CN115062482B - 一种考虑旋转关节定位误差的串联机器人运动学建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑旋转关节定位误差的串联机器人运动学建模方法，包括：根据串联机器人的初始姿态，采用DH建模理论建立串联机器人的测量模型；将所述串联机器人末端执行器球心坐标向量代入所述测量模型；将所述圆光栅角度传感器所述采集的角度误差的修正值及机器人杆件长度误差值代入所述测量模型，进行误差补偿；在误差补偿后的测量模型中，将角度定位偏差建模为命令角度位置的函数，代替所述角度误差的修正值，获得第一运动学模型。该方法在提高建模效率和计算的同时，也可减少因旋转轴的角度定位误差通常由角度传感器偏心误差、减速器性能等因素引起的影响。

Description

一种考虑旋转关节定位误差的串联机器人运动学建模方法

技术领域

本发明涉及机器人建模和机器人运动学标定技术领域，特别涉及一种考虑旋转关节定位误差的串联机器人运动学建模方法。

背景技术

为了提高工业机器人的绝对定位精度，大多数研究主要集中在机器人运动学中DH参数识别。DH参数表示每个旋转轴的轴平均线相对于另一轴定义的局部坐标系的位置和方向误差。许多研究者提出了一种通过测量末端执行器位置来识别DH参数的方案(如末端名义上被约束在单点、直线、平面或球面上时，进行参数识别)，这些方法简单且成本低。但是旋转轴在旋转过程中会产生径向、轴向位移或倾斜等误差运动。根据旋转轴的误差运动在ISO 230-1中的定义：表示旋转轴相对于其轴平均线的位置和方向的变化，被称作旋转轴旋转角度的函数。旋转关节的角度定位误差被视为影响串联机器人定位精度的主要误差源且对串联机器人定位误差的影响具有放大效应。

一些过去的研究报告称，即使DH参数的影响得到补偿，机器人的定位误差仍然大约是典型机床的10到100倍。为了进一步提高串联机器人的定位精度，采用神经网络等方法对其非结构参数误差进行补偿，但仅在训练数据空间内精度比较稳定。目前，尚未考虑旋转关节角度定位误差对串联机器人定位精度的影响。

因此，如何进一步提高串联机器人定位精度，成为同行从业人员亟需解决的问题。

发明内容

本发明的目的在于提供一种考虑旋转关节定位误差的串联机器人运动学标定方法，该方法在DH模型的基础上，进一步考虑旋转关节的角度定位误差对串联机器人定位精度的影响，提高串联机器人定位精度。

为实现上述目的，本发明采取的技术方案为：

本发明提供一种考虑旋转关节定位误差的串联机器人运动学建模方法，该方法包括：

根据串联机器人的初始姿态，采用DH建模理论建立串联机器人的测量模型；在所述初始姿态下所述串联机器人的各个旋转关节转过角度的名义值为零；

将所述串联机器人末端执行器球心坐标向量代入所述测量模型；所述测量模型包括：各个关节变量值，杆件长度值，杆件扭角值及杆件偏置量值；

将所述圆光栅角度传感器所述采集的角度误差的修正值及机器人杆件长度误差值代入所述测量模型，进行误差补偿；

在误差补偿后的测量模型中，将角度定位偏差建模为命令角度位置的函数，代替所述角度误差的修正值，获得第一运动学模型；所述角度定位偏差为：由旋转轴的指令角位置和旋转轴的旋转方向引起的偏差。

进一步地，在所述第一运动学模型中，将旋转轴径向误差运动建模为命令角度位置的函数，补偿所述机器人杆件长度的误差值，获得第二运动学模型；所述旋转轴径向误差运动为：由轴承带的圆度误差、轴承球和配合旋转间隙的运动引起的误差。

