CN117421525B - 一种病态问题解算精度的相对均方误差分析方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种病态问题解算精度的相对均方误差分析方法，涉及模型参数估计精度分析技术领域，利用最小二乘方法、正则化方法以及TSVD方法获得病态模型参数的三组估值；以病态模型参数最小二乘无偏估值为对比基准，计算正则化估值以及TSVD估值相对于最小二乘估值的参数估值相对变化量；基于正则化估值相对变化量以及TSVD估值相对变化量确定二者相对于最小二乘估计的相对标准差与相对偏差；利用相对标准差与相对偏差分析确定出均方根误差相对下降量，进而通过比较相对下降量大小给出最优的解算方法。本发明利用均方误差相对变化特性，实现病态问题解算方法的参数估值误差比较分析，通过优选解算方法提高病态问题影响下模型参数的估值精度。
Description
技术领域
本发明涉及模型参数估计精度分析技术领域，尤其是涉及一种病态问题解算精度的相对均方误差分析方法。
背景技术
卫星与传感器技术的发展为大地测量提供了更为丰富和高效的观测手段，然而由于观测条件以及观测环境的限制，在PoInSAR（Polarimetric interferometric syntheticaperture radar）地表参数反演、GNSS（Global navigation satellite system）空间环境参数反演以及地球重力场反演等大地测量反演中常会出现病态问题，严重影响了物理参数反演的有效性与可靠性，须采用合理的病态问题解算方法，有效降低病态性对参数估计影响，提高物理参数的反演精度。
正则化方法与TSVD（Truncated singular value decomposition）方法是目前最为常用的病态问题解算方法，可有效改善病态模型参数的反演精度与稳定性。其中，正则化方法在最小二乘估计的基础上增加稳定泛函约束，并引入正则化参数调节稳定泛函的约束作用，从而改善参数估计的稳定性。TSVD方法则利用奇异值分解技术对反演模型设计矩阵进行奇异值分解，利用截断参数将影响参数估值方差的较小奇异值截掉，进而实现参数估值精度的改善。针对不同实际应用场景，尽管正则化方法与TSVD方法均是可行且有效的病态问题解算方法，但两者解算方式的不同导致两种方法的解算精度与适用场景有所不同。实际应用中，应选择最为适合的解算方法以提高模型参数的反演质量。然而，由于病态性对参数估值方差的严重影响，通过常规精度分析方法难以确定出两种解算方法的优劣。文献“均方误差意义下正则化解优于最小二乘解的条件”指出在均方误差意义下，病态问题解算方法通过引入少量偏差，大幅降低方差，从而实现均方误差的下降。因此，通过分析均方误差的下降量可确定出更优的解算方法。然而，均方误差的计算需要模型参数真值，在实际应用中，参数真值是未知的，均方误差也难以准确计算。文献“利用均方误差相对变化规律确定正则化参数及其在PolInSAR测量反演中的应用”提出利用不同正则化参数下的正则化估值均方误差相对变化确定最优的正则化参数，来改善正则化法模型参数的估值精度。该算法有效避免了均方误差计算对真值的依赖，但针对不同形式的病态问题解算方法，无法实现参数估值精度的比较分析。鉴于此，本发明基于文献中均方误差相对变化思想，考虑利用不同解算方法的均方误差相对变化规律，提出一种病态问题解算精度的相对均方误差分析方法，实现不同病态问题解算方法的参数估值精度比较分析，进而确定出最优的解算方法。
发明内容
本发明的目的是提供一种病态问题解算精度的相对均方误差分析方法，通过计算均方误差相对变化，避免计算过程中参数真值的引入，实现病态问题解算方法的参数估值误差比较分析，进而确定出更优的解算方法，提高模型参数估值精度。
