CN116430737B - 一种输入延时非线性***的自适应控制方法 - Google Patents

一种输入延时非线性***的自适应控制方法 Download PDF

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Abstract

本发明属于自适应控制技术领域，公开了一种输入延时非线性***的自适应控制方法。该方法包含：根据控制跟踪目标构造经滤波处理的补偿误差信号，形成补偿跟踪误差，所述补偿误差信号由延时引起的控制输入偏差驱动；根据被控***的动态模型构建所述补偿跟踪误差的动力学方程；根据所述补偿跟踪误差的动力学方程设计被控***的控制律和自适应律。本发明通过构造经过滤波处理的补偿误差信号，该补偿信号由延时引起的控制输入差所驱动，形成补偿跟踪误差，由此来考虑延时效应。当***存在输入延时时，该方法能保持自适应控制的自适应和自学习能力。本发明稳定性好，能够应用于带有很大延时的***。

Description

一种输入延时非线性***的自适应控制方法
技术领域
本发明属于自适应控制技术领域，具体涉及一种输入延时非线性***的自适应控制方法。
背景技术
自适应控制是解决控制***不确定性问题的一种有效工具。自适应控制具有良好的自学习和自适应能力，已在工业过程、飞行器、生物工程等许多实际***中得到应用。由于自适应控制具有自主学习和快速自适应的特点，在以较低的调试成本、快速实现期望的控制性能方面显示出其价值和潜力。
然而，在实际控制***中应用自适应控制时，需要合理解决非参数化不确定性因素的鲁棒问题，如执行器约束、外部扰动、时变参数、未建模动力学和非线性、延时以及现实物理***中存在的其他非结构化扰动。其中，延时是控制研究和工程中一个重要而具有挑战性的问题，原因之一是延时***在航空航天、生物、机器人、网络控制和许多其他应用领域普遍存在。
延时存在于***的许多物理部分，如果处理不当，通常会降低控制***的响应，甚至会使***不稳定。当延时足够小时，有时可以忽略它们而不影响整个***的稳定性，这意味着控制问题可以被视为更标准的问题，可以采用传统的控制方法来解决，如经典的频域控制方法或著名的Lyapunov稳定性理论。然而，许多控制问题和工程***存在较大的延时，在控制设计和稳定性分析中不可忽视。例如，在化学过程中，由于材料和能量的运输时间，或者***中传感器和执行器之间的信号延迟，经常会在***中引入较大的输入延时。除了输入延时，还可能存在状态延时，这些状态决定了物理***的动态行为。在这种情况下，对延时***采用标准的控制设计方法将导致较差的控制性能，并可能会在工程应用中产生危险。
延时***的自适应控制比无延时***的自适应控制要困难得多。除了上述问题外，***的延时甚至还会破坏自适应控制的自适应和自学习能力，导致闭环控制***失效。现有的一些自适应控制方法并不适用于带有很大延时的***。
发明内容
为解决背景技术中的问题，本发明提供了一种输入延时非线性***的自适应控制方法。该方法将输入延时***的自适应控制设计转化为无延时误差动力***的自适应控制设计，当***存在输入延时时，该方法能保持自适应控制的自适应和自学习能力。该方法能够应用于带有很大延时的***。
为达到上述目的，本发明采用的技术方案为：
一种输入延时非线性***的自适应控制方法，包含：
根据控制跟踪目标构造经滤波处理的补偿误差信号，形成补偿跟踪误差，所述补偿误差信号由延时引起的控制输入偏差驱动；
根据被控***的动态模型构建所述补偿跟踪误差的动力学方程；
根据所述补偿跟踪误差的动力学方程设计被控***的控制律和自适应律。
所述被控***的动力学方程为：
，
，
；
其中，为可测状态向量，/>为被控***输出，/>为/>的导数，为实数集合；/>为无延时的控制律；/>为延时输入大小，且为已知常数；/>为当前时间；/>是未知的有界常数输入扰动；/>是已知满足一致李普希茨条件的连续非线性函数；/>为未知常数参数且为未知向量/>的第/>个元素，/>为已知的非线性光滑函数且为向量/>的第/>个元素，/>，/>为大于0的整数，/>对其每一个参数满足一致李普希茨条件；/>为未知控制增益。
