CN113064347B - 考虑非对称输入与输出约束的pmsm混沌***自适应控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑非对称输入与输出约束的永磁同步电机混沌系神经网络自适应控制方法，该方法包括步骤：1)建立PMSM***的动力学模型；2)设定控制对象；3)建立神经网络自适应控制器，分别利用Nussbaum型函数和跟踪微分器解决“复杂性***”和未知的控制方向问题。此外，在不超出输入输出约束边界的前提下，可以保证所设计***的稳定性的有界性。最后，通过仿真试验证明了我们方案的有效性；在对数障碍Lyapunov函数中嵌入转换误差和新边界，我们提出了统一的障碍Lyapunov函数，以避免与分段障碍Lyapunov函数相关的切换型非线性，且同时确保满足非对称输出约束条件。

Description

考虑非对称输入与输出约束的PMSM混沌***自适应控制方法

技术领域

本发明涉及考虑非对称输入与输出约束的PMSM混沌***自适应控制方法，属于永磁同步电机控制方法技术领域。

背景技术

具有高可靠性和高效率的永磁同步电动机(PMSM)作为一种有效的电源，随着制造业的发展，越来越多地应用于各种工业产品中，例如车辆，机器人和飞机。但是，由于PMSM可能具有***参数滑落到某个范围内的混沌行为，并且混沌震荡可能会破坏***性能甚至使其崩溃，因此通过设计合理的控制器来确保稳定的***运行至关重要。在过去的几十年中，PMSM混沌***的跟踪控制器设计问题已在控制领域中得到了广泛研究。众所周知，采用模糊逻辑***或神经网络来评估不确定性的自适应反演控制方法是解决此类问题的绝佳工具。通过将给定的性能障碍Lyapunov函数和跟踪微分器)融合到传统的反演控制器中，开发了一种用于PMSM混沌***的高精度控制器。在文献(张钧星,王时龙,李少波,周鹏.具有外部扰动和输出约束的混沌永磁同步电机***的自适应神经动态面控制[J].RecentAdv.Electr.Electron.Eng.(Formerly Recent Patents Electr.Electron.Eng.,2020,121(13).Z.Junxing,W.Shilong,L.Shaobo,and Z.Peng,“Adaptive Neural DynamicSurface Control for the Chaotic PMSM system with External Disturbances andConstrained Output,”Recent Adv.Electr.Electron.Eng.(Formerly Recent PatentsElectr.Electron.Eng.,vol.13,2020)中，通过将障碍Lyapunov函数和径向基函数神经网络(RBFNN)集成到传统反演控制器中，提出了一种针对PMSM混沌***的自适应输出约束稳定方案。然而，上述方法仅使用于解决无输入约束的输出约束问题。而且，实际中PMSM的输入和输出约束普遍存在。因此，研究设计保证输入输出约束的有效策略并将其应用于PMSM混沌***的控制其设计是当务之急。

在包括PMSM混沌***在内的各种非线性***中，通常考虑输入饱和作为一般的输入约束。遗憾的是，在上述饱和非线性中存在不可微的问题，从而限制了自适应反演控制方案的进行。为了克服这一问题，用许多光滑函数如双曲正切函数和高斯误差函数来估计饱和度非线性。为了解决多输入多输出非线性***的非对称饱和非线性问题，引入了一种分段的双曲正切函数。在文献(郑泽伟,孙亮,谢立华.带有执行器饱和和故障的水面舰艇的误差约束LOS路径跟踪[J].IEEE Trans.Syst.Man,Cybern.Syst.，2018，48(10)：1794-1805.Z.Zheng,L.Sun,and L.Xie,“Error-Constrained LOS Path Following of aSurface Vessel with Actuator Saturation and Faults，”IEEE Trans.Syst.Man,Cybern.Syst.,vol.48,no.10,pp.1794–1805,2018)中，分段的高斯误差函数已成功用于解决航天器的非对称饱和非线性问题。尽管在文献(郑泽伟，孙亮，谢立华.带有执行器饱和和故障的水面舰艇的误差约束LOS路径跟踪[J].IEEE Trans.Syst.Man,Cybern.Syst.，2018，48(10)：1794-1805.Z.Zheng,L.Sun,and L.Xie,“Error-Constrained LOS PathFollowing of a Surface Vessel with Actuator Saturation and Faults,”IEEETrans.Syst.Man,Cybern.Syst.,vol.48,no.10,pp.1794–1805,2018)中已经解决了非对称饱和非线性问题，但结果是在忽略由于计算输入和约束输入之间不一致导致的低精度的情况下获得的。基于此，文献(祝贵兵,杜佳璐,考永贵.一类不确定严格反馈非线性***的命令滤波鲁棒自适应神经网络控制[J].J.Franklin Inst.,2018,355(15):7548-7569.G.Zhu，J.Du,and Y.Kao，“Command filtered robust adaptive NN control for aclass of uncertain strict-feedback nonlinear systems under input saturation,”J.Franklin Inst.,vol.355,no.15,pp.7548–7569,2018)通过设计辅助动力***，提出了具有执行器饱和的严格反馈非线性***的自适应神经控制。然而，文献(祝贵兵,杜佳璐,考永贵.一类不确定严格反馈非线性***的命令滤波鲁棒自适应神经网络控制[J].J.Franklin Inst.,2018,355(15):7548-7569.G.Zhu,J.Du,and Y.Kao,“Commandfiltered robust adaptive NN control for a class of uncertain strict-feedbacknonlinear systems under input saturation,”J.Franklin Inst.,vol.355,no.15,pp.7548–7569,2018)并未考虑辅助动力***导致的设计和分析复杂性。此外，值得注意的是，到目前为止，基于非对称输入饱和PMSM混沌***的控制器设计的研究结果还很少。因此，研究PMSM混沌***的非对称输入饱和问题仍然是一个重要课题。

