CN113761717B - 一种用于工业优化问题的自动变量约简方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种用于工业优化问题的自动变量约简方法，包括步骤：构建工业约束优化问题；建立变量关系矩阵；根据启发式规则按照约简顺序，在约简的每一步中选择尽可能少的被其他变量表示，并尽可能多的表示其他变量的变量作为约简变量，根据约简变量和变量关系来确定核心变量，确定约简等式，直到所有变量分类完毕；将决策空间和约简变量用核心变量表示，以约简部分变量和决策空间；将约简后的变量结合进化算法对工业生产过程优化。本发明将优化问题的变量自动划分为约简变量和核心变量，降低了优化问题的复杂度，可快速约简等式约束优化问题和非线性等式方程组，求解等式约束优化问题和非线性等式方程组时，显著提高进化算法的性能。
Description
技术领域
本发明属于软测量技术领域，尤其涉及一种用于工业优化问题的自动变量约简方法。
背景技术
优化问题广泛存在于科学、工程、经济等领域。根据优化机制的不同，求解优化问题的优化方法可以粗略地分为数学规划方法和元启发式算法两种。数学规划方法是一种经典的优化方法，包含了基于梯度的方法、牛顿法、分支定界法等。虽然数学规划方法在一些简单和小规模问题上获得了良好的性能，但优化问题的复杂性和数学规划方法的缺点限制了它的进一步应用和发展。
对于处理具有复杂约束条件和目标函数的优化问题，元启发式算法由于实现简单、通用性强、全局搜索能力强得到了广泛的应用。进化算法作为元启发式算法的一个重要分支，是有效的求解复杂优化问题的方法之一。
然而，大规模优化问题和等式约束是目前进化算法求解优化问题的两大瓶颈。一方面，目前已有的解决大规模优化问题的方法有两种：1)将问题分解为多个子问题并同时对子问题进行优化；2)改进进化算法的操作算子使进化算法在高维决策空间中进行有效搜索。有研究表明，如果将问题领域知识与算法有效融合往往能提高优化算法的性能。但以上两种方法仅聚焦于提高进化算法的性能，而忽略了可以提高算法优化效率的问题领域知识。
另一方面，在处理等式约束时，最常用的方法是通过设置阈值将等式约束转化为不等式约束。但是，为了平衡获得解的精度和进化算法的搜索效率，阈值的设定通常需要通过反复实验来确定。此外，设计搜索策略使进化算法在等式约束定义的边界上或附近搜索，是处理等式约束的另一种常用方法，如局部搜索、几何交叉算子、约束空间映射。而该方法只适用于特定问题，不具有普遍性。
约束优化问题广泛存在于工程设计、交通优化、网络通信等实际生活中。由于约束条件的存在，在决策空间中产生了不可行域和不可行解，使得该优化问题的求解变得非常艰巨。具有约束处理技术的进化算法在求解约束优化问题时得到了广泛的应用。约束优化问题的约束可以分为不等式约束和等式约束，有大量证据表明等式约束比不等式约束更难满足。许多实际应用问题也可以归结为非线性等式方程组的形式，如化学、机器人、电子、信号处理。由于非线性和多个根的特点，使得非线性方程组的求解具有挑战性。
基于以上研究背景，受问题域知识的启发，有研究者提出了变量约简策略这一理论。变量约简策略能充分利用优化问题中隐含的问题域知识，挖掘优化问题变量之间的关系。通过变量关系，在进化算法的迭代搜索过程中，一部分变量(约简变量)可以由另一部分变量(核心变量)来表示和计算，从而降低问题的复杂性，提高算法的搜索效率。目前，变量约简策略已经被应用于等式约束优化问题，一阶可导无约束优化问题以及一些实际优化问题中，并显著提高了其求解的进化算法的优化效率。
变量约简策略的主要任务是通过变量关系将优化问题中包含的变量划分为约简变量和核心变量。然而，关于现有的变量约简策略研究和应用，手动约简是实现变量约简的主要方式。
发明内容
由于等式约束的难度和变量约简策略的特点，本发明主要致力于研究具有等式约束的约束优化问题(即等式约束优化问题)，提出了一个以最小化核心变量数为目的的最优变量约简问题，并基于启发式算法设计了自动变量约简技术来解决该最优变量约简问题，对变量进行自动分类。自动变量约简通过启发式准则对优化问题的变量进行逐步分类，直至将所有变量分类完毕。自动变量约简的实现首先需要建立变量关系矩阵，用来表示在一个优化问题中变量之间的相互表示情况。然后，根据启发式规则，本发明在约简的每一步中选择尽可能少的被其他变量表示，并且尽可能多的表示其他变量的变量作为约简变量，并根据约简变量和变量关系来确定核心变量。对于一个优化问题来说，通过自动变量约简技术可以将整个决策变量划分为约简变量和核心变量两部分，决策空间和约简变量都可以用核心变量来表示，从而约简了部分变量和决策空间，降低了该优化问题的复杂度。
