CN114219679B - 一种考虑海水返回路径的海缆频段阻抗分析方法 - Google Patents

一种考虑海水返回路径的海缆频段阻抗分析方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种考虑海水返回路径的海缆频段阻抗分析方法，首先将海水返回路径等效为空气‑海水‑海底的三层结构，提出了考虑海水返回路径的特定频段范围(0～10MHz)内的海缆频段阻抗公式，其次运用20点高斯‑勒让德积分算法结合分区积分求解特定频率点的阻抗，解决了无穷积分的计算问题，再次运用复镜像法结合分区积分求解特定频率点的阻抗，加速了双重无穷积分的求解，最后将高斯‑勒让德积分算法和复镜像法的结果进行相互印证。本发明提供的考虑海水返回路径的海缆频段阻抗分析方法，非常适用于海缆海水返回路径阻抗的求解，对形成过电压算法具有十分大的技术优势。

Description

一种考虑海水返回路径的海缆频段阻抗分析方法
技术领域
本发明涉及电力***过电压技术领域，特别是涉及一种考虑海水返回路径的海缆频段阻抗分析方法。
背景技术
电缆由芯线，金属护套、铠装层以及绝缘层组成。电力电缆与架空输电线路的主要区别是：(1)结构复杂，每根电缆都可以看成是由芯线、金属护套、铠装层组成的多导体***；(2)埋于地中或海底，电缆参数易受大地参数影响。综合上述因素，电力电缆的阻抗模型比架空线路更为复杂。电力电缆的阻抗模型是进行电网暂态分析的基础，也是电力***过电压与绝缘配合设计的重要参考因素。
电力电缆按照布置位置可以分为陆上电缆(陆缆)和海上电缆(海缆)两种不同的类型。图1给出了最简单的单芯电缆阻抗模型，单芯电缆的结构可从内至外分为3个回路，回路1由芯线与金属护套组成，回路2由金属护套与铠装层组成，回路3由铠装层与返回的海水-大地路径组成。
目前，仅有针对均匀结构的大地计算电缆返回阻抗的公式。即使如此，其计算已经十分繁琐，现有的各种简化计算公式均存在不同程度的误差，特别是面对高频和低电阻率海水时误差更大，所以应用范围受到了极大限制。由于海缆位于近海大陆架地区，海水深有限，一般为数十米，在这种情况下必须要考虑海底电导率。通常，大陆架海底的电导率约为0.001～0.01Sm，较海水低2～3个数量级。如果等效的大地电阻率取值不当，则会导致计算结果存在明显偏差，但目前未见针对海缆的海水返回路径的等效的大地电阻率修正公式的相关报导。
发明内容
本发明的目的是提供一种考虑海水返回路径的海缆频段阻抗分析方法，通过将海水返回路径等效为空气-海水-海底的三层结构，进而推演出了特定频段范围内的海缆频段阻抗公式，并给出数值求解过程。
为实现上述目的，本发明提供了如下方案：
一种考虑海水返回路径的海缆频段阻抗分析方法，包括以下步骤：
步骤1，输入[fmin,fmax]频段范围内的n个具体频率点{f1,f2,…,fn}，令迭代次数初始编号k＝0，之后输入空气-海水-海底三层结构的电磁参数，所述电磁参数包括空气电导率σ0、空气介电常数ε0、空气磁导率μ0、海水电导率σ1、海水介电常数ε1、海水磁导率μ1、海水深度d、海底电导率σ2、海底介电常数ε2、海底磁导率μ2、海缆埋深h；
步骤2，令迭代次数编号k’＝k+1，若k’>n则结束计算，否则分别推导空气层的赫兹磁位Π0、海水层的赫兹磁位Π1、海底层的赫兹磁位Π2，表达式为：
其中：λ为临时积分变量，r为观察点与海缆圆心径向坐标，g0(λ)为空气层关于z轴的待求反向动态位函数，g1(λ)为海水层关于z轴的待求反向动态位函数，f1(λ)为空气层关于z轴的待求正向动态位函数，f2(λ)为海水层关于z轴的待求正向动态位函数，J0为第一类零阶贝塞尔函数，α0为空气层的电磁波传播系数，α1为海水层的电磁波传播系数，α2为海底层的电磁波传播系数；
α0、α1、α2的计算公式为：
其中：γ0为空气层的波数，γ1为海水层的波数，γ2为海底层的波数，计算公式为：
ω为角频率，计算公式为：
ω＝2πfk (10)
根据边界条件得到g0(λ)、g1(λ)、f1(λ)、f2(λ)的解，表达式为