从***规格和安全性考虑出发，实际PMSM的另一个重要约束是在一定程度上限制***输出或跟踪错误。对于这两种类型的约束，深入研究了在不同的非线性***中的许多可行方案。众所周知，各种障碍Lyapunov函数是有效限制***输出约束的方案。但是，上述的障碍Lyapunov函数仅适用于处理上下界相等的约束，而不能解决非对称约束。为了将***输出限制在非对称范围内，学者们提出了很多分段障碍Lyapunov函数。在文献(M.Deng,李智军,康宇.一种基于学习的外骨骼机器人的人机合作控制方法[J].IEEETrans.Cybern.,2020,50(1):112-125.M.Deng,Z.Li,Y.Kang,C.L.P.Chen,and X.Chu,“ALearning-Based Hierarchical Control Scheme for an Exoskeleton Robot inHuman-Robot Cooperative Manipulation,”IEEE Trans.Cybern.,vol.50,no.1,pp.112–125,2020)中，已经开发了基于分段障碍Lyapunov函数的导纳控制器来控制机器人的操作。对于具有输出约束的非严格非线性***，文献(卡马拉米里·阿里,***·沙罗基,***凡·莫希特.具有输出约束以及未知控制方向和输入非线性的非严格反馈***的自适应有限时间神经控制[J].Inf.Sci.(Ny).，2020，520:271-291.A.Kamalamiri,M.Shahrokhi，and M.Mohit,“Adaptive finite-time neural control of non-strictfeedback systems subject to output constraint,unknown control direction,andinput nonlinearities”Inf.Sci.(Ny).,vol.520,pp.271–291,2020)通过结合Nussbaum型函数来处理未知控制方向问题，已经研究了基于分段障碍Lyapunov函数的反演控制器。然而，前述分段障碍Lyapunov函数转换型非线性可能会给控制器增加额外计算负担。此外，关于非对称输出约束下PMSM混沌***的跟踪控制设计问题的研究较少。因此，需要提出一种统一障碍Lyapunov函数，以简化低复杂度的控制器设计并确保PMSM混沌***的非对称输出约束。

除上述问题外，控制器设计中的另一个值得注意的方面正在研究中，通过引入出色的智能逼近器来识别未知不确定性，进一步增强PMSM的运行动力学。在上面提到的大多数自适应反演控制设计中，使用作为通用逼近器的模糊逻辑***或神经网络来估计未知的不确定性。特别是，具有任意估计能力的径向基函数神经网络在许多实际***的自适应反演控制设计中普遍应用，例如文献(罗日才,邓艳平,Y.Xie.基于命令滤波器的不确定永磁同步电机驱动混沌***神经网络反演控制器设计[J].物理学前沿,2020,8:1-8.R.Luo,Y.Deng,and Y.Xie,“Neural Network Backstepping Controller Design for UncertainPermanent Magnet Synchronous Motor Drive Chaotic Systems via Command Filter,”Front.Phys.,vol.8,no.June,pp.1–8,2020)中的PMSM和文献(J.Yu,P.Shi,S.Member,W.Dong,B.Chen,and C.Lin.永磁同步电动机简介[J].2015,26(3):640-645.J.Yu,P.Shi,S.Member,W.Dong,B.Chen,and C.Lin,“Brief Papers Permanent Magnet SynchronousMotors,”vol.26,no.3,pp.640–645,2015)中的微机电***。尽管前述的基于径向基函数神经网络的控制器得到了一些出色的近似结果，但它们的结果是通过大量的神经网络参数设计和大量的实时计算获得的。为了便于控制器的应用，作为通过引入切比雪夫多项式基函数来扩展输入模式而设计的单层神经网络，切比雪夫神经网络在自适应控制设计中普遍应用。通过与基于径向基函数神经网络的方案的控制器性能进行比较，进一步验证了基于切比雪夫神经网络的控制器的优点。此外，值得注意的是，目前很少有研究设计出基于切比雪夫神经网络控制器的PMSM混沌***。因此，首选切比雪夫神经网络来近似控制器设计中产生的未知不确定性。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：提供考虑非对称输入与输出约束的PMSM混沌***自适应控制方法，以解决上述现有技术中存在的问题。

本发明采取的技术方案为：考虑非对称输入与输出约束的PMSM混沌***自适应控制方法，该方法包括以下步骤：

(1)建立PMSM***动力学模型：

在旋转(d-q)坐标系中，建立永磁同步电机***的动力学方程为：

式中，

和

表示d-轴和q-轴电流，

和

表示d-轴和q-轴电压作为***输入，L,

R,

ψ_r,B,J和n_p分别表示电感、转子角速度、定子电阻、负载转矩、磁链、粘性摩擦系数、转子转动惯量和磁极对；

对公式(1)简化，选取L＝L_d＝L_q，定义

和

n_p＝1，x₁＝ω,x₂＝i_q，x₃＝i_d,L＝L_d＝L_q，考虑不确定外部干扰和非对称输入饱和，得到式(1)的简化无量纲模型：

式中，

σ₁＝BL/(JR)，σ₂＝-n_pψ_r ²/(BR)，

和

Δ_i,i＝1,2,3为不确定外部干扰；

式中，x₁表示名义角速度，x₂表示q-轴电流，x₃表示d-轴电流，t表示时间，T_L表示负载，u_d表示d-轴电压，u_q表示q-轴电压，σ₁和σ₂表示未知参数。

非对称输入饱和表示为下式：

式中，u_max和u_min表示非对称饱和输入的幅度，v_g和u_g分别表示非对称饱和输入的输入和输出；

(2)设定控制对象：

(a)PMSM混沌***中的所有变量都是有界的；

(b)输出x₁跟随所需信号y_d；

(c)不违反控制输入约束；

(d)输出x₁的定义域为

设1：变量σ_i,i＝1,2和δ_i,i＝1,2,3未知但有界，即

σ_im≤σ_i≤σ_iM,|δ_i|≤δ_M, (4)式中，σ_im,σ_iM,i＝1,2和δ_M,(δ_M>0)是实数，δ_i是估计误差；

设2：存在所需的轨迹

及其时间导数

和

满足不等式

其中

和X是正实数；

设3：存在实数c_i>0，如|Δ_i|≤c_i,i＝1,2,3；

引理1：对于

得到：

式中，p>1,ξ>0,,q>1且(p-1)(q-1)＝1；

选择切比雪夫神经网络来逼近控制器设计中生成的未知不确定性f^*(x)，通过以下公式来推导切比雪夫多项式：

P_i+1(x)＝2xP_i(x)-P_i-1(x),P₀(x)＝1 (6)

式中，x∈R和P₁(x)用x,2x,2x-1或2x+1表示，这里采用第一项x，切比雪夫多项式的x＝(x₁,...,x_m)^T∈R^m增强模式由下式给出：

φ(x)＝[1,P₁(x₁),...,P_n(x₁),...,P₁(x_m),...,P_n(x_m)]^T (7)

式中，φ(x)表示切比雪夫多项式基函数向量，P_i(x_j),i＝1,...,n,j＝1,...,m是切比雪夫多项式的顺序，n表示顺序；

因此将f^*(x)定义为

f^*(x)＝W^*Tφ(x)+δ (8)

