CN113408906A - 一种高速列车停站与客流分配的联合优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种高速列车停站方案与客流分配的联合优化方法，包括：考虑乘客出行需求的不确定性，基于条件概率的不确定性集描述乘客出行需求；基于不确定性集，构建两阶段鲁棒优化模型；其中，以列车停站方案作为第一阶段决策变量，以客流分配作为第二阶段决策变量；将两阶段鲁棒优化模型进行分析及等价转化，简化不确定性集；采用行列生成算法对转化后的两阶段鲁棒优化模型进行求解；其中，采用KKT条件的精确求解方法和近似求解方法求解行列生成算法中的子问题。本发明考虑乘客出行需求的不确定性，使决策更加符合实际情况，实用性更强；子问题近似求解方法可以快速的求出高精度的解，可以为实际的高速列车停站方案及客票分配提供决策依据。

Description

一种高速列车停站与客流分配的联合优化方法

技术领域

本发明属于高速列车运营管理技术领域，涉及一种高速列车停站与客流分配的联合优化方法，具体涉及一种考虑不确定性出行需求的高速列车停站方案与客流分配的联合优化方法。

背景技术

铁路网络规模的不断扩大和旅客数量的不断增加也对铁路部门的运营组织能力提出了重大挑战，铁路客运***作为一个综合、复杂、动态、开放的大***，包含诸多的决策优化问题。铁路运营决策规划过程通常被划分为战略、战术、执行三个层面，列车停站方案及客流分配作为战术层决策的重要环节，对铁路运行效率有显著影响。停站方案是在确定列车开行区段后，确定列车的停靠车站序列，客流分配即将具有不同OD需求乘客分配给列车沿途各站；合理的停站方案会尽量满足各OD对之间的客流需求，减少不必要的停站带来的成本浪费，提升列车服务水平；合理的客流分配则会增加列车的上座率，提高铁路部门的客运服务水平及运营收益。由于列车只能为其停靠车站内的旅客提供运输服务，列车停站方案的设置对列车客流的分配有着决定性的影响；不同的列车停站方案对应不同的客流分配结果，从而为旅客提供不同的运输服务。

旅客需求是影响列车停站方案与客流分配的重要信息，在实际中，乘客出行需求会受到天气、节假日等因素的影响，具有较强的波动性。如果将旅客需求视为确定性参数或服从某种概率分布的随机参数，可能会导致得到的列车停站方案与客流分配结果与乘客出行需求不匹配，浪费列车的运输能力，降低高速铁路的上座率和运输收益。

当前与停站方案相关的研究内容多样，研究场景丰富，尚未形成***的体系。从不同的角度出发，有不同的模型优化目标。例如，从铁路运营者角度构建模型，常见的模型优化目标包括运营收益高、成本费用最低、列车运营时间最短、总停站次数最少等，如Lin和Ku、孙惠娟等均以铁路部门运营收益最大作为优化目标开展与停站方案相关的研究。从乘客角度构建模型，常见的模型优化目标包括旅客行程时间最短、旅行成本最低等，如郑锂等、毕明凯等均以乘客出行所耗费的总时间最小作为优化目标开展与停站方案相关的研究。部分学者会考虑停站方案与其他决策的联合优化，如客流分配、列车时刻表、列车开行频次等。Cacchiani等、Chang等、Qi等同时考虑了列车停站决策和客流分配决策，模型通过客流分配决策给出不同OD对间列车应运载的乘客数量，其中Chang等(2000)建立停站方案模型中还包括列车开行频次决策。

通过对过往文献的检索分析可得出，大多数学者在进行停站方案研究时，往往会加入与其相关联的调度决策，如列车时刻表、客流分配等。大部分研究均将客流量视为确定性参数，部分研究假定客流量是服从某已知分布的随机参数，几乎没有文献从鲁棒优化的角度对停站优化相关问题进行建模，因此与停站方案相关的鲁棒优化问题具有较大的研究空间。本发明考虑铁路客流需求的不确定性，研究列车停站方案与客流分配的联合优化问题。

