CN113325799A - 一种曲面工件的点焊机器人操作空间平滑路径规划方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种曲面工件的点焊机器人操作空间平滑路径规划方法，包括点焊机器人运动学模型模块、运动约束条件模块、焊点间最短平滑避障路径规划模块和最优焊点焊接顺序规划模块四个模块。通过三维栅格法曲面工件型面及焊点分布进行建模，采用改进A‑star算法和均匀B样条曲线细分算法平滑处理生成焊点间最短平滑避障路径，运用多目标精英模拟退火遗传算法得到最优焊接顺序，根据焊钳坐标系与焊点坐标系的无碰撞运动约束条件以及焊钳坐标系与曲面工件型面安全距离约束条件，通过逆运动学求解得到当前焊接路径对应的关节空间路径。本发明在实际工业中具有应用参考价值，不仅可以缩短工程师规划调试时间，还可以提高机器人的工作效率。

Description

一种曲面工件的点焊机器人操作空间平滑路径规划方法

技术领域

本发明涉及机器人焊接技术领域，特别涉及一种曲面工件的点焊机器人操作空间平滑路径规划方法。

背景技术

汽车工业是点焊机器人***一个典型的应用领域，大约60％的车体焊点由机器人完成。点焊机器人因工件型面及焊点分布复杂，所以合理安排这些焊点的焊接顺序，得到一个优秀的焊接轨迹规划方案，对节省焊接时间，降低生产成本，提高生产效率具有十分重要的意义。目前机器人应用研究还有很大的空间，焊接工程师往往依据自己的经验，加上参照设计人员的工艺卡，依赖示教人员长时间的示教和调试，常常不能得到理论最优，与追求生产节拍高效的汽车行业相矛盾。

对于空间复杂的曲面工件对象，如何在操作空间中自动生成平滑最优路径是亟待解决的问题。焊点间焊接路径问题与焊点焊接顺序问题具有相对独立性，其优化过程又是相互依存的关系，然而，现有方法大多只是考虑焊点的焊接顺序，无法得到操作空间内焊接路径的全局最优解。另外，现有方法大多集中研究机器人关节空间的路径规划，可是，点焊操作需要高精度定位以达到焊点熔核致密紧凑，从而满足焊接强度的要求，因此，采用直观高效、运行精度高的操作空间平滑路径规划更为合理。

在实际工程以智能算法实现焊装线机器人路径的自主生成代替人工规划，找到最优平滑路径，提高规划效率是本发明的研究目的。而白车身焊点路径规划的核心是三维TSP问题，Memetic算法结合邻域知识和基于群体的搜索方法，具有高效启发式算法的特点，与群体方法(如遗传算法、蚁群算法等)相比增加解的多样性，具有更好的跳出局部最优的能力。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是通过点焊机器人焊接路径离线规划方法缩短焊接路径长度及提高平滑程度，此方法包含四个模块，分别是点焊机器人运动学模型模块、运动约束条件模块、焊点间最短平滑避障路径规划模块和最优焊点焊接顺序规划模块。首先，通过三维栅格法曲面工件型面及焊点分布进行建模，调用焊点间最短平滑避障路径规划模块生成焊点间最优路径集；其次，根据焊点间最优路径集，调用最优焊点焊接顺序规划模块在考虑路径长度和平滑度的基础上确定焊点焊接顺序，得到完整的最优焊点焊接路径；再其次，根据焊钳坐标系与焊点坐标系的无碰撞运动约束条件以及焊钳坐标系与曲面工件型面安全距离约束条件，通过运动约束条件模块的完整运动约束闭链得到点焊机器人的齐次变换矩阵；最后，根据已得的完整最优焊点焊接路径离散点，通过点焊机器人运动学模型模块的逆运动学求解得到点焊机器人关节角度变化曲线，即规划后的关节空间内路径。点焊机器人运动学模型模块包括正运动学模型与逆运动学模型，其中逆运动学模型根据Pieper准则进行机器人逆运动学的计算，根据腕部坐标系的位置反解出前三个关节的关节变量，将腕部等效为z-y-z欧拉角旋转矩阵，再根据前三个关节变量反解出后面三个关节变量；运动约束条件模块根据焊点与曲面工件型面边缘点的距离限制确定焊点坐标系，通过焊钳、焊点及曲面工件型面的位姿关系，设置焊钳坐标系与焊点坐标系的无碰撞运动约束条件以及焊钳坐标系与曲面工件型面安全距离约束条件，并建立点焊机器人的完整运动约束闭链；焊点间最短平滑避障路径规划模块采用改进的A-star算法进行焊接路径规划，通过计算前后节点间向量夹角α与夹角阈值α₀作比较，如果α≥α₀，则删除冗余节点提高路径平滑度，采用均匀B样条曲线细分算法对路径平滑处理，最终生成焊点间最短无碰撞平滑路径集；最优焊点焊接顺序规划模块在遗传算法路径规划方法的基础上，以路径长度最短和路径平滑度最高为目标函数，通过变邻域搜索方法改进变异算子，以“点***”、“交换”、“2-opt”和“块***”四种邻域结构进行可变邻域搜索，将精英种群策略与选择算子相结合，为精英个体提供更多的交叉变异操作机会，最终，通过模拟退火算法跳出局部搜索得到焊接路径的全局最优解。

