CN113435136B - 耦合能量方程的输水管道气-液两相均质流的模拟方法 - Google Patents

耦合能量方程的输水管道气-液两相均质流的模拟方法 Download PDF

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CN113435136B CN202110705741.XA CN202110705741A CN113435136B CN 113435136 B CN113435136 B CN 113435136B CN 202110705741 A CN202110705741 A CN 202110705741A CN 113435136 B CN113435136 B CN 113435136B
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Abstract

本发明公开了一种基于有限体积法耦合能量方程的输水管道气‑液两相均质流的模拟方法，包括：通过引入能量方程构建含自由气体均质两相流结合能量方程的双曲偏微分方程***模型；构建出***模型下各基础波的存在条件以及判定模型；构建***模型下断点处三种近似黎曼求解器；通过重建流动变量，使得***模型在空间上达到二阶精度；根据已有的边界条件，通过牛顿迭代法利用黎曼不变量迭代得到二阶的边界值；引入源项，求得格式离散方程；建立稳定性约束条件，更新初始变量进行下一时步计算。本发明基于有限体积法Godunov格式，通过引入了气液两相均质流能量方程的控制模型，提供了一种算法简单，易于实现的模拟方法，以在高计算效率的前提下得到高精度解。

Description

耦合能量方程的输水管道气-液两相均质流的模拟方法
技术领域
本发明属于水电站水力学数值模拟计算技术领域领域，具体涉及一种基于有限体积法耦合能量方程的输水管道气-液两相均质流的模拟方法。
背景技术
在输水管道***中，阀门或机组的突然启闭可能导致管道内的压力突变，当管道内的压力变化超过管壁材料的承受能力时，可能会造成严重的管道***破坏，甚至会威胁人身安全。近些年，管道内的两相流问题一直是国内外研究的热门课题，不同于一般的单相流问题，两相流需要考虑不同相间的耦合作用。在两相流问题中，均质流模型被认为是应用最广的模型。
目前，针对输水管道内的气-液两相均质流问题，其模拟的方法主要为特征线法(MOC,Method ofCharacteristics)以及有限差分法(FDM,Finite Difference Method)。MOC由于其计算简单，可以较好的模拟管道内压力波动而被广泛应用。然而，由于均质流模型变波速、变密度的问题，MOC需要做插值运算而造成模型预测与实际相差较大。FDM则避免了线性插值问题，在计算精度上相较于MOC提升了不少。随着均质流模型的愈发成熟，寻求更高精度的模型成为了学术界和工业界的目标。最近，Guinot等人(2000)将该方案应用到水锤模拟中，提出了两种有效的近似求解方法。随后，Guinot等人(2001)建立了一阶Godunov方法描述的两相流模型，该格式大大的提高了模型的计算效率，并进一步指出数值扩散带来了严重的模型退化问题。
所以，需要一个新的技术方案来解决上述问题。
发明内容
发明目的：为了克服现有技术中存在的在模拟输水管道中气-液两相均质流时存在计算精度低等不足，提供一种基于有限体积法耦合能量方程的输水管道气-液两相均质流的模拟方法，基于有限体积法Godunov格式，通过引入了气液两相均质流能量方程的控制模型，提供了一种算法简单，易于实现的模拟方法，以在高计算效率的前提下得到高精度解。
技术方案：为实现上述目的，本发明提供一种基于有限体积法耦合能量方程的输水管道气-液两相均质流的模拟方法，包括如下步骤：
S1：通过引入能量方程构建含自由气体均质两相流结合能量方程的3×3双曲偏微分方程(PDE)***模型，根据模拟工况确定计算域、初始条件以及边界条件；
S2：构建出3×3双曲偏微分方程***模型下各基础波(接触波、激波、稀疏波)的存在条件以及判定模型；
S3：构建双曲偏微分方程***模型下断点处三种近似黎曼求解器，分别为一种迭代和两种非迭代近似黎曼求解器；
S4：通过重建流动变量，使得***模型在空间上达到二阶精度；
S5：根据已有的边界条件，通过牛顿迭代法利用黎曼不变量迭代得到二阶的边界值；
S6：引入源项，通过基于二阶Longge kuta离散格式的时间***法，求得时间梯度上二阶有限体积法Godunov格式离散方程，得到二阶精度；
S7：建立稳定性约束条件，更新初始变量进行下一时步计算，获取到最大允许时间步长。
进一步地，所述步骤S1中双曲偏微分方程(PDE)***模型的构建是通过在双曲偏微分方程(PDE)***体系下，构建含自由气体的两相均质流基本控制方程。
进一步地，所述步骤S1中需在水锤问题的基础上假定：(a)管道内自由气体的体积占比很小(<≈1％)且分散均匀，气-水两相流以等效单相流体处理；(b)瞬变过程时间尺度很小，整个过程中水气间的质量传递过程被忽略；(c)管道内流体为无粘性流动且整个过程发生在等温条件下不考虑热传递。在上述条件的基础上，含自由气体的两相均质流基本控制方程具体如下：
包含能量方程的水锤基本方程：
Figure BDA0003131171760000021
Figure BDA0003131171760000022
其中，矩阵
Figure BDA0003131171760000023
代表气液混合流体的特征变量；矩阵/>
Figure BDA0003131171760000024
代表通量；沿管线距离x与时间t是自变量；ρm(x,t)是平均截面气液混合流体的密度；V(x,t)是气液混合体平均截面速度；P(x,t)是气液混合流体的绝对压力；E(x,t)是气液混合流体单位体积总能量；
气-液两相流水锤波速与压力的关系方程：
Figure BDA0003131171760000025