式中，W^*为最优权向量，δ为估计误差；

最优权向量W^*用以下公式表示

式中，W＝[ω₁,ω₂,...,ω₃]^T∈R^l是权向量；

在自适应神经反演控制方案的第n步，采用切比雪夫神经网络W_i ^Tφ_i,i＝1,2,3近似未知不确定性f_i ^*(x)，存在

f_i ^*(x)＝W_i ^Tφ_i+δ_i,i＝1,2,3 (10)

式中，W_i＝W_i ^*和fi^*(x)；

使用2-范数估计切比雪夫神经网络的权重可以降低切比雪夫神经网络的计算负担。因此，定义

θ_i＝||W_i||²＝W_i ^TW_i,i＝1,2,3 (11)

式中，||·||和θ_i分别表示W_i和未知变量的2-范数；

由于(2)中σ₁的符号会导致未知控制方向问题，针对式(2)中σ₁，引入Nussbaum型函数函数，

定义1：如果连续偶函数N(χ)满足：

则该连续偶函数就称之为Nussbaum型函数，许多函数同时满足式(12)和式(13)，例如χ²cos(χ)和

这里采用χ²cos(χ)。

引理2：如果一个非负平滑函数V(t)满足：

式中，χ(t)30是定义在[0,t_f)上的平滑函数，c₀是实数且c₀>0，N(·)为偶数Nussbaum型函数，g为定义在集合

内的变量，V(t),χ(t)和

在[0,t_f)上有界；

针对非对称输出约束，将新的转换公式定义为

式中，正实数

和

为原始边界，λ₁(t)是之后给出的跟踪误差，μ和S(t)分别为转换边界和转换误差；

根据t∈[0,∞)得出

和

使用式(15)和对数型的障碍Lyapunov函数，创建统一障碍Lyapunov函数为

式中，log(·)是(·)的自然对数；

得到式(16)满足Lyapunov设计原则

它保证了S被限制在集合P_S:＝{-μ<S<μ}中。基于式(15)，进一步推导出跟踪误差λ₁被限制在集合

中；

引理3：对于

和

存在

式中，K_S＝S/(μ²-S²)；

定义2：通过将新的转换公式(15)融合到常规对数型障碍Lyapunov函数中来提出统一障碍Lyapunov函数公式(16)，以绕过一般分段障碍Lyapunov函数中存在的分段公式导致的复杂推导，并且在非线性***的约束控制器设计方面，和现有的分段障碍Lyapunov函数相比，统一障碍Lyapunov函数具有更大的潜在通用性。

以后，为了简化起见，在上下文中不会发生混淆的前提下，省略函数参数。

(2)建立自适应反演控制器

将误差控制面定义为

式中，β₂表示虚拟控制器，实数C为x₃的初始值；

定义3：与传统反演控制器技术中常规的误差控制面λ₂不同，通过令λ₃＝x₃-C设计(2)的输入u_d来构造误差控制面，其优点是消除了由d-轴电流初始误差引起的超调问题；

为了克服非对称输入饱和***带来的不利影响，将增强型动态误差z_i定义为

式中，辅助动力***

联立式(2)和(17)，推导出λ₁和zi,i＝2,3的时间导数为

式中，

定义误差变量

为

式中，变量

为

的估计值；

基于传统反演控制器框架的控制器设计步骤：

第一步、选择一个障碍Lyapunov函数

式中，r1为实数且r₁>0；

利用式(15)、式(16)和式(21)，推导出式(22)中V₁的时间导数为

通过式(20)，得到

式中，k₁>0为设计参数，且未知不确定性

分别用Nussbaum型函数和切比雪夫神经网络

来估计未知增益σ₁和未知不确定性f₁ ^*；

根据式(4)、(5)、(10)和(11)，得到

式中，a₁为实数且a₁>0；

将式(24)代入式(25)得到

设计虚拟输入β₂和新的自适应律

为

式中，γ>0和l₁>0且均为实数，

表示辅助控制器，χ表示Nussbaum型函数的变量；

联立式(27)-(30)到式(26)中，推导出

第二步：建立Lyapunov函数为

式中，r₂>0且为实数；

利用式(21)，求得式(32)中的时间导数V₂为

设计辅助动力***

为

式中，k₂>0且为实数；

从式(20)和(34)中，得到

为了克服由于计算式(35)中

的虚拟控制器差异导致的复杂性***问题，引入跟踪微分器的概念：

式中，输入信号β₂由式(27)得到，

和

均为实数，ν₁和ν₂分别为β₂和

的估计值；

引理4：如果初始偏差

中

且为实数，则ν₂满足

式中，l_ν2>0且为未知实数；

将式(31)、(35)和(37)代入式(33)得到

式中，将未知不确定性

定义为

定义4：采用切比雪夫神经网络

评估

与式(25)类似，得到

式中，a₂>0且为实数；

将式(39)代入式(38)，得到

设计控制输入u_q和自适律

为

式中，l₂>0且为实数；

通过式(41)和式(42)，将式(40)重新表示为

第三步：设计一个Lyapunov函数为

式中，r₃>0且为实数；

和式(34)类似，认为辅助动力***

式中，k₃>0且为实数；

结合式(20)，得到

然后，得到式(44)中V₃的时间导数为

通过式(43)和式(46)，将式(46)重新表示为

式中，未知不确定性

可以很明显的看出，未知不确定性

受到来自外部干扰和***误差的不利影响。要克服上述的不利影响，利用切比雪夫神经网络

来逼近

和式(25)类似，得到

式中，a₃>0且为实数；

通过式(49)，式(48)简化为

设计控制输入u_d和新的控制律

为

式中，l₃>0且为实数；

通过式(51)和(52)，将式(50)重新表示为

利用式(5)和式(21)，推导出

然后得到

本发明的有益效果：与现有技术相比，本发明效果如下：

(1)针对具有非对称输入输出约束以及未知不确定性的永磁同步电机混沌***，本发明提出了一种自适应神经反演(backstepping)控制方法，在对数障碍Lyapunov函数中嵌入转换误差和新边界，提出了统一的障碍Lyapunov函数，以避免与分段障碍Lyapunov函数相关的切换型非线性，且同时确保满足非对称输出约束条件；

(2)针对非对称输入饱和存在的不可微问题和常用的平滑函数工具的低精度问题，设计了两个合适的辅助动力***；

(3)作为基于切比雪夫多项式正交基函数的单层神经网络，通常认为切比雪夫神经网络可以识别包括参数变化和外部干扰在内的集成不确定性，有助于开发具有低复杂度和较少参数的自适应控制器。同时，通过将最小的学习参数化技术融合到反演(backstepping)的每个步骤中，进一步减轻了神经网络的计算负担；