定义如下海缆关于特定频率点fk的阻抗公式：
将式(12)、式(13)代入式(15)中，并加以整理，则有
其中：R为电缆外半径，A、B、C、D、s10、s21、d10、d21为8个待求解的未知函数，具体的理论公式为：
s10(λ)＝μ0α1(λ)+μ1α0(λ) (21)
s21(λ)＝μ2α1(λ)+μ1α2(λ) (22)
d12(λ)＝μ2α1(λ)-μ1α2(λ) (23)
d10(λ)＝μ0α1(λ)-μ1α0(λ) (24)
步骤3，利用公式将式(16)简化为
由于式(25)是无限振荡积分，采用如下特殊形式的数值积分方法进行求解，具体步骤为：
第1步，令积分迭代初始编号m＝0，Z(fk)＝0，针对λ的区间[0,π/R]，使用分区积分的方式进行求解：将积分区间划分为[0,10–6π/R]、[10–6π/R,10–5π/R]、[10–5π/R,10–4π/R]、[10–4π/R,10–3π/R]、[10–3π/R,10–2π/R]、[10–2π/R,10–1π/R]、[10–1π/R,π/R]，针对每个细分积分区间，利用偶数点的高斯-勒让德积分公式：
其中，a是细分积分区间下限，b是细分积分区间上限，x为积分变量，xi为积分点位置，wi为积分点权重，F为积分函数，F表达式为：
选用20点版本的高斯-勒让德积分算法求解，给出关于积分点位置xi和积分点权重wi的具体取值，将各积分区间的积分结果累加计入Z(fk)；
第2步，令积分迭代次数编号m’＝m+1，针对λ的区间[mπ/R,(m+1)π/R]，计算
的最值max(|G(λ)|)，若max(|G(λ)|)大于10–6则转入第3步，否则转第4步；
第3步，针对λ的区间[mπ/R,(m+1)π/R]，直接使用20点版本的高斯-勒让德积分算法求解，积分结果累加计入Z(fk)，转入第2步；
第4步，输出Z(fk)，结束计算；
步骤4，将步骤2中的式(16)，运用复镜像法做拟合：
其中，η为复数空间中复镜像的大小，ξ为复数空间中复镜像的位置，c为拟合阶数；
将式(29)代入式(16)，有
对式(30)运用李普希茨性质，有
对式(31)交换积分与求和的运算顺序，有
式(32)的无穷积分会发散，故取积分上限为海缆的长度L作为积分的上限，有
步骤5，对比步骤4的复镜像法结果和步骤3的数值积分方法结果，若两者相对误差小于设定值则输出Z(fk)的结果，否则输出出错信息，转步骤2。
可选的，步骤2中所述根据边界条件得到g0(λ)、g1(λ)、f1(λ)、f2(λ)的解，具体包括：
对于海水与海底的交界，令z＝d，则有
对于海水与空气的交界，令z＝0，则有
将式(1)～(3)代入式(34)～(37)中，得到公式(11)～(14)，完成g0(λ)、g1(λ)、f1(λ)、f2(λ)的求解。
可选的，步骤5中所述设定值为5％。
根据本发明提供的具体实施例，本发明公开了以下技术效果：本发明提供的考虑海水返回路径的海缆频段阻抗分析方法，首先将海水返回路径等效为空气-海水-海底的三层结构，提出了考虑海水返回路径的特定频段范围(0～10MHz)内的海缆频段阻抗公式，其次运用20点高斯-勒让德积分算法结合分区积分求解特定频率点的阻抗，解决了无穷积分的计算问题，再次运用复镜像法结合分区积分求解特定频率点的阻抗，加速了双重无穷积分的求解，最后将高斯-勒让德积分算法和复镜像法的结果进行相互印证；本发明非常适用于海缆海水返回路径阻抗的求解，对形成过电压算法具有十分大的技术优势。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1为单芯电缆等值电路示意图；
图2为本发明实施例海缆所处海水返回路径示意图；
图3为本发明实施例考虑海水返回路径的海缆频段阻抗分析方法的流程图。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
本发明的目的是提供一种考虑海水返回路径的海缆频段阻抗分析方法，通过将海水返回路径等效为空气-海水-海底的三层结构，进而推演出了特定频段范围内的海缆频段阻抗公式，并给出数值求解过程。
