CN113655716A - 非线性球杆***有限时间稳定的控制方法、***及介质 - Google Patents

非线性球杆***有限时间稳定的控制方法、***及介质 Download PDF

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CN113655716A CN202110861569.7A CN202110861569A CN113655716A CN 113655716 A CN113655716 A CN 113655716A CN 202110861569 A CN202110861569 A CN 202110861569A CN 113655716 A CN113655716 A CN 113655716A
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Abstract

本发明公开了一种非线性球杆***有限时间稳定的控制方法、***及介质，该控制方法包括：确定非线性球杆***的状态变量模型及状态变量误差模型；所述状态变量模型包括第一状态变量和第二状态变量；所述状态变量误差模型包括第一状态变量误差和第二状态变量误差；选取第一Lyapunov函数，并根据所述第一Lyapunov函数、所述状态变量模型及所述状态变量误差模型确定虚拟控制量；选取第二Lyapunov函数，并根据所述第二Lyapunov函数确定控制律。本发明实施例能够在有限时间内稳定具有不确定性的球杆***实验控制模型，可广泛应用于球杆***控制领域。

Description

非线性球杆***有限时间稳定的控制方法、***及介质
技术领域
本发明涉及球杆***控制领域，尤其涉及一种非线性球杆***有限时间稳定的控制方法、***及介质。
背景技术
在工业控制中，PID(Proportion Integral Differential，偏差的比例、积分和微分)控制因其控制方法简单且控制效率高而被广泛采用。虽然PID控制能通过调节其三个参数使***输出量跟踪期望输入，但是从理论上分析可知，PID控制可以使***渐进稳定而不能使***在规定的时间内稳定。因此，对于某些需要在短时间内被镇定的***而言，不宜采用PID控制而是采用有限时间控制。
而现有的有限时间控制理论都是基于精确模型而建立的，并不能适用于实际的实验控制模型。在工业控制中，实际球杆控制***对时间、速度、抗干扰等功能要求较高，并且实际试验模型并不是唯一精确的。因此，现有工业控制中常见的PID控制以及现有有限时间控制理论并不能解决上述问题。
发明内容
有鉴于此，本发明实施例的目的是提供一种非线性球杆***有限时间稳定的控制方法、***及介质，能够在有限时间内稳定具有不确定性的球杆***实验控制模型。
第一方面，本发明实施例提供了一种非线性球杆***有限时间稳定的控制方法，包括步骤：
确定非线性球杆***的状态变量模型及状态变量误差模型；所述状态变量模型包括第一状态变量和第二状态变量；所述状态变量误差模型包括第一状态变量误差和第二状态变量误差；
选取第一Lyapunov函数，并根据所述第一Lyapunov函数、所述状态变量模型及所述状态变量误差模型确定虚拟控制量；
选取第二Lyapunov函数，并根据所述第二Lyapunov函数确定控制律。
可选地，当非线性球杆***的扰动已知，所述选取第一Lyapunov函数，包括：
选取所述第一状态变量误差的二次函数作为第一Lyapunov函数。
可选地，所述选取第二Lyapunov函数，包括：
选取所述第二状态变量误差的二次函数与所述第一Lyapunov函数之和作为第二Lyapunov函数。
可选地，当非线性球杆***的扰动未知，还包括步骤：
根据RBF神经网络确定扰动估计模型，所述扰动估计模型包括权值向量、权值估计向量及网络逼近误差。
可选地，所述选取第一Lyapunov函数，包括：
选取所述第一状态变量误差的二次函数、第一预估值及第二预估值之和作为第一Lyapunov函数；其中，所述第一预估值为所述权值向量与所述权值估计向量的乘积，所述第二预估值为所述网络逼近误差的上确界的二次函数。
可选地，所述选取第二Lyapunov函数，包括：
选取所述第二状态变量误差的二次函数与所述第一Lyapunov函数之和作为第二Lyapunov函数。
