CN113315413B - 压电直线电机的滤波器型二阶终端离散滑模控制器设计方法 - Google Patents

Abstract

一种压电直线电机的滤波器型二阶终端离散滑模控制器，属于控制工程技术领域。本发明的目的是减弱了传统离散滑模控制器在对强非线性被控对象进行控制时超调较大、调节时间较长、易振荡等问题对控制精度的影响，实现了对压电直线电机高精度控制的压电直线电机的滤波器型二阶终端离散滑模控制器。本发明根据频域性能指标设计串联校正控制器；在设计的串联校正控制器基础上，引入扰动估计项，建立带有扰动估计的压电直线电机的等效输入‑输出动态模型；在***精确模型难以获得的情况下，设计基于带有扰动估计的动态模型设计滤波器型2‑TDSMC。本发明对提高电机的定位精度，推进超高精密领域与集成电路制造产业的发展具有十分重要的研究意义。

Description

压电直线电机的滤波器型二阶终端离散滑模控制器设计方法

技术领域

本发明属于控制工程技术领域。

背景技术

随着科技的不断进步，诸多技术领域对高精度定位***的需求越来越高。传统的电磁互感式电机结构复杂，体积大，定位精度差，很难满足高精度定位的需求，因此，各国学者将目光投向易于集成化、响应快、精度高的压电直线电机。

直线电机作为工业生产加工设备中常用的驱动元件，占据着十分重要的位置，在现代工业技术的发展中，高精度的工业生产加工设备成为市场刚需。压电直线电机是一种摩擦耦合式压电作动器，利用压电材料的逆压电效应，将电能转化为机械能，通过机械结构之间的摩擦作用，将弹性体的往复运动转化为被控对象的直线运动。此外，与传统的电磁驱动直线电机相比，压电直线电机无需线圈绕组，易于小型化和集成化，进而缩小整体***体积，且随着尺寸减小，效率不会骤减。

虽然压电直线电机具有轻质量、小体积、高速度、高精度等优点，但在对压电直线电机进行开环测试时发现了在输入信号和输出位移关系上存在明显的非线性，主要体现为速度非线性、迟滞非线性、率相关特性等，这使得在工业生产中很难通过简单的开环或闭环等方式实现高精度的控制。此外，受到负载、柔性铰链等机械结构的影响，压电直线电机运动平台带宽较低，影响电机的动态特性，这些因素制约了其在精密定位领域的应用。

发明内容

本发明的目的是减弱了传统离散滑模控制器在对强非线性被控对象进行控制时超调较大、调节时间较长、易振荡等问题对控制精度的影响，实现了对压电直线电机高精度控制的压电直线电机的滤波器型二阶终端离散滑模控制器。

本发明：

S1、根据频域性能指标设计串联校正控制器：

利用***的线性动态部分设计串联校正控制器，压电直线电机***的线性动态部分可以描述为以下形式：

选择超前滞后校正控制器如公式(2)，校正控制器由典型的无源超前校正环节和有源滤波型调节器组成

校正后***的等效传递函数为：

G_p(s)＝G(s)·G_c(s) (3)

将式(3)离散化后得如式(4)所示的脉冲传递函数

上式整理出离散***下的串联校正控制律如下：

U(z)＝-N·U(z^-1)+M·E(z^-1) (5)

其中N＝n_i，i＝1,2,3，M＝m_j，j＝1,2,3；

进一步将上式整理可得为离散***下的串联校正控制律为：

其中e(k-i)，i＝1,2,3是误差的前i时刻的值，u(k-i)，i＝1,2,3是校正控制器的前i时刻的值；

S2、在设计的串联校正控制器基础上，引入扰动估计项，建立带有扰动估计的压电直线电机的等效输入-输出动态模型

基于串联校正控制器的压电直线电机动态模型的建立

采用输入-输出模型描述基于串联校正控制器的压电直线电机动力学特性，即

其中，a_i(i＝1,2,...,n)与b_i(i＝1,2,...,m)为模型的参数，且n≥m；

将上式整理成多项式形式：

其中u(k)和y(k)分别代表k时刻的控制电压输入与输出位移；

带有扰动估计的压电直线电机的等效输入-输出动态模型的建立

带有扰动项的输入-输出动态模型如下所示：

其中P(k)描述了压电直线电机的建模误差、非线性环节、外部干扰等因素的影响合集；

基于摄动估计技术，摄动项P(k)通过其前一步时滞估计得到：

因此，动态模型(9)被改写成如下形式：

其中

是扰动估计误差，其进一步被描述为：

其中T为采样时间，为了得到精准的扰动估计项P(k)，采样时间T应该足够小；

假设1：假设扰动估计项的变化率

是有界的，即

其中Λ是任意正常数；

从公式(12)及假设1中可以推导出，扰动估计误差

也是有界的，即

S3、在***精确模型难以获得的情况下，设计基于带有扰动估计的动态模型设计滤波器型 2-TDSMC

定义轨迹跟踪误差为：

E(k)＝R(k)-X(k) (15)

