CN113703317A - 一种基于改进的捕食被捕食模型的分岔延迟控制器设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于改进的捕食被捕食模型的分岔延迟控制器设计方法，包括以下步骤，在传统捕食被捕食模型基础上改进，建立含有恐惧时滞和扩散的偏微分捕食被捕食模型，得到平衡点信息；对无控的含有恐惧时滞和扩散的偏微分捕食被捕食模型施加分岔延迟控制器，在平衡点处加入分岔延迟控制器，得到加入分岔延迟控制器的捕食被捕食模型；将捕食被捕食模型在平衡点处线性化，得出线性化的被控网络的特征方程；选取时滞，通过对该线性化后的被控网络的特征方程进行稳定性分析和分岔分析，选取适当的控制器参数，使得该网络在平衡点附件局部稳定；本发明解决了传统捕食被捕食模型与实际种群数量变化拟合度低的问题，提高了模型的准确性。

Description

一种基于改进的捕食被捕食模型的分岔延迟控制器设计方法

技术领域

本发明涉及控制器技术领域，具体涉及一种基于改进的捕食被捕食模型的分岔延迟控制器设计方法。

背景技术

Leslie在1958年首次提出了一种捕食被捕食者模型，开启了对于研究生态模型的热潮。在实际生态环境中，不同的位置因素和被捕食者的恐惧效应对于捕食行为产生了显著影响。因此，恐惧因素和扩散的空间效应对于建立捕食被捕食模型是必不可少的。时间延迟往往会导致***动力学行为发生突变，使得***变的不稳定。因此，在探索动力学模型性能时，必须考虑时滞的影响。带有扩散和恐惧时滞的捕食被捕食者模型能更好的拟合实际生态环境中种群数量变化。本专利在经典模型的基础上引进了恐惧时滞和反应扩散，可以更好的符合种群在实际环境中的衍变情况。而以往的捕食被捕食模型存在与实际自然界的繁衍规律拟合度不高，反应规律不准确的问题。本发明所改进的捕食被捕食模型，相较以往传统的捕食被捕食模型，更加贴近实际自然界种群的繁衍规律，更好的反应了自然界的种群数量变化，具有更好的拟合度。本发明所改进的新型捕食被捕食模型解决了传统捕食被捕食模型与实际种群数量变化拟合度低的问题，提高了模型描述的准确性。

发明内容

发明目的：为了克服现有技术的不足，本发明提供一种基于改进的捕食被捕食模型的分岔延迟控制器设计方法，该方法解决了现有技术中控制器和捕食被捕食者模型的结合中，整体拟真精度问题。应用本发明提供的控制器设计方法，通过设定两个参数，即可实现有效稳定域扩大的效果，拟真的效果也更好。

技术方案：本发明所述的一种基于改进的捕食被捕食模型的分岔延迟控制器设计方法，所述方法包括：

在传统捕食被捕食模型的基础上进行改进，建立含有恐惧时滞和扩散的偏微分捕食被捕食模型，得到平衡点信息；

对于无控的含有恐惧时滞和扩散的偏微分捕食被捕食模型施加分岔延迟控制器，在平衡点处加入分岔延迟控制器，得到加入分岔延迟控制器的捕食被捕食模型；

将受分岔延迟控制器作用的捕食被捕食模型在平衡点处线性化，得出线性化的被控网络的特征方程；

选取时滞，通过对该线性化后的被控网络的特征方程进行稳定性分析和分岔分析，选取适当的控制器参数，使得该网络在平衡点附件局部稳定。

可选的，所述含有恐惧时滞和扩散的偏微分捕食被捕食模型表示为：

其中u(t,x)和v(t,x)分别代表被捕食者和捕食者的时间t和位置x的种群密度。d₁和d₂是被捕食者和捕食者的扩散系数，Δ是Laplace算子，Δ的特征根为-k²,k∈N。两种群都遵循logistic增长，r/1+Cv(t-τ,x)是修正的被捕食者的自然增长率，r为猎物内在增长率，C为恐惧参数，τ为恐惧时滞，K是被捕食者的环境承载率，s是捕食者的自然增长率，u(t,x)/h是修正的捕食者的环境承载率，代表捕食者的环境承载能力与被捕食者密度成正比，h为环境承载率与u(t,x)的比值。mu(t,x)v(t,x)/[u(t,x)+Av(t,x)]是Holling-II型的功能反应函数，m和A是Holling-II型函数的参数；