优选的，补偿跟踪误差向量为：
；
式中，为跟踪误差向量，/>为可测状态向量，/>为被控***输出，/>为实数集合，/>，/>为期望被控***输出/>所跟踪的参考轨迹信号；
为由延时引起的控制输入差所驱动的补偿误差信号；
，
，
；
式中，是/>的两个分量，/>为设计中可调整的正常数，/>，/>为未知控制增益/>的估计值，/>是延时控制输入/>与无延时的控制律/>之间的差值，/>为延时，/>为当前时间。
优选的，根据被控***的动态模型构建所述补偿跟踪误差的动力学方程包含：
将补偿跟踪误差向量各元素的线性组合定义为标量跟踪误差；
根据被控***的动态模型构建所述标量跟踪误差构建动力学方程。
优选的，所述标量跟踪误差为：；
其中，为补偿跟踪误差向量，/>的值选取依据为使得多项式/>是赫尔维茨稳定的，/>是拉普拉斯变换中的复变量；
所述动力学方程为：
，
，
；
式中，，/>为未知控制增益/>的估计值；/>为常数，/>为未知的有界常数输入扰动；/>是已知满足一致李普希茨条件的连续非线性函数；是一个对角矩阵，/>为设计中可调整的正常数，/>，/>为延时控制输入；/>为/>的导数，/>为期望被控***输出/>所跟踪的参考轨迹信号；/>为补偿信号误差；/>为/>的导数，/>为/>的导数。
优选的，设计的控制律为：
，
；
式中，为可设计的正常数；/>为未知参数向量/>的估计；/>为饱和函数，满足:
，/>为用于约束控制输入幅值的正常数。
优选的，设计的自适应律为：
；
其中，为维数为/>的对称正定矩阵，/>，为未知常数参数；/>为标准的投影算子；/>为/>的导数，/>为/>的导数，/>为/>的导数。
与现有技术相比，本发明具有以下有益效果;
本发明通过构造经过滤波处理的补偿误差信号，该补偿信号由延时引起的控制输入偏差所驱动，形成补偿跟踪误差，由此来考虑延时效应。引入该方法后，将输入延时***的自适应控制设计转化为无延时的误差动力学***的自适应控制设计。当***存在输入延时时，该方法能保持自适应控制的自适应和自学习能力。本发明稳定性好，能够应用于带有长延时的***。
附图说明
图1为本发明实施例所提供的输入延时非线性***的自适应控制方法的流程示意图；
图2为仿真实施例中采用不同自适应控制方法时飞机滚转角对角度阶梯指令的控制响应；
图3为仿真实施例中采用不同自适应控制方法时的控制输入信号；
图4为仿真实施例中三角翼飞机的滚转动力学模型中不确定参数θ1的自适应估计过程；
图5为仿真实施例中三角翼飞机的滚转动力学模型中不确定参数θ2的自适应估计过程；
图6为仿真实施例中三角翼飞机的滚转动力学模型中不确定参数θ3的自适应估计过程；
图7为仿真实施例中三角翼飞机的滚转动力学模型中不确定参数θ4的自适应估计过程；
图8为仿真实施例中三角翼飞机的滚转动力学模型中不确定参数θ5的自适应估计过程；
图9为仿真实施例中三角翼飞机的滚转动力学模型中不确定参数θ6的自适应估计过程；
图10为仿真实施例中三角翼飞机的滚转动力学模型中不确定控制增益的自适应估计过程。
具体实施方式
为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚明了，下面结合具体实施方式并参照附图，对本发明进一步详细说明。应该理解，这些描述只是示例性的，而并非要限制本发明的范围。此外，在以下说明中，省略了对公知结构和技术的描述，以避免不必要地混淆本发明的概念。实施例中未注明具体条件者，按照常规条件或制造商建议的条件进行。所用试剂或仪器未注明生产厂商者，均为可以通过市售购买获得的常规产品。
本发明实施方式提供了一种输入延时非线性***的自适应控制方法，图1为本发明实施例所提供的一种输入延时非线性***的自适应控制方法的流程示意图。
如图1所示，输入延时非线性***的自适应控制方法包含以下步骤：
步骤S100中，根据控制跟踪目标构造经滤波处理的补偿误差信号，形成补偿跟踪误差，所述补偿误差信号由延时引起的控制输入偏差驱动。
需要说明的是，所述控制跟踪目标是指希望被控***的输出所跟踪的目标值、轨迹，或者随时间变化的目标函数等，一般是由人为指定的。
本发明实施方式的控制方法适用的被控***的动力学方程为：
