CN1975441A - 一种无功电能的计量方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种无功电能的计量方法。该计量方法包括以下步骤：数据采集以获得负荷端的电压、电流信号；计算出负荷的无功功率的有效值；得到在一个时间段负荷消耗的无功电能；计算出负荷总的消耗掉的无功电能；循环上述四步。这种无功电能的计量方法克服了现有非正弦条件下无功电能计量存在的错误和不足，根据电路中电能、磁能、电磁能的无损交换的本质规律，以电路中电能、磁能、电磁能三种能量形式在转换时的守恒关系作为本质，适用于任意周期波形的电压、电流的条件。

Description

一种无功电能的计量方法

技术领域

本发明涉及一种交流非正弦周期电路的无功电能的计量方法。

背景技术

当世界上第一个完整的直流电力***于1882年在纽约市珍珠街开始应用时，当时的电工学界并未提出无功功率的概念。直到1886年，William Stanley在Great Barrington开发并测试了世界上第一套实用的交流供电***之后，交流电路中的功率现象才引起电工学界的注意。1888年，人们注意到，交流电路中，功率在电源与负荷之间的交换，是由于电压与电流之间存在相角差。William Stanley和O.B.Shallenberger分别对此现象进行了分析，给出了物理解释和数学模型。他们所提出的功率体系，就是正弦条件下交流电路中的功率体系。

在正弦条件下，已经有了很完备的功率体系。通过对正弦条件下的功率体系进行详细的分析，深入理解各功率分量的物理意义及定义各功率分量的基本思路，可以为非正弦条件下功率体系的建立提供借鉴。

对于一个单端口网络，内部不含独立电源，仅含电阻、电感和电容等无源元件，在正弦稳态情况下，电压和电流分别为

u＝Ucos(ωt+_u)

i＝Icos(ωt+_i)

瞬时电功率为：

p＝ui＝UIcos{1+cos[2(ωt+_u)]}+UIsinsin[2(ωt+_u)]

式中，＝_u-_i，为电压和电流之间的相位差。等式右边的第一项为脉动直流分量，始终大于或等于零 该项反映的是瞬时功率中的不可逆的部分，代表的是电源向负载输送的净能量，是单向传输的。这部分电能在负载处被转换成了热能、机械能、光能等形式的能量。将电能从电源输送到负载，并有负载将电能转换成所需的其它形式能量，是实际电路的基本功能。因此，电源向负载输送的净能量被认为是“有用”的能量，与之对应的电功率的平均值(同时也是瞬时功率p的平均值)UIcos被定义为有功功率：

P＝UIcos

等式右边的第二项是瞬时功率中的可逆部分，其值正负交替，平均值为零，反映的是外施电源和一端口网络电磁能的来回交换、但是并未转换成其它形式能量而消耗的那部分能量，在正弦情况下这部分能量交换通常是在电源和具有储能元件的负载之间进行的。该项的幅值UIsin被定义为无功功率：

Q＝UIsin

表示的是这种能量交换的幅度。这项能量交换对于电源来说是一种“额外”的负担，是“无用”的。但是对于某些负载而言，则是正常运行的内在要求，是不可或缺的。例如，如果电源不对异步电动机励磁，则异步电动机根本无法运转。

应该说，正弦条件下线***流电路中的功率体系十分完善。其中的每个物理量均有明确的物理意义，能够清楚地描述电路中的物理现象，而且，各个物理量之间还存在简单优美的数学关系。更重要的是，这个功率体系还能够指出提高电气设备利用率的途径，即进行无功功率补偿，缩小电压与电流之间的相位差。这对工程实际具有很好的指导作用。一百多年来，正弦条件下的功率体系基本上没有很大的修改，被电工学的教科书或行业标准反复引用，成为电工学界所公认的标准。

至于非正弦条件下的功率体系的建立，则困难得多，对该领域的研究，开展得也比较晚。直到20世纪20年代后，在德国，由于使用静止汞弧变流器，造成了电压与电流波形的畸变，才引起电工学界的注意。C.Budeanu于1927年提出了非正弦条件下的一种功率体系的定义，该定义被采纳为ANSI/IEEE的标准，我国的电工学或电路的教科书，介绍的非正弦条件下的功率体系，也大都是C.Budeanu给出的功率体系。S.Fryze于1932年提出了另外一种功率体系，该功率体系被国际电工委员会(International ElectricalCommission，IEC)作为推荐使用的非正弦条件下的功率体系，在电工学界也具有重要地位。直至今日，这两种功率体系仍然为许多电力工作者采用。

事实上，在非正弦条件下，或三相电流不平衡时，电路中的功率现象是十分复杂的，传统的功率体系无法正确描述和解释此时电路中的物理现象。而C.Budeanu和S.Fryze提出的功率体系，均想在传统的功率体系的框架内解决问题，都存在不同程度的缺陷，无法描述一般周期条件下电路中的能量转换的物理本质。在他们以后，又有各种不同的功率体系被提出。其中，以L.S.Czarnecki提出的功率体系和H.Akagi提出的瞬时无功理论最具影响力。但是，目前尚没有见到彻底解决问题的理论和方法的报导。新的功率体系往往解决了老体系存在的问题，但是又存在一些新的问题。建立能包含谐波和基波无功功率在内的完善的功率体系，是电工学领域一个重要的基础性研究课题。对于一个能包含基波无功功率和谐波在内的完整的功率体系，应满足如下要求：