发明内容

针对现有技术中存在的上述问题，本发明提供一种考虑不确定性出行需求的高速列车停站方案与客流分配的联合优化方法。

本发明公开了一种高速列车停站方案与客流分配的联合优化方法，包括：

考虑乘客出行需求的不确定性，基于条件概率的不确定性集描述乘客出行需求；

基于所述不确定性集，构建两阶段鲁棒优化模型；其中，以列车停站方案作为第一阶段决策变量，以客流分配作为第二阶段决策变量；

将所述两阶段鲁棒优化模型进行分析及等价转化，简化不确定性集；

采用行列生成算法对转化后的两阶段鲁棒优化模型进行求解；其中，采用KKT条件的精确求解方法和近似求解方法求解行列生成算法中的子问题。

作为本发明的进一步改进，在基于条件概率的不确定性集描述乘客出行需求中，认为高速铁路OD客流d以p_m的概率属于不确定性集D_m。

作为本发明的进一步改进，以最小化列车因停站而损失的总时间作为第一阶段模型的目标，以最小化未满足的乘客需求数量作为第二阶段的目标，构建两阶段鲁棒优化模型。

作为本发明的进一步改进，在第一阶段模型中，模型约束包括：每个车站的最小服务次数、每辆列车的最小停站站点数量和所有列车都有相同的起点站和终点站。

作为本发明的进一步改进，在第二阶段模型中，模型约束包括：给任一OD对分配的客流不应该超过该OD对的实际客流需求量、客流分配决策变量y_kij是否为0取决于列车是否同时在i站和j站停车以及列车负载的乘客数量不应该超过列车定员数量。

作为本发明的进一步改进，通过求解第二阶段模型的对偶问题，获得其等价形式，对模型进行分析并简化不确定性集。

作为本发明的进一步改进，采用行列生成算法对转化后的两阶段鲁棒优化模型进行求解，包括：

初始化下界LB和上界UB；

求解模型主问题并得到问题最优解，更新下界LB；

求解子问题，更新上界UB；

若UB-LB<∈，∈为常数；则得到最优解，否则向受限主问题中添加约束，并重新求解模型主问题和子问题。

作为本发明的进一步改进，所示采用KKT条件的精确求解方法和近似求解方法求解行列生成算法中的子问题，包括：

基于KKT条件的精确求解方法：针对问题

的内层问题，通过问题Z(x,d)的KKT条件来获得最优解y^*；给出其KKT条件，由于KKT条件中包含非线性约束，通过引入0-1变量，利用大M法将其线性化，最终子问题变为可求解的形式；

近似求解方法：首先定义

则在x给定的情况下，通过如下步骤近似求解问题

(1)求解线性规划问题Z(x,μ)；

(2)判断是否满足条件

如果满足，则直接得到最优解；否则将问题近似转换为一个混合整数线性规划问题进行求解。

与现有技术相比，本发明的有益效果为：

本发明探究了在乘客出行需求不确定情况下对列车停站方案与客流分配的联合优化问题，其考虑乘客出行需求的不确定性，使决策更加符合实际情况，实用性更强；与基于传统不确定性集的模型求解结果相比，基于条件概率不确定性集的模型求解结果保守性降低；近似求解方法与基于库恩塔克条件的精确求解方法相比求解时间大大提升，且二者的最优值偏差较小。

附图说明

图1为本发明一种实施例公开的考虑不确定性出行需求的高速列车停站方案与客流分配的联合优化方法的流程图；

图2为本发明一种实施例公开的决策及实际客流需求的先后发生顺序的示意图。

具体实施方式

为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

下面结合附图对本发明做进一步的详细描述：

本发明提供一种考虑不确定性出行需求的高速列车停站方案与客流分配的联合优化方法，其针对列车停站方案与客流分配进行研究，在优化模型中考虑了两个重要因素：第一、旅客出行需求具有随机波动性，在不同场景下(工作日、节假日及寒暑假等)具有不同的出行需求特征，因而在模型中采用基于条件概率的不确定性集描述乘客需求；第二、由于乘客只能在列车停靠的站点上下车，列车停站方案的设置对客流分配方案有决定性影响，因而本发明联合优化停站方案与客流分配。