，
，
（1）；
其中，为可测状态向量，/>为被控***输出，/>为/>的导数，为实数集合；/>为控制输入，/>为延时输入大小，且为已知常数；/>为当前时间；/>是未知的有界常数输入扰动，/>是已知满足一致李普希茨条件的连续非线性函数，，/>为未知常数参数，/>；/>,为已知的非线性光滑函数，且对其每一个参数满足一致李普希茨条件，/>为未知控制增益。
在一些优选实施方式中，根据控制目标，定义跟踪误差向量为：
（2）
式中，为可测状态向量，/>为被控***输出，/>为实数集合，，/>为期望被控***输出/>所跟踪的参考轨迹信号。
则补偿跟踪误差向量定义为：
（3）；
式中，为由延时引起的控制输入差所驱动的补偿误差信号，定义如下：
，
，
（4）；
式中，为设计中可调整的正常数，/>，/>为未知控制增益/>的估计值，/>是延时控制输入/>与无延时的控制律/>之间的差值，即控制输入差，/>为延时，/>为当前时间。由于常数延时/>是已知的，因此/>在***设计中是可计算的。
当控制输入差值足够小或控制输入/>或/>恒定或收敛于常量，从而导致/>，则/>，式(2)成为通常的跟踪误差向量/>。显然，补偿跟踪误差/>是可以计算的。
如果控制律使或/>(/>是一个小的正常数)，同时对于给定的恒定设定点/>，/>，也就是说/>，这就意味着/>或/>，这样控制目标就实现了。这就是补偿跟踪误差如何计入输入延时影响的方式。
若延时未知但有界，且延时控制输入/>可测量，则本实施方式也可以正常进行，该控制方法仍然适用。
步骤S200中，根据被控***的动态模型构建所述补偿跟踪误差的动力学方程。
此步骤根据被控***的动态模型构建所述补偿跟踪误差的动力学方程还可以包含以下步骤：
步骤S201，将补偿跟踪误差向量各元素的线性组合定义为标量跟踪误差。
标量跟踪误差定义为：
（5）；
其中，的值选取依据为使得多项式/>是赫尔维茨稳定（简称Hurwitz稳定）的，/>是拉普拉斯变换中的复变量。因此，很明显，如果控制律使/>，则和/>成立。
步骤S202，根据被控***的动态模型构建所述标量跟踪误差的动力学方程。
该步骤还可以包含以下步骤：
针对式（1）的被控***，本申请实施方式控制设计的目标是：在存在输入延时的情况下，设计一个自适应控制律，使被控***输出以有界误差跟踪一个期望的参考轨迹信号/>，或在一些给定条件下，渐近跟踪一个包含在/>中的常数目标设定点/>；同时，闭环***的所有其他信号保持有界。
根据上述式（1）-式（5）导出，标量跟踪误差的动力学方程为：
，/>，(6）
式中，，/>为未知控制增益/>的估计值，/>为常数，为未知的有界常数输入扰动；/>是已知满足一致李普希茨条件的连续非线性函数；是一个对角矩阵，/>为设计中可调整的正常数，/>，为延时控制输入；/>为/>的导数，/>为期望被控***输出/>所跟踪的参考轨迹信号；/>为补偿信号误差；/>为/>的导数，/>为/>的导数。
步骤S300中，根据所述补偿跟踪误差的动力学方程设计被控***的控制律和自适应律。
在一些优选实施方式中，此步骤根据上述动力学方程式（6），将控制律设计为
，
(7）
式中，为可设计的正常数，/>为未知参数向量/>的估计，/>为常数/>的估计。式(7)中，/>为饱和函数，满足:
，
为用于约束控制输入幅值的正常数。它被选得足够大，以允许式(1)的***输出可以覆盖参考轨迹信号/>中所包含的最大幅值。
将控制律式(7)代入标量跟踪误差的动力学方程式(6)中，则闭环动力学为
，
（8），
式中，,/>。
对于式(7)中，/>和/>，自适应律设计为
（9)；
其中，为维数为/>的对称正定矩阵，/>，为未知常数参数。/>为标准的投影算子，用于确保式(9)中估计的参数保持在设计者选择的紧致集内。在紧致集的内部，/>作为标准的单位映射；/>为/>的导数，/>为/>的导数，/>为的导数。
从上述由式(6)和式(9)可以看出，引入补偿误差信号后，跟踪误差动力学不再存在延时。延时效应由新定义的补偿跟踪误差/>来描述。从这个角度出发，本申请实施方式将式(1)中有输入延时的被控***的控制设计转化成了无输入延时***的标准控制设计过程。