(1)在功率体系中，定义的各功率分量，需要有明确的物理意义，能正确解释电路中的各种功率现象，并能将传统功率理论视为新的功率体系的一个特例；

(2)有利于理解各种谐波的物理本质，建立数学模型，在此基础上进行谐波源的辨识、分析和计量；

(3)定义的各种功率分量可以被精确测量，为谐波和无功功率的检测、管理、补偿和收费提供理论依据；

(4)可以对基波无功功率和谐波的综合治理提供理论依据。

而现有的各种功率体系，均无法完全满足上述要求。因而基于现有的各种功率体系的无功电能计量方法均存在错误或不足。

发明内容

本发明的目的在于克服基于现有的各种功率体系的无功电能计量方法存在的错误或不足，给出任意周期波形的电压、电流条件下的无功电能的计量方法，该计量方法可以精确测量无功电能。

本发明提供的技术方案是：一种无功电能的计量方法，包括以下步骤：

(一)数据采集以获得负荷端的电压、电流信号

把负荷端的电压、电流信号经过电压、电流变送器变换成可进行采集和测量的低电平，若为三相负荷则把三相中的每一相的电压、电流信号送电压、电流变换器进行变换，对变换后的电压、电流信号分别进行同步均匀采样，在一个工频周期内的采样点数为N，其中N≥50且 得到时域内的电压序列{u_(n)}和电流序列{i_(n)}，其中0≤n≤N-1，经过变送器变换后的电压、电流信号的Fourier表达式为

$u\left(t\right)=a_0^{\left(u\right)}+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k^{\left(u\right)}\cos \mathrm{k\ωt}+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{b}_k^{\left(u\right)}\sin \mathrm{k\ωt}$

$i\left(t\right)=a_0^{\left(i\right)}+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k^{\left(i\right)}\cos \mathrm{k\ωt}+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{b}_k^{\left(i\right)}\sin \mathrm{k\ωt}$

其中ω＝2πf，f为电网额定运行频率，对电压序列{u_(n)}和电流序列{i_(n)}分别进行DFT运算，求得a₀ ^(u)、a₁ ^(u)、b₁ ^(u)、b₁ ^(u)、b_N-1 ^(u)和a₀ ⁽ⁱ⁾、a₁ ⁽ⁱ⁾、b₁ ⁽ⁱ⁾…a_N-1 ⁽ⁱ⁾、b_N-1 ⁽ⁱ⁾；

(二)计算出负荷的无功功率的有效值

记

$Q_{\cos \mathrm{n\ωt}}=\frac{1}{2}\left\{\underset{m=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\right[a_m^{\left(u\right)}{a}_{n-m}^{\left(i\right)}-b_m^{\left(u\right)}{b}_{n-m}^{\left(i\right)}]+\underset{m=n}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}[a_m^{\left(u\right)}{a}_{m-n}^{\left(i\right)}+b_m^{\left(u\right)}{b}_{m-n}^{\left(i\right)}\left]\right\}$

$Q_{\sin \mathrm{n\ωt}}=\frac{1}{2}\left\{\underset{m=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\right[a_m^{\left(u\right)}{b}_{n-m}^{\left(i\right)}+b_m^{\left(u\right)}{a}_{n-m}^{\left(i\right)}]+\underset{m=n}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}[b_m^{\left(u\right)}{a}_{m-n}^{\left(i\right)}+a_m^{\left(u\right)}{b}_{m-n}^{\left(i\right)}\left]\right\}$

其中 且1≤n≤N-1，则负荷的无功功率的有效值为：

$Q=k\sqrt{\frac{1}{2}\underset{n=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}(Q_{\cos \mathrm{n\ωt}}^2+Q_{\sin \mathrm{n\ωt}}^2)}$

其中k为电压变送器变比和电流变送器变比的乘积；

若为三相负荷，记三相为A、B、c，则同理可算出Q_A、Q_B和Q_C，那么负荷的无功功率的有效值可表示为：

Q＝Q_A+Q_B+Q_C

(三)计算出在一个时间段负荷消耗的无功电能

无功电度表的定义为通过将无功功率对相应时间积分的方式测量无功电能的仪表。根据无功电度表的定义，在测量无功电能时我们可以把时间分为若干个小段，在任一时间段内求出其无功功率，然后用无功功率乘以这一时间长度即得这段时间的无功电能。当前时间段内的无功电能与前面时间段内的无功电能相加既得用户总的消耗的无功电能。在这里我们取时间段的长度为T＝μT₀，其中T₀为一个工频周期，

且μ≥1，

则在这个时间段负荷消耗掉的无功电能为W₀＝QT；

(四)计算出负荷总的消耗掉的无功电能

设从开始到此时间段之前用户总的消耗掉的无功电能为W，则经过这个时间段后用户总的消耗掉的无功电能为W＝W+W₀；

(五)以(三)中时间段长度厂为周期重复步骤(一)、(二)、(三)和(四)，得到所需计量的无功电能。

本发明的基础在于步骤(二)中的计算负荷的无功功率的有效值以及相对应的无功功率体系。

在单相电路中，设u(t)、i(t)为：

$u\left(t\right)=a_0^{\left(u\right)}+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k^{\left(u\right)}\cos \mathrm{k\ωt}+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{b}_k^{\left(u\right)}\sin \mathrm{k\ωt}$

$i\left(t\right)=a_0^{\left(i\right)}+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k^{\left(i\right)}\cos \mathrm{k\ωt}+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{b}_k^{\left(i\right)}\sin \mathrm{k\ωt}$

