CN114460549A - 一种基于信号特征变换的雷达相参干扰对抗方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于信号特征变换的雷达相参干扰对抗方法，其将雷达的抗干扰问题转换为线性盲源分离模型，并在时频域上采用一种基于矩阵变换的方法对观测信息的特征表示进行变换，最后通过简单的筛选完成模型的求解，实现目标回波的分离与恢复。本发明有效剔除了强干扰信号，显著提高了接收信号的信干比，在性能和计算复杂度方面都具有明显优势。

Description

一种基于信号特征变换的雷达相参干扰对抗方法

技术领域

本发明涉及雷达***仿真技术领域，尤其是涉及一种基于信号特征变换的雷达相参干扰对抗方法。

背景技术

在现代电子战中，雷达的电磁干扰与对抗技术一直是研究热点与难点。有源干扰技术由早期简单的噪声压制类非相参干扰逐渐演变为相参干扰(距离、速度与角度拖引)，而随着数字储频技术(Digital radio frequency memory,DRFM)、高速信号采集与转换器等器件的快速发展与应用，新型相参干扰已经成为了主流的干扰手段，如噪声卷积干扰、切片干扰、以及间歇采样干扰等(文献“雷达新型有源干扰抑制技术研究”(王璐,电子科技大学,2019.))，极易与真实目标回波在时、频域上同时产生混叠。由于兼具压制与欺骗特性，新型干扰的工作方式高度灵活，干扰性能相较于常规干扰也有较大提升，极大降低了现代雷达***的工作性能，因此相应的对抗方法研究具有重要意义且极具挑战性。

雷达抗干扰技术的核心，在于提取干扰信号与目标回波之间的差异，然后基于单个或多个差异特征对干扰信号进行对消或剔除，从而降低脉压处理后干扰信号的幅度以突出目标回波，确保后续目标检测与参数估计的有效性。在对抗新型相参干扰方面，干扰信号与目标回波在时、频、空域上都具有较强的相关性，且两者在时、频域上同时混叠严重(转发式的相参干扰信号与回波信号在时域上的延迟远小于发射信号的脉宽)，特别是在低信干比(SJR)下，这都导致差异特征的提取工作十分困难。

从极化域来看，现有技术中公开有通过设计极化滤波器使雷达收发***的极化方式与干扰信号的极化方式互为正交，以实现干扰信号的抑制，但该类方法只适用于多极化或全极化雷达，且复杂度很高，计算量大。也有研究人员提出多种基于自适应波束形成的优化方法来对抗干扰，但该类方法对参数估计的精度要求很高，且主波束容易发生严重变形，极大影响了后续的目标检测与参数估计精度。还有研究人员提出通过提取干扰信号与回波信号在相位量化后的差异来抑制干扰，也有部分专业人员提出基于频率捷变与波形分集的方法，但这些方法对雷达内部资源的消耗程度较大，且干扰的抑制效果都不理想。

根据最近的研究来看，基于稀疏分量分析的方法已经成为雷达抗干扰的一种有效途径，主要分为两步：1、观测矩阵的估计；2、根据估计矩阵与观测信号对目标回波进行分离与恢复。现有的观测矩阵估计方法已经非常成熟，其估计性能和鲁棒性表现良好，但目标回波的分离与恢复问题一直属于研究难点。一些专家在时频域上采用基于正交匹配追踪的贪婪算法，通过选择局部最优解来逐次提取信号的主要分量，以形成稀疏表示来恢复目标回波的主要信号特征。也有专家则是提出基于凸优化的方法来对抗干扰，通过求解最小的l₁范数或近似l₀范数来实现信号观测模型的稀疏表示，但上述方法只在输入信号足够稀疏的情况下有效；而在实际的信号接收中，干扰信号、目标回波以及噪声会在时、频域上发生严重混叠，输入信号表现为低稀疏性，且信干比(SJR)与信噪比(SNR)都较低，此时现有方法的性能和稳定性大大降低。

发明内容

为解决上述问题，本发明的目的是提供一种基于信号特征变换的雷达相参干扰对抗方法，其针对时频混叠信号，基于稀疏分量分析理论，提出一种在双通道接收场景下有效的目标回波分离与恢复方法。