需要说明的是，式（9）的自适应律为标准形式，可根据需要对其鲁棒性进行修改，以增强***的鲁棒性。此外，一些改进其学习性能的技术，如组合预测-误差估计的复合自适应律，可以在不影响稳定性分析和结论的情况下在这里应用。
本发明实施方式的控制律和自适应律可以保证：1)闭环***中所有信号都是一致最终有界的； 2)补偿跟踪误差渐近收敛到零； 3)被控***输出/>跟踪的参考轨迹信号/>的误差是有界的。该效果可以通过以下内容进行证明。
证明：考虑候选李雅普诺夫函数（简称Lyapunov函数），
(10)；
其沿标量跟踪误差动态式(8)的导数计算为
，
，
，
应用式(9)的自适应律，有
（11）；
根据Lyapunov稳定性定理，上述不等式(11)表示标量跟踪误差和参数估计误差/>(等价于/>和/>)都是一致最终有界的。由式(5)可知，补偿跟踪误差向量/>也是有界的。
本发明实施方式中参考轨迹信号及其导数/>是有界的。式(7)中定义的控制律是指控制输入/>是幅值受限的。基于式(1)给出的***是有界输入-状态稳定的，则式(1)中的所有状态也是有界的。
由于已知常数延时，由延时引起的控制输入差/>也是有界的。根据式(4)中补偿误差信号/>的定义，补偿误差信号为指数稳定动态，则补偿误差信号/>也是有界的。
由式(3)可知，跟踪误差向量是有界的。因为式(1)中的/>和/>在它的每个参数中都是满足一致Lipschitz条件，因此，/>和/>也是有界的。由于，/>和/>在设计中的有界性，因此式(7)中的控制信号/>也是有界的。这样进一步保证了控制无延时的控制律/>的有界性。即证明了闭环***中所有信号都是一致最终有界的。
由式(11)可知，如果，则/>。由于式(8)中/>的动态稳定性和有界性，利用式(11)，很容易看出Lyapunov函数的二阶导数/>是一致有界的。因此，/>是一致连续的。同时，上面已经证明，/>作为时间的函数，趋于一个极限值。应用Barbalat引理（H. K. Khalil, “Nonlinear systems third edition,”Patience Hall,vol. 115, 2002.），可以得到/>，因而/>。根据式(5)的定义，显然/>也会渐近收敛到0。由此，证明了补偿跟踪误差/>渐近收敛到零。
由于渐近收敛于零，且/>有界，则根据式（3）中/>与/>的关系，标准跟踪误差向量/>也是有界的。由式(2)可以看出，被控***输出/>跟踪的参考轨迹信号/>的误差是有界的。最后的结果得到了验证，即证明了被控***输出/>跟踪的参考轨迹信号/>的误差是有界的。证明毕。
通过以上内容可以看出，本发明实施方式在使用补偿跟踪误差后，即使***存在输入延时，自适应律对不确定参数的学习能力和稳定性也能得到保持。这是采用标准跟踪误差设计的常规自适应律无法实现的。
如果式(9)中的自适应律采用结合预测-误差估计的复合自适应律或其他改进学习的技术，如Immersion and Invariance design，可以证明式(11)的右侧会出现一些关于的半负定项，并为自适应过程带来一些式(9)中所没有的额外稳定性。
上述结果并不能充分保证标准跟踪误差向量也能收敛于[0,0]，即使/>渐近收敛于零。实际上，这取决于补偿误差信号/>的渐近稳定性，而补偿误差信号的渐近稳定性又取决于控制输入差/>。当/>，意味着当/>，/>，则/>收敛于0。当这种情况发生时，标准跟踪误差向量/>将收敛到[0,0]。
对于式(1)描述的被控***，存在输入延时时，通常更现实的目标是被控***输出能够跟踪一个期望的常数设定点/>。这消除了式(7)中/>出现周期性变化的可能性。为了表明/>的收敛性，下面采用一些反证法进行说明。
当渐近收敛于0而/>不收敛于0时，根据式(3)，/>应收敛于/>。如果/>是一个满足/>或/>的信号，其中/>是正数，那么式(4)中/>应该有/>或/>，其中/>是与/>相关的正数。这意味着/>或/>在***经过一定时间后是一个单调减少或增加的信号，直到违反控制信号的幅度限制/>，那么或/>的情况就不能继续下去，这与开始的前提条件相矛盾。因此，/>或/>应该是一个在0附近振荡或收敛于0的信号。对于/>在0附近振荡的情况，这意味着控制信号/>在一个常数附近振荡，因为式(5)给出的***是有界输入-状态稳定的，闭环***有界输出/>跟踪期望的有界误差的常数设定点/>。这可能暗示在这个闭环非线性***中存在一个极限环。这也可以在由式(8)和式(3)导出的正常跟踪误差/>的动力学中得到，如式（12）所示。