(4)在控制器设计中，分别利用Nussbaum型函数和跟踪微分器解决“复杂性***”和未知的控制方向问题。此外，在不超出输入输出约束边界的前提下，可以保证所设计***的稳定性的有界性。

附图说明

图1是PMSM的混沌吸引子和相图；

图2是转换公式示意图；

图3是PMSM控制示意图；

图4是x-轴的角位移轨迹图；

图5是输出跟踪误差图；

图6是状态变量i_q和i_d的轨迹图；

图7是实际控制器u_q和u_d的响应曲线图；

图8是输出轨迹比较图；

图9是跟踪误差轨迹比较图；

图10是输入u_q对比图。

具体实施方式

下面结合附图及具体的实施例对本发明进行进一步介绍。

实施例1：受背景技术中问题分析的启发，本发明着重于针对PMSM的自适应神经反演控制设计，以抑制混沌振荡并确保非对称输入输出约束，同时确保所有闭环信号都有界。首先，给出了混沌吸引子和相位图，以说明带有扰动参数的PMSM的混沌振荡。然后，基于反演框架设计整个控制方案。在控制器设计中，通过将变换后的跟踪误差和新边界融合到对数型障碍Lyapunov函数中来设计统一障碍Lyapunov函数，以解决输出约束问题，由两个独立的一阶微分方程构造的两个辅助动力***分别在控制器设计的最后两个步骤中结合使用，以解决非对称输入饱和非线性问题。切比雪夫神经网络用于识别由参数变化和外部干扰组成的集成不确定性。通过将最小学习参数化技术集成到详细设计中，可以进一步减少切比雪夫神经网络的计算量。同时，文献(卡马拉米里·阿里,***·沙罗基,***凡·莫希特.具有输出约束以及未知控制方向和输入非线性的非严格反馈***的自适应有限时间神经控制[J].Inf.Sci.(Ny).,2020,520:271-291.A.Kamalamiri,M.Shahrokhi,andM.Mohit,“Adaptive finite-time neural control of non-strict feedback systemssubject to output constraint,unknown control direction,and inputnonlinearities,”Inf.Sci.(Ny).,vol.520,pp.271–291,2020)中采用的Nussbaum型函数和文献(张钧星,王时龙,周鹏,赵乐,李少波.通过反演对混沌PMSM***进行神经自适应控制的新型规定性能正切障碍Lyapunov函数[J].Int.J.Electr.Power Energy Syst.,2020,121.J.Zhang,S.Wang,P.Zhou,L.Zhao,and S.Li,“Novel prescribed performance-tangent barrier Lyapunov function for neural adaptive control of the chaoticPMSM system by backstepping,”Int.J.Electr.Power Energy Syst.,vol.121,no.September 2019,p.105991,2020)中采用的跟踪微分器分别解决“复杂性***”和未知控制方向问题。通过将上述方案嵌入传统反演控制器程序中，开发一种自适应神经反演控制方法，以确保期望的非对称输入输出约束和满意的跟踪指标以及所有其他闭环信号的有界性。本发明的关键贡献概述如下：

(1)这是第一项致力于解决带有非对称输入输出约束的有PMSM混沌***的跟踪控制器设计问题的工作；

(2)与分段障碍Lyapunov函数不同，本发明通过将转换跟踪误差和新边界嵌入到对数型障碍Lyapunov函数中这项工作设计了统一Lyapunov障碍函数，设计了统一Lyapunov障碍函数，以绕过先前分段Lyapunov障碍函数中的转换型非线性，并同时确保满足非对称输出约束。因此，这种统一Lyapunov障碍函数更适合于非对称输出受限的控制器设计。

(3)为了解决非对称输入饱和问题，在反演的最后两步中分别引入两个由一阶微分方程表示的辅助动力***，而不是文献(祝贵兵,杜佳璐,考永贵.一类不确定严格反馈非线性***的命令滤波鲁棒自适应神经网络控制[J].J.Franklin Inst.,2018,355(15):7548-7569.G.Zhu,J.Du,and Y.Kao,“Command filtered robust adaptive NN controlfor a class of uncertain strict-feedback nonlinear systems under inputsaturation,”J.Franklin Inst.,vol.355,no.15,pp.7548–7569,2018)中给定的辅助动力***。这样的设计有助于确保控制方案具有足够的精度和低复杂度。

(4)通过将切比雪夫神经网络的概念以及跟踪微分器，Nussbaum型函数和最小学习参数技术的熟练使用结合到自适应反演控制中，设计具有三种自适应律的新控制方案，处理来自各种不确定性的、高复杂性问题以及繁重的计算量的问题。因此，所设计的控制器在实际中广泛应用。

如图1-图10所示，考虑非对称输入与输出约束的PMSM混沌***自适应控制方法，该方法包括以下步骤：

(1)建立永磁同步电机***动力学模型：

在旋转(d-q)坐标系中，建立永磁同步电机***的动力学方程为：

式中，

和

表示d-轴和q-轴电流，

和

表示d-轴和q-轴电压作为***输入，L,

R,

ψ_r,B,J和n_p分别表示电感、转子角速度、定子电阻、负载转矩、磁链、粘性摩擦系数、转子转动惯量和磁极对，表I给出了各个变量含义；

表I PMSM参数的含义(denotation)

对公式(1)简化，选取L＝L_d＝L_q，定义

和

n_p＝1，x₁＝ω,x₂＝i_q，x₃＝i_d,L＝L_d＝L_q，考虑不确定外部干扰和非对称输入饱和，得到式(1)的简化无量纲模型：

式中，

σ₁＝BL/(JR)，σ₂＝-n_pψ_r ²/(BR)，

和

D_i,i＝1,2,3为不确定外部干扰；

式中，x₁表示名义角速度，x₂表示q-轴电流，x₃表示d-轴电流，t表示时间，T_L表示负载，u_d表示d-轴电压，u_q表示q-轴电压，σ₁和σ₂表示未知参数。

非对称输入饱和表示为下式：

式中，u_max和u_min表示非对称输入饱和的幅度，v_g和u_g分别表示非对称输入饱和的输入和输出；

从现有技术中，可以知道式(1)遇到混沌振动并滑入某些区域。为了给出式(1)的计算结果，通过设定x₁(0)＝0.1,x₂(0)＝0.9,x₃(0)＝20和u_q＝u_d＝T_L＝0进行了混沌分析。图1显示了在上述条件和可变参数σ₁和σ₂下PMSM的混沌吸引子和相图。结论是PMSM的混沌行为易受参数变化的影响。由于复杂的振荡和不确定性以及违反非对称输入输出约束可能会导致PMSM的性能变差，因此迫切需要提出一种自适应神经反演控制解决方案来扭转这种不利局面

