CN116382332B

CN116382332B - 一种基于ude的战斗机大机动鲁棒飞行控制方法

Info

Publication number: CN116382332B
Application number: CN202310284560.3A
Authority: CN
Inventors: 苏善伟; 刘旭
Original assignee: Beihang University
Current assignee: Beihang University
Priority date: 2023-03-22
Filing date: 2023-03-22
Publication date: 2024-06-11
Anticipated expiration: 2043-03-22
Also published as: CN116382332A

Abstract

本发明揭示了一种基于UDE的战斗机大机动鲁棒飞行控制方法，针对***模型或干扰形式不完全已知的问题，将基于不确定性和干扰估计器(UDE)的控制策略应用于强耦合的非线性战斗机大机动飞行控制***。包括以下步骤：首先，用数学语言描述战斗机大机动飞行控制问题，主要包括运动学和动力学模型以及全状态量***结构等；其次，利用UDE对集总干扰进行估计和补偿，基于反演法进行动态面控制器的设计工作，明确UDE的待调参数和***状态的收敛关系；最后，基于对被控对象与干扰的若干假设，参照李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性证明，证明姿态和角速率状态的一致收敛结论，确保不确定非线性***的跟踪能够实现。

Description

一种基于UDE的战斗机大机动鲁棒飞行控制方法

技术领域

本申请属于飞行控制***领域，尤其是涉及一种战斗机的超机动鲁棒非线性控制。

背景技术

先进战斗机大机动时，气动力和气动力矩具有严重的非线性、迟滞性和耦合性。传统的线性控制方法无法应用，必须采用非线性控制律设计方法。

空战环境还具有复杂多变的特征，强烈的风扰或电磁扰动，都会威胁到控制通道中信号的准确性。而控制回路中的传感器信号受到干扰，或者执行器故障、卡死等问题的出现，会对大机动的控制效果产生直接的消极影响、威胁飞行安全。相关研究多集中于标称模型和无干扰的控制情形，例如，授权公布号为CN114527799B的发明专利公开了“一种高机动无人机的半滚倒转多模态控制方法及***”，其中的控制律并没有考虑风扰、参数摄动等内外界干扰问题。

在实际应用中，飞行控制***的计算负荷需要在合理的范围之中，一般的非线性控制方法的可实现性低，如反步控制律需要对中间信号多次求导，容易引发“微分***”问题。

发明内容

本申请主要解决一般类非仿射的战斗机大机动非线性飞行控制***现有技术存在的至少一个问题，能够估计集总不确定项，它是控制输入、状态和干扰的函数，而不是构造可能导致控制器奇异性问题的逆算子；放宽对不确定性和扰动项的一般假设，控制设计只需要其带宽信息；易于实现和调优，同时带来良好的鲁棒性能。

为了实现上述目的，本申请解决其技术问题所采用的技术方案是：一种基于UDE的战斗机大机动鲁棒飞行控制方法，包括以下步骤：

首先，用数学语言描述战斗机大机动飞行控制问题，主要包括运动学和动力学模型以及全状态量***结构等；

其次，利用UDE对集总干扰进行估计和补偿，基于反演法进行动态面控制器的设计工作，明确UDE的待调参数和***状态的收敛关系；

最后，基于对被控对象与干扰的若干假设，参照李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性证明，证明姿态和角速率状态的一致收敛结论，确保不确定非线性***的跟踪能够实现。

所述的全状态量***结构指战斗机的12个状态变量对应的非线性方程组，各状态量在时间尺度上的划分具有明显差异，可以利用奇异摄动理论将其划分成不同的4个子***。本发明研究的是飞机机动过程中的姿态控制问题，涉及到4个子***中的3个，共包含9个飞行状态：

1)非常慢状态子***x₁＝[V_t γ χ]^T，即速矢变量；

2)慢状态子***x₂＝[α β μ]^T，即姿态变量；

3)快状态子***x₃＝[p q r]^T，即角速度变量。

其中x,y,z分别为导航坐标系x,y,z轴上的位移，V_t为空速，χ为航迹方位角，γ为航迹倾斜角，α,β,μ分别为迎角、侧滑角和航迹滚转角，p,q,r分别为机体轴上的三轴角速率，x₂和x₃构成了战斗机的姿态运动状态组，是大机动控制最为关心的状态组，即本申请需要控制跟踪的状态量。

