CN114519297A - 基于嵌套nsga-ii的多目标双层交互式优化方法 - Google Patents

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CN114519297A CN202111674697.7A CN202111674697A CN114519297A CN 114519297 A CN114519297 A CN 114519297A CN 202111674697 A CN202111674697 A CN 202111674697A CN 114519297 A CN114519297 A CN 114519297A
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Abstract

本发明公开了一种基于嵌套NSGA‑II的多目标双层交互式优化方法，步骤包括：S1、多目标双层交互式优化模型构建；S2、上层主导者NSGA‑II的实现；S3、下层跟随者NSGA‑II的实现；S4、上下层NSGA‑II交互式迭代。本发明考虑一个多目标主导者和多个多目标跟随者的双层交互式优化问题，可以同时实现分层多目标和上下层多目标的协同和Pareto改善，具有重要的实际应用背景与价值；设计了嵌套NSGA‑II对多目标双层交互式优化问题进行求解，主要技术特点包括隔板法、单点放缩法等处理复杂的等式或不等式约束，多染色体并行下传，下层Pareto前沿解最优组合搜索与上传，上下层NSGA‑II交互迭代式优化，算法流程设计合理，可极大的提高算法搜索效率。

Description

基于嵌套NSGA-II的多目标双层交互式优化方法
技术领域
本发明涉及多目标优化和双层规划领域，更具体地说，本发明具体指一种基于嵌套NSGA-II的多目标双层交互式优化方法。
背景技术
双层规划是一种具有二层递阶结构的***优化问题，其上层决策和下层决策都有各自的目标函数和约束条件，下层决策以上层决策为参量进行优化，上层根据下层反馈的信息进行全局优化。
这种具有递阶结构的决策过程与经典的Stackelberg博弈类似。其中，上层决策可视为主导者，可优先进行决策；下层决策可视为追随者，以主导者决策为基础进行决策。参考Stackelberg博弈模型，双层规划问题的求解转化为双层交互式问题，可采用交互迭代优化过程进行求解。
现实中很多复杂的工程问题都可以抽象为双层交互式优化问题，如平台经济下的双边网络协同、平台制造资源服务供需匹配、制造技术标准市场化扩散等。在这些情景中，存在一个主导者和多个跟随者，不同的决策实体隶属于不同的决策层级，且决策目标往往是相悖的，需要进行协调。相比于一主一从Stackelberg博弈问题，一主多从问题需要同时协同多个跟随者的决策，且交互式决策的过程与复杂度更高，但更具现实意义。
此外，由于工程活动的复杂性，决策主体在进行决策时往往需要同时协调多个目标。例如，在平台化制造领域，平台需要在最大化自身收益的同时最大化制造服务资源供需匹配成功率，每个制造服务资源需要在最大化净收益的同时最大化制造任务服务数量；在制造技术标准跨国扩散领域，跨国企业需要在实现自身收益最大化的同时实现制造技术标准市场占有率最大化。
多目标双层交互式优化问题不仅需要协调上下层决策目标，还需要协调同一层级的多个决策目标，决策过程复杂，约束多，需要一种搜索优化方法来求解这一问题，实现同一层多目标、不同层多目标的Pareto均衡。
多目标优化问题各个子目标之间往往存在着不同的复杂约束，优化一个目标会使另一个子目标的代价上升。NSGA-II针对这类优化问题有良好的求解性能，其可以通过精英机制、种群机制、交叉变异机制等，求得一个Pareto最优解集。然而，针对双层交互式优化动态迭代过程中，下层Pareto前沿解反馈存在的组合***问题，现有NSGA-II搜索能力还明显不足。鉴于此，本发明设计一种嵌套NSGA-II以获得高效的求解性能。