具体地，本发明公开的用于工业优化问题的自动变量约简方法，包括以下步骤：
基于工业生产过程，选取多个影响生产成本或产品质量的变量，将变量输入工业过程控制器，构建工业约束优化问题，建立等式最优条件；
将输入变量建立变量关系矩阵，用于表示在一个优化问题中变量之间的相互表示情况；
根据启发式规则，按照约简顺序，在约简的每一步中选择尽可能少的被其他变量表示，并且尽可能多的表示其他变量的变量作为约简变量，根据约简变量和变量关系来确定核心变量，并确定约简等式，直到将所有变量分类完毕；
将决策空间和所述约简变量用所述核心变量表示，以约简部分变量和决策空间；
工业过程控制器将约简后的变量结合进化算法求解工业约束优化问题，将解作用于被控对象，对工业生产过程进行优化。
进一步地，所述等式最优条件为以下形式：
其中，为包含在等式最优性条件中的第j个等式，表示非线性等式方程组或等式约束优化问题的决策向量。
进一步地，假定在某一步约简中，选择了等式中的变量xj作为约简变量且用于表示变量xj的变量被记录为{xc1,xc2,...,xcp}，所述约简顺序的约束条件可以表示为：
其中，Bij表示决策变量xj，j∈{1，...，n}是否通过等式约简，如果是，Bij＝1，否则Bij＝0；所述约束条件使得除了已经归入约简变量的变量外，用于表示约简变量的变量应归入核心变量集合中，不能在接下来的约简中继续成为约简变量。
进一步地，所述变量关系矩阵表示哪些变量能通过等式/>被约简，/>表示在等式/>中变量xi能否被变量xj表示，如果能，/>否则，/>在变量关系矩阵/>中，单个变量关系矩阵行和值/>反映了在等式/>中被用于表示变量xi的变量数，所有变量关系矩阵的列和值/>表示在等式最优性条件/>中能被变量xj表示的变量数。
进一步地，所述约简变量为具有最小的和最大的/>的变量，并且/>比/>优先考虑。
进一步地，所述启发式规则如下：
确定当前步中约简变量的选择对最优变量约简问题目标函数的影响；
确定当前步中的约简变量；
确定当前步中的约简等式和约简变量。
进一步地，所述确定当前步中约简变量的选择对最优变量约简问题目标函数的影响的步骤包括如下：
某一步中约简变量xr的选择对当前步的影响：表示xr的变量越少，并且当前步中核心变量数最少；
某一步中约简变量xr的选择对之后的约简的影响：被xr表示的变量越多，最小化之后约简中的核心变量数的概率越大。
进一步地，所述确定当前步中的约简变量的步骤包括如下：
最多的变量被变量xr表示；表示变量xr的变量越少；选择变量xr作为当前步的约简变量；保证当前步中约简变量的选择能最小化核心变量的数目。
进一步地，所述确定当前步中的约简等式和约简变量的步骤包括如下：
将等式转换为约简等式；
将变量xr表示为约简变量；
将表示xr的变量xc作为核心变量。
进一步地，所述工业生产过程包括哈佛里池化问题、反应器网络设计问题和神经生理学应用模型，参数包括容量、平衡、反应浓度、反应温度、冷却剂温度、反应器体积、过程流量、进料浓度、反应时间常数、反应激活能、液体密度、质量定压热容、馈入温度、反应热和热交换系数。
相对于现有技术，本发明的有益效果如下：
1)本发明首次尝试提出最优变量约简问题，开发的基于启发式算法的自动变量约简技术求解最优变量约简问题，将优化问题的变量自动划分为约简变量和核心变量，自动变量约简的采用降低了优化问题的复杂度，使得优化问题拥有更少的决策变量以及更小的决策空间。
2)应用本发明的自动变量约简技术可快速约简等式约束优化问题和非线性等式方程组。非线性等式方程组和等式约束优化问题应用广泛且求解困难，本发明在自动变量约简的帮助下，等式约束优化问题和非线性等式方程组的复杂度以及等式约束优化问题的部分等式约束都得到了约简。
3)结合本发明的自动变量约简的进化算法后，与原始进化算法相比，在几个实际应用的等式约束优化问题和非线性等式方程组上显著提高了原始进化算法的性能。
附图说明
图1本发明变量约简策略核心思想示意图；
图2本发明的自动变量约简方法流程图；
图3本发明的自动变量约简规则图；
图4本发明的自动变量约简的启发式规则示意图的一部分；
图5本发明的自动变量约简的启发式规则示意图的另一部分；
图6进化过程中哈佛里池化问题的目标函数值收敛曲线；
图7进化过程中神经生理学应用模型的平均反转世代距离值收敛曲线。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步的说明，但不以任何方式对本发明加以限制，基于本发明教导所作的任何变换或替换，均属于本发明的保护范围。