(2)设定控制对象：

定义1：需要强调的是，这项研究是第一个致力于解决带有非对称输入输出约束和未知不确定性的PMSM混沌***的跟踪控制器设计问题的研究。与现有技术相比，需要解决来自非对称输入输出约束的问题。

考虑到上面讨论的效果，可以将控制对象设定如下：

(a)PMSM混沌***中的所有变量都是有界的；

(b)输出x₁跟随所需信号y_d；

(c)不违反控制输入约束；

(d)输出x₁的定义域为

为了设计步骤(3)的自适应神经反演控制，给出以下假设和引理：

假设1：变量σ_i,i＝1,2和δ_i,i＝1,2,3未知但有界，即

σ_im≤σ_i≤σ_iM,|δ_i|≤δ_M, (4)式中，σ_im,σ_iM,i＝1,2和δ_M,(δ_M>0)是实数，δ_i是估计误差，将在后面给出解释；

假设2：存在所需的轨迹

及其时间导数

和

满足不等式

其中

和X是正实数；

假设3：存在实数c_i>0，如|D_i|≤c_i,i＝1,2,3；

引理1：对于

得到：

式中，p>1,ξ>0,,q>1且(p-1)(q-1)＝1；

切比雪夫神经网络：

使用切比雪夫神经网络可以在具有任意精度的紧凑集合上近似未知不确定性，本发明选择切比雪夫神经网络来逼近控制器设计中生成的未知不确定性f^*(x)，通过以下公式来推导切比雪夫多项式

P_i+1(x)＝2xP_i(x)-P_i-1(x),P₀(x)＝1 (6)

式中，x∈R和P₁(x)用x,2x,2x-1或2x+1表示，这里采用第一项。切比雪夫多项式的x＝(x₁,...,x_m)^T∈R^m增强模式由下式给出：

φ(x)＝[1,P₁(x₁),...,P_n(x₁),...,P₁(x_m),...,P_n(x_m)]^T (7)

式中，φ(x)表示切比雪夫多项式基函数向量，P_i(xj),i＝1,...,n,j＝1,...,m是切比雪夫多项式的顺序，n表示顺序；

因此将f^*(x)定义为

f^*(x)＝W^*Tφ(x)+δ (8)

式中，W^*为最优权向量，δ为估计误差；

最优权向量W^*用以下公式表示

式中，W＝[ω₁,ω₂,...,ω₃]^T∈R^l是权向量；

在自适应神经反演控制方案设计的步骤中，采用切比雪夫神经网络W_i ^Tφ_i,i＝1,2,3近似未知不确定性f_i ^*(x)，存在

f_i ^*(x)＝W_i ^Tφ_i+δ_i,i＝1,2,3 (10)

式中，W_i＝W_i ^*和f_i ^*(x)将在下文给出；

研究表明，使用2-范数估计切比雪夫神经网络的权重可以降低切比雪夫神经网络的计算负担。因此，定义

θ_i＝||W_i||²＝W_i ^TW_i,i＝1,2,3 (11)

式中，||·||和θ_i分别表示W_i和未知变量的2-范数；

Nussbaum型函数:

由于式(2)中σ₁的符号会导致未知控制方向问题，因此，针对式(2)中σ₁，引入Nussbaum型函数，

定义1：如果连续偶函数N(χ)满足：

则该连续偶函数就称之为Nussbaum型函数，许多函数同时满足式(12)和式(13)，例如χ²cos(χ)和

这里采用χ²cos(χ)。

引理2：如果一个非负平滑函数V(t)满足：

式中，χ(t)≥0是定义在[0,t_f)上的平滑函数，c₀是实数且c₀>0，N(·)为偶数Nussbaum型函数，g为定义在集合

内的变量，V(t),χ(t)和

在[0,t_f)上有界；

统一障碍Lyapunov函数创建：

为了处理非对称输出约束，将新的转换公式定义为

式中，正实数

和

为原始边界，λ₁(t)是之后给出的跟踪误差，μ和S(t)分别为转换边界和转换误差；

根据t∈[0,∞)得出

和

使用式(15)和对数型的障碍Lyapunov函数，创建统一障碍Lyapunov函数为

式中，log(·)是(·)的自然对数；

得到式(16)满足Lyapunov设计原则

它保证了S被限制在集合P_S:＝{-μ<S<μ}中。基于式(15)，进一步推导出跟踪误差λ₁被限制在集合

中；为明确说明，示意图如图2所示。

引理3：对于

和

存在

式中，K_S＝S/(μ²-S²)；

定义2：通过将新的转换公式(15)融合到常规对数型障碍Lyapunov函数中来提出统一障碍Lyapunov函数公式(16)，以绕过一般分段障碍Lyapunov函数中存在的分段公式导致的复杂推导，并且在非线性***的约束控制器设计方面，和现有的分段障碍Lyapunov函数相比，统一障碍Lyapunov函数具有更大的潜在通用性。

以后，为了简化起见，在上下文中不会发生混淆的前提下，省略函数参数。

(3)建立自适应反演控制器

将误差控制面定义为

式中，β₂表示虚拟控制器，实数C为x₃的初始值；

定义3：与传统反演控制器技术中常规的误差控制面λ₂不同，通过令λ₃＝x₃-C设计(2)的输入u_d来构造误差控制面，其优点是消除了由d-轴电流初始误差引起的超调问题；

为了克服非对称输入饱和***带来的不利影响，将增强型动态误差z_i定义为

式中，辅助动力***

之后将会给出；

联立式(2)和(17)，推导出λ₁和z_i,i＝2,3的时间导数为

式中，

定义误差变量

为

式中，变量

为θ_i的估计值；

然后，给出基于传统反演控制器框架的控制器设计步骤：

第一步、选择一个障碍Lyapunov函数

式中，r₁为实数且r₁>0；

利用式(15)、式(16)和式(21)，推导出式(22)中V₁的时间导数为

通过式(20)，得到

式中，k₁>0为设计参数，且未知不确定性

可以看出未知不确定性f₁ ^*由不确定参数σ₁和外部干扰D₁以及负载转矩T_L组成，是一个非常复杂的非线性项，很难设计出可靠的控制器。为了解决这些问题，分别用Nussbaum型函数和切比雪夫神经网络

