CN113569354A - 一种叶轮机械叶片的自动优化方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提出了一种叶轮机械叶片的自动优化方法，对于叶轮机械叶片，首先采用改进类别形状变换法对初始叶型进行参数化造型，在运用较少变量的基础上，灵活地构建叶型的吸力面型线和压力面型线，具有鲁棒性好、设计参数少、建模精度高等优点。然后运用样本抽样方法、代理模型和立方混沌映射鲸鱼优化算法进行叶片的自动优化，具有抽样高效、代理精度高、寻优能力强等优势。通过运用以上的自动优化方法，以实现提升叶轮机械叶片的综合性能。
Description
技术领域
本发明属于叶轮机械优化设计技术领域，涉及一种叶轮机械叶片优化方法，具体涉及一种叶轮机械叶片的自动优化方法，尤其适用于压缩机、汽轮机、涡轮机、烟气轮机、膨胀机等叶轮机械叶片的自动优化。该方法在实施时首先通过采用改进类别形状变换法对初始叶型进行参数化造型，在运用较少变量的基础上，灵活地构建叶型的吸力面型线和压力面型线，其次运用样本抽样方法、代理模型和立方混沌映射鲸鱼优化算法进行叶片的自动优化，通过运用以上的自动优化方法，提升叶片的综合性能。
背景技术
设计高负荷、高效率及宽稳定裕度的叶轮机械叶片已成为未来叶轮机械叶片研究的重要方向。在叶轮机械叶片设计层面，需要不断提高叶型的负荷水平且保证低总压损失的宽攻角范围。因此，开展叶轮机械叶片优化设计就成为了叶轮机械叶片设计首当其冲的任务。
针对优化设计方法，其可以在很大程度上改善叶轮机械叶片设计的难度，缩短叶轮机械叶片设计的周期和费用。优化技术的应用可有效减少对人工设计经验的依赖，进一步提升叶轮机械叶片的设计水平。研究表明，优化设计方法主要面临着三大难题：高维、耗时、黑箱。国内外专家学者和科研机构为克服这三个难题，开展了众多研究，主要分为以下三个方面：一是精确度高的气动外形参数化方法，二是快速求解的数值计算工具，三是寻优能力强的优化算法。三者结合不仅可以高效完成叶轮机械叶片的气动设计，而且也可以探索叶轮机械叶片设计的极限，最大程度提升叶轮机械叶片的性能。
在气动外形参数化方法方面，叶片造型可分为四个阶段。第一阶段是20 世纪60～70年代，英、美、苏等发达国家分别提出了C4叶型、NACA65叶型、 BC6叶型等，这些标准叶型的共同点是中弧线均为抛物线。第二阶段是20世纪70～80年代，双圆弧叶型、多圆弧叶型造型方法形成，叶型的中弧线由两段圆弧组成。第三阶段是20世纪90年代至21世纪初，可控扩散叶型和任意多项式叶型等概念的提出。第四阶段是21世纪后，类别形状变化法、自由变形方法等新概念气动参数化方法的提出。在优化算法方面，国内外学者和机构对多种局部算法和全局算法进行了深入研究。局部算法主要包含梯度算法：牛顿法，单纯形法，序列二次规划法，最速下降法，共轭梯度法等等。这类方法的缺点主要是对目标及约束函数噪声高度敏感，搜索容易陷入局部最优，优化过程中需要求解优化变量的梯度信息，计算量与设计数目成正比，计算成本较高。全局算法主要包含仿生算法：遗传算法、粒子群算法、蜂群算法、萤火虫算法、蝙蝠算法、鲸鱼优化算法等等。这类算法是一类模拟自然生物进化或者群体社会行为的随机搜索方法的统称，具有求解时不依赖于梯度信息，对初始解的鲁棒性强，具有代际间的传承性和群智能特征，适用于大规模复杂优化问题，应用范围较广。总之，为了探索叶轮机械叶片设计的极限，最大程度提升叶轮机械叶片的性能，本发明提出一种新颖的叶轮机械叶片的自动优化方法，解决了叶轮机械叶片优化设计的三大难题，具有重要的理论研究意义和工程实用价值。
发明内容
(一)本发明要解决的技术问题是：
