CN116663146B - 非圆形管道沿程阻力的计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开非圆形管道沿程阻力的计算方法，具体为：步骤1：建立管道横截面坐标系，确定管道横截面的边界条件函数表达式x＝±f(z)，提出问题求解的控制方程和边界条件；步骤2：获得断面平均流速V，进一步获得断面平均流速V表达式中的积分项I₁表达式；步骤3：计算积分项I₁：步骤4：计算无量纲变量和无量纲修正系数步骤5：获得管道的沿程水头损失h_f。该方法解决相关工程管道***设计时沿程阻力计算不准确的问题。

Description

非圆形管道沿程阻力的计算方法

技术领域

本发明属于汽车水冷***技术领域，具体涉及一种非圆形管道沿程阻力的计算方法。

背景技术

在新能源汽车水冷***的设计中，常用非圆形管道，其沿程阻力的准确计算，是散热***高效安全运行的关键。目前，对于管道的沿程阻力计算，大多是针对圆形管道，对于非圆形管道，研究者对常见的断面形状如矩形、三角形等也开展了研究，给出了实验或理论阻力计算公式，但对任意形状断面的管道，常用的方法是将其等效为圆形管道后，采用圆形管道的阻力公式计算，这种方法往往高估了管道的阻力。也有学者建立了非圆形管道和圆形管道的阻力修正经验公式，但公式的精度仍有待检验，特别是对于任意形状的管道，该公式的适用范围需要进一步确定。因此，提出非圆形管道沿程阻力的理论计算方法，为评估管道***的流动阻力问题提供了支撑，具有十分重要的工程应用价值。

发明内容

本发明的目的是提供一种非圆形管道沿程阻力的计算方法，解决相关工程管道***设计时沿程阻力计算不准确的问题。

本发明所采用的技术方案是，非圆形管道沿程阻力的计算方法，具体为：

步骤1：建立管道横截面坐标系，确定管道横截面的边界条件函数表达式x＝±f(z)，提出问题求解的控制方程和边界条件；

步骤2：获得断面平均流速V，进一步获得断面平均流速V表达式中的积分项I₁表达式；

步骤3：计算积分项I₁：

步骤4：计算无量纲变量和无量纲修正系数/>

步骤5：获得管道的沿程水头损失h_f。

本发明的特征还在于，

步骤1具体为：

步骤1.1：以沿管道宽、长、高度方向分别为x轴、y轴和z轴，建立坐标系；根据上述坐标系，恒定流条件下，流体流动的控制方程为简化的N-S方程：

步骤1.2：根据管道边壁处无滑移边界条件，确定管道横截面的边界条件函数表达式为：

v＝0,z＝0,z＝h,x＝±f(z) (4)

式中，p为压力；x、z分别为管道横截面的坐标；y为沿管道长度方向的坐标；v为沿y方向的速度分量；μ为流体的动力粘度；h为管道高度。

步骤2具体为：

步骤2.1：采用积分变换法对式(1)到式(3)进行求解，得到y方向上流速在管道断面的速度分布v(x,z)；

式中，v为沿y轴的速度分量；u为沿x轴的速度分量；w为沿z轴的速度分量；p为压力；待定系数k_m＝(2m+1)π/h,m＝0,1,2,...；其余参数含义同步骤1；

步骤2.2：根据速度分布v(x,z)，进一步求得管道断面平均流速V：

其中，积分项I₁表达式为：

式中，V为断面平均流速；Q为管道流量；A为管道横截面积；水力坡降为h_f为水头损失；L为管道长度；ρ为流体的密度；g为重力加速度；h为管道高度；其余参数含义同上。

步骤3具体为：

步骤3.1：对于矩形管道，f(z)为常数，直接积分求解I₁；

对于其他任意形状管道，采用数值积分方法计算，方法如下：

采用3点高斯-勒让德求积公式进行计算，先做变量代换，令 则

式中，h为管道高度；t为变量；g(z)为关于z的函数；A_i为求积系数；t_i为高斯点；由高斯-勒让德求积公式系数表查得A₁＝A₃＝0.5556,A₂＝0.8889；t₁＝-0.7746,t₂＝0,t₃＝0.7746；其余参数含义同上；