列车停站方案对客流的分配具有重要影响，因为旅客只能在列车停站的站点上下车，只有被列车停靠的站点集合组合成的OD对才可能被分配客流。基于上述特点，如图2所示，本发明将决策分为两个阶段：在第一阶段进行停站方案决策，此时决策者不知道客流需求的具体取值，仅仅知道客流量的均值及标准差；然后客流量的真实取值被决策者观察到；在第二阶段时依据实际客流量取值相应的进行客流分配决策。

具体的：

如图1所示，本发明提供一种考虑不确定性出行需求的高速列车停站方案与客流分配的联合优化方法，包括：

步骤1、考虑乘客出行需求的不确定性，基于条件概率的不确定性集描述乘客出行需求；其中，

在基于条件概率的不确定性集描述乘客出行需求中，认为高速铁路OD客流d以p_m的概率属于不确定性集D_m，其中m∈{1,…M}。

基于此，将不确定性集D_m定义为：

步骤2、基于不确定性集，将列车停站方案与客流分配进行联合优化，构建两阶段鲁棒优化模型；其中，以列车停站方案作为第一阶段决策变量，以客流分配作为第二阶段决策变量；

构建的两阶段鲁棒优化模型，具体包括：

1)、描述该优化模型中的参数：

2)、以最小化列车因停站而损失的总时间作为第一阶段模型的目标，以最小化未满足的乘客需求数量作为第二阶段的目标，构建两阶段鲁棒优化模型；

模型目标如下：

其中，Z_m(x,d^m)表述如下：

(1)式是第一阶段的目标函数；在第一阶段模型中，约束(2)给出了每个车站允许的最小停靠列车数量，约束(3)给出了每辆列车的最小停站站点数量，约束(4)说明所有列车都有相同的起点站和终点站。

(6)式是第二阶段的目标函数；第二阶段模型中，约束(7)表明给任一OD对分配的客流不应该超过该OD对的实际客流需求量，约束(8)和约束(9)表明客流分配决策变量y_kij是否为0取决于列车是否同时在i站和j站停车，约束(10)表明列车负载的乘客数量不应该超过列车定员数量。

步骤3、将两阶段鲁棒优化模型进行分析及等价转化，简化不确定性集；其中，

本发明通过求解第二阶段模型的对偶问题，获得其等价形式，对模型进行分析并简化不确定性集；具体包括：

为表示方便，本部分省略下标m；针对第二阶段问题的约束(8)、(9)，本发明引入E_k(x)如下，E_k(x)＝{(i,j):x_kix_kj＝1,1≤i<j≤|S|},则Z(x,d)可以重新表述为：

为了简化不确定性集，首先本发明将max_d∈D Z(x,d)转化为一个最大化问题。在x和d给定的情况下，Z(x,d)是一个最小化的线性规划问题；它的对偶问题为：

依据得到的对偶问题，在x给定的情况下，问题max_d∈D Z(x,d)可重新表述为最大化问题(P)。

本发明对模型(P)中客流需求d的系数进行分析，已知高铁客流量d≥0。在β给定的情况下,α_ij的最优值可以通过如下公式给出：

所以，d_ij的系数1-α_ij≥0。

本发明定义不确定性集

如下：

则有如下定理。

定理1.

证明：将(P)的最优解记为(d^*,α^*,β^*)，假设存在d_ij的最优值

落在[μ_ij-δ_ij,μ_ij)范围内。

令

则依据客流需求的约束定义，

也是可行的，记为可行解(d^′,α^*,β^*)。

记

已知d_ij的系数1-α_ij≥0，则F(d^′,α^*,β^*)＞F(d^*,α^*,β^*),所以不存在

落在[μ_ij-δ_ij,μ_ij)范围内，

所以可以将约束d_ij∈[μ_ij-δ_ij,μ_ij+δ_ij]缩小到d_ij∈[μ_ij,μ_ij+δ_ij]，因而不确定性集变为：

取z_ij＝d_ij-μ_ij，则z_ij∈[0,δ_ij]，将d_ij＝z_ij+μ_ij带入约束∑_{1≤i<j≤|S|}(d_ij-μ_ij)≤b得∑_{1≤i<j≤|S|}(d_ij-μ_ij)＝∑_{1≤i<j≤|S|}z_ij≤b,因此，D₁等价于如下形式：