为了突破现有叶轮机械叶片设计的极限，最大程度提升叶轮机械叶片的性能，本发明提出了一种新颖的叶轮机械叶片的自动优化方法，解决叶轮机械叶片优化设计的高维、耗时、黑箱三大难题。该方法在实施时首先采用改进类别形状变换法对初始叶型进行参数化造型，在运用较少变量的基础上，灵活地构建叶型的吸力面型线和压力面型线，具有鲁棒性好、设计参数少、建模精度高等优点；其次运用样本抽样方法、代理模型和立方混沌映射鲸鱼优化算法进行叶片的自动优化，具有抽样高效、代理精度高、寻优能力强等优势。通过运用以上的自动优化方法，提升叶片的综合性能。
(二)本发明为解决其技术问题所采用的技术方案是：
一种叶轮机械叶片的自动优化方法，其特征在于，所述叶轮机械叶片的自动优化方法至少包括如下步骤：
SS1.对一初始叶轮机械叶片进行参数化建模，选用改进类别形状变换法分别对初始叶轮机械叶片的压力面型线和吸力面型线进行参数化拟合，获得参数化建模形状函数的权重因子Ar；
SS2.采用样本抽样方法，对步骤SS1中得到的参数化建模形状函数的权重因子Ar进行抽样；
SS3.采用改进类别形状变换法，利用步骤SS2抽样得到的权重因子Ar重新进行叶片的参数化建模，获得不同构型的叶片几何型线；
SS4.对步骤SS3得到的叶片几何型线进行数值计算，运用代理模型获得形状函数的权重因子Ar和目标值y的函数关系y＝F(x)；
SS5.将步骤SS4中的函数关系y＝F(x)作为目标函数，采用立方混沌映射鲸鱼优化算法寻找最佳目标值对应的参数化建模形状函数的权重因子Ar；
SS6.用改进类别形状变换法，将步骤SS5获得的权重因子Ar进行叶片的参数化建模，获得最优构型的叶片几何。
优选地，在步骤SS1所述的改进类别形状变换法，叶片由类别函数C(Ψ) 和形状函数S(Ψ)乘积加上表示尾缘特征的函数来拟合叶型，数学模型如下式(1)所示：
ξ(Ψ)＝C(Ψ)S(Ψ)+ΨΔζ (1)
式中：Ψ为叶型无量纲横坐标，Ψ＝xc-1，x为叶型横坐标，c为弦长；ζ为叶型无量纲纵坐标，ζ＝yc-1，y为叶型纵坐标，c为弦长；Δζ为叶型无量纲尾缘厚度，Δζ＝ΔyTEc-1，ΔyTE为叶型尾缘厚度，c为弦长；
类别函数C(Ψ)用来定义基本外形，如下式(2)所示：
式中：N1，N2为控制系数，对应不同的基本外形，N1主要决定叶型前缘形状，越接近0，前缘曲率越小，当无限接近0时，前缘变为矩形。相反越接近1，前缘曲率越大，当接近1时，前缘变为楔形。而当取0.75时，接近最小空气阻力的Sears-Haack体，常被用于高亚声速与超声速叶型设计。N2则主要决定叶型尾缘形状，变化规律与N1一致。
形状函数S(Ψ)用来对基本外形进行修正，如下式(3)所示：
式中：r为多项式的指数；n为多项式的阶数；Ar为相应的权重因子。
本发明对类别形状变换法方法进行了改进，将控制系数N1和N2作为未知量，采用最小二乘法求解，以解决叶片拟合精度较低的难题，形成改进类别形状变换法。综合考虑到拟合精度和优化变量数目，选用合适阶数n的 Bernstein多项式的参数化方法拟合叶型，以降低模型拟合误差要求。
优选地，在步骤SS2所述的抽样方法，包括随机抽样、***抽样、分层抽样和整群抽样等多种方法。
优选地，在步骤SS4所述的代理模型方法，包括响应面方法、神经网络、支持向量机等等。
优选地，在步骤SS5所述的立方混沌映射鲸鱼优化算法，采用立方映射混沌算子对种群初始化，立方映射混沌算子如下式(4)所示：
xi+1＝4xi 3-3xi |xi|＜1&xi≠0,i＝1,2,3…(4)
初始化鲸鱼种群由M个d维个体组成，采用立方映射初始化鲸鱼种群的具体过程为：随机产生一个上下限为1和-1的d维向量作为第一个个体，之后用式对第一个个体的每一维进行迭代得到剩余M-1个个体，最后使用式(5) 将立方映射产生的变量值映射到鲸鱼个体上，
式中，Xui、Xli分别为每个个体每个维度的上下限，Xi为映射后的鲸鱼个体。