来估计未知增益σ₁和未知不确定性f₁ ^*；

根据式(4)、(5)、(10)和(11)，得到

式中，a₁为实数且a₁>0；

将式(24)代入式(25)得到

设计虚拟输入β₂和新的自适应律

为

式中，γ>0和l₁>0且均为实数，

表示辅助控制器，χ表示Nussbaum型函数的变量；

联立式(27)-(30)到式(26)中，推导出

第二步：建立Lyapunov函数为

式中，r₂>0且为实数；

利用式(21)，求得式(32)中的时间导数V₂为

设计辅助动力***

为

式中，k₂>0且为实数；

从式(20)和(34)中，得到

为了克服由于计算式(35)中

的虚拟控制器差异导致的复杂性***问题，引入跟踪微分器的概念：

式中，输入信号β₂由式(27)得到，

和

均为实数，ν₁和ν₂分别为β₂和

的估计值；

引理4：如果初始偏差

中

且为实数，则ν₂满足

式中，l_ν2>0且为未知实数；

将式(31)、(35)和(37)代入式(33)得到

式中，将未知不确定性

定义为

定义4：不同于以往基于一阶滤波器的工具，设计跟踪微分器来得到β₂的导数，可以提高所提出解决方案的跟踪精度。

未知不确定性

是一个复杂的非线性函数，存在由于速度和电流之间的耦合项、未知的***动力学和误差产生的影响。为了便于后续设计采用切比雪夫神经网络

评估

与式(25)类似，得到

式中，a₂>0且为实数；

将式(39)代入式(38)，得到

设计控制输入u_q和自适律

为

式中，l₂>0且为实数；

通过式(41)和式(42)，将式(40)重新表示为

第三步：设计一个Lyapunov函数为

式中，r₃>0且为实数；

和式(34)类似，认为辅助动力***

式中，k₃>0且为实数；

结合式(20)，得到

然后，得到式(44)中V₃的时间导数为

通过式(43)和式(46)，将式(46)重新表示为

式中，未知不确定性

可以很明显的看出，未知不确定性

受到来自外部干扰和***误差的不利影响。要克服上述的不利影响，利用切比雪夫神经网络

来逼近

和式(25)类似，得到

式中，a₃>0且为实数；

通过式(49)，式(48)简化为

设计控制输入u_d和新的控制律

为

式中，l₃>0且为实数；

通过式(51)和(52)，将式(50)重新表示为

利用式(5)和式(21)，推导出

然后得到

目前已经完成了详细的自适应神经反演控制设计。为了更清楚地说明，图3为示意图说明。

定义5：和之前用于抑制非对称输入约束发生的方案相比，设计的式(34)和式(45)不仅可以克服文献(宋帅,Park Ju Hyun,张保勇.具有时滞和输入饱和的分数阶非线性***的自适应混合模糊输出反馈控制[J].Appl.Math.Comput.,2020,364.S.Song,J.H.Park,B.Zhang,and X.Song,“Adaptive hybrid fuzzy output feedback control forfractional-order nonlinear systems with time-varying delays and inputsaturation,”Appl.Math.Comput.,vol.364,p.124662,2020)中u_g和v_g,g＝d,q的不一致，而且可以绕过文献(祝贵兵,杜佳璐,考永贵.一类不确定严格反馈非线性***的命令滤波鲁棒自适应神经网络控制[J].J.Franklin Inst.,2018,355(15):7548-7569.G.Zhu,J.Du,and Y.Kao,“Command filtered robust adaptive NN control for a class ofuncertain strict-feedback nonlinear systems under input saturation,”J.Franklin Inst.,vol.355,no.15,pp.7548–7569,2018)中额外的辅助动力***导致的推导复杂性。

定义6：由于切比雪夫神经网络只能由切比雪夫多项式的阶数来确定，这项工作利用切比雪夫神经网络来逼近未知不确定性f_i ^*,i＝1,2,3，而不是最常用的基于高斯函数的中心和宽度确定的径向基函数神经网络，联立式(25)、(39)和(49)，在控制器和自适应律的设计中***最小学习参数技术，这得益于减少了设计参数和***计算量。

对本发明的技术方案进行稳定性分析：

对于任意实数p>0，紧集可以认为是

定理1：在满足假设1-3的前提下，对具有未知不确定性的混沌PMSM和非对称输入输出约束，设计控制律式(27)、(41)、(51)和自适应律(30)、(42)和(52)，当条件

和

同时满足时，本发明的方案可以确保实现。

证明：构造整个Lyapunov函数

由式(55)可以得到

由式(17)可以得到

即

其中ρ＝min{2k₁,2k₂,2k₃,l₁,l₂,l₃}，

通过对式(60)在[0,t]区间内积分，可以得到

通过引理2，可以得到函数V(t)，χ和

的区间为[0t]。

可以将式(61)重新表示为

其中C₀是

的上限。

因此可以得到

此外，可以得到

由式(15)可以得到

式(64)和式(65)分别表示S和λ₁有界。同样，可以得到z₂、z₃和

有界。通过式(21)，可以进一步得到

有界。通过式(3)、(27)、(41)和(51)，可以推断出变量β₂、ν_g和u_g,g＝a,d有界。因此，Du_g＝u_g-v_g,g＝d,q有界。

此外，为了确保误差控制面

i＝2,3的收敛性，还需要考虑

的有界性。为此，我们设计一个适当的Lyapunov函数为

通过式(34)、式(45)和微分

可以得到

其中|Δu|＝max{|Δu_d|,|Δu_q|}。

由式(5)可以得到

然后可以得到

其中a₀＝min{2k_i-1}，式中k_i>1/2,i＝2,3，b₀＝Δu²。

求解式(69)，可以得到

与式(64)类似，可以得到

通过式(71)，可以知道

和

有界。在式(19)中，由z_i和

的有界性，可以推断出误差控制面λ₂和λ₃有界。综上所述，PMSM的所有变量都有界。

此外，通过式(15)和(16)，可以知道当

时，

对

有保证。此外，由于

和

可以得到

然后，通过

和

可以推断出

至此，完成了稳定性分析的论证。

定义7：跟踪误差λ₁是控制性能的视觉指标，可以通过适当选择

和ρ任意调小。我们可以得到具体的调整准则为增加参数k_i,a_i,r_i,γ，其中k₂>1/2,k₃>1/2，减小参数

需要注意的是，ν_q的振幅受到了ν₂的影响。为此，首先通过选择合适的

k₁,r₁,a₁,l₁调整一个合适的值为ν₂，然后调整其他参数。利用上述具体调整准则，可以反复试验控制参数的值。实际上，为了达到预先设定的目标，k_i,a_i,r_i,γ和l_i,i＝1,2,3的值需要明确地调整。