第二方面，本发明实施例提供了一种非线性球杆***有限时间稳定的控制***，包括：
第一模块，用于确定非线性球杆***的状态变量模型及状态变量误差模型；所述状态变量模型包括第一状态变量和第二状态变量；所述状态变量误差模型包括第一状态变量误差和第二状态变量误差；
第二模块，用于选取第一Lyapunov函数，并根据所述第一Lyapunov函数、所述状态变量模型及所述状态变量误差模型确定虚拟控制量；
第三模块，用于选取第二Lyapunov函数，并根据所述第二Lyapunov函数确定控制律。
第三方面，本发明实施例提供了一种非线性球杆***有限时间稳定的控制***，包括：
至少一个处理器；
至少一个存储器，用于存储至少一个程序；
当所述至少一个程序被所述至少一个处理器执行，使得所述至少一个处理器实现上述的控制方法。
第四方面，本发明实施例提供了一种存储介质，其中存储有处理器可执行的程序，所述处理器可执行的程序在由处理器执行时用于执行上述的控制方法。
实施本发明实施例包括以下有益效果：本发明实施例通过选取的第一Lyapunov函数、状态变量模型及状态变量误差模型确定虚拟控制量，通过选取的第二Lyapunov函数确定控制律，从而实现能够在有限时间内稳定具有不确定性的球杆***实验控制模型。
附图说明
图1是本发明实施例提供的一种非线性球杆***有限时间稳定的控制方法的步骤流程示意图；
图2是本发明实施例提供的一种非线性球杆***有限时间稳定的仿真模型的信号流程图；
图3是本发明实施例提供的一种单位阶跃输入且已知扰动的非线性球杆***仿真图；
图4是本发明实施例提供的一种单位阶跃输入且已知扰动的非线性球杆***的输出信号曲线和误差响应曲线；
图5是本发明实施例提供的一种位阶跃输入且已知扰动的非线性球杆***的输入信号曲线；
图6是本发明实施例提供的一种位阶跃输入且已知扰动的非线性球杆***的误差响应曲线；
图7是本发明实施例提供的一种正弦输入且已知扰动的非线性球杆***仿真图；
图8是本发明实施例提供的一种正弦输入且已知扰动的非线性球杆***的输出信号曲线和误差响应曲线；
图9是本发明实施例提供的一种正弦输入且已知扰动的非线性球杆***的输入信号曲线；
图10是本发明实施例提供的一种正弦输入且已知扰动的非线性球杆***的误差响应曲线；
图11是本发明实施例提供的一种单位阶跃输入且未知扰动的非线性球杆***仿真图；
图12是本发明实施例提供的一种单位阶跃输入且未知扰动的非线性球杆***的输出信号曲线和误差响应曲线；
图13是本发明实施例提供的一种单位阶跃输入且未知扰动的非线性球杆***的输入信号曲线；
图14是本发明实施例提供的一种单位阶跃输入且未知扰动的非线性球杆***的误差响应曲线；
图15是本发明实施例提供的一种正弦输入且未知扰动的非线性球杆***仿真图；
图16是本发明实施例提供的一种正弦输入且未知扰动的非线性球杆***的输出信号曲线和误差响应曲线；
图17是本发明实施例提供的一种正弦输入且未知扰动的非线性球杆***的输入信号曲线；
图18是本发明实施例提供的一种正弦输入且未知扰动的非线性球杆***的误差响应曲线；
图19是本发明实施例提供的一种非线性球杆***有限时间稳定的控制***的结构框图；
图20是本发明实施例提供的另一种非线性球杆***有限时间稳定的控制***的结构框图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步的详细说明。对于以下实施例中的步骤编号，其仅为了便于阐述说明而设置，对步骤之间的顺序不做任何限定，实施例中的各步骤的执行顺序均可根据本领域技术人员的理解来进行适应性调整。
从能量观点进行稳定性分析，如果一个***被激励后，其储存的能量随着时间的推移会逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达到最小值；那么，这个平衡状态是渐进稳定的。反之，如果***不断地从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的。如果***的储能既不增加，也不消耗，那么这个平衡状态就是Lyaounov意义下的稳定。
由于***的复杂性和多样性，往往不能直观地找到一个能量函数来描述***地能量关系，于是李雅普诺夫定义一个正定的标量函数V(x)，作为虚构的广义能量函数，然后，根据