优选地，在步骤SS5所述的立方混沌映射鲸鱼优化算法，气泡网捕食方法分为三个阶段：搜寻猎物、包围猎物、泡网攻击，其中：
在包围猎物阶段，座头鲸先确定当前猎物所在位置然后对其猎物进行包围，由于不可能事先知道最优解的位置，算法假设当前最优的鲸鱼个***置为猎物位置，随后所有的鲸鱼个体向着当前最优鲸鱼个***置靠近而更新自身的位置，鲸鱼个体根据全局最优鲸鱼的位置而更新，位置更新如下：
其中，
为收敛因子，由式(8)表示：
式中，
为0～1之间的随机值，
如式(9)所示：
式中，Tmax为最大迭代次数；
座头鲸气泡捕食行为的数学模型主要有环绕捕食和螺旋气泡网捕食：
环绕捕食中鲸鱼个体的更新是由式(6)得到的，由式(8)可得
取值范围为-a～a，当
时，鲸鱼当前最新位置在鲸鱼所处位置和最优鲸鱼位置之间的任何位置；
螺旋气泡网捕食中鲸鱼个体到最优鲸鱼的位置之间的距离首先被计算，如式(10)所示，然后鲸鱼以螺旋上升的姿势向水面上游动，同时吐出许多大小不等的气泡捕食猎物，螺线收缩的行为通过a值的递减来实现，鲸鱼位置更新如式(11)所示：
式中，l取值范围为-1～1，b是螺旋形常量1。假设鲸鱼在捕食的过程中，同时拥有环绕捕食和螺旋气泡网捕食两种捕食行为，为区分两种行为，定义一个随机变量p(0～1)在这两种机制进行选择来更新鲸鱼的位置，其数学模型如式(12)、(13)所示：
除了以上的捕食方式，座头鲸也需要通过在求解空间内随机搜索猎物；
在搜寻猎物阶段，座头鲸跟随同伴们当前所在的位置而更新自身的位置，也就是说座头鲸随机挑选种群中的一个鲸鱼个体所在的位置作为导航目标来寻找猎物，如式(15)所示，鲸鱼进行随机搜寻捕食猎物的数学表达式如下：
式中
为种群中随机的一只鲸鱼的位置。
本发明的进一步改进在于，所述叶轮机械叶片包括包括压缩机叶片，汽轮机叶片、涡轮机叶片、烟气轮机叶片、膨胀机叶片等。
本发明的另一个发明目的在于，提供一种自动优化方法，可应用于其余工业领域。
本发明的另一个发明目的在于，提供一种立方混沌映射鲸鱼优化方法，可应用于计算机优化算法领域，并且用单峰函数、多峰函数、固定维度函数测试了其相比于其余全局算法的优越性。
(三)同现有技术相比，本发明的有益效果是：
本发明的叶轮机械叶片的自动优化方法，首先采用改进类别形状变换法对初始叶型进行参数化造型，在运用较少变量的基础上，灵活地构建叶型的吸力面和压力面，具有鲁棒性好、设计参数少、建模精度高等优点；其次运用样本抽样方法、代理模型和立方混沌映射鲸鱼优化算法进行叶片的自动优化，具有抽样高效、代理精度高、寻优能力强等优势。通过运用以上的自动优化方法，以实现提升叶轮机械叶片的综合性能。
附图说明
图1是形状类别变换法形状函数C(Ψ)的示意图。
图2是立方混沌映射鲸鱼优化算法捕食过程的示意图。
图3是立方混沌映射鲸鱼优化算法流程的示意图。
图4是单峰Sphere函数的示意图。
图5是不同优化算法收敛曲线的示意图。
图6是某压气机叶型优化前后的示意图。
图7是某压气机叶型优化前后的总压损失的示意图。
具体实施方式
为使本发明实施的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行更加详细的描述。在附图中，自始至终相同或类似的标号表示相同或类似的元件或具有相同或类似功能的元件。所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例，旨在用于解释本发明，而不能理解为对本发明的限制。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
