CN117056646A - 一种用于子空间的变分量子线性求解方法、装置及介质 - Google Patents

一种用于子空间的变分量子线性求解方法、装置及介质 Download PDF

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CN117056646A CN202210496414.2A CN202210496414A CN117056646A CN 117056646 A CN117056646 A CN 117056646A CN 202210496414 A CN202210496414 A CN 202210496414A CN 117056646 A CN117056646 A CN 117056646A
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Abstract

本发明公开了一种用于子空间的变分量子线性求解方法、装置及介质，方法包括：确定待求解线性方程组，构建变分量子线路和Krylov子空间，利用广义极小残量方法和变分量子线路，计算待求解线性方程组在子空间内的近似解，以解决现有技术中的不足，它能够降低线性问题求解的时间复杂度和计算量。

Description

一种用于子空间的变分量子线性求解方法、装置及介质
技术领域
本发明属于量子计算技术领域，特别是一种用于子空间的变分量子线性求解方法、装置及介质。
背景技术
量子计算机是一类遵循量子力学规律进行高速数学和逻辑运算、存储及处理量子信息的物理装置。当某个装置处理和计算的是量子信息，运行的是量子算法时，它就是量子计算机。量子计算机因其具有相对普通计算机更高效的处理数学问题的能力，例如，能将破解RSA密钥的时间从数百年加速到数小时，故成为一种正在研究中的关键技术。
量子计算模拟是一个借助数值计算和计算机科学来仿真遵循量子力学规律的模拟计算，作为一个仿真程序，它依据量子力学的量子比特的基本定律，利用计算机的高速计算能力，刻画量子态的时空演化。
对线性方程组的求解是许多科学与工程问题的核心，求解此类问题的经典算法统称为线性***算法。近年来，量子计算领域的一个非常重要的成果是量子线性***算法，其中最著名的当属Harrow、Hassidim和Lloyd于2009年共同提出的HHL算法，但是该算法随着输入矩阵维度的增大，求解线性问题的时间复杂度会随之提高，导致其求解过程可能需要调用兆字节甚至千兆字节的数据量，对计算资源的需求过高，使其无法在普通的计算机上对实际物理问题进行模拟求解。
发明内容
本发明的目的是提供一种用于子空间的变分量子线性求解方法、装置及介质，以解决现有技术中的不足，它能够降低线性问题求解的复杂度和计算量。
本申请的一个实施例提供了一种用于子空间的变分量子线性求解方法，所述方法包括：
确定待求解线性方程组；
构建变分量子线路和Krylov子空间，利用广义极小残量方法和变分量子线路，计算待求解线性方程组在子空间内的近似解。
可选的，所述确定待求解线性方程组，包括：
确定待求解线性方程组Ax＝b及初始残差r0，其中，所述A为系数矩阵，所述b为向量，所述初始残差r0根据初始解x0计算，满足r0＝b-Ax0。
可选的，所述构建变分量子线路和Krylov子空间，利用广义极小残量方法和变分量子线路，计算待求解线性方程组在子空间内的近似解，包括：
构建对应所述系数矩阵A、向量b的m阶Krylov子空间Km的标准正交基组Vm和Hessenberg矩阵Hm+1，m；
对所述Hessenberg矩阵Hm+1，m进行QR分解；
构建变分量子线路并利用所述变分量子线路对QR分解结果进行处理，得到所述待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym；
根据所述中间值ym，获取所述待求解线性方程组的近似解xm，其中，所述xm＝x0+Vmym。
可选的，所述对所述Hessenberg矩阵Hm+1，m进行QR分解，包括：
将所述Hessenberg矩阵Hm+1，m分解成其中，Qm+1为正交矩阵，Rm+1，m为上三角矩阵。
可选的，所述方法还包括：
根据所述近似解构建损失函数并判断所述损失函数的值是否符合预设精度；
若是，则将所述近似解作为所述待求解线性方程组的目标解，否则，更新变分参数，获取更新后的变分参数对应的所述线性方程组的近似解，继续执行所述构建变分量子线路和Krylov子空间，利用广义极小残量方法和变分量子线路，计算待求解线性方程组在子空间内的近似解的步骤，直至得到满足所述损失函数的值符合预设精度的近似解，作为所述待求解线性方程组的目标解。
