CN112659126A - 一种基于非均匀b样条曲线的工业机器人轨迹段过渡方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于非均匀B样条曲线的工业机器人轨迹段过渡方法，利用多轨迹段过渡方法对用户指定运动轨迹进行处理：利用曲线过渡模型，计算曲线控制点；利用速度约束模型进行轨迹过渡区域的速度估算；利用速度规划曲线，输出机器人笛卡尔空间的轨迹插补点序列，实现机器人的加工。本发明保证了整体轨迹的G³连续和加速度连续，提升了多段连续轨迹拐角的衔接速度，避免了加速度突变，实现了机器人工具中心点的平滑运动。

Description

一种基于非均匀B样条曲线的工业机器人轨迹段过渡方法

技术领域

本发明涉及工业机器人的技术领域，尤其涉及到一种基于非均匀B样条曲线的工业机器人轨迹段过渡方法。

背景技术

当工业机器人在进行笛卡尔空间连续轨迹规划时，其运动轨迹一般是由多段轨迹组成的，轨迹衔接处理的优劣影响加工质量和工作效率。如果机器人在拐角处不做处理，直接减速停止，将会增加工作时间，导致大幅度的电机加减速，耗时耗能；如果保持速度直接通过拐点，可能产生机器振动，导致不可预估的精度误差，影响工件质量。

目前，针对轨迹衔接过渡的常规做法是曲线拟合，在衔接处***一段微型曲线，曲线不经过拐点，通过牺牲位置精度来换取过渡平滑。例如，通过圆弧转接实现拐角过渡，但是会存在衔接点法向加速度突变，导致机器震动；通过Bezier曲线构建实时拟合曲线的方法，但是轨迹只能达到G²连续；而且，以上的方法并没有考虑直线圆弧轨迹间的衔接，这对于机器人在加工复杂曲面工件时，将会严重影响效率。

发明内容

本发明的目的在于克服机器人拐角过渡的问题，提出了一种“直线-直线”轨迹和“直线-圆弧”轨迹的衔接曲线模型构造方法，在原有轨迹的基础上，通过在拐角区域拼接一段微型非均匀B样条曲线，实现整体轨迹的G³连续和加速度连续，在满足精度要求的同时，提升多段连续轨迹的衔接速度，缩短运动时间。

为实现上述目的，本发明所提供的技术方案为：

一种基于非均匀B样条曲线的工业机器人轨迹段过渡方法，利用多轨迹段过渡方法对用户指定运动轨迹进行处理：利用曲线过渡模型，计算曲线控制点；利用速度约束模型进行轨迹过渡区域的速度估算；利用速度规划曲线，输出机器人笛卡尔空间的轨迹插补点序列，实现机器人的高速平滑加工。

进一步地，所述多段轨迹过渡方法的具体过程包括：

S1、设定工业机器人的各类参数，包括工业机器人六个关节各自的性能参数和笛卡尔空间的规划参数；创建缓存组，缓存组包括工业机器人的轨迹队列缓存、速度规划缓存和过渡轨迹信息缓存，所有缓存在创建后均设置为空；

S2、针对“直线-直线”轨迹类型和“直线-圆弧”轨迹类型进行分析，使用对应的曲线过渡模型，确定非均匀B样条曲线控制点位置；

S3、针对当前拐角大小，限制拐角速度；

S4、根据计算的样条曲线控制点位置，计算曲线插补点。

进一步地，所述步骤S2中，当轨迹类型为“直线-直线”时，运行轨迹由两段相邻的直线段构成，假设B、A、C是两段直线的端点，两者相交于A点，其中两段直线之间的夹角为α，则确定非均匀B样条曲线控制点位置的具体过程如下：