通过对现有技术的文献检索，发现多目标双层规划问题研究较多。CN112216130A将F-W算法内嵌入遗传算法中以求解车路协同环境下的应急车辆诱导模型。其中，上层为应急车道布设位置和应急车辆最优路径的优化，优化目标包括应急车辆行程时间最短，社会车辆、公交车运行效率最高；下层为用户交通均衡配流，目标为车辆间相互影响最小。CN110502814A采用改进的多目标混合粒子群算法对考虑储能和负荷管理技术的主动配电网多目标双层规划模型。其中，上层规划模型以总体经济成本最小、供电可靠性最高为规划目标；下层规划模型以运行成本最小为目标。已有的这些技术方法主要针对的是上层为多目标、下层为单目标的双层交互式优化模型，不能解决用以解决上下层同为多目标优化的双层交互式优化问题，尤其是下层存在多个并行的多目标子优化问题。
发明内容
本发明根据现有技术的不足，提出一种一种基于嵌套NSGA-II的多目标双层交互式优化方法，实现多主体、多目标协同优化。
为了解决上述技术问题，本发明的技术方案为：
一种基于嵌套NSGA-II的多目标双层交互式优化方法，步骤包括：
S1、多目标双层交互式优化模型构建；
S2、上层主导者NSGA-II的实现
S2-1、染色体编码和种群初始化，采用二进制编码，根据变量取值空间确定二进制编码长度；对于约束简单的决策变量，采用传统随机生成法产生符合约束条件的变量值；对于累加型的等式或不等式约束，采用隔板法来随机生成决策变量值；
S2-2、解码与适应度函数值计算，对二进制编码进行实数解码，以确定变量取值，并将对应的变量值传递至下层规划问题；
S2-3、非支配排序和拥挤度计算，对每个染色体进行非支配性排序形成非支配前沿，然后，对非支配前沿进行拥挤距离计算；
S2-4、交叉、变异操作，采取多点交叉和多点逆序变异的方式进行交叉、变异操作；
S2-5、变量取值修复，通过回归边界值和多点缩放两种方法进行变量取值修复；
S2-6、终止条件判断与Pareto前沿输出，判断迭代次数是否超过预设的最大迭代次数，若不超过，继续迭代；否则，终止算法，并输出对应的最优Pareto前沿；
S3、下层跟随者NSGA-II的实现；
S4、上下层NSGA-II交互式迭代。
作为优选，所述步骤S1中，多目标双层交互式优化模型的构建方法：
设x为上层决策变量集，y为下层决策变量集，M为跟随着数量，则通用的数学模型可表示为：
Figure BDA0003450675020000031
s.t.G(x,y)≤0 (2)
变量y取决于下层问题：
Figure BDA0003450675020000041
s.t.gj(y)≤0 (4)
其中，i,i'∈I为上层主导者的决策目标，j∈M为下层跟随者索引，G(x,y)为上层主导者的约束条件，gj(y)≤0为第j个跟随者的约束条件。
作为优选，所述步骤S2-3中所述拥挤距离的计算方法如下：
设θ为染色体种群集，k∈θ为染色体索引，则拥挤度计算公式如下：
Figure BDA0003450675020000042
其中，k'是根据目标函数值Fi k排序后染色体k的下标，Fi k表示染色体k的第i个目标函数值，λk是NSGA-II染色体k的拥挤度，Fi k'-1和Fi k'+1表示以第i个目标函数值排序后，染色体k前后个体的目标函数值。
作为优选，所述步骤S3中，下层跟随者NSGA-II的实现方法：
S3-1、下层规划模型初始化，根据接收到的上层决策变量集x的取值，确定下层跟随者的决策模型；
S3-2、染色体编码和种群初始化，采用二进制编码，根据下层决策变量确定二进制编码的长度，同上层NSGA-II，随机生成满足约束的初始种群；
S3-3、解码和适应度函数值计算，对二进制染色体进行实数解码，以确定变量取值；根据目标函数fi'j(y)，确定下层染色体对应的适应度函数值；
S3-4、染色体选择、交叉、变异、变量取值修复，根据下层染色体适应度函数值，对染色体进行非支配排序和拥挤度计算，选择遗传的个体，其中拥挤度计算参加公式(5)，并按照上层NSGA-II的方式进行交叉、变异、变量取值修复操作；
S3-5、终止条件判断与Pareto前沿输出，判断迭代次数是否超过预设的最大迭代次数，若不超过，继续迭代；否则，终止算法，并输出每个子跟随者对应的最优Pareto前沿。
作为优选，所述步骤S4包括：
S4-1、上层可行解的下传；
S4-2、下层可行解组合的上传。
作为优选，所述步骤S4-1中，上层可行解的下传方法为，通过并行搜索算法的原理，同时将多个上层染色体下传给下层NSGA-II，下层NSGA-II同时搜索每个上层染色体对应的下层Pareto前沿解。