如图1所示，变量约简策略的核心思想是首先利用优化问题的等式最优化条件来挖掘变量之间的关系，然后，根据变量的类型和关系，在进化算法的迭代搜索过程中，总是用变量的一部分来表示和计算变量的另一部分。这样，被其他变量表示和计算的变量将被约简，不直接进行优化(即作为搜索维度)。从而约简部分变量和决策空间，降低问题的复杂度。
本发明中使用的基本概念定义如下：
等式最优条件：指优化问题在获得最优解时必须满足的等式条件，用方程的形式表示。
核心变量：用于表示其他变量的变量。
约简变量：核心变量所表示和计算的变量。
约简等式：在等式最优性条件中，由于被所有的解满足，随着约简变量的约简而消除的等式。
优化问题的等式最优条件是实现变量约简策略的基础。不同的优化问题具有不同的等式最优条件。为了描述简洁，本发明将非线性等式方程组和等式约束优化问题的等式最优条件统一为以下形式：
其中为包含在非线性等式方程组或等式约束优化问题的等式最优性条件中的第j个等式。/>表示非线性等式方程组或等式约束优化问题的决策向量，xj与/>为决策变量xj的下界和上界。
通过变量约简策略，等式最优性条件中的所有变量能被分为两类：核心变量和约简变量。q个核心变量的集合表示为：
XC＝{xc1，xc2，...，xcq}，q≤n
l个约简变量的集合为：
XR＝{xr1，xr2，L，xrl}，l＝n-q
XC∪XR＝Ω且另外，l个约简等式的集合为：
综上，在使用变量约简策略后，等式最优性条件(1)被转化成：
其中p为约简后的等式个数，p＝m-l。Rri，sj为约简关系，其中约简变量xri通过约简等式被约简。/>为核心变量组成的决策向量，能表示约简后的决策空间。
对应地，能得到约简后的等式约束优化问题：
对比原始等式约束优化问题(1)和约简后的等式约束优化问题(6)，决策变量和等式约束的个数从n下降到p。同时，决策空间的维度也从Rn缩减到Rq。不等式约束的个数从t增加到t+2*l。
此外，约简后的非线性等式方程组可以表示为：
被变量约简策略约简后的非线性等式方程组具有更少的等式和决策变量，且决策空间维度也从Rn下降到Rq。另外，出现了和约简变量相关的不等式约束，这种不等式约束能通过简单的方式进行处理。
根据上述描述，变量约简策略能约简优化问题的复杂度，使优化问题具有更少的决策变量以及更小的决策空间。对于等式约束优化问题，变量约简策略也能约简其部分等式约束，对于非线性等式方程组，变量约简策略也能约简其方程组的部分等式。
可见，确定约简等式，将每个决策变量划分为约简变量或者核心变量是变量约简策略实现的关键。约简的变量越多，优化问题的决策空间就越小，其复杂度就越低。因此，为了获得最大程度的复杂度约简，本发明用最少的核心变量来表示尽可能多的约简变量，即最小化核心变量的数量。
如何从整个决策变量集合中确定核心变量和约简变量，本身就是一个优化问题，本发明将其称为最优变量约简问题。最优变量约简问题的优化目标是最小化核心变量的数量：
min|XC| (8)
其中|XC|为核心变量集合XC中的元素个数。另外，以(4)中的等式最优性条件为例，在变量约简过程中，假定有一个m×n的矩阵B，其中Bij表示决策变量xj，j∈{1，...，n}是否通过等式约简，如果是，Bij＝1，否则Bij＝0。基于B矩阵，最优变量约简问题的约束条件由以下三部分组成：
(1)每个变量只被约简一次，即：
(2)等式最优性条件中的每个等式只能用于一个变量的约简，即：
(3)考虑下列等式最优性条件：
通过式(11)中的等式(a)，x1能被约简：
另外，在式(11)中，x3能通过等式(b)约简：
x3＝ln(2+cos x1) (13)
明显地，x1和x3的约简是相互关联、相互影响的，因此式(12)和式(13)是相互冲突的。相反，如果我们首先选择等式(b)中的x3作为第一个约简变量，并且选择等式(a)中的x2作为第二个变量：
那么冲突就可以消除了。因此，除了确定约简变量外，约简顺序对变量约简策略同样至关重要。为了避免上述冲突，除了已经归入约简变量的变量外，用于表示约简变量的变量应归入核心变量集合中，不能在接下来的约简中继续成为约简变量。
也就是，假定我们在某一步约简中，选择了等式中的变量xj作为约简变量且用于表示变量xj的变量(不包含已经被分类的变量)被记录为{xc1,xc2,...,xcp}。那么关于约简顺序的约束条件可以表示为：
最优变量约简问题为复杂组合优化问题，其主要任务是通过变量之间的关系来确定约简顺序，约简变量和核心变量。以手动的方式构建变量关系，对约简变量和核心变量进行划分，不仅难度大，而且效率低。因此，开发一种有效的自动约简方法来解决最优变量约简问题是迫切的。