本发明旨在提供一种叶轮机械叶片的自动优化方法，目的在于突破现有叶轮机械叶片设计的极限，以最大程度提升叶轮机械叶片的性能。本发明首先采用改进类别形状变换法对初始叶型进行参数化造型，在运用较少变量的基础上，灵活地构建叶型的吸力面型线和压力面型线，具有鲁棒性好、设计参数少、建模精度高等优点。其次运用样本抽样方法、代理模型和立方混沌映射鲸鱼优化算法进行叶片的自动优化，具有抽样高效、代理精度高、寻优能力强和收敛速度快等优势。通过运用以上的自动优化方法，提升叶片的综合性能。
具体地，本发明的叶轮机械叶片的自动优化方法在实施时至少包括以下步骤：
步骤1.对某压气机叶片进行参数化建模，选用改进类别形状变换法，如图1所示，分别对叶片的压力面和吸力面进行参数化拟合，获得参数化建模形状函数的权重因子Ar。具体而言，改进类别形状变换法中，叶片由类别函数C(Ψ)和形状函数S(Ψ)乘积加上表示尾缘特征的函数来拟合叶型，数学模型如下式1所示：
ξ(Ψ)＝C(Ψ)S(Ψ)+ΨΔζ (1)
式中：Ψ为叶型无量纲横坐标，Ψ＝xc-1，x为叶型横坐标，c为弦长；ζ为叶型无量纲纵坐标，ζ＝yc-1，y为叶型纵坐标，c为弦长；Δζ为叶型无量纲尾缘厚度，Δζ＝ΔyTEc-1，ΔyTE为叶型尾缘厚度，c为弦长。
C(Ψ)为类别函数，用来定义基本外形，表示如下:
式中：N1，N2为控制系数，对应不同的基本外形，N1主要决定叶型前缘形状，越接近0，前缘曲率越小，当无限接近0时，前缘变为矩形。相反越接近1，前缘曲率越大，当接近1时，前缘变为楔形。而当取0.75时，接近最小空气阻力的Sears-Haack体，常被用于高亚声速与超声速叶型设计。N2则主要决定叶型尾缘形状，变化规律与N1一致。
S(Ψ)为形状函数，用来对基本外形进行修正，形式如下:
式中：r为多项式的指数；n为多项式的阶数；Ar为相应的权重因子。
本发明对类别形状变换法方法进行了改进，将控制系数N1和N2作为未知量，采用最小二乘法求解，以解决叶轮机械叶片拟合精度较低的难题，形成改进类别形状变换法。综合考虑到拟合精度和优化变量数目，选用合适阶数 n的Bernstein多项式的参数化方法拟合叶型，以降低模型拟合误差要求。
步骤2.采用样本抽样方法，对以上参数化建模形状函数的权重因子Ar抽样；样本抽样方法,包括随机抽样、***抽样、分层抽样和整群抽样等多种方法。
步骤3.采用改进类别形状变换法，将步骤2的权重因子Ar重新进行叶片的参数化建模，获得不同构型的叶片几何；
步骤4.对步骤3中的几何进行流场计算，运用代理模型获得形状函数的权重因子Ar和目标值y的函数关系y＝F(x)；代理模型方法,包括多项式响应曲面法、克里金法、支持向量机、空间映射和人工神经网络等多种方法。
步骤5.将步骤4中的函数关系y＝F(x)作为目标函数，采用立方混沌映射鲸鱼优化算法寻找最佳目标值对应的参数化建模形状函数的权重因子Ar。
步骤5的立方混沌映射鲸鱼优化算法中,采用立方映射混沌算子对种群初始化。立方映射混沌算子如下式4所示：
xi+1＝4xi 3-3xi |xi|＜1&xi≠0,i＝1,2,3 (4)
初始化鲸鱼种群由M个d维个体组成，采用立方映射初始化鲸鱼种群的具体过程为：随机产生一个上下限为1和-1的d维向量作为第一个个体，之后用式对第一个个体的每一维进行迭代得到剩余M-1个个体，最后使用式5 将立方映射产生的变量值映射到鲸鱼个体上。
式中，Xui、Xli分别为每个个体每个维度的上下限，Xi为映射后的鲸鱼个体。
在步骤5所述的立方混沌映射鲸鱼优化算法,气泡网捕食方法分为三个阶段：搜寻猎物、包围猎物、泡网攻击。数学模型如下:
在包围猎物阶段，座头鲸先确定当前猎物所在位置然后对其猎物进行包围，由于不可能事先知道最优解的位置，算法假设当前最优的鲸鱼个***置为猎物位置。随后所有的鲸鱼个体向着当前最优鲸鱼个***置靠近而更新自身的位置。鲸鱼个体根据全局最优鲸鱼的位置而更新，位置更新如下：
其中，
为收敛因子，由式8表示：
式中，