步骤3.2：将管道横截面的边界函数表达式x＝±f(z)代入公式(9)，即:求得积分项I₁的表达式。

步骤4中：无量纲变量的表达式为：

其中，管道横截面积为A＝πd²/4，d为管道直径；

无量纲修正系数的表达式为：

步骤5具体为：

对圆管的阻力系数进行修正，计算出非圆形管道的沿程阻力系数λ，即得到管道的沿程水头损失h_f；

管道的沿程水头损失h_f根据下式计算：

式中，Re为雷诺数；d为管道直径；L为管道长度；V为断面平均流速；g为重力加速度。

本发明的有益效果是：本发明方法用于层流中非圆形管道沿程阻力的计算，目前计算沿程阻力的方法只适用于圆形管道，本方法可以计算异形管道的沿程阻力，为管道流阻的评估提供了支撑。

附图说明

图1是本发明方法中建立的管道横截面坐标系的示意图；

图2是本发明实施例中的非圆形管道的横截面图；

图3为本发明实施例1的矩形管道的横截面图；

图4为本发明实施例2的三角形管道的横截面图；

图5为本发明实施例3的椭圆形管道的横截面图；

图6是用本发明方法计算出的矩形管道沿程阻力的修正值与实验结果的对照图；

图7是用本方法计算出的三角形管道沿程阻力的修正值与实验数据的对照图；

图8是用本方法计算出的椭圆形管道沿程阻力的修正值与实验数据的对照图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。

本发明提供一种非圆形管道沿程阻力的计算方法，包括以下步骤：

步骤1：建立管道横截面坐标系，确定管道横截面的边界条件函数表达式x＝±f(z)，提出问题求解的控制方程和边界条件；

步骤1.1：以沿管道宽、长、高度方向分别为x轴、y轴和z轴，如图1和图2所示，建立坐标系；根据上述坐标系，恒定流条件下，流体流动的控制方程为简化的N-S方程：

步骤1.2：根据管道边壁处无滑移边界条件，确定管道横截面的边界条件函数表达式为：

v＝0,z＝0,z＝h,x＝±f(z) (4)

式中，p为压力；x、z分别为管道横截面的坐标；y为沿管道长度方向的坐标；v为沿y方向的速度分量；μ为流体的动力粘度；h为管道高度。

步骤2：获得断面平均流速V；

步骤2.1：采用积分变换法对式(1)到式(3)进行求解，得到y方向上流速在管道断面的速度分布v(x,z)；

式中，v为沿y轴的速度分量；u为沿x轴的速度分量；w为沿z轴的速度分量；p为压力；待定系数k_m＝(2m+1)π/h,m＝0,1,2,...；其余参数含义同步骤1；

步骤2.2：根据速度分布v(x,z)，进一步求得管道断面平均流速V：

其中，积分项I₁表达式为：

式中，V为断面平均流速；Q为管道流量；A为管道横截面积；水力坡降为h_f为水头损失；L为管道长度；ρ为流体的密度；g为重力加速度；h为管道高度；其余参数含义同上。

步骤3：计算积分项I₁：

步骤3.1：对于矩形管道，f(z)为常数，因此，可以直接积分求解I₁；对于其他任意形状管道，函数f(z)形式复杂，无法直接求解，需采用数值积分方法计算，方法如下：

采用3点高斯-勒让德求积公式进行计算，先做变量代换，令 则

式中，h为管道高度；t为变量；g(z)为关于z的函数；A_i为求积系数；t_i为高斯点；由高斯-勒让德求积公式系数表查得A₁＝A₃＝0.5556,A₂＝0.8889；t₁＝-0.7746,t₂＝0,t₃＝0.7746；其余参数含义同上。