其中，为R(k)期望轨迹，X(k)为滤波器当前时刻的输出值，其与Y(k)存在如下的关系：

X(k)＝QY(k)+(1-Q)X(k-1) (16)

其中正常数Q表示滤波器的滤波系数；

一阶低通滤波器的截止频率如下所示：

式中，T为采样周期，f_L表示的截止频率；

基于轨迹跟踪误差(15)的表达式，定义在有限时间收敛的非线性终端滑模面如下：

H(k)＝α₁E(k)+α₂E^λ(k-1) (18)

其中α₁＞0，α₂＞0，并且0＜λ＜1是两个形如3/5和9/11的正奇数的比值；

令|E(k-1)|^λsign(E(k-1)代替E^λ(k-1)，确保每一时刻均是有理数；

选用的终端离散滑模面如下所示：

H(k)＝α₁E(k)+α₂|E(k-1)|^λsign(E(k-1)) (19)

在式(18)的基础上，提出一种二阶终端离散滑模面如下：

ρ(k)＝H(k)+γH(k-1) (20)

其中，参数0≤γ≤1，并且当γ＝0时表示为一阶终端离散滑模控制器；

由滑模变结构控制的思想可知，离散***进入准滑模动态时，滑模面ρ(k)满足：

ρ(k+1)＝ρ(k) (21)

结合公式(15)、(19)、(20)与公式(21)，可得：

ρ(k)-γH(k)＝α₁(R(k+1)-X(k+1))+α₂|E(k)|^λsign(E(k)) (22)

由式(11)可得等效控制律：

联立式(16)、(22)与式(23)整理得等效控制律U_eq(k)与其他参数的关系式如下：

令表示已知模型信息与未知信息合集的项为Γ，则Γ可以表示为：

此外，令ψ＝α₂|E(k)|^λsign(E(k))，则式(24)可以简化为：

ρ(k)-γH(k)＝α₁(R(k+1)-Q(b₁U_eq(k)+Γ)-(1-Q)X(k))+ψ (26)

上式进一步整理得到滤波器型2-TDSMC的等效控制律U_eq(k)的表达式如下：

增加额外的控制动作U_sw(k)，以保证***的稳定；

得到滤波器型2-TDSMC的控制律为

U(k)＝U_eq(k)+U_sw(k) (28)

非线性切换控制项选择如下

U_sw(k)＝ωsat(ρ(k)/φ) (29)