（12）
考虑到式(4)是指数稳定的，在有界输入的情况下，上述动力学也是稳定的，0为的全局稳定点。因此，极限环的幅值与式(1)中的非线性/>，/>，延时/>，和式(4)中的/>，以及控制律式(7)和自适应律式(9)中的设计参数有关，因此，控制设计应尽量减小极限环的幅值，提高跟踪性能。
对于收敛于0的情况，综合考虑式(12)和自适应律式(9)，显然/>收敛于[0,0]，被控***输出/>渐近地跟踪期望的常数设定点/>。
仿真实施例
仿真实施例改编自参考文献（E.Lavretsky,andK. Wise, “Robust and adaptivecontrol: With aerospace applications,ser,” Advanced textbooks in control andsignal processing.London and New York:Springer,2013. ）中的例9.3，在例9.3中，对三角翼飞机的大迎角滚转动力学进行控制。这里将采用本发明实施方式的自适应控制方法来处理当存在输入延时时三角翼飞机的滚转动力学控制问题。
三角翼飞机的滚转动力学模型为
，
（13）
其中为飞机的滚转角(rad)，/>为滚转速率(rad/s)，/>为飞机的副翼的差动偏转角(rad)。式(13)中未知常数参数的真值为
，/>，/>，/>，/>，，/>。
输入延时为/>，这个输入延时和常数扰动项/>是新增到原模型中的参数。
控制目标为采用上述本申请实施方式的方法，通过副翼的差动偏转角主动控制三角翼飞机的滚转角/>，在存在不确定性和输入延时的情况下跟随一系列恒定的滚转角度命令/>。
滚转角度命令通过一个二阶预置滤波器来生成参考轨迹信号/>及其导数。预置滤波器定义为：
(14）
其中，,/>。
自适应控制律设计如式(7)和式(9)所示，设计参数为,/>,，/>，/>，/>。在这种情况下，式(7)中/>为0。为便于说明，取式(7)中饱和函数/>为/>，将仿真中的滚转角限定在/>范围内。
式(9)中和/>的初始值为/>,/>。/>的上、下界分别为/>和/>。/>的边界是/>。
仿真结果如图2-图10所示。为了便于说明，图2-图3中的仿真结果以°为角度单位，以°/s为角度速率。
为了进行比较，常规自适应控制的仿真结果也表示在图中，此时，没有式(4)中的设计，控制设计中，式(7)和式(9)采用常规跟踪误差矢量/>而不是补偿跟踪误差矢量。
图4~图10为自适应控制过程中，三角翼飞机的滚转动力学模型式（13）中的不确定参数的自适应估计过程。其中图4~图9分别为不确定参数θ 1 、θ 2 、θ 3 、θ 4 、θ 5 、θ 6 的自适应估计过程，图10为不确定控制增益的自适应估计过程。图中给出了各个参数的真实值和两种不同自适应控制方法的不确定参数和增益的估计过程。可以看到，采用本发明实施例的自适应控制方法时，当控制输入存在延时的情况下，其参数估计过程可以更好地逼近各个参数的真实值；而常规自适应控制方法的参数估计过程，当控制输入存在延时的情况下，其参数的估计很难逼近参数的真实值，并且发生明显的震荡。
以上仿真结果表明，当存在明显的控制输入延时，本发明实施方式提出的采用补偿跟踪误差的自适应控制方法在存在不确定性和输入延时的情况下能够正常工作。被控***输出可以很好地跟踪常量命令。在控制的初始阶段，由于初始参数不准确，控制信号存在一定的振荡，但振荡较温和，在可接受的范围内。随着控制过程的不断进行和自适应，参数估计得到了改进，即使有些参数的估计值没有收敛到它们的真实值，控制响应也越来越好。这表明，即使在控制输入中存在延时，自学习和适应能力也得到了保留，并能正常工作。