为实现上述发明目的，本发明采用如下技术方案：

一种基于信号特征变换的雷达相参干扰对抗方法，其包括以下步骤：

S1、首先，建立线性盲源分离模型，采用双通道模型，表示如下：

其中，f(t)表示观测信号；f₁(t)表示第一个通道内的观测信号；f₂(t)表示第二个通道内的观测信号；a_1n表示第一个通道内第n个源信号的幅度系数；a_2n表示第二个通道内第n个源信号的幅度系数；s_n(t)表示第n个源信号；A∈R^2×n为观测矩阵，R是实数，n是正整数，n表示源信号的个数；s(t)表示源信号，包含干扰信号和目标回波；v(t)表示加性噪声；T是信号f(t)的观测时长；

然后，将f(t)转换到时频域上进行处理，在短时傅里叶变换(STFT，short-timeFourier transform)后表示如下：

其中，F(t,f)、S(t,f)和V(t,f)分别为f(t)、s(t)和v(t)在STFT下的时频系数，单个时频系数则称为时频点；

最后，采用基于概率区间的矩阵估计方法对观测矩阵A进行估计；

S2、对步骤S1中的在STFT下的时频系数F(t,f)中的干扰进行剔除，并保留目标回波的时频特征；上述的目标回波提取与干扰剔除方法的进行是基于一个假设条件的前提下，假设条件为：在观测矩阵A∈R^2×n中，任意一个2×2的子矩阵都为非奇异矩阵，即子矩阵是可逆的；操作步骤为：

S2.1、设定S₁为目标回波，S₂、S₃为干扰信号，则A∈R^2×3，具体表示为：

由于A的奇异性，其逆矩阵为伪逆A⁺，且{E₃-A⁺A}的误差较大，其中，E₃为三阶单位矩阵；因此，对A的非奇异子矩阵进行提取，尺寸为2×2，表示为：

则对应的逆矩阵为

由于

其中，E₂为二阶单位矩阵，则

其中，

和

为非零值；

结合式(7)～式(8)对观测信号的时频特征F(t,f)进行变换，理论上有：

其中，F¹²(t,f)和F¹³(t,f)分别为A¹²和A¹³下观测信息的新表示方式，具体展开为：

从式(10)～式(11)得出，F₁ ¹²(t,f)、F₁ ¹³(t,f)中分别剔除了干扰信号S₂、干扰信号S₃；

S2.2、对目标回波S₁进行提取，步骤为：

用(t₁,f₁)表示目标回波S₁的时频点位置，即S₁(t₁,f₁)≠0，S₂(t₁,f₁)＝S₃(t₁,f₁)＝0；为了找到(t₁,f₁)，此处先给出结论如下：

因此，若式(12)成立，则只需要找到令

的时频点，在该时频点上则有F₁ ¹²(t₁,f₁)＝F₁ ¹³(t₁,f₁)＝S₁(t₁,f₁)；

接下来，对式(12)充分必要性证明，其充分性为：

必要性证明，当

时，得到

证明方法为：

设y∈R,

则有

因此，恒有

当y＝1，则有

式(16)展开可得

这里先假设

由式(7)和式(8)可知

其简化为

其中，c∈R；设

所以根据式(7)有

根据式(18)～式(19)可知，

同样地，

所以

展开为

根据假设条件可知，为使A²³具有非奇异性，则(a₁₃a₂₂-a₁₂a₂₃)为非零值，(a₂₃-a₂₂)＝(a₁₂-a₁₃)＝0也无法成立，所以

则对应的有

不成立；因此，有且只有S₂(t₁,f₁)＝S₃(t₁,f₁)＝0时，式(16)成立，则式(12)的充分必要性得证；考虑到实际应用中的可操作性，这里将其改写为：

其中，ε₁≤0.1；用Ω₁表示提取的S₁(t₁,f₁)集合，由于ε₁>0，此时Ω₁并不是严格的S₁(t₁,f₁)集合，因此这里依据最小能量原则对Ω₁进行优化，根据式(10)～式(11)可知，F₁ ¹²(t₁,f₁)和F₁ ¹³(t₁,f₁)中的信号能量表示为：

其中，Q(·)表示能量提取函数；为了尽可能弱化干扰信号对S₁的影响，Q值更小的项被选择为Ω₁，此时目标回波的时频特征S₁被提取，而干扰信号S₂、干扰信号S₃则被有效剔除；

由于目标回波在A中的对应关系存在模糊性，因此需要提取所有非奇异子矩阵A^ij，然后对恢复结果进行筛选以确定目标回波；依照上述步骤完成干扰信号S₂、干扰信号S₃的提取，对应关系如下：