在多数组合优化问题中，启发式算法可以在可接受的时间和成本内获得一个较优解。因此，本发明的自动变量约简技术通过启发式算法实现。如图2所示，本发明的用于工业优化问题的自动变量约简方法，包括以下步骤：
选取工业约束优化问题，建立等式最优条件；
建立变量关系矩阵，用于表示在一个优化问题中变量之间的相互表示情况；
根据启发式规则，按照约简顺序，在约简的每一步中选择尽可能少的被其他变量表示，并且尽可能多的表示其他变量的变量作为约简变量，并根据约简变量和变量关系来确定核心变量，并确定约简等式，直到将所有变量分类完毕；
将决策空间和所述约简变量用所述核心变量表示，以约简部分变量和决策空间。
自动变量约简根据启发式规则一步步构建最优变量约简问题的解(即约简等式、约简变量、核心变量和约简顺序)，直到优化问题中的所有变量都被确定(被划分到核心变量或约简变量集合中)。
自动变量约简的流程图如图3所示，优化问题的等式最优性条件为输入。然后被用于储存未确定变量的集合(即还未划分到约简变量或核心变量集合中的变量集合)和变量关系矩阵(用于表示变量间相互关系的矩阵)被初始化。如果未确定变量集合不为空，将根据启发式准则确定该步中的约简变量，约简等式和核心变量。然后根据该步中确定的约简变量，约简等式和核心变量来更新未确定变量集合和变量关系矩阵。直到未确定变量集合未空，就能获得最优变量约简问题的一个解(即优化问题的约简变量，核心变量，约简等式和约简顺序)。
自动变量约简的实现基于等式最优性条件中能被约简的变量和等式。以表示在式(1)中的等式最优性条件和展示在式(5)中约简后的等式最优性条件为例，为确定等式最优性条件中哪些等式和变量能被约简，本发明构建了m个二进制矩阵以表示哪些变量能通过等式/>被约简并且将/>命名为变量关系矩阵。表示在等式/>中变量xi能否被变量xj表示，如果能，/>否则，/>
在变量关系矩阵中，/>(单个变量关系矩阵行和值)反映了在等式/>中被用于表示变量xi的变量数。另外，/>(所有变量关系矩阵的列和值)表示在等式最优性条件/>中能被变量xj表示的变量数。在变量约简的每一步中，都需要确定一个约简变量，以及对应的核心变量和约简等式，且根据(9)，(10)和(15)中的约束，已确定的约简变量，核心变量和约简等式在以后的变量约简步骤中不能被约简，这可以通过将变量关系矩阵中与约简变量，核心变量和约简等式相关的行和列中的元素设置为0来实现。也就是说如果在某一变量约简步骤中，xr，/>和xc分别被视为约简变量约简等式和核心变量，那么/> 且
假定在某一步中，变量xr能被等式表示，获得的约简关系为：
xr＝Rr,e({xc|c∈Ωe,c≠r}) (16)
根据式(16)以及变量关系矩阵除了已经被划分为核心变量或约简变量的变量外，其余在集合{xc|c∈Ωe,c≠r}中的元素为该步中的核心变量，其元素个数能被表示为/>
图4和图5(图4的输出为图5的输入)展示了自动变量约简的启发式准则。当前约简步骤中约简变量的选择直接影响了当前步中的核心变量数以及间接影响了接下来的变量约简步骤中的核心变量数。一方面，因为被用于表示约简变量的变量需要划分到核心变量集合中(除已经确定的变量)，所以若一个变量能被更少的变量表示(除已经确定的变量)，也就是值越小，就说明选择这个变量作为约简变量更可能最小化当前步中核心变量的数目。另一方面，如果在之后的变量约简步骤中，一个变量能被用于表示和计算更多的变量，也就是/>的值越大，那么选择该变量作为约简变量能增加之后变量约简步骤中最小化核心变量的概率。
因此，为尽可能最小化核心变量数，本发明选择尽可能少的被其他变量表示，并且尽可能多的表示其他变量的变量(具有最小的和最大的/>的变量)作为约简变量。为避免冲突，/>比/>优先考虑。
如果xr在该步中被视为约简变量，那么用于约简该变量的等式为对应的约简等式。另外，用于表示约简变量的变量(除已经确定的变量)被视为核心变量。
为了进一步来说明该启发式规则以及自动变量约简的实现流程，以一个简单的约束优化问题为例，该问题具有两个等式最优性条件，分别如公式(17)和(18)所示：
的变量关系矩阵为：
变量关系矩阵为：
根据上述变量约简矩阵，在等式最优性条件中，变量能够被其他变量的表示情况为x2←{x3,x4}，x3←{x2,x4}，x4←{x2,x3}，在等式最优性条件/>中，变量能够被其他变量的表示情况为x1:{x2}，x2:{x1}，同时，每个变量能够去表示其他变量的情况为x1→{x2}，x2→{x1,x3,x4}，x3→{x2,x4}，x4→{x2,x3}。因此可以得出，在等式最优性条件/>和中，变量能够被其他变量表示的数量情况分别为{(x1,x2,x3,x4)；(0,2,2,2)}(变量关系矩阵A1的行和值)和{(x1,x2,x3,x4)；(1,1,0,0)}(变量关系矩阵A2的行和值)，变量能够去表示其他变量的数量情况为{(x1,x2,x3,x4)；(1,3,2,2)}(变量关系矩阵A1和A2的列和值之和)。