Figure BDA0003185945170000042
的符号特征来判别***的稳定性。对于一个给定***，如果能找到一个正定的标量函数V(x)，而
Figure BDA0003185945170000041
是负定的，则这个***是渐进稳定的。这个V(x)叫做Lyaounov函数。
如图1所示，本发明实施例提供了一种非线性球杆***有限时间稳定的控制方法，包括步骤：
S100、确定非线性球杆***的状态变量模型及状态变量误差模型；所述状态变量模型包括第一状态变量和第二状态变量；所述状态变量误差模型包括第一状态变量误差和第二状态变量误差。
S200、选取第一Lyapunov函数，并根据所述第一Lyapunov函数、所述状态变量模型及所述状态变量误差模型确定虚拟控制量。
S300、选取第二Lyapunov函数，并根据所述第二Lyapunov函数确定控制律。
可选地，当非线性球杆***的扰动已知，所述选取第一Lyapunov函数，包括：
S210A、选取所述第一状态变量误差的二次函数作为第一Lyapunov函数。
可选地，所述选取第二Lyapunov函数，包括：
S310A、选取所述第二状态变量误差的二次函数与所述第一Lyapunov函数之和作为第二Lyapunov函数。
具体地，当非线性球杆***的扰动已知时。
1、***方程描述如下：
Figure BDA0003185945170000051
其中，x1、x2状态变量，f(t)为可测扰动，A为可测常量。
2、控制器的设计
误差状态变量如下：
Figure BDA0003185945170000052
其中，z1为x1状态变量的实际与理想差值，z2为x2状态变量的实际与理想差值，x1、x2为状态变量，x1d为期望输出、α为虚拟控制量。
选取第一Lyapunov函数如下：
Figure BDA0003185945170000053
对V1其求导，得：
Figure BDA0003185945170000054
将上式(1-2)带入式(1-4)，得：
Figure BDA0003185945170000055
令
Figure BDA0003185945170000056
其中，c1>0，0.5<β1<1。
将式(1-6)带入式(1-5)，得：
Figure BDA0003185945170000057
然后再选取Lyapunov函数
Figure BDA0003185945170000061
则
Figure BDA0003185945170000062
将式(1-2)带入上式(1-9)，得：
Figure BDA0003185945170000063
为使整个***稳定，需要使
Figure BDA0003185945170000064
故取控制律u为：
Figure BDA0003185945170000065
其中，c2>0，0<β2<1。
将式(1-11)带入式(1-10)，得：
Figure BDA0003185945170000066
其中，ρ>0。
3、下面证明其稳定性。
由上式(1-12)可以看出
Figure BDA0003185945170000067
为半负定，故z1和z2都是Lyapunov稳定(有界)。记
Figure BDA0003185945170000068
因为g(t)≥0，且
Figure BDA0003185945170000069
有界(
Figure BDA00031859451700000610
和
Figure BDA00031859451700000611
都有界)，故由LaSalle不变性定理可得：
Figure BDA00031859451700000612
则有当t→∞时，z1→0，z2→0，即x1能跟踪给定信号x1d，故***稳定，证毕。并且，根据有限时间稳定定理，由式(1-2)得，x1能在有限时间跟踪给定信号x1d。
可选地，当非线性球杆***的扰动未知，还包括步骤：
S110、根据RBF神经网络确定扰动估计模型，所述扰动估计模型包括权值向量、权值估计向量及网络逼近误差。
可选地，所述选取第一Lyapunov函数，包括：
S210B、选取所述第一状态变量误差的二次函数、第一预估值及第二预估值之和作为第一Lyapunov函数；其中，所述第一预估值为所述权值向量与所述权值估计向量的乘积，所述第二预估值为所述网络逼近误差的上确界的二次函数。