作为优选，所述步骤S4-2中，下层可行解组合的上传的方法为，在下层问题输出Pareto前沿后再嵌入一个NSGA-II，以搜索最优的Pareto前沿解组合；该NSGA-II将采用实数编码的方式进行染色体设计，如染色体{5,4,3,3,4,1,3,4,6,4}；其中元素5表示第一个跟随者的第5个Pareto前沿解，第二个元素4表示第五个跟随者的第4个Pareto前沿解，以此类推；染色体对应的适应度函数值由目标函数Fi(x,y)确定；交叉和变异的方式为多点交叉和单点变异。
作为优选，所述步骤S4-1中，下层NSGA-II的启动，需要以上层NSGA-II的染色体信息为基础。
作为优选，所述步骤S4-2中，上层染色体的适应度函数值计算依赖于下层子问题的可行解。
本发明具有以下的特点和有益效果：
采用上述技术方案
(1)本发明考虑一个多目标主导者和多个多目标跟随者的双层交互式优化问题，可以同时实现分层多目标和上下层多目标的协同和Pareto改善，具有重要的实际应用背景与价值；
(2)本发明设计了嵌套NSGA-II对多目标双层交互式优化问题进行求解，主要技术特点包括隔板法、单点放缩法等处理复杂的等式或不等式约束，多染色体并行下传，下层Pareto前沿解最优组合搜索与上传，上下层NSGA-II交互迭代式优化，算法流程设计合理，可极大的提高算法搜索效率。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1为本发明实施例的方法流程图。
图2为实施例中双层交互式优化架构图。
图3为实施例中上层NSGA-II染色体编码示意图。
图4为实施例中上层主导者Pareto前沿。
具体实施方式
需要说明的是，在不冲突的情况下，本发明中的实施例及实施例中的特征可以相互组合。
在本发明的描述中，需要理解的是，术语“中心”、“纵向”、“横向”、“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”、“竖直”、“水平”、“顶”、“底”、“内”、“外”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。此外，术语“第一”、“第二”等仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示相对重要性或者隐含指明所指示的技术特征的数量。由此，限定有“第一”、“第二”等的特征可以明示或者隐含地包括一个或者更多个该特征。在本发明的描述中，除非另有说明，“多个”的含义是两个或两个以上。
在本发明的描述中，需要说明的是，除非另有明确的规定和限定，术语“安装”、“相连”、“连接”应做广义理解，例如，可以是固定连接，也可以是可拆卸连接，或一体地连接；可以是机械连接，也可以是电连接；可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连，可以是两个元件内部的连通。对于本领域的普通技术人员而言，可以通过具体情况理解上述术语在本发明中的具体含义。
实施例1
本实施例提供了一种基于嵌套NSGA-II的多目标双层交互式优化方法，如图1所示，步骤包括：
S1、多目标双层交互式优化模型构建
设x为上层决策变量集，y为下层决策变量集，M为跟随着数量，则通用的数学模型可表示为：
Figure BDA0003450675020000071
s.t.G(x,y)≤0 (2)
变量y取决于下层问题：
Figure BDA0003450675020000072
s.t.gj(y)≤0 (4)
其中，i,i'∈I为上层主导者的决策目标，j∈M为下层跟随者索引，G(x,y)为上层主导者的约束条件，gj(y)≤0为第j个跟随者的约束条件；
S2、上层主导者NSGA-II的实现
S2-1、染色体编码和种群初始化，采用二进制编码，根据变量取值空间确定二进制编码长度；对于约束简单的决策变量，采用传统随机生成法产生符合约束条件的变量值；对于累加型的等式或不等式约束，采用隔板法来随机生成决策变量值。
可以理解的，隔板法是一种处理非连续排列组合问题的经典方法。令隔板数量为决策变量在累加维度上的域值，令空缺位置数量为等式或不等式另一边约束的域值，则决策变量值的随机生成过程类似于将所有隔板随机***空缺位置的过程。