根据启发式规则，在选择约简变量的时候，应该让变量近可能少的被其他变量表示，并且尽可能多的去表示其他变量。可以发现，在等式最优性条件中的变量x2能够的被1个其他变量表示并且能够去表示其他3个变量。因此，首先选择等式约束条件/>中的变量x2作为第一个约简变量，同时将表示约简变量x2的变量x1作为核心变量，约简变量能够被核心变量表示的情况如公式(21)所示：
通过公式(21)可知，该约简步骤中，约简变量为x2，核心变量为x1，且变量x2和等式最优性条件都得到了约简。此时等式最优性条件/>中的变量x2和变量x1都是已经确定的变量，因此之后的约简步骤中不能继续作为约简变量和约简等式，根据已确定的变量和等式更新变量关系矩阵为：
根据(22)中的更新的变量关系矩阵，该等式最优性条件中的变量关系转化为还未确定为核心变量或者约简变量的变量x3和x4之间的关系。在等式最优性条件中，变量能够被其他变量的表示情况为x3←{x4}，x4←{x3}；每个变量分别能够去表示其他变量的情况为x3→{x4}，x4→{x3}。即变量能够被其他变量表示的数量情况分别为{(x3,x4)；(1,1)}，变量能够去表示其他变量的数量情况为{(x3,x4)；(1,1)}。此时随机选择一个变量，比如变量x3作为约简变量，变量关系如公式(23)所示：
x3＝x2x4 (23)
即此时新增的约简变量为x3，新增的核心变量为x4。对于原优化问题来说，等式最优性条件和/>都得到了约简，且约简变量为x2,x3，核心变量为x1,x4。
同样，以(1)中等式最优性条件和式(5)中约简后的等式为例，基于MTALB的自动变量约简主程序如算法1所示。在算法1中，自动变量约简的工作流程如下：
/>
1)首先构建变量关系矩阵表示等式/>中变量之间的表示情况和被表示情况，矩阵中的每一个元素都为二进制值。变量关系矩阵的伪代码如算法2所示。其中，/>表示xi能通过等式/>被变量xj表示，若不能/>/>
2)在4-10行，矩阵G1×n被建立去表示等式最优性条件中每个变量表示其他变量的情况，另一个矩阵Dm×n表示在每个等式中每个变量被其他变量表示的情况。表示在整个等式最优性条件中能被变量xi表示的变量个数，另外，/>表示能通过等式/>表示变量xj的变量个数。/>
3)在12-14行中，在矩阵D中具有最小值的变量和对应的等式将被初步确定为能成为约简变量和约简等式的变量和等式，并且分别被放入集合V和Q中。如果几个变量都在D中具有最小值(|V|＞1)，那么将继续考虑矩阵G中的值。在V中的变量能在G中获得最大值与其在Q中对应的等式将被进一步考虑可能作为约简变量和约简等式，并且分别被放入集合V*和Q*中。如果集合V*中的变量不止一个(|V*|＞1)，那么我们将随机选择集合V*中的一个变量xr和对应的等式作为该步中的约简变量和约简等式。
4)在15-17行中，变量xr和等式的下标将分别被放入约简变量集合R和约简等式集合E中。同时，通过等式/>来表示变量xr的变量的下标(除已经确定的变量)将被放入集合O中并且被加入到核心变量集合C中。
5)在18行中，通过将R和C中的变量从U中移除来更新未确定变量的集合。
6)在19行中，若未确定变量中有能用已确定变量(包括约简变量和核心变量)表示和计算的变量也将被划分到约简变量的集合中。
7)在20-22行中，通过将R中的变量从U中移除来更新未确定变量集合U。另外，将与约简等式，约简变量和核心变量相关的行和列的元素置为0来更新变量关系矩阵。相应地，矩阵G和D也将根据算法1中5-10行的伪代码被更新。
直到所有的元素从U中移除，也就是所有的变量都被确定了，算法将会停止，并且输出核心变量，约简变量和对应的约简等式。最终的约简变量和核心变量的约简关系能通过MATLAB中的符号函数获得。
自动变量约简的复杂度主要由两方面组成。一方面为变量关系矩阵的建立，另一方面为变量的划分。
(1)构建变量关系矩阵的复杂度：
T1＝m×n＝O(mn) (24)
(2)划分变量的复杂度：
对于计算变量关系矩阵的行和列之和，复杂度为：
T21＝m×n＝O(mn) (25)
对于确定约简变量，约简等式和核心变量，复杂度为：
T22＝m×n2＝O(mn2) (26)
对于更新相关矩阵，复杂度为：
T23＝m×n＝O(mn) (27)
因此，划分变量的总复杂度为：
T2＝2mn+mn2＝O(mn2) (28)
自动变量约简的总体复杂度为：