其中，cm为气液混合流体的波速；C为纯液体下水锤波速；Pref为参考压力；
Figure BDA0003131171760000026
为参考压力下气液两相混合流体的密度；ψref为参考压力下混合流体内气体的初始体积分数；
气-液两相流压力与密度的关系方程：
Figure BDA0003131171760000031
其中，ρm为气液混合流体的密度，P为气液混合流体的压力；C为纯液体下水锤波速；Pref为参考压力；
Figure BDA0003131171760000032
为参考压力下气液两相混合流体的密度；ψref为参考压力下混合流体内气体的初始体积分数。
进一步地，所述步骤S2中基础波包括接触波、激波、稀疏波，构建方法具体如下：
接触波：
对于两相流***中的接触波关系，可以利用欧拉方程中的特征结构分析断点处的初值，利用一般黎曼不变量，穿过波λ＝V，得到，
Figure BDA0003131171760000033
Figure BDA0003131171760000034
这里Pr代表参考压力；u1、u2、u3见公式(2)；ρmr为参考压力下气液混合流体的密度；cm为气液混合流体的波速；er为参考压力下气液混合体的内能；进一步简化后，黎曼不变量可以写做：
Figure BDA0003131171760000035
这里星号(*)代表中间状态，P、V、ρm分别代表混合流体的压力、速度、密度，L和R分别代表黎曼问题中接触波左右区间，在等熵条件下，穿过接触波，流体特征不发生变化；
稀疏波：
相较于激波，稀疏波表现的更为平滑，穿过波λ＝V-cm，利用一般黎曼不变量，得到
Figure BDA0003131171760000036
进一步简化后，该微分方程可以写做
dy+cmd(lnpm)＝0 (9)
对公式(9)积分后，得到
Figure BDA0003131171760000041
其中，混合流体平均波速
Figure BDA0003131171760000042
同样地，穿过右侧的稀疏波λ＝V+cm，得到
Figure BDA0003131171760000043
激波：
对于左侧激波，假设常波速为SL，以此为参考系，流体速度V*、VL可以转化为相对速度
Figure BDA0003131171760000044
和/>
Figure BDA0003131171760000045
Figure BDA0003131171760000046
结合兰金-雨果关系(Rankine-Hugoniot conditions)，进一步写做
Figure BDA0003131171760000047
Figure BDA0003131171760000048
Figure BDA0003131171760000049
将公式(13)带入(14)得到
Figure BDA00031311717600000410
引入热力学参数比焓h＝e+Pv和比容v，得到方程
Figure BDA00031311717600000411
已知单位质量混合流体内能的表达式
Figure BDA00031311717600000412
这里ρmr,er分别代表参考压力Pr下气液混合体的密度和内能，结合公式(17)、(18)，得到
Figure BDA00031311717600000413
通过公式(16)消去压力项P*、PL，得到左侧激波波速
Figure BDA0003131171760000051
同样地，穿过右激波得到波速
Figure BDA0003131171760000052
这里L和R分别对应波的左右侧。
进一步地，所述步骤S2中判定模型的构建方法为：
波型判定：
穿过左右侧非线性波fL(ρm*，UL)＝VL-V*和fR(ρm*，UR)＝V*-VR，得到有关混合流体中间状态处密度ρm*代数方程
f(ρm*，UL，UR)≡fL(ρm*，UL)+fR(ρm*，UR)+ΔV＝0 (22)
接下来给出不同波型下fL(ρm*，UL)和fR(ρm*，UR)的表达式；
对于左侧波，当出现激波时，基于兰金-雨果关系(Rankine-Hugoniot conditions)，公式(13)写做
Figure BDA0003131171760000053
同时公式(14)转化为
Figure BDA0003131171760000054
这里QmL为混合物质量通量，将公式(23)带入(24)得到
Figure BDA0003131171760000055
联合公式(24)(25)，消除质量通量QmL，得到fL表达式
Figure BDA0003131171760000056
进一步地，得到
Figure BDA0003131171760000057
将公式(27)转化为更一般形式
Figure BDA0003131171760000061
这里定义参数
Figure BDA0003131171760000062
对于左激波，跨过激波，满足fL>0,PL<P*和ρmL<ρm*；
当左侧出现稀疏波时，由公式(10)，得到公式fL满足
Figure BDA0003131171760000063
同样地，将其简化为
Figure BDA0003131171760000064
这里定义参数
Figure BDA0003131171760000065
穿过稀疏波，满足fL<0,PL>P*andρmL>ρm*；
同理，可以得到右侧波fR满足公式，汇总左右侧代数方程，可以得到有关黎曼问题中中间状态处气液混合流体速度和密度的表达式
Figure BDA0003131171760000066
或者
Figure BDA0003131171760000067
其中
Figure BDA0003131171760000068
(K＝L或者R)
接下来，定义
Figure BDA0003131171760000069
结合方程(22)，得到以下波型判定公式
Figure BDA00031311717600000610
对于双稀疏波和双激波类型，满足fmin·fmax>0，既