S2-2、解码与适应度函数值计算，对二进制编码进行实数解码，以确定变量取值，并将对应的变量值传递至下层规划问题；
可以理解的，上层主导者染色体适应度函数值的计算依赖于下层决策变量集y，而y的最优值取决于上层主导者下传给下层跟随者的决策变量集x的值。
S2-3、非支配排序和拥挤度计算，对每个染色体进行非支配性排序形成非支配前沿，然后，对非支配前沿进行拥挤距离计算；
可以理解的，非支配排序和拥挤距离计算是个体选择的重要过程。因此，在每次迭代过程中，首先，对每个染色体进行非支配性排序形成非支配前沿；然后，对非支配前沿进行拥挤距离计算，以在保证种群的多样性同时，确保种群向更好的方向进化。拥挤度是指在同一非支配前沿上，某一个染色体周围的其他染色体的密度。当某一层非支配前沿中的染色体不受任何其他染色体支配，则称这一层非支配前沿为Pareto前沿。
具体的，作为优选，所述拥挤距离的计算方法如下：
设θ为染色体种群集，k∈θ为染色体索引，则拥挤度计算公式如下：
Figure BDA0003450675020000081
其中，k'是根据目标函数值Fi k排序后染色体k的下标，Fi k表示染色体k的第i个目标函数值，λk是NSGA-II染色体k的拥挤度，Fi k'-1和Fi k'+1表示以第i个目标函数值排序后，染色体k前后个体的目标函数值。
S2-4、交叉、变异操作，采取多点交叉和多点逆序变异的方式进行交叉、变异操作。
S2-5、变量取值修复，通过回归边界值和多点缩放两种方法进行变量取值修复；
可以理解的，执行完交叉和变异操作后，变量取值有可能会违背约束；为此，本发明设计回归边界值和多点缩放两种方法进行变量取值修复；其中，针对约束简单的变量采取回归边界值的方法进行修复；即若决策变量超过约束范围，令其为符合约束的最大值；若小于约束范围，令其为符合约束的最小值。针对约束较为复杂的变量，则采用多点缩放的方法进行修复；即随机等比例增加或减少决策变量在累加维度上的几个值，以达到满足约束的目的。
S2-6、终止条件判断与Pareto前沿输出，判断迭代次数是否超过预设的最大迭代次数，若不超过，继续迭代；否则，终止算法，并输出对应的最优Pareto前沿；
S3、下层跟随者NSGA-II的实现；
具体的，下层跟随者NSGA-II的实现方法：
S3-1、下层规划模型初始化，根据接收到的上层决策变量集x的取值，确定下层跟随者的决策模型；
S3-2、染色体编码和种群初始化，采用二进制编码，根据下层决策变量确定二进制编码的长度，同上层NSGA-II，随机生成满足约束的初始种群；
S3-3、解码和适应度函数值计算，对二进制染色体进行实数解码，以确定变量取值；根据目标函数fi'j(y)，确定下层染色体对应的适应度函数值；
S3-4、染色体选择、交叉、变异、变量取值修复，根据下层染色体适应度函数值，对染色体进行非支配排序和拥挤度计算，选择遗传的个体，其中拥挤度计算参加公式(5)，并按照上层NSGA-II的方式进行交叉、变异、变量取值修复操作；
S3-5、终止条件判断与Pareto前沿输出，判断迭代次数是否超过预设的最大迭代次数，若不超过，继续迭代；否则，终止算法，并输出每个子跟随者对应的最优Pareto前沿。
S4、上下层NSGA-II交互式迭代
S4-1、上层可行解的下传；
S4-2、下层可行解组合的上传。
具体的，所述步骤S4-1中，上层可行解的下传方法为，通过并行搜索算法的原理，同时将多个上层染色体下传给下层NSGA-II，下层NSGA-II同时搜索每个上层染色体对应的下层Pareto前沿解。
可以理解的，下层NSGA-II的启动，需要以上层NSGA-II的染色体信息为基础。
上述技术方案中，通过并行搜索算法的原理，无需将上层染色体逐个下传，进而有效缩短了算法搜索时间、提高了搜索效率。
具体的，所述步骤S4-2中，下层可行解组合的上传的方法为，在下层问题输出Pareto前沿后再嵌入一个NSGA-II，以搜索最优的Pareto前沿解组合；该NSGA-II将采用实数编码的方式进行染色体设计，如染色体{5,4,3,3,4,1,3,4,6,4}；其中元素5表示第一个跟随者的第5个Pareto前沿解，第二个元素4表示第五个跟随者的第4个Pareto前沿解，以此类推；染色体对应的适应度函数值由目标函数Fi(x,y)确定；交叉和变异的方式为多点交叉和单点变异。
