CN112765856B - 一种功能梯度多孔结构拓扑优化的混合水平集方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种功能梯度多孔结构拓扑优化的混合水平集方法，通过两种多孔单胞的线型加权构造混合水平集函数，将控制水平集函数演化的哈密尔顿‑雅克比偏微分方程进行时空解耦。定义全局权重系数为设计变量，以结构刚度性能为目标函数，多孔结构体积分数为约束条件，建立基于混合水平集法的功能梯度多孔结构拓扑优化数学模型。通过推导目标函数和约束条件关于设计变量的敏度列式，开展基于梯度的优化算法的迭代求解，当迭代过程满足收敛条件时，得到几何和功能在空间呈梯度分布的多孔结构。本发明提出的方法可以与成熟的梯度优化算法相结合，具有严谨的数学理论推导，且能够避免功能梯度多孔结构的尺度分离问题，提高单胞之间的连续性。

Description

一种功能梯度多孔结构拓扑优化的混合水平集方法

技术领域

本发明属于数字化设计相关技术领域，更具体地，涉及一种功能梯度多孔结构拓扑优化的混合水平集方法。

背景技术

功能梯度多孔结构是一种具有空间变化性质的多孔结构，其力学属性沿着某个方向呈现梯度变化，能够满足常规均匀结构材料所不具备的力学性能，例如，较高机械强度、抗弯曲性能、承载吸能特性等，从而在航空航天、仿生设计等诸多方面有广泛应用。传统功能梯度多孔结构材料分布形式单一，无法满足复杂的工程环境需求。面向功能梯度多孔结构的优化设计方法中，部分优化方法基于有限元分析的应力分布控制多孔结构体积分数，提高了功能梯度多孔结构性能，但不能达到最优设计。

近年来，运用拓扑优化方法对功能梯度多孔结构进行优化设计也已成为了一种趋势，如将多孔结构按体积分数映射到单元密度上，生成数值最优的功能梯度多孔结构，但此类优化方法的宏观构型设计与单胞构型设计分离，无法充分发挥多孔结构性能。此外，基于数值均匀化法的拓扑优化方法因其严谨的理论推导和数学公式等优点，也被广泛应用于功能梯度多孔结构优化设计，实际应用中，均匀化法更适合小尺度、大规模、单类型的周期性多孔结构拓扑优化，其尺度分离的特性也难以保证多孔结构之间的连接性。为了避免功能梯度多孔结构的尺度分离问题，提高单胞之间的连续性，本发明提出了一种功能梯度多孔结构拓扑优化的混合水平集方法，通过预设单胞构型，利用水平集演化确定功能梯度多孔结构在空间中最优材料分布形式。

发明内容

针对现有技术的缺陷或改进需求，本发明提供一种功能梯度多孔结构拓扑优化的混合水平集方法，基于两种多孔结构单胞构型，采用隐式水平集函数进行几何描述，来构建功能梯度多孔结构的混合水平集函数，以刚度最大化为目标，通过梯度优化算法求解得到几何和功能在空间呈梯度分布的多孔结构。本发明提出的一种功能梯度多孔结构拓扑优化的混合水平集方法，能够避免功能梯度多孔结构的尺度分离问题，提高单胞之间的连续性，具有严谨的数学理论推导。