平衡点E^*(u^*,v^*)表示为：

u^*＝hv^*

u^*和v^*分别代表***在平衡点E^*处，被捕食者和捕食者的取值。

可选的，所述在平衡点处加入分岔延迟控制器的表达如下：

其中，α为调节参数，u*为所求平衡点中u分量，β为状态反馈参数。

可选的，加入分岔延迟控制器的捕食被捕食模型如下：

可选的，将受分岔延迟控制器作用的神经元模型在平衡点E^*(u^*,v^*)处线性化，得到：

所述线性化的被控网络的特征方程表示为：

即：

λ²+(d₁k²+d₂k²-a₁₁-a₂₂)λ+(d₁k²-a₁₁)(d₂k²-a₂₂)-a₂₁(a₁₂+a₁₃e^-λτ)＝0 (7)

其中：

可选的，所述模型在平衡点E^*(u^*,v^*)附近局部渐近稳定的条件是模型的特征方程的根具有负实部，因此，找到临界稳定的条件，即特征方程出现纯虚根的情况。

可选的，使所述特征方程的根具有负实部的情况具体包括：当***无时滞τ＝0时，特征方程为：

λ²+(d₁k²+d₂k²-a₁₁-a₂₂)λ+(d₁k²-a₁₁)(d₂k²-a₂₂)-a₂₁(a₁₂+a₁₃)＝0 (9)

上述方程的根具有负实部的充要条件为如下的劳斯-赫尔维茨Routh-Hurwitz判据满足：

d₁k²+d₂k²-a₁₁-a₂₂＞0 (10)

(d₁k²-a₁₁)(d₂k²-a₂₂)-a₂₁(a₁₂+a₁₃)＞0 (11)

因此，当控制器参数满足上述两个不等式时，无时滞情况下的模型是稳定的；

当***有时滞(τ＞0)，将λ＝iω带入特征方程中，分离实部虚部可得：

其中

此时，令h(ω)＝ω⁴+[p₁ ²(k²)-2q₁(k²)+2a₂₁a₁₂]ω²+[q₁(k²)-a₂₁a₁₂]²-a₂₁ ²a₁₃ ²，当[q₁(k²)-a₂₁a₁₂]²-a₂₁ ²a₁₃ ²＜0，上述方程至少有一个正根ω₀，对应可解出此时的时滞：

分岔时滞是***从稳定到不稳定的一个临界阈值，那么对应的特征方程的根要从虚轴的左半平面穿越虚轴抵达右半平面，因此，在该点处的穿越条件：特征根对于分岔参数τ的导数在τ₀处的实部是大于零的，特征根才能从虚轴左半平面穿越到右半平面，由此得到：

