CN113644857A - 一种永磁直线电机有限级量化迭代学习控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种永磁直线电机有限级量化迭代学习控制方法，涉及电机优化控制领域，该方法基于提升技术将重复运行的永磁直线电机转换为时间序列的输入输出矩阵模型，并将有限级对数量化器与编码解码机制相结合用以量化信号，从而减少传输数据量。针对采用编码解码方案量化信号的***，基于优化的思想设计迭代学习控制算法，根据性能指标函数得到迭代学习优化控制算法的前馈实现。基于压缩映射方法，证明了所设计的量化迭代学习优化算法在数学期望意义下的收敛性。该方法可以解决使用网络传输信号的永磁直线电机的跟踪控制问题，实现对期望轨迹的高精度跟踪。

Description

一种永磁直线电机有限级量化迭代学习控制方法

技术领域

本发明涉及电机优化控制领域，尤其是一种永磁直线电机有限级量化迭代学习控制方法。

背景技术

永磁直线电机是一种无中间传动机构的新型电机，可将电能直接转换为直线运动的机械能。由于其具有结构简单,推力体积比大,效率高,定位精确等优点,因而广泛应用于工业运输***、办公自动化及军事领域等。

对于执行重复性任务的永磁直线电机，迭代学习控制是一种能够有效提高轨迹跟踪精度的控制策略。而随着计算机与通信技术的发展，在永磁直线电机控制中采用网络控制***方案成为可能，其中永磁直线电机与迭代学习控制器位于不同站点并通过无线网络彼此通信，但受限于通信带宽有限及出于可靠性的考虑，需要减少数据传输量，量化信号作为一种解决该问题的常用技术手段，在实际应用中具有很大的优势，既可以实现***跟踪性能的要求，又能降低传输负担。因此对于采用网络通信的永磁直线电机，出现了量化数据背景下的迭代学习控制器设计问题。

在标称***上，许多迭代学习控制算法都取得了精确的跟踪性能和理想的收敛性能，并在实际应用中取得了良好的性能。然而，当传输信号存在量化误差时，常规的迭代学习控制算法的控制效果并不理想，由于实际应用中只能使用有限级量化器，而不是理想条件下的无限级量化器，这对控制器的设计提出了更高的要求。

发明内容

本发明人针对上述问题及技术需求，提出了一种永磁直线电机有限级量化迭代学习控制方法，将对数量化器与编码解码机制相结合设计了量化编码解码器，以迭代的方式实现信号精确传输，采用范数优化算法框架设计量化迭代学习控制算法，根据压缩映射法得到***的鲁棒有界收敛条件。

本发明的技术方案如下：

一种永磁直线电机有限级量化迭代学习控制方法，包括如下步骤：

第一步、建立永磁直线电机的动态模型：

动态模型采用下述动力学方程表示：

其中，R表示定子电阻，m表示电机动子部分的总质量，ψ_f表示定子永磁体励磁磁链，k₁＝π/τ，k₂＝1.5π/τ，τ表示极距，u(t)表示动子电压，p(t)表示电机位置，ω(t)表示电机动子速度；

第二步、构建永磁直线电机的离散状态空间方程：

选取满足香农采样定理采样周期T_s，使用欧拉法对连续***模型式(1)进行离散化，得到永磁直线电机的离散***模型如下：

将永磁直线电机的位置、动子速度定义为状态变量：x＝[p ω]^T，定义输入变量为动子电压u，输出为电机转速ω，则式(1)所示的永磁直线电机的动态模型描述为：

式中t和k分别代表采样时间和批次，批次过程的运行周期为T；在每个重复过程周期内，对于时间点t∈[0，T]取N个采样点；u_k(t)，y_k(t)和x_k(t)分别是该***第k批次t时刻的输入、输出和状态向量；A，B，C为式(3)中离散***各个参数矩阵，且满足CB≠0；并且假设***每个批次的初始状态一致，即x_k(0)＝x₀；

第三步、建立轨迹跟踪模型：

针对式(3)形式的线性离散***，将其状态空间表达式转换为时间序列的输入输出矩阵模型：

y_k＝Gu_k+d_k (4)