可选的，所述构建变分量子线路并利用所述变分量子线路对QR分解结果进行处理，得到所述待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym，包括：
分别构造第一子量子线路、第二子量子线路，以组成变分量子线路，其中，所述第一子量子线路用于形成包含所述待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym的子量子态，所述第二子量子线路用于获取所述损失函数的值和/或损失函数的梯度；
输入Rm和残差向量β的值并对所述变分量子线路进行测量，得到包含所述待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym的最终量子态，其中，Rm为上三角矩阵Rm+1，m的前m行，β＝||r0||2q1(1：m)，q1(1：m)表示正交矩阵Qm+1第一列的前m个元素组成的向量，β与Rm、ym满足关系：β＝Rmym；
根据所述最终量子态，确定所述待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym。
可选的，所述损失函数为：
其中，所述为损失函数，所述/>为变分参数，所述I为单位矩阵，所述且/>所述U为含参量子逻辑门。
本申请的又一实施例提供了一种用于子空间的变分量子线性求解装置，所述装置包括：
确定模块，用于确定待求解线性方程组；
构建模块，用于构建变分量子线路和Krylov子空间，利用广义极小残量方法和变分量子线路，计算待求解线性方程组在子空间内的近似解。
可选的，所述确定模块，包括：
确定单元，用于确定待求解线性方程组Ax＝b及初始残差r0，其中，所述A为系数矩阵，所述b为向量，所述初始残差r0根据初始解x0计算，满足r0＝b-Ax0。
可选的，所述构建模块，包括：
第一构建单元，用于构建对应所述系数矩阵A、向量b的m阶Krylov子空间Km的标准正交基组Vm和Hessenberg矩阵Hm+1，m；
分解单元，用于对所述Hessenberg矩阵Hm+1，m进行QR分解；
第二构建单元，用于构建变分量子线路并利用所述变分量子线路对QR分解结果进行处理，得到所述待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym；
获取单元，用于根据所述中间值ym，获取所述待求解线性方程组的近似解xm，其中，所述xm＝x0+Vmym。
可选的，所述分解单元，包括：
分解子单元，用于将所述Hessenberg矩阵Hm+1，m分解成 其中，Qm+1为正交矩阵，Rm+1，m为上三角矩阵。
可选的，所述装置还包括：
判断模块，用于根据所述近似解构建损失函数并判断所述损失函数的值是否符合预设精度；
更新模块，用于若是，则将所述近似解作为所述待求解线性方程组的目标解，否则，更新变分参数，获取更新后的变分参数对应的所述线性方程组的近似解，继续执行所述构建变分量子线路和Krylov子空间，利用广义极小残量方法和变分量子线路，计算待求解线性方程组在子空间内的近似解的步骤，直至得到满足所述损失函数的值符合预设精度的近似解，作为所述待求解线性方程组的目标解。
可选的，所述第二构建单元，包括：
构造子单元，用于分别构造第一子量子线路、第二子量子线路，以组成变分量子线路，其中，所述第一子量子线路用于形成包含所述待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym的子量子态，所述第二子量子线路用于获取所述损失函数的值和/或损失函数的梯度；
测量子单元，用于输入Rm和残差向量β的值并对所述变分量子线路进行测量，得到包含所述待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym的最终量子态，其中，Rm为上三角矩阵Rm+1，m的前m行，β＝||r0||2q1(1：m)，q1(1：m)表示正交矩阵Qm+1第一列的前m个元素组成的向量，β与Rm、ym满足关系：β＝Rmym；
确定子单元，用于根据所述最终量子态，确定所述待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym。
本申请的又一实施例提供了一种存储介质，所述存储介质中存储有计算机程序，其中，所述计算机程序被设置为运行时执行上述任一项中所述的方法。
本申请的又一实施例提供了一种电子设备，包括存储器和处理器，所述存储器中存储有计算机程序，所述处理器被设置为运行所述计算机程序以执行上述任一项中所述的方法。
与现有技术相比，本发明首先确定待求解线性方程组，然后构建变分量子线路和Krylov子空间，利用广义极小残量方法和变分量子线路，计算待求解线性方程组在子空间内的近似解，它利用广义极小残量方法和变分量子线路，能够降低线性问题求解的复杂度和计算量，填补相关技术的空白。