为使本发明的上述目的、特征和优点能够更加明显易懂，下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的说明。
如图2和图3所示，本发明实施例提供的考虑海水返回路径的海缆频段阻抗分析方法，包括以下步骤：
步骤1，输入[fmin,fmax]频段范围内的n个具体频率点{f1,f2,…,fn}，令迭代次数初始编号k＝0，之后输入空气-海水-海底三层结构的电磁参数，所述电磁参数包括空气电导率σ0、空气介电常数ε0、空气磁导率μ0、海水电导率σ1、海水介电常数ε1、海水磁导率μ1、海水深度d、海底电导率σ2、海底介电常数ε2、海底磁导率μ2、海缆埋深h；
步骤2，令迭代次数编号k’＝k+1，若k’>n则结束计算，否则分别推导空气层的赫兹磁位Π0、海水层的赫兹磁位Π1、海底层的赫兹磁位Π2，表达式为：
其中：λ为临时积分变量，r为图2观察点与海缆圆心径向坐标，g0(λ)为空气层关于z轴的待求反向动态位函数，g1(λ)为海水层关于z轴的待求反向动态位函数，f1(λ)为空气层关于z轴的待求正向动态位函数，f2(λ)为海水层关于z轴的待求正向动态位函数，J0为第一类零阶贝塞尔函数，α0为空气层的电磁波传播系数，α1为海水层的电磁波传播系数，α2为海底层的电磁波传播系数；
α0、α1、α2的计算公式为：
其中：γ0为空气层的波数，γ1为海水层的波数，γ2为海底层的波数，计算公式为：
ω为角频率，计算公式为：
ω＝2πfk (10)
根据边界条件得到g0(λ)、g1(λ)、f1(λ)、f2(λ)的解，表达式为
定义如下海缆关于特定频率点fk的阻抗公式：
将式(12)、式(13)代入式(15)中，并加以整理，则有
其中：R为电缆外半径，A、B、C、D、s10、s21、d10、d21为8个待求解的未知函数，具体的理论公式为：
s10(λ)＝μ0α1(λ)+μ1α0(λ) (21)
s21(λ)＝μ2α1(λ)+μ1α2(λ) (22)
d12(λ)＝μ2α1(λ)-μ1α2(λ) (23)
d10(λ)＝μ0α1(λ)-μ1α0(λ) (24)
步骤3，利用公式将式(16)简化为
由于式(25)是无限振荡积分，采用如下特殊形式的数值积分方法进行求解，具体步骤为：
第1步，令积分迭代初始编号m＝0，Z(fk)＝0，针对λ的区间[0,π/R]，使用分区积分的方式进行求解：将积分区间划分为[0,10–6π/R]、[10–6π/R,10–5π/R]、[10–5π/R,10–4π/R]、[10–4π/R,10–3π/R]、[10–3π/R,10–2π/R]、[10–2π/R,10–1π/R]、[10–1π/R,π/R]，针对每个细分积分区间，利用偶数点的高斯-勒让德积分公式：
其中，a是细分积分区间下限，b是细分积分区间上限，x为积分变量，xi为积分点位置，wi为积分点权重，F为积分函数，F表达式为：
选用20点版本的高斯-勒让德积分算法求解，给出关于积分点位置xi和积分点权重wi的具体取值见表1，将各积分区间的积分结果累加计入Z(fk)；
表1 20点高斯-勒让德积分(n＝10)
i xn wn
–10 –0.993128599 0.017614007
–9 –0.963971927 0.04060143
–8 –0.912234428 0.062672048
–7 –0.839116972 0.083276742
–6 –0.746331906 0.10193012
–5 –0.636053681 0.118194532
–4 –0.510867002 0.131688638
–3 –0.373706089 0.142096109
–2 –0.227785851 0.149172986
–1 –0.076526521 0.152753387
1 0.076526521 0.152753387
2 0.227785851 0.149172986
3 0.373706089 0.142096109
4 0.510867002 0.131688638