为了说明本发明的有益效果，进行如下仿真：

对本发明的方案进行了仿真测试，来说明创建的自适应神经反演控制的有效性和鲁棒性。参考信号为y_d＝sin(t)。非对称输入约束的上下边界为u_max＝25和u_min＝-3。对式(2)，输出变量满足约束条件-1.2<x₁<1.24。可以得到

和

初始条件为x₁(0)＝0.1∈(-1.2,1.24)，x₂(0)＝0.9,x₃(0)＝20,χ(0)＝1.55,ν₁(0)＝1_,

那么，参数选择为k₁＝97,r₁＝0.001,k_i＝r_i＝1，i＝2,3,a₁＝51,a₂＝121,a₃＝71,T_L＝3,l₁＝0.2,l₂＝6.2,l₃＝4.8,

,γ＝0.1外部干扰为

利用单层切比雪夫神经网络，将式(7)的阶数指定为2。切比雪夫多项式基函数可以描述为

φ_i(x)＝[1,P₁(x₁),P₂(x₁),...,P₁(x₃),P₂(x₃)]^T,i＝1,2,3 (73)

图4-7展示了***的响应。图4表明输出信号y可以遵循参考轨迹且不违反其约束。图5表明跟踪误差λ₁在一定范围内可保持不变。状态变量i_q.i_d和实际控制器u_q,u_d的响应分别在图6和图7中已经给出。结果表明，设计的方案性能良好且令人满意。

方案对比：

为了展示所创建的自适应神经反演控制的优越性，将比例积分微分和自适应神经动态面控制用作式(2)的比较。忽略非对称输入输出控制并认为ud＝0，实际的比例积分微分控制为

其中k_P,k_I,k_D均为实数。

自适应神经动态面控制产生的唯一不同的设计是在自适应神经反演控制设计中使用一阶滤波器代替跟踪微分器。这里，用一阶滤波器

β_2f(0)＝β₂(0)定义λ₂＝x₂-β_2f，其中β_2f为要设计的稳定控制器而τ_2f>0为设计实数。然后将式(41)设计的相应控制器ν_q修改为

同时，定义以下索引用作比较

其中N为样本数量，M_λ、μ_λ和σ_λ分别表示λ₁(i)的最大值、平均值和标准偏差值；

仿真测试是在不同的未知外部干扰下进行的，即案例1：

案例2：

在所有的比较中，选择k_P＝-140,k_I＝-0.08,k_D＝-160和τ_2f＝0.05。其余的参数和条件在A小节中提供。在0to 30s的范围内，我们计算模拟和定量指标。

图8-10和表2给出未知外部干扰下的比较结果。从图8-10可以看出，自适应神经反演控制的跟踪性能优于其他两种控制器。从图10可以看出比例积分微分的输入u_q超过边界值。相反，其他两个控制器约束了u_q的振幅。同时表2对比了三种方案在不同情况下的量化指标值。由此可见，三种方案的最大值M_λ几乎是一样的。在其他指标中，自适应神经反演控制比其他两种控制器小。结果表明，对PMSM来说自适应神经反演控制三种控制器中控制效果最好的。因此可以得出结论，所设计的方案在利用未知外部干扰和非对称输入输出约束控制PMSM混沌***方面具有高精度。

表II性能指标对比结果

结论：本发明提出了一种适用于PMSM的自适应神经反演控制，这种自适应神经反演控制存在混沌点火、参数变化、外部干扰和非对称输入输出约束，可用于车辆、电梯、压缩机、机器人、机床和飞机。混沌震荡提供了具有参数波动的***动力学。为了保证***输出约束具有不等约束，提出一种不适用分段表达式的统一障碍Lyapunov函数。在最后两个设计误差控制面中嵌入了两个辅助动力***，来消除由PMSM的双重非对称输入饱和造成的破坏。通过Nussbaum型函数、跟踪微分器、切比雪夫神经网络和最小学习参数技术解决设计中产生的未知控制方向、复杂性***、未知不确定性和繁重的计算负担。然后证明了PMSM的所有变量都有界，且不超出输入输出约束。未来的设计将通过指定性能控制器中的指数公式来增强我们提出的算法，并将其扩展到感应电机和直流伺服电机。

本发明具有如下优点：

(1)针对具有非对称输入输出约束以及未知不确定性的永磁同步电机混沌***，本发明提出了一种自适应神经反演(backstepping)控制方法。给出了混沌吸引子和相图，以判断***是否处于混沌激发状态。通过将各种有效的措施集成到backstepping技术中，形成了一个***化的详细设计过程。核心设计如下，在对数障碍Lyapunov函数中嵌入转换误差和新边界，提出了统一的障碍Lyapunov函数，以避免与分段障碍Lyapunov函数相关的切换型非线性，且同时确保满足非对称输出约束条件；

(2)针对非对称输入饱和存在的不可微问题和常用的平滑函数工具的低精度问题，设计了两个合适的辅助动力***；

(3)作为基于切比雪夫多项式正交基函数的单层神经网络，通常认为切比雪夫神经网络可以识别包括参数变化和外部干扰在内的集成不确定性，有助于开发具有低复杂度和较少参数的自适应控制器。同时，通过将最小的学习参数化技术融合到反演(backstepping)的每个步骤中，进一步减轻了神经网络的计算负担；

(4)在控制器设计中，分别利用Nussbaum型函数和跟踪微分器解决“复杂性***”和未知的控制方向问题。此外，在不超出输入输出约束边界的前提下，可以保证所设计***的稳定性的有界性。

以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内，因此，本发明的保护范围应以所述权利要求的保护范围为准。

Claims (1)

1.考虑非对称输入与输出约束的PMSM混沌***自适应控制方法，其特征在于：该方法包括以下步骤：

(1)建立永磁同步电机***动力学模型：

在旋转(d-q)坐标系中，建立永磁同步电机***的动力学方程为：

式中，

和

表示d-轴和q-轴电流，

和

表示d-轴和q-轴电压作为***输入，L,

R,

ψ_r,B,J和n_p分别表示电感、转子角速度、定子电阻、负载转矩、磁链、粘性摩擦系数、转子转动惯量和磁极对；

对公式(1)简化，选取L＝L_d＝L_q，定义

和

n_p＝1，x₁＝ω,x₂＝i_q，x₃＝i_d,L＝L_d＝L_q，考虑未知外部干扰和非对称输入饱和，得到式(1)的简化无量纲模型：

式中，

σ₁＝BL/(JR)，σ₂＝-n_pψ_r ²/(BR)，

和

Δ_i,i＝1,2,3为未知外部干扰；

式中，x₁表示名义角速度，x₂表示q-轴电流，x₃表示d-轴电流，t表示时间，T_L表示负载，u_d表示d-轴电压，u_q表示q-轴电压，σ₁和σ₂表示未知参数；