进一步地，采用DH建模理论建立串联机器人的测量模型为：

其中：

式中：θ_i表示关节变量，即指相邻杆件之间相对位置的变化量；d_i表示杆件i的偏置量，即指杆长l_i-1及l_i在关节i轴线上截取的距离；l_i表示杆件长度，即相邻旋转关节轴线之间的最短距离；α_i表示杆件扭角，即将同一杆件的任一轴线向另一轴线移动，使之相交，则此二直线决定一个与杆件长度l_i垂直的平面，此二直线的平面夹角就是该杆件的扭角α_i；A_i表示杆件i-1的坐标系{i-1}向杆件i的坐标系{i}转换的矩阵。Rot(z_i-1，θ_i)表示绕杆件i-1的坐标系z轴旋转θ_i角度；Trans(0，0，d_i)表示沿杆件i的坐标系z轴平移d_i距离；Trans(l_i，0，0)表示沿杆件i的坐标系x轴平移l_i距离；Rot(x_i，α_i)表示绕杆件i的坐标系x轴旋转α_i角度。

进一步地，将所述串联机器人末端执行器球心坐标向量代入所述测量模型，包括：

假设末端执行器球心坐标向量P＝[x_p,y_p,z_p]^T，表示探测球心在串联机器人世界坐标系内的位置；

将齐次转换矩阵A_i代入公式(1)中，串联机器人的测量模型表示为：

其中，x_p,y_p,z_p表示末端执行器球心坐标向量。

进一步地，将所述圆光栅角度传感器所述采集的角度误差的修正值及机器人杆件长度的误差值代入公式(3)，进行误差补偿：

式中，Δθ_i表示初始零位或相位角，Δl_i表示机器人杆件长度的误差值。

进一步地，所述角度定位偏差采用表示；/>表示第i旋转轴的指令角位置，p_i为第i旋转轴索引命令角位置序号，/>表示第i旋转轴在指令角位置的旋转方向，/>表示第i旋转轴在指令角位置的角速度；

当时，/>被赋值为1；当/>时，/>被赋值为-1。

进一步地，所述第一运动学模型中θ_i由Θ_i(k)替代；Θ_i(k)表示第i旋转轴的估计角位置，当第i旋转轴的命令角任意给定为时，估计角位置通过线性插值计算得出：

其中，p_i需满足：

δ_i(k)为插值权重，由等式(7)给出:

(6)、(7)式中：表示第i旋转轴的任意给定的命令角位置，/>表示第i旋转轴的指令角位置，p_i为第i旋转轴索引命令角位置序号，/>表示第i旋转轴相对于当前指令角的下一指令角位置。

进一步地，每个旋转轴的所述角度定位偏差由激光跟踪仪间接估计末端执行器的三维位置获得；

其中：测量杆件长度较短的轴时，将其轴线延长，增加旋转半径；

对相应旋转轴进行索引，以相应旋转轴为圆心、旋转半径构成的轨迹上获取多个命令角定位停止点；

在每个命令角定位停止点上，采用激光跟踪仪测量末端执行器的三维位置获得相应旋转轴的角度定位偏差。

进一步地，所述旋转轴径向误差运动采用表示；其中，/>表示第i旋转轴的旋转方向，/>表示第i旋转轴在指令角位置的角速度。

进一步地，所述旋转轴径向误差运动由线性插值计算得出：

式(9)中：p_i为第i旋转轴索引命令角位置序号，需满足式(6)要求，δ_i(k)由(7)式给出。

与现有技术相比，本发明具有如下有益效果：

本发明提供的考虑旋转关节定位误差的串联机器人运动学建模方法，考虑了机器人运动学的静态建模，用于指令轨迹的前馈修正，该模型除了使用DH参数外，还考虑了每个旋转轴角定位误差，有助于更准确地预测串联机器人的定位精度。在提高建模效率和计算的同时，也可减少因旋转轴的角度定位误差通常由角度传感器偏心误差、减速器性能等因素引起的影响。

附图说明

图1为本发明实施例提供的考虑旋转关节定位误差的串联机器人运动学标定方法的流程图；

图2为本发明实施例提供的基于串联式机器人运动学建模方法的DH建模示意图；

图3为本发明实施例提供的基于串联式机器人运动学建模方法的第六轴角度偏差测量示意图；

图4为本发明实施例提供的基于串联式机器人运动学建模方法的第一轴角度偏差测量示意图。

具体实施方式

为使本发明实现的技术手段、创作特征、达成目的与功效易于明白了解，下面结合具体实施方式，进一步阐述本发明。

在本发明的描述中，需要说明的是，术语“上”、“下”、“内”、“外”“前端”、“后端”、“两端”、“一端”、“另一端”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。此外，术语“第一”、“第二”仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示相对重要性。