5 0.636053681 0.118194532
6 0.746331906 0.10193012
7 0.839116972 0.083276742
8 0.912234428 0.062672048
9 0.963971927 0.04060143
10 0.993128599 0.017614007
第2步，令积分迭代次数编号m’＝m+1，针对λ的区间[mπ/R,(m+1)π/R]，计算
的最值max(|G(λ)|)，若max(|G(λ)|)大于10–6则转入第3步，否则转第4步；
第3步，针对λ的区间[mπ/R,(m+1)π/R]，直接使用20点版本的高斯-勒让德积分算法求解，积分结果累加计入Z(fk)，令m＝m’，并转入第2步；
第4步，输出Z(fk)，结束计算；
步骤4，将步骤2中的式(16)，运用复镜像法做拟合：
其中，η为复数空间中复镜像的大小，ξ为复数空间中复镜像的位置，c为拟合阶数；
将式(29)代入式(16)，有
对式(30)运用李普希茨性质，有
对式(31)交换积分与求和的运算顺序，有
式(32)的无穷积分会发散，故取积分上限为海缆的长度L作为积分的上限，有
步骤5，令k＝k’，并对比步骤4的复镜像法结果和步骤3的数值积分方法结果，若两者相对误差小于设定值则输出Z(fk)的结果，否则输出出错信息，转步骤2。
步骤2中所述根据边界条件得到g0(λ)、g1(λ)、f1(λ)、f2(λ)的解，具体包括：
对于海水与海底的交界，令z＝d，则有
对于海水与空气的交界，令z＝0，则有
将式(1)～(3)代入式(34)～(37)中，得到公式(11)～(14)，完成g0(λ)、g1(λ)、f1(λ)、f2(λ)的求解。
步骤5中所述设定值为5％。
本发明实施例的单芯电缆和参数见表2：
表2单芯电缆、空气、海水、海底的参数
R(m) σ0(S·m) ε0(F·m) μ0(H·m)
0.048 0 10–9/(36π) 4π×10–7
h(m) σ1(mm) ε1(F·m) μ1(H·m)
40 2 80×10–9/(36π) 4π×10–7
d(m) σ2(mm) ε2(F·m) μ2(H·m)
70 0.01 10×10–9/(36π) 4π×10–7
复镜像法和值积分方法关于海缆频段的计算结果见表3：
表3复镜像法结果和数值积分方法的结果比较
表3结果表明，复镜像法和数值积分方法的结果具有较高的一致性。
本发明实施例中，数值积分方法所需要循环次将超过1400万次，因此，当需要多次计算大地回路阻抗时，数值积分方法过高消耗时间使其不能完全满足实际要求，而复镜像法可以迅速完成计算且保有较高精度。
本发明提供的考虑海水返回路径的海缆频段阻抗分析方法，首先将海水返回路径等效为空气-海水-海底的三层结构，提出了考虑海水返回路径的特定频段范围(0～10MHz)内的海缆频段阻抗公式，其次运用20点高斯-勒让德积分算法结合分区积分求解特定频率点的阻抗，解决了无穷积分的计算问题，再次运用复镜像法结合分区积分求解特定频率点的阻抗，加速了双重无穷积分的求解，最后将高斯-勒让德积分算法和复镜像法的结果进行相互印证；本发明非常适用于海缆海水返回路径阻抗的求解，对形成过电压算法具有十分大的技术优势。
本文中应用了具体个例对本发明的原理及实施方式进行了阐述，以上实施例的说明只是用于帮助理解本发明的方法及其核心思想；同时，对于本领域的一般技术人员，依据本发明的思想，在具体实施方式及应用范围上均会有改变之处。综上所述，本说明书内容不应理解为对本发明的限制。

Claims (3)

1.一种考虑海水返回路径的海缆频段阻抗分析方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1，输入[fmin,fmax]频段范围内的n个具体频率点{f1,f2,…,fn}，令迭代次数初始编号k＝0，之后输入空气-海水-海底三层结构的电磁参数，所述电磁参数包括空气电导率σ0、空气介电常数ε0、空气磁导率μ0、海水电导率σ1、海水介电常数ε1、海水磁导率μ1、海水深度d、海底电导率σ2、海底介电常数ε2、海底磁导率μ2、海缆埋深h；