其中：

d_k＝[CA CA² CA³ … CA^N]^Tx_k(0)

u_k＝[u_k(0),u_k(1),...,u_k(N-1)]^T

y_k＝[y_k(1),y_k(2),...,y_k(N)]^T

G是时间序列上的输入输出传递矩阵；d_k是***初始状态对输出的影响，假设x_k(0)＝0,

则d_k＝0；

第四步、设计量化编码解码器：

在采用网络传输信号的***中，由于网络带宽有限，需要在减少传输的信息量条件下实现精确跟踪轨迹的目标，因此可对信号进行量化处理，设计输入端量化编码解码器如下：

其中，0表示与***输入具有相同维度的零向量，u_k(t)、

和

分别为编码器E₁的输入、输出和内部状态；

是解码器D₁的输出，即控制器输出u_k(t)的估计值；q(·)是由式(7)定义的有限级对数量化器：

其中，v表示有限级对数量化器的输入；

μ为所选择的量化密度，量化水平如下：

Z＝{±z_i|z_i＝μⁱz₀,i＝0,1,2,…,L-1}∪{0},0<μ<1,z₀>0

其中，L表示正量化级数，z₀>0表示最大允许级别，实际应用中可选择足够大的z₀使得

避免量化器饱和以简化控制器设计；

设计输出端量化编码解码器如下：

其中，0表示与***输出具有相同维度的零向量，y_k(t)、

和

分别为编码器E₂的输入、输出和内部状态；

是解码器D₂的输出，即***输出y_k(t)的估计值；q(·)是由式(7)定义的有限级对数量化器，输入端有限级对数量化器的参数设置与输出端有限级对数量化器的参数设置可以不同；

第五步、建立量化前后信号的关系表达式：

有限级对数量化器输入v与输出q(v)存在量化误差Δv，为了便于控制器的设计，需要给出输入v与输出q(v)之间的关系；当

时，根据扇形有界得到q(v)＝v+η·v＝(1+η)v,|η|≤δ；当

时可得

因此得到有限级对数量化器输入v与输出q(v)的关系式如下：

q(v)＝(1+η)v+d (10)

其中，η表示相对量化误差，满足|η|≤δ；d表示传输误差，满足

对于k批次t时刻的信号有：

q(v_k(t))＝(1+η_k(t))v_k(t)+d_k(t) (11)

其中，η_k(t)表示k批次t时刻信号的相对量化误差，d_k(t)表示k批次t时刻信号的传输误差；

根据输入端量化编码解码器的定义与式(11)，得到：

根据数学归纳法有

成立，于是

与u_k+1(t)的关系式为：

将式(13)提升为向量形式，得到

与u_k+1的向量关系式为：

其中：

根据输出端量化编码解码器的定义得到

与y_k+1的向量关系式为：

其中：

相对量化误差独立于量化器输入，因此对于任意的k批次t时刻有E[v_k(t)η_k(t)]＝0；不同量化器产生的相对量化误差也是相互独立的，即

i≠j且i,j∈{1,2}；而在相同的量化器中，相对量化误差η_k(t)在区间[-δ，δ]内均匀分布且对于任意k₁，k₂和t₁，t₂满足：

其中，

因此，通过取数学期望的方式化简含有

和

的表达式；

***中存在实际跟踪误差e_k+1＝y_d-y_k+1与辅助校正误差

真正体现***跟踪性能的是实际跟踪误差，控制器使用辅助校正误差修正当前批次输入信号；根据

得到：

因此，建立当前实际跟踪误差序列与前一批次辅助校正误差序列的关系式：

其中，定义

为传输误差，

β的取值与两侧量化器的参数选择有关，若输入输出端量化器选择的参数相同，则简化为

第六步、设计量化迭代学习控制轨迹跟踪优化算法：

考虑范数最优迭代学习控制框架，每批次的控制输入通过优化一个性能指标函数得到，性能指标函数的一般形式为：

性能指标函数包括实际跟踪误差和控制振荡，在优化过程中，分别用对称正定权重矩阵Q和R来表示其优先级，即Q＝Q^T>0，R＝R^T>0；

取权重矩阵Q＝qI，R＝rI，并且诱导范数被定义为如下形式：

中不包含随机变量，因而其期望等于其本身；

定义

Ξ＝σ²diag(γ₁₁,γ₂₂,…,γ_NN)，根据式(18)得到：

其中Ξ与σ²I都是对称正定矩阵；将式(20)代入性能指标函数式(19)得到：

有限级量化迭代学习控制更新律通过求解一个具有混合参数的优化问题得到，具体形式为：

为了解决式(22)的最小-最大化问题，利用拉格朗日对偶函数将最小-最大化问题转化为最小-最小化问题；因此，将最小-最大化问题重新表述为一个凸优化问题，从而保证全局最优解；