在本发明的描述中，需要说明的是，除非另有明确的规定和限定，术语“安装”、“设置有”、“连接”等，应做广义理解，例如“连接”，可以是固定连接，也可以是可拆卸连接，或一体地连接；可以是机械连接，也可以是电连接；可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连，可以是两个元件内部的连通。对于本领域的普通技术人员而言，可以具体情况理解上述术语在本发明中的具体含义。

为实现本发明的发明目的，本发明考虑了机器人运动学的静态建模，用于指令轨迹的前馈修正。该模型除了使用DH参数外，还考虑了每个旋转轴角定位误差。与机床的角度定位误差测量比较，机床中旋转工作台的角定位误差运动一般通过使用带参考多面反射棱镜的自准直仪或参考分度台来测量，而对于机器人来说，这样的测量却很困难，因为参考多面反射棱镜或参考分度台必须放置在旋转轴上，需要使用一个特殊的夹具。所以本发明提出应用激光跟踪仪间接估计末端执行器位置测量的角度定位误差。

参照图1所示，本发明提供的一种考虑旋转关节定位误差的串联机器人运动学建模方法，包括：

S10、根据串联机器人的初始姿态，采用DH建模理论建立串联机器人的测量模型；在所述初始姿态下所述串联机器人的各个旋转关节转过角度的名义值为零；

S20、将所述串联机器人末端执行器球心坐标向量代入所述测量模型；所述测量模型包括：各个关节变量值，杆件长度值，杆件扭角值及杆件偏置量值；

S30、将所述圆光栅角度传感器所述采集的角度误差的修正值及机器人杆件长度误差值代入所述测量模型，进行误差补偿；

S40、在误差补偿后的测量模型中，将角度定位偏差建模为命令角度位置的函数，代替所述角度误差的修正值，获得第一运动学模型；所述角度定位偏差为：由旋转轴的指令角位置和旋转轴的旋转方向引起的偏差。

旋转轴的角度定位误差通常由角度传感器偏心误差、减速器性能等因素引起。为了减少其影响，在所提出的模型中将角度定位误差建模为命令角度位置的函数。此外，由于机器人的旋转轴定位精度经常受到角度传感器偏心误差的显著影响，因此本发明为不同的旋转方向指定了不同的角度定位偏差，有助于提高串联机器人定位精度。

为了进一步提高其定位精度，参照图1，该方法还包括：

S50、在第一运动学模型中，将旋转轴径向误差运动建模为命令角度位置的函数，补偿所述机器人杆件长度误差值，获得第二运动学模型；所述旋转轴径向误差运动为：由轴承带的圆度误差、轴承球和配合旋转间隙的运动引起的误差。

同样的对于旋转轴径向误差运动的主要原因通常是轴承带的圆度误差，轴承球和配合旋转间隙的运动会导致径向误差运动。当扰动取决于角位置时，如重力的影响随旋转角的位置变化时，它会导致随旋转角位置变化的径向误差运动，与角定位误差运动类似，径向误差运动通常也是角位置的函数，所以将径向误差也建模为命令角位置的函数。相对于传统DH模型而言，本发明构建的运动学模型对其旋转角度双向误差进一步修正，以提高机器人的定位精度，而不增加硬件成本。

下面结合附图，以6自由度串联机器人为例对上述步骤进行详细说明：

在建立其测量模型时，需要给出其初始位置如图2所示。在此状态下，串联机器人的各个旋转关节转过角度的名义值为零。本发明选取串联机器人处于竖直的姿态为初始姿态，采用DH建模理论建立串联机器人的测量模型为：