式中，上标(u)、(i)分别表示电压函数或电流函数的Fourier级数的系数。

$a_k^{\left(u\right)}=\frac{1}{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}u\left(t\right)\cos \mathrm{k\ωtd\ωt},k=(\mathrm{0,1,2,3},\·\·\·)$

$b_k^{\left(u\right)}=\frac{1}{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}u\left(t\right)\sin \mathrm{k\ωtd\ωt},k=(\mathrm{1,2,3},\·\·\·)$

$a_k^{\left(i\right)}=\frac{1}{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}i\left(t\right)\cos \mathrm{k\ωtd\ωt},k=(\mathrm{0,1,2,3},\·\·\·)$

$b_k^{\left(i\right)}=\frac{1}{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}i\left(t\right)\sin \mathrm{k\ωtd\ωt},k=(\mathrm{1,2,3},\·\·\·)$

上面的系数就是电压/电流函数在基底(坐标轴)上的坐标值，基底{sinkωt}，{coskωt}是可列维的，在该基底下u(t)、i(t)的波形可以由坐标{a_k ^(u)}、{b_k ^(u)}、{a_k ⁽ⁱ⁾}和{b_k ⁽ⁱ⁾}(k＝0，1，2，3，…)完整描述，记为：

$u={[a_0^{\left(u\right)},a_1^{\left(u\right)},b_1^{\left(u\right)},a_2^{\left(u\right)},b_2^{\left(u\right)},\·\·\·,a_n^{\left(u\right)},b_n^{\left(u\right)},\·\·\·]}^T$

$i={[a_0^{\left(i\right)},a_1^{\left(i\right)},b_1^{\left(i\right)},a_2^{\left(i\right)},b_2^{\left(i\right)},\·\·\·,a_n^{\left(i\right)},b_n^{\left(i\right)},\·\·\·]}^T$

众所周知，Fourier级数的基底是下交完备的，即有 $W={\∫}_0^{T}u\left(t\right)i\left(t\right)\mathrm{dt}$ 中的分量

${\∫}_0^T\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k^{\left(u\right)}{a}_k^{\left(i\right)}{\cos }^2\mathrm{k\ωtdt}=\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k^{\left(u\right)}{a}_k^{\left(i\right)}{\∫}_0^T{\cos }^2\mathrm{k\ωtdt}=\frac{T}{2}\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k^{\left(u\right)}{a}_k^{\left(i\right)}$

${\∫}_0^T\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{b}_k^{\left(u\right)}{b}_k^{\left(i\right)}{\sin }^2\mathrm{k\ωtdt}=\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{b}_k^{\left(u\right)}{b}_k^{\left(i\right)}{\∫}_0^T{\sin }^2\mathrm{k\ωtdt}=\frac{T}{2}\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{b}_k^{\left(u\right)}{b}_k^{\left(i\right)}$

表示在一个周期内的能量值，对应有功功率，代表的是电能、磁能、电磁能转换成其它形式(如机械能、热能、光能等)的能量。

而 $W={\∫}_0^{T}u\left(t\right)i\left(t\right)\mathrm{dt}$ 中的分量

上述各项均表示了在电能、磁能和电磁能之间的能量交换和转移，是在电能、磁能、电磁能中封闭的能量，没有变成其它形式的能量，体现了在电能、磁能和电磁能中封闭的能量守恒规律。应该强调指出的是，尽管这些积分式，即泛函等式恒等于零，但是相应的功率，即被积函数却不等于零，这正是无功功率的分量。这些功率分量在电路中流动、交换、转移，以电能、磁能和电磁能的形式满足能量守恒定律，没有变成其它能量形式，没有耗散。

现定义功率矩阵为：

在S中，主对角线上的元素对应的是同坐标轴上的电压、电流形成的有功功率。而非主对角线上的元素，就是不同坐标轴上的电压、电流形成的电功率，代表的是以电功率、磁功率或电磁功率的形式进行的能量交换，相应的功率为无功功率。由S可以看出，我们可以分出可列个无功功率分量，为{a_m ^(u)a_n ⁽ⁱ⁾}，{b_m ^(u)b_n ⁽ⁱ⁾}(m≠n)和{a_m ^(u)b_n ⁽ⁱ⁾}、{b_m ^(u)a_n ⁽ⁱ⁾}。这样，在任意波形周期电压和电流情况下，无功功率是不同坐标轴上的电压和电流分量共同作用的结果，没有可能分出电压(或电流)的无功分量；只有在单一频率电压(电流)条件下，才能分解出电压(或电流)的无功分量。因而，描述无功功率分量的任一个电压(电流)分量，均是一身而二任焉，既是有功分量，又是无功分量。例如，a₁ ^(u)cosωt会与a₁ ⁽ⁱ⁾cosωt形成有功功率，a₁ ^(u)cosωt会与a₂ ⁽ⁱ⁾cos2ωt形成无功功率，到底是形成有功功率还是形成无功功率，取决于它和哪一个电流(电压)分量作用，这由功率矩阵可以明确看出。既然形成无功功率各分量均是{a_m ^(u)，a_n ⁽ⁱ⁾}、{b_m ^(u)，b_n ⁽ⁱ⁾}(m≠n)和{a_m ^(u)，b_n ⁽ⁱ⁾}、{b_m ^(u)，a_n ⁽ⁱ⁾}等不同坐标轴上的电压、电流形成的电流电压偶对，因而无功功率各分量也应由无功功率电流电压偶对来描述，而不是由传统的单独的无功电流(电压)分量等术语描述。