附图说明

图1为本发明的六自由度机器人及其连杆坐标示意图；

图2为本发明的改进A-star算法的冗余节点判别方法示意图；

图3为本发明的整合精英群体策略的遗传算子作用机制示意图；

图4为本发明的变异算子的可变邻域结构搜索方法示意图；

图5为本发明的基于Memetic算法的路径规划方法流程图；

图6为本发明的传统型和改进型A-star算法的焊点间路径规划示意图；

图7为本发明的基于传统遗传算法的路径规划示意图；

图8为本发明的基于精英自适应遗传算法的路径规划示意图；

图9为本发明的基于多目标精英模拟退火遗传算法的路径规划示意图；

图10为本发明的适应度进化曲线；

图11为本发明的目标函数值进化曲线；

图12为本发明的种群适应度均值进化曲线；

图13为本发明的种群适应度方差进化曲线；

图14为本发明的点焊机器人关节角度变化曲线；

图15为本发明的点焊机器人运动学模型及后排座椅上横梁总成最优焊点路径图；

具体实施方式

下面结合附图1-15所述对本发明作出进一步的详细说明，

如图1所示，机器人连杆的变换矩阵如下所示：

式中，a_i-1是连杆长度、α_i-1是连杆扭转角、d_i是连杆偏移量，θ_i是关节角度。cθ_i表示cosθ_i，sθ_i表示sinθ_i，cα_i-1表示cosα_i-1，sα_i-1表示sinα_i-1。

由于a_i-1、α_i-1、d_i均是已知量，故关节变换矩阵

只与关节变量θ_i有关，因此，以下各式如无特殊说明，c_i表示cosθ_i，s_i表示sinθ_i。

机器人末端坐标系在基坐标中的位姿用齐次变换矩阵描述，机器人运动学正解表达式为：

式中，θ包括(θ₁,θ₂,θ₃,θ₄,θ₅,θ₆)，

表示基坐标系与关节6坐标系的变换矩阵，

分别表示两相邻坐标系之间的变换矩阵，

表示相邻关节坐标系变换矩阵与关节角度变量θ_i的关系，p为末端参考点相对基坐标系的位置向量[p_x,p_y,p_z]^T，[n o a]为末端参考点相对基坐标系的姿态矩阵

由于大多数点焊机器人的腕部三个关节交于同一点，因此可以根据Pieper准则进行机器人逆运动学计算，该方法主要分为两步，首先根据腕部坐标系的位置反解出前三个关节的关节变量θ_i(i＝1,2,3)，然后再根据腕部姿态坐标及已经求出的前三个关节变量反解出后面三个关节变量θ_i(i＝4,5,6)。