T＝T1+T2＝O(max(mn,mn2))＝O(mn2) (29)
实验研究
为证明自动变量约简的有效性，本部分将自动变量约简与多种不同的进化算法结合分别求解两个实际应用中的等式约束优化问题和两个实际应用中的非线性等式方程组。此外，为证明自动变量约简的采用能够提高原有算法的性能，本部分主要将结合自动变量约简后的进化算法与对应的原算法进行比较。
关于等式约束优化问题，约简后的等式约束优化问题由三个进化算法来求解。第一个进化算法是集成约束处理技术的差分进化算法(表示为算法1)，它是受无免费午餐定理的启发而提出的。可以充分利用不同约束处理方法的优点，在求解约束优化问题中具有良好的性能。另一种有竞争性的进化算法，即结合差分进化算法的可行性法则(表示为算法2)，也被用来解决等式约束优化问题。此外，本发明还选择了具有两种约束处理技术的矩阵自适应进化策略(表示为算法3)作为对比算法。
对于非线性等式方程组，采用将非线性等式方程组转化为双目标优化问题的方法求解两个非线性等式方程组。非线性等式方程组需要转化为优化问题后才能由进化算法进行求解，而定位转化后的优化问题的解被认为等于定位非线性等式方程组的根。将非线性等式方程组转化为双目标优化问题的方法将非线性等式方程组转化为双目标优化问题，然后通过快速精英多目标遗传算法对转化后的双目标优化问题进行求解。
等式约束优化问题实验研究
性能评估指标
(1)平均约束违约度：约束违约度指的是算法获得解的约束违反程度。
(2)可行率：在最大函数计算次数MaxFEs范围内，至少一个可行解(即)被发现的运行次数与总的运行次数的比值。本发明中两个等式约束优化问题的MaxFEs都设置为120000。
(3)成功率：在MaxFEs范围内，能获得一个成功解的运行次数与总的运行次数的比值。
等式约束优化问题的实验结果
池化问题是工业生产计划中的一个重要问题，通过对原材料的合理混合，将混合过程中容量和平衡约束作为约束条件，来达到总体生产成本最低或是效益最优。哈佛里池化问题就是这样一个具有线性目标函数和非线性约束优化问题，其目标是利润的最大化。该问题的数学表达式如公式(30)所示，在该问题中变量数为9，等式约束个数为4，该问题目前已知最优可行解的目标函数值为400.0056。
其中，各变量满足条件0≤x1,x3,x4,x5,x6,x8≤100，0≤x2,x7,x9≤200。
公式(30)中的等式约束(c)～(f)为等式最优性条件并且运用自动变量约简后，变量x7,x8,x9,x2为约简变量，约简变量的变量关系如公式(31)所示。
使用变量约简后变量的个数由9变为5，等式约束的个数由4变为0。该问题的实验结果如表1所示。
表1哈佛里池化问题的实验结果
通过实验结果对比可知，使用自动变量约简前后约束违约度值的变化可以忽略，但使用自动变量约简后求得的目标函数最优值是相对较好的。综合三种算法与自动变量约简结合使用后的求解结果，可以得到目标函数的最优值为-400，即该实际优化问题的最优解的目标函数值400，与目前已知的最优解相符合。通过表1还能发现，三种算法在结合自动变量约简后，获得解的标准差大大降低，这意味着变量约简算法有助于更稳定有效地找到最优解。图6展示了一次典型运行中，哈佛里池化问题的目标函数值随着迭代次数的增加而变化的曲线图，其中实线为结合自动变量约简后的算法，虚线为未结合自动变量约简的算法，由于未结合自动变量约简的算法1不能有效收敛，因此收敛曲线将不包含未结合自动变量约简的算法1。
可见，三个结合了自动变量约简的进化算法都能比未结合自动变量约简的算法收敛的更快，说明在求解哈佛里池化问题时，自动变量约简使这三种算法的搜索效率提高了。
反应器网络设计问题
反应器网络设计问题涉及到两个连续搅拌反应器***中的连续反应的顺序设计问题，涉及参数包括容量、平衡、反应浓度、反应温度、冷却剂温度、反应器体积、过程流量、进料浓度、反应时间常数、反应激活能、液体密度、质量定压热容、馈入温度、反应热和热交换系数。反应器网络设计问题的目标是使得产物B的浓度(x4)在出口流中达到最大化，该问题的数学表达式决策变量数为6，等式约束个数为4，目前已知最优的可行解的目标函数值为0.3888。
将该问题中的等式约束为等式最优性条件并且通过运用自动变量约简，变量x1,x3,x4,x6为约简变量，约简变量的变量关系如公式(32)所示。使用变量约简后变量的个数由6变为2，等式约束的个数由4变为0，该问题的等式约束全部得到了约简，同时解空间也得到了很好的约简。
x1＝1-0.09755988x2x5
该问题的实验结果如表2所示。
表2反应器网络设计问题的实验结果