无功功率分量为无功功率电流电压偶对中两个元素的乘积，记为

$Q_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{aa}}=a_m^{\left(u\right)}{a}_n^{\left(i\right)}\cos m\mathrm{\ω}t\cos \mathrm{n\ωt}=\frac{1}{2}{a}_m^{\left(u\right)}{a}_n^{\left(i\right)}[\cos (m+n)\mathrm{\ωt}+\cos (m-n)\mathrm{\ωt}],$

$Q_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{bb}}=b_m^{\left(u\right)}{b}_n^{\left(i\right)}\sin \mathrm{m\ω}t\sin \mathrm{n\ωt}=\frac{1}{2}{b}_m^{\left(u\right)}{b}_n^{\left(i\right)}[\cos (m-n)\mathrm{\ωt}-\cos (m+n)\mathrm{\ωt}],$

$Q_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{ab}}=a_m^{\left(u\right)}{b}_n^{\left(i\right)}\cos m\mathrm{\ω}t\sin \mathrm{n\ωt}=\frac{1}{2}{a}_m^{\left(u\right)}{b}_n^{\left(i\right)}[\sin (m+n)\mathrm{\ωt}-\sin (m-n)\mathrm{\ωt}],$

$Q_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{ba}}=b_m^{\left(u\right)}{a}_n^{\left(i\right)}\sin \mathrm{m\ω}t\cos \mathrm{n\ωt}=\frac{1}{2}{b}_m^{\left(u\right)}{a}_n^{\left(i\right)}[\sin (m+n)\mathrm{\ωt}+\sin (m-n)\mathrm{\ωt}],$

在上面四个式子中，Q_mn ^ab的上标的第一位a和下标的第一位m代表的是电压函数u(t)在m次余弦坐标轴上(即cosmωt上)的坐标，Q_mn ^ab的上标的第二位b和下标的第二位n代表的是电流函数i(t)在n次正弦坐标轴上(即sinnωt上)的坐标，Q_mn ^aa、Q_mn ^bb、Q_mn ^ba上标和下标的含义可以类推。上面四个式子表现了无功功率以正弦或余弦形式交变，体现了功率方向的交换和能量的交换和转移。由于这些无功功率分量的频率是可列个，与单一频率的电流、电压情况不同，因此不便用符号法并采用矢量图形象地表示出来。

根据有功功率的定义，只有相同坐标轴上的电压与电流分量才能产生有功功率，将电磁能不可逆地转换成为其他形式的能量，从功率矩阵可以看出：有功功率为功率矩阵S主对角线上所有元素的和的 即：

$P=\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}u\left(t\right)i\left(t\right)\mathrm{dwt}=\frac{1}{2}[a_0^u{a}_0^i+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}(a_k^u{a}_k^i+b_k^u{b}_k^{\′})]$

无功功率定义为所有无功功率分量的和，为：

由上式可得，这里定义的无功功率不再是一个恒定的常数，而是一个关于时间t的函数，代表的是在电路中以可列个不同的频率交变的功率分量。

以cosnωt为系数的无功功率分量可表示为

$Q_{\cos }=\frac{1}{2}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\left\{\underset{m=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\right[a_m^{\left(u\right)}{a}_{n-m}^{\left(i\right)}-b_m^{\left(u\right)}{b}_{n-m}^{\left(i\right)}]+\underset{m=n}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}[a_m^{\left(u\right)}{a}_{m-n}^{\left(i\right)}+b_m^{\left(u\right)}{b}_{m-n}^{\left(i\right)}\left]\right\}\cos \mathrm{n\ωt}$

$=\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{Q}_{\cos \mathrm{n\ωt}}\cos \mathrm{n\ωt}$

其中 $Q_{\cos \mathrm{n\ωt}}=\frac{1}{2}\left\{\underset{m=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\right[a_m^{\left(u\right)}{a}_{n-m}^{\left(i\right)}-b_m^{\left(u\right)}{b}_{n-m}^{\left(i\right)}]+\underset{m=n}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}[a_m^{\left(u\right)}{a}_{m-n}^{\left(i\right)}+b_m^{\left(u\right)}{b}_{m-n}^{\left(i\right)}\left]\right\}$

以sinnωt为系数的无功功率分量可表示为

$Q_{\sin }=\frac{1}{2}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\left\{\underset{m=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\right[a_m^{\left(u\right)}{b}_{n-m}^{\left(i\right)}+b_m^{\left(u\right)}{a}_{n-m}^{\left(i\right)}]+\underset{m=n}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}[b_m^{\left(u\right)}{a}_{m-n}^{\left(i\right)}-a_m^{\left(u\right)}{b}_{m-n}^{\left(i\right)}\left]\right\}\sin \mathrm{n\ωt}$ 其中

$=\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{Q}_{\sin \mathrm{n\ωt}}\sin \mathrm{n\ωt}$

$Q_{\sin \mathrm{n\ωt}}=\frac{1}{2}\left\{\underset{m=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\right[a_m^{\left(u\right)}{b}_{n-m}^{\left(i\right)}+b_m^{\left(u\right)}{a}_{n-m}^{\left(i\right)}]+\underset{m=n}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}[b_m^{\left(u\right)}{a}_{m-n}^{\left(i\right)}-a_m^{\left(u\right)}{b}_{m-n}^{\left(i\right)}\left]\right\}$