其中sat(s(k)/φ)为饱和函数，相比符号函数，其能缓解控制过程中的抖振，饱和函数的具体形式如下：

其中φ为边界层厚度；

结合式(27)、(28)和式(29)可以得到滤波器型2-TDSMC的控制律如下：

本发明针对压电直线电机设计滤波器型二阶终端离散滑模控制器，对提高电机的定位精度，推进超高精密领域与集成电路制造产业的发展具有十分重要的研究意义。

附图说明：

图1为为本发明的滤波器型二阶终端离散滑模控制器的结构框图；

图2为本发明的压电直线电机运动平台工作过程示意图

图3为本发明对幅值1000nm的三阶s曲线的跟踪对比曲线；

图4为本发明对幅值1000nm的三阶s曲线的跟踪误差对比曲线；

图5为本发明对幅值2000nm的三阶s曲线的跟踪对比曲线；

图6为本发明对幅值2000nm的三阶s曲线的跟踪误差对比曲线；

图7为本发明对幅值3000nm的三阶s曲线的跟踪对比曲线；

图8为本发明对幅值3000nm的三阶s曲线的跟踪误差对比曲线。

具体实施方式：

本发明设计一种压电直线电机的滤波器型二阶终端离散滑模控制器(2-TDSMC)，首先设计了串联校正控制器，提高了***的带宽并且改善了***的动态性能。然后在此基础上建立了基于串联校正控制器的压电直线电机的等效输入-输出动态模型，其次引入扰动估计项，对***的建模误差、非线性环节、外部干扰等因素进行补偿，建立带有扰动估计的***动态模型。本发明选择非线性的离散二阶终端滑模面，并引入滤波器的思想对其进行改进，基于带有扰动估计的***动态模型设计了压电直线电机的滤波器型2-TDSMC。利用本发明减弱了传统离散滑模控制器在对强非线性被控对象进行控制时超调较大、调节时间较长、易振荡等问题对控制精度的影响，实现了对压电直线电机的高精度控制。(2-TDSMC)，首先设计了串联校正控制器，提高了***的带宽并且改善了***的动态性能。然后在此基础上建立了基于串联校正控制器的压电直线电机的等效输入-输出动态模型，其次引入扰动估计项，对***的建模误差、非线性环节、外部干扰等因素进行补偿，建立带有扰动估计的***动态模型。本发明选择非线性的离散二阶终端滑模面，并引入滤波器的思想对其进行改进，基于带有扰动估计的***动态模型设计了压电直线电机的滤波器型2-TDSMC。利用本发明减弱了传统离散滑模控制器在对强非线性被控对象进行控制时超调较大、调节时间较长、易振荡等问题对控制精度的影响，实现了对压电直线电机的高精度控制。

本发明公开一种压电直线电机的滤波器型2-TDSMC，结合控制器结构图图1，具体设计步骤如下：

步骤1：设计串联校正控制器：

利用***的线性动态部分设计串联校正控制器，压电直线电机***的线性动态部分可以描述为以下形式：

选择超前滞后校正控制器如公式(2)，校正控制器由典型的无源超前校正环节和有源滤波型调节器组成，该校正控制器能够保证***有足够的低频增益，足够大的带宽和相角裕度，并且高频端有削弱噪声的作用

校正后***的等效传递函数为：

G_p(s)＝G(s)·G_c(s) (3)

将式(3)离散化后可得如式(4)所示的脉冲传递函数

上式可整理出离散***下的串联校正控制律如下：

U(z)＝-N·U(z^-1)+M·E(z^-1) (5)

其中N＝n_i，i＝1,2,3，M＝m_j，j＝1,2,3。

进一步可将上式整理可得为离散***下的串联校正控制律为：

其中e(k-i)，i＝1,2,3是误差的前i时刻的值，u(k-i)，i＝1,2,3是校正控制器的前i时刻的值。

步骤2：建立带有扰动估计的压电直线电机的等效输入-输出动态模型：

2.1基于串联校正控制器的压电直线电机动态模型的建立

采用输入-输出模型描述基于串联校正控制器的压电直线电机动力学特性，即

其中，a_i(i＝1,2,...,n)与b_i(i＝1,2,...,m)为模型的参数，且n≥m。

将上式整理成多项式形式：

其中u(k)和y(k)分别代表k时刻的控制电压输入与输出位移。

2.2带有扰动估计的压电直线电机的等效输入-输出动态模型的建立为了描述***的动力学特性，上面建立了一种基于输入-输出的动态模型，该模型很大程度上可以反映***的特性，但没有考虑***的建模误差、非线性环节、外部干扰等因素，因此在上述模型的基础上提出一种带有扰动项的输入-输出动态模型如下所示：

其中P(k)描述了压电直线电机的建模误差、非线性环节、外部干扰等因素的影响合集。

基于摄动估计技术，摄动项P(k)可以通过其前一步时滞估计得到：

因此，动态模型(9)可以被改写成如下形式：

其中

是扰动估计误差，其可进一步被描述为：

其中T为采样时间，为了得到精准的扰动估计项P(k)，采样时间T应该足够小。

假设1：假设扰动估计项的变化率

是有界的，即

其中Λ是任意正常数。

从公式(12)及假设1中可以推导出，扰动估计误差

也是有界的，即

步骤3：设计滤波器型2-TDSMC控制器：

定义轨迹跟踪误差为：

E(k)＝R(k)-X(k) (15)

其中，为R(k)期望轨迹，X(k)为滤波器当前时刻的输出值，其与Y(k)存在如下的关系：

X(k)＝QY(k)+(1-Q)X(k-1) (16)

其中正常数Q表示滤波器的滤波系数。

一阶低通滤波器的截止频率如下所示：

式中，T为采样周期，f_L表示的截止频率。

基于轨迹跟踪误差(15)的表达式，定义可在有限时间收敛的非线性终端滑模面如下：

H(k)＝α₁E(k)+α₂E^λ(k-1) (18)

其中α₁＞0，α₂＞0，并且0＜λ＜1是两个形如3/5和9/11的正奇数的比值。参数λ＜1保证滑模面在相平面原点附近的斜率较大，收敛速度较快。此外，当λ＝1时可以得到一个常规的线性离散滑模面。