其中：

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式中：θ_i表示关节变量，即指相邻杆件之间相对位置的变化量。d_i表示杆件i的偏置量，即指杆长l_i-1及l_i在关节i轴线上截取的距离。l_i表示杆件长度，即相邻旋转关节轴线之间的最短距离。α_i表示杆件扭角，即将同一杆件的任一轴线向另一轴线移动，使之相交，则此二直线决定一个与杆件长度l_i垂直的平面，此二直线的平面夹角就是该杆件的扭角α_i。A_i表示杆件i-1的坐标系{i-1}向杆件i的坐标系{i}转换的矩阵。Rot(z_i-1，θ_i)表示绕杆件i-1的坐标系z轴旋转θ_i角度。Trans(0，0，d_i)表示沿杆件i的坐标系z轴平移d_i距离。Trans(l_i，0，0)表示沿杆件i的坐标系x轴平移l_i距离。Rot(x_i，α_i)表示绕杆件i的坐标系x轴旋转α_i角度。

假设末端执行器球心坐标向量P＝[x_p,y_p,z_p]^T表示探测球心在串联机器人世界坐标系内的位置。将齐次转换矩阵A_i代入公式(1)中，串联机器人的测量模型表示为：

其中，x_p,y_p,z_p表示末端执行器球心坐标向量。

由于在串联式机器人装配导致圆光栅角度传感器的物理零位和其建模初始姿态时角度零位不一致，被称为零位偏差，则需要将该值修正至零，该修正值Δθ_i可称之为初始零位或相位角，机器人第i轴杆件长度误差为Δl_i。

则公式(3)可以改写成：

式中，Δθ_i表示初始零位或相位角，Δl_i表示机器人第i轴杆件长度误差。

旋转轴的角度定位误差通常由角度传感器偏心误差、减速器性能等因素引起。为了减少其影响，在所提出的模型中，角度定位偏差建模为命令角度位置的函数。此外，由于机器人的旋转轴定位精度经常受到控制定位角度的显著影响，因此应为不同的旋转方向指定不同的角度定位偏差。

角度定位偏差用表示，/>表示第i旋转轴的指令角位置，p_i为第i旋转轴索引命令角位置序号，/>表示第i旋转轴在指令角位置的旋转方向，/>表示第i旋转轴在指令角位置的角速度。其中，当/>(或＜0)时，/>被赋值为+1(或-1)。当第i轴角位置由/>任意给定时，建立的运动学模型由式(4)给出。其中:θ_i由Θ_i(k)替代，Θ_i(k)是第i轴的估计角位置，通过线性插值计算得出：

其中p_i必须满足：

δ_i(k)为插值权重，由等式(7)给出:

(6)、(7)式中：表示第i旋转轴的任意给定的命令角位置，/>表示第i旋转轴的指令角位置，/>表示第i旋转轴相对于当前指令角的下一指令角位置。

如图3和4所示,对串联机器人1的每个轴旋转定位偏差进行测量。其中第一、二和三轴长度较长可以直接测量，第四、五、六轴的长度比较短，为了提高测量第四、五、六轴旋转的角定位精度，在测量转轴角定位误差时将串联机器人第四、五、六轴分别进行了转接延长。以第六轴为例，在测量转轴角定位误差时，轴转接延长后如图3所示。通过添加转接杆5，第六轴的轴线得到延长，使得在测量该轴的旋转角定位误差中，增加了旋转的半径，从而提高了角度定位误差的测量精度。保持其它轴的最佳位置，对串联机器人第六轴进行索引，沿着线条3轨迹双向运动，线条3上的实心黑点4为命令角定位停止点，保证命令角6的定位是双向的，而且旋转范围应覆盖串联机器人第六轴旋转的所有空间。在每个停止点4，使用激光跟踪仪2测量末端执行器的三维位置。串联机器人第四和五轴的旋转角定位误差测量与第6轴类似，不再赘述。

考虑到轴的自身重量对测量结果的影响，本发明选择了碳纤维管作为转接旋转轴的材料。碳纤维管与其它材质的管材一样，密度主要受构成物质的影响，一般的碳纤维管密度为1.7g/cm³左右，而钢管的密度为7.8g/cm³，相同强度的碳纤维管和钢管的质量比为1:43。所以，在强度相同的前提下，碳纤维管的密度、质量要远远小于钢管。除了质量轻，强度高的突出优势外，碳纤维与金属材料最大的不同在于碳纤维属于一种非金属材料，电化学活性比较低，具有很强的耐腐蚀和抗老化性，这也能够延长碳纤维管的使用寿命。碳纤维材料热膨胀系数小，基本上不会随工作温度的变化发生变形，保证尺寸测量的稳定性。