则负荷的无功功率的有效值可以表示为：

$Q=\sqrt{\frac{1}{2}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}(Q_{\cos \mathrm{n\ωt}}^2+Q_{\sin \mathrm{n\ωt}}^2)}$

使无功功率Q_t为零的条件可以由S方便地得出。要使所有无功功率分量为零，就是要使式S中主对角线之外的所有元素都为零，即

$Q_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{aa}}=a_m^{\left(u\right)}{a}_n^{\left(i\right)}\cos m\mathrm{\ω}t\cos \mathrm{n\ωt}=\frac{1}{2}{a}_m^{\left(u\right)}{a}_n^{\left(i\right)}[\cos (m+n)\mathrm{\ωt}+\cos (m-n)\mathrm{\ωt}]=0$

$Q_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{bb}}=b_m^{\left(u\right)}{b}_n^{\left(i\right)}\sin \mathrm{m\ω}t\sin \mathrm{n\ωt}=\frac{1}{2}{b}_m^{\left(u\right)}{b}_n^{\left(i\right)}[\cos (m-n)\mathrm{\ωt}-\cos (m+n)\mathrm{\ωt}]=0,$

$Q_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{ab}}=a_m^{\left(u\right)}{b}_n^{\left(i\right)}\cos m\mathrm{\ω}t\sin \mathrm{n\ωt}=\frac{1}{2}{a}_m^{\left(u\right)}{b}_n^{\left(i\right)}[\sin (m+n)\mathrm{\ωt}-\sin (m-n)\mathrm{\ωt}]=0,$

$Q_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{ba}}=b_m^{\left(u\right)}{a}_n^{\left(i\right)}\sin \mathrm{m\ω}t\cos \mathrm{n\ωt}=\frac{1}{2}{b}_m^{\left(u\right)}{a}_n^{\left(i\right)}[\sin (m+n)\mathrm{\ωt}+\sin (m-n)\mathrm{\ωt}]=0,$

要满足

上述四个等式，就必须使电路中不存在不同基底上的电压、电流分量形成的无功功率偶对。当电压、电流中仅含有单一基底上的分量时，电路中就不存在不同基底上的电压、电流分量，也就无法形成无功功率偶对，各无功功率分量也就等于零了。从数学上说，这个唯一的基底，可以是任意次谐波的正弦分量或余弦分量，但是从电力工程的实际来说，电能的传输与消费都是在工频频率下进行的，因此，电路中无功功率为零的条件就是电压、电流中仅含有基波的正弦分量或余弦分量，即

$u={[0,a_1^{\left(u\right)},\mathrm{0,0,0},\·\·\·,\mathrm{0,0},\·\·\·]}^T$

$i={[0,a_1^{\left(i\right)},\mathrm{0,0,0},\·\·\·,\mathrm{0,0},\·\·\·]}^T$

或

$u={[0,{0,b}_1^{\left(u\right)},\mathrm{0,0,0},\·\·\·,\mathrm{0,0},\·\·\·]}^T$

$i={[0,{0,b}_1^{\left(i\right)},\mathrm{0,0,0},\·\·\·,\mathrm{0,0},\·\·\·]}^T$

至于有限次谐波构成的任意波形是上述情况的特例，在此不赘述。同时，由S也可以制定出相应的无功功率计量和补偿条件。

在三相电路中，同样存在电源与负荷之间、电源与电源之间的电功率的交换，这一点与单相电路相同。但是在三相电路中，还存在单相电路中没有的问题，如三相电压的对称问题，三相负载的平衡问题。因此，将单相无功功率定义推广到三相电路中的时候，还需要对上述问题进行讨论。本文将分别讨论下列三相电压不对称、三相负载不平衡的三相电路，其余情形均为此三相电路的特例。

当三相电压不对称，三相负载不平衡时，设三相电压是任意的周期函数，为

$u_A\left(t\right)=\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{Ak}}^{\left(u\right)}\cos \mathrm{k\ωt}+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{Ak}}^{\left(u\right)}\sin \mathrm{k\ωt}$

$u_B\left(t\right)=\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{Bk}}^{\left(u\right)}\cos k(\mathrm{\ωt}-\frac{2\mathrm{\π}}{3})+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{Bk}}^{\left(u\right)}\sin k(\mathrm{\ωt}-\frac{2\mathrm{\π}}{3})$

$u_C\left(t\right)=\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{Ck}}^{\left(u\right)}\cos k(\mathrm{\ωt}+\frac{2\mathrm{\π}}{3})+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{Ck}}^{\left(u\right)}\sin k(\mathrm{\ωt}+\frac{2\mathrm{\π}}{3})$

式中， $a_{\mathrm{Ak}}^{\left(u\right)}\≠a_{\mathrm{Bk}}^{\left(u\right)}\≠a_{\mathrm{Ck}}^{\left(u\right)},$ $b_{\mathrm{Ak}}^{\left(u\right)}\≠b_{\mathrm{Bk}}^{\left(u\right)}\≠b_{\mathrm{Ck}}^{\left(u\right)}.$

三相负载电流为：

$i_A\left(t\right)=\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{Ak}}^{\left(i\right)}\cos \mathrm{k\ωt}+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{Ak}}^{\left(i\right)}\sin \mathrm{k\ωt}$

$i_B\left(t\right)=\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{Bk}}^{\left(i\right)}\cos k(\mathrm{\ωt}-\frac{2\mathrm{\π}}{3})+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{Bk}}^{\left(i\right)}\sin k(\mathrm{\ωt}-\frac{2\mathrm{\π}}{3})$