Figure BDA00031311717600000611
结合方程(32)，得到
Figure BDA0003131171760000071
这里
Figure BDA0003131171760000072
这里引入变量K＝1/|ρR-ρL|，公式(36)转化为
Figure BDA0003131171760000073
这里
Figure BDA0003131171760000074
当ρmR>ρmL时，/>
Figure BDA0003131171760000075
当ρmR<ρmL时，展开公式(37)，得到
Figure BDA0003131171760000076
最终，给出以下判定公式。
Figure BDA0003131171760000077
相较于判定公式(34)，判定条件(39)在编程计算更加的方便快捷。
进一步地，所述步骤S3中三种黎曼求解器的构建方法为：
迭代黎曼求解器：
基于密度方程(22)，利用牛顿迭代法得到下式
Figure BDA0003131171760000078
这里给出初值ρm* 0的计算公式
Figure BDA0003131171760000079
Figure BDA00031311717600000710
两种非迭代黎曼求解器：
对公式(31)进行泰勒展开
Figure BDA00031311717600000711
得到第一个一阶近似的非迭代黎曼求解器
Figure BDA0003131171760000081
第一个非迭代求解器为两稀疏波求解器，在激波出现时会出现计算误差，这里构建第二个非迭代求解器
Figure BDA0003131171760000082
这里
Figure BDA0003131171760000083
(K＝L或R)，利用第一个非迭代求解器得到TK的初值TK *，并将其带入公式(62)，得到
Figure BDA0003131171760000084
进一步地，所述步骤S4中通过含有Total Variation Diminishing(TVD)形式的MUSCL-Hancoke格式，得到重建的流动变量，具体如下：
S4-1：引入斜率限制器
Figure BDA0003131171760000085
其中，
Figure BDA0003131171760000086
为斜率限制器参数；
S4-2：流体变量重构
Figure BDA0003131171760000087
S4-3：进一步变量重构
Figure BDA0003131171760000091
进一步地，所述步骤S5具体为：
以上游边界为例，当已知气液混合体压力
Figure BDA0003131171760000092
时，未知量气液混合体密度和波速/>
Figure BDA0003131171760000093
和/>
Figure BDA0003131171760000094
可以由物理方程(3)和(4)得到，结合公式(31)，混合流体的速度/>
Figure BDA0003131171760000095
写做
Figure BDA0003131171760000096
这里
Figure BDA0003131171760000097
上标n+1代表计算时步；
当已知混合流体的速度
Figure BDA0003131171760000098
时，假设/>
Figure BDA0003131171760000099
压力/>
Figure BDA00031311717600000910
可以通过公式(4)利用牛顿迭代法得到，通过公式(3)进一步得到波速/>
Figure BDA00031311717600000911
结合/>
Figure BDA00031311717600000912
Figure BDA00031311717600000913
通过以下迭代步骤得到一个新的密度/>
Figure BDA00031311717600000914
Figure BDA00031311717600000915
以及
Figure BDA00031311717600000916
这里j代表迭代次数。
进一步地，所述步骤S6中引入源项
Figure BDA00031311717600000917
格式离散方程的求解过程为：
S6-1：对流项
Figure BDA00031311717600000918
S6-2：Δt/2时步更新
Figure BDA00031311717600000919
S6-3：Δt时步更新
Figure BDA00031311717600000920
源项S中梯度(S0)i定义为
Figure BDA00031311717600000921
其中，
Figure BDA0003131171760000101
均为时间***法中不同时步计算的中间变量。
进一步地，所述步骤S7具体为：
S7-1：由于采用了显式二阶龙格-库塔离散法将S引入求解，稳定性约束不仅要包括对流部分的Courant-Friedrichs-Lewy(CFL)准则，而且还要包括源项的约束。由CFL得到：
Figure BDA0003131171760000102
S7-2：显式二阶龙格-库塔离散化约束：
Figure BDA0003131171760000103
S7-3：由于对流项和源项采用相同的时间步长Δt,因而采用
Figure BDA0003131171760000104
而不是/>
Figure BDA0003131171760000105
最后给出包括对流部分和源项的最大允许时间步长：
Figure BDA0003131171760000106
有益效果：本发明与现有技术相比，具备如下优点：
(1)本发明提供的基于耦合能量方程地有限体积法Godunov格式气-液两相均质流模型收敛到了正确结果并取得二阶精度，同时如MOC类方法一样简单且易于实现。
(2)本发明提出了一种精确地迭代型黎曼求解器和两种近似地非迭代黎曼求解器，相较于精确地黎曼求解器，两种非迭代求解器大幅提高了计算效率。