为实现上述目的，本发明提供了一种病态问题解算精度的相对均方误差分析方法，包括以下步骤：
S1、首先，利用最小二乘方法、正则化方法以及TSVD方法解算病态模型，获得三组病态模型参数估值；
S2、以最小二乘无偏估计求得的病态模型参数估值为基准估值，分别计算正则化估值与TSVD估值相对于最小二乘估值的参数估值相对变化量；
S3、基于正则化估值相对变化量以及TSVD估值相对变化量确定正则化与TSVD相对于最小二乘估计的相对标准差以及相对偏差；
S4、最后，利用步骤S3得到的相对标准差以及相对偏差分析确定均方根误差相对下降量，进而通过比较下降量大小给出最优的解算方法。
优选的，在步骤S1中，利用三种解算方法解算病态模型，获得病态模型参数的三组估值：
由最小二乘方法获得病态模型参数的最小二乘估值：
(1)
式中，表示病态模型参数的最小二乘估值；/>为转置符号；/>表示模型设计矩阵；/>表示权重矩阵；/>为观测数据；
由正则化方法获得模型参数的正则化估值：
(2)
式中，表示病态模型参数的正则化估值；/>为正则化参数，/>为单位矩阵；
由TSVD方法获得病态模型参数的正则化估值：
(3)
式中，表示模型参数的TSVD估值；/>为设计矩阵的右奇异向量矩阵；/>为左奇异向量矩阵；/>为奇异值矩阵。
优选的，在步骤S2中，计算病态模型参数正则化估值以及TSVD估值相对于最小二乘估值的病态模型参数估值相对变化量：
(4)
式中，表示正则化估值相对变化量；/>表示求模运算；
(5)
式中，表示TSVD估值相对变化量。
优选的，在步骤S3中，无参数真值输入情况下，利用正则化估值与TSVD估值分别确定二者相对于最小二乘估值的相对标准差，包括：
最小二乘方法的方差计算式表示为：
(6)
式中，为最小二乘方差；/>表示未知模型参数的个数；/>为单位权方差，由仪器标称精度或多余观测获得；/>为设计矩阵的奇异值；/>表示奇异值序号；
正则化方法的方差计算式表示为：
(7)
式中，为正则化方差；TSVD方法的方差计算式则表示为：
(8)
式中，为TSVD方差；
正则化法与TSVD法相对于最小二乘法的相对标准差计算为：
(9)
(10)
式中，表示正则化方法的相对标准差；/>表示TSVD相对标准差。
优选的，在步骤S3中，无参数真值输入情况下，利用正则化估值相对变化量与TSVD估值相对变化量分别确定正则化与TSVD相对于最小二乘方法的相对偏差，包括：
病态模型参数估值的均方误差表示为：
(11)
式中，表示均方误差，/>表示数学期望运算，/>为病态问题解算方法模型参数估值，/>为模型参数真值，/>为病态问题解算方法估值方差，/>表示偏差；
由均方误差公式得病态问题解算方法相对于最小二乘方法的相对均方根误差为：
(12)
式中，表示相对均方根误差，/>表示病态问题解算方法的估值均方根误差；/>表示最小二乘估计的均方根误差，因此，相对均方根误差近似为参数估值变化量之和，即：
(13)
进而可得正则化方法与TSVD方法相对于最小二乘方法的相对均方根误差为：
(14)
(15)
式中，表示正则化方法的相对均方根误差；/>表示TSVD方法的相对均方根误差；
相对均方根误差由相对标准差和相对偏差两部分组成，因此，由相对均方根误差以及相对标准差得正则化与TSVD方法的相对偏差：
(16)
(17)
式中，为正则化方法参数估值相对偏差，/>为TSVD方法参数估值相对偏差。
优选的，在步骤S4中，绝对偏差无法有效计算时，利用正则化方法与TSVD方法相对于最小二乘方法的相对标准差和相对偏差，确定正则化方法与TSVD方法相对于最小二乘方法的均方根误差下降量，通过比较均方根误差相对下降量大小判断两种方法的解算效果：
(18)
(19)