为实现上述目的，本发明提供了一种功能梯度多孔结构拓扑优化的混合水平集方法，该方法包括如下步骤：

S1：基于两种多孔结构单胞构型，采用隐式水平集函数进行几何描述，构建多孔结构的单胞混合水平集函数；

S2：在空间坐标系中定义多个混合水平集函数，每个混合水平集函数代表一个多孔结构单胞；

S3：将控制水平集函数演化的哈密顿-雅可比偏微分方程进行时空解耦，将混合水平集函数参数化；

S4：在空间坐标系中定义有限元网格，使隐式几何模型与物理模型匹配；

S5：在每个多孔结构单胞的顶点上定义全局设计变量，在单胞内部定义局部设计变量；

S6：以结构刚度性能为目标函数，多孔结构体积分数为约束条件，建立基于混合水平集法的功能梯度多孔结构拓扑优化数学模型；

S7：对功能梯度多孔结构进行有限元分析，求解节点位移和节点应变能密度；

S8：推导目标函数和约束条件关于全局设计变量的敏度列式；

S9：以刚度最大化为目标，采用基于梯度的优化算法更新全局设计变量，得到几何和功能在空间呈梯度分布的多孔结构；

S10：判断迭代过程是否满足收敛条件；

S11：若满足收敛则输出最优的功能梯度多孔结构几何模型，若不满足收敛则重复上述步骤S5-S10。

所述步骤S1中多孔结构单胞的混合水平集函数Φ(x,t)定义如下：

式中，权重系数w为关于时间t的变量，取值范围为0≤w(t)≤1，x为空间物理坐标，

和

为预定义的多孔结构单胞水平集函数。

所述步骤S2中多个混合水平集函数定义在设计域单胞上，每个混合水平集函数代表一个多孔结构单胞，用混合水平集函数Φ(x,t)隐式地描述多孔结构单胞实体区域Ω的定义如下：

式中，x是设计域D内空间物理坐标，Φ(x,t)>0的区域代表设计域中的实体区域，Φ(x,t)<0的区域代表设计域中的空洞区域，

是实体区域与空洞区域的边界。

所述步骤S3中控制水平集函数演化的哈密尔顿-雅克比偏微分方程转化为常微分方程，实现时间和空间解耦，其数学表达式如下：

式中，

代表求偏导符号，v_n为水平集函数边界演化的法向速度，

为水平集函数梯度的模。

所述步骤S4将设计域D离散化，在空间坐标系中定义有限元网格。在几何模型上采用混合水平集函数的隐式几何描述方法，在物理模型上，采用有限元法计算结构响应。

所述步骤S5首先定义各节点全局设计变量，即一组全局权重系数，该设计变量可表示与时间t相关的一组向量：

w(t)＝[w₁(t) w₂(t) w₃(t) … w_m(t)]^T

对任意一个编号为C的二维多孔结构单胞，其四个节点上的权重系数是全局权重系数向量的子向量：

对任意一个编号为C的三维多孔结构单胞，其八个节点上的权重系数是全局权重系数向量的子向量：

式中，T为矩阵或向量的转置，S_C为选择矩阵，实现从全局权重系数向量w(t)中选择编号为C的多孔结构单胞各节点的权重系数。

对于单胞内部节点局部设计变量，即单胞内部节点的权重系数，利用形状函数N_C进行插值。

二维四边形单胞的形状函数定义如下：

展开为：

式中，X、Y为四边形单元的母单元局部坐标系坐标。

三维六面体单胞的形状函数定义如下：

展开为：

式中，X、Y、Z为六面体单元的母单元局部坐标系坐标。

单胞C上的权重系数w_C(t)为：

w_C(x)＝N_Cw(t)＝N_CS_Cw(t)

所述步骤S6以多孔结构单胞节点上的全局权重系数为设计变量，以结构刚度性能为目标函数，以多孔结构体积分数为约束条件，建立基于混合水平集法的功能梯度多孔结构拓扑优化数学模型：

find:w(t)＝(w₁(t) w₂(t) w₃(t) … w_m(t))^T

式中，m代表全局设计变量的数量，J为多孔结构的柔度，ε为结构的应变场，T代表矩阵转置，u为结构的位移场，E为实体材料的弹性矩阵，a_Ф(u,v)＝l_Ф(v)为弹性平衡方程的弱形式，v表示在动力学上允许的位移域空间U中的一个虚拟位移域，g(Ω)为结构的体积约束函数，ζ表示结构的体积分数，

表示设计域的体积，w_max和w_min分别为设计变量的上下界限，w_k表示设计域中第k个节点的全局权重系数。

所述步骤S7对结构进行有限元求解，求解状态方程a_Ф(u,v)＝l_Ф(v)得到节点位移，弹性平衡方程弱形式中能量双线性形式a_Ф(u,v)和载荷线性形式l_Ф(v)分别表示为：

