční bod ve všech frekvenčních rozsazích s platnými výsledky tak, že se řešení stopové rovnice (18) získá vícekrát s náhodnými počáteční podmínkami Newton-Raphsonovy metody, a poté se vyberou ze souboru získaných řešení yu dvě řešení s nejnižší absolutní hodnotou a z nich se vybere heuristickým algoritmem řešení, které vede k správným hodnotám imaginární složky permitivity, a poté se ze zvolených řešení yu spočtou i hodnoty reálné složky permitivity, a poté se získaný frekvenční průběh proloží funkcí ^{Ε ω Eft +} ίεοω ⁺ 2-m (J + (ίωτη)^α)β (48) kde C*je komplexní permitivita, C/, je vysoko-frekvenční limit permitivity, σι je nízkofrekvenční vodivost vzorku, Co je permitivita vakua ω je úhlová frekvence, suma Σ„ jednotlivých disperzních __ (l + (íáJT„)^tt)^ členů pro efektivních n složek vzorku, Δ„ je dielektrický inkrement efektivní n-té

- 19CZ 309946 B6 složky měřeného vzorku, τ„ je charakteristický relaxační čas n-té složky vzorku, a a &β jsou parametry tvaru daného disperzního členu, a poté se iterativně odstraní odlehlé hodnoty.

10. Způsob podle nároku 9, vyznačující se tím, že vzorek je vodný roztok, a tím, že heuristický algoritmus pro určení finálního frekvenčního průběhu permitivity měřeného vzorku se aplikuje tak, že se vybere fýzikálně správné řešení konstanty šíření γυ pro každý frekvenční rozsah tak, že se řešení stopové rovnice (18) získá vícekrát s náhodnými počáteční podmínkami Newton-Raphsonovy metody a poté se vyberou ze souboru získaných řešení γυ dvě řešení s nejnižší absolutní hodnotou a z nich se vybere to řešení, které vede k vyšším hodnotám imaginární složky permitivity v nízkofrekvenční části (f<f 1) a které vede k nižším hodnotám imaginární složky permitivity ve vysokofrekvenční části (l>f2), a poté se ze zvolených řešení γυ spočtou i hodnoty reálné složky permitivity, a poté se získaný frekvenční průběh proloží funkcí — F_h + ---1- X

Í£()te Z_j (49) „(7 + (ίωτ.

kde C*je komplexní permitivita, Ch je vysoko-frekvenční limit permitivity, σι je nízkofrekvenční vodivost vzorku, Co je permitivita vakua ω je úhlová frekvence, suma Σ„ jednotlivých disperzních členů pro efektivních n složek vzorku, Δ„ je dielektrický inkrement efektivní n-té složky měřeného vzorku, ⁿ je charakteristický relaxační čas n-té složky vzorku, a a a β jsou parametry tvaru daného disperzního členu, a poté se iterativně odstraní odlehlé hodnoty.