CN118013870B - 一种基于分布函数思想求解ns方程的深度神经网络方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于流体力学中流场重构技术领域，具体涉及一种基于分布函数思想求解NS方程的深度神经网络方法。本发明的基于分布函数思想求解NS方程的深度神经网络方法包括根据实际应用场景建立待求解的NS方程；进行CFD数值模拟；搭建基于分布函数法思想的深度神经网络模型；求解二维定常不可压NS方程。本发明的基于分布函数思想求解NS方程的深度神经网络方法可以用于不同边界条件、不同雷洛数、不同流体性质的流动情况，能够快速、准确地的对定常NS方程求解，不仅有效地克服了通过解析法求解NS方程在实际问题中难以实施的问题，而且具有更高的求解精度。

Description

一种基于分布函数思想求解NS方程的深度神经网络方法

技术领域

本发明属于流体力学中流场重构技术领域，具体涉及一种基于分布函数思想求解NS方程的深度神经网络方法。

背景技术

在科学和工程领域，对于流体力学问题的建模和求解一直是一个具有挑战性的任务。Navier-Stokes（NS）方程作为描述流体运动的基本方程，在各个领域都具有广泛的应用，包括空气动力学、气象学、海洋工程等。然而，由于其非线性性质和复杂性，传统数值、解析法在求解Navier-Stokes（NS）方程时可能面临着高计算成本、时间开销大、复杂的数学推导等问题。近年来，随着深度学习技术的发展，一种新颖的方法逐渐崭露头角，即“Physics-Informed Neural Networks”（物理信息神经网络，简称PINN）。PINN的核心思想是将神经网络直接与物理方程相结合，以在数据驱动的基础上融入物理规律，从而在求解科学问题时具备更高的效率和准确性。在使用PINN求解NS方程中，神经网络被设计成一个函数逼近器，用来近似描述NS方程中的速度、压力场等物理量。一个显著的优点是PINN可以从少量的数据中学习出物理规律，因此在数据稀缺的情况下也能进行模拟。

尽管PINN在解决复杂的流体力学问题上有一定效果，但其求解精度、求解速度一直存在一定挑战。传统解析法在求解偏微分方程时可能能够提供更加精确的解析解，并且传统解析法在解决过程中通常具有高效性，能够迅速获得解决方案。然而，传统解析法难以应用于复杂的非线性流体流动问题。因此将PINN与传统解析法相结合，可以将两者的优势融合，提供更准确和全面的解决方案。

Green函数法是一种特殊的求解偏微分方程的解析法，用于求解线性偏微分方程的边界值问题。它通过将边界条件反映到函数中，提供了一种求解非均匀边界条件问题的有效方法。利用Green函数，可以将边界值问题转化为积分方程或变分问题，进而求得问题的解。Green函数方法在求解边界值问题和非均匀边界条件下的问题时具有很高的精度和灵活性。

当前，亟需发展一种基于分布函数思想求解NS方程的深度神经网络方法。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种基于分布函数思想求解NS方程的深度神经网络方法，结合分步函数法思想的深度神经网络求解定常NS方程，用以克服现有技术的缺陷。

本发明的基于分布函数思想求解NS方程的深度神经网络方法将神经网络、解析法求解偏微分方程的思想以及物理控制方程三者相结合，受Green函数法启发，使用深度神经网络用于参数化空间分布函数，还利用神经网络的万能逼近性质，结合分布函数法的思想，间接求解NS方程。

本发明的基于分布函数思想求解NS方程的深度神经网络方法，包括以下步骤：

S10.根据实际应用场景建立待求解的NS方程；

实际应用场景为模拟提供物理上的支撑，建立待求解的二维定常不可压NS方程；

S20.进行CFD数值模拟；

进行CFD数值模拟，获得观测点数据，并且将CFD数值模拟数据作为验证本发明准确性的对比数据；

S30.搭建基于分布函数法思想的深度神经网络模型；

如图1a、图1b、图1c所示，深度神经网络模型依次包括输入层、隐藏层、输出层、积分层、Jax自动微分层以及误差层；

输入层：输入坐标X和坐标Y；

隐藏层：包括第1层、第2层、……第n层，每层使用60个神经元，其中，σ为激活函数，σ采用Tanh激活函数；

输出层：包括分布函数，/>，/>；其中，/>表示横向速度分布函数，/>表示纵向速度分布函数，/>表示压力分布函数；

积分层：包括u、v、p；其中，/>，/>；u、v、p表示坐标点与在指定边界条件约束下的二维定常不可压NS方程解之间的映射，其中，u为流场横向速度，v为流场纵向速度，p为流场压力；g为二维定常不可压NS方程的边界条件；积分层采用高斯勒让德数值积分方法对输出层的分布函数/>、/>、/>进行积分，得到偏微分方程；