a_Φ(u,v)＝∫_Ωε^T(u)Eε(v)dΩ

式中，f是应用在边界

的部分边界上的牵引力，p表示体积力，δ(Ф)为Heaviside关于Ф函数的导数。

所述的四边形单元节点应变能密度通过单元应变能扩展得到：

设计域角节点应变能密度：ρ_n＝ρ_1e

设计域边界中心节点应变能密度：

设计域内部节点应变能密度：

式中，ρ_1e、ρ_2e、ρ_3e、ρ_4e分别为二维离散设计域中一个节点相邻4个平面单元的单元应变能。

所述的六面体单元节点应变能密度通过单元应变能扩展得到：

设计域角节点应变能密度：ρ_n＝ρ_1e

设计域边界中心节点应变能密度：

设计域表面内部节点应变能密度：

设计域内部节点应变能密度：

式中，ρ_1e、ρ_2e、ρ_3e、ρ_4e、ρ_5e、ρ_6e、ρ_7e、ρ_8e分别为三维离散设计域中一个节点相邻8个六边形单元的单元应变能。

所述步骤S8中目标函数关于设计变量的敏度列式为：

式中，

为目标函数的敏度，G(Ф)为节点应变能密度，δ(Ф)为Heaviside关于Ф函数的导数。

约束函数关于设计变量的敏度列式为：

式中，

为约束条件的敏度，g(Ω)为约束条件。

所述步骤S9中设计变量的更新策略如下：

式中，n代表迭代步数，σ为步长，max代表取括号中最大值，min代表取括号中最小值，η为阻尼算子，设计变量的上下限分别指定为w_min＝0.001，w_max＝1。B为关于敏度的表达式，定义如下：

式中，Λ为拉格朗日乘子，由二分法求得；常量μ＝1e-10。

所述步骤S10中收敛准则定义如下：

或n≥n_max

式中，θ代表一个极小正数，n_max代表最大迭代数。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，主要具备以下的技术优点：

1、本发明提供了一种功能梯度多孔结构拓扑优化的混合水平集方法，以多孔结构单胞节点上的全局权重系数为设计变量，将原来的哈密尔顿-雅克比偏微分方程转化为常微分方程，可以同优化领域中成熟高效的优化算法相结合，降低了求解的复杂性，具有严谨的数学理论。

2、同时，本发明保留了传统水平集方法的优点，相比均匀化方法和密度法，可以同时进行形状优化和拓扑优化、可以清晰地描述拓扑结构并且保持拓扑边界光滑。

3、此外，本发明公开了一种功能梯度多孔结构拓扑优化的混合水平集方法框架，通过预定义具有不同性能的初始单胞结构，均可得到具有良好连接性且符合设计要求的功能梯度多孔结构，具有良好的扩展性。

附图说明

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明。

图1是本发明提供的一种功能梯度多孔结构拓扑优化的混合水平集方法的流程图。

图2是本发明二维设计域离散网格和结构拓扑优化设计变量定义的示意图。

图3是本发明三维设计域离散网格和结构拓扑优化设计变量定义的示意图。

图4是本发明优选实施例中定义的2种初始单胞结构示意图。

图5是本发明优选实施例中二维悬臂梁结构示意图。

图6是本发明优选实施例中结构优化结果示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的实施方式做进一步的说明。

实施例1：

参见图1，本发明提供了一种功能梯度多孔结构拓扑优化的混合水平集方法，如图1所示，该方法包括如下步骤：

S1：基于两种多孔结构单胞构型，采用隐式水平集函数进行几何描述，构建多孔结构的单胞混合水平集函数；

进一步地，所述步骤S1中多孔结构单胞的混合水平集函数Φ(x,t)定义如下：

式中，权重系数w为关于时间t的变量，取值范围为0≤w(t)≤1，x为空间物理坐标，

和

为预定义的多孔结构单胞水平集函数。

S2：在空间坐标系中定义多个混合水平集函数，每个混合水平集函数代表一个多孔结构单胞；

更具体地，所述步骤S2中多个混合水平集函数定义在设计域单胞上，每个混合水平集函数代表一个多孔结构单胞，用混合水平集函数Φ(x,t)隐式地描述多孔结构单胞实体区域Ω的定义如下：

式中，x是设计域D内空间物理坐标，Φ(x,t)>0的区域代表设计域中的实体区域，Φ(x,t)<0的区域代表设计域中的空洞区域，

是实体区域与空洞区域的边界。

S3：将控制水平集函数演化的哈密顿-雅可比偏微分方程进行时空解耦，将混合水平集函数参数化；

更具体地，所述原哈密顿-雅可比方程为偏微分程，其数学表达式如下：

将本发明中公开的混合水平集函数带入原哈密顿-雅可比偏微分方程，得到仅关于时间t的常微分方程，实现时间和空间解耦，其数学表达式如下：

式中，

代表求偏导符号，v_n为水平集函数边界演化的法向速度，

为水平集函数梯度的模。

S4：在空间坐标系中定义有限元网格，使隐式几何模型与物理模型匹配；

更具体地，所述步骤S4将设计域D离散化，在空间坐标系中定义有限元网格。在几何模型上采用混合水平集函数的隐式几何描述方法，在物理模型上，采用有限元法计算结构响应。

S5：如图2所示，在每个平面多孔结构单胞的四个顶点上定义宏观设计变量，在单胞内部定义微观设计变量；如图3所示，在每个立方体多孔结构单胞的八个顶点上定义宏观设计变量，在单胞内部定义微观设计变量；