此时，将上述的目标回波的提取方法推广到A∈R^2×n下，则A^ij为

其中，n为源信号的个数，Ω_i为S_i的时频点集合；Ω_i的提取表示为：

由于采用如上所述的技术方案，本发明具有如下优越性：

该基于信号特征变换的雷达相参干扰对抗方法，其将雷达的抗干扰问题转换为线性盲源分离模型，并在时频域上采用一种基于矩阵变换的方法对观测信息的特征表示进行变换，最后通过简单的筛选完成模型的求解，实现目标回波的分离与恢复；有效剔除了强干扰信号，显著提高了接收信号的信干比(SJR)，在性能和计算复杂度方面都具有明显优势。

附图说明

图1是不同干扰类型下接收混合信号的频谱与时频分布图；其中，图(a)、图(b)分别为噪声卷积干扰下接收混合信号的频谱分布图、时频分布图；图(c)、图(d)为切片干扰下接收混合信号的频谱分布图、时频分布图；图(e)、图(f)分别为间歇采样直接转发干扰下接收混合信号的频谱分布图、时频分布图；图(g)、图(h)分别为间歇采样重复转发干扰下接收混合信号的频谱分布图、时频分布图；(SJR＝-15dB，SNR＝0dB)

图2是利用本发明基于信号特征变换的雷达相参干扰对抗方法对图1中的各信号处理后的结果图；其中，图(a)为噪声卷积干扰下经处理后提取的回波信号的时频分布图；图(b)中的两图由上至下分别为噪声卷积干扰下处理前、后的脉冲压缩结果对比图；图(c)为切片干扰下经处理后提取的回波信号的时频分布图；图(d)中的两图由上至下分别为切片干扰下处理前、后的脉冲压缩结果对比图；图(e)为间歇采样直接转发干扰下经处理后提取的回波信号的时频分布图；图(f)中的两图由上至下分别为间歇采样直接转发干扰下处理前、后的脉冲压缩结果对比图；图(g)为间歇采样重复转发干扰下经处理后提取的回波信号的时频分布图；图(h)中的两图由上至下分别为间歇采样重复转发干扰下处理前、后的脉冲压缩结果对比图；在图(b)、图(d)、图(f)、图(h)中，pc是pulse compress，target是识别到的目标；

图3是基于凸优化的平滑l₀范数方法下不同干扰类型下提取信号的时频分布图与脉冲压缩处理结果图；其中，图(a)、图(b)分别为噪声卷积干扰下提取信号的时频分布图、脉冲压缩处理结果图；图(c)、图(d)为切片干扰下提取信号的时频分布图、脉冲压缩处理结果图；图(e)、图(f)分别为间歇采样直接转发干扰下提取信号的时频分布图、脉冲压缩处理结果图；图(g)、图(h)分别为间歇采样重复转发干扰下提取信号的时频分布图、脉冲压缩处理结果图；在图(b)、图(d)、图(f)、图(h)中，pc是pulse compress，target是识别到的目标；

图4是基于正交匹配追踪的方法下不同干扰类型下提取信号的时频分布图与脉冲压缩处理结果图；其中，图(a)、图(b)分别为噪声卷积干扰下提取信号的时频分布图、脉冲压缩处理结果图；图(c)、图(d)为切片干扰下提取信号的时频分布图、脉冲压缩处理结果图；图(e)、图(f)分别为间歇采样直接转发干扰下提取信号的时频分布图、脉冲压缩处理结果图；图(g)、图(h)分别为间歇采样重复转发干扰下提取信号的时频分布图、脉冲压缩处理结果图；在图(b)、图(d)、图(f)、图(h)中，pc是pulse compress，target是识别到的目标。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明的技术方案作进一步详细说明。

一种基于信号特征变换的雷达相参干扰对抗方法，其包括以下步骤：

S1、首先，建立线性盲源分离模型，采用双通道模型，表示如下：

其中，f(t)表示观测信号；f₁(t)表示第一个通道内的观测信号；f₂(t)表示第二个通道内的观测信号；a_1n表示第一个通道内第n个源信号的幅度系数；a_2n表示第二个通道内第n个源信号的幅度系数；s_n(t)表示第n个源信号；A∈R^2×n为观测矩阵，R是实数，n是正整数，n表示源信号的个数；s(t)表示源信号，包含干扰信号和目标回波；v(t)表示加性噪声；T是信号f(t)的观测时长；

然后，将f(t)转换到时频域上进行处理，以改善信号的稀疏性，在短时傅里叶变换(STFT，short-time Fourier transform)(当f(t)内存在多个频率分量时，STFT不会引入所谓的交叉干扰项)后表示如下：