步骤一，用数学语言描述战斗机大机动飞行控制问题，包括以下分步骤：

1)大机动控制问题本质上是对战斗机姿态的控制问题，尤其关心迎角α、侧滑角β和航迹滚转角μ的动态模型的跟踪控制，下面给出以迎角、侧滑角和航迹滚转角的导数式表达的战斗机姿态回路方程：

式中，m,g分别为机体质量及重力加速度，T_x,T_y,T_z为机体坐标轴x,y,z上推力分量，L,Y分别为升力及侧力。

2)式1～3表明，战斗机姿态回路方程与三轴角速率p,q,r存在耦合关系，且并不显含控制量，因此有必要给出以机体轴上的三轴角速率的导数式表达的战斗机角速率回路方程:

式中，h_eng为发动机产生的角动量，L,M,N分别为空气动力产生的力矩在机体轴上的分量，M_T和N_T为推力矢量在侧向和纵向机体轴上的分量，C₁～C₉为惯性系数。

3)由式1～6可知，本申请研究的大机动控制对象为二阶六自由度非线性***，且最终可以写为以姿态变量和角速度变量导数式表达的，具备二维推力矢量的战斗机大机动飞行控制较为关心的姿态和角度仿射方程组：

式中，u为常规气动舵面与推力矢量舵面的偏转量组成的五维控制信号。本文称式7为标称模型。三维函数向量f₂(x₁,x₂)和f₃(x₂,x₃)分别为姿态环非线性函数向量和角速率环的非线性函数向量，g₂(x₂)和g₃(x₂)分别是由姿态回路状态决定的具有非线性数学特性的关系矩阵和执行矩阵。

所述的集总干扰主要包括能够威胁到状态跟踪效果的风扰、传感器信号扰动、建模误差、参数摄动等多源干扰信号，会以未知但有界的形式影响到各控制通道。如果以d₂,d₃分别作为外环和内环干扰的集总信号，那么战斗机大机动飞行控制的六自由度非仿射形式的方程组为:

步骤二，利用UDE对集总干扰进行估计和补偿，并设计基于反演法的动态面控制器，包括以下分步骤：

1)定义姿态误差：

e₁＝x₂-x_2c 式9

式中x_2c为期望的姿态轨迹。由式7可知，上式对时间t的导数为

定义中间信号x_3n及后续流程中待设计的外环鲁棒控制信号x_3d，并满足x₃＝x_3n+x_3d，则

2)再定义待设计的外环标称控制信号x_3nd及中间误差信号并满足

引入正增益k₁，设计虚拟控制律：

那么，式11最终可以写为下式的形式：

移项即得

3)采用UDE对外环通道的集总干扰进行估计：

式中，τ₁为待调的时间常数，表示拉氏反变换，s为拉氏算子。

4)令待设计的鲁棒项g₂(x₂)x_3d作为UDE补偿项，即

式15、16合称外环UDE，解该方程组得

式中为姿态环的估计误差。

5)定义x_3v＝x_3nd+x_3d。对于待设计的内环虚拟跟踪指令x_3v，利用惯性环节进行处理，得到滤波后信号及其导数/>即

6)定义角速率跟踪误差：

上式对时间t的导数为

定义待设计的内环标称控制信号u_n及待设计的内环鲁棒控制信号u_d，并满足u＝u_n+u_d，则

7)引入正增益k₂，设计标称动力学部分的控制律为：

值得注意的是，由于控制信号为常规气动舵面与推力矢量舵面的偏转量组成的五维向量，因此应理解为伪逆。将上式代入式21即有

8)同上理，采用UDE对内环通道的集总干扰进行估计：

9)令待设计的鲁棒项作为UDE补偿项，即

式24、25合称内环UDE表达式，解该方程组得

10)将式26代入式23，即得

式中为角速率环UDE的估计误差。式18、式24中的τ₂和τ₃为待调参数。

步骤三，证明姿态和角速率状态的一致收敛结论，包括以下分步骤：

1)考虑如下李雅普诺夫函数：

上式中，角标T代表矩阵转置运算。对上式求导

再定义新的李氏函数则其对时间的导数为

由内环UDE表达式24、25可知

代入导数式30中得

应用杨氏不等式对上式进行放缩，得

式中λ₁∈R⁺，为中间参数。假设干扰有上界，则：

定义集总参数K₁、L₁并满足那么

定义中间滤波器的输入输出误差信号为

现定义新的李氏函数为则其对时间的导数为

由中间滤波器的数学关系式18可知

代入上式可得

由x_3v的定义式可知存在上界/>满足：

由杨氏不等式及式36，对式37进行放缩，有

式中，λ₂∈R⁺，同为稳定性证明所用的中间参数。定义集总参数K₂、L₂并满足那么有

再取李氏函数同对V₁的处理方法，最终可得该项对时间导数的放缩结果：

式中λ₃∈R⁺，同为稳定性证明所用的中间参数，定义集总参数K₃、L₃并满足由/>及x_3v的定义可知

再由的定义式及式19可知

因此，由式17、式27及式44，有

由式35、式40和式42，式29可以由杨氏不等式放缩为：

2)适当选取参数以保证上式除L₁、L₂和L₃以外各项的系数为负。另取集总参数K和Γ，分别满足：

Γ＝max{L₁ L₂ L₃}

那么由式29、式47可知，由式28所定义的李氏函数V的时间导数满足：

解上式微分方程可知，李氏函数V满足不等式：

上式中，V₀为李氏函数V的初始值。解此微分方程可知：

通过适当调整设计参数，存在常数使得三维向量空间/>中的姿态误差e₁能够收敛到一个任意小的紧集/>

本发明针对无人战斗机的大机动鲁棒非线性控制，利用UDE对干扰d₂和d₃进行估计和补偿，以简单的设计结构提升非线性***的鲁棒性，处理不确定性和外源干扰；本发明采用了动态面控制器的设计核心，即利用一个惯性环节处理了外环输出、内环输入的虚拟控制量x_3v，使其从根本上避免了中间信号求导的工业实现难题。

附图说明

下面对本发明说明书中每幅附图表达的内容作简要说明：

图1a-1b为迎角跟踪效果仿真验证曲线。

图2a-2b为侧滑角跟踪效果仿真验证曲线。

图3a-3b为航迹滚转角跟踪效果仿真验证曲线。

图4a-4b为俯仰角速率跟踪效果仿真验证曲线。

图5a-5b为滚转角速率跟踪效果仿真验证曲线。

图6a-6b为偏航角速率跟踪效果仿真验证曲线。

图7为五维控制舵量仿真验证曲线。

图8为***控制流程示意曲线。

具体实施方式

下面对照附图，通过对实施例的描述，本发明的具体实施方式如所涉及的各构件的形状、构造、各部分之间的相互位置及连接关系、各部分的作用及工作原理、制造工艺及操作使用方法等，作进一步详细的说明，以帮助本领域技术人员对本发明的发明构思、技术方案有更完整、准确和深入的理解。

针对无人战斗机在干扰和不确定性影响下的大迎角机动鲁棒非线性跟踪控制问题，结合了UDE方法、动态面控制方法和反步方法，设计了一种工程适用性很强的一种鲁棒控制算法。动态面控制方法的应用是为了避免对部分非线性函数求取导数，引入的一阶低通滤波器使得求导数时不至于产生微分“***”和机载计算压力过大；UDE的应用是为了处理未知的集总干扰信号，并用于设计鲁棒控制项。本发明提供了一种在风扰、模型不确定等为代表的集总干扰下，无人战斗机能够实现对姿态状态量期望信号的良好跟踪。

基于图1所示的控制结构，以配备二维推力矢量的F-16战斗机为被控对象，一种基于UDE的战斗机大机动鲁棒飞行控制方法，包括以下步骤：

步骤1用数学语言描述战斗机大机动飞行控制问题，过程如下：

1.1取飞机质量m＝9295.44kg，重力加速度建立无人战斗机大机动飞行姿态环的标称数学模型：

式中，α,β,μ分别为迎角、侧滑角和航迹滚转角，χ为航迹方位角，γ为航迹倾斜角，均由姿态角传感器经反馈回路测得，V_t为空速，由速率传感回路测得。T_x，T_y和T_z为推力机体轴上的分量，L，Y为升力和侧力，与空速和F-16战斗机的气动参数相关，气动参数参考荷兰代尔夫特理工大学于2006年发行的第三版F-16战斗机风洞试验数据。

1.2根据F-16战斗机的各转动惯量可以计算得到惯性参数C₁～C₉，另外取角动量h_eng＝216.9kg·m²/s，因此可建立无人战斗机大机动飞行角速率环的标称数学模型：

式中，p,q,r分别为机体轴上的三轴角速率，实际由角速率传感器经反馈回路测得，分别为空气动力产生的力矩在机体轴上的分量，M_T和N_T为推力矢量在侧向和纵向机体轴上的分量，以上五个变量则由F-16战斗机风洞飞行试验所得到的气动参数算取。