式中，表示正则化方法均方根误差相对下降量；/>表示TSVD方法均方根误差相对下降量，均方根误差相对下降量越大则参数估计结果越优，由此得：
(20)
基于上式即可判定出解算精度更优的解算方法。
因此，本发明采用上述一种病态问题解算精度的相对均方误差分析方法，基于正则化估值相对变化量以及TSVD估值相对变化量确定两方法相对于最小二乘估计的相对偏差，避免了偏差计算对参数真值的依赖。而后利用相对偏差以及相对标准差差值分析均方根误差相对下降量，进而通过比较下降量大小给出最优的解算方法。最后通过空间坐标测量实验以及PolInSAR植被高反演实验验证了精度相对分析方法的可行性与有效性。
下面通过附图和实施例，对本发明的技术方案做进一步的详细描述。
附图说明
图1是一种病态问题解算精度的相对均方误差分析方法的流程图；
图2不同方法植被高参数估值与真值相关性统计；图2中的（a）为最小二乘法植被高参数估值与真值相关性统计；图2中的（b）为正则化方法植被高参数估值与真值相关性统计；图2中的（c）为TSVD方法植被高参数估值与真值相关性统计。
具体实施方式
以下通过附图和实施例对本发明的技术方案作进一步说明。
除非另外定义，本发明使用的技术术语或者科学术语应当为本发明所属领域内具有一般技能的人士所理解的通常意义。
实施例一
如图1所示，利用本发明提供的一种病态问题解算精度的相对均方误差分析方法，以常规最小二乘方法为对比基准，分析比较正则化方法与TSVD方法的病态问题解算精度。
S1、首先，利用最小二乘方法、正则化方法以及TSVD方法解算病态模型，获得病态模型参数三组估值；
（1）最小二乘方法
最小二乘估计方法是参数估计中最为常用的无偏估计方法，该方法以观测数据的残差平方和最小为准则，估计模型参数，得到模型参数的无偏估值，最小二乘估计准则表示为：
(1)
式中，，表示观测值残差向量；/>表示设计矩阵；/>为未知模型参数；表示观测值；/>为转置符号；/>表示观测值权重；由最小二乘方法可获得模型参数的最小二乘估值：
(2)
式中，表示模型参数的最小二乘估值。
（2）正则化方法
Tikhonov在最小二乘估计基础上提出了解算病态问题的正则化方法，该方法在最小二乘估计准则中增加了稳定泛函约束条件以及正则化调节参数，具体表示为。
(3)
式中，表示正则化参数；/>为正则化矩阵；/>则为稳定泛函，代表未知模型参数间存在的函数相关关系。在可获得未知参数先验信息时，稳定泛函常利用先验信息进行构建，而在无法获得先验信息情况下，稳定泛函常表达成模型参数的二范约束，即/>。正则化矩阵则简化为单位矩阵/>，该方式是目前最为通用的稳定泛函形式。此时，正则化法的模型参数估值表示为：
(4)
式中，表示模型参数的正则化估值。由于先验信息在实际应用中往往难以获得，基于不同先验信息构建的正则化矩阵也有所不同，因此，本发明考虑更具一般性的单位正则化矩阵时的正则化解算方法。
（3）TSVD方法
TSVD方法是由Hanson首次提出并实现的病态问题处理方法，该方法将严重影响模型参数估值方差的较小奇异值截掉，来改善模型参数估计精度。对设计矩阵进行奇异值分解可得：
(5)
(6)
式中，表示左奇异向量矩阵；/>为右奇异向量矩阵；/>表示奇异值矩阵；/>为奇异值且服从/>算法通过截断参数截掉部分小奇异值后的模型参数估值表示为：
(7)
式中，表示模型参数的TSVD估值，/>表示由截断参数确定的需保留的/>个较大奇异值。其中/>与/>表示取前/>列向量，/>表示为：
(8)
S2、以最小二乘无偏估计求得的病态模型参数估值为基准估值，分别计算正则化估值与TSVD估值相对于最小二乘估值的参数估值相对变化量；；
(9)
式中，表示正则化估值相对变化量；/>表示求模运算。
(10)
式中，表示TSVD估值相对变化量.