非对称输入饱和表示为下式：

式中，u_max和u_min表示非对称输入饱和的幅度，v_g和u_g分别表示非对称输入饱和的输入和输出；

(2)设定控制对象：

(a)PMSM混沌***中的所有变量都是有界的；

(b)输出x₁跟随所需信号y_d；

(c)不违反控制输入约束；

(d)输出x₁的定义域为

设1：变量σ_i,i＝1,2和δ_i,i＝1,2,3未知但有界，即

σ_im≤σ_i≤σ_iM,|δ_i|≤δ_M (4)

式中，σ_im,σ_iM,i＝1,2和δ_M,(δ_M＞0)是实数，δ_i是估计误差；

设2：存在所需的轨迹

及其时间导数

和

满足不等式

其中

和Ξ是正实数；

设3：存在实数c_i＞0，如|Δ_i|≤c_i,i＝1,2,3；

引理1：对于

得到：

式中，p＞1,ξ＞0, q＞1且(p-1)(q-1)＝1；

选择切比雪夫神经网络来逼近控制器设计中生成的未知不确定性f^*(x)，通过以下公式来推导切比雪夫多项式

P_i+1(x)＝2xP_i(x)-P_i-1(x),P₀(x)＝1 (6)

式中，x∈R和P₁(x)为x，切比雪夫多项式的x＝(x₁,...,x_m)^T∈R^m增强模式由下式给出：

φ(x)＝[1,P₁(x₁),...,P_n(x₁),...,P₁(x_m),...,P_n(x_m)]^T (7)

式中，φ(x)表示切比雪夫多项式基函数向量，P_i(x_j),i＝1,...,n,j＝1,...,m是切比雪夫多项式的顺序，n表示顺序；

因此将f^*(x)定义为

f^*(x)＝W^*Tφ(x)+δ (8)

式中，W^*为最优权向量，δ为估计误差；

最优权向量W^*用以下公式表示

式中，W＝[ω₁,ω₂,...,ω_l]^T∈R^l是权向量；

采用切比雪夫神经网络,W_i ^Tφ_i,i＝1,2,3近似未知不确定性，存在

f_i ^*(x)＝W_i ^Tφ_i+δ_i,i＝1,2,3 (10)

式中，W_i＝W_i ^*和f_i ^*(x)；

定义

式中，||·||和

分别表示W_i和未知变量的2-范数；

针对式(2)中σ₁，引入Nussbaum型函数；

定义1：如果连续偶函数N(χ)满足：

则该连续偶函数就称之为Nussbaum型函数，许多函数同时满足式(12)和式(13)，例如χ²cos(χ)和

这里采用χ²cos(χ)；

引理2：如果一个非负平滑函数V(t)满足：

式中，χ(t)≥0是定义在[0,t_f)上的平滑函数，c₀是实数且c₀＞0，N(·)为偶数NF函数，g为定义在集合

内的变量，V(t),χ(t)和

在[0,t_f)上有界；

针对非对称输出约束，将新的转换公式定义为

式中，正实数

和

为原始边界，λ₁(t)是之后给出的跟踪误差，μ和S(t)分别为转换边界和转换误差；

根据t∈[0,∞)得出

和

使用式(15)和对数型的性能障碍Lyapunov函数，创建统一障碍Lyapunov函数为

式中，log(·)是(·)的自然对数；S为转换误差；

得到式(16)满足Lyapunov函数设计原则

基于式(15)，进一步推导出跟踪误差λ₁被限制在集合

中；

引理3：对于

和

存在

式中，K_S＝S/(μ²-S²)；S为转换误差；

(2)建立自适应反演控制器

将误差控制面定义为

式中，β₂表示虚拟控制器，实数C为x₃的初始值；

定义3：增强型动态误差z_i定义为

式中，辅助动力***

将在下文给出；

联立式(2)和(17)，推导出λ₁和z_i,i＝2,3的时间导数为

式中，

定义误差变量

为

式中，变量

为

的估计值；

基于反演控制器框架的控制器设计步骤：

第一步、选择一个性能障碍Lyapunov函数：

式中，r₁为实数且r₁＞0；

利用式(15)、式(16)和式(21)，推导出式(22)中V₁的时间导数为

通过式(20)，得到

式中，k₁＞0为设计参数，且未知不确定性

分别用Nussbaum型函数和切比雪夫神经网络W₁ ^Tφ₁来估计未知增益σ₁和未知不确定性f₁ ^*；

根据式(4)、(5)、(10)和(11)，得到

式中，a₁为实数且a₁＞0；

将式(24)代入式(25)得到

设计虚拟输入β₂和新的自适应律

为

式中，Υ＞0和l₁＞0且均为实数，

表示辅助控制器，χ表示Nussbaum型函数的变量；联立式(27)-(30)到式(26)中，推导出

第二步：建立Lyapunov函数为

式中，r₂＞0且为实数；

利用式(21)，求得式(32)中的时间导数V₂为

设计辅助动力***

为

式中，k₂＞0且为实数；

从式(20)和(34)中，得到

引入跟踪微分器的概念：

式中，输入信号β₂由式(27)得到，

和

均为实数，ν₁和ν₂分别为β₂和

的估计值；

引理4：如果初始偏差

中

且为实数，则ν₂满足

式中，

且为未知实数；

将式(31)、(35)和(37)代入式(33)得到

式中，将未知不确定性

定义为

定义4：采用切比雪夫神经网络

评估

与式(25)类似，得到

式中，a₂＞0且为实数；

将式(39)代入式(38)，得到

设计控制输入u_q和自适律

为

式中，l₂＞0且为实数；

通过式(41)和式(42)，将式(40)重新表示为

第三步：设计一个Lyapunov函数为

式中，r₃＞0且为实数；

和式(34)类似，认为辅助动力***

式中，k₃＞0且为实数；

结合式(20)，得到

然后，得到式(44)中V₃的时间导数为

通过式(43)和式(46)，将式(46)重新表示为

式中，未知不确定性

利用切比雪夫神经网络

来逼近

和式(25)类似，得到

式中，a₃＞0且为实数；

通过式(49)，式(48)简化为

设计控制输入u_d和新的控制律

为

式中，l₃＞0且为实数；

通过式(51)和(52)，将式(50)重新表示为

利用式(5)和式(21)，推导出

然后得到

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