可选地，所述选取第二Lyapunov函数，包括：
S310B、选取所述第二状态变量误差的二次函数与所述第一Lyapunov函数之和作为第二Lyapunov函数。
具体地，当非线性球杆***的扰动未知时。
1、***方程描述如下：
Figure BDA0003185945170000071
其中，x1、x2为状态变量，f(t)为未知扰动，A为可测常量。
基于RBF神经网络逼近的自适应反演控制器的设计
首先，定义如下公式：
Figure BDA0003185945170000072
其中，θT为权值向量，φ(x)为高斯函数，
Figure BDA0003185945170000073
为权值估计向量，
Figure BDA0003185945170000074
为扰动估计，ε为网络逼近误差。
又定义如下公式：
Figure BDA0003185945170000075
式中，ε为网络逼近误差，D为ε的上确界。
第1步、定义跟踪误差如下：
Figure BDA0003185945170000076
取yd＝x1d为期望输出，则：
Figure BDA0003185945170000077
其中，z1为x1状态变量的实际与理想差值，z2为x2状态变量的实际与理想差值，x1、x2为状态变量，x1d为期望输出、α为虚拟控制量。
设计Lyapunov函数为：
Figure BDA0003185945170000081
式中，rθ,rD为常数，且均大于0，D为ε的上确界，ε为网络逼近误差。
对式(2-6)求导，并将式(2-3)带入，得：
Figure BDA0003185945170000082
令虚拟控制量α为：
Figure BDA0003185945170000083
则将式(2-8)带入式(2-7)，得：
Figure BDA0003185945170000084
如果z2＝0，
Figure BDA0003185945170000085
则
Figure BDA0003185945170000086
为此，需要进行下一步设计。
第2步、设计Lyapunov函数为：
Figure BDA0003185945170000087
则：
Figure BDA0003185945170000091
为使整个***稳定，需要使
Figure BDA0003185945170000092
故取控制律u和自适应律为：
Figure BDA0003185945170000093
则：
Figure BDA0003185945170000094
3、下面证明其稳定性。
由上式(2-13)可以看出
Figure BDA0003185945170000095
为半负定，故z1和z2都是Lyapunov稳定(有界)。记
Figure BDA0003185945170000096
因为g(t)≥0，且
Figure BDA0003185945170000097
有界(
Figure BDA0003185945170000098
和
Figure BDA0003185945170000099
都有界)，故由LaSalle不变性定理可得：
Figure BDA00031859451700000910
则有当t→∞时，z1→0，z2→0，即x1能跟踪给定信号x1d，故***稳定，证毕。并且，根据有限时间稳定定理，由式(2-4)得，x1能在有限时间跟踪给定信号x1d。
实施本发明实施例包括以下有益效果：本发明实施例通过选取的第一Lyapunov函数、状态变量模型及状态变量误差模型确定虚拟控制量，通过选取的第二Lyapunov函数确定控制律，从而实现能够在有限时间内稳定具有不确定性的球杆***实验控制模型。
下面以具体实施例说明本申请控制方法的可行性。在Simulink中搭建如下所示的仿真模型，参阅图2，输入信号为U,并且U＝X1d，将输入信号输入到控制器，x1表示实际跟踪信号，x2表示中间控制量，f(t)表示干扰，x1、x2及f(t)反馈给控制器及处理器；另外，控制器的输入信号用示波器显示，处理器的输出信号用示波器显示。
一、当扰动已知时，并设计出形式如下的有限时间稳定控制器：
Figure BDA0003185945170000101
Figure BDA0003185945170000102