a构造样条曲线，求取曲线控制点d_i；

为了实现衔接曲线具有G³连续性，样条曲线的次数为5次，控制点d_i个数为7，分别对应d₀，d₁，...，d₆；为了保证曲线起始点和终点能与首尾控制点重合，首尾向量节点应设置6次的重复度，即u₀＝...＝u₅＝0；u₇＝...＝u₁₂＝1；为了保证曲线的对称性，u₆＝0.5.，所以该模型的节点向量设置为U＝[0000000.5111111]^T；为了实现样条曲线在衔接点处与直线相切，控制点d₀，d₁，d₂位于直线AB上，控制点d₃位于拐点A；同理，控制点d₄，d₅，d₆位于在直线AC上；为了使曲线在控制点d₀和d₆处与直线相接具有G³的连续性，在u＝0和u＝1，曲线p(u)相对于弧长s的二阶和三阶导数为零；推导后可得各个控制点间的比例关系式：

假设单位过渡长度d₁d₂＝l，化简上式，可得：

b.根据给定误差，计算单位过渡长度l；

由于样条曲线的节点向量中心对称，所以得到的曲线也具有中心对称的性质；当曲线参数u＝0.5时，此时样条曲线的最高点F与拐点A距离最远，曲线的位置误差最大，所以可通过控制拐点处AF的最大误差来保证过渡曲线的位置精度；该模型误差公式δ推导如下：

式中δ为给定的位置误差上限，α为两直线之间的夹角；设置曲线过渡长度不得超过原直线长度的四分之一，单位过渡长度l公式为：

c.通过直线方程计算控制点的空间坐标；

空间直线方程为P_i＝P_s-L_i·V_L；其中P_s为直线起点，V_L为起点指向终点的单位向量，L_i为起点到对应控制点的距离；求取AB段上控制点d₁时，

进一步地，所述步骤S2中，当轨迹类型为“直线-圆弧”时，运行轨迹是由空间直线和空间圆弧异面构成，假设B、A是直线的端点，A、C是半径为R的圆弧的端点，两者相交于A点，直线AD是圆弧在A点处的切线，直线BA与直线AD之间的夹角为α，则确定非均匀B样条曲线控制点位置的具体过程如下：

a.建立曲面；

将直线从A点平移至圆心O点，得到直线EO，构造无数层半径为R、平行于底面圆并且圆心位于直线上的圆；当构造的圆弧足够密集，即可形成圆柱曲面；利用已知的信息，将过渡曲线构造在圆柱曲面上；利用三维软件将曲面从直线BA处剪开，可得展开图；切线AD对应展开图中的直线AD，同样与直线BA的夹角为α，过点D作垂直于弧线

的垂线，垂足为D′；

b.构造过渡模型；

利用“直线-直线”类型的过渡模型，对弧线

与直线BA之间构造样条曲线；其中，按“以直代曲”的思想，将切线AD近似为弧线

直接在DAB中构造样条曲线；

c.建立展开面与空间曲面映射关系；

由于实际的空间曲面是由无数层圆弧拼接而成，所以可将展开面上的点映射至实际空间曲面上的点，每一条点划线实质对应空间曲面中对应层圆弧的展开线，在展开面上的任意一个点P，只要知道点P位于哪个圆弧的展开线上即可计算该点在空间曲面上的位置；在构造过渡模型中，通过切线近似弧线的方法，简化过渡模型的确定，计算过渡曲线内的点：

过点P作一条平行于切线AD的直线，相交于直线AD于点A′；点A′位于直线上的位置可确定在空间曲面对应圆弧层圆心位于轴心线EO上的位置，直线PA′的长度d近似等同于对应展开线上的弧线长度，对应空间曲面中通过关系式θ＝d/R，求得对应圆心角θ。

进一步地，所述拐角速度由三个约束速度的最小值决定，分别为用户设定速度V_user、弦高误差限制允许速度V_err、向心加速度限制允许速度V_cir，最大允许拐角速度的计算过程如下：

a.计算弦高误差限制允许速度V_err；

当曲线轨迹的曲率大，同时运行速度快时，实际的插补轨迹会与理论轨迹产生大的轨迹误差；由于模型在u＝0.5的区域曲线曲率最大，弦高误差最大，所以，通过对该点进行曲线近似弦高误差分析，从而控制整段曲线的弦高误差；