附图说明
图1为本发明实施例提供的一种用于子空间的变分量子线性求解方法的计算机终端的硬件结构框图；
图2为本发明实施例提供的一种用于子空间的变分量子线性求解方法的流程示意图；
图3为本发明实施例提供的一种第一子量子线路示意图；
图4为本发明实施例提供的一种第二子量子线路示意图；
图5为本发明实施例提供的一种用于子空间的变分量子线性求解装置的结构示意图。
具体实施方式
下面通过参考附图描述的实施例是示例性的，仅用于解释本发明，而不能解释为对本发明的限制。
本发明实施例首先提供了一种用于子空间的变分量子线性求解方法，该方法可以应用于电子设备，如计算机终端，具体如普通电脑、量子计算机等。
下面以运行在计算机终端上为例对其进行详细说明。图1为本发明实施例提供的一种用于子空间的变分量子线性求解方法的计算机终端的硬件结构框图。如图1所示，计算机终端可以包括一个或多个(图1中仅示出一个)处理器102(处理器102可以包括但不限于微处理器MCU或可编程逻辑器件FPGA等的处理装置)和用于存储数据的存储器104，可选地，上述计算机终端还可以包括用于通信功能的传输装置106以及输入输出设备108。本领域普通技术人员可以理解，图1所示的结构仅为示意，其并不对上述计算机终端的结构造成限定。例如，计算机终端还可包括比图1中所示更多或者更少的组件，或者具有与图1所示不同的配置。
存储器104可用于存储应用软件的软件程序以及模块，如本申请实施例中的用于子空间的变分量子线性求解方法对应的程序指令/模块，处理器102通过运行存储在存储器104内的软件程序以及模块，从而执行各种功能应用以及数据处理，即实现上述的方法。存储器104可包括高速随机存储器，还可包括非易失性存储器，如一个或者多个磁性存储装置、闪存、或者其他非易失性固态存储器。在一些实例中，存储器104可进一步包括相对于处理器102远程设置的存储器，这些远程存储器可以通过网络连接至计算机终端。上述网络的实例包括但不限于互联网、企业内部网、局域网、移动通信网及其组合。
传输装置106用于经由一个网络接收或者发送数据。上述的网络具体实例可包括计算机终端的通信供应商提供的无线网络。在一个实例中，传输装置106包括一个网络适配器(Network Interface Controller，NIC)，其可通过基站与其他网络设备相连从而可与互联网进行通讯。在一个实例中，传输装置106可以为射频(Radio Frequency，RF)模块，其用于通过无线方式与互联网进行通讯。
需要说明的是，真正的量子计算机是混合结构的，它包含两大部分：一部分是经典计算机，负责执行经典计算与控制；另一部分是量子设备，负责运行量子程序进而实现量子计算。而量子程序是由量子语言如QRunes语言编写的一串能够在量子计算机上运行的指令序列，实现了对量子逻辑门操作的支持，并最终实现量子计算。具体的说，量子程序就是一系列按照一定时序操作量子逻辑门的指令序列。
在实际应用中，因受限于量子设备硬件的发展，通常需要进行量子计算模拟以验证量子算法、量子应用等等。量子计算模拟即借助普通计算机的资源搭建的虚拟架构(即量子虚拟机)实现特定问题对应的量子程序的模拟运行的过程。通常，需要构建特定问题对应的量子程序。本发明实施例所指量子程序，即是经典语言编写的表征量子比特及其演化的程序，其中与量子计算相关的量子比特、量子逻辑门等等均有相应的经典代码表示。
量子线路作为量子程序的一种体现方式，也称量子逻辑电路，是最常用的通用量子计算模型，表示在抽象概念下对于量子比特进行操作的线路，其组成包括量子比特、线路(时间线)，以及各种量子逻辑门，最后常需要通过量子测量操作将结果读取出来。
不同于传统电路是用金属线所连接以传递电压信号或电流信号，在量子线路中，线路可看成是由时间所连接，亦即量子比特的状态随着时间自然演化，在这过程中按照哈密顿运算符的指示，一直到遇上逻辑门而***作。
一个量子程序整体上对应有一条总的量子线路，本发明所述量子程序即指该条总的量子线路，其中，该总的量子线路中的量子比特总数与量子程序的量子比特总数相同。可以理解为：一个量子程序可以由量子线路、针对量子线路中量子比特的测量操作、保存测量结果的寄存器及控制流节点(跳转指令)组成，一条量子线路可以包含几十上百个甚至千上万个量子逻辑门操作。量子程序的执行过程，就是对所有的量子逻辑门按照一定时序执行的过程。需要说明的是，时序即单个量子逻辑门被执行的时间顺序。