当时滞选取满足τ∈[0,τ₀)，受控模型在平衡点E^*(u^*,v^*)处局部渐近稳定；

当时滞满足τ＝τ₀时，***在平衡点E^*(u^*,v^*)处产生Hopf分岔，当τ穿越τ₀时，***产生一组周期解。

有益效果：本发明所改进的捕食被捕食模型，充分考虑了时间延迟、恐惧因素和扩散的空间效应对模型影响，更好的拟合实际生态环境中种群数量变化。

附图说明

图1为本发明所述的方法流程图；

图2为无控模型(19)的τ＝10时，被捕食者稳定的波形图；

图3为无控模型(19)的τ＝10时，捕食者稳定的波形图；

图4为无控模型(19)的τ＝24的情况下，被捕食者不稳定的波形图；

图5为无控模型(19)的τ＝24的情况下，捕食者不稳定的波形图；

图6为被控模型(20)在控制器参数α＝1.4，β＝-0.03和τ＝24的情况下，被捕食者重回稳定的波形图；

图7为被控模型(20)在控制器参数α＝1.4，β＝-0.03和τ＝24的情况下，捕食者重回稳定的波形图；

图8为被控模型(20)在控制器参数α＝1.4，β＝-0.03和τ＝33的情况下，被捕食者不稳定的波形图；

图9为被控模型(20)在控制器参数α＝1.4，β＝-0.03和τ＝33的情况下，捕食者不稳定的波形图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。

本发明是一种基于改进的捕食被捕食模型的分岔延迟控制器设计方法，所述方法包括以下步骤：

在传统捕食被捕食模型的基础上进行改进，建立含有恐惧时滞和扩散的偏微分捕食被捕食模型，得到平衡点信息。

经典捕食被捕食模型表示为：

其中，u和v分别代表被捕食者和捕食者的种群密度。ru(1-u/K)代表被捕食者遵循logistic增长，猎物内在增长率为r，环境承载能力为K。muv/u+Av是经典的Holling-II型的耦合函数，Holling-II型的耦合函数代表捕食者对被捕食者的捕食行为，m和A为Holling-II型函数的参数。sv(1-hv/u)代表捕食者遵循logistic增长，自然增长率为s，环境承载力为u/h,h代表环境承载力与u的比值。

在上述经典捕食被捕食模型基础上引进恐惧时滞和反应扩散得到无控的恐惧时滞的扩散捕食被捕食模型。

所述无控的恐惧时滞的扩散捕食被捕食模型表示为：

其中u(t,x)和v(t,x)分别代表被捕食者和捕食者的时间t和位置x的种群密度。d₁和d₂是被捕食者和捕食者的扩散系数，Δ是Laplace算子，Δ的特征根为-k²,k∈N。两种群都遵循logistic增长，r/1+Cv(t-τ,x)是修正的被捕食者的自然增长率，r为猎物内在增长率，C为恐惧参数，τ为恐惧时滞，K是被捕食者的环境承载率，s是捕食者的自然增长率，u(t,x)/h是修正的捕食者的环境承载率，代表捕食者的环境承载能力与被捕食者密度成正比，h为环境承载率与u(t,x)的比值。mu(t,x)v(t,x)/[u(t,x)+Av(t,x)]是Holling-II型的功能反应函数，Holling-II型的耦合函数代表捕食者对被捕食者的捕食行为，m和A是Holling-II型函数的参数；

该捕食被捕食模型的Neumann边界条件为：

其中，n是在

上的外单位法向量，Ω＝(0,π)是光滑边界

上的有界区域。Neumann边界条件意味着没有种群穿越有界区域

此时，该模型的唯一正平衡点为E^*(u^*,v^*)，

对于无控的含有恐惧时滞和扩散的偏微分捕食被捕食模型施加分岔延迟控制器，在平衡点处加入分岔延迟控制器，得到加入分岔延迟控制器的捕食被捕食模型。

在平衡点E^*(u^*,v^*)处加入分岔延迟控制器的表达如下：

其中，α为调节参数，u*为所求平衡点中u的分量，β为状态反馈参数。

加入分岔延迟控制器的捕食被捕食模型的数学表达式如下：

将受分岔延迟控制器作用的捕食被捕食模型在平衡点处线性化，得出线性化的被控网络的特征方程。

将受分岔延迟控制器作用的捕食被捕食模型在平衡点处线性化，得到：

其中

所述线性化的被控网络的特征方程表示为：

即：

λ²+(d₁k²+d₂k²-a₁₁-a₂₂)λ+(d₁k²-a₁₁)(d₂k²-a₂₂)-a₂₁(a₁₂+a₁₃e^-λτ)＝0 (10)