(3)与现有技术的二阶精度模型相比，本发明提供的模型在相同条件下能更为精确地拟合计算结果。
(4)能量方程的引入使得该均质流模型可以从能量角度分析管道中的瞬态过程，为以后的管道瞬变流研究提供了新的视角。
附图说明
图1为本发明的基本流程图；
图2为实施例对比实验装置示意图；
图3为实施例下，实验装置阀门末端(x＝30.6)的压力曲线图；
图4为实施例下，网格数Nx＝100，Crmax＝0.95时，管道1号压力传感器处(x＝8m)，当前模型、León模型以及实验结果压力曲线对比图；
图5为实施例下，网格数Nx＝100，Crmax＝0.95时，实验管道2号压力传感器处(x＝21.1m)，当前模型、León模型以及实验结果压力曲线对比图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例，进一步阐明本发明，应理解这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等价形式的修改均落于本申请所附权利要求所限定的范围。
本发明提供一种基于有限体积法耦合能量方程的输水管道气-液两相均质流的模拟方法，如图1所示，其包括如下步骤：
S1：通过引入能量方程构建含自由气体均质两相流结合能量方程的3×3双曲偏微分方程(PDE)***模型，根据模拟工况确定计算域、初始条件以及边界条件：
通过在双曲偏微分方程(PDE)***体系下，构建含自由气体的两相均质流基本控制方程。
需在水锤问题的基础上假定：(a)管道内自由气体的体积占比很小(<≈1％)且分散均匀，气-水两相流以等效单相流体处理；(b)瞬变过程时间尺度很小，整个过程中水气间的质量传递过程被忽略；(c)管道内流体为无粘性流动且整个过程发生在等温条件下不考虑热传递。在上述条件的基础上，含自由气体的两相均质流基本控制方程具体如下：
包含能量方程的水锤基本方程：
Figure BDA0003131171760000111
Figure BDA0003131171760000112
其中，矩阵
Figure BDA0003131171760000113
代表气液混合流体的特征变量；矩阵/>
Figure BDA0003131171760000114
代表通量；沿管线距离x与时间t是自变量；ρm(x,t)是平均截面气液混合流体的密度；V(x,t)是气液混合体平均截面速度；P(x,t)是气液混合流体的绝对压力；E(x,t)是气液混合流体单位体积总能量；
气-液两相流水锤波速与压力的关系方程：
Figure BDA0003131171760000115
其中，cm为气液混合流体的波速；C为纯液体下水锤波速；Pref为参考压力；
Figure BDA0003131171760000116
为参考压力下气液两相混合流体的密度；ψref为参考压力下混合流体内气体的初始体积分数；
气-液两相流压力与密度的关系方程：
Figure BDA0003131171760000121
其中，ρm为气液混合流体的密度，P为气液混合流体的压力；C为纯液体下水锤波速；Pref为参考压力；
Figure BDA0003131171760000122
为参考压力下气液两相混合流体的密度；ψref为参考压力下混合流体内气体的初始体积分数；
确定计算域、初始条件及边界条件：
计算域：从上游水库出水口至阀门之间的管道；
初始条件：球阀全开时，初始流速为设定值，各节点初始压力根据上游水库静压水头减去相应的稳态摩阻损失得到；
边界条件为：管道入口处，水库提供恒压边界，且等于上游水库静压水头；下游球阀快速关闭引发空穴流瞬变，此处压力变化由压力传感器收集得到。
S2：构建出3×3双曲偏微分方程***模型下各基础波(接触波、激波、稀疏波)的存在条件以及判定模型：
接触波：
对于两相流***中的接触波关系，可以利用欧拉方程中的特征结构分析断点处的初值，利用一般黎曼不变量，穿过波λ＝V，得到，
Figure BDA0003131171760000123
Figure BDA0003131171760000124
这里Pr代表参考压力；u1、u2、u3见公式(2)；ρmr为参考压力下气液混合流体的密度；cm为气液混合流体的波速；er为参考压力下气液混合体的内能；进一步简化后，黎曼不变量可以写做：
Figure BDA0003131171760000125
这里星号(*)代表中间状态，P、V、ρm分别代表混合流体的压力、速度、密度，L和R分别代表黎曼问题中接触波左右区间，在等熵条件下，穿过接触波，流体特征不发生变化；
稀疏波：
相较于激波，稀疏波表现的更为平滑，穿过波λ＝V-cm，利用一般黎曼不变量，得到
Figure BDA0003131171760000131
进一步简化后，该微分方程可以写做
dy+cmd(lnρm)＝0 (9)
对公式(9)积分后，得到
Figure BDA0003131171760000132
其中，混合流体平均波速
Figure BDA0003131171760000133
同样地，穿过右侧的稀疏波λ＝V+cm，得到
Figure BDA0003131171760000134
激波：
对于左侧激波，假设常波速为SL，以此为参考系，流体速度V*、VL可以转化为相对速度
Figure BDA0003131171760000135
和/>
Figure BDA0003131171760000136
Figure BDA0003131171760000137
结合兰金-雨果关系(Rankine-Hugoniot conditions)，进一步写做
Figure BDA0003131171760000138
Figure BDA0003131171760000139
/>
Figure BDA00031311717600001310
将公式(13)带入(14)得到
Figure BDA00031311717600001311
引入热力学参数比焓h＝e+Pv和比容v，得到方程
Figure BDA00031311717600001312