步骤3.2：将管道横截面的边界函数表达式x＝±f(z)代入公式(9)，即可求得积分项I₁的表达式。

步骤4：计算无量纲变量和无量纲修正系数/>

其中，管道横截面积为A＝πd²/4，d为管道直径。

步骤5：对圆管的阻力系数进行修正，计算出非圆形管道的沿程阻力系数λ，即可得到管道的沿程水头损失h_f；

因此，管道的沿程水头损失h_f可根据下式计算：

式中，Re为雷诺数；d为管道直径；L为管道长度；V为断面平均流速；g为重力加速度。

非圆形管道沿程阻力的计算方法，为了验证本发明方法的可行性，以矩形管道、三角形管道和椭圆形管道为例进行计算，具体按照以下步骤实施。

实施例1

矩形管道的沿程阻力计算方法：

步骤1：建立管道横截面坐标系，确定管道横截面边界条件；

以管道宽度的中心为原点，沿管道宽度、长度、高度方向分别为x轴、y轴和z轴，建立坐标系，如图3所示；根据上述坐标系，恒定流条件下，流体流动的控制方程为简化的N-S方程：

根据管道边壁处无滑移边界条件，确定管道横截面的边界条件为：

v＝0,z＝0,z＝h,x＝f(z)＝B/2 (17)

式中，为管道的等效宽度；A为管道横截面积；h为管道高度；x、z分别为管道横截面的坐标；y为沿管道长度方向的坐标；v为沿y方向的速度分量。

步骤2：采用积分变换法对式(14)到式(16)进行求解，得到y方向流速在管道断面的分布v(x,z)；

式中，q_m为待定系数，q_m＝k_m＝(2m+1)π/h,m＝0,1,2,...；u为沿x轴的速度分量；w为沿z轴的速度分量；p为压力；其余参数含义同步骤1。

根据速度分布，可进一步求得断面平均流速V：

其中，积分项I₁表达式为：

式中，V为断面平均流速；Q为管道流量；A为管道横截面积；水力坡降为h_f为水头损失；L为管道长度；ρ为流体的密度；g为重力加速度；h为管道高度；其余参数含义同上。

步骤3：计算积分项I₁：对于矩形管道，函数f(z)为常数，因此，可以直接积分求解I₁；

式中，B为管道的等效宽度；A为管道横截面积；h为管道高度；q_m为待定系数，q_m＝k_m＝(2m+1)π/h,m＝0,1,2,...。

步骤4：计算无量纲变量和无量纲修正系数/>

式中，管道横截面积为A＝πd²/4，d为管道直径；待定系数p_m＝q_mh＝(2m+1)π；其余参数含义同上。

步骤5：对圆管的阻力系数进行修正，计算出非圆形管道的沿程阻力系数λ，即可得到管道的沿程水头损失h_f；

管道的沿程水头损失h_f可根据下式计算：

式中，Re为雷诺数；d为管道直径；L为管道长度；V为断面平均流速；g为重力加速度。

根据步骤3和步骤4可知，校正系数仅随/>的变化而变化，关系曲线如图6所示，与Gerhart等人的实验结果进行对比，两者吻合度较高，相对误差根据式(26)进行计算：

计算得到的最大相对误差为0.044％，进一步验证了公示的准确性和适用性。

实施例2

三角形管道的沿程阻力计算方法：

步骤1：建立管道横截面坐标系，确定管道横截面边界条件；

以管道宽度的中心为原点，沿管道宽度、长度、高度方向分别为x轴、y轴和z轴，建立坐标系，如图4所示；根据上述坐标系，恒定流条件下，流体流动的控制方程为简化的N-S方程：

根据管道边壁处无滑移边界条件，确定管道横截面的边界条件为：

式中，b为管道宽度；h为管道高度；x、z分别为管道横截面的坐标；y为沿管道长度方向的坐标；v为沿y方向的速度分量。

步骤2：采用积分变换法对式(27)到式(29)进行求解，得到y方向流速在管道断面的分布v(x,z)；

式中，q_m为待定系数，q_m＝k_m＝(2m+1)π/h,m＝0,1,2,...；为管道的等效宽度；u为沿x轴的速度分量；w为沿z轴的速度分量；p为压力；其余参数含义同步骤1。