其中，c1,c2>0，0.5<β1<1，0.5<β2<1。
(1)、当控制输入为单位阶跃输入时，在Simulink中搭建并运行如图3所示的仿真模型，1表示输入信号，2表示输入信号显示，3表示输出信号显示，以初始控制输入信号为单位阶跃u进行输入，进入控制器处理后的输入信号进入实际模型控制对象。此时的已知扰动f(t)假设为已知的正弦值，经过实际模型处理后，向控制器反馈中间控制量x2以及已知干扰f(t)，并输出实际跟踪信号x1。运行仿真后得出的输出信号x1和误差响应曲线如图4所示，控制输入u如图5所示，误差响应曲线如图6所示。
此时，当控制输入为单位阶跃输入且已知干扰时，由图4可以可知，***在2.5秒达到稳定；由图6可以可知，***超调量和输出误差几乎为0，说明上述***在控制输入为单位阶跃输入且已知干扰时，可以在有限时间内达到稳定控制。
(2)、当控制输入为正弦信号输入时，在Simulink中搭建并运行如图7所示的仿真模型，2表示输入信号显示，3表示输出信号显示，这时以初始控制输入信号为正弦信号u进行输入，进入控制器经处理后的输入信号进入实际模型控制对象。此时的已知扰动f(t)假设为已知的正弦值，经过实际模型处理，向控制器反馈中间控制量x2以及已知干扰f(t)，并输出实际跟踪信号x1。运行仿真后得出的输出信号x1和误差响应曲线如图8所示，控制输入u如图9所示，误差响应曲线如图10所示。
此时，当控制输入为正弦信号输入且已知干扰时，由以上图8可以看出***在2秒达到稳定；图10可以看出此***超调量小于5％，输出误差在4％以内，超调以及误差很小；说明上述***在控制输入为正弦信号输入、已知干扰时，可以在有限时间内达到稳定控制。
二、当扰动已知时，并设计出形式如下的有限时间稳定控制器：
Figure BDA0003185945170000111
其中，c1,c2>0，0.5<β1<1，0.5<β2<1，rθ,rD>0，A＝-1.853。
(1)、当控制输入为单位阶跃输入时，在Simulink中搭建并运行如图11所示的仿真模型，1表示输入信号，2表示输入信号显示，3表示输出信号显示，4表示未知扰动。这时以初始控制输入信号为单位阶跃u进行输入，进入控制器经处理后的输入信号进入实际模型控制对象。此时的未知扰动f(t)假设为正弦上随时间不断变动的正弦值进行输入，经过实际模型处理，向控制器反馈中间控制量x2，并输出实际跟踪信号x1，运行仿真后得出的输出信号x1和误差响应曲线如图12所示，控制输入u如图13所示，误差响应曲线如图14所示。
此时，当控制输入为单位阶跃输入且扰动未知时，由上述图12可以看出***在2秒左右达到相对稳定，实际的输出信号能及时地跟踪理想输出信号，同时结合图14可以看出超调以及误差非常小，超调量小于5％，输出误差在1％以内。说明上述***在控制输入为单位阶跃输入且未知干扰时，可以在有限时间内达到稳定控制。
(2)、当控制输入为正弦信号输入时，在Simulink中搭建并运行如图15所示的仿真模型，2表示输入信号显示，3表示输出信号显示，4表示未知扰动。这时以初始控制输入信号为正弦信号u进行输入，进入控制器经处理后的输入信号进入实际模型控制对象。此时的未知扰动f(t)假设为正弦上随时间不断变动正弦值进行输入，经过实际模型处理，向控制器反馈中间控制量x2，并输出实际跟踪信号x1。运行仿真后得出的输出信号x1和误差响应曲线如图16所示、控制输入u如图17所示，误差响应曲线如图18所示。
此时，当控制输入为正弦信号输入且扰动未知时，由上述图16可以看出***迅速地达到相对稳定，实际的输出信号能及时地跟踪理想输出信号，同时结合图18可以看出超调以及误差非常小，超调量小于2％，输出误差在3％以内。说明上述***在控制输入为正弦信号输入且未知干扰时，可以在有限时间内达到稳定控制。
如图19所示，本发明实施例提供了一种非线性球杆***有限时间稳定的控制***，包括：
第一模块，用于确定非线性球杆***的状态变量模型及状态变量误差模型；所述状态变量模型包括第一状态变量和第二状态变量；所述状态变量误差模型包括第一状态变量误差和第二状态变量误差；
第二模块，用于选取第一Lyapunov函数，并根据所述第一Lyapunov函数、所述状态变量模型及所述状态变量误差模型确定虚拟控制量；
第三模块，用于选取第二Lyapunov函数，并根据所述第二Lyapunov函数确定控制律。