进一步的，所述步骤S4-2中，上层染色体的适应度函数值计算依赖于下层子问题的可行解。
可想到的，在一主多从双层交互式优化问题中，存在多个下层跟随者，且每一个跟随者决策模型都对应一个独立的NSGA-II，输出的结果是一个Pareto前沿；如果下层所有跟随者都将Pareto前沿回传至上层，那么对应的上层染色体目标函数计算时将存在组合***的问题。例如，若下层存在10个跟随者且每个跟随者Pareto前沿对应10个可行解，则每个上层染色体的适应度函数值需要计算1010；这种遍历式的计算非常费时。
通过上述技术方案，考虑一个多目标主导者和多个多目标跟随者的双层交互式优化问题，可以同时实现分层多目标和上下层多目标的协同和Pareto改善，具有重要的实际应用背景与价值；
设计了嵌套NSGA-II对多目标双层交互式优化问题进行求解，主要技术特点包括隔板法、单点放缩法等处理复杂的等式或不等式约束，多染色体并行下传，下层Pareto前沿解最优组合搜索与上传，上下层NSGA-II交互迭代式优化，算法流程设计合理，可极大的提高算法搜索效率。
实施例2
本实施例将实施例1应用至实际场景，如图2所示，制造技术标准的扩散对应新产品扩散和新技术扩散两个方面；其中，新产品扩散主要在消费者中间进行，而新技术扩散主要在制造网络之间进行。
跨国企业需要设计合理的合同以协调新产品扩散过程和新技术扩散过程。假设新产品扩散过程被离散为T(索引为t)个时间段，跨国企业在t＝0时刻开始在海外市场进行新产品生产和销售。一旦扩散过程开始，跨国企业需要决策新产品每个时间段的价格pt(t＝1,...,T)；价格pt会影响新产品扩散过程，即影响新产品的瞬时需求，表示为θ(pt)。新产品生产的零部件供应涉及N家本地供应商(索引为n)(本实施例只考虑一种零部件的采购)；根据θ(pt)，跨国企业需要设计最优的采购合同(包括采购数量qnt和采购价格qnt(n＝1,...,N))以最大化跨国企业净收益和本地供应商对新技术的采纳度。
对于每个本地供应商n，其与新技术标准存在的技术差距为Gn且对应的技术升级成本为φ(Gn)；在考虑技术升级成本和各种生产约束的条件下，本地供应商可以选择是否接收合同及其对应的t时期生产量rnt和供应量snt，以最大化供应商净收益和最小化生产波动性。
如果总供给∑nsnt小于θ(pt)，跨国企业必须从其本国采购[θ(pt)-∑nsnt]个零部件。
表1为制造技术标准跨国扩散问题对应的决策变量：
变量 定义
p<sub>t</sub>： t时期该新产品的市场价格；
x<sub>nt</sub>： t时期从n供应商处采购的部件数量；
p<sub>nt</sub>： t时期从n供应商处采购部件的价格；
q<sub>nt</sub>： t时期供应商n的生产批量数量；
s<sub>nt</sub>： t时期供应商n的部件供应量；
表2为制造技术标准跨国扩散问题涉及的建模参数
Figure BDA0003450675020000121
Figure BDA0003450675020000131
根据以上描述、决策变量和参数的定义，可将制造技术标准跨国扩散问题建模为以下多目标上层交互式优化模型：
Figure BDA0003450675020000132
Figure BDA0003450675020000133
Figure BDA0003450675020000134
Dt＝Dt-1+dt，1≤t≤T， (9)
Figure BDA0003450675020000135
min{cn}+C≤pt，1≤t≤T， (11)
Figure BDA0003450675020000141
Figure BDA0003450675020000142
Figure BDA0003450675020000143
Figure BDA0003450675020000144
Figure BDA0003450675020000145
Figure BDA0003450675020000146
Figure BDA0003450675020000147
s.t Int＝In(t-1)+qntbn-Snt，1≤t≤T， (19)