其中，F(t,f)、S(t,f)和V(t,f)分别为f(t)、s(t)和v(t)在STFT下的时频系数，单个时频系数则称为时频点；

最后，采用基于概率区间的矩阵估计方法对观测矩阵A进行估计；所述矩阵估计方法的优点是整个估计过程中不需要获取源信号数目的先验信息，且可以通过调整概率区间的大小来控制估计精度，估计性能较为稳定；

在基于概率区间的矩阵估计方法下，估计矩阵

往往会比实际的观测矩阵A要大，即列向量数目会扩展，形成部分虚拟源信号，这会带来少量的计算负担，但并不影响源信号的分离与恢复性能；

S2、对步骤S1中的在STFT下的时频系数F(t,f)中的干扰进行剔除，并保留目标回波的时频特征；上述的目标回波提取与干扰剔除方法的进行是基于一个假设条件的前提下，假设条件为：在观测矩阵A∈R^2×n中，任意一个2×2的子矩阵都为非奇异矩阵，即子矩阵是可逆的，保证了观测信号具有可分离性；考虑到实际传输环境中不同传输信道内信号能量衰减的随机性，此假设条件一般成立；操作步骤为：

S2.1、设定S₁为目标回波，S₂、S₃为干扰信号，则A∈R^2×3，具体表示为：

由于A的奇异性，其逆矩阵为伪逆A⁺，且{E₃-A⁺A}的误差较大，其中，E₃为三阶单位矩阵；因此，对A的非奇异子矩阵进行提取，尺寸为2×2，表示为：

则对应的逆矩阵为

由于

其中，E₂为二阶单位矩阵，则

其中，

和

为非零值；

结合式(7)～式(8)对观测信号的时频特征F(t,f)进行变换，理论上有：

其中，F¹²(t,f)和F¹³(t,f)分别为A¹²和A¹³下观测信息的新表示方式，具体展开为：

从式(10)～式(11)得出，F₁ ¹²(t,f)、F₁ ¹³(t,f)中分别剔除了干扰信号S₂、干扰信号S₃；

S2.2、对目标回波S₁进行提取，以得到更纯净的目标回波，步骤为：

用(t₁,f₁)表示目标回波S₁的时频点位置，即S₁(t₁,f₁)≠0，S₂(t₁,f₁)＝S₃(t₁,f₁)＝0；为了找到(t₁,f₁)，此处先给出结论如下：

因此，若式(12)成立，则只需要找到令

的时频点，在该时频点上则有F₁ ¹²(t₁,f₁)＝F₁ ¹³(t₁,f₁)＝S₁(t₁,f₁)；

接下来，对式(12)充分必要性证明，其充分性为：

必要性证明，当

时，得到

证明方法为：

设y∈R,

则有

因此，恒有

当y＝1，则有

式(16)展开可得

这里先假设

由式(7)和式(8)可知

其简化为

其中，c∈R；设

所以根据式(7)有

根据式(18)～式(19)可知，

同样地，

所以

展开为

根据假设条件可知，为使A²³具有非奇异性，则(a₁₃a₂₂-a₁₂a₂₃)为非零值，(a₂₃-a₂₂)＝(a₁₂-a₁₃)＝0也无法成立，所以

则对应的有

不成立；因此，有且只有S₂(t₁,f₁)＝S₃(t₁,f₁)＝0时，式(16)成立，则式(12)的充分必要性得证；考虑到实际应用中的可操作性，这里将其改写为：

其中，ε₁≤0.1；用Ω₁表示提取的S₁(t₁,f₁)集合，由于ε₁>0，此时Ω₁并不是严格的S₁(t₁,f₁)集合，因此这里依据最小能量原则对Ω₁进行优化，根据式(10)～式(11)可知，F₁ ¹²(t₁,f₁)和F₁ ¹³(t₁,f₁)中的信号能量表示为：

其中，Q(·)表示能量提取函数；为了尽可能弱化干扰信号对S₁的影响，Q值更小的项被选择为Ω₁，此时目标回波的时频特征S₁被提取，而干扰信号S₂、干扰信号S₃则被有效剔除；

由于缺少先验信息，使得目标回波在A中的对应关系存在模糊性，因此需要提取所有非奇异子矩阵A^ij，然后对恢复结果进行筛选以确定目标回波；依照上述步骤完成干扰信号S₂、干扰信号S₃的提取，对应关系如下：