首先考虑关于传输误差w_k+1的最大化问题，因为性能指标函数(21)只有第一项与w_k+1有关，因此优化式(22)内部的最大化问题表示为：

最大化问题具有很强的对偶性；由于式(23)是带有约束的最大化问题，引入拉格朗日乘子λ_k+1，得到如下拉格朗日函数：

其中，拉格朗日乘子λ_k+1≥0，根据KKT条件，通过对w_k+1和λ_k+1进行微分从而得到最优解，并用

和

表示最优解得到：

为了保证原性能指标函数的凸优化要求，拉格朗日函数(24)的海森矩阵应是负半定的，即

因此

可逆，用

表示其伪逆，则有：

是下列方程的解：

由式(26)和式(27)可以看出，最优解

和

的取值均依赖于u_k+1，得到L(w_k+1,λ_k+1)的对偶函数为：

将最大化问题(23)转化成对偶函数g(λ_k+1)的最小化问题，即：

其中g(λ_k+1)的具体表达式为：

将原始优化问题(22)外部的最小化问题与最小化问题(29)相结合，得到新的对偶函数，即原始优化问题(22)的最小化-最大化问题转化如下最小化-最小化问题：

其中J_dual(u_k+1,λ_k+1)表示新的对偶性能指标函数且为凸函数，且有：

由于式(32)是凸函数，因此存在有效的数值算法来计算式(31)的全局最优解；其中最小化问题

是关于λ_k+1的凸优化问题，因此最优解

由对偶函数通过对λ_k+1微分得到，得到：

其中，

当

时，Q_k+1是正定矩阵；

对u_k+1进行微分得到：

由于(G^TQ_k+1G+Ξ+R)可逆，将式(34)整理后得到有限级量化迭代学习控制更新律为：

其中：

增益矩阵Q_k+1随批次改变，其值取决于优化问题(31)的解

第七步、分析量化迭代学习轨迹跟踪优化算法的收敛性：

对于期望跟踪轨迹y_d，存在一个理想的输入u_d满足y_d＝Gu_d，定义

则对于k+1批次有：

将控制更新律(35)代入式(37)，得到：

根据输入端信号的关系式，得到辅助校正误差的等价形式为：

由于

是可逆矩阵，根据

有：

将式(39)、式(40)代入式(38)整理得到：

对式(41)两边取期望得到：

根据式(36)得到I-K_u-K_ζ＝0，令

对式(42)两边取范数，得到E(Δu_k+1)的不等式为：

||E(Δu_k+1)||≤||K_u-K_eG+K_ζ||||E(Δu_k)||+b (43)

***经过k次迭代后，E(Δu_k+1)的不等式转化为：

若选择的权重矩阵与量化密度使得约束条件成立：

||K_u-K_eG+K_ζ||≤ρ<1 (45)

根据压缩映射引理得到

因此式(43)简化为：

记||G||＝c，根据E(e_k)＝GE(Δu_k)得到：

即期望意义下的误差范数||E(e_k)||收敛至一个有界值；

第八步、利用量化编码解码器的量化信号实现永磁直线电机的轨迹跟踪：

根据有限级量化迭代学习控制律确定永磁直线电机每一迭代批次的生成输入矢量，经量化编码解码器作用得到实际输入矢量，以实际输入矢量对永磁直线电机进行轨迹跟踪控制，永磁直线电机在实际输入矢量的控制作用下跟踪期望输出。

本发明的有益技术效果是：

本申请公开了针对永磁直线电机此类具有重复运动特征的线性***，将永磁直线电机作为被控对象，针对网络传输信号带宽有限的情况，设计量化编码解码器，将对数量化器与信号编码机制相结合，从而在迭代的过程中逐步减轻量化误差对跟踪性能的影响，以提高传输信号精度。本方法基于范数优化迭代学习框架，设计了一种量化迭代学习控制算法，保证了***跟踪误差在数学期望意义下的收敛性。

附图说明

图1是本申请提供的永磁直线电机的模型框图。

图2是本申请提供的永磁直线电机的实际输出曲线图。

图3是本申请提供的***实际跟踪误差2-范数收敛图。

图4是本申请提供的控制器计算得到的生成输入电压曲线图。

图5是本申请提供的永磁直线电机实际输入电压曲线图。

图6是本申请提供的权重矩阵Q_k+1变化曲线图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式做进一步说明。