由于腕部坐标系{4}、{5}与{6}共原点，故可根据连杆变换求得该点在基坐标系中的位置。

式中，

表示为[p_x,p_y,p_z,1]^T，

表示基坐标与关节1坐标系的变换矩阵，

表示关节1坐标系和关节2坐标系的变换矩阵，

表示关节2坐标系和关节3坐标系的变换矩阵，f₁、f₂和f₃分别表示为f₁＝a₃c3-d₄s3+a₂、f₂＝a₃s3+d₄c3和f₃＝0。

继续利用齐次变换矩阵，并代入已知

位置向量[p_x,p_y,p_z,1]^T得

式中，g₁、g₂和g₃分别表示为g₁＝c₂f₁-s₂f₂+a₁，g₂＝f₃和g₃＝-s₂f₁-c₂f₂-f₃。

从几何关系和上述方程可以看出，[p_x,p_y,p_z,1]^T的另一种表达式可以写成

[p_x,p_y,p_z,1]^T在基坐标系中的位置也可以表示为：

式中，k₁、k₂和k₃分别表示为k₁＝f₁，k₂＝-f₂和

代入D-H参数数据，并由式(3)～(6)得：

式中，

代入式(6)与式(7)，通过g₂＝0和已知的

坐标[p_x,p_y,p_z,1]^T求得：

其中，

根据上面已经解出来的θ₁、θ₂及θ₃，可以进一步求出目标旋转矩阵

从而

式中，

表示为后三个关节变量θ_i(i＝4,5,6)的姿态变换矩阵，

前三个关节θ_i(i＝1,2,3)的姿态变换矩阵的逆，

为机器人末端参考点相对基坐标系的姿态矩阵[n oa]。

点焊机器人腕部三轴类似于z-y-z欧拉角变换，求得：

式中，

是当θ₄＝0时，坐标系{4}在坐标系{3}中姿态，R_zyz(θ₄,θ₅,θ₆)是腕部等效z-y-z欧拉角旋转矩阵。

利用z-y-z欧拉角求解方法求得θ₄、θ₅及θ₆。

式中，r_ij(i,j＝1,2,3)表示式(9)的

矩阵中的元素，其中，i是旋转矩阵

的行数，j是旋转矩阵

的列数，θ₅前的负号表示坐标系{4}的y轴与θ₅方向相反。

当工件为曲面时，其通式可用空间曲面方程表示：

F(x,y,z)＝0 (12)

是焊点p_i(x_i,y_i,z_i)的单位法向量，是焊点坐标系{p_i}的z轴单位向量

工件边缘点集合为{m_j}，工件边缘点m_j(x_dj,y_dj,z_dj)与焊点坐标p_i(x_i,y_i,z_i)之间的向量表示为：

从工件边缘点{m_j}到曲面上焊点p_i(x_i,y_i,z_i)单位法向量

的向量表示为：

工件边缘点m_j(x_dj,y_dj,z_dj)到焊点坐标p_i(x_i,y_i,z_i)单位法向量

的最短距离

对应的向量可以表示为：

工件边缘点m_j(x_dj,y_dj,z_dj)到焊点p_i(x_i,y_i,z_i)的单位向量作为焊点坐标系{p_i}的x轴单位向量，得：

焊点坐标系{p_i}的y轴单位向量：

基坐标与焊点坐标系{p_i}的齐次变换矩阵：

焊钳与点焊机器人变换矩阵：

C型伺服焊钳的轴线应在焊点坐标位置垂直于工件的切割面，以保证熔核致密，得：

完整的运动约束闭链表示为：

A-star算法是一种图搜索算法，通过初始节点与附近节点的代价以及节点到目标节点的启发式评价来分析目前节点，A-star算法的代价函数为：

f(n)＝g(n)+h(n) (23)

式中n代表当前节点，f(n)是点焊机器人初始节点与节点以及目标节点三者的估价函数，g(n)是状态环境的初始节点与某一节点之间真实代价，h(n)是自当前节点至目标节点这一过程的预算代价。

焊钳与工件之间的距离大于安全距离，得：

H(R,W)-d_safe≥0 (24)

式中，R，W分别代表机器人末端执行器和工件，表示机器人与工件无碰撞，其中d_safe表示机器人末端执行器与工件的安全距离。

选取欧氏距离作为h(n)的代价函数，其函数表达式为：

式中，(x_n,y_n,z_n)代表当前节点的中心坐标，(x_g,y_g,z_g)代表目标节点中心坐标。

如图2所示为本发明的改进A-star算法的冗余节点判别方法示意图，在栅格地图上临近区域存在8个扩展节点，点焊机器人受到行进方向的限制，保持与工件表面安全距离d_safe，去除冗余节点，根据回溯得到的路径，回溯节点n_st指向工件表面上的当前节点n_c，形成一个向量