Jax自动微分层；通过自动微分技术，使得积分层的偏微分方程获得微分算子，以构建NS方程组；

误差层；网络总误差LOSS由三部分组成，分别为LOSSpde、LOSSbc和LOSSdata，LOSS=LOSSpde+LOSSbc+LOSSdata；其中，LOSSpde为Jax自动微分层构建的偏微分方程的残差损失，LOSSbc为边界条件约束损失，LOSSpde为观测点损失；

S40.求解二维定常不可压NS方程；

对于二维定常不可压NS方程，用参数化的分布函数求解满足边界条件g的解；

横向速度表示为：

，

纵向速度表示为：

，

压力表示为：

，

其中，表示计算域，/>表示计算域训练点空间坐标，/>表示固定积分点坐标，g表示边界条件；

继续使用神经网络逼近微分算子，并通过深度神经网络映射微分算子/>，从而得到NS方程的解。

本发明的基于分布函数思想求解NS方程的深度神经网络方法对于二维定常横向速度场关于空间坐标的基于分布函数思想的物理信息神经网络求解定常NS方程模型，通过输入二维流场空间坐标，预测对应空间坐标下的横向速度场信息，获得高精度横向速度场信息。

本发明的基于分布函数思想求解NS方程的深度神经网络方法可以用于不同边界条件、不同雷洛数、不同流体性质的流动情况，能够快速、准确地的对定常NS方程求解，不仅有效地克服了通过解析法求解NS方程在实际问题中难以实施的问题，而且求解精确度也比直接用深度神经网络DNN参数化解决方案的端到端表示更有效，相对于传统的物理信息神经网络，具有更高的求解精度。

附图说明

图1a为本发明的基于分布函数思想求解NS方程的深度神经网络方法的流程图；

图1b为本发明的基于分布函数思想求解NS方程的深度神经网络方法的流程图（Ⅰ局部放大图）；

图1c为本发明的基于分布函数思想求解NS方程的深度神经网络方法的流程图（Ⅱ局部放大图）；

图2为实施例1的二维圆柱绕流尾迹区域的CFD模拟计算域；

图3为实施例1的基于分布函数思想求解NS方程的深度神经网络方法的的模型训练过程示意图；

图4为计算域横向速度场；

图5a为物理信息神经网络PINN模型获得的计算域横向速度场；

图5b为实施例1的基于分布函数思想求解NS方程的深度神经网络方法的获得的计算域横向速度场。

具体实施方式

下面结合附图和实施例详细说明本发明。

为了使本技术领域的人员更好地理解本申请方案，下面将结合本申请实施例中的附图，对本申请实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本申请一部分的实施例，而不是全部的实施例。基于本申请中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都应当属于本申请保护的范围。

实施例1：本实施例使用本发明的基于分布函数思想求解NS方程的深度神经网络方法重构流场信息，求解二维定常不可压NS方程。本实施例通过量风洞实验数据来重构整个流场的信息，并对流场进行分析。

本实施例的基于分布函数思想求解NS方程的深度神经网络方法的本质是在多层神经网络模型的基础上，引入分布函数法的思想，再结合NS方程将其作为训练损失约束的物理损失项，对模型的训练产生物理意义层面的约束。

本实施例在二维圆柱绕流尾迹区域的CFD模拟结果上，对尾迹区域的NS方程进行求解与比较。在仅有边界区域的数据与尾迹区域少数观测点的数据下使用分布函数法的思想求解出整个尾迹区域的解，使该神经网络模型使用解析法求解偏微分方程的思想对本NS方程进行求解，并且在物理层面具有可解释性。

本实施例的基于分布函数思想求解NS方程的深度神经网络方法，包括以下步骤：

S10.根据实际应用场景建立待求解的NS方程；

本实施例中的二维定常NS方程的连续性方程与动量方程如下：

；

其中，与/>为常数，/>为密度，/>为运动粘性系数，未知量为流场横向速度u、流场纵向速度v、流场压力p。

本实施例通过神经网络直接映射空间坐标x与坐标y下的流场信息的分布函数G，即，其中w与b分别为神经网络的权重与偏置，F为非线性变换。

S20.进行CFD数值模拟获取训练数据集。

本实施例对二维圆柱绕流CFD模拟整个流场达到稳态时的结果中选择t=10时的圆柱尾迹部分区域进行实验，具体尾迹区域如图2所示。

其中的采样点有三类，分别为尾迹区域的边界区域坐标点、尾迹区域的内部坐标点，尾迹区域的内部随机采样的少数观测坐标点。CFD模拟的数据中包含流场流动速度信息的维数据矩阵u、v和流场流动压力信息的/>维数据矩阵p，m为尾迹区域横向坐标点数，n为尾迹区域纵向坐标点数，本实施例m为100，n为50。