步骤2，令迭代次数编号k’＝k+1，若k’>n则结束计算，否则分别推导空气层的赫兹磁位Π0、海水层的赫兹磁位Π1、海底层的赫兹磁位Π2，表达式为：
其中：λ为临时积分变量，r为观察点与海缆圆心径向坐标，g0(λ)为空气层关于z轴的待求反向动态位函数，g1(λ)为海水层关于z轴的待求反向动态位函数，f1(λ)为空气层关于z轴的待求正向动态位函数，f2(λ)为海水层关于z轴的待求正向动态位函数，J0为第一类零阶贝塞尔函数，α0为空气层的电磁波传播系数，α1为海水层的电磁波传播系数，α2为海底层的电磁波传播系数；
α0、α1、α2的计算公式为：
其中：γ0为空气层的波数，γ1为海水层的波数，γ2为海底层的波数，计算公式为：
ω为角频率，计算公式为：
ω＝2πfk (10)
根据边界条件得到g0(λ)、g1(λ)、f1(λ)、f2(λ)的解，表达式为
定义如下海缆关于特定频率点fk的阻抗公式：
将式(12)、式(13)代入式(15)中，并加以整理，则有
其中：R为电缆外半径，A、B、C、D、s10、s21、d10、d21为8个待求解的未知函数，具体的理论公式为：
s10(λ)＝μ0α1(λ)+μ1α0(λ) (21)
s21(λ)＝μ2α1(λ)+μ1α2(λ) (22)
d12(λ)＝μ2α1(λ)-μ1α2(λ) (23)
d10(λ)＝μ0α1(λ)-μ1α0(λ) (24)
步骤3，利用公式将式(16)简化为
由于式(25)是无限振荡积分，采用如下特殊形式的数值积分方法进行求解，具体步骤为：
第1步，令积分迭代初始编号m＝0，Z(fk)＝0，针对λ的区间[0,π/R]，使用分区积分的方式进行求解：将积分区间划分为[0,10–6π/R]、[10–6π/R,10–5π/R]、[10–5π/R,10–4π/R]、[10–4π/R,10–3π/R]、[10–3π/R,10–2π/R]、[10–2π/R,10–1π/R]、[10–1π/R,π/R]，针对每个细分积分区间，利用偶数点的高斯-勒让德积分公式：
其中，a是细分积分区间下限，b是细分积分区间上限，x为积分变量，xi为积分点位置，wi为积分点权重，F为积分函数，F表达式为：
选用20点版本的高斯-勒让德积分算法求解，给出关于积分点位置xi和积分点权重wi的具体取值，将各积分区间的积分结果累加计入Z(fk)；
第2步，令积分迭代次数编号m’＝m+1，针对λ的区间[mπ/R,(m+1)π/R]，计算
的最值max(|G(λ)|)，若max(|G(λ)|)大于10–6则转入第3步，否则转第4步；
第3步，针对λ的区间[mπ/R,(m+1)π/R]，直接使用20点版本的高斯-勒让德积分算法求解，积分结果累加计入Z(fk)，转入第2步；
第4步，输出Z(fk)，结束计算；
步骤4，将步骤2中的式(16)，运用复镜像法做拟合：
其中，η为复数空间中复镜像的大小，ξ为复数空间中复镜像的位置，c为拟合阶数；
将式(29)代入式(16)，有
对式(30)运用李普希茨性质，有
对式(31)交换积分与求和的运算顺序，有
式(32)的无穷积分会发散，故取积分上限为海缆的长度L作为积分的上限，有
步骤5，对比步骤4的复镜像法结果和步骤3的数值积分方法结果，若两者相对误差小于设定值则输出Z(fk)的结果，否则输出出错信息，转步骤2。
2.根据权利要求1所述的考虑海水返回路径的海缆频段阻抗分析方法，其特征在于，步骤2中所述根据边界条件得到g0(λ)、g1(λ)、f1(λ)、f2(λ)的解，具体包括：
对于海水与海底的交界，令z＝d，则有
对于海水与空气的交界，令z＝0，则有
将式(1)～(3)代入式(34)～(37)中，得到公式(11)～(14)，完成g0(λ)、g1(λ)、f1(λ)、f2(λ)的求解。
3.根据权利要求1所述的考虑海水返回路径的海缆频段阻抗分析方法，其特征在于，步骤5中所述设定值为5％。
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