当前节点n_c和后续节点n_s形成一个向量

通过计算

和

之间的夹角α去除冗余节点n_c，向量

和向量

之间的角度α计算如下：

α₀是向量

与向量

的夹角阈值，α≥α₀时，判定节点n_c是多余节点。

其中r_α是删除冗余节点n_c的判别函数。如果α≥α₀，则删除冗余节点n_c；否则，保留该节点n_c。

经过去除冗余节点操作后，点焊机器人路径上的m+n+1个节点n_i(i＝0,1,2,…m+n)，采用均匀B样条曲线细分算法对路径进行平滑处理得到焊点间最短路径，B样条曲线的数学表达式为：

其中，0≤t≤1，i＝0,1,2,…,m，B样条曲线是分段定义，给定m+n+1个节点n_i(i＝0,1,2,…m+n)，P_i+k为各节点的位置向量，则可定义m+1段n次的参数曲线。

F_k,n(t)为n次B样条基函数，其表达式为

式中，0≤t≤1，k＝0,1,2,…,n，

表示概率论中的组合运算，连接全部曲线段所组成的整条曲线称为n次B样条曲线，通过该方法对改进A-star算法生成的路径进行插值平滑优化，进一步得到更优路径。

机器人路径规划的目标函数是每两个焊点之间路径和最短与整条路径平滑度最高。

遍历所有焊点路径的个体x_i的长度之和目标函数表达式为：

式中，l_ij是改进的A-star算法得到的焊点之间的最短路径，n是焊点之间经过的路径段数。

遍历所有焊点路径的个体x_i的路径平滑度目标函数表达式为：

m和n是转角次数和焊点之间的路径段数，α是前后节点之间的角度，t_α是与角度相关的系数。

是路径长度矩阵，矩阵中的元素表示两个焊点之间的路径长度，其中n是焊点的数量，两个焊点之间的值L_jk和L_kj不一定相等。

M_Ci是路径平滑度矩阵，矩阵中的元素表示两个焊点之间的路径平滑度，C_kj和C_jk的值不一定相等。

将多目标问题转换为单目标优化问题，目标函数如下所示：

g_i＝ω₁L_i+ω₂S_i (34)

其中，ω₁、ω₂分别表示路径长度和平滑程度的权重系数，ω₁≥0，ω₂≥0，且ω₁+ω₂＝1。

适应度函数是度量个体在优化计算中能达到最优解的优良程度，种群中个体的适应度函数为：

其中，k_c和k_d的值越大，个体x_i的选择概率越高，采用轮盘赌选择法表示个体x_i选择概率。

式中，N为种群大小，个体x_i的积累概率为

轮盘赌选择法中被选中的几率与其适应度成正比例，该方法的基本思想是：生成一个随机数γ∈[0,1]，并计算个体的相对适应度值，如果q_i-1＜γ≤q_i，则第i个个体被选择到下一代。

如图3所示为该策略的具体作用机制，将精英种群策略与选择算子相结合，可以加快遗传算法的收敛速度，改善种群的进化方向，对t代群体pop_t的个体x_i进行适应度排序，将pop_t分为精英集合E_t(X)和普通集合S_t(X)两个子种群，选择操作分别在精英集E_t(X)和普通个体集S_t(X)中进行，经过交叉和变异操作，选择适应度最高的个体形成一个新的精英集E_t(X)。

如图4所示为动态邻域搜索的四种领域结构，根据路径规划目标构造以下四个邻域，设计一个动态邻域搜索算法，用来改进遗传算法的变异操作，利用“点***”、“交换”、“2-opt”以及“块***”四种邻域结构进行变邻域搜索拓展其搜索范围，得到局部最优解，使解能够跳出局部最优。图4a所示为“***”邻域搜索，定义为将某段连续节点从当前路径转移到另一条路径，选择一段连续节点r₁，将r₁整体***路径的某个位置；图4b所示为“块交换”邻域搜索，定义为从两条不同的路径上各选取一段连续节点进行位置互换；图4c所示为“2-opt”邻域搜索，定义为选取某一路径中任意不相邻的两点，并将两点间所有点(包括该两点)逆序；图4d所示为“点交换”邻域搜索，定义为两点基因进行位置互换。