结合图1-图6所示，请参考图1，其示出了本申请公开的永磁直线电机的模型框图。第k批次的控制器输出为u_k，经编码器E₁编码后通过网络传输，由解码器D₁接收并解码得到实际控制矢量

作用于永磁直线电机可以得到***第k批次的实际输出y_k，其与储存在期望轨迹存储器的设定期望值y_d进行比较得到实际跟踪误差e_k。将实际跟踪误差精度与设定的精度值做比较，若误差精度没有达到所设定的精度，则将实际输出y_k经编码器E₂编码后通过网络传输，由解码器D₂接收并解码得到估计的输出值

其与储存在期望轨迹存储器的设定期望值进行比较得到辅助校正误差

将辅助校正误差

当前控制器输入u_k与编码器E₁的内部状态量

传递到优化迭代学习控制器生成下一批次的控制器输出u_k+1，如此循环运行直至***实际输出与期望值之间的误差达到精度要求，则停止迭代，此时的控制器输入即为最优控制输入。

针对式(1)所示的永磁直线电机实际物理模型(也即动态模型)，变量参数分别设定为：

R＝8.6Ω,m＝1.635kg,ψ_f＝0.35Wb,τ＝0.031m

***仿真时间设定为t＝2s，采样时间设定为T_s＝0.01s，则***的离散状态空间表达式的参数矩阵分别为：

本实施方式设定永磁直线电机的期望轨迹为：

单位为rad/s，同时令初始状态满足x_k(0)＝0。采用网络传输信号，由于带宽有限设计了有限级量化编码解码器，其中对数量化器的参数设置为μ＝0.7。

选取权重矩阵Q＝100I,R＝0.1I，满足式(45)。当权重矩阵Q、R与量化密度μ确定时，量化迭代学习控制律中的K_u,K_e,K_ζ也随之确定。本申请的上述量化迭代学习控制器基于STM32F103RCT6芯片实现，芯片的输入为电机控制电压u，并通过电压传感器采集得到。输入信号通过调理电路进入STM32F103RCT6芯片进行存储和计算，并构建迭代学习更新律，CPU计算后得到的信号为生成输入信号u_k+1，经编码器E₁编码后通过网络传输，由解码器D₁接收并解码得到实际控制信号

实际控制信号作用于永磁直线电机，不断修正输出轨迹，直到跟踪上期望轨迹。永磁直线电机的动态模型(1)运行时，请参考图2，其示出了永磁直线电机应用量化迭代学习控制律(35)的轨迹跟踪效果图，经过一定批次k后，***的输出能准确跟踪到期望轨迹。图3表明量化迭代学习控制算法经过一定的迭代批次后依旧能够实现有界收敛，这也验证了算法的合理性以及有效性。

图4和图5分别为控制器计算得到的生成输入信号与***实际输入信号曲线图。对比图4与图5可知，随着迭代次数的增加，实际输入信号从初始的阶梯状逐渐变得平滑，经过多次迭代后实际输入信号与生成输入信号曲线基本一致，说明本申请所设计的量化编码解码器能够以迭代的方式实现信号的精确传输。图6表明随着迭代的进行权重矩阵Q_k+1逐渐增大。

以上所述的仅是本申请的优选实施方式，本发明不限于以上实施例。可以理解，本领域技术人员在不脱离本发明的精神和构思的前提下直接导出或联想到的其他改进和变化，均应认为包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种永磁直线电机有限级量化迭代学习控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

第一步、建立永磁直线电机的动态模型：

所述动态模型采用下述动力学方程表示：

其中，R表示定子电阻，m表示电机动子部分的总质量，ψ_f表示定子永磁体励磁磁链，k₁＝π/τ，k₂＝1.5π/τ，τ表示极距，u(t)表示动子电压，p(t)表示电机位置，ω(t)表示电机动子速度；