更具体地，首先定义各节点全局设计变量，即一组全局权重系数，该设计变量可表示与时间t相关的一组向量：

w(t)＝[w₁(t) w₂(t) w₃(t) … w_m(t)]^T

对任意一个编号为C的二维多孔结构单胞，其四个节点上的权重系数是全局权重系数向量的子向量：

对任意一个编号为C的三维多孔结构单胞，其八个节点上的权重系数是全局权重系数向量的子向量：

式中，T为矩阵或向量的转置，S_C为选择矩阵，实现从全局权重系数向量w(t)中选择编号为C的多孔结构单胞各节点的权重系数。

对于单胞内部节点局部设计变量，即单胞内部节点的权重系数，利用形状函数N_C进行插值。

二维四边形单胞的形状函数定义如下：

展开为：

式中，X、Y为四边形单元的母单元局部坐标系坐标。

三维六面体单胞的形状函数定义如下：

展开为：

式中，X、Y、Z为六面体单元的母单元局部坐标系坐标。

单胞C上的权重系数w_C(t)为：

w_C(x)＝N_Cw(t)＝N_CS_Cw(t)

S6：以结构刚度性能为目标函数，多孔结构体积分数为约束条件，建立基于混合水平集法的功能梯度多孔结构拓扑优化数学模型；

更具体地，以多孔结构单胞节点上的全局权重系数为设计变量，以结构刚度性能为目标函数，以多孔结构体积分数为约束条件，建立基于混合水平集法的功能梯度多孔结构拓扑优化数学模型：

find:w(t)＝(w₁(t) w₂(t) w₃(t) … w_m(t))^T

式中，m代表全局设计变量的数量，J为多孔结构的柔度，ε为结构的应变场，T代表矩阵转置，u为结构的位移场，E为实体材料的弹性矩阵，a_Ф(u,v)＝l_Ф(v)为弹性平衡方程的弱形式，v表示在动力学上允许的位移域空间U中的一个虚拟位移域，g(Ω)为结构的体积约束函数，ζ表示结构的体积分数，

表示设计域的体积，w_max和w_min分别为设计变量的上下界限，w_k表示设计域中第k个节点的全局权重系数。

S7：对功能梯度多孔结构进行有限元分析，求解节点位移和节点应变能密度；

更具体地，所述步骤S7对结构进行有限元求解，求解状态方程a_Ф(u,v)＝l_Ф(v)得到节点位移，弹性平衡方程弱形式中能量双线性形式a_Ф(u,v)和载荷线性形式l_Ф(v)分别表示为：