经过交叉操作和变异操作之后，新个体目标函数值L_new与父代个体目标函数值L_old进行比较，如果新个体目标函数值L_new较小，传统遗传算法将放弃新个体对父代个体的更替，导致传统遗传算法陷入局部最优，经过多次迭代方可跳出局部最优，现引入模拟退火算法加快算法搜索最优解的速度。

采用Metropolis准则下的重要性采样法，在温度t下，若目标值L_new＜L_old，则更新种群，新个体替换父代个体，若目标函数值L_new＞L_old，引入模拟退火思想，以一定概率接受新个体。

其中，k_b为Boltzmann常数，将经过多次重复后，***将趋于能量较低的平衡态。

如图5所示为本发明的基于Memetic算法的路径规划方法流程图，首先，设置初始群体、初始温度和精英集大小，利用改进A-star算法生成焊点间路径集，然后，进行个体目标函数计算，建立适应度函数，通过精英策略改进选择操作，变异操作以变邻域搜索方法进行改进，最后，利用模拟退火算法跳出局部最优解，以此为起点进行迭代，直至获得满足优化目标的解则终止遗传过程，并由此得到最终全局最优解。

图6a和图6b分别为本发明的传统A-star算法和改进A-star算法的焊点间路径规划示意图，为了焊接机器人无碰路径优化，安全高度距离设定为2.5mm。为了验证改进的A-star算法，路径的起点和终点分别设为(1,1,7.5)和(10.5,5.5,2.8)，通过去除冗余节点和平滑处理，可以有效地减少转角次数，路径长度从14.7135dm减少到13.9875dm，改进A-star算法的焊点间路径平滑程度为0.27888。

如图7、图8和图9所示分别为基于多目标函数的传统遗传算法、精英自适应遗传算法和精英模拟退火遗传算法的路径规划示意图，三种遗传算法的种群大小设为p_s＝40，迭代次数为1000，传统遗传算法和精英自适应遗传算法的初始参数设置为交叉概率p_c＝0.9和变异概率p_m＝0.1，精英模拟退火遗传算法的初始化参数设置为初始温度T₀＝50，衰减因子为μ＝0.96。与传统遗传算法和精英自适应遗传算法相比，精英模拟退火遗传算法规划路径长度42.0799dm小于传统遗传算法规划路径长度84.9788dm与精英自适应遗传算法规划路径长度69.3153dm；规划路径平滑度0.63613小于传统遗传算法规划路径长度1.5725与精英自适应遗传算法规划路径长度1.4472。

图10和图11所示分别为目标函数值进化曲线对比图和适应度进化曲线对比图，其中，传统遗传算法与精英自适应遗传算法最终陷入了局部最优，传统遗传算法采用固定的基本交叉变异算子对路径进行优化，精英自适应遗传算法采用了自适应交叉变异算子调整，两者缺少跳出局部最优解的区域能力，精英模拟退火遗传算法采用变邻域搜索算法进行变异操作，在维持种群个体多样性的同时，增加了搜索区域，模拟退火算法提高跳出局部最优解的能力，收敛速度优于传统遗传算法和精英自适应算法，迭代次数约为150代时便到达了全局最优解，对比结果表明，精英模拟退火遗传算法目标函数值比传统遗传算法的目标函数值减少47.8％，比自适应遗传算法的目标函数值减少39.3％。

图12和图13所示分别为种群适应度方差进化曲线对比图和种群适应度均值进化曲线对比图，精英模拟退火遗传算法在种群进化初期，种群个体多样性更优，传统遗传算法和精英自适应遗传算法未达到全局最优解，在种群进化末期，与传统遗传算法相比，精英自适应遗传算法的适应度均值和方差更大，具有更强的全局搜索能力。

如图14所示为本发明的点焊机器人关节角度变化曲线，反映的是机器人沿焊点路径运动过程中关节角度随路径离散点的变化关系，三维曲面工件在点焊机器人工作空间内，根据基坐标系、机器人末端坐标系、焊点坐标系和焊钳坐标系的完整运动约束闭链，得到机器人末端坐标系相对于基坐标系的期望位置和姿态，进而得到所需的关节变量通过逆运动学求解所需的位置和姿态，在运动过程中不存在位置突变且满足运动约束条件。