需要说明的是，经典计算中，最基本的单元是比特，而最基本的控制模式是逻辑门，可以通过逻辑门的组合来达到控制电路的目的。类似地，处理量子比特的方式就是量子逻辑门。使用量子逻辑门，能够使量子态发生演化，量子逻辑门是构成量子线路的基础，量子逻辑门包括单比特量子逻辑门，如Hadamard门(H门，阿达马门)、泡利-X门(X门)、泡利-Y门(Y门)、泡利-Z门(Z门)、RX门、RY门、RZ门等等；多比特量子逻辑门，如CNOT门、CR门、iSWAP门、Toffoli门等等。量子逻辑门一般使用酉矩阵表示，而酉矩阵不仅是矩阵形式，也是一种操作和变换。一般量子逻辑门在量子态上的作用是通过酉矩阵左乘以量子态右矢对应的矩阵进行计算的。
量子态，即量子比特的逻辑状态，在量子算法(或称量子程序)中用二进制表示，例如，一组量子比特为q0、q1、q2，表示第0位、第1位、第2位量子比特，从高位到低位排序为q2q1q0，该组量子比特对应的量子态是该组量子比特对应的本征态的叠加，该组量子比特对应的本征态共有2的量子比特总数次方个，即8个本征态(确定的状态)：|000>、|001>、|010>、|011>、|100>、|101>、|110>、|111>，每个本征态的位与量子比特对应一致，如|000>态，000从高位到低位对应q2q1q0，|>为狄拉克符号。
以单个量子比特说明，单个量子比特的逻辑状态可能处于|0>态、|1>态、|0>态和|1>态的叠加态(不确定状态)，具体可以表示为/>其中，c和d为表示量子态振幅(概率幅)的复数，振幅模的平方|c|2和|d|2分别表示|0>态、|1>态的概率，|c|2+|d|2＝1。简言之，量子态是各本征态组成的叠加态，当其它本征态的概率为0时，即处于唯一确定的本征态。
参见图2，图2为本发明实施例提供的一种用于子空间的变分量子线性求解方法的流程示意图，可以包括如下步骤：
S201：确定待求解线性方程组。
具体的，确定待求解线性方程组，可以包括：
确定待求解线性方程组Ax＝b及初始残差r0，其中，所述A为系数矩阵，所述b为向量，所述初始残差r0根据初始解x0计算，满足r0＝b-Ax0。
在应用数学和科学工程计算领域，许多问题的数学模型都可以用线性方程组来描述。例如有限元等数值算法离散化电磁场微积分方程即转化为了对矩阵方程的求解，又如流体力学中的NS方程求解、量子色动力学(QCD)中的格点规范理论等。
线性***是一种数学模型，是指用线性算子组成的***，且同时满足叠加性与均匀性(又称为齐次性)的***，目前，线性***是很多科学和工程领域的核心。对于待求解线性***Ax＝b，分别获取系数矩阵A、向量b的元素信息及维数，系数矩阵是矩阵中的众多类型之一，简单来说系数矩阵就是将方程组的系数组成矩阵来计算方程的解，系数矩阵常常用来表示一些项目的数学关系。残差在数理统计中是指实际值与估计值(拟合值)之间的差，残差蕴含了有关***模型基本假设的重要信息，对于待求解线性***Ax＝b的初始残差r0可根据预设初始解x0计算，满足r0＝b-Ax0。
需要说明的是，对于求解高维的线性方程组，一般可以先进行预处理，例如通过构建用于线性***预处理的稀疏近似矩阵等方法，对待求解线性方程组进行降维。
S202：构建变分量子线路和Krylov子空间，利用广义极小残量方法和变分量子线路，计算待求解线性方程组在子空间内的近似解。
广义极小残量法(GMRES)是当今最常用的一类算法，是一种针对线性问题的经典子空间类求解方法。GMRES的运算量主要由矩阵向量乘积和向量正交化两部分构成，因此，如何进一步降低其计算复杂度一直是一项颇具挑战性的工作。
具体的，构建变分量子线路和Krylov子空间，利用广义极小残量方法和变分量子线路，计算待求解线性方程组在子空间内的近似解，可以包括：
S2021：构建对应所述系数矩阵A、向量b的m阶Krylov子空间Km的标准正交基组Vm和Hessenberg矩阵Hm+1，m。
具体的，可以根据Arnoldi算法、系数矩阵A、向量b，构造m阶Krylov子空间Km的标准正交基组Vm和Hessenberg矩阵Hm+1，m。
其中，可以定义：
Km＝span{r0，Ar0，A2r0，…，Am-1r0}
为系数矩阵A、向量b的m阶Krylov子空间。由定义可知Krylov子空间是嵌套的，即有K1∈K2∈…∈Km，显然子空间的正交基组{V1，V2，…，Vm}也是嵌套的。GMRES的核心思想是将待求解线性***的精确求解转化为寻找某个子空间内的“最优解”，当解xm被约束在子空间Km内时，显然xm可以由Km的基Vm线性表示。根据上述的嵌套性质，则有Axm∈Km+1，当xm在Km中变化时，Axm在更高一阶的子空间Km+1内相应地变化。由于rm＝r0-Axm，因此rm的大小和方向同样发生变化，为了使得“最优解”逼近精确解，要求rm的模尽可能地小，因此，广义极小残量方法的数学形式可描述为：寻找xm∈Km，使得rm⊥AKm，可见GMRES方法中，解空间为Km，解的约束空间为AKm。