a_Φ(u,v)＝∫_Ωε^T(u)Eε(v)dΩ

式中，f是应用在边界

的部分边界上的牵引力，p表示体积力，δ(Ф)为Heaviside关于Ф函数的导数。

所述的四边形单元节点应变能密度通过单元应变能扩展得到：

设计域角节点应变能密度：ρ_n＝ρ_1e

设计域边界中心节点应变能密度：

设计域内部节点应变能密度：

式中，ρ_1e、ρ_2e、ρ_3e、ρ_4e分别为二维离散设计域中一个节点相邻4个平面单元的单元应变能。

所述的六面体单元节点应变能密度通过单元应变能扩展得到：

设计域角节点应变能密度：ρ_n＝ρ_1e

设计域边界中心节点应变能密度：

设计域表面内部节点应变能密度：

设计域内部节点应变能密度：

式中，ρ_1e、ρ_2e、ρ_3e、ρ_4e、ρ_5e、ρ_6e、ρ_7e、ρ_8e分别为三维离散设计域中一个节点相邻8个六边形单元的单元应变能。

S8：推导目标函数和约束条件关于设计变量的敏度列式；

更具体地，所述步骤S8中目标函数关于设计变量的敏度列式推导如下：

构造拉格朗日函数：

对拉格朗日函数求导数：

式中，λ为拉格朗日乘子，G(Ф)为节点应变能密度密度，δ(Ф)为Heaviside关于Ф函数的导数，

为水平集函数的梯度的模，v_n为水平集函数边界演化的法向速度。

根据解耦后的哈密尔顿-雅克比常微分方程得到水平集函数边界演化的法向速度：

将v_n代入拉格朗日函数的导数得到：

再由链式法则可以得到：

通过比较上述两式，可以得到敏度

同理约束函数关于设计变量的敏度列式为：

式中，

为约束条件的敏度，g(Ф)为约束条件。

S9：以刚度最大化为目标，采用基于梯度的优化算法更新全局设计变量，得到几何和功能在空间呈梯度分布的多孔结构；

式中，n代表迭代步数，σ为步长，max代表取括号中最大值，min代表取括号中最小值，η为阻尼算子，设计变量的上下限分别指定为w_min＝0.001，w_max＝1。B为关于敏度的表达式，定义如下：

式中，Λ为拉格朗日乘子，由二分法求得；常量μ＝1e-10。

S10：判断迭代过程是否满足收敛条件；

更具体地，所述步骤S10中收敛准则定义如下：

或n≥n_max

式中，θ代表一个极小正数，n_max代表最大迭代数。

S11：若满足收敛则输出优化设计结果，若不满足收敛则重复上述步骤S5-S10。

实施例2：

图4所示，是按照本发明的一个优选实施例，该结构是一个二维悬臂梁结构，长为L，宽W，且L＝2W，设计域左边界自由度全部约束，右边界中点处施加一个竖直向下的集中载荷，将设计域划分为400×200个四节点平面四边形单元，每个单胞尺寸定义为40×40个四节点平面四边形单元。图5所示为本实施例定义的两种多孔结构单胞，采用本发明提供的方法进行结构拓扑优化，收敛后得到如图6所示的结果。通过优化后的结果可以证明本实例采用的一种功能梯度多孔结构拓扑优化的混合水平集方法能够得到几何和功能在空间呈梯度分布的多孔结构，且保证了多孔结构具有清晰边界与良好连接性。

Claims (10)

1.一种功能梯度多孔结构拓扑优化的混合水平集方法，其特征在于该方法包括如下步骤：

S1：基于两种多孔结构单胞构型，采用隐式水平集函数进行几何描述，构建多孔结构的单胞混合水平集函数；

S2：在空间坐标系中定义多个混合水平集函数，每个混合水平集函数代表一个多孔结构单胞；

S3：将控制水平集函数演化的哈密顿-雅可比偏微分方程进行时空解耦，将混合水平集函数参数化；

S4：在空间坐标系中定义有限元网格，使隐式几何模型与物理模型匹配；

S5：在每个多孔结构单胞的顶点上定义全局设计变量，在单胞内部定义局部设计变量；

S6：以结构刚度性能为目标函数，多孔结构体积分数为约束条件，建立基于混合水平集法的功能梯度多孔结构拓扑优化数学模型；

S7：对功能梯度多孔结构进行有限元分析，求解节点位移和节点应变能密度；

S8：推导目标函数和约束条件关于全局设计变量的敏度列式；

S9：以刚度最大化为目标，采用基于梯度的优化算法更新全局设计变量，得到几何和功能在空间呈梯度分布的多孔结构；

S10：判断迭代过程是否满足收敛条件；

S11：若满足收敛则输出最优的功能梯度多孔结构几何模型，若不满足收敛则重复上述步骤S5-S10。

2.根据权利要求1所述的一种功能梯度多孔结构拓扑优化的混合水平集方法，其特征在于：所述步骤S1中多孔结构单胞的混合水平集函数Φ(x,t)定义如下：

式中，权重系数w为关于时间t的变量，取值范围为0≤w(t)≤1，x为空间物理坐标，

和

为预定义的多孔结构单胞水平集函数。

3.根据权利要求1所述的一种功能梯度多孔结构拓扑优化的混合水平集方法，其特征在于：所述步骤S2中多个混合水平集函数定义在设计域单胞上，每个混合水平集函数代表一个多孔结构单胞，用混合水平集函数Φ(x,t)隐式地描述多孔结构单胞实体区域Ω的定义如下：

式中，x是设计域D内空间物理坐标，Φ(x,t)>0的区域代表设计域中的实体区域，Φ(x,t)<0的区域代表设计域中的空洞区域，

是实体区域与空洞区域的边界。

4.根据权利要求1所述的一种功能梯度多孔结构拓扑优化的混合水平集方法，其特征在于：所述步骤S3中控制水平集函数演化的哈密尔顿-雅克比偏微分方程转化为常微分方程，实现时间和空间解耦，其数学表达式如下：