第二步、构建永磁直线电机的离散状态空间方程：

选取满足香农采样定理采样周期T_s，使用欧拉法对连续***模型式(1)进行离散化，得到所述永磁直线电机的离散***模型如下：

将所述永磁直线电机的位置、动子速度定义为状态变量：x＝[p ω]^T，定义输入变量为动子电压u，输出为电机转速ω，则式(1)所示的永磁直线电机的动态模型描述为：

式中t和k分别代表采样时间和批次，批次过程的运行周期为T；在每个重复过程周期内，对于时间点t∈[0，T]取N个采样点；u_k(t)，y_k(t)和x_k(t)分别是该***第k批次t时刻的输入、输出和状态向量；A，B，C为式(3)中离散***各个参数矩阵，且满足CB≠0；并且假设***每个批次的初始状态一致，即x_k(0)＝x₀；

第三步、建立轨迹跟踪模型：

针对式(3)形式的线性离散***，将其状态空间表达式转换为时间序列的输入输出矩阵模型：

y_k＝Gu_k+d_k (4)

其中：

d_k＝[CA CA² CA³…CA^N]^Tx_k(0)

u_k＝[u_k(0),u_k(1),...,u_k(N-1)]^T

y_k＝[y_k(1),y_k(2),...,y_k(N)]^T

G是时间序列上的输入输出传递矩阵；d_k是***初始状态对输出的影响，假设

则d_k＝0；

第四步、设计量化编码解码器：

在采用网络传输信号的***中，对信号进行量化处理，设计输入端量化编码解码器如下：

其中，0表示与***输入具有相同维度的零向量，u_k(t)、

和

分别为编码器E₁的输入、输出和内部状态；

是解码器D₁的输出，即控制器输出u_k(t)的估计值；q(·)是由式(7)定义的有限级对数量化器：

其中，v表示所述有限级对数量化器的输入；

μ为所选择的量化密度，量化水平如下：

Z＝{±z_i|z_i＝μⁱz₀,i＝0,1,2,…,L-1}∪{0},0<μ<1,z₀>0

其中，L表示正量化级数，z₀>0表示最大允许级别；

设计输出端量化编码解码器如下：

其中，0表示与***输出具有相同维度的零向量，y_k(t)、

和

分别为编码器E₂的输入、输出和内部状态；

是解码器D₂的输出，即***输出y_k(t)的估计值；q(·)是由式(7)定义的有限级对数量化器；输入端有限级对数量化器的参数设置与输出端有限级对数量化器的参数设置可以不同；

第五步、建立量化前后信号的关系表达式：

有限级对数量化器输入v与输出q(v)存在量化误差Δv，当

时，根据扇形有界得到q(v)＝v+η·v＝(1+η)v,|η|≤δ；当

时可得q(v)＝0＝v+d,

因此得到所述有限级对数量化器输入v与输出q(v)的关系式如下：

q(v)＝(1+η)v+d (10)

其中，η表示相对量化误差，满足|η|≤δ；d表示传输误差，满足

对于k批次t时刻的信号有：

q(v_k(t))＝(1+η_k(t))v_k(t)+d_k(t) (11)