可见，上述方法实施例中的内容均适用于本***实施例中，本***实施例所具体实现的功能与上述方法实施例相同，并且达到的有益效果与上述方法实施例所达到的有益效果也相同。
如图20所示，本发明实施例提供了一种非线性球杆***有限时间稳定的控制***，包括：
至少一个处理器；
至少一个存储器，用于存储至少一个程序；
当所述至少一个程序被所述至少一个处理器执行，使得所述至少一个处理器实现上述的控制方法。
可见，上述方法实施例中的内容均适用于本***实施例中，本***实施例所具体实现的功能与上述方法实施例相同，并且达到的有益效果与上述方法实施例所达到的有益效果也相同。
此外，本申请实施例还公开了一种计算机程序产品或计算机程序，计算机程序产品或计算机程序存储在计算机可读存介质中。计算机设备的处理器可以从计算机可读存储介质读取该计算机程序，处理器执行该计算机程序，使得该计算机设备执行上述所示的控制方法。同样地，上述方法实施例中的内容均适用于本存储介质实施例中，本存储介质实施例所具体实现的功能与上述方法实施例相同，并且达到的有益效果与上述方法实施例所达到的有益效果也相同。
以上是对本发明的较佳实施进行了具体说明，但本发明创造并不限于所述实施例，熟悉本领域的技术人员在不违背本发明精神的前提下还可做作出种种的等同变形或替换，这些等同的变形或替换均包含在本申请权利要求所限定的范围内。

Claims (9)

1.一种非线性球杆***有限时间稳定的控制方法，其特征在于，包括步骤：
确定非线性球杆***的状态变量模型及状态变量误差模型；所述状态变量模型包括第一状态变量和第二状态变量；所述状态变量误差模型包括第一状态变量误差和第二状态变量误差；
选取第一Lyapunov函数，并根据所述第一Lyapunov函数、所述状态变量模型及所述状态变量误差模型确定虚拟控制量；
选取第二Lyapunov函数，并根据所述第二Lyapunov函数确定控制律。
2.根据权利要求1所述的控制方法，其特征在于，当非线性球杆***的扰动已知，所述选取第一Lyapunov函数，包括：
选取所述第一状态变量误差的二次函数作为第一Lyapunov函数。
3.根据权利要求2所述的控制方法，其特征在于，所述选取第二Lyapunov函数，包括：
选取所述第二状态变量误差的二次函数与所述第一Lyapunov函数之和作为第二Lyapunov函数。
4.根据权利要求1所述的控制方法，其特征在于，当非线性球杆***的扰动未知，还包括步骤：
根据RBF神经网络确定扰动估计模型，所述扰动估计模型包括权值向量、权值估计向量及网络逼近误差。
5.根据权利要求4所述的控制方法，其特征在于，所述选取第一Lyapunov函数，包括：
选取所述第一状态变量误差的二次函数、第一预估值及第二预估值之和作为第一Lyapunov函数；其中，所述第一预估值为所述权值向量与所述权值估计向量的乘积，所述第二预估值为所述网络逼近误差的上确界的二次函数。
6.根据权利要求5所述的控制方法，其特征在于，所述选取第二Lyapunov函数，包括：
选取所述第二状态变量误差的二次函数与所述第一Lyapunov函数之和作为第二Lyapunov函数。
7.一种非线性球杆***有限时间稳定的控制***，其特征在于，包括：
第一模块，用于确定非线性球杆***的状态变量模型及状态变量误差模型；所述状态变量模型包括第一状态变量和第二状态变量；所述状态变量误差模型包括第一状态变量误差和第二状态变量误差；
第二模块，用于选取第一Lyapunov函数，并根据所述第一Lyapunov函数、所述状态变量模型及所述状态变量误差模型确定虚拟控制量；
第三模块，用于选取第二Lyapunov函数，并根据所述第二Lyapunov函数确定控制律。
8.一种非线性球杆***有限时间稳定的控制***，其特征在于，包括：
至少一个处理器；
至少一个存储器，用于存储至少一个程序；
当所述至少一个程序被所述至少一个处理器执行，使得所述至少一个处理器实现如权利要求1-6任一项所述的控制方法。
9.一种存储介质，其中存储有处理器可执行的程序，其特征在于，所述处理器可执行的程序在由处理器执行时用于执行如权利要求1-6任一项所述的控制方法。
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