1.3取x₂＝[α β μ]^T，x₃＝[p q r]^T，由(1)～(6)式可得具备二维推力矢量的战斗机大机动飞行控制较为关心的姿态和角度六自由度非线性方程组：

式中，u为常规气动舵面与推力矢量舵面的偏转量组成的五维控制信号。本申请称式(7)为标称模型。f₂(x₂)和f₃(x₂,x₃)分别为姿态环非线性函数向量和角速率环的非线性函数向量，g₂(x₂)和g₃(x₂)分别是由姿态回路状态决定的具有非线性数学特性的关系矩阵和执行矩阵。由(1)～(6)式，对于F-16战斗机，f₂(x₂)＝[f_α f_β f_μ]^T，g₂(x₂)以及f₃(x₂,x₃)＝[f_αf_β f_μ]^T可以写为如下表达：

f_q＝0.9945pr+0.003(p²-r²)+0.0268r+0.0121C_m

上式中，C_X，C_Z，C_Y，C_l，C_m，C_n为气动力和气动力矩非线性系数，由F-16的风洞试验给出的离散气动数据插值而得，g₃(x₂)也由相同方式算取。取空气密度为1.29kg/m³，则动压为

空战环境中通常存在能够威胁到状态跟踪效果的风扰、传感器信号扰动、建模误差、参数摄动等多源干扰信号，会以未知但有界的形式影响到各控制通道。如果以d₂,d₃分别作为外环和内环干扰的集总信号，那么战斗机大机动飞行控制的六自由度非仿射形式的方程组为:

外环和内环/>六个通道上的干扰d₂和d₃，既可以表征外源干扰信号，也可以表征内源性的气动参数不确定或迟滞等带来的干扰。本申请中的仿真工作考虑如下说明中的大机动飞行过程中常见的参数摄动内源干扰：

1)当飞机上仰时飞机的气动系数表示为：

2)当飞机下俯时飞机的气动系数表示为：

式中，参数C_x等是式(8)中函数向量f和函数矩阵g中的气动力和气动力矩参数，下标r表示未发生气动迟滞时的参考气动系数。基于上述两种气动参数摄动情况，式(8)中的干扰d₂和d₃可以表达为：

式中，Δ项代表由摄动干扰引起的***内源不确定性。

步骤2：利用UDE对集总干扰进行估计和补偿，基于反演法进行动态面控制器的设计，过程如下：

2.1定义姿态误差。控制实现的机动目标动作为“眼镜蛇Cobra”机动，具体的参考指令为:β_c＝0，μ_c＝0以及由惯性环节处理前的α_c：

取x_2c＝[α_c β_c μ_c]^T，则外环姿态环的误差信号表达式为：

e₁＝x₂-x_2c (9)

式中x_2c为期望的姿态轨迹。

由式(7)可知，上式对时间t的导数为

定义x₃＝x_3n+x_3d，则

2.2为使误差信号收敛，定义引入正常数k₁＝10，设计虚拟控制律：

那么，式(11)最终可以写为下式的形式：

移项即得

2.3由于d₂是未知干扰，为了有效补偿，本申请采用UDE对该通道的集总干扰进行估计：

式中，τ₁＝0.1s为外环UDE的时间常数，表示拉氏反变换，s为拉氏算子。

2.4令待设计的鲁棒项g₂(x₂)x_3d作为UDE补偿项，即

解得

式中，为姿态环的估计误差。

2.5定义x_3v＝x_3nd+x_3d。对于待设计的内环虚拟跟踪指令x_3v，利用惯性环节进行处理，得到滤波后信号及其导数/>以避免微分模块的使用，即

式中，τ₂＝0.04s为中间滤波器时间常数。

2.6由式(18)和图8可知，姿态环输出的滤波信号为内环角速率环的参考信号，因此可以定义角速率跟踪误差：

/>

上式对时间t的导数为

定义u＝u_n+u_d，则上式变为

2.7为使角速率环的误差信号收敛，引入正常数k₂＝10，设计标称动力学部分的控制律为：

代入式(21)即有

2.8采用UDE对该通道的集总干扰进行估计：

式中τ₃＝0.1s为内环UDE的时间常数，表示拉氏反变换，s为拉氏算子。

2.9令待设计的鲁棒项g₃(x₂)u_d作为UDE补偿项，即

解得

2.10将式(25)代入式(23)，即得

式中，为角速率环UDE的估计误差。

步骤3发明内容中参照李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性证明，已经证明了姿态和角速率状态的一致收敛结论，可以确保不确定非线性***的跟踪能够实现，其中推导所用的信号具有推广性，故此处无需再代入数据证明。