利用基于Gram-Schmidt正交化的Arnoldi算法求解出m阶Krylov子空间Km的标准正交基组Vm，对于子空间Km内的近似解xm，可以由Km的正交基组Vm线性表示，有：
xm＝x0+Vmym
正交性条件r0-Axm⊥AKm，得：
其中，正交基组Vm具有如下性质：
其中，hm+1，m＝(wm，vm+1)，wm＝Avm，em＝[0，0，0，…，1]T，Hm+1，m为执行Arnoldi算法过程中由元素构成的矩阵，其记录了原始空间到子空间的投影信息，其矩阵形式如下：
结合上述正交基组的性质，GMRES(Generalized Minimum Residual，广义极小残量法)直接从rm模长最小这一条件入手，其最优准则可描述为寻找Xm∈Km，求解min||r0-Axm||2。
S2022：对所述Hessenberg矩阵Hm+1，m进行QR分解。
具体的，对所述Hessenberg矩阵Hm+1，m进行QR分解，可以包括：将所述Hessenberg矩阵Hm+1，m分解成其中，Qm+1为正交矩阵，Rm+1，m为上三角矩阵。
其中，QR分解法是目前求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法，一般矩阵先经过正交相似变化成为Hessenberg矩阵，然后再应用QR方法求特征值和特征向量。它是将矩阵分解成一个正交矩阵Q与上三角形矩阵R，所以称为QR分解法，与此正交矩阵的通用符号Q有关。
S2023：构建变分量子线路并利用所述变分量子线路对QR分解结果进行处理，得到所述待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym。
具体的，构建变分量子线路并利用所述变分量子线路对QR分解结果进行处理，得到所述待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym，可以包括：
步骤1：分别构造第一子量子线路、第二子量子线路，以组成变分量子线路，其中，所述第一子量子线路用于形成包含所述待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym的子量子态，所述第二子量子线路用于获取所述损失函数的值和/或损失函数的梯度。
步骤2：输入Rm和残差向量β的值并对所述变分量子线路进行测量，得到包含所述待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym的最终量子态，其中，Rm为上三角矩阵Rm+1，m的前m行，β＝||r0||2q1(1：m)，q1(1：m)表示正交矩阵Qm+1第一列的前m个元素组成的向量，β与Rm、ym满足关系：β＝Rmym。
步骤3：根据所述最终量子态，确定所述待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym。
具体的，参见图3，图3为本发明实施例提供的一种第一子量子线路示意图，第一子量子线路可以为HEA(Hardware Efficient Ansatz，硬件高效拟设)线路，其中每一层的HEA线路均由含参量子逻辑门(例如为RY量子逻辑门)和CNOT量子逻辑门组成，图中黑色圆点和图标代表CNOT量子逻辑门，其中，黑色圆点在CNOT量子逻辑门的控制比特上，/>在CNOT量子逻辑门的目标比特上，变分参数表示为旋转角度/>的向量。其是由单量子旋转的连接层和全局纠缠层构成，随着层数的加深，线路的表达能力在不断提升，同时也会导致线路的训练难度增大，图中拟设线路的量子比特数和层数可以由待求解的线性方程组的维度决定，在计算资源充足的情况下，可以由充足数量的量子比特和层数足够的HEA拟设线路来保证求解精度。
在对变分量子线路进行测量之前，可以向变分量子线路输入Rm和残差向量β的值，因为基于上文描述，有r0-Axm＝r0-AVmym＝Vm+1(β-Hm+1，mym，由于Vm+1的列向量是标准正交的，故：
||r0-Axm||2＝||Vm+1(β-Hm+1，mym)||2＝||β-Hm+1，mym||2
因此，在GMRES方法中，问题被转化成了一个最小二乘问题。当m不是很大时，使用QR分解来求解上述最小二乘问题。由：为Hm+1，m的QR分解，其中，Qm+1为正交矩阵，Rm+1，m为上三角矩阵，于是有：
其中，Rm为Rm+1，m的前m行，因此ym可以通过求解如下上三角方程组获得：
β＝Rmym
其中，β＝||r0||2q1(1：m)，q1(1：m)表示正交矩阵Qm+1第一列的前m个元素组成的向量，q1是Qm+1的第一列。
GMRES中最终求解的待求解线性***为：