所以，

步骤4、采用行列生成算法对转化后的两阶段鲁棒优化模型进行求解；其中，采用库恩塔克(Karush–Kuhn–Tucker,KKT)条件的精确求解方法和近似求解方法求解行列生成算法中的子问题；

具体的：

行列生成算法是一种割平面的方法，与Benders割平面(Benders-style CuttingPlane,BCP)方法相比，行列生成算法在求解两阶段鲁棒问题上有更快的执行速度。为简化模型，在原两阶段鲁棒优化问题中引入辅助变量z_m，则原模型可重新表述为：

对于每个d^m∈D_m,约束{z_m≥Z_m(x,d^m)}可以被改写为：

其中，y^mu为新创建的决策变量；因此，两阶段鲁棒优化模型被等价转换为一个大规模混合整数规划问题。由于不确定性集D_m为多面体，本发明无法通过枚举不确定集中所有的不确定性场景来求解(P1)的最优值，但对不确定性集中场景的部分枚举可以提供原始两阶段鲁棒优化问题的有效松弛(并且因此提供下限)。通过逐步添加有效场景来扩展枚举，可以得到更好的下限。行列生成算法通过求解问题

来识别重要场景并加入到不确定性集子集中。

具体行列生成算法步骤如下：

[1]初始化:LB＝-∞,UB＝∞,t＝0

[2]求解如下主问题:

s.t.(2)-(5),

求解问题(MP)并得到问题最优解

更新下界

[3]求解子问题：将x^*带入并求解问题

得到客流量最优解d^m,t+1*，更新上界

[4]计算gap:如果UB-LB<∈(∈是一个比较小的数，可以取为10^-6)，则返回

并终止；否则t＝t+1，对于所有m∈{1,…,M}，进行如下操作并回到步骤2：

a)如果

创建变量y^m,t+1，添加如下约束到MP中：

更新t＝t+1，并回到步骤2

b)如果

创建变量y^m,t+1，添加如下约束到MP中：

(21)-(25),

更新t＝t+1，并回到步骤2

行列生成算法第三步需要求解问题

为了精确求解此问题，本发明给出了基于KKT条件的精确求解方法，为了加快求解速度，又设计了近似求解方法。为表示方便，本发明在后续省略下标m。

基于KKT条件的精确求解方法如下：

为了精确求解问题

本发明使用经典的KKT条件来处理问题中的多面体不确定性集。对于凸优化问题，KKT条件是判断该优化问题某个解是否为最优解的充分必要条件。由于问题

的内层问题即为凸优化问题，因此本发明可以通过问题Z(x,d)的KKT条件来获得最优解y^*。已知α,β为第二阶段问题的对偶变量，其KKT条件如下：

(13)-(16),(18)-(20),#(26)

因此问题

等价于如下问题：

s.t.(13)-(16),(18)-(20),(27)-(29),#(31)

针对问题中的非线性约束，本发明可以通过引入0-1变量，利用大M法将其线性化。针对约束(27)、(28)、(29)，分别引入0-1变量v_ij,π_kt,q_kij，则约束可以被重新表述为：

其中U为一极大值。依据之前的分析，可知约束(34)中U的最大值取1，约束(35)中U的最大值取μ_ij+δ_ij，其他约束中U的最大取值同理可分析得到，所以约束可重新被表述为：

因此，问题

被转换为一个混合整数线性规划问题，可以通过求解器进行求解。

近似求解方法

基于KKT条件的精确求解方法求解速度较慢，于是本发明设计了近似求解方法。依据定理1，问题

可表述为如下形式：

在x和z给定的情况下，考虑如下问题。

对给定的z,令(α(z),β(z))是问题(P1)的最优解，则(α(0),β(0))是z＝0时问题(P2)的最优解。令

本发明有如下命题。

命题1.如果

那么

是问题(SP)的最优解，其中当

时，

当

时，只要满足如下条件即可：

证明：首先本发明证明Π(x)≤Z(x,μ)+b。利用(α(0),β(0))的最优性，对任意z,本发明有

对任意z≥0，因为α_ij(z)≥0,本发明有

从而，

接下来，本发明证明

是问题(SP)的可行解，并且目标函数值为Z(x,μ)+b。由于

以及(α(0),β(0)的最优性，可知

是问题(SP)的可行解。其对应的目标函数值为

根据上面的命题，在x给定的情况下，本发明可以通过如下步骤近似求解问题(SP)。

(1)求解线性规划问题Z(x,μ)；

(2)判断是否满足条件

如果满足，那么可以直接得到最优解；否则将问题(SP)近似转换为一个混合整数线性规划问题进行求解。

(SP)问题的近似转换方式如下。在满足约束的情况下，(SP)问题中z_ij的最优解会在区间边界处取得，因此本发明引入变量u_ij∈{0,1}，则z_ij＝u_ij×δ_ij，(SP)近似变为(SP1)形式：