S3、基于正则化估值相对变化量以及TSVD估值相对变化量确定正则化与TSVD相对于最小二乘估计的相对标准差以及相对偏差；
标准差是方差的平方根，参数估值方差可由三种方法的方差计算式计算得到。其中，最小二乘方法的方差计算为：
(11)
式中，为最小二乘方差；/>表示未知模型参数的个数；/>为单位权方差，可由仪器观测精度得到，或利用多余观测获得；/>为设计矩阵的奇异值；/>表示奇异值序号。
正则化法的方差计算为：
(12)
式中，为正则化方差。
TSVD方法的方差计算为：
(13)
式中，为TSVD方差。
相对标准差可由方差变化量取平方根计算得到，两方法的相对标准差可计算为：
(14)
(15)
式中，表示正则化方法的相对标准差；/>表示TSVD相对标准差。
均方误差包含方差与偏差两个部分，病态模型参数估值的均方误差表示为：
(16)
式中，表示均方误差，/>表示数学期望运算，/>为病态问题解算方法模型参数估值，/>为模型参数真值，/>为病态问题解算方法估值方差，/>表示偏差；
由均方误差公式得病态问题解算方法相对于最小二乘方法的相对均方根误差为：
(17)
式中，表示相对均方根误差，/>表示病态问题解算方法的估值均方根误差；/>表示最小二乘估计的均方根误差，因此，相对均方根误差近似为参数估值变化量之和，即：
(18)
进而可得正则化方法与TSVD方法相对于最小二乘方法的相对均方根误差为：
(19)
(20)
式中，表示正则化方法的相对均方根误差；/>表示TSVD方法的相对均方根误差；
鉴于均方根误差由标准差和偏差两部分组成，因此，相对均方根误差应包含相对标准差和相对偏差两个部分。
由相对均方根误差以及相对标准差可得两方法的相对偏差为：
(21)
(22)
式中，为正则化方法参数估值相对偏差，/>为TSVD方法参数估值相对偏差。
S4、最后，利用步骤S3得到的相对标准差以及相对偏差分析确定均方根误差相对下降量，进而通过比较下降量大小给出最优的解算方法。
正则化方法与TSVD方法降低均方根误差的方式主要通过引入偏差促使标准差下降来实现。因此，偏差引入量与标准差下降量的大小决定了两种方法的解算效果。在绝对偏差无法有效计算的情况下，通过确定正则化方法与TSVD方法相对于最小二乘方法的标准差下降量与偏差引入量，即相对标准差与相对偏差，以标准差下降量减去偏差引入量即可获得两方法相对于同一最小二乘方法的均方根误差相对下降量，该下降量越大则解算效果越优。
(23)
(24)
式中，表示正则化方法均方根误差相对下降量；/>表示TSVD方法均方根误差相对下降量；均方根误差相对下降量越大则参数估计结果越优。由此可得
(25)
基于上式即可判定出解算精度更优的解算方法。
实施例二
采用实验的方法验证实施例一的分析方法。
2.1空间坐标测量反演实验
空间距离交会是大地测量中动态定位的常用测量手段，然而，在部分偏僻区域，受交会观测几何条件限制，交会测量的坐标解算常常出现病态问题，导致坐标解算精度较低，须采用病态问题解算方法以提高坐标参数的估计精度。为了验证本发明的有效性，采用空间距离交会测量算例进行实验分析。算例中包含了2个未知点，9个已知点，以及18个等精度距离观测值，其中观测中误差0.01米。未知点坐标真值为A（0，0，0）与B（7，10，-5），已知点坐标真值及观测值情况如表1。
表1 空间交会测量观测信息（米）
；
利用18个观测值基于G-M模型构建误差方程，并对方程设计矩阵进行奇异值分解得到设计矩阵奇异值，其中奇异值情况如表2。
表2 设计矩阵奇异值
；
由表2可以看出，设计矩阵包含较小的奇异值，存在病态问题，最小二乘算法难以得到可靠的参数估值。为改善模型参数估计精度，分别采用正则化方法与TSVD方法进行解算，在参数真值未知情况下，采用本发明方法对比分析两种方法的估值结果，以获得最优的参数估值。其中正则化参数与截断参数的选择情况以及均方根误差相对下降量情况见表3。
表3 均方根误差相对变化情况
；
由表3可见，在正则化参数与截断参数确定情况下，正则化方法的均方根误差相对下降量大于TSVD方法0.29米，因此，在该情形下，正则化方法的参数估值结果应优于TSVD方法，可选择正则化估值作为最终的坐标参数估值。为验证本发明方法的有效性，利用坐标参数的设计真值计算各方法的坐标参数估值误差，误差大小情况如表4所示。
表4 不同方法模型参数估计结果（米）
；