Snt≤In(t-1)+qntbn，1≤t≤T， (20)
snt≤xnt，1≤t≤T， (21)
Figure BDA0003450675020000148
qntbn≤Qnt，1≤t≤T， (23)
f1n≥0， (24)
Figure BDA0003450675020000151
0≤qnt and is integer，1≤t≤T， (26)
0≤snt and is integer，1≤t≤T， (27)
目标函数(6)为最大化跨国企业净收益；目标函数(7)为最大化采纳新技术标准的供应商数量；公式(8)(9)为新产品瞬时需求和累积需求的递推方程；公式(10)保证了核心零部件在本地市场的采购价格低于跨国企业从其本国的采购价格；公式(11)保证了新产品的市场销售价格必须高于制造成本；公式(12)保证了核心零部件的采购数量不能超过对应的新产品瞬时需求；公式(13)保证了零部件采购价格必须高于供应商的生产成本；公式(14)-(16)对主导者决策变量的类型和取值范围进行了限制；公式(17)为第n个跟随者第1个决策目标，为最大化本地供应商净收益；公式(18)为第n个跟随者第2个决策目标，为最小化本地供应商生产波动性；公式(19)为第n个跟随者产成品库存量递推方程；公式(20)保证了第t时段第n个跟随者的供给量必须小于库存量和生产量总和；公式(21)描述了第n个跟随者供应数量和采购数量之间的关系；公式(22)为第n个跟随者总生产量和总供应量的函数关系；公式(23)为第n个跟随者的生产能力约束；公式(24)为第n个跟随者的净收益不能为负值；公式(25)表示第n个跟随者开始生产该零部件的时间段；公式(26)(27)对第n个跟随者决策变量的类型和取值范围进行了限制。
通过实施例1所提供的技术方案求解上述多目标双层交互式优化模型，具体步骤包括：
1)染色体编码和初始化种群；设置上层NSGA-II运行参数，包括种群规模θ＝200、交叉概率pc＝0.4、变异概率pm＝0.0618、迭代次数Gmax＝200；根据随机法和隔板法初始化种群；其中，根据变量pt和pnt的取值范围，随机生成变量的值并进行二进制编码，采用隔板法随机生成变量xnt的值并进行二进制编码，如图3所示。
2)约束判断与变量取值修复；根据公式(6)-(27)，判断所有变量取值是否满足约束；若不满足，则采用回归边界值的方法修复越界的决策变量pt和pnt，采用多点缩放法修复越界的决策变量xnt。
3)上层染色体解码与变量值下传；根据计算机核数，合理选择同时下传的上层染色体数量及其对应的变量值。
4)下层NSGA-II染色体编码和初始化种群；在接收到上层决策变量后，每个下层跟随者启动对应的NSGA-II，包括种群规模θ'＝200、交叉概率p'c＝0.4、变异概率p'm＝0.0618、迭代次数gmax＝200；根据图3所示的二进制编码规则，结合变量snt和qnt的取值范围，进行下层NSGA-II种群的初始化；其中，根据第n个跟随者的生产能力Qnt，按时间段倒序生成qnt和snt；如qnt＞0，
Figure BDA0003450675020000165
则将qnt随机分配给t时刻之后的snt。
5)下层NSGA-II约束判断与变量越界修复；根据公式(19)-(24)判断变量值是否满足约束；若不满足，采用回归边界值的方法修复qnt和snt；
6)下层NSGA-II染色体适应度函数值计算；根据目标公式(17)和(18)计算不同染色体对应的适应度函数值。
7)终止条件判断与Pareto前沿输出；对于每个下层NSGA-II，判断当前迭代次数g是否超过预设值gmax；若未超过，则令g＝g+1，转第8)步；否则，终止迭代，并输出最优的Pareto前沿，跳转至第10)步。
8)非支配排序和拥挤度计算；以非支配数递增和拥挤度递减的顺序选择参与下次迭代的染色体种群θ'；其中，对于每个下层NSGA-II的染色体，拥挤度计算公式为：
Figure BDA0003450675020000161
其中k'，k”是根据目标函数值
Figure BDA0003450675020000162
分别排序后染色体k的下标。
Figure BDA0003450675020000163
表示下层染色体k的目标函数值，λk,n是下层第n个跟随者染色体i的拥挤度。