然而实际跟踪控制时误差是正负交替存在的，当E(k)＜0时，E^λ(k-1)为无理数。

因此，本发明令|E(k-1)|^λsign(E(k-1)代替E^λ(k-1)，确保每一时刻均是有理数。

因此，本发明选用的终端离散滑模面如下所示：

H(k)＝α₁E(k)+α₂|E(k-1)|^λsign(E(k-1)) (19)

在式(18)的基础上，提出一种二阶终端离散滑模面如下：

ρ(k)＝H(k)+γH(k-1) (20)

其中，参数0≤γ≤1，并且当γ＝0时表示为一阶终端离散滑模控制器。

由滑模变结构控制的思想可知，离散***进入准滑模动态时，滑模面ρ(k)满足：

ρ(k+1)＝ρ(k) (21)

结合公式(15)、(19)、(20)与公式(21)，可得：

ρ(k)-γH(k)＝α₁(R(k+1)-X(k+1))+α₂|E(k)|^λsign(E(k)) (22)

由式(11)可得等效控制律：

联立式(16)、(22)与式(23)整理可得等效控制律U_eq(k)与其他参数的关系式如下：

令表示已知模型信息与未知信息合集的项为Γ，则Γ可以表示为：

此外，令ψ＝α₂|E(k)|^λsign(E(k))，则式(24)可以简化为：

ρ(k)-γH(k)＝α₁(R(k+1)-Q(b₁U_eq(k)+Γ)-(1-Q)X(k))+ψ (26)

上式进一步整理得到滤波器型2-TDSMC的等效控制律U_eq(k)的表达式如下：

当位置轨迹保持在滑动面上时，该等效控制器是有效的。然而，当***初始化时距离滑动面较远，或者在滑模阶段存在较大的不确定性和扰动时，独立的等效控制难以将位置轨迹调整到滑模面。因此，有必要增加额外的控制动作U_sw(k)，以保证***的稳定。

可以得到滤波器型2-TDSMC的控制律为

U(k)＝U_eq(k)+U_sw(k) (28)

非线性切换控制项选择如下

U_sw(k)＝ωsat(ρ(k)/φ) (29)

其中sat(s(k)/φ)为饱和函数，相比符号函数，其能缓解控制过程中的抖振，饱和函数的具体形式如下：

其中φ为边界层厚度。

结合式(27)、(28)和式(29)可以得到滤波器型2-TDSMC的控制律如下：

设计实验，验证压电直线电机的滤波器型2-TDSMC有效性

本实验中的核心运动机构由与电机相连的柔性铰链拖动恒定负载构成。控制器选择Delta Tau 公司的PMAC控制器，该控制器集成的用户自定义编程界面，方便开发者进行复杂算法的实现。压电电机驱动器主要负责接收PMAC输出的模拟电压信号并转化为有效的电机速度，由开关电源独立供电。增量式光栅用于测量平台的实际位移。

综上所述，压电直线电机运动平台的工作过程可以简化为图2所示分别选择幅值为1000nm、2000nm、3000nm的三阶S曲线进行轨迹跟踪对比实验，对比控制器选择传统离散滑模控制器(DSMC)与本发明设计的滤波器型2-TDSMC，分别使用上述两种控制器对压电直线电机平台进行控制，完成对三阶S曲线的轨迹跟踪实验，得到实验对比结果，其中图3、图4分别为1000nm幅值的三阶s曲线的跟踪对比曲线与误差对比曲线，图5、图 6分别为2000nm幅值的三阶s曲线的跟踪对比曲线与误差对比曲线,图7、图8分别为3000nm 幅值的三阶s曲线的跟踪对比曲线与误差对比曲线。从实验结果图3-图8可以得到滤波器型 2-TDSMC在动态性能与稳态性能上都有较好的效果，并且拥有较高的控制精度。

控制性能指标如表1所示：

表1压电直线电机平台控制***三阶s曲线跟踪控制结果

本发明符号对照表

Claims (1)

1.一种压电直线电机的滤波器型二阶终端离散滑模控制器设计方法，其特征在于：

S1、根据频域性能指标设计串联校正控制器：

利用***的线性动态部分设计串联校正控制器，压电直线电机***的线性动态部分描述为以下形式：

选择超前滞后校正控制器如公式(2)，校正控制器由典型的无源超前校正环节和有源滤波型调节器组成

校正后***的等效传递函数为：

G_p(s)＝G(s)·G_c(s) (3)

将式(3)离散化后得如式(4)所示的脉冲传递函数

上式整理出离散***下的串联校正控制律如下：

U(z)＝-N·U(z^-1)+M·E(z^-1) (5)