由于(SP1)中α的最优解

本发明通过如下公式将双线性项w_ij＝α_iju_ij线性化

w_ij≥α_ij+u_ij-1,w_ij≥0.

因此，(SP)问题可以近似转化为如下混合整数规划问题

本发明的优点为：

本发明探究了在乘客出行需求不确定情况下对列车停站方案与客流分配的联合优化问题，其考虑乘客出行需求的不确定性，使决策更加符合实际情况，实用性更强；与基于传统不确定性集的模型求解结果相比，基于条件概率不确定性集的模型求解结果保守性降低；近似求解方法与基于库恩塔克条件的精确求解方法相比求解时间大大提升，且二者的最优值偏差较小。

以上仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种高速列车停站方案与客流分配的联合优化方法，其特征在于，包括：

考虑乘客出行需求的不确定性，基于条件概率的不确定性集描述乘客出行需求；

基于所述不确定性集，构建两阶段鲁棒优化模型；其中，以列车停站方案作为第一阶段决策变量，以客流分配作为第二阶段决策变量；

将所述两阶段鲁棒优化模型进行分析及等价转化，简化不确定性集；

采用行列生成算法对转化后的两阶段鲁棒优化模型进行求解；其中，采用KKT条件的精确求解方法和近似求解方法求解行列生成算法中的子问题。

2.如权利要求1所述的联合优化方法，其特征在于，在基于条件概率的不确定性集描述乘客出行需求中，认为高速铁路OD客流d以p_m的概率属于不确定性集D_m。

3.如权利要求1所述的联合优化方法，其特征在于，以最小化列车因停站而损失的总时间作为第一阶段模型的目标，以最小化未满足的乘客需求数量作为第二阶段的目标，构建两阶段鲁棒优化模型。

4.如权利要求3所述的联合优化方法，其特征在于，在第一阶段模型中，模型约束包括：每个车站的最小服务次数、每辆列车的最小停站站点数量和所有列车都有相同的起点站和终点站。

5.如权利要求3所述的联合优化方法，其特征在于，在第二阶段模型中，模型约束包括：给任一OD对分配的客流不应该超过该OD对的实际客流需求量、客流分配决策变量y_kij是否为0取决于列车是否同时在i站和j站停车以及列车负载的乘客数量不应该超过列车定员数量。

6.如权利要求1所述的联合优化方法，其特征在于，通过求解第二阶段模型的对偶问题，获得其等价形式，对模型进行分析并简化不确定性集。

7.如权利要求1所述的联合优化方法，其特征在于，采用行列生成算法对转化后的两阶段鲁棒优化模型进行求解，包括：

初始化下界LB和上界UB；

求解模型主问题并得到问题最优解，更新下界LB；

求解子问题，更新上界UB；

若UB-LB<∈，∈为常数；则得到最优解，否则向受限主问题中添加约束，并重新求解模型主问题和子问题。

8.如权利要求7所述的联合优化方法，其特征在于，所示采用KKT条件的精确求解方法和近似求解方法求解行列生成算法中的子问题，包括：

基于KKT条件的精确求解方法：针对问题

的内层问题，通过问题Z(x,d)的KKT条件来获得最优解y^*；给出其KKT条件，由于KKT条件中包含非线性约束，通过引入0-1变量，利用大M法将其线性化，最终子问题变为可求解的形式；

近似求解方法：首先定义

则在x给定的情况下，通过如下步骤近似求解问题

(1)求解线性规划问题Z(x,μ)；

(2)判断是否满足条件

如果满足，则直接得到最优解；否则将问题近似转换为一个混合整数线性规划问题进行求解。

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