Figure BDA0003450675020000164
Figure BDA0003450675020000171
表示以目标函数值排序后，染色体i前后个体的目标函数值k参数
Figure BDA0003450675020000172
的含义同
Figure BDA0003450675020000173
9)下层NSGA-II染色体交叉、变异；采取多点交叉和多点逆序变异的方式进行交叉、变异操作；执行完交叉、变异操作后，返回第5)步。
10)多NSGA-II Pareto前沿解组合上传；根据每个下层NSGA-II输出的Pareto前沿，初始化NSGA-II，种群规模θ'＝200、交叉概率p'c＝0.4、变异概率p'm＝0.0618、迭代次数g'max＝100；染色体采用实数编码，染色体每个元素的值以NSGA-II Pareto前沿解的数量为上界随机生成；染色体的适应度函数为公式(6)和(7)；根据非支配排序结果进行染色体选择、交叉和变异；当达到最大迭代次数时，将最优的下层Pareto前沿解组合反馈至上层NSGA-II。
11)上层NSGA-II染色体适应度函数值计算；根据最优的下层Pareto前沿解组合，结合公式(6)和(7)，计算上层NSGA-II每个染色体的适应度函数值；
12)终止条件判断与Pareto前沿输出；对于上层NSGA-II，判断当前迭代次数G是否超过预设值Gmax；若未超过，则令G＝G+1，转第13)步；否则，终止迭代，并输出最优的Pareto前沿。
13)上层NSGA-II染色体非支配排序和拥挤度计算；以非支配数递增和拥挤度递减的顺序选择参与下次迭代的染色体种群θ；其中，上层染色体拥挤度计算公式为：
Figure BDA0003450675020000174
其中k'，k”是根据目标函数值F1 k，
Figure BDA0003450675020000175
分别排序后染色体k的下标；F1 k，
Figure BDA0003450675020000176
表示上层染色体k的目标函数值，λk,0是上层NSGA-II染色体i的拥挤度；F1 k'+1,F1 k'-1表示以目标函数值排序后，染色体k前后个体的目标函数值；参数
Figure BDA0003450675020000177
的含义同F1 k'+1,F1 k'-1。
14)上层NSGA-II染色体交叉与变异；采取多点交叉和多点逆序变异的方式进行交叉、变异操作；执行完交叉、变异操作后，返回第2)步。
图4为采用该嵌套NSGA-II求解出的上层主导者Pareto前沿。其中，图4(a)为c0＝3800、c”＝8000000的情景，且此时只有一个Pareto前沿解；图4(b)为c0＝3800、c”＝15000000的情景，且此时有7个Pareto前沿解。算法总是能够给出合理的Pareto前沿，且能有有效的协调跨国企业制造技术标准扩散净收益和选择采纳新技术标准的本土供应商数量，能够有效协调上层跨国企业的决策目标和下层本土供应商的决策目标，可以有效解决上下层均为多目标的双层交互式优化问题。
以上结合附图对本发明的实施方式作了详细说明，但本发明不限于所描述的实施方式。对于本领域的技术人员而言，在不脱离本发明原理和精神的情况下，对这些实施方式包括部件进行多种变化、修改、替换和变型，仍落入本发明的保护范围内。

Claims (9)

1.一种基于嵌套NSGA-II的多目标双层交互式优化方法，其特征在于，步骤包括：
S1、多目标双层交互式优化模型构建；
S2、上层主导者NSGA-II的实现
S2-1、染色体编码和种群初始化，采用二进制编码，根据变量取值空间确定二进制编码长度；对于约束简单的决策变量，采用传统随机生成法产生符合约束条件的变量值；对于累加型的等式或不等式约束，采用隔板法来随机生成决策变量值；
S2-2、解码与适应度函数值计算，对二进制编码进行实数解码，以确定变量取值，并将对应的变量值传递至下层规划问题；
S2-3、非支配排序和拥挤度计算，对每个染色体进行非支配性排序形成非支配前沿，然后，对非支配前沿进行拥挤距离计算；
S2-4、交叉、变异操作，采取多点交叉和多点逆序变异的方式进行交叉、变异操作；
S2-5、变量取值修复，通过回归边界值和多点缩放两种方法进行变量取值修复；