图4显示了同样的测试设置，保持其他轴的最佳位置，对串联机器人1的第一轴进行索引，沿着线条8轨迹双向运动，线条8上的实心黑点7为命令角定位停止点，保证命令角9的定位是双向的，而且旋转范围应覆盖串联机器人第一轴旋转的所有空间。在每个停止点7，使用激光跟踪仪2测量末端执行器的三维位置。第二和三轴的旋转角定位误差测量与第一轴类似，不再赘述。

同样的对于旋转轴径向误差运动的主要原因通常是轴承带的圆度误差，轴承球和配合旋转间隙的运动会导致径向误差运动。当扰动取决于角位置时，如重力的影响随旋转角的位置变化时，它会导致随旋转角位置变化的径向误差运动，与角定位误差运动类似，径向误差运动通常也是角位置的函数，所以将径向误差也建模为命令角位置的函数。

这种径向误差运动的影响也可以纳入所提出的模型中，用表示，与角定位误差运动类似，径向误差运动被建模为命令角位置及旋转方向的函数。利用这种径向误差运动，将串联式机器人的运动学模型由(4)式表示，Δl_i由/> 替代。

可由线性插值得到:

式(9)中：p_i为第i旋转轴索引命令角位置序号，需满足式(6)要求，δ_i(k)由(7)式给出。

本发明提供的考虑旋转关节定位误差的串联机器人运动学建模方法，考虑了机器人运动学的静态建模，用于指令轨迹的前馈修正，该模型除了使用DH参数外，还考虑了每个旋转轴角定位误差及旋转轴径向误差运动，有助于更准确地预测串联机器人的定位精度。在提高建模效率和计算的同时，也可减少因旋转轴的角度定位误差通常由角度传感器偏心误差、减速器性能等因素引起的影响。

本领域内的技术人员应明白，本发明的实施例可提供为方法、***、或计算机程序产品。因此，本发明可采用完全硬件实施例、完全软件实施例、或结合软件和硬件方面的实施例的形式。而且，本发明可采用在一个或多个其中包含有计算机可用程序代码的计算机可用存储介质(包括但不限于磁盘存储器和光学存储器等)上实施的计算机程序产品的形式。

本发明是参照根据本发明实施例的方法、设备(***)、和计算机程序产品的流程图和/或方框图来描述的。应理解可由计算机程序指令实现流程图和/或方框图中的每一流程和/或方框、以及流程图和/或方框图中的流程和/或方框的结合。可提供这些计算机程序指令到通用计算机、专用计算机、嵌入式处理机或其他可编程数据处理设备的处理器以产生一个机器，使得通过计算机或其他可编程数据处理设备的处理器执行的指令产生用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的装置。这些计算机程序指令也可存储在能引导计算机或其他可编程数据处理设备以特定方式工作的计算机可读存储器中，使得存储在该计算机可读存储器中的指令产生包括指令装置的制造品，该指令装置实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能。

这些计算机程序指令也可装载到计算机或其他可编程数据处理设备上，使得在计算机或其他可编程设备上执行一系列操作步骤以产生计算机实现的处理，从而在计算机或其他可编程设备上执行的指令提供用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的步骤。

显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样，倘若本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。

Claims (10)

1.一种考虑旋转关节定位误差的串联机器人运动学建模方法，其特征在于，该方法包括：

根据串联机器人的初始姿态，采用DH建模理论建立串联机器人的测量模型；在所述初始姿态下所述串联机器人的各个旋转关节转过角度的名义值为零；

将所述串联机器人末端执行器球心坐标向量代入所述测量模型；所述测量模型包括：各个关节变量值，杆件长度值，杆件扭角值及杆件偏置量值；

将所述圆光栅角度传感器所述采集的角度误差的修正值及机器人杆件长度误差值代入所述测量模型，进行误差补偿；

在误差补偿后的测量模型中，将角度定位偏差建模为命令角度位置的函数，代替所述角度误差的修正值，获得第一运动学模型；所述角度定位偏差为：由旋转轴的指令角位置和旋转轴的旋转方向引起的偏差。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，在所述第一运动学模型中，将旋转轴径向误差运动建模为命令角度位置的函数，补偿所机器人杆件长度的误差值，获得第二运动学模型；所述旋转轴径向误差运动为：由轴承带的圆度误差、轴承球和配合旋转间隙的运动引起的误差。