从表2可以观察到，结合了自动变量约简的进化算法每次运行都能获得几乎等于已知最优解(-0.388)的优化解，特别是对于算法1，结合自动变量约简后，其成功率达到了100％，远远高于原算法12％的成功率。以上现象说明了，自动变量约简的结合使得进化算法在求解反应器网络设计问题时，能获得更靠近已知实际优化解以及约束违约度更低的解。
上述实验现象证明了结合自动变量约简的进化算法能获得更靠近实际目标函数值和更低约束违约度的解。另外，在求解实际等式约束优化问题时，自动变量约简的采用也能让进化算法获得更好的收敛能力和搜索效率。因此，我们能得出结论：结合自动变量约简的进化算法比原进化算法能展现出更有希望的性能且自动变量约简对于求解实际等式约束优化问题是有效的。
非线性方程组的实验研究
性能评估指标
为评估进化算法求解非线性等式方程组算法的性能，本发明首先采用受多目标优化启发的反转世代距离来评估算法发现根的质量。根的质量指的是算法获得的根与非线性等式方程组的实际已知根之间的接近程度，它在非线性等式方程组的应用中非常重要。另外，本发明采用发现根的数目的情况来评估算法获得的根的数量。
(1)反转世代距离：在进化过程中，反转世代距离能测量IP的多样性和收敛性。当IP中的个体表示被进化算法发现的根时，反转世代距离指标的值越小，被该进化算法发现的根的质量就越高。
(2)发现根的数目：该指标用于评估算法发现根的个数的情况，本发明设置为0.01。发现根的数目指标用于评估算法发现根的个数情况。
非线性等式方程组的实验结果
神经生理学应用模型：
其中xi∈[-10，10]，i＝1，2，...，D，cj＝0，j＝1，2，...，4。该问题有无穷多个根。
通过自动变量约简，x1，x2和x6可作为约简变量，获得如下约简关系：
其中三个等式和变量能被约简。在求解神经生理学应用模型时，结合自动变量约简的将非线性等式方程组转化为双目标优化问题的方法和原将非线性等式方程组转化为双目标优化问题的方法运行30次的实验结果如表3所示。
表3神经生理学应用模型实验结果
从表3中可以观察到，采用自动变量约简后，该算法求得的神经生理学应用模型的解拥有更小的反转世代距离值和更高的发现根的数目值。在30次运行中，结合自动变量约简的算法获得的发现根的平均值为46，远远高于原算法获得的。以上现象说明在求解神经生理学应用模型时，自动变量约简的加入使得该算法能获得更多质量更高的解。
为进一步研究自动变量约简对将非线性等式方程组转化为双目标优化问题的方法收敛性能的影响，图7
图展示了30次运行中平均反转世代距离值随着迭代次数而变化的曲线图。
可以看到，在迭代过程中，结合自动变量约简的算法一开始就能收敛到一个较小的平均反转世代距离值，而大约100代时，未结合自动变量约简的算法才能收敛到一个较小的平均反转世代距离值。因此，结合自动变量约简的算法在求解该神经生理学应用模型中收敛的更快，搜索能力更强。
通过上述实验研究，证明了结合自动变量约简的进化算法能获得更多且质量更好的根，并且也能获得比原算法更好的收敛性和更高的搜索效率。因此，我们能得出结论：在求解实际非线性等式***时，结合自动变量约简的进化算法比原进化算法能展现出更好的性能。
本实施例的工业生产过程包括哈佛里池化问题、反应器网络设计问题和神经生理学应用模型，但不局限于这三种问题，本实施例对此不作限制。
综上，为更有效地利用变量约简策略解决优化问题，本发明提出用最少的变量表整个决策空间的最优变量约简问题，并建立了最优变量约简问题的数学模型。另外，本发明设计了通过启发式算法求解最优变量约简问题的自动变量约简方法。自动变量约简技术可以通过优化问题中隐含的等式最优性条件，自动挖掘变量关系，将决策变量划分为约简变量和核心变量，从而约简优化问题，降低优化问题的复杂度。对于等式约束优化问题，自动变量约简也可以在降低优化问题的复杂度的同时，约简部分等式约束。
为了验证自动变量约简的有效性，一方面本发明将自动变量约简应用于3种进化算法，并解决了1个实际的等式约束优化问题。实验结果表明，自动变量约简能使进化算法定位到更高质量的解也能提高原进化算法的搜索效率。另一方面，本发明将自动变量约简与另外一种进化算法进行结合，并求解1个实际应用中的非线性等式方程组。实验结果表明，结合自动变量约简后的算法往往能找到更多的更接近实际已知根的根，并且能获得比原算法更突出的搜索效率。
相对于现有技术，本发明的有益效果如下：
1)本发明首次尝试提出最优变量约简问题，开发的基于启发式算法的自动变量约简技术求解最优变量约简问题，将优化问题的变量自动划分为约简变量和核心变量，自动变量约简的采用降低了优化问题的复杂度，使得优化问题拥有更少的决策变量以及更小的决策空间。