S2-6、终止条件判断与Pareto前沿输出，判断迭代次数是否超过预设的最大迭代次数，若不超过，继续迭代；否则，终止算法，并输出对应的最优Pareto前沿；
S3、下层跟随者NSGA-II的实现；
S4、上下层NSGA-II交互式迭代。
2.根据权利要求1所述的基于嵌套NSGA-II的多目标双层交互式优化方法，其特征在于，所述步骤S1中，多目标双层交互式优化模型的构建方法：
设x为上层决策变量集，y为下层决策变量集，M为跟随着数量，则通用的数学模型可表示为：
Figure FDA0003450675010000021
s.t.G(x,y)≤0 (2)
变量y取决于下层问题：
Figure FDA0003450675010000022
s.t.gj(y)≤0 (4)
其中，i,i'∈I为上层主导者的决策目标，j∈M为下层跟随者索引，G(x,y)为上层主导者的约束条件，gj(y)≤0为第j个跟随者的约束条件。
3.根据权利要求1所述的基于嵌套NSGA-II的多目标双层交互式优化方法，其特征在于，所述步骤S2-3中所述拥挤距离的计算方法如下：
设θ为染色体种群集，k∈θ为染色体索引，则拥挤度计算公式如下：
Figure FDA0003450675010000023
其中，k'是根据目标函数值Fi k排序后染色体k的下标，Fi k表示染色体k的第i个目标函数值，λk是NSGA-II染色体k的拥挤度，Fi k'-1和Fi k'+1表示以第i个目标函数值排序后，染色体k前后个体的目标函数值。
4.根据权利要求1所述的基于嵌套NSGA-II的多目标双层交互式优化方法，其特征在于，所述步骤S3中，下层跟随者NSGA-II的实现方法：
S3-1、下层规划模型初始化，根据接收到的上层决策变量集x的取值，确定下层跟随者的决策模型；
S3-2、染色体编码和种群初始化，采用二进制编码，根据下层决策变量确定二进制编码的长度，同上层NSGA-II，随机生成满足约束的初始种群；
S3-3、解码和适应度函数值计算，对二进制染色体进行实数解码，以确定变量取值；根据目标函数fi'j(y)，确定下层染色体对应的适应度函数值；
S3-4、染色体选择、交叉、变异、变量取值修复，根据下层染色体适应度函数值，对染色体进行非支配排序和拥挤度计算，选择遗传的个体，其中拥挤度计算参加公式(5)，并按照上层NSGA-II的方式进行交叉、变异、变量取值修复操作；
S3-5、终止条件判断与Pareto前沿输出，判断迭代次数是否超过预设的最大迭代次数，若不超过，继续迭代；否则，终止算法，并输出每个子跟随者对应的最优Pareto前沿。
5.根据权利要求1所述的基于嵌套NSGA-II的多目标双层交互式优化方法，其特征在于，所述步骤S4包括：
S4-1、上层可行解的下传；
S4-2、下层可行解组合的上传。
6.根据权利要求5所述的基于嵌套NSGA-II的多目标双层交互式优化方法，其特征在于，所述步骤S4-1中，上层可行解的下传方法为，通过并行搜索算法的原理，同时将多个上层染色体下传给下层NSGA-II，下层NSGA-II同时搜索每个上层染色体对应的下层Pareto前沿解。
7.根据权利要求5所述的基于嵌套NSGA-II的多目标双层交互式优化方法，其特征在于，所述步骤S4-2中，下层可行解组合的上传的方法为，在下层问题输出Pareto前沿后再嵌入一个NSGA-II，以搜索最优的Pareto前沿解组合；该NSGA-II将采用实数编码的方式进行染色体设计，如染色体{5,4,3,3,4,1,3,4,6,4}；其中元素5表示第一个跟随者的第5个Pareto前沿解，第二个元素4表示第五个跟随者的第4个Pareto前沿解，以此类推；染色体对应的适应度函数值由目标函数Fi(x,y)确定；交叉和变异的方式为多点交叉和单点变异。
8.根据权利要求6所述的基于嵌套NSGA-II的多目标双层交互式优化方法，其特征在于，所述步骤S4-1中，下层NSGA-II的启动，需要以上层NSGA-II的染色体信息为基础。
9.根据权利要求7所述的基于嵌套NSGA-II的多目标双层交互式优化方法，其特征在于，所述步骤S4-2中，上层染色体的适应度函数值计算依赖于下层子问题的可行解。
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