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，采用DH建模理论建立串联机器人的测量模型为：

其中：

式中：θ_i表示关节变量，即指相邻杆件之间相对位置的变化量；d_i表示杆件i的偏置量，即指杆长l_i-1及l_i在关节i轴线上截取的距离；l_i表示杆件长度，即相邻旋转关节轴线之间的最短距离；α_i表示杆件扭角，即将同一杆件的任一轴线向另一轴线移动，使之相交，则此二直线决定一个与杆件长度l_i垂直的平面，此二直线的平面夹角就是该杆件的扭角α_i；A_i表示杆件i-1的坐标系{i-1}向杆件i的坐标系{i}转换的矩阵；Rot(z_i-1，θ_i)表示绕杆件i-1的坐标系z轴旋转θ_i角度；Trans(0，0，d_i)表示沿杆件i的坐标系z轴平移d_i距离；Trans(l_i，0，0)表示沿杆件i的坐标系x轴平移l_i距离；Rot(x_i，α_i)表示绕杆件i的坐标系x轴旋转α_i角度。

4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，将所述串联机器人末端执行器球心坐标向量代入所述测量模型，包括：

假设末端执行器球心坐标向量P＝[x_p,y_p,z_p]^T，表示探测球心在串联机器人世界坐标系内的位置；

将齐次转换矩阵A_i代入公式(1)中，串联机器人的测量模型表示为：

其中，x_p,y_p,z_p表示末端执行器球心坐标向量。

5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，将所述圆光栅角度传感器所述采集的角度误差的修正值及机器人杆件长度的误差值代入公式(3)，进行误差补偿：

式中，Δθ_i表示初始零位或相位角，Δl_i表示机器人第i杆件长度误差值。

6.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，所述角度定位偏差采用表示；/>表示第i旋转轴的指令角位置，p_i为第i旋转轴索引命令角位置序号，表示第i旋转轴在指令角位置的旋转方向，/>表示第i旋转轴在指令角位置的角速度；

当时，/>被赋值为1；当/>时，/>被赋值为-1。

7.根据权利要求6所述的方法，其特征在于，所述第一运动学模型中θ_i由Θ_i(k)替代；Θ_i(k)表示第i旋转轴的估计角位置，当第i旋转轴的命令角任意给定为时，估计角位置通过线性插值计算得出：

其中，p_i需满足：

δ_i(k)为插值权重，由等式(7)给出:

(6)、(7)式中：表示第i旋转轴的任意给定的命令角位置，/>表示第i旋转轴的指令角位置，p_i为第i旋转轴索引命令角位置序号，/>表示第i旋转轴相对于当前指令角的下一指令角位置。

8.根据权利要求7所述的方法，其特征在于，每个旋转轴的所述角度定位偏差由激光跟踪仪间接估计末端执行器的三维位置获得；

其中：测量杆件长度较短的轴时，将其轴线延长，增加旋转半径；

对相应旋转轴进行索引，以相应旋转轴为圆心、旋转半径构成的轨迹上获取多个命令角定位停止点；

在每个命令角定位停止点上，采用激光跟踪仪测量末端执行器的三维位置获得相应旋转轴的角度定位偏差。

9.根据权利要求7所述的方法，其特征在于，所述旋转轴径向误差运动采用表示；/>表示第i旋转轴的旋转方向，/>表示第i旋转轴在指令角位置的角速度。

10.根据权利要求9所述的方法，其特征在于，所述旋转轴径向误差运动由线性插值计算得出：

式中：p_i为第i旋转轴索引命令角位置序号,需满足式(6)要求，δ_i(k)由(7)式给出。