已知单位质量混合流体内能的表达式
Figure BDA00031311717600001313
这里ρmr,er分别代表参考压力Pr下气液混合体的密度和内能，结合公式(17)、(18)，得到
Figure BDA0003131171760000141
通过公式(16)消去压力项P*、PL，得到左侧激波波速
Figure BDA0003131171760000142
同样地，穿过右激波得到波速
Figure BDA0003131171760000143
这里L和R分别对应波的左右侧。
判定模型的构建方法为：
波型判定：
穿过左右侧非线性波fL(ρm*，UL)＝VL-V*和fR(ρm*，UR)＝V*-VR，得到有关混合流体中间状态处密度ρm*代数方程
f(ρm*，UL，UR)≡fL(ρm*，UL)+fR(ρm*，UR)+ΔV＝0 (22)
接下来给出不同波型下fL(ρm*，UL)和fR(ρm*，UR)的表达式；
对于左侧波，当出现激波时，基于兰金-雨果关系(Rankine-Hugoniot conditions)，公式(13)写做
Figure BDA0003131171760000144
同时公式(14)转化为
Figure BDA0003131171760000145
这里QmL为混合物质量通量，将公式(23)带入(24)得到
Figure BDA0003131171760000146
联合公式(24)(25)，消除质量通量QmL，得到fL表达式
Figure BDA0003131171760000147
进一步地，得到
Figure BDA0003131171760000151
将公式(27)转化为更一般形式
Figure BDA0003131171760000152
这里定义参数
Figure BDA0003131171760000153
对于左激波，跨过激波，满足fL>0,PL<P*和ρmL<ρm*；
当左侧出现稀疏波时，由公式(10)，得到公式fL满足
Figure BDA0003131171760000154
同样地，将其简化为
Figure BDA0003131171760000155
这里定义参数
Figure BDA0003131171760000156
穿过稀疏波，满足fL<0,PL>P*andρmL>ρm*；
同理，可以得到右侧波fR满足公式，汇总左右侧代数方程，可以得到有关黎曼问题中中间状态处气液混合流体速度和密度的表达式
Figure BDA0003131171760000157
或者
Figure BDA0003131171760000158
/>
其中
Figure BDA0003131171760000159
(K＝L或者R)
接下来，定义
Figure BDA00031311717600001510
结合方程(22)，得到以下波型判定公式
Figure BDA0003131171760000161
对于双稀疏波和双激波类型，满足fmin·fmax>0，既
Figure BDA0003131171760000162
结合方程(32)，得到
Figure BDA0003131171760000163
这里
Figure BDA0003131171760000164
这里引入变量K＝1/|ρR-ρL|，公式(36)转化为
Figure BDA0003131171760000165
这里
Figure BDA0003131171760000166
当ρmR>ρmL时，/>
Figure BDA0003131171760000167
当ρmR<ρmL时，展开公式(37)，得到
Figure BDA0003131171760000168
最终，给出以下判定公式。
Figure BDA0003131171760000169
这里
Figure BDA00031311717600001610
当RmR>ρmL时，/>
Figure BDA00031311717600001611
当ρmR<ρmL时。相较于判定公式(34)，判定条件(39)在编程计算更加的方便快捷。
S3：构建双曲偏微分方程***模型下断点处三种近似黎曼求解器，分别为一种迭代和两种非迭代近似黎曼求解器：
迭代黎曼求解器：
基于密度方程(22)，利用牛顿迭代法得到下式
Figure BDA00031311717600001612
这里给出初值ρm* 0的计算公式
f(ρm*)＝fL+fR+Δy＝ (41)
Figure BDA0003131171760000171
Figure BDA0003131171760000172
两种非迭代黎曼求解器：
对公式(31)进行泰勒展开
Figure BDA0003131171760000173
得到第一个一阶近似的非迭代黎曼求解器
Figure BDA0003131171760000174
第一个非迭代求解器为两稀疏波求解器，在激波出现时会出现计算误差，这里构建第二个非迭代求解器
Figure BDA0003131171760000175
这里
Figure BDA0003131171760000176
(K＝L或R)，利用第一个非迭代求解器得到TK的初值TK *，并将其带入公式(62)，得到
Figure BDA0003131171760000177
S4：通过含有Total Variation Diminishing(TVD)形式的MUSCL-Hancoke格式，得到重建的流动变量，使其具有二阶精度：
S4-1：引入斜率限制器
Figure BDA0003131171760000181
其中，
Figure BDA0003131171760000182
为斜率限制器参数；
S4-2：流体变量重构
Figure BDA0003131171760000183
S4-3：进一步变量重构
Figure BDA0003131171760000184
S5：根据已有的边界条件，通过牛顿迭代法利用黎曼不变量迭代得到二阶的边界值：
以上游边界为例，当已知气液混合体压力
Figure BDA0003131171760000185