其中，η_k(t)表示k批次t时刻信号的相对量化误差，d_k(t)表示k批次t时刻信号的传输误差；

根据所述输入端量化编码解码器的定义与式(11)，得到：

根据数学归纳法有

成立，于是

与u_k+1(t)的关系式为：

将式(13)提升为向量形式，得到

与u_k+1的向量关系式为：

其中：

根据所述输出端量化编码解码器的定义得到

与y_k+1的向量关系式为：

其中：

所述相对量化误差独立于量化器输入，因此对于任意的k批次t时刻有E[v_k(t)η_k(t)]＝0；不同量化器产生的相对量化误差也是相互独立的，即

i≠j且i,j∈{1,2}；而在相同的量化器中，相对量化误差η_k(t)在区间[-δ，δ]内均匀分布且对于任意k₁，k₂和t₁，t₂满足：

其中，

因此，通过取数学期望的方式化简含有

和

的表达式；

***中存在实际跟踪误差e_k+1＝y_d-y_k+1与辅助校正误差

真正体现***跟踪性能的是所述实际跟踪误差，控制器使用所述辅助校正误差修正当前批次输入信号；根据

得到：

因此，建立当前实际跟踪误差序列与前一批次辅助校正误差序列的关系式：

其中，定义

为传输误差，

β的取值与两侧量化器的参数选择有关，若输入输出端量化器选择的参数相同，则简化为

第六步、设计量化迭代学习控制轨迹跟踪优化算法：

考虑范数最优迭代学习控制框架，每批次的控制输入通过优化一个性能指标函数得到，所述性能指标函数的一般形式为：

所述性能指标函数包括所述实际跟踪误差和控制振荡，在优化过程中，分别用对称正定权重矩阵Q和R来表示其优先级，即Q＝Q^T>0，R＝R^T>0；

取权重矩阵Q＝qI，R＝rI，并且诱导范数被定义为如下形式：

中不包含随机变量，因而其期望等于其本身；

定义

Ξ＝σ²diag(γ₁₁,γ₂₂,…,γ_NN)，根据式(18)得到：

其中Ξ与σ²I都是对称正定矩阵；将式(20)代入性能指标函数式(19)得到：

有限级量化迭代学习控制更新律通过求解一个具有混合参数的优化问题得到，具体形式为：

为了解决式(22)的最小-最大化问题，利用拉格朗日对偶函数将所述最小-最大化问题转化为最小-最小化问题；因此，将所述最小-最大化问题重新表述为一个凸优化问题，从而保证全局最优解；

首先考虑关于传输误差w_k+1的最大化问题，因为性能指标函数(21)只有第一项与w_k+1有关，因此优化式(22)内部的最大化问题表示为：

所述最大化问题具有很强的对偶性；由于式(23)是带有约束的最大化问题，引入拉格朗日乘子λ_k+1，得到如下拉格朗日函数：

其中，拉格朗日乘子λ_k+1≥0，根据KKT条件，通过对w_k+1和λ_k+1进行微分从而得到最优解，并用

和

表示最优解得到：

为了保证原性能指标函数的凸优化要求，拉格朗日函数(24)的海森矩阵应是负半定的，即

因此

可逆，用

表示其伪逆，则有：

是下列方程的解：

由式(26)和式(27)可以看出，最优解

和

的取值均依赖于u_k+1，得到L(w_k+1,λ_k+1)的对偶函数为：

将最大化问题(23)转化成对偶函数g(λ_k+1)的最小化问题，即：

其中g(λ_k+1)的具体表达式为：

将原始优化问题(22)外部的最小化问题与最小化问题(29)相结合，得到新的对偶函数，即原始优化问题(22)的最小化-最大化问题转化如下最小化-最小化问题：

其中J_dual(u_k+1,λ_k+1)表示新的对偶性能指标函数且为凸函数，且有：

由于式(32)是凸函数，因此存在有效的数值算法来计算式(31)的全局最优解；其中最小化问题

是关于λ_k+1的凸优化问题，因此最优解

由对偶函数通过对λ_k+1微分得到，得到：

其中，

当

时，Q_k+1是正定矩阵；

对u_k+1进行微分得到：

由于(G^TQ_k+1G+Ξ+R)可逆，将式(34)整理后得到所述有限级量化迭代学习控制更新律为：

其中：

增益矩阵Q_k+1随批次改变，其值取决于优化问题(31)的解

第七步、分析量化迭代学习轨迹跟踪优化算法的收敛性：

对于期望跟踪轨迹y_d，存在一个理想的输入u_d满足y_d＝Gu_d，定义

则对于k+1批次有：

将控制更新律(35)代入式(37)，得到：

根据输入端信号的关系式，得到所述辅助校正误差的等价形式为：

由于

是可逆矩阵，根据

有：

将式(39)、式(40)代入式(38)整理得到：

对式(41)两边取期望得到：

根据式(36)得到I-K_u-K_ζ＝0，令

对式(42)两边取范数，得到E(Δu_k+1)的不等式为：

||E(Δu_k+1)||≤||K_u-K_eG+K_ζ||||E(Δu_k)||+b (43)

***经过k次迭代后，E(Δu_k+1)的不等式转化为：

若选择的权重矩阵与量化密度使得约束条件成立：

||K_u-K_eG+K_ζ||≤ρ<1 (45)

根据压缩映射引理得到

因此式(43)简化为：

记||G||＝c，根据E(e_k)＝GE(Δu_k)得到：

即期望意义下的误差范数||E(e_k)||收敛至一个有界值；

第八步、利用所述量化编码解码器的量化信号实现所述永磁直线电机的轨迹跟踪：

根据所述有限级量化迭代学习控制律确定永磁直线电机每一迭代批次的生成输入矢量，经所述量化编码解码器作用得到实际输入矢量，以所述实际输入矢量对永磁直线电机进行轨迹跟踪控制，所述永磁直线电机在所述实际输入矢量的控制作用下跟踪期望输出。

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