由表4可以看出，最小二乘估计受模型病态性影响，参数估值误差较大，已难以获得参数的可靠估值。采用正则化方法与TSVD方法均可有效的改善参数估计精度，降低估值误差。其中正则化方法的估值误差小于TSVD方法0.3米，表明正则化方法估计结果优于TSVD方法，这与前述分析结果相吻合，从而验证了本发明提出的相对均方误差分析方法的可行性和有效性。
2.2 PolInSAR植被高测量反演实验
PolInSAR技术具备良好的穿透测量能力，可有效实现大范围植被覆盖区结构参数的测量反演。采用PolInSAR技术测量反演植被高参数时，受干涉相干机制及模型过度参数化影响，植被高参数反演常存在病态问题，严重影响了植被高参数的反演精度，因此，有必要选择合理有效的病态模型解算方法，以改善植被高参数的反演精度。为验证本发明分析选择病态问题解算方法的有效性，分别采用最小二乘方法、正则化方法与TSVD方法进行解算，并对比分析植被高反演质量，确定出最佳反演方法。
基于PolInSAR植被高反演相干散射模型可构建函数模型
(26)
式中，表示PolInSAR复相干观测值；/>为植被高参数，/>、/>、/>为其它模型参数。由函数模型可得观测误差方程：
(27)
式中，为残差向量，/>为设计矩阵，/>表示模型参数向量，包含植被高等13个未知模型参数；/>表示观测值向量，包含10种极化方式20个观测值。对设计矩阵进行奇异值分解可得设计矩阵奇异值情况如表5。
表5观测方程设计矩阵奇异值
；
由表5奇异值情况可见，模型存在较为严重的病态问题，设计矩阵包含一个几近于0的奇异值，这将严重影响模型参数的估值方差，导致参数估值精度较低，需利用病态问题解算方法，尽可能改善植被高参数的估值精度。与实验一相同，采用正则化方法与TSVD方法进行解算，并采用本发明精度分析方法进行比较分析，确定出更优的解算方法。
解算过程中，正则化参数与截断参数的选择情况以及均方根误差相对下降量情况如表6所示。
表6 均方根误差相对变化情况
；
由表6可以看出，采用正则化方法与TSVD方法解算后，均方根误差相对下降量较大，这主要与设计矩阵中的一个极小奇异值有关，由于该奇异值接近于0，导致最小二乘方法的参数估值方差较大。在奇异值得到正则化方法与TSVD方法的有效处理后，方差得到大幅改善，均方根误差也实现大幅下降。由均方根误差相对下降量可见，TSVD方法的均方根误差相对下降量比正则化方法要大65.79，因此，在该实验中，TSVD方法的解算结果优于正则化方法。
为了验证本发明所提分析方法的可行性与有效性，本实验选取了LiDAR技术反演的植被高参数作为植被高真值进行精度分析。LiDAR技术可实现较高精度的植被高参数反演，其反演结果常作为真值验证分析PolInSAR植被高反演精度。但相比于PolInSAR技术，LiDAR易受雨雪、云雾等天气状况影响，无法实现全天候的植被高测量作业。
图2给出了不同植被高度下，PolInSAR植被高估值与LiDAR植被高真值的相关系数情况，相关系数越高表明植被高估值精度越高。由图2可以看出，最小二乘方法植被高反演结果的相关系数最低，表明其反演精度低于正则化方法与TSVD方法，而TSVD方法的相关系数要高于正则化方法，表明TSVD方法植被高反演精度优于正则化方法，与本发明提出方法的分析结果一致。
表7 不同方法植被高参数估计误差统计（米）
；
表7为不同方法的PolInSAR植被高反演误差统计情况。由表7可明显看出，最小二乘估计的植被高参数估值均方根误差较大，已基本为无效估计。正则化方法与TSVD方法均大幅降低了植被高参数估值均方根误差，实现了植被高参数的可靠有效估计。其中，TSVD方法的植被高估值均方根误差优于正则化方法29.3%，表明TSVD方法的植被高估值结果优于正则化方法，进一步验证了本发明的可行性和可靠性。
因此，本发明采用上述一种病态问题解算精度的相对均方误差分析方法，通过计算均方误差相对变化，避免计算过程中参数真值的引入，实现病态问题解算方法的参数估值误差比较分析，进而确定出更优的解算方法，提高模型参数估值精度。
最后应说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非对其进行限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而这些修改或者等同替换亦不能使修改后的技术方案脱离本发明技术方案的精神和范围。
Claims (5)
1.一种用于大地测量的病态问题解算精度的相对均方误差分析方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1、首先，利用最小二乘方法、正则化方法以及TSVD方法解算病态模型，获得关于地表物理参数的三组病态模型参数估值；