式中，

代表求偏导符号，v_n为水平集函数边界演化的法向速度，

为水平集函数梯度的模。

5.根据权利要求1所述的一种功能梯度多孔结构拓扑优化的混合水平集方法，其特征在于：所述步骤S4将设计域D离散化，在空间坐标系中定义有限元网格， 在几何模型上采用混合水平集函数的隐式几何描述方法，在物理模型上，采用有限元法计算结构响应。

6.根据权利要求1所述的一种功能梯度多孔结构拓扑优化的混合水平集方法，其特征在于：所述步骤S5首先定义各节点全局设计变量，即一组全局权重系数，该设计变量可表示与时间t相关的一组向量：

w(t)＝[w₁(t) w₂(t) w₃(t) … w_m(t)]^T

对任意一个编号为C的二维多孔结构单胞，其四个节点上的权重系数是全局权重系数向量的子向量：

对任意一个编号为C的三维多孔结构单胞，其八个节点上的权重系数是全局权重系数向量的子向量：

式中，m表示全局设计变量的数量，T为矩阵或向量的转置，S_C为选择矩阵，实现从全局权重系数向量w(t)中选择编号为C的多孔结构单胞各节点的权重系数；

对于单胞内部节点局部设计变量，即单胞内部节点的权重系数，利用形状函数N_C进行插值；

二维四边形单胞的形状函数定义如下：

展开为：

式中，X、Y为四边形单元的母单元局部坐标系坐标；

三维六面体单胞的形状函数定义如下：

展开为：

式中，X、Y、Z为六面体单元的母单元局部坐标系坐标；

单胞C上的权重系数w_C(t)为：

w_C(x)＝N_Cw(t)＝N_CS_Cw(t) 。

7.据权利要求1所述的一种功能梯度多孔结构拓扑优化的混合水平集方法，其特征在于：所述步骤S6以多孔结构单胞节点上的全局权重系数为设计变量，以结构刚度性能为目标函数，以多孔结构体积分数为约束条件，建立基于混合水平集法的功能梯度多孔结构拓扑优化数学模型：

find:w(t)＝(w₁(t) w₂(t) w₃(t) … w_m(t))^T

min:

s.t:

式中，m代表全局设计变量的数量，J为多孔结构的柔度，ε为结构的应变场，T代表矩阵转置，u为结构的位移场，E为实体材料的弹性矩阵，a_Ф(u,v)＝l_Ф(v)为弹性平衡方程的弱形式，v表示在动力学上允许的位移域空间U中的一个虚拟位移域，g(Ω)为结构的体积约束函数，ζ表示结构的体积分数，

表示设计域的体积，w_max和w_min分别为设计变量的上下界限，w_k表示设计域中第k个节点的全局权重系数。

8.根据权利要求1所述的一种功能梯度多孔结构拓扑优化的混合水平集方法，其特征在于：所述步骤S7对结构进行有限元求解，求解状态方程a_Ф(u,v)＝l _Ф(v)得到节点位移，根据位移和单元刚度矩阵计算得到单元应变能密度，再由单元应变能密度扩展为节点应变能密度。

9.根据权利要求1所述的一种功能梯度多孔结构拓扑优化的混合水平集方法，其特征在于：所述步骤S8中目标函数关于设计变量的敏度列式为：

式中，

为目标函数的敏度，G(Ф)为节点应变能密度，δ(Ф)为Heaviside关于Ф函数的导数；

约束函数关于设计变量的敏度列式为：

式中，

为约束条件的敏度，g(Ω)为约束条件。

10.根据权利要求1所述的一种功能梯度多孔结构拓扑优化的混合水平集方法，其特征在于：所述步骤S9中设计变量的更新策略如下：

式中，n代表迭代步数，σ为步长，max代表取括号中最大值，min代表取括号中最小值，η为阻尼算子，设计变量的上下限分别指定为w_min＝0.001，w_max＝1，B为关于敏度的表达式，定义如下：

式中，Λ为拉格朗日乘子，由二分法求得；常量μ＝1e-10；

所述步骤S10中收敛准则定义如下：

或n≥n_max

式中，θ代表一个极小正数，n_max代表最大迭代数。

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