选取时滞，通过对该线性化后的被控网络的特征方程进行稳定性分析和分岔分析，选取适当的控制器参数，使得该网络在平衡点附件局部稳定。

所述被控模型在平衡点E^*(u^*,v^*)附近局部渐近稳定的条件是模型的特征方程的根具有负实部，因此，找到临界稳定的条件，即特征方程出现纯虚根的情况。

使所述特征方程的根具有负实部的情况具体包括：

(1)当***无时滞τ＝0时，特征方程(10)变为：

λ²+(d₁k²+d₂k²-a₁₁-a₂₂)λ+(d₁k²-a₁₁)(d₂k²-a₂₂)-a₂₁(a₁₂+a₁₃)＝0 (11)

特征方程(11)的根具有负实部的充要条件为如下的劳斯-赫尔维茨Routh-Hurwitz判据满足：

其中，

因此，当控制器参数使得受控***满足上述不等式(12)时，无时滞情况下的受控模型在平衡点E^*(u^*,v^*)处是局部渐近稳定的；

(2)当***有时滞(τ＞0)，假设受控***的特征方程有一对纯虚根±iω，并将λ＝iω带入特征方程中，分离实部虚部可得：

其中

对上述三角函数(13)求平方和可得等式

ω⁴+[p₁ ²(k²)-2q₁(k²)+2a₂₁a₁₂]ω²+[q₁(k²)-a₂₁a₁₂]²-a₂₁ ²a₁₃ ²＝0 (14)

此时，令

h(ω)＝ω⁴+[p₁ ²(k²)-2q₁(k²)+2a₂₁a₁₂]ω²+[q₁(k²)-a₂₁a₁₂]²-a₂₁ ²a₁₃ ²，当

[q₁(k²)-a₂₁a₁₂]²-a₂₁ ²a₁₃ ²＜0，上述方程至少有一个正根ω₀，对应ω₀可解出此时的时τ₀：

分岔时滞是***从稳定到不稳定的一个临界阈值，那么对应的特征方程的根要从虚轴的左半平面穿越虚轴抵达右半平面，因此，在该点处的穿越条件：特征根对于分岔参数τ的导数在τ₀处的实部是大于零的，特征根才能从虚轴左半平面穿越到右半平面。

特征方程两边对τ求导并取倒数可得：

对(16)式取实部

显然，

由穿越条件(18)可得，特征方程(10)的特征根由虚轴左半平面穿越虚轴抵达右半平面，此时Hopf分岔发生。

上述结果可以看出在τ₀处满足穿越条件，因此，τ₀是原被控***的分岔点。我们可以得出以下结论：

A.当时滞选取满足τ∈[0,τ₀)，受控模型在平衡点E^*(u^*,v^*)处局部渐近稳定；

B.当时滞满足τ＝τ₀时，***在平衡点E^*(u^*,v^*)处产生Hopf分岔，当τ穿越τ₀时，***产生一组周期解。

下面运用实例对本发明作进一步说明。本发明运用Matlab仿真实例来验证。

第一步：选取无控的含有恐惧时滞和扩散的捕食被捕食模型：

通过对Hopf分岔的计算可得，无控***的分岔时滞为

如图2，3所示，当选取时滞

时，无控***(1)的u(t,x)和v(t,x)在平衡点E^*(u^*,v^*)处局部渐近稳定。

如图4，5所示，当选取时滞

时，无控***(1)的u(t,x)和v(t,x)在平衡点E^*(u^*,v^*)处失去稳定性，处于震荡状态，无控***(1)此时在E^*(u^*,v^*)发生Hopf分岔。