如图15所示为本发明的点焊机器人运动学模型及后排座椅上横梁总成最优焊点路径图，采用D-H(Denavit-hartenberg matrix)法建立点焊机器人模型，d₁、d₄分别为点焊机器人肩部及小臂的连杆偏移量，a₁、a₂和a₃分别为肩部及大臂的连杆长度，考虑a₃对分析机器人肘部奇异有着重要意义，其中，各连杆的连杆扭转角为α₁＝-90°、α₂＝0°、α₃＝-90°、α₄＝90°、α₅＝-90°、α₆＝0°，各关节的θ值为关节变量。调用焊点间最短平滑避障路径规划模块和最优焊点焊接顺序规划模块生成后排座椅上横梁总成的最优路径，该最优无碰平滑路径由1122个离散路径点组成，调用点焊机器人运动学模型模块和运动约束条件模块生成图14的点焊机器人关节角度变化曲线。

Claims (6)

1.一种曲面工件的点焊机器人操作空间平滑路径规划方法，其特征在于由点焊机器人运动学模型模块、运动约束条件模块、焊点间最短平滑避障路径规划模块和最优焊点焊接顺序规划模块四个模块组成，首先，通过三维栅格法曲面工件型面及焊点分布进行建模，调用焊点间最短平滑避障路径规划模块生成焊点间最优路径集；其次，根据焊点间最优路径集，调用最优焊点焊接顺序规划模块在考虑路径长度和平滑度的基础上确定焊点焊接顺序，得到完整的最优焊点焊接路径；再其次，根据焊钳坐标系与焊点坐标系的的无碰撞运动约束条件以及焊钳坐标系与曲面工件型面安全距离约束条件，通过运动约束条件模块的完整运动约束闭链得到点焊机器人的齐次变换矩阵；最后，根据已得的完整最优焊点焊接路径离散点，通过点焊机器人运动学模型模块的逆运动学求解得到点焊机器人关节角度变化曲线，即规划后的关节空间内路径。

2.根据权利要求1所述的一种曲面工件的点焊机器人操作空间平滑路径规划方法，其特征在于所述的点焊机器人运动学模型模块包括正运动学与逆运动学两部分，根据Pieper准则进行机器人逆运动学计算，逆运动学主要分为两步，首先根据腕部坐标系的位置反解出前三个关节的关节变量，由于多数点焊机器人腕部三轴类似于z-y-z欧拉角变换，将腕部等效为z-y-z欧拉角旋转矩阵，再根据前三个关节变量反解出后面三个关节变量。

由于腕部连杆坐标系{4}、{5}与{6}共原点，故可根据连杆变换求得该点在基坐标系中的位置。

式中，

表示为[p_x,p_y,p_z,1]^T，

表示基坐标与关节1坐标系的变换矩阵，

表示关节1坐标系和关节2坐标系的变换矩阵，

表示关节2坐标系和关节3坐标系的变换矩阵，f₁、f₂和f₃分别表示为f₁＝a₃c3-d₄s3+a₂、f₂＝a₃s3+d₄c3和f₃＝0。

继续利用齐次变换矩阵，并代入已知

位置向量[p_x,p_y,p_z,1]^T得

式中，g₁、g₂和g₃分别表示为g₁＝c₂f₁-s₂f₂+a₁，g₂＝f₃和g₃＝-s₂f₁-c₂f₂-f₃。

从几何关系和上述方程可以看出，[p_x,p_y,p_z,1]^T的另一种表达式可以写成

[p_x,p_y,p_z,1]^T在基坐标系中的位置也可以表示为：

式中，k₁、k₂和k₃分别表示为k₁＝f₁，k₂＝-f₂和

代入D-H参数数据，并由式(1)～(4)得：

式中，

代入式(5)与式(4)，通过g₂＝0和已知的

坐标[p_x,p_y,p_z,1]^T求得：

其中，

根据上面已经解出来的θ₁、θ₂及θ₃，可以进一步求出目标旋转矩阵

从而

式中，

表示为后三个关节变量θ_i(i＝4,5,6)的姿态变换矩阵，

前三个关节θ_i(i＝1,2,3)的姿态变换矩阵的逆，

为机器人末端参考点相对基坐标系的姿态矩阵[n o a]。

点焊机器人腕部三轴类似于z-y-z欧拉角变换，求得：

式中，

是当θ₄＝0时，坐标系{4}在坐标系{3}中姿态，R_zyz(θ₄,θ₅,θ₆)是腕部等效z-y-z欧拉角旋转矩阵。

利用z-y-z欧拉角求解方法求得θ₄、θ₅及θ₆。

式中，r_ij(i,j＝1,2,3)表示式(7)的

矩阵中的元素，其中，i是旋转矩阵

的行数，j是旋转矩阵

的列数，θ₅前的负号表示坐标系{4}的y轴与θ₅方向相反。

3.根据权利要求1所述的一种面向曲面工件的点焊机器人操作空间平滑路径规划方法，其特征在于所述的运动约束条件模块，假设从工件边缘点{m_j}到曲面上焊点p_i(x_i,y_i,z_i)单位法向量