取边界位置坐标数据与其对应的速度与压力信息作为边界条件，在尾迹区域随机采样获取观测点坐标与其速度与压力信息作为随机观测点（本实施例观测点个数为20），在实际应用中这部分数据可通过实验测量获得，其余尾迹区域点作为求解的对象区域，将上述数据作为训练集，尾迹区域的所有坐标点作为测试坐标点，尾迹区域CFD模拟结果作为流场的基线数据。

S30.搭建基于分布函数法思想的深度神经网络模型；

S31.将尾迹区域的x、y坐标作为网络的输入，构成网络的输入层；

S32.将网络的输入层通过8个隐藏层，每个隐藏层由60个神经元，均通过Tanh激活函数得到网络输出的三个分布函数，/>，/>；

S33.通过网络输出的分布函数在空间上采用高斯勒让德积分间接获得预测的流场信息。

本实施例中的流场横向速度u、流场纵向速度v、流场压力p通过分布函数表示为：

；

其中，表示横向速度分布函数、/>表示纵向速度分布函数，/>表示压力分布函数；/>表示边界条件；

S34.将通过积分层获得的流场信息构建损失函数；

积分之后通过jax框架的自动微分技术构造NS方程偏导数项，如：等，通过构造的偏导数项构造NS方程，使其满足物理约束，增强网络可解释性；

S40.求解二维定常不可压NS方程；

将上述训练集带入基于分布函数思想的深度神经网络求解定常NS方程的模型训练，其训练过程如图3所示，通过将待求解的流场信息分为流场空间坐标域和计算域边界、计算域观测点的流场信息/>，再将计算域边界坐标、观测点坐标以及其余点坐标作为网络输入，得到这三类坐标下的流场信息对应的分布函数/>，/>，/>作为网络输出，将得到的网络输出在计算域上进行高斯勒让德积分得到对应坐标下的流场信息，对于边界与观测点坐标的流场信息作为监督学习部分，其余位置坐标点嵌入NS方程作为物理约束，将监督部分和以NS方程作为约束的部分构成该模型的总损失，每次迭代判断最终的损失是否满足设置的约束阈值，满足则训练完成，反之则继续训练。

图4展示了计算域横向速度场。图5a的物理信息神经网络PINN模型获得的计算域横向速度场的L2范数误差为2.6286231%；图5b的实施例1的基于分布函数思想求解NS方程的深度神经网络方法在训练100000步后获得的计算域横向速度场的L2范数误差为2.4525534%。可以看出，本发明的基于分布函数思想求解NS方程的深度神经网络方法精度较高，在相同训练条件下预测的流场信息更好。

Claims (1)

1.一种基于分布函数思想求解NS方程的深度神经网络方法，其特征在于，包括以下步骤：

S10.根据实际应用场景建立待求解的NS方程；

实际应用场景为模拟提供物理上的支撑，建立待求解的二维定常不可压NS方程；

S20.进行CFD数值模拟；

进行CFD数值模拟，获得观测点数据，并且将CFD数值模拟数据作为验证准确性的对比数据；

S30.搭建基于分布函数法思想的深度神经网络模型；

深度神经网络模型依次包括输入层、隐藏层、输出层、积分层、Jax自动微分层以及误差层；

输入层；输入坐标X和坐标Y；

隐藏层：包括第1层、第2层、……第n层，每层使用60个神经元，其中，σ为激活函数，σ采用Tanh激活函数；

输出层；包括分布函数，/>，/>；其中，/>表示横向速度分布函数，/>表示纵向速度分布函数，/>表示压力分布函数；

积分层；包括u、v、p；其中，，/>，/>；u、v、p表示坐标点与在指定边界条件约束下的二维定常不可压NS方程解之间的映射，其中，u为流场横向速度，v为流场纵向速度，p为流场压力；g为二维定常不可压NS方程的边界条件；积分层采用高斯勒让德数值积分方法对输出层的分布函数/>、/>、/>进行积分，得到偏微分方程；

Jax自动微分层；通过自动微分技术，使得积分层的偏微分方程获得微分算子，以构建NS方程组；

误差层；网络总误差LOSS由三部分组成，分别为LOSSpde、LOSSbc和LOSSdata，LOSS=LOSSpde+LOSSbc+LOSSdata；其中，LOSSpde为Jax自动微分层构建的偏微分方程的残差损失，LOSSbc为边界条件约束损失，LOSSpde为观测点损失；

S40.求解二维定常不可压NS方程；

对于二维定常不可压NS方程，用参数化的分布函数求解满足边界条件g的解；

横向速度表示为：

；

纵向速度表示为：

；

压力表示为：

；

其中，表示计算域，/>表示计算域训练点空间坐标，/>表示固定积分点坐标，g表示边界条件；

继续使用神经网络逼近微分算子，并通过深度神经网络映射微分算子，从而得到NS方程的解。