第二步：对含有恐惧时滞和扩散的捕食被捕食模型加入分岔延迟控制器，控制器参数α＝1.4，β＝-0.03。受控***的数学表达式如下：

通过对Hopf分岔的计算可得，受控***的分岔时滞为

如图6，7所示，当选取时滞

时，受控***(3)在分岔延迟控制器(2)的作用下，在平衡点E^*(u^*,v^*)处重回稳定。

如图8，9所示，当选取时滞

时，受控***(3)的u(t,x)和v(t,x)在平衡点E^*(u^*,v^*)处失去稳定性，处于震荡状态，受控***(3)此时在E^*(u^*,v^*)发生Hopf分岔。

对于***/装置实施例而言，由于其基本相似于方法实施例，所以描述的比较简单，相关之处参见方法实施例的部分说明即可。

需要说明的是，在本文中，诸如第一和第二等之类的关系术语仅仅用来将一个实体或者一个操作与另一个实体或者另一个操作区分开来，而不一定要求或者暗示这些实体或者操作之间存在任何这种实际的关系或者顺序。

本领域内的技术人员应明白，本申请的实施例可提供为方法、***、或计算机程序产品。因此，本申请可采用完全硬件实施例、完全应用实施例、或结合应用和硬件方面的实施例的形式。而且，本申请可采用在一个或多个其中包含有计算机可用程序代码的计算机可用存储介质(包括但不限于磁盘存储器、CD-ROM、光学存储器等)上实施的计算机程序产品的形式。

本发明是参照根据本发明实施例的方法、设备(***)、和计算机程序产品的流程图和/或方框图来描述的。应理解可由计算机程序指令实现流程图和/或方框图中的每一流程和/或方框、以及流程图和/或方框图中的流程和/或方框的结合。可提供这些计算机程序指令到通用计算机、专用计算机、嵌入式处理机或其他可编程数据处理设备的处理器以产生一个机器，使得通过计算机或其他可编程数据处理设备的处理器执行的指令产生用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的装置。

这些计算机程序指令也可存储在能引导计算机或其他可编程数据处理设备以特定方式工作的计算机可读存储器中，使得存储在该计算机可读存储器中的指令产生包括指令装置的制造品，该指令装置实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能。

这些计算机程序指令也可装载到计算机或其他可编程数据处理设备上，使得在计算机或其他可编程设备上执行一系列操作步骤以产生计算机实现的处理，从而在计算机或其他可编程设备上执行的指令提供用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的步骤。

尽管已描述了本发明的优选实施例，但本领域内的技术人员一旦得知了基本创造性概念，则可对这些实施例作出另外的变更和修改。所以，所附权利要求意欲解释为包括优选实施例以及落入本发明范围的所有变更和修改。

显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样，倘若本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。

Claims (7)

1.一种基于改进的捕食被捕食模型的分岔延迟控制器设计方法，其特征在于，所述方法包括：

在传统捕食被捕食模型的基础上进行改进，建立含有恐惧时滞和扩散的偏微分捕食被捕食模型，得到平衡点信息；

对于无控的含有恐惧时滞和扩散的偏微分捕食被捕食模型施加分岔延迟控制器，在平衡点处加入分岔延迟控制器，得到加入分岔延迟控制器的捕食被捕食模型；

将受分岔延迟控制器作用的捕食被捕食模型在平衡点处线性化，得出线性化的被控网络的特征方程；

选取时滞，通过对该线性化后的被控网络的特征方程进行稳定性分析和分岔分析，选取适当的控制器参数，使得该网络在平衡点附件局部稳定。

2.根据权利要求1所述的基于改进的捕食被捕食模型的分岔延迟控制器设计方法，其特征在于，所述含有恐惧时滞和扩散的偏微分捕食被捕食模型表示为：

其中u(t,x)和v(t,x)分别代表被捕食者和捕食者的时间t和位置x的种群密度。d₁和d₂是被捕食者和捕食者的扩散系数，Δ是Laplace算子，Δ的特征根为-k²,k∈N。两种群都遵循logistic增长，r/1+Cv(t-τ,x)是修正的被捕食者的自然增长率，r为猎物内在增长率，C为恐惧参数，τ为恐惧时滞，K是被捕食者的环境承载率，s是捕食者的自然增长率，u(t,x)/h是修正的捕食者的环境承载率，代表捕食者的环境承载能力与被捕食者密度成正比，h为环境承载率与u(t,x)的比值。mu(t,x)v(t,x)/[u(t,x)+Av(t,x)]是Holling-II型的耦合函数，m和A是Holling-II型函数的参数；