根据速度分布，可进一步求得断面平均流速V：

其中，积分项I₁表达式为：

式中，V为断面平均流速；Q为管道流量；A为管道横截面积；水力坡降为h_f为水头损失；L为管道长度；ρ为流体的密度；g为重力加速度；h为管道高度；其余参数含义同上。

步骤3：计算积分项I₁：对于三角形管道，函数f(z)形式复杂，无法直接求解，需采用数值积分方法计算，方法如下

式中，h为管道高度；B为管道的等效宽度；令待定系数p_m＝q_mh,m＝0,1,2,...；令/>其余参数含义同上。

采用3点高斯-勒让德求积公式求解积分项先做变量代换，令则

式中，h为管道高度；t为变量；g(z^*)为关于z^*的函数；A_i为求积系数；t_i为高斯点；A_i和t_i可由高斯-勒让德求积公式系数表查得；其余参数含义同上。

将管道横截面的边界函数表达式x＝±f(z)代入公式(35)，即可求得积分项的表达式，并将所得结果代入公式(34)可计算出积分项I₁的表达式。

步骤4：计算无量纲变量和无量纲修正系数/>

由公式(35)可知，积分项的值仅与/>有关，故无量纲变量/>仅随/>的不同而变化。

无量纲修正系数为：

步骤5：对圆管的阻力系数进行修正，计算出非圆形管道的沿程阻力系数λ，即可得到管道的沿程水头损失h_f；

管道的沿程水头损失h_f可根据下式计算：

式中，Re为雷诺数；d为管道直径；L为管道长度；V为断面平均流速；g为重力加速度。

校正系数仅与/>有关，关系曲线如图7所示，与Carlson&Irvine的实验数据进行相比，发现两者吻合度较高，相对误差根据下式进行计算：

计算得到的最大相对误差为1.3％，进一步验证了公示的准确性和适用性。

实施例3

椭圆形管道的沿程阻力计算方法：

步骤1：建立管道横截面坐标系，确定管道横截面边界条件；

以管道宽度的中心为原点，沿管道宽度、长度、高度方向分别为x轴、y轴和z轴，建立坐标系，如图5所示；根据上述坐标系，恒定流条件下，流体流动的控制方程为简化的N-S方程：

/>

根据管道边壁处无滑移边界条件，确定管道横截面的边界条件为：

式中，h为管道高度；b为管道宽度；x、z分别为管道横截面的坐标；y为沿管道长度方向的坐标；v为沿y方向的速度分量。

步骤2：采用积分变换法对式(40)到式(42)进行求解，得到y方向流速在管道断面的分布v(x,z)；

式中，q_m为待定系数，q_m＝k_m＝(2m+1)π/h,m＝0,1,2,...；u为沿x轴的速度分量；w为沿z轴的速度分量；p为压力；其余参数含义同步骤1。

根据速度分布，可进一步求得断面平均流速V：

其中，积分项I₁表达式为：

式中，V为断面平均流速；Q为管道流量；A为管道横截面积；水力坡降为h_f为水头损失；L为管道长度；ρ为流体的密度；g为重力加速度；b为管道宽度；h为管道高度；其余参数含义同上。

步骤3：计算积分项I₁：对于椭圆形管道，函数f(z)形式复杂，无法直接求解，需采用数值积分方法计算，方法如下：

/>

式中，h为管道高度；b为管道宽度；令待定系数p_m＝q_mh,m＝0,1,2,...；令其余参数含义同上。

采用3点高斯-勒让德求积公式解积分项先作变量代换，令/> 则

式中，b为管道宽度；h为管道高度；t为变量；g(z^*)为关于z^*的函数；A_i为求积系数；t_i为高斯点；A_i和t_i可由高斯-勒让德求积公式系数表查得；其余参数含义同上。