将P_i与P_i+1间的曲线近似为等曲率圆弧，曲率半径为R，P_iP_i+1插补距离为L，得到弦高误差模型；根据几何关系，在曲线u＝0.5弦高误差ε的估计公式为：

其中，P_i处的曲率半径

p′(u)和p″(u)分别为p(u)的一阶和二阶导数，插补长度L近似为P_i的规划速度V乘以插补周期T_c，代入上式，可知在弦高误差限制下的允许速度V_err为：

b.计算向心加速度限制允许速度V_cir；

由于样条曲线的曲率越高，曲率半径越小，电机需要较大的法向加速度改变运动方向，所以需要保证衔接点处的加速度超过设定值a_max；向心加速度限制允许速度V_cir为：

c.取最小值；最大允许拐角速度v_cor可得：

v_cor＝min{V_user，V_err，V_cir}。

进一步地，所述步骤S4中，当前轨迹段类型为“直线-直线”时，运行轨迹B→A→C，使用曲线过渡模型进行优化后，当前段的运行轨迹变为B→F→C，由两段直线和样条曲线拼接，即直线Bd₀-样条d₀d₆-直线d₆C；

计算曲线插补点的具体过程如下:

先计算拼接曲线的实际长度，然后根据计算的拐角速度对拼接曲线进行S型速度规划，从而得到一个固定插补周期的位置-时间序列，最后利用非均匀B样条曲线公式进行插补点的计算；

非均匀B样条曲线的构造公式为：

其中，k为样条曲线次数，样条参数u∈[0,1]，d_i为样条曲线控制点，N_i,k(u)为k次B样条基函数；通过根据每一个周期的速度规划位置，计算每一个周期对应的样条参数u，进而确定每个周期对应的空间插补点。

进一步地，所述步骤S4中，当前轨迹段类型为“直线-圆弧”时，运行轨迹B→A→C，使用曲线过渡模型进行优化后，当前段的运行轨迹变为B→F→C，由一段直线、样条曲线和圆弧拼接，即直线Bd₀-样条d₀d₆-圆弧d₆C；

计算曲线插补点的具体过程如下；

先计算拼接曲线的实际长度，然后根据计算的拐角速度对拼接曲线进行S型速度规划，从而得到一个固定插补周期的位置-时间序列，接着利用非均匀B样条曲线公式在切线AD和直线AB之间构造曲线，计算插补点，最后利用展开面与空间曲面的映射关系，展开面上的每个插补点都有对应的空间圆心位置和圆心角θ，通过空间圆弧方程C(θ)＝O+R·(V_tsinθ+V_rcosθ)，其中O为空间圆弧的圆心位置，R为空间圆弧的半径，V_t为圆弧起点处的插补方向的切线单位向量，即为直线AD的方向，V_r为圆心指向圆弧起点的单位向量，即为直线OA的方向，θ为从圆弧起点开始按照给定插补方向插补的圆弧对应的圆心角的大小，通过此方法，实现展开面插补点与空间圆弧的映射转换，从而得到曲面空间内每个周期的空间插补点。

与现有技术相比，本方案原理及优点如下：

目前主流的圆弧过渡法是通过衔接一小段相切圆弧实现平滑过渡，但是由于过渡圆弧与直线只是相切关系，这会导致衔接点处的加速度突变，导致机器震动。

本方案在原有轨迹的基础上，通过在拐角区域拼接一段微型非均匀B样条曲线，保证了整体轨迹的G³连续和加速度连续，提升了多段连续轨迹拐角的衔接速度，避免了加速度突变，实现了机器人工具中心点的平滑运动。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的服务作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为多段轨迹过渡方法的原理流程图；