为了验证本发明方法的有效性，对配备二维推力矢量的F-16战斗机非线性数学模型进行了数字仿真验证，如下：

以F-16的外形和气动数据为参考进行仿真验证，采用一阶惯性环节作为执行器模型来模拟执行器的滞后效果，外环和内环UDE的时间常数均取0.1秒，外环输出给内环信号所用的中间滤波器时间常数选取0.04秒，内外环收敛增益k₁和k₂均选取为10。

图1a-1b验证了战斗机大机动最为关心的攻角控制效果：依靠UDE的估计作用，本申请中的鲁棒控制器产生了一定的补偿效果，具备令人满意的攻角跟踪效果。姿态量x₂＝[α β μ]^T中的另外两个分量，即侧滑角β和航迹滚转角μ的跟踪效果及误差见图2a-2b和图3a-3b。UDE的补偿作用可以在攻角迅速变大(13s)时，使侧滑角及航迹滚转角跟踪以较小的偏差尖峰值运行，具备理想的跟踪速度和较小的平均误差，鲁棒性能的提升效果十分明显。图4a-4b、图5a-5b及图6a-6b所示为鲁棒补偿后战斗机大机动机体轴上的三轴角速率x₃相对于外环输出的虚拟控制量x_3v的良好跟踪效果。

图7所示为常规气动舵面和二维推力矢量舵面等五个执行器输出的控制信号，即舵面偏转量。由于“Cobra”机动在纵向需要更多的气动力与力矩的分配，所以升降舵和纵向推力矢量舵面的偏转较其他舵面偏大，且都在合理的偏转范围内。

针对***模型或干扰形式不完全已知的问题，本申请基于不确定性和干扰估计器(UDE)的控制策略应用于强耦合的非线性战斗机大机动飞行控制***，能够估计集总不确定项，同时带来良好的鲁棒性能。

上述内容结合附图对本发明进行了示例性描述，显然本发明具体实现并不受上述方式的限制，只要采用了本发明的方法构思和技术方案进行的各种非实质性的改进，或未经改进将本发明的构思和技术方案直接应用于其它场合的，均在本发明的保护范围之内。

Claims

1.一种基于UDE的战斗机大机动鲁棒飞行控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一：用数学语言描述战斗机大机动飞行控制问题，包括运动学和动力学模型以及全状态量***结构；

步骤二：利用UDE对集总干扰进行估计和补偿，基于反演法进行动态面控制器的设计工作，明确UDE的待调参数和***状态的收敛关系；

步骤三：基于对被控对象与干扰的若干假设，参照李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性证明，证明姿态和角速率状态的一致收敛结论，确保不确定非线性***的跟踪能够实现；

其中，所述的集总干扰包括能够威胁到状态跟踪效果的风扰、传感器信号扰动、建模误差、参数摄动干扰信号，会以未知但有界的形式影响到各控制通道；如果以d₂,d₃分别作为外环和内环干扰的集总信号，那么战斗机大机动飞行控制的六自由度非仿射形式的方程组为:

所述的全状态量***结构指战斗机的12个状态变量对应的非线性方程组，各状态量在时间尺度上的划分具有明显差异，利用奇异摄动理论将其划分成不同的4个子***；此处涉及到4个子***中的3个，共包含9个飞行状态：

1)非常慢状态子***x₁＝[V_t γ χ]^T，即速矢变量；

2)慢状态子***x₂＝[α β μ]^T，即姿态变量；

3)快状态子***x₃＝[p q r]^T，即角速度变量；

其中x,y,z分别为导航坐标系x,y,z轴上的位移，V_t为空速，χ为航迹方位角，γ为航迹倾斜角，α,β,μ分别为迎角、侧滑角和航迹滚转角，p,q,r分别为机体轴上的三轴角速率，x₂和x₃构成了战斗机的姿态运动状态组，是大机动控制最为关心的状态组，即需要控制跟踪的状态量；