β＝Rmym
S2024：根据所述中间值ym，获取所述待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的近似解xm，其中，所述xm＝x0+Vmym。
具体的，包含待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym的最终量子态用变分拟设的量子态试探波函数表示，中间值ym即是下述构造哈密顿量的基态。
确定待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym，可以包括：
a.获取预先构造的哈密顿量。
b.根据包含待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym的最终量子态确定所述哈密顿量对应的期望值。
c.根据所述期望值确定待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym。
具体的，经过上述变分量子线路之后，得到最终态为读取量子态信息，可以利用预先构造的哈密顿量/>对最终态进行测量，得到待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值/>此过程的关键是预先构造的哈密顿量/>将期望值/>确定为待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym，因此待求解线性***Ax＝b在子空间Km内的近似解便可以求得。
需要说明的是，上述步骤，结合变分量子线路和GMRES算法获取待求解线性方程组在子空间内的近似解，但是该近似解的精度欠佳，需要进一步利用迭代的思想将目标解求解出来，以提高了计算精度。
具体的，根据所述近似解构建损失函数并判断所述损失函数的值是否符合预设精度；若是，则将所述近似解作为所述待求解线性方程组的目标解，否则，更新变分参数，获取更新后的变分参数对应的所述线性方程组的近似解，继续执行所述构建变分量子线路和Krylov子空间，利用广义极小残量方法和变分量子线路，计算待求解线性方程组在子空间内的近似解的步骤，直至得到满足所述损失函数的值符合预设精度的近似解，作为所述待求解线性方程组的目标解。
其中，损失函数为：
所述为损失函数，所述/>为变分参数，所述I为单位矩阵，所述且/>所述U为含参量子逻辑门。
在上述的损失函数的偏导形式中，可以将其分为三项，即：第一偏导项第二偏导项/>和第三偏导项/>这三项可以分别通过第二子量子线路测量得到，具体的：
且由于：
为了第二子量子线路测量需要，将改写成如下形式：
其中，为酉矩阵。
参见图4，图4为本发明实施例提供的一种第二子量子线路示意图，具体的第二子量子线路主要由图(a)、(b)和(c)三条线路构成，分别用于第一偏导项第二偏导项/>和第三偏导项/>的测量，图中H表示H量子逻辑门，S表示S量子逻辑门，U0，U0，...，Ui+1，UL表示拟设形成的U门，/>表示酉矩阵，σs表示酉矩阵，σ′s表示酉矩阵，Ub表示对|b>编码形成的酉矩阵，X表示泡利X门。
判断所述损失函数的值是否符合精度，具体为：
根据待求解线性方程的近似解，进而求得待求解线性方程组的目标解，主要通过利用预先选择的测量算子作用于最终量子态时，可以得到待求解线性方程组在当前步骤的Krylov子空间Km内的中间值ym，进而求得近似解，且将当前步骤的近似解代入损失函数中，进一步判断损失函数的值是否符合精度即可，其中精度可以由用户根据计算需求自行设定，例如取10-6或是0。
若根据近似解构建当前步骤的损失函数的值符合预设精度，则所求解的近似解正好就是待求解线性方程组的目标解；否则，通过优化算法更新变分量子线路中的变分参数。
例如，采用传统的优化方法-梯度下降法，通过以下算式更新所述变分参数
其中，所述k为不小于1的整数，α为学习率，为损失函数对θ的梯度。
然后，将更新后的变分参数传给变分量子线路，继续执行上述步骤的演化和测量，通过不断迭代变分参数来更新近似解并求解损失函数，直至获取满足损失函数的值符合精度的预测解，作为待求解线性方程组的目标解。
可见，本申请将线性***求解方法中的GMRES算法和变分量子线路结合，从而显著提高线性***的求解，使得在普通PC端的量子虚拟机上模拟实际物理问题。
与现有技术相比，本发明首先确定待求解线性方程组，然后构建变分量子线路和Krylov子空间，利用广义极小残量方法和变分量子线路，计算待求解线性方程组在子空间内的近似解，它利用广义极小残量方法和变分量子线路，能够降低线性问题求解的复杂度和计算量，填补相关技术的空白。
参见图5，图5为本发明实施例提供的一种用于子空间的变分量子线性求解装置的结构示意图，与图2所示的流程相对应，可以包括：