时，未知量气液混合体密度和波速/>
Figure BDA0003131171760000186
和/>
Figure BDA0003131171760000187
可以由物理方程(3)和(4)得到，结合公式(31)，混合流体的速度/>
Figure BDA0003131171760000188
写做
Figure BDA0003131171760000189
这里
Figure BDA00031311717600001810
上标n+1代表计算时步；
当已知混合流体的速度
Figure BDA00031311717600001811
时，假设/>
Figure BDA00031311717600001812
压力/>
Figure BDA00031311717600001813
可以通过公式(4)利用牛顿迭代法得到，通过公式(3)进一步得到波速/>
Figure BDA00031311717600001814
结合/>
Figure BDA00031311717600001815
Figure BDA00031311717600001816
通过以下迭代步骤得到一个新的密度/>
Figure BDA00031311717600001817
Figure BDA00031311717600001818
以及
Figure BDA00031311717600001819
这里j代表迭代次数。
S6：引入源项，通过基于二阶Longge kuta离散格式的时间***法，求得时间梯度上二阶有限体积法Godunov格式离散方程，得到二阶精度：
S6-1：对流项
Figure BDA00031311717600001820
S6-2：Δt/2时步更新
Figure BDA0003131171760000191
/>
S6-3：Δt时步更新
Figure BDA0003131171760000192
源项S中梯度(S0)i定义为
Figure BDA0003131171760000193
其中，
Figure BDA0003131171760000194
均为时间***法中不同时步计算的中间变量。
S7：建立稳定性约束条件，更新初始变量进行下一时步计算，获取到最大允许时间步长：
S7-1：由于采用了显式二阶龙格-库塔离散法将S引入求解，稳定性约束不仅要包括对流部分的Courant-Friedrichs-Lewy(CFL)准则，而且还要包括源项的约束。由CFL得到：
Figure BDA0003131171760000195
S7-2：显式二阶龙格-库塔离散化约束：
Figure BDA0003131171760000196
S7-3：由于对流项和源项采用相同的时间步长Δt,因而采用
Figure BDA0003131171760000197
而不是/>
Figure BDA0003131171760000198
最后给出包括对流部分和源项的最大允许时间步长。
Figure BDA0003131171760000199
本发明还提供一种基于有限体积法耦合能量方程的输水管道气-液两相均质流的模拟***，该***包括网络接口、存储器和处理器；其中，网络接口，用于在与其他外部网元之间进行收发信息过程中，实现信号的接收和发送；存储器，用于存储能够在所述处理器上运行的计算机程序指令；处理器，用于在运行计算机程序指令时，执行上述共识方法的步骤。
本发明还提供一种计算机存储介质，该计算机存储介质存储有计算机程序，在处理器执行所述计算机程序时可实现以上所描述的方法。所述计算机可读介质可以被认为是有形的且非暂时性的。非暂时性有形计算机可读介质的非限制性示例包括非易失性存储器电路(例如闪存电路、可擦除可编程只读存储器电路或掩膜只读存储器电路)、易失性存储器电路(例如静态随机存取存储器电路或动态随机存取存储器电路)、磁存储介质(例如模拟或数字磁带或硬盘驱动器)和光存储介质(例如CD、DVD或蓝光光盘)等。计算机程序包括存储在至少一个非暂时性有形计算机可读介质上的处理器可执行指令。计算机程序还可以包括或依赖于存储的数据。计算机程序可以包括与专用计算机的硬件交互的基本输入/输出***(BIOS)、与专用计算机的特定设备交互的设备驱动程序、一个或多个操作***、用户应用程序、后台服务、后台应用程序等。
本领域内的技术人员应明白，本申请的实施例可提供为方法、***、或计算机程序产品。因此，本申请可采用完全硬件实施例、完全软件实施例、或结合软件和硬件方面的实施例的形式。而且，本申请可采用在一个或多个其中包含有计算机可用程序代码的计算机可用存储介质(包括但不限于磁盘存储器、CD-ROM、光学存储器等)上实施的计算机程序产品的形式。
本申请是参照根据本申请实施例的方法、设备(***)、和计算机程序产品的流程图和/或方框图来描述的。应理解可由计算机程序指令实现流程图和/或方框图中的每一流程和/或方框、以及流程图和/或方框图中的流程和/或方框的结合。可提供这些计算机程序指令到通用计算机、专用计算机、嵌入式处理机或其他可编程数据处理设备的处理器以产生一个机器，使得通过计算机或其他可编程数据处理设备的处理器执行的指令产生用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的装置。
这些计算机程序指令也可存储在能引导计算机或其他可编程数据处理设备以特定方式工作的计算机可读存储器中，使得存储在该计算机可读存储器中的指令产生包括指令装置的制造品，该指令装置实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能。
这些计算机程序指令也可装载到计算机或其他可编程数据处理设备上，使得在计算机或其他可编程设备上执行一系列操作步骤以产生计算机实现的处理，从而在计算机或其他可编程设备上执行的指令提供用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的步骤。
具体实施例方案：