$i_C\left(t\right)=\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{Ck}}^{\left(i\right)}\cos k(\mathrm{\ωt}+\frac{2\mathrm{\π}}{3})+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{Ck}}^{\left(i\right)}\sin k(\mathrm{\ωt}+\frac{2\mathrm{\π}}{3})$

式中， $a_{\mathrm{Ak}}^{\left(i\right)}\≠a_{\mathrm{Bk}}^{\left(i\right)}\≠a_{\mathrm{Ck}}^{\left(i\right)},$ $b_{\mathrm{Ak}}^{\left(i\right)}\≠b_{\mathrm{Bk}}^{\left(i\right)}\≠b_{\mathrm{Ck}}^{\left(i\right)}.$

首先讨论A相电路中的功率现象，对于A相的电流和电压，同样可以使用功率矩阵进行分析，功率矩阵为：

此时，A相无功功率为A相所有无功功率分量之和：

对于B相和C相电路，可以用同样的方法进行处理，得出类似的结果。需要指出的是，在分析B相电路时，要以B相电路的基波电压分量作为基准相，而不是以A相电路的基波电压分量作为基准相。同理，在分析C相电路时，要以C相电路的基波电压分量作为基准相。

在计算三相负荷的无功电能时，可先算出三相负荷的无功功率的有效值。同计算单相负荷的无功功率的有效值的方法一样先算出A、B、C三相的无功功率的有效值，那么负荷的总的无功功率的有效值为三相的无功功率的有效值之和。

以A相电路为例分析，要使A相电路中所有无功功率分量为零，就是要使SA中主对角线之外的所有元素都为零，即

$Q_{\mathrm{Amn}}^{\mathrm{aa}}=a_{\mathrm{Am}}^{\left(u\right)}{a}_{\mathrm{An}}^{\left(i\right)}\cos m\mathrm{\ω}t\cos \mathrm{n\ωt}=\frac{1}{2}{a}_{\text{Am}}^{\left(u\right)}{a}_{\mathrm{An}}^{\left(i\right)}[\cos (m+n)\mathrm{\ωt}+\cos (m-n)\mathrm{\ωt}]=0,$

$Q_{\mathrm{Amn}}^{\mathrm{bb}}=b_{\mathrm{Am}}^{\left(u\right)}{b}_{\mathrm{An}}^{\left(i\right)}\sin \mathrm{m\ω}t\sin \mathrm{n\ωt}=\frac{1}{2}{b}_{\mathrm{Am}}^{\left(u\right)}{b}_{\mathrm{An}}^{\left(i\right)}[\cos (m-n)\mathrm{\ωt}-\cos (m+n)\mathrm{\ωt}]=0,$

$Q_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{ab}}=a_{\mathrm{Am}}^{\left(u\right)}{b}_{\mathrm{An}}^{\left(i\right)}\cos m\mathrm{\ω}t\sin \mathrm{n\ωt}=\frac{1}{2}{a}_{\mathrm{Am}}^{\left(u\right)}{b}_{\mathrm{An}}^{\left(i\right)}[\sin (m+n)\mathrm{\ωt}-\sin (m-n)\mathrm{\ωt}]=0,$

$Q_{\mathrm{Amn}}^{\mathrm{ba}}=b_{\mathrm{Am}}^{\left(u\right)}{a}_{\mathrm{An}}^{\left(i\right)}\sin \mathrm{m\ω}t\cos \mathrm{n\ωt}=\frac{1}{2}{b}_{\mathrm{Am}}^{\left(u\right)}{a}_{\mathrm{An}}^{\left(i\right)}[\sin (m+n)\mathrm{\ωt}+\sin (m-n)\mathrm{\ωt}]=0,$

与单相电路分析同理可得，电路中无功功率为零的条件就是电压、电流中仅含有基波的正弦分量或余弦分量，即

$u_A={[0,a_{A1}^{\left(u\right)},\mathrm{0,0,0},\·\·\·,\mathrm{0,0},\·\·\·]}^T$

$i_A={[0,a_{A1}^{\left(i\right)},\mathrm{0,0,0},\·\·\·,\mathrm{0,0},\·\·\·]}^T$

或

$u_A={[0,{0,b}_{A1}^{\left(u\right)},\mathrm{0,0,0},\·\·\·,\mathrm{0,0},\·\·\·]}^T$

$i_A={[0,{0,b}_{A1}^{\left(i\right)},\mathrm{0,0,0},\·\·\·,\mathrm{0,0},\·\·\·]}^T$

B相或C相电路中的无功功率为零的条件可同理得出。

当三相电流与三相电压中仅含有基波的正弦分量或余弦分量时，而且三相对称时，在各相电路之内，由于只存在同一基底上的电压、电流分量，无法形成无功功率偶对，没有以电功率、磁功率或电磁功率的形式进行的能量交换，三相电路中就不含有无功功率了，此时

三相电源电压为

$u_A\left(t\right)=a_{A1}^{\left(u\right)}\cos \mathrm{\ωt}$

$u_B\left(t\right)=a_{B1}^{\left(u\right)}\cos (\mathrm{\ωt}-\frac{2\mathrm{\π}}{3})$

$u_C\left(t\right)=a_{C1}^{\left(u\right)}\cos (\mathrm{\ωt}+\frac{2\mathrm{\π}}{3})$