S2、以最小二乘无偏估计求得的病态模型参数估值为基准估值，分别计算正则化估值与TSVD估值相对于最小二乘估值的参数估值相对变化量；
S3、基于正则化估值相对变化量以及TSVD估值相对变化量确定正则化与TSVD相对于最小二乘估计的相对标准差以及相对偏差；
S4、最后，利用步骤S3得到的相对标准差以及相对偏差分析确定均方根误差相对下降量，进而通过比较下降量大小给出最优的解算方法；
绝对偏差无法有效计算时，利用正则化方法与TSVD方法相对于最小二乘方法的相对标准差和相对偏差，确定正则化方法与TSVD方法相对于最小二乘方法的均方根误差下降量，通过比较均方根误差相对下降量大小判断两种方法的解算效果：
zZ＝sZ-pZ (1)
zT＝sT-pT (2)
式中，sZ表示正则化方法的相对标准差；sT表示TSVD相对标准差，pZ为正则化方法参数估值相对偏差，pT为TSVD方法参数估值相对偏差，zZ表示正则化方法均方根误差相对下降量；zT表示TSVD方法均方根误差相对下降量，均方根误差相对下降量越大则参数估计结果越优，由此得：
基于上式即可判定出解算精度更优的解算方法。
2.根据权利要求1所述的一种用于大地测量的病态问题解算精度的相对均方误差分析方法，其特征在于，在步骤S1中，利用三种解算方法解算病态模型，获得病态模型参数的三组估值：
由最小二乘方法获得病态模型参数的最小二乘估值：
式中，表示病态模型参数的最小二乘估值；T为转置符号；A表示模型设计矩阵；P表示权重矩阵；L为观测数据；
由正则化方法获得模型参数的正则化估值：
式中，表示病态模型参数的正则化估值；α为正则化参数，I为单位矩阵；
由TSVD方法获得病态模型参数的正则化估值：
式中，表示模型参数的TSVD估值；Gt为设计矩阵的右奇异向量矩阵；Ut为左奇异向量矩阵；St为奇异值矩阵。
3.根据权利要求2所述的一种用于大地测量的病态问题解算精度的相对均方误差分析方法，其特征在于，在步骤S2中，计算病态模型参数正则化估值以及TSVD估值相对于最小二乘估值的病态模型参数估值相对变化量：
式中，KZ表示正则化估值相对变化量；|·|表示求模运算；
式中，kT表示TSVD估值相对变化量。
4.根据权利要求3所述的一种用于大地测量的病态问题解算精度的相对均方误差分析方法，其特征在于，在步骤S3中，无参数真值输入情况下，利用正则化估值与TSVD估值分别确定二者相对于最小二乘估值的相对标准差，包括：
最小二乘方法的方差计算式表示为：
式中，TL为最小二乘方差；n表示未知模型参数的个数；为单位权方差，由仪器标称精度或多余观测获得；γi为设计矩阵的奇异值；i表示奇异值序号；
正则化方法的方差计算式表示为：
式中，TZ为正则化方差；TSVD方法的方差计算式则表示为：
式中，TT为TSVD方差，t表示由截断参数确定的需保留的t个较大奇异值；
正则化法与TSVD法相对于最小二乘法的相对标准差计算为：
式中，sZ表示正则化方法的相对标准差；sT表示TSVD相对标准差。
5.根据权利要求4所述的一种用于大地测量的病态问题解算精度的相对均方误差分析方法，其特征在于，在步骤S3中，无参数真值输入情况下，利用正则化估值相对变化量与TSVD估值相对变化量分别确定正则化与TSVD相对于最小二乘方法的相对偏差，包括：
病态模型参数估值的均方误差表示为：
式中，Mα表示均方误差，E表示数学期望运算，为病态问题解算方法模型参数估值，为模型参数真值，Tα为病态问题解算方法估值方差，bα表示偏差；
由均方误差公式得到病态问题解算方法相对于最小二乘方法的相对均方根误差为：
式中，r表示相对均方根误差，Rα表示病态问题解算方法的估值均方根误差；RL表示最小二乘估计的均方根误差，因此，相对均方根误差近似为参数估值变化量之和，即：
进而可得正则化方法与TSVD方法相对于最小二乘方法的相对均方根误差为：
rZ＝kZ (17)
rT＝kT (18)
式中，rZ表示正则化方法的相对均方根误差；rT表示TSVD方法的相对均方根误差；
相对均方根误差由相对标准差和相对偏差两部分组成，因此，由相对均方根误差以及相对标准差得到正则化与TSVD方法的相对偏差：
pZ＝rZ-sZ (19)
pT＝rT-sT (20)
式中，pZ为正则化方法参数估值相对偏差，pT为TSVD方法参数估值相对偏差。
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