基于上述方案，为了验证并分析本发明提供的基于有限体积法耦合能量方程的输水管道内水气两相均质流模型的模拟效果，本实施例选取Chaudry于1990年设计搭建的均质流实验装置***用于验证本发明方法的有效性。如图2所示，整个***由上游水箱，管道，下游球阀，下游水箱组成。管道总长30.6m，内径0.026mm，管道水平。达西韦斯巴赫系数为0.0195，纯水水锤波速为715m/s。瞬变过程由突然关闭下游球阀引起。实验工况参数为：初始流速2.940m/s，上游水库静压水头21.700m，稳定时气体质量流动率1.15×10-5kg/s，下游水体中气体体积含量0.0053。
通过以上方法编程计算后，将结合能量方程的Godunov格式模型计算结果与实验数据作对比。图3给出了实验装置阀门末端(x＝30.6)的压力曲线图，图4和5分别给出了本实施例下网格数N＝200，库朗特数Crmax＝0.95时，压力传感器1、2处的压力曲线图。可以看出，基于本发明模型下的预测值能够很好的拟合实验检测值，本发明的有效性以及准确性得到了很好的验证。同时，针对输水管道中气-液两相均质流，相比MOC类方法以及现有文献中的守恒形式的Godunov格式方法，本发明提出的非守恒有限体积法Godunov方法，在模型预测方面更加的准确且更加的有效率。
分析总结：
本发明方法基于一个考虑能量效应的3×3双曲偏微分方程(PDE)***来描述均匀两相流的不稳定和可压缩行为；然后运用一种二阶精度的Godunov格式来实现偏微分方程的离散化，同时引入了一个精确的和两个非迭代的近似黎曼求解器来求解不连续处的黎曼问题，接着，利用数值测试对不同求解器进行比较，结果表明非迭代近似求解器可以更好地提高计算效率，两个非迭代近似求解器分别提高了64.28％和43.59％的计算效率。通过与以往模型和已发表文章中的实验测量数据进行比较来评估所提出模型的性能。与之前的保守型Godunov模型相比，本发明提出的方法在计算精度上表现更好，可以更准确地拟合实验曲线。同时能量方程的引入为研究两相流瞬态过程提供了一个新的视角，结果表明较大的柯朗数和较细的网格可以有效地减少***耗散。

Claims (1)

1.一种基于有限体积法耦合能量方程的输水管道气-液两相均质流的模拟方法，其特征在于，包括如下步骤：
S1：通过引入能量方程构建含自由气体均质两相流结合能量方程的双曲偏微分方程***模型，根据模拟工况确定计算域、初始条件以及边界条件；
S2：构建出双曲偏微分方程***模型下各基础波的存在条件以及判定模型；
S3：构建双曲偏微分方程***模型下断点处三种近似黎曼求解器，分别为一种迭代和两种非迭代近似黎曼求解器；
S4：通过重建流动变量，使得***模型在空间上达到二阶精度；
S5：根据已有的边界条件，通过牛顿迭代法利用黎曼不变量迭代得到二阶的边界值；
S6：引入源项，通过基于二阶Longge kuta离散格式的时间***法，求得时间梯度上二阶有限体积法Godunov格式离散方程，得到二阶精度；
S7：建立稳定性约束条件，更新初始变量进行下一时步计算，获取到最大允许时间步长；
所述步骤S1中双曲偏微分方程***模型的构建是通过在双曲偏微分方程***体系下，构建含自由气体的两相均质流基本控制方程；
所述步骤S1中含自由气体的两相均质流基本控制方程具体如下：
包含能量方程的水锤基本方程：
Figure QLYQS_1
Figure QLYQS_2
其中，矩阵
Figure QLYQS_3
代表气液混合流体的特征变量；矩阵/>
Figure QLYQS_4
代表通量；沿管线距离x与时间t是自变量；ρm(x,t)是平均截面气液混合流体的密度；V(x,t)是气液混合体平均截面速度；P(x,t)是气液混合流体的绝对压力；E(x,t)是气液混合流体单位体积总能量；
气-液两相流水锤波速与压力的关系方程：
Figure QLYQS_5
其中，cm为气液混合流体的波速；C为纯液体下水锤波速；Pref为参考压力；
Figure QLYQS_6
为参考压力下气液两相混合流体的密度；ψref为参考压力下混合流体内气体的初始体积分数；
气-液两相流压力与密度的关系方程：
Figure QLYQS_7
其中，ρm为气液混合流体的密度，P为气液混合流体的压力；C为纯液体下水锤波速；Pref为参考压力；
Figure QLYQS_8
为参考压力下气液两相混合流体的密度；ψref为参考压力下混合流体内气体的初始体积分数；
所述步骤S2中基础波包括接触波、激波、稀疏波，构建方法具体如下：
接触波：
对于两相流***中的接触波关系，利用欧拉方程中的特征结构分析断点处的初值，利用一般黎曼不变量，穿过波λ＝V，得到，
Figure QLYQS_9
Figure QLYQS_10
Figure QLYQS_11
这里Pr代表参考压力；u1、u2、u3见公式(2)；ρmr为参考压力下气液混合流体的密度；cm为气液混合流体的波速；er为参考压力下气液混合体的内能；进一步简化后，黎曼不变量写做：
Figure QLYQS_12
这里星号*代表中间状态，P、V、ρm分别代表混合流体的压力、速度、密度，L和R分别代表黎曼问题中接触波左右区间，在等熵条件下，穿过接触波，流体特征不发生变化；
稀疏波：
穿过波λ＝V-cm，利用一般黎曼不变量，得到
Figure QLYQS_13
进一步简化后，该微分方程写做
dV+cmd(lnpm)＝0 (9)
对公式(9)积分后，得到
Figure QLYQS_14
其中，混合流体平均波速
Figure QLYQS_15
同样地，穿过右侧的稀疏波λ＝V+cm，得到
Figure QLYQS_16
激波：
对于左侧激波，假设常波速为SL，以此为参考系，流体速度V*、VL转化为相对速度
Figure QLYQS_17
和/>
Figure QLYQS_18
Figure QLYQS_19
结合兰金-雨果关系，进一步写做
Figure QLYQS_20
Figure QLYQS_21
Figure QLYQS_22
将公式(13)带入(14)得到
Figure QLYQS_23