其中N＝n_i，i＝1,2,3，M＝m_j，j＝1,2,3；

进一步将上式整理可得为离散***下的串联校正控制律为：

其中e(k-i)，i＝1,2,3是误差的前i时刻的值，u(k-i)，i＝1,2,3是校正控制器的前i时刻的值；

S2、在设计的串联校正控制器基础上，引入扰动估计项，建立带有扰动估计的压电直线电机的等效输入-输出动态模型

基于串联校正控制器的压电直线电机动态模型的建立

采用输入-输出模型描述基于串联校正控制器的压电直线电机动力学特性，即

其中，a_i与b_i为模型的参数，且a_i的i＝1,2,...,n；b_i的i＝1,2,...,m，n≥m；

将上式整理成多项式形式：

其中u(k)和y(k)分别代表k时刻的控制电压输入与输出位移；

带有扰动估计的压电直线电机的等效输入-输出动态模型的建立

带有扰动项的输入-输出动态模型如下所示：

其中P(k)描述了压电直线电机的影响合集；影响合集包括建模误差、非线性环节、外部干扰；

基于摄动估计技术，摄动项P(k)通过其前一步时滞估计得到：

因此，动态模型(9)被改写成如下形式：

其中

是扰动估计误差，其进一步被描述为：

其中T为采样时间，为了得到精准的扰动估计项P(k)，采样时间T应该足够小；

假设1：假设扰动估计项的变化率

是有界的，即

其中Λ是任意正常数；

从公式(12)及假设1中可以推导出，扰动估计误差

也是有界的，即

S3、在***精确模型难以获得的情况下，设计基于带有扰动估计的动态模型设计滤波器型二阶终端离散滑模控制器；

定义轨迹跟踪误差为：

E(k)＝R(k)-X(k) (15)

其中，为R(k)期望轨迹，X(k)为滤波器当前时刻的输出值，其与Y(k)存在如下的关系：

X(k)＝QY(k)+(1-Q)X(k-1) (16)

其中正常数Q表示滤波器的滤波系数；

一阶低通滤波器的截止频率如下所示：

式中，T为采样周期，f_L表示的截止频率；

基于轨迹跟踪误差(15)的表达式，定义在有限时间收敛的非线性终端滑模面如下：

H(k)＝α₁E(k)+α₂E^λ(k-1) (18)

其中α₁＞0，α₂＞0，并且0＜λ＜1是两个形如3/5和9/11的正奇数的比值；

令|E(k-1)|^λsign(E(k-1)代替E^λ(k-1)，确保每一时刻均是有理数；

选用的终端离散滑模面如下所示：

H(k)＝α₁E(k)+α₂|E(k-1)|^λsign(E(k-1)) (19)

在式(18)的基础上，提出一种二阶终端离散滑模面如下：

ρ(k)＝H(k)+γH(k-1) (20)

其中，参数0≤γ≤1，并且当γ＝0时表示为一阶终端离散滑模控制器；

由滑模变结构控制的思想可知，离散***进入准滑模动态时，滑模面ρ(k)满足：

ρ(k+1)＝ρ(k) (21)

结合公式(15)、(19)、(20)与公式(21)，可得：

ρ(k)-γH(k)＝α₁(R(k+1)-X(k+1))+α₂|E(k)|^λsign(E(k)) (22)

由式(11)可得等效控制律：

联立式(16)、(22)与式(23)整理得等效控制律U_eq(k)与其他参数的关系式如下：

令表示已知模型信息与未知信息合集的项为Γ，则Γ可以表示为：

此外，令ψ＝α₂|E(k)|^λsign(E(k))，则式(24)可以简化为：

ρ(k)-γH(k)＝α₁(R(k+1)-Q(b₁U_eq(k)+Γ)-(1-Q)X(k))+ψ (26)

上式进一步整理得到滤波器型二阶终端离散滑模控制器的等效控制律U_eq(k)的表达式如下：

增加额外的控制动作U_sw(k)，以保证***的稳定；

得到滤波器型二阶终端离散滑模控制器的控制律为

U(k)＝U_eq(k)+U_sw(k) (28)

非线性切换控制项选择如下

U_sw(k)＝ωsat(ρ(k)/φ) (29)

其中sat(ρ(k)/φ)为饱和函数，相比符号函数，其能缓解控制过程中的抖振，饱和函数的具体形式如下：

其中φ为边界层厚度；

结合式(27)、(28)和式(29)可以得到滤波器型二阶终端离散滑模控制器的控制律如下：

Images