的向量

以对应最短距离

的工件边缘点m_j(x_dj,y_dj,z_dj)到焊点p_i(x_i,y_i,z_i)的单位向量

作为焊点坐标系{p_i}的x轴，以曲面单位法向量

为焊点坐标系{p_i}的z轴，根据右手定则确定焊点坐标系{p_i}的y轴为

根据焊钳、焊点及曲面工件型面的位姿关系、焊钳坐标系与焊点坐标系的无碰撞运动约束条件以及焊钳坐标系与曲面工件型面安全距离约束条件，建立点焊机器人与焊点的完整运动约束闭链。

是焊点p_i(x_i,y_i,z_i)的单位法向量，是焊点坐标系{p_i}的z轴单位向量

工件边缘点集合为{m_j}，工件边缘点m_j(x_dj,y_dj,z_dj)与焊点坐标p_i(x_i,y_i,z_i)之间的向量表示为：

从工件边缘点{m_j}到曲面上焊点p_i(x_i,y_i,z_i)单位法向量

的向量表示为：

工件边缘点m_j(x_dj,y_dj,z_dj)到焊点坐标p_i(x_i,y_i,z_i)单位法向量

的最短距离

对应的向量可以表示为：

工件边缘点m_j(x_dj,y_dj,z_dj)到焊点p_i(x_i,y_i,z_i)的单位向量作为焊点坐标系{p_i}的x轴单位向量，得：

焊点坐标系{p_i}的y轴单位向量：

基坐标与焊点坐标系{p_i}的齐次变换矩阵：

焊钳与点焊机器人变换矩阵：

C型伺服焊钳的轴线应在焊点坐标位置垂直于工件的切割面，以保证熔核致密，得：

完整的运动约束闭链表示为：

焊钳与工件之间的距离大于安全距离，得：

H(R,W)-d_safe≥0 (20)

式中，R，W分别代表机器人末端执行器和工件，d_safe表示两者的安全距离。

4.根据权利要求1所述的一种曲面工件的点焊机器人操作空间平滑路径规划方法，其特征在于所述的焊点间最短平滑避障路径规划模块在曲面工件焊接过程中，为了保证焊钳与工件之间不相互影响，确定焊钳与工件之间的安全距离d_safe，通过三维栅格法建模结构化环境，采用以欧氏距离为代价函数的A-star算法，通过计算前后节点间向量夹角α与夹角阈值α₀作比较，如果α≥α₀，则删除冗余节点提高路径平滑度，采用均匀B样条曲线细分算法对路径平滑处理，最终生成焊点间最短无碰撞平滑路径集。

回溯节点n_st指向工件表面上的当前节点n_c，形成一个向量

当前节点n_c和后续节点n_s形成一个向量

通过计算

和

之间的夹角α去除冗余节点n_c为：

α₀是向量

与向量

的夹角阈值，当α≥α₀时，确定节点n_c为冗余节点为：

其中r_α是删除冗余节点n_c的判别函数，如果α≥α₀，则删除冗余节点n_c，否则，保留该节点n_c。

经过去除冗余节点操作后，点焊机器人路径上的m+n+1个节点n_i(i＝0,1,2,…m+n)，采用均匀B样条曲线细分算法对路径进行平滑处理得到焊点间最短路径，B样条曲线的数学表达式为：