引入热力学参数比焓h＝e+Pν和比容ν，得到方程
Figure QLYQS_24
已知单位质量混合流体内能的表达式
Figure QLYQS_25
这里ρmr,er分别代表参考压力Pr下气液混合体的密度和内能，结合公式(17)、(18)，得到
Figure QLYQS_26
通过公式(16)消去压力项P*、PL，得到左侧激波波速
Figure QLYQS_27
同样地，穿过右激波得到波速
Figure QLYQS_28
这里L和R分别对应波的左右侧；
所述步骤S2中判定模型的构建方法为：
波型判定：
穿过左右侧非线性波fL(ρm*，UL)＝VL-V*和fR(ρm*，UR)＝V*-VR，得到有关混合流体中间状态处密度ρm*代数方程
f(ρm*，UL，UR)≡fL(ρm*，UL)+fR(ρm*，UR)+ΔV＝0 (22)
接下来给出不同波型下fL(ρm*，UL)和fR(ρm*，UR)的表达式；
对于左侧波，当出现激波时，基于兰金-雨果关系，公式(13)写做
Figure QLYQS_29
同时公式(14)转化为
Figure QLYQS_30
这里QmL为混合物质量通量，将公式(23)带入(24)得到
Figure QLYQS_31
联合公式(24)(25)，消除质量通量QmL，得到fL表达式
Figure QLYQS_32
进一步地，得到
Figure QLYQS_33
将公式(27)转化为更一般形式
Figure QLYQS_34
这里定义参数
Figure QLYQS_35
对于左激波，跨过激波，满足fL＞0,PL＜P*和ρmL＜ρm*；
当左侧出现稀疏波时，由公式(10)，得到公式fL满足
Figure QLYQS_36
同样地，将其简化为
Figure QLYQS_37
这里定义参数
Figure QLYQS_38
穿过稀疏波，满足fL<0,PL>P*andρml>ρm*；
同理，得到右侧波fR满足公式，汇总左右侧代数方程，得到有关黎曼问题中中间状态处气液混合流体速度和密度的表达式
Figure QLYQS_39
或者
Figure QLYQS_40
其中
Figure QLYQS_41
K＝L或者R，
接下来，定义
Figure QLYQS_42
结合方程(22)，得到以下波型判定公式
Figure QLYQS_43
对于双稀疏波和双激波类型，满足fmin·fmax>0，既
Figure QLYQS_44
结合方程(32)，得到
Figure QLYQS_45
这里
Figure QLYQS_46
这里引入变量K＝1/|ρR-ρL|，公式(36)转化为
Figure QLYQS_47
这里
Figure QLYQS_48
当ρmR>ρmL时，/>
Figure QLYQS_49
当ρmR<ρmL时，展开公式(37)，得到
Figure QLYQS_50
最终，给出以下判定公式
Figure QLYQS_51
所述步骤S3中三种黎曼求解器的构建方法为：
迭代黎曼求解器：
基于密度方程(22)，利用牛顿迭代法得到下式
Figure QLYQS_52
这里给出初值ρm* 0的计算公式
Figure QLYQS_53
Figure QLYQS_54
两种非迭代黎曼求解器：
对公式(31)进行泰勒展开
Figure QLYQS_55
得到第一个一阶近似的非迭代黎曼求解器
Figure QLYQS_56
第一个非迭代求解器为两稀疏波求解器，在激波出现时会出现计算误差，构建第二个非迭代求解器
Figure QLYQS_57
这里
Figure QLYQS_58
K＝L或R，利用第一个非迭代求解器得到TK的初值TK *，并将其带入公式(62)，得到
Figure QLYQS_59
所述步骤S4中通过含有Total Variation Diminishing形式的MUSCL-Hancoke格式，得到重建的流动变量，具体如下：
S4-1：引入斜率限制器
Figure QLYQS_60
其中，
Figure QLYQS_61
为斜率限制器参数；
S4-2：流体变量重构
Figure QLYQS_62
S4-3：进一步变量重构
Figure QLYQS_63
所述步骤S5具体为：
当为上游边界时，当已知气液混合体压力
Figure QLYQS_64
时，未知量气液混合体密度和波速
Figure QLYQS_65
和/>
Figure QLYQS_66
由物理方程(3)和(4)得到，结合公式(31)，混合流体的速度/>
Figure QLYQS_67
写做
Figure QLYQS_68
这里
Figure QLYQS_69
上标n+1代表计算时步；
当已知混合流体的速度
Figure QLYQS_70
时，假设/>
Figure QLYQS_71
压力/>
Figure QLYQS_72
通过公式(4)利用牛顿迭代法得到，通过公式(3)进一步得到波速/>
Figure QLYQS_73
结合/>
Figure QLYQS_74
通过以下迭代步骤得到一个新的密度/>
Figure QLYQS_75
Figure QLYQS_76
以及
Figure QLYQS_77
这里j代表迭代次数；
所述步骤S6中引入源项
Figure QLYQS_78
格式离散方程的求解过程为：
S6-1：对流项
Figure QLYQS_79
S6-2：Δt/2时步更新
Figure QLYQS_80
S6-3：Δt时步更新
Figure QLYQS_81
源项S中梯度(S0)i定义为
Figure QLYQS_82
其中，
Figure QLYQS_83
均为时间***法中不同时步计算的中间变量；
所述步骤S7具体为：
S7-1：由CFL得到：
Figure QLYQS_84
S7-2：显式二阶龙格-库塔离散化约束：
Figure QLYQS_85
S7-3：给出包括对流部分和源项的最大允许时间步长：
Figure QLYQS_86
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