式中， $a_{A1}^{\left(u\right)}=a_{B1}^{\left(u\right)}=a_{C1}^{\left(u\right)}$

三相负载电流为：

$i_A\left(t\right)=a_{A1}^{\left(i\right)}\cos \mathrm{\ωt}$

$i_B\left(t\right)=a_{B1}^{\left(i\right)}\cos (\mathrm{\ωt}-\frac{2\mathrm{\π}}{3})$

$i_C\left(t\right)=a_{C1}^{\left(i\right)}\cos (\mathrm{\ωt}+\frac{2\mathrm{\π}}{3})$

式中， $a_{A1}^{\left(i\right)}=a_{B1}^{\left(i\right)}=a_{C1}^{\left(i\right)}$

此时，三相电路的总瞬时功率为：

$p\left(t\right)=u_A\left(t\right)i_A\left(t\right)+u_B\left(t\right)i_B\left(t\right)+u_C\left(t\right)i_C\left(t\right)$

$=a_{A1}^{\left(u\right)}\cos \mathrm{\ωt}\·a_{A1}^{\left(i\right)}\cos \mathrm{\ωt}+a_{B1}^{\left(u\right)}\cos (\mathrm{\ωt}-\frac{2\mathrm{\π}}{3})\·a_{B1}^{\left(i\right)}\cos (\mathrm{\ωt}-\frac{2\mathrm{\π}}{3})$

$+a_{C1}^{\left(u\right)}\cos (\mathrm{\ωt}+\frac{2\mathrm{\π}}{3})\·a_{C1}^{\left(i\right)}\cos (\mathrm{\ωt}+\frac{2\mathrm{\π}}{3})$

$=a_{A1}^{\left(u\right)}{a}_{A1}^{\left(i\right)}+a_{B1}^{\left(u\right)}{a}_{B1}^{\left(i\right)}+a_{C1}^{\left(u\right)}{a}_{C1}^{\left(i\right)}=3a_{A1}^{\left(u\right)}{a}_{A1}^{\left(i\right)}$

因此，对称三相电路的瞬时功率是一个常量，其值总是为三相电路的平均功率，称为瞬时功率平衡，这是对称三相电路的一个优越性能，此时原动机的输出功率可以保持恒定。

由以上分析可以得出：

(1)在三相电源电压不对称，三相负载不平衡的条件下，可以通过无功功率补偿和谐波抑制的手段，使各相的电压和电流只含有单一频率(工频)的正弦量或余弦量，此时各相之内不存在无功功率，但是三相基波电压和三相基波电流不对称；

(2)三相电路的总功率为所有三相功率偶对所形成的三相功率分量的总和，既包含有功功率分量，也包含无功功率分量，尽管此时单相电路中已经不存在无功功率；

(3)使三相电路的总功率中不包含无功功率分量的条件是，三相电路中只存在正向电压矢量和正向电流矢量所形成的三相功率偶对。

建立在上述无功功率体系的无功电能计量方法，包含电源与电容、电感之间的电能量交换，但是又不限于电源与电容、电感之间的电能量交换，还包含不同频率的电源之间、电源与非线性负荷之间等一系列电路中的电能量交换的形式，因而该计量方法可以精确测量无功电能，适用于任意周期波形的电压和电流条件。

具体实施方式

本发明包括以下步骤：

(一)数据采集以获得负荷端的电压、电流信号

把负荷端的电压、电流信号经过电压、电流变送器变换成可进行采集和测量的低电平，若为三相负荷则把三相中的每一相的电压、电流信号送电压、电流变换器进行变换，对变换后的电压、电流信号分别进行同步均匀采样，在一个工频周期内的采样点数为N，其中N≥50且

例如取N＝1024，得到时域内的电压序列{u_(n)}和电流序列{i_(n)}，其中0≤n≤N-1，经过变送器变换后的电压、电流信号的Fourier表达式为

$u\left(t\right)=a_0^{\left(u\right)}+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k^{\left(u\right)}\cos \mathrm{k\ωt}+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{b}_k^{\left(u\right)}\sin \mathrm{k\ωt}$

$i\left(t\right)=a_0^{\left(i\right)}+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k^{\left(i\right)}\cos \mathrm{k\ωt}+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{b}_k^{\left(i\right)}\sin \mathrm{k\ωt}$

其中ω＝2πf，f为电网额定运行频率，对电压序列{u_(n)}和电流序列{i_(n)}分别进行DFT运算，求得a₀ ^(u)、a₁ ^(u)、b₁ ^(u)…a_N-1 ^(u)、b_N-1 ^(u)和a₀ ⁽ⁱ⁾、a₁ ⁽ⁱ⁾、b₁ ⁽ⁱ⁾…a_N-1 ⁽ⁱ⁾、b_N-1 ⁽ⁱ⁾；

(二)计算出负荷的无功功率的有效值

记

$Q_{\cos \mathrm{n\ωt}}=\frac{1}{2}\left\{\underset{m=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\right[a_m^{\left(u\right)}{a}_{n-m}^{\left(i\right)}-b_m^{\left(u\right)}{b}_{n-m}^{\left(i\right)}]+\underset{m=n}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}[a_m^{\left(u\right)}{a}_{m-n}^{\left(i\right)}+b_m^{\left(u\right)}{b}_{m-n}^{\left(i\right)}\left]\right\}$