将管道横截面的边界函数表达式x＝±f(z)代入公式(49)，即可求得积分项I₂ ^*的表达式，并将所得结果代入公式(48)可计算出积分项I₁的表达式。

步骤4：计算无量纲变量和无量纲修正系数/>

式中，管道横截面积为b为管道宽度；h为管道高度。

由公式(49)可知，积分的值仅与/>有关，故积分项/>仅随/>的不同而变化。

无量纲修正系数为：

步骤4：对圆管的阻力系数进行修正，计算出非圆形管道的沿程阻力系数λ，即可得到管道的沿程水头损失h_f；

管道的沿程水头损失h_f可根据下式计算：

式中，Re为雷诺数；d为管道直径；L为管道长度；V为断面平均流速；g为重力加速度。

校正系数仅与/>有关，关系曲线如图8所示，与Y.S.Muzychka&M.M.Yovanovich的实验数据进行相比，发现两者吻合度较高，相对误差根据下式进行计算：

计算得到的最大相对误差为6.98％，进一步验证了公示的准确性和适用性。

Claims (1)

1.非圆形管道沿程阻力的计算方法，其特征在于，具体为：

步骤1：建立管道横截面坐标系，确定管道横截面的边界条件函数表达式x＝±f(z)，提出问题求解的控制方程和边界条件；

步骤1具体为：

步骤1.1：以沿管道宽、长、高度方向分别为x轴、y轴和z轴，建立坐标系；根据上述坐标系，恒定流条件下，流体流动的控制方程为简化的N-S方程：

步骤1.2：根据管道边壁处无滑移边界条件，确定管道横截面的边界条件函数表达式为：

v＝0,z＝0,z＝h,x＝±f(z) (4)

式中，p为压力；x、z分别为管道横截面的坐标；y为沿管道长度方向的坐标；v为沿y方向的速度分量；μ为流体的动力粘度；h为管道高度；

步骤2：获得断面平均流速V，进一步获得断面平均流速V表达式中的积分项I₁表达式；

步骤2具体为：

步骤2.1：采用积分变换法对式(1)到式(3)进行求解，得到y方向上流速在管道断面的速度分布v(x,z)；

式中，v为沿y轴的速度分量；u为沿x轴的速度分量；w为沿z轴的速度分量；p为压力；待定系数k_m＝(2m+1)π/h,m＝0,1,2,...；其余参数含义同步骤1；

步骤2.2：根据速度分布v(x,z)，进一步求得管道断面平均流速V：

其中，积分项I₁表达式为：

式中，V为断面平均流速；Q为管道流量；A为管道横截面积；水力坡降为h_f为水头损失；L为管道长度；ρ为流体的密度；g为重力加速度；h为管道高度；其余参数含义同上；

步骤3：计算积分项I₁：

步骤3具体为：

步骤3.1：对于矩形管道，f(z)为常数，直接积分求解I₁；

对于其他任意形状管道，采用数值积分方法计算，方法如下：

采用3点高斯-勒让德求积公式进行计算，先做变量代换，令 则

式中，h为管道高度；t为变量；g(z)为关于z的函数；A_i为求积系数；t_i为高斯点；由高斯-勒让德求积公式系数表查得A₁＝A₃＝0.5556,A₂＝0.8889；t₁＝-0.7746,t₂＝0,t₃＝0.7746；其余参数含义同上；

步骤3.2：将管道横截面的边界函数表达式x＝±f(z)代入公式(9)，即:求得积分项I₁的表达式；

步骤4：计算无量纲变量和无量纲修正系数/>

步骤4中：无量纲变量的表达式为：

其中，管道横截面积为A＝πd²/4，d为管道直径；

无量纲修正系数的表达式为：

步骤5：获得管道的沿程水头损失h_f；

步骤5具体为：

对圆管的阻力系数进行修正，计算出非圆形管道的沿程阻力系数λ，即得到管道的沿程水头损失h_f；

管道的沿程水头损失h_f根据下式计算：

式中，Re为雷诺数；d为管道直径；L为管道长度；V为断面平均流速；

g为重力加速度。