另一方面，从结果看，由于输入延时的存在，常规自适应控制的响应和控制信号出现了明显的振荡。其参数估计也表现为连续的剧烈振荡，没有收敛的迹象。实际上，当将这些不确定参数的边界限制放宽，并且滚转角仿真范围和控制输入饱和限制足够大时，常规自适应控制将失去基本的命令跟踪能力和稳定性，***输出将走向仿真的边界，无法实现正常的控制。然而，在这些条件下，本发明提出的新自适应控制方法仍然保持与前面相同的控制响应性能。
这表明，在常规的自适应控制中，输入延时会严重破坏***的自适应能力。而采用补偿跟踪误差的自适应控制方法可以从根本上恢复这种自适应能力。本发明针对一类具有明显输入延时的不确定非线性***，提出了一种自适应控制方法。通过构造经过滤波处理的补偿误差信号，该补偿信号由延时引起的控制输入差所驱动，形成补偿跟踪误差，由此来考虑延时效应。引入该方法后，将输入延时***的自适应控制设计转化为无延时误差动力***的自适应控制设计。当***存在输入延时时，该方法能保持自适应控制的自适应和自学习能力。
对所公开的实施例的上述说明，使本领域专业技术人员能够实现或使用本发明。对这些实施例的多种修改对本领域的专业技术人员来说将是显而易见的，本文中所定义的一般原理可以在不脱离本发明的精神或范围的情况下，在其它实施例中实现。因此，本发明将不会被限制于本文所示的这些实施例，而是要符合与本文所公开的原理和新颖特点相一致的最宽的范围。

Claims (1)

1.一种输入延时非线性***的自适应控制方法，其特征在于，包含：
根据控制跟踪目标构造经滤波处理的补偿误差信号，形成补偿跟踪误差，所述补偿误差信号由延时引起的控制输入偏差驱动；
根据被控***的动态模型构建所述补偿跟踪误差的动力学方程；
根据所述补偿跟踪误差的动力学方程设计被控***的控制律和自适应律；
其中，所述被控***的动力学方程为：
，
，
；
其中，为可测状态向量，/>为被控***输出，/>为/>的导数，/>为实数集合；/>为无延时的控制律；/>为延时输入大小，且为已知常数；/>为当前时间；是未知的有界常数输入扰动；/>是已知满足一致李普希茨条件的连续非线性函数；为未知常数参数且为未知向量/>的第/>个元素，/>为已知的非线性光滑函数且为向量/>的第/>个元素，/>，/>为大于0的整数，/>对其每一个参数满足一致李普希茨条件；/>为未知控制增益；
补偿跟踪误差向量为：
；
式中，为跟踪误差向量，/>为可测状态向量，/>为被控***输出，/>为实数集合，/>，/>为期望被控***输出/>所跟踪的参考轨迹信号；
为由延时引起的控制输入差所驱动的补偿误差信号；
，
，
；
式中，是/>的两个分量，/>为设计中可调整的正常数，/>，/>为未知控制增益/>的估计值，/>是延时控制输入 />与无延时的控制律/>之间的差值，/>为延时，/>为当前时间；
根据被控***的动态模型构建所述补偿跟踪误差的动力学方程的方法包含：
将补偿跟踪误差向量各元素的线性组合定义为标量跟踪误差；
根据被控***的动态模型构建所述标量跟踪误差的动力学方程；
所述标量跟踪误差为；
其中，为补偿跟踪误差向量，/>的值选取依据为使得多项式/>是赫尔维茨稳定的，/>是拉普拉斯变换中的复变量；
所述动力学方程为：
，
，
；
式中，，/>为未知控制增益/>的估计值；/>为常数，/>为未知的有界常数输入扰动； />是已知满足一致李普希茨条件的连续非线性函数；是一个对角矩阵，/>为设计中可调整的正常数，/>，/>为延时控制输入；/>为/>的导数，/>为期望被控***输出/>所跟踪的参考轨迹信号；/>为补偿信号误差；/>为/>的导数，/>为/>的导数；
设计的控制律为：
，
；
式中，为可设计的正常数；/>为未知参数向量/>的估计；/>为常数/>的估计；/>为饱和函数，满足：
；
为用于约束控制输入幅值的正常数；
设计的自适应律为：
；
其中，为维数为/>的对称正定矩阵，/>，为未知常数参数；/>为标准的投影算子；/>为/>的导数，/>为/>的导数，/>为/>的导数。
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高动态环境下高灵敏度GPS跟踪环路算法的研究;胡开通;;山西科技(第03期);全文 *

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