2)应用本发明的自动变量约简技术可快速约简等式约束优化问题和非线性等式方程组。非线性等式方程组和等式约束优化问题应用广泛且求解困难，本发明在自动变量约简的帮助下，等式约束优化问题和非线性等式方程组的复杂度以及等式约束优化问题的部分等式约束都得到了约简。
3)结合本发明的自动变量约简的进化算法后，与原始进化算法相比，在几个实际应用的等式约束优化问题和非线性等式方程组上显著提高了原始进化算法的性能。本发明分别对等式约束优化问题(哈弗利池化问题)以及非线性等式方程组(神经生理学应用模型)进行了实验研究，通过结合自动变量约简的进化算法与原始进化算法之间的性能比较，证明了在求解等式约束优化问题和非线性等式方程组时，自动变量约简技术的采用能显著提高原始进化算法的性能。
上述实施例为本发明的一种实施方式，但本发明的实施方式并不受所述实施例的限制，其他的任何背离本发明的精神实质与原理下所做的改变、修饰、代替、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。
Claims (6)
1.一种用于工业优化问题的自动变量约简方法，其特征在于，应用于工业过程控制器，包括以下步骤：
基于工业生产过程，选取多个影响生产成本或产品质量的变量，将变量输入工业过程控制器，构建工业约束优化问题，建立等式最优条件；
将输入变量建立变量关系矩阵，用于表示在一个优化问题中变量之间的相互表示情况；
根据启发式规则，按照约简顺序，在约简的每一步中选择尽可能少的被其他变量表示，并且尽可能多的表示其他变量的变量作为约简变量，根据约简变量和变量关系来确定核心变量，并确定约简等式，直到将所有变量分类完毕；
将决策空间和所述约简变量用所述核心变量表示，以约简部分变量和决策空间；
工业过程控制器将约简后的变量结合进化算法求解工业约束优化问题，将解作用于被控对象，对工业生产过程进行优化；
所述的工业生产过程包括反应器网络设计问题，变量的参数包括反应浓度、反应温度、冷却剂温度、反应器体积、过程流量、进料浓度、反应时间常数、反应激活能、液体密度、质量定压热容、馈入温度、反应热和热交换系数；
所述启发式规则如下：
确定当前步中约简变量的选择对最优变量约简问题目标函数的影响；
确定当前步中的约简变量；
确定当前步中的约简等式和约简变量；
所述确定当前步中约简变量的选择对最优变量约简问题目标函数的影响的步骤包括如下：
某一步中约简变量xr的选择对当前步的影响：表示xr的变量越少，并且当前步中核心变量数最少；
某一步中约简变量xr的选择对之后的约简的影响：被xr表示的变量越多，最小化之后约简中的核心变量数的概率越大；
所述确定当前步中的约简变量的步骤包括如下：
最多的变量被变量xr表示；表示变量xr的变量越少；选择变量xr作为当前步的约简变量；保证当前步中约简变量的选择能最小化核心变量的数目；
所述确定当前步中的约简等式和约简变量的步骤包括如下：
将等式转换为约简等式；
将变量xr表示为约简变量；
将表示xr的变量xc作为核心变量。
2.根据权利要求1所述的用于工业优化问题的自动变量约简方法，其特征在于，所述等式最优条件为以下形式：
其中，为包含在等式最优性条件中的第j个等式，/>表示非线性等式方程组或等式约束优化问题的决策向量。
3.根据权利要求2所述的用于工业优化问题的自动变量约简方法，其特征在于，假定在某一步约简中，选择了等式中的变量xj作为约简变量且用于表示变量xj的变量被记录为{xc1,xc2,...,xcp}，所述约简顺序的约束条件可以表示为：
其中，Bij表示决策变量xj，j∈{1，...，n}是否通过等式约简，如果是，Bij＝1，否则Bij＝0；所述约束条件使得除了已经归入约简变量的变量外，用于表示约简变量的变量应归入核心变量集合中，不能在接下来的约简中继续成为约简变量。
4.根据权利要求2所述的用于工业优化问题的自动变量约简方法，其特征在于，所述变量关系矩阵表示哪些变量能通过等式/>被约简，表示在等式/>中变量xi能否被变量xj表示，如果能，/>否则，/>在变量关系矩阵/>中，单个变量关系矩阵行和值反映了在等式/>中被用于表示变量xi的变量数，所有变量关系矩阵的列和值/>表示在等式最优性条件/>中能被变量xj表示的变量数。
5.根据权利要求4所述的用于工业优化问题的自动变量约简方法，其特征在于，所述约简变量为具有最小的和最大的/>的变量，并且/>比优先考虑。
6.根据权利要求1所述的用于工业优化问题的自动变量约简方法，其特征在于，所述工业生产过程还包括哈佛里池化问题和神经生理学应用模型。
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