在步骤一中，还包括以下步骤：

1)下面给出以迎角、侧滑角和航迹滚转角的导数式表达的战斗机姿态回路方程：

式中，m,g分别为机体质量及重力加速度，T_x,T_y,T_z为机体坐标轴x,y,z上推力分量，L,Y分别为升力及侧力；

2)式1～3表明，战斗机姿态回路方程与三轴角速率p,q,r存在耦合关系，且并不显含控制量，给出以机体轴上的三轴角速率的导数式表达的战斗机角速率回路方程:

式中，h_eng为发动机产生的角动量，分别为空气动力产生的力矩在机体轴上的分量，M_T和N_T为推力矢量在侧向和纵向机体轴上的分量，C₁～C₉为惯性系数；

3)由式1～6可知，大机动控制对象为二阶六自由度非线性***，且最终写为以姿态变量和角速度变量导数式表达的，具备二维推力矢量的战斗机大机动飞行控制的姿态和角度仿射方程组：

式中，u为常规气动舵面与推力矢量舵面的偏转量组成的五维控制信号；式7为标称模型；三维函数向量f₂(x₁,x₂)和f₃(x₂,x₃)分别为姿态环非线性函数向量和角速率环的非线性函数向量，g₂(x₂)和g₃(x₂)分别是由姿态回路状态决定的具有非线性数学特性的关系矩阵和执行矩阵；

在步骤二中，还包括以下步骤：

1)定义姿态误差：

e₁＝x₂-x_2c 式9

式中x_2c为期望的姿态轨迹；由式7可知，上式对时间t的导数为

引入正增益k₁，设计虚拟控制律：

那么，式11最终写为下式的形式：

移项即得

3)采用UDE对外环通道的集总干扰进行估计：

式中，τ₁为待调的时间常数，表示拉氏反变换，s为拉氏算子；

4)令待设计的鲁棒项g₂(x₂)x_3d作为UDE补偿项，即

式15、16合称外环UDE，解方程组得

式中为姿态环的估计误差；

5)定义x_3v＝x_3nd+x_3d；对于待设计的内环虚拟跟踪指令x_3v，利用惯性环节进行处理，得到滤波后信号及其导数/>即

6)定义角速率跟踪误差：

上式对时间t的导数为

7)引入正增益k₂，设计标称动力学部分的控制律为：

由于控制信号为常规气动舵面与推力矢量舵面的偏转量组成的五维向量，因此应理解为伪逆；将上式代入式21即有

8)同上理，采用UDE对内环通道的集总干扰进行估计：

9)令待设计的鲁棒项作为UDE补偿项，即

式24、25合称内环UDE表达式，解方程组得

10)将式26代入式23，即得

式中为角速率环UDE的估计误差；式18、式24中的τ₂和τ₃为待调参数。

2.根据权利要求1所述的一种基于UDE的战斗机大机动鲁棒飞行控制方法，其特征在于：在步骤三中，还包括以下步骤：

1)考虑如下李雅普诺夫函数：

上式中，角标T代表矩阵转置运算；对上式求导

再定义新的李氏函数则其对时间的导数为

由内环UDE表达式24、25得到

代入导数式30中得

应用杨氏不等式对上式进行放缩，得

式中λ₁∈R⁺，为中间参数；假设干扰有上界，则：

定义集总参数K₁、L₁并满足那么

定义中间滤波器的输入输出误差信号为

现定义新的李氏函数为则其对时间的导数为

由中间滤波器的数学关系式18得到

代入上式得到

由x_3v的定义式得到存在上界/>满足：

由杨氏不等式及式36，对式37进行放缩，有

式中，λ₂∈R⁺，同为稳定性证明所用的中间参数；定义集总参数K₂、L₂并满足那么有

再取李氏函数同对V₁的处理方法，最终得到对时间导数的放缩结果：

式中λ₃∈R⁺，同为稳定性证明所用的中间参数，定义集总参数K₃、L₃并满足由/>及x_3v的定义得到

再由的定义式及式19得到

因此，由式17、式27及式44，有

由式35、式40和式42，式29，由杨氏不等式放缩为：

2)适当选取参数以保证上式除L₁、L₂和L₃以外各项的系数为负；另取集总参数K和Γ，分别满足：

Γ＝max{L₁ L₂ L₃}

那么由式29、式47得到，由式28所定义的李氏函数V的时间导数满足：

解上式微分方程得到，李氏函数V满足不等式：

上式中，V₀为李氏函数V的初始值；解此微分方程得到：

通过调整设计参数，存在常数使得三维向量空间/>中的姿态误差e₁能够收敛到一个任意小的紧集/>