此时，将上述的目标回波的提取方法推广到A∈R^2×n下，则A^ij为

其中，n为源信号的个数，Ω_i为S_i的时频点集合；Ω_i的提取表示为：

S3、对步骤2处理后的目标回波信号采用短时傅立叶逆变换(ISTFT)将其转换为时域序列，以便进行后续的数字信号处理。

实施例

统一采用脉冲LFM作为雷达发射信号，相参干扰信号样式共4种，分别是噪声卷积干扰、切片干扰和2种间歇采样干扰(直接转发和重复转发)，每种干扰信号分别延时两次与目标回波进行叠加，相关具体参数如表1所示。

本实施例共2个实验，实验1是在不同干扰信号样式下对本发明方法的有效性进行验证，并对干扰剔除的细节与结果进行阐述与分析。实验2则是在相同信干比(SJR)下对比常规的干扰对抗方法与本发明方法，以说明本发明方法的优越性。

实验1

设置目标与雷达的径向距离为20km，发射信号遇到目标产生回波。基于DRFM的干扰机则对接收到的雷达发射信号进行调制与延时转发，其中SJR＝-15dB。雷达接收端以双通道接收，接收信号为包含目标回波、干扰信号和随机噪声(SNR＝0dB)的混叠信号。线性分离模型中观测矩阵A的尺寸为2×3，这里设置为大于0的随机数，服从均匀分布。下面针对不同类型的干扰信号对本发明方法进行验证。

在上述实验参数下，分别给出不同干扰下接收信号对应的频谱与时频分布，如图1中的各图所示，可以看到，其中的目标回波(Target echo)完全被淹没在干扰信号中，无法对其分辨。

利用本发明基于信号特征变换的雷达相参干扰对抗方法依次完成目标回波的提取，并对干扰剔除前后的时域数据进行脉压处理，结果如图2中的各图所示；能够看出，本发明方法有效剔除了高功率的干扰信号，真实的目标回波在时频域上显露出来，且虚假目标被消除。

为了量化干扰剔除效果，表2对比了干扰剔除前后的SJR、目标径向距离测量误差(脉压结果的最大值位置与真实值的比较)与目标数量(脉压结果的峰值数量，此处阈值取0.5)。其中，干扰剔除后的SJR根据式(7)～式(8)进行计算，理论上处理后干扰信号的能量系数为0，但考虑到观测矩阵的估计误差，此时干扰信号的能量系数的计算参照

根据图2中的各图与表2可知，不同干扰类型下的混合信号在经过处理后，目标回波都能够被完整提取，SJR得到至少约12dB的提升，且假目标被完全消除。虽然目标回波依然受到了加性噪声不同程度上的影响，导致其时频分布发生轻微畸变，但从脉压结果来看，测量误差大大减小，因此加性噪声对提取结果的影响几乎可以忽略。综上所述，本发明基于信号特征变换的雷达相参干扰对抗方法的有效性得到验证。

实验2

选取了基于正交匹配追踪的方法(OMP)与基于凸优化的平滑l₀范数方法(SL0)(两者都采用实验1中所估计的观测矩阵与其他参数，包括SJR与SNR)，在双通道接收下对目标回波进行提取，并与本发明基于信号特征变换的雷达相参干扰对抗方法的抗干扰性能进行对比。

如图3中的各图和图4中的各图所示，在SL0方法和OMP方法下，对于时频混叠的情况，干扰信号始终无法被有效抑制，真实目标回波信号依然被遮盖，输出信号的SJR较小。这里表3也给出了不同方法下，输出信号在脉冲压缩处理后的性能指标对比。相比之下能够看出，在SL0和OMP方法下，目标距离的测量误差率仍然较大，精度方面远小于本发明方法，且大部分情况下伴随的假目标依然存在。因此得出，与以上两种对比方法相比，本发明基于信号特征变换的雷达相参干扰对抗方法的干扰抑制性能更优。

仿真结果表明，本发明基于信号特征变换的雷达相参干扰对抗方法具有可行性，输出信号的SJR改善明显，且与主流的对抗方法相比具有显著优势，特别是在假目标抑制方面。

以上所述仅为本发明的较佳实施例，而非对本发明的限制，在不脱离本发明的精神和范围的情况下，凡依本发明申请专利范围所作的均等变化与修饰，皆应属本发明的专利保护范围之内。

Claims (2)