为0～1之间的随机值，
如式9所示：
式中，Tmax为最大迭代次数。
座头鲸气泡捕食行为的数学模型主要有两种，如下所示：
环绕捕食和螺旋气泡网捕食。环绕捕食中鲸鱼个体的更新是由式(6)得到的。由式(8)可得，
取值范围为-a～a。当
时，鲸鱼当前最新位置在鲸鱼所处位置和最优鲸鱼位置之间的任何位置。螺旋气泡网捕食中鲸鱼个体到最优鲸鱼的位置之间的距离首先被计算，如式(10)，然后鲸鱼以螺旋上升的姿势向水面上游动，同时吐出许多大小不等的气泡捕食猎物。螺线收缩的行为通过a值的递减来实现。鲸鱼位置更新如式(11)所示：
式中，l取值范围为-1～1，b是螺旋形常量1。假设鲸鱼在捕食的过程中，同时拥有环绕捕食和螺旋气泡网捕食两种捕食行为。为区分两种行为，定义一个随机变量p(0～1)在这两种机制进行选择来更新鲸鱼的位置，其数学模型如式(12)、(13)：
除了以上的捕食方式，座头鲸也需要通过在求解空间内随机搜索猎物。在搜寻猎物阶段，座头鲸跟随同伴们当前所在的位置而更新自身的位置。也就是说座头鲸随机挑选种群中的一个鲸鱼个体所在的位置作为导航目标来寻找猎物，如式15所示。因此，鲸鱼进行随机搜寻捕食猎物的数学表达式如下：
式中
为种群中随机的一只鲸鱼的位置。立方混沌映射鲸鱼优化算法的流程图如图3所示。本发明中的立方混沌映射鲸鱼优化方法，可应用于计算机优化算法领域，并且用单峰函数、多峰函数、固定维度函数测试了其相比于其余全局算法的优越性，如图4和图5所示。
步骤6.用改进类别形状变换法，将步骤5获得的权重因子Ar进行叶片的参数化建模，获得最优构型的叶片几何，可参看图6。
经过此方法优化得到的压气机叶片，总压损失减少，气动性能提升，可参看图7。
通过上述实施例，完全有效地实现了本发明的目的。该领域的技术人员可以理解本发明包括但不限于附图和以上具体实施方式中描述的内容。虽然本发明已就目前认为最为实用且优选的实施例进行说明，但应知道，本发明并不限于所公开的实施例，任何不偏离本发明的功能和结构原理的修改都将包括在权利要求书的范围中。
Claims (7)
1.一种叶轮机械叶片的自动优化方法，所述叶轮机械包括压缩机，汽轮机、涡轮机、烟气轮机、膨胀机，其特征在于，所述叶轮机械叶片的自动优化方法至少包括如下步骤：
SS1.对初始叶轮机械叶片进行参数化建模，选用改进类别形状变换法分别对初始叶轮机械叶片的压力面型线和吸力面型线进行参数化拟合，获得参数化建模形状函数的权重因子Ar；
SS2.采用样本抽样方法，对步骤SS1中得到的参数化建模形状函数的权重因子Ar进行抽样；
SS3.采用改进类别形状变换法，利用步骤SS2抽样得到的权重因子Ar重新进行叶片的参数化建模，获得不同构型的叶片几何型线；
SS4.对步骤SS3得到的叶片几何型线进行相应的数值计算，运用代理模型获得形状函数的权重因子Ar和目标值y的函数关系y＝F(x)；
SS5.将步骤SS4中的函数关系y＝F(x)作为目标函数，采用立方混沌映射鲸鱼优化算法寻找最佳目标值对应的参数化建模形状函数的权重因子Ar；
SS6.用改进类别形状变换法，将步骤SS5获得的权重因子Ar进行叶片的参数化建模，获得最优构型的叶片几何。
2.根据上述权利要求所述的一种叶轮机械叶片的自动优化方，其特征在于，在步骤SS1所述的改进类别形状变换法，叶片由类别函数C(Ψ)和形状函数S(Ψ)乘积加上表示尾缘特征的函数来拟合叶型，数学模型如下式(1)所示：
ξ(Ψ)＝C(Ψ)S(Ψ)+ΨΔζ (1)
式中：Ψ为叶型无量纲横坐标，Ψ＝xc-1，x为叶型横坐标，c为弦长；ζ为叶型无量纲纵坐标，ζ＝yc-1，y为叶型纵坐标，c为弦长；Δζ为叶型无量纲尾缘厚度，Δζ＝ΔyTEc-1，ΔyTE为叶型尾缘厚度，c为弦长；
类别函数C(Ψ)用来定义基本外形，如下式(2)所示：