平衡点E^*(u^*,v^*)表示为：

u^*＝hv^*

u^*和v^*分别代表***在平衡点E^*处，被捕食者和捕食者的取值。

3.根据权利要求2所述的基于改进的捕食被捕食模型的分岔延迟控制器设计方法，其特征在于，所述在平衡点处加入分岔延迟控制器的表达如下：

其中，α为调节参数，u*为所求平衡点中u分量，β为状态反馈参数。

4.根据权利要求3所述的基于改进的捕食被捕食模型的分岔延迟控制器设计方法，其特征在于，加入分岔延迟控制器的捕食被捕食模型如下：

5.根据权利要求4所述的基于改进的捕食被捕食模型的分岔延迟控制器设计方法，其特征在于，将受分岔延迟控制器作用的神经元模型在平衡点E^*(u^*,v^*)处线性化，得到：

所述线性化的被控网络的特征方程表示为：

即：

λ²+(d₁k²+d₂k²-a₁₁-a₂₂)λ+(d₁k²-a₁₁)(d₂k²-a₂₂)-a₂₁(a₁₂+a₁₃e^-λτ)＝0 (7)

其中：

6.根据权利要求5所述的基于改进的捕食被捕食模型的分岔延迟控制器设计方法，其特征在于，所述模型在平衡点E^*(u^*,v^*)附近局部渐近稳定的条件是模型的特征方程的根具有负实部，因此，找到临界稳定的条件，即特征方程出现纯虚根的情况。

7.根据权利要求6所述的基于改进的捕食被捕食模型的分岔延迟控制器设计方法，其特征在于，使所述特征方程的根具有负实部的情况具体包括：

当***无时滞τ＝0时，特征方程为：

λ²+(d₁k²+d₂k²-a₁₁-a₂₂)λ+(d₁k²-a₁₁)(d₂k²-a₂₂)-a₂₁(a₁₂+a₁₃)＝0 (9)

上述方程的根具有负实部的充要条件为如下的劳斯-赫尔维茨Routh-Hurwitz判据满足：

d₁k²+d₂k²-a₁₁-a₂₂＞0 (10)

(d₁k²-a₁₁)(d₂k²-a₂₂)-a₂₁(a₁₂+a₁₃)＞0 (11)

因此，当控制器参数满足上述两个不等式时，无时滞情况下的模型是稳定的；

当***有时滞(τ＞0)，将λ＝iω带入特征方程中，分离实部虚部可得：

其中

此时，令h(ω)＝ω⁴+[p₁ ²(k²)-2q₁(k²)+2a₂₁a₁₂]ω²+[q₁(k²)-a₂₁a₁₂]²-a₂₁ ²a₁₃ ²，当[q₁(k²)-a₂₁a₁₂]²-a₂₁ ²a₁₃ ²＜0，上述方程至少有一个正根ω₀，对应可解出此时的时滞：

分岔时滞是***从稳定到不稳定的一个临界阈值，那么对应的特征方程的根要从虚轴的左半平面穿越虚轴抵达右半平面，因此，在该点处的穿越条件：特征根对于分岔参数τ的导数在τ₀处的实部是大于零的，特征根才能从虚轴左半平面穿越到右半平面，由此得到：

当时滞选取满足τ∈[0,τ₀)，受控模型在平衡点E^*(u^*,v^*)处局部渐近稳定；

当时滞满足τ＝τ₀时，***在平衡点E^*(u^*,v^*)处产生Hopf分岔，当τ穿越τ₀时，***产生一组周期解。

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