其中，0≤t≤1，i＝0,1,2,…,m，B样条曲线是分段定义，给定m+n+1个节点

P_i+k为各节点的位置向量，则可定义m+1段n次的参数曲线。

F_k,n(t)为n次B样条基函数，其表达式为：

式中，0≤t≤1，k＝0,1,2,…,n，

表示概率论中的组合运算，连接全部曲线段所组成的整条曲线称为n次B样条曲线，通过该方法对改进A-star算法生成的路径进行插值平滑优化，进一步得到更优路径。

5.根据权利要求1所述的一种曲面工件的点焊机器人操作空间平滑路径规划方法，其特征在于所述的最优焊点焊接顺序规划模块采用多目标精英模拟退火遗传算法对焊点焊接顺序进行优化求解，该算法的目标函数为路径长度和平滑程度，变异操作采用“点***”、“交换”、“2-opt”和“块***”四种邻域结构进行可变邻域搜索，引入的精英策略为精英个体提供更大的交叉变异操作机会，最后采用模拟退火算法跳出局部最优解得到全局最优解。

遍历所有焊点路径的个体x_i的路径平滑度目标函数表达式为：

式中，l_ij是改进的A-star算法得到的焊点之间的最短路径，n是焊点之间经过的路径数。

遍历所有焊点路径的个体x_i的路径平滑度目标函数表达式为：

m和n是转角次数和焊点之间的路径段数，是路径段数，α是前后节点之间的角度，t_α是与角度相关的系数。

将多目标问题转换为单目标优化问题，目标函数如下所示：

g_i＝ω₁L_i+ω₂C_i (27)

其中，ω₁、ω₂分别表示路径长度和平滑程度的权重系数，ω₁≥0，ω₂≥0，且ω₁+ω₂＝1。

将精英种群策略与选择算子相结合，可以加快遗传算法的收敛速度，改善种群的进化方向，对t代群体pop_t的个体x_i进行适应度排序，将pop_t分为精英集合E_t(X)和普通集合S_t(X)两个子种群，选择操作分别在精英集E_t(X)和普通个体集S_t(X)中进行，经过交叉和变异操作，选择适应度最高的个体形成一个新的精英集E_t(X)。

根据路径规划目标构造以下四个邻域，设计一个动态邻域搜索算法，用来改进遗传算法的变异操作，利用“点***”、“交换”、“2-opt”以及“块***”四种邻域结构进行变邻域搜索拓展其搜索范围，得到局部最优解，使解能够跳出局部最优，第一种邻域结构是“***”操作，定义为将某段连续节点从当前路径转移到另一条路径，选择一段连续节点r₁，将r₁整体***路径的某个位置；第二种邻域结构为“块交换”操作，定义为从两条不同的路径上各选取一段连续节点进行位置互换；第三种邻域结构为“2-opt”操作，定义为选取某一路径中任意不相邻的两点，并将两点间所有点(包括该两点)逆序；第四种邻域结构为“点交换”操作，定义为两点基因进行位置互换。

经过交叉操作和变异操作之后，新个体目标函数值L_new与父代个体目标函数值L_old进行比较，新个体目标函数值L_new较小，传统遗传算法放弃新个体对父代个体的更替，传统遗传算法陷入局部最优，引入模拟退火算法加快算法搜索最优解的速度。

采用Metropolis准则下的重要性采样法，在温度t下，若目标值L_new＜L_old，则更新种群，新个体替换父代个体；若目标函数值L_new＞L_old，引入模拟退火思想，以一定概率接受新个体。

其中，k_b为Boltzmann常数，将经过多次重复后，***将趋于能量较低的平衡态，利用模拟退火算法跳出局部最优解，直至获得满足优化目标的解则终止遗传过程，并由此得到最终全局最优解。

6.根据权利要求1所述的一种曲面工件的点焊机器人操作空间平滑路径规划方法，其特征在于采用D-H(Denavit-hartenberg matrix)法建立点焊机器人模型，d₁、d₄分别为点焊机器人肩部及小臂的连杆偏移量，a₁、a₂和a₃分别为肩部及大臂的连杆长度，考虑a₃对分析机器人肘部奇异有着重要意义，其中，各连杆的连杆扭转角为α₁＝-90°、α₂＝0°、α₃＝-90°、α₄＝90°、α₅＝-90°、α₆＝0°，各关节的θ值为关节变量。在操作空间内对点焊机器人的末端进行最优平滑路径规划，调用焊点间最短平滑避障路径规划模块和最优焊点焊接顺序规划模块得到末端的运动路径点数据，依次选取运动路径点数据，调用运动学模型模块和运动约束条件模块，得到当前运动路径点数据对应的关节角度。

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