确定模块501，用于确定待求解线性方程组；
构建模块502，用于构建变分量子线路和Krylov子空间，利用广义极小残量方法和变分量子线路，计算待求解线性方程组在子空间内的近似解。
具体的，所述确定模块，包括：
确定单元，用于确定待求解线性方程组Ax＝b及初始残差r0，其中，所述A为系数矩阵，所述b为向量，所述初始残差r0根据初始解x0计算，满足r0＝b-Ax0。
具体的，所述构建模块，包括：
第一构建单元，用于构建对应所述系数矩阵A、向量b的m阶Krylov子空间Km的标准正交基组Vm和Hessenberg矩阵Hm+1，m；
分解单元，用于对所述Hessenberg矩阵Hm+1，m进行QR分解；
第二构建单元，用于构建变分量子线路并利用所述变分量子线路对QR分解结果进行处理，得到所述待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym；
获取单元，用于根据所述中间值ym，获取所述待求解线性方程组的近似解xm，其中，所述xm＝x0+Vmym。
具体的，所述分解单元，包括：
分解子单元，用于将所述Hessenberg矩阵Hm+1，m分解成 其中，Qm+1为正交矩阵，Rm+1，m为上三角矩阵。
具体的，所述装置还包括：
判断模块，用于根据所述近似解构建损失函数并判断所述损失函数的值是否符合预设精度；
更新模块，用于若是，则将所述近似解作为所述待求解线性方程组的目标解，否则，更新变分参数，获取更新后的变分参数对应的所述线性方程组的近似解，继续执行所述构建变分量子线路和Krylov子空间，利用广义极小残量方法和变分量子线路，计算待求解线性方程组在子空间内的近似解的步骤，直至得到满足所述损失函数的值符合预设精度的近似解，作为所述待求解线性方程组的目标解。
具体的，所述第二构建单元，包括：
构造子单元，用于分别构造第一子量子线路、第二子量子线路，以组成变分量子线路，其中，所述第一子量子线路用于形成包含所述待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym的子量子态，所述第二子量子线路用于获取所述损失函数的值和/或损失函数的梯度；
测量子单元，用于输入Rm和残差向量β的值并对所述变分量子线路进行测量，得到包含所述待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym的最终量子态，其中，Rm为上三角矩阵Rm+1，m的前m行，β＝||r0||2q1(1：m)，q1(1：m)表示正交矩阵Qm+1第一列的前m个元素组成的向量，β与Rm、ym满足关系：β＝Rmym；
确定子单元，用于根据所述最终量子态，确定所述待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym。
与现有技术相比，本发明首先确定待求解线性方程组，然后构建变分量子线路和Krylov子空间，利用广义极小残量方法和变分量子线路，计算待求解线性方程组在子空间内的近似解，它利用广义极小残量方法和变分量子线路，能够降低线性问题求解的复杂度和计算量，填补相关技术的空白。
本发明实施例还提供了一种存储介质，所述存储介质中存储有计算机程序，其中，所述计算机程序被设置为运行时执行上述任一项中方法实施例中的步骤。
具体的，在本实施例中，上述存储介质可以被设置为存储用于执行以下步骤的计算机程序：
S201：确定待求解线性方程组；
S202：构建变分量子线路和Krylov子空间，利用广义极小残量方法和变分量子线路，计算待求解线性方程组在子空间内的近似解。
具体的，在本实施例中，上述存储介质可以包括但不限于：U盘、只读存储器(Read-Only Memory，简称为ROM)、随机存取存储器(Random Access Memory，简称为RAM)、移动硬盘、磁碟或者光盘等各种可以存储计算机程序的介质。
本发明实施例还提供了一种电子设备，包括存储器和处理器，所述存储器中存储有计算机程序，所述处理器被设置为运行所述计算机程序以执行上述任一项中方法实施例中的步骤。
具体的，上述电子设备还可以包括传输设备以及输入输出设备，其中，该传输设备和上述处理器连接，该输入输出设备和上述处理器连接。
具体的，在本实施例中，上述处理器可以被设置为通过计算机程序执行以下步骤：
S201：确定待求解线性方程组；
S202：构建变分量子线路和Krylov子空间，利用广义极小残量方法和变分量子线路，计算待求解线性方程组在子空间内的近似解。
以上依据图式所示的实施例详细说明了本发明的构造、特征及作用效果，以上所述仅为本发明的较佳实施例，但本发明不以图面所示限定实施范围，凡是依照本发明的构想所作的改变，或修改为等同变化的等效实施例，仍未超出说明书与图示所涵盖的精神时，均应在本发明的保护范围内。