式中：N1,N2为控制系数，对应不同的基本外形，N1主要决定叶型前缘形状，N2则主要决定叶型尾缘形状；
为形状函数S(Ψ)用来对基本外形进行修正，如下式(3)所示：
式中：r为多项式的指数；n为多项式的阶数；Ar为相应的权重因子。
3.根据上述权利要求所述的一种叶轮机械叶片的自动优化方法，其特征在于，在步骤SS2所述的样本抽样方法，包括随机抽样、***抽样、分层抽样和整群抽样等多种方法。
4.根据上述权利要求所述的一种叶轮机械叶片的自动优化方法，其特征在于，在步骤SS4所述的代理模型方法，包括多项式响应曲面法、克里金法、支持向量机、空间映射和人工神经网络等多种方法。
5.根据上述权利要求所述的一种叶轮机械叶片的自动优化方法，其特征在于，在步骤SS5所述的立方混沌映射鲸鱼优化算法,采用立方映射混沌算子对种群初始化，立方映射混沌算子如下式4所示：
xi+1＝4xi 3-3xi|xi|＜1&xi≠0,i＝1,2,3… (4)
初始化鲸鱼种群由M个d维个体组成，采用立方映射初始化鲸鱼种群的具体过程为：随机产生一个上下限为1和-1的d维向量作为第一个个体，之后用式对第一个个体的每一维进行迭代得到剩余M-1个个体，最后使用式(5)将立方映射产生的变量值映射到鲸鱼个体上。
式中，Xui、Xli分别为每个个体每个维度的上下限，Xi为映射后的鲸鱼个体。
6.根据上述权利要求所述的一种叶轮机械叶片的自动优化方法，其特征在于，在步骤SS5所述的立方混沌映射鲸鱼优化算法,气泡网捕食方法分为三个阶段：搜寻猎物、包围猎物、泡网攻击，数学模型如下:
在包围猎物阶段，座头鲸先确定当前猎物所在位置然后对其猎物进行包围，由于不可能事先知道最优解的位置，算法假设当前最优的鲸鱼个***置为猎物位置，随后所有的鲸鱼个体向着当前最优鲸鱼个***置靠近而更新自身的位置，鲸鱼个体根据全局最优鲸鱼的位置而更新，位置更新如下：
其中，
为收敛因子，由式(8)表示：
式中，
为0～1之间的随机值，
如式(9)所示
式中，Tmax为最大迭代次数；
座头鲸气泡捕食行为的数学模型主要有环绕捕食和螺旋气泡网捕食：
环绕捕食中鲸鱼个体的更新是由式(6)得到的，由式(8)可得，
取值范围为-a～a，当
时，鲸鱼当前最新位置在鲸鱼所处位置和最优鲸鱼位置之间的任何位置；
螺旋气泡网捕食中鲸鱼个体到最优鲸鱼的位置之间的距离首先被计算，如式(10)，然后鲸鱼以螺旋上升的姿势向水面上游动，同时吐出许多大小不等的气泡捕食猎物。螺线收缩的行为通过a值的递减来实现。鲸鱼位置更新如式(11)所示：
式中，l取值范围为-1～1，b是螺旋形常量1；
假设鲸鱼在捕食的过程中，同时拥有环绕捕食和螺旋气泡网捕食两种捕食行为，为区分两种行为，定义一个随机变量p(0～1)在这两种机制进行选择来更新鲸鱼的位置，其数学模型如式(12)、(13)：
除了以上的捕食方式，座头鲸也需要通过在求解空间内随机搜索猎物；
在搜寻猎物阶段，座头鲸跟随同伴们当前所在的位置而更新自身的位置。也就是说座头鲸随机挑选种群中的一个鲸鱼个体所在的位置作为导航目标来寻找猎物，如式(15)所示，鲸鱼进行随机搜寻捕食猎物的数学表达式如下：
式中
为种群中随机的一只鲸鱼的位置。
7.根据上述权利要求所述的一种叶轮机械叶片的自动优化方法，其特征在于，所述叶轮机械叶片包括压缩机叶片，汽轮机叶片、涡轮机叶片、烟气轮机叶片、膨胀机叶片等。
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| CN202110844203.9A CN113569354A (zh) | 2021-07-26 | 2021-07-26 | 一种叶轮机械叶片的自动优化方法 |
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