1.一种基于信号特征变换的雷达相参干扰对抗方法，其特征是：其包括以下步骤：

S1、首先，建立线性盲源分离模型，采用双通道模型，表示如下：

其中，f(t)表示观测信号；f₁(t)表示第一个通道内的观测信号；f₂(t)表示第二个通道内的观测信号；a_1n表示第一个通道内第n个源信号的幅度系数；a_2n表示第二个通道内第n个源信号的幅度系数；s_n(t)表示第n个源信号；A∈R^2×n为观测矩阵，R是实数，n是正整数，n表示源信号的个数；s(t)表示源信号，包含干扰信号和目标回波；v(t)表示加性噪声；T是信号f(t)的观测时长；

然后，将f(t)转换到时频域上进行处理，在短时傅里叶变换后表示如下：

其中，F(t，f)、S(t，f)和V(t，f)分别为f(t)、s(t)和v(t)在STFT下的时频系数，单个时频系数则称为时频点；

最后，采用基于概率区间的矩阵估计方法对观测矩阵A进行估计；

S2、对步骤S1中的在STFT下的时频系数F(t，f)中的干扰进行剔除，并保留目标回波的时频特征。

2.根据权利要求1所述的基于信号特征变换的雷达相参干扰对抗方法，其特征是：其步骤S2中，目标回波提取与干扰剔除方法的进行是基于一个假设条件的前提下，假设条件为：在观测矩阵A∈R^2×n中，任意一个2×2的子矩阵都为非奇异矩阵，即子矩阵是可逆的；操作步骤为：

S2.1、设定S₁为目标回波，S₂、S₃为干扰信号，则A∈R^2×3，具体表示为：

由于A的奇异性，其逆矩阵为伪逆A⁺，且{E₃-A⁺A}的误差较大，其中，E₃为三阶单位矩阵；因此，对A的非奇异子矩阵进行提取，尺寸为2×2，表示为：

则对应的逆矩阵为

由于

其中，E₂为二阶单位矩阵，则

其中，

和

为非零值；

结合式(7)～式(8)对观测信号的时频特征F(t，f)进行变换，理论上有：

其中，F¹²(t，f)和F¹³(t，f)分别为A¹²和A¹³下观测信息的新表示方式，具体展开为：

从式(10)～式(11)得出，F₁ ¹²(t,f)、F₁ ¹³(t,f)中分别剔除了干扰信号S₂、干扰信号S₃；

S2.2、对目标回波S₁进行提取，步骤为：

用(t₁,f₁)表示目标回波S₁的时频点位置，即S₁(t₁,f₁)≠0，S₂(t₁,f₁)＝S₃(t₁,f₁)＝0；为了找到(t₁,f₁)，此处先给出结论如下：

因此，若式(12)成立，则只需要找到令

的时频点，在该时频点上则有

接下来，对式(12)充分必要性证明，其充分性为：

必要性证明，当

时，得到

证明方法为：

设y∈R,

则有

因此，恒有

当y＝1，则有

式(16)展开可得

这里先假设

由式(7)和式(8)可知

其简化为

其中，c∈R；设

所以根据式(7)有

根据式(18)～式(19)可知，

同样地，

所以

展开为

根据假设条件可知，为使A²³具有非奇异性，则(a₁₃a₂₂-a₁₂a₂₃)为非零值，(a₂₃-a₂₂)＝(a₁₂-a₁₃)＝0也无法成立，所以

则对应的有

不成立；因此，有且只有S₂(t₁,f₁)＝S₃(t₁,f₁)＝0时，式(16)成立，则式(12)的充分必要性得证；考虑到实际应用中的可操作性，这里将其改写为：

其中，ε₁≤0.1；用Ω₁表示提取的S₁(t₁,f₁)集合，由于ε₁＞0，此时Ω₁并不是严格的S₁(t₁,f₁)集合，因此这里依据最小能量原则对Ω₁进行优化，根据式(10)～式(11)可知，F₁ ¹²(t₁,f₁)和F₁ ¹³(t₁,f₁)中的信号能量表示为：

其中，Q(·)表示能量提取函数；为了尽可能弱化干扰信号对S₁的影响，Q值更小的项被选择为Ω₁，此时目标回波的时频特征S₁被提取，而干扰信号S₂、干扰信号S₃则被有效剔除；

由于目标回波在A中的对应关系存在模糊性，因此需要提取所有非奇异子矩阵A^ij，然后对恢复结果进行筛选以确定目标回波；依照上述步骤完成干扰信号S₂、干扰信号S₃的提取，对应关系如下：

此时，将上述的目标回波的提取方法推广到A∈R^2×n下，则A^ij为

其中，n为源信号的个数，Ω_i为S_i的时频点集合；Ω_i的提取表示为：

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