$Q_{\sin \mathrm{n\ωt}}=\frac{1}{2}\left\{\underset{m=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\right[a_m^{\left(u\right)}{b}_{n-m}^{\left(i\right)}+b_m^{\left(u\right)}{a}_{n-m}^{\left(i\right)}]+\underset{m=n}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}[b_m^{\left(u\right)}{a}_{m-n}^{\left(i\right)}-a_m^{\left(u\right)}{b}_{m-n}^{\left(i\right)}\left]\right\}$

其中

且1≤n≤N-1，则负荷的无功功率的有效值为：

$Q=k\sqrt{\frac{1}{2}\underset{n=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}(Q_{\cos \mathrm{n\ωt}}^2+Q_{\sin \mathrm{n\ωt}}^2)}$

其中k为电压变送器变比和电流变送器变比的乘积；

若为三相负荷，记三相为A、B、C，则同理可算出Q_A、Q_B和Q_C，那么负荷的无功功率的有效值可表示为：

Q＝Q_A+Q_B+Q_C

(三)计算出在一个时间段负荷消耗的无功电能

无功电度表的定义为通过将无功功率对相应时间积分的方式测量无功电能的仪表。根据无功电度表的定义，在测量无功电能时我们可以把时间分为若干个小段，在任一时间段内求出其无功功率，然后用无功功率乘以这一时间长度即得这段时间的无功电能。当前时间段内的无功电能与前面时间段内的无功电能相加既得用户总的消耗的无功电能。在这里我们取时间段的长度为T＝μT₀，其中T₀为一个工频周期， 且μ≥1，则在这个时间段负荷消耗掉的无功电能为W₀＝QT；

(四)计算出负荷总的消耗掉的无功电能

设从开始到此时间段之前用户总的消耗掉的无功电能为W，则经过这个时间段后用户总的消耗掉的无功电能为W＝W+W₀；

(五)以(三)中时间段长度T为周期重复步骤(一)、(二)、(三)和(四)，得到任意周期波形的电压、电流条件下的无功电能。

Claims (1)

1.一种无功电能的计量方法，包括以下步骤：

(一)数据采集以获得负荷端的电压、电流信号

把负荷端的电压、电流信号经过电压、电流变送器变换成可进行采集和测量的低电平，若为三相负荷则把三相中的每一相的电压、电流信号送电压、电流变换器进行变换，对变换后的电压、电流信号分别进行同步均匀采样，在一个工频周期内的采样点数为N，其中N≥50且

得到时域内的电压序列{u_(n)}和电流序列{i_(n)}，其中0≤n≤N-1，经过变送器变换后的电压、电流信号的Fourier表达式为

$u\left(t\right)=a_0^{\left(u\right)}+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k^{\left(u\right)}\cos \mathrm{k\ωt}+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{b}_k^{\left(u\right)}\sin \mathrm{k\ωt}$

$i\left(t\right)=a_0^{\left(i\right)}+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k^{\left(i\right)}\cos \mathrm{k\ωt}+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{b}_k^{\left(i\right)}\sin \mathrm{k\ωt}$

其中ω＝2πf，f为电网额定运行频率，对电压序列{u_(n)}和电流序列{i_(n)}分别进行DFT运算，求得a₀ ^(u)、a₁ ^(u)、b₁ ^(u)…a_N-1 ^(u)、b_N-1 ^(u)和a₀ ⁽ⁱ⁾、a₁ ⁽ⁱ⁾、b₁ ⁽ⁱ⁾…a_N-1 ⁽ⁱ⁾、b_N-1 ⁽ⁱ⁾；

(二)计算出负荷的无功功率的有效值

记

$Q_{\cos \mathrm{n\ωt}}=\frac{1}{2}\left\{\underset{m=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\right[a_m^{\left(u\right)}{a}_{n-m}^{\left(i\right)}-b_m^{\left(u\right)}{b}_{n-m}^{\left(i\right)}]+\underset{m=n}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}[a_m^{\left(u\right)}{a}_{m-n}^{\left(i\right)}+b_m^{\left(u\right)}{b}_{m-n}^{\left(i\right)}\left]\right\}$

$Q_{\sin \mathrm{n\ωt}}=\frac{1}{2}\left\{\underset{m=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\right[a_m^{\left(u\right)}{b}_{n-m}^{\left(i\right)}+b_m^{\left(u\right)}{a}_{n-m}^{\left(i\right)}]+\underset{m=n}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}[b_m^{\left(u\right)}{a}_{m-n}^{\left(i\right)}-a_m^{\left(u\right)}{b}_{m-n}^{\left(i\right)}\left]\right\}$

其中

且1≤n≤N-1，则负荷的无功功率的有效值为：

$Q=k\sqrt{\frac{1}{2}\underset{n=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}(Q_{\cos \mathrm{n\ωt}}^2+Q_{\sin \mathrm{n\ωt}}^2)}$

其中k为电压变送器变比和电流变送器变比的乘积；

若为三相负荷，记三相为A、B、C，则同理可算出Q_A、Q_B和Q_C，那么负荷的无功功率的有效值可表示为：

Q＝Q_A+Q_B+Q_C

(三)计算出在一个时间段负荷消耗的无功电能

取时间段的长度为T＝μT₀，其中T₀为工频周期，

且μ≥1，则在这个时间段负荷消耗掉的无功电能为W₀＝QT；

(四)计算出负荷总的消耗掉的无功电能

设从开始到此时间段之前用户总的消耗掉的无功电能为W，则经过这个时间段后用户总的消耗掉的无功电能为W＝W+W₀；

(五)以(三)中时间段长度T为周期重复步骤(一)、(二)、(三)和(四)，得到所需计量的无功电能。