Claims (10)

1.一种用于子空间的变分量子线性求解方法，其特征在于，所述方法包括：
确定待求解线性方程组；
构建变分量子线路和Krylov子空间，利用广义极小残量方法和变分量子线路，计算待求解线性方程组在子空间内的近似解。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述确定待求解线性方程组，包括：
确定待求解线性方程组Ax＝b及初始残差r0，其中，所述A为系数矩阵，所述b为向量，所述初始残差r0根据初始解x0计算，满足r0＝b-Ax0。
3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述构建变分量子线路和Krylov子空间，利用广义极小残量方法和变分量子线路，计算待求解线性方程组在子空间内的近似解，包括：
构建对应所述系数矩阵A、向量b的m阶Krylov子空间Km的标准正交基组Vm和Hessenberg矩阵Hm+1，m；
对所述Hessenberg矩阵Hm+1，m进行QR分解；
构建变分量子线路并利用所述变分量子线路对QR分解结果进行处理，得到所述待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym；
根据所述中间值ym，获取所述待求解线性方程组的近似解xm，其中，所述xm＝x0+Vmym。
4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，所述对所述Hessenberg矩阵Hm+1，m进行QR分解，包括：
将所述Hessenberg矩阵Hm+1，m分解成其中，Qm+1为正交矩阵，Rm+1，m为上三角矩阵。
5.根据权利要求1至4任一项所述的方法，其特征在于，所述方法还包括：
根据所述近似解构建损失函数并判断所述损失函数的值是否符合预设精度；
若是，则将所述近似解作为所述待求解线性方程组的目标解，否则，更新变分参数，获取更新后的变分参数对应的所述线性方程组的近似解，继续执行所述构建变分量子线路和Krylov子空间，利用广义极小残量方法和变分量子线路，计算待求解线性方程组在子空间内的近似解的步骤，直至得到满足所述损失函数的值符合预设精度的近似解，作为所述待求解线性方程组的目标解。
6.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，所述构建变分量子线路并利用所述变分量子线路对QR分解结果进行处理，得到所述待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym，包括：
分别构造第一子量子线路、第二子量子线路，以组成变分量子线路，其中，所述第一子量子线路用于形成包含所述待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym的子量子态，所述第二子量子线路用于获取所述损失函数的值和/或损失函数的梯度；
输入Rm和残差向量β的值并对所述变分量子线路进行测量，得到包含所述待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym的最终量子态，其中，Rm为上三角矩阵Rm+1，m的前m行，β＝||r0||2q1(1：m)，q1(1：m)表示正交矩阵Qm+1第一列的前m个元素组成的向量，β与Rm、ym满足关系：β＝Rmym；
根据所述最终量子态，确定所述待求解线性方程组在Krylov子空间Km内的中间值ym。
7.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，所述损失函数为：
其中，所述为损失函数，所述/>为变分参数，所述I为单位矩阵，所述且/>所述U为含参量子逻辑门。
8.一种用于子空间的变分量子线性求解装置，其特征在于，所述装置包括：
确定模块，用于确定待求解线性方程组；
构建模块，用于构建变分量子线路和Krylov子空间，利用广义极小残量方法和变分量子线路，计算待求解线性方程组在子空间内的近似解。
9.一种存储介质，其特征在于，所述存储介质中存储有计算机程序，其中，所述计算机程序被设置为运行时执行所述权利要求1至7任一项中所述的方法。
10.一种电子设备，包括存储器和处理器，其特征在于，所述存储器中存储有计算机程序，所述处理器被设置为运行所述计算机程序以执行所述权利要求1至7任一项中所述的方法。
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