图2为“直线-直线”轨迹的示意图；

图3为“直线-圆弧”轨迹的示意图之一；

图4为构造曲面的示意图；

图5为在图4的基础上形成的圆柱曲面的示意图；

图6为在图5的基础上沿直线BA处剪开后的展开图；

图7为图6上将切线AD近似为弧线

的示意图；

图8为弦高误差模型的示意图；

图9为“直线-圆弧”轨迹的示意图之二；

图10为给定的工业机器人的活动空间轨迹示意图；

图11为不使用和使用样条曲线过滤的末端空间轨迹速度对比示意图；

图12为对圆弧过渡轨迹和样条曲线过渡轨迹进行曲率分析的示意图；

图13为过渡区域样条曲线和对应直线轨迹位置误差示意图。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明作进一步说明：

本发明实施例所述的一种基于非均匀B样条曲线的工业机器人轨迹段过渡方法，利用多轨迹段过渡方法对用户指定运动轨迹进行处理：利用曲线过渡模型，计算曲线控制点；利用速度约束模型进行轨迹过渡区域的速度估算；利用速度规划曲线，输出机器人笛卡尔空间的轨迹插补点序列，实现机器人的高速平滑加工。

如图1所示，多段轨迹过渡方法的具体过程包括：

S1、设定六自由度工业机器人的各类参数，包括工业机器人六个关节各自的性能参数和笛卡尔空间的规划参数；创建缓存组，缓存组包括工业机器人的轨迹队列缓存、速度规划缓存和过渡轨迹信息缓存，所有缓存在创建后均设置为空；

S2、针对“直线-直线”轨迹类型和“直线-圆弧”轨迹类型进行分析，使用对应的曲线过渡模型，确定非均匀B样条曲线控制点位置；

当轨迹类型为“直线-直线”时，运行轨迹由两段相邻的直线段构成，如图2所示，B、A、C是两段直线的端点，两者相交于A点，其中两段直线之间的夹角为α，则确定非均匀B样条曲线控制点位置的具体过程如下：

a.构造样条曲线，求取曲线控制点d_i；

为了实现衔接曲线具有G³连续性，样条曲线的次数为5次，控制点d_i个数为7，分别对应d₀，d₁，...，d₆；为了保证曲线起始点和终点能与首尾控制点重合，首尾向量节点应设置6次的重复度，即u₀＝...＝u₅＝0；u₇＝...＝u₁₂＝1；为了保证曲线的对称性，u₆＝0.5.，所以该模型的节点向量设置为U＝[0000000.5111111]^T；为了实现样条曲线在衔接点处与直线相切，控制点d₀，d₁，d₂位于直线AB上，控制点d₃位于拐点A；同理，控制点d₄，d₅，d₆位于在直线AC上；为了使曲线在控制点d₀和d₆处与直线相接具有G³的连续性，在u＝0和u＝1，曲线p(u)相对于弧长s的二阶和三阶导数为零；推导后可得各个控制点间的比例关系式：

假设单位过渡长度d₁d₂＝l，化简上式，可得：

b.根据给定误差，计算单位过渡长度l；

由于样条曲线的节点向量中心对称，所以得到的曲线也具有中心对称的性质；当曲线参数u＝0.5时，此时样条曲线的最高点F与拐点A距离最远，曲线的位置误差最大，所以可通过控制拐点处AF的最大误差来保证过渡曲线的位置精度；该模型误差公式δ推导如下：

式中δ为给定的位置误差上限，α为两直线之间的夹角；设置曲线过渡长度不得超过原直线长度的四分之一，单位过渡长度l公式为：

c.通过直线方程计算控制点的空间坐标；

空间直线方程为P_i＝P_s-L_i·V_L；其中P_s为直线起点，V_L为起点指向终点的单位向量，L_i为起点到对应控制点的距离；以求取AB段上控制点d₁为例，

当轨迹类型为“直线-圆弧”时，运行轨迹是由空间直线和空间圆弧异面构成，如图3所示，B、A是直线的端点，A、C是半径为R的圆弧的端点，两者相交于A点，直线AD是圆弧在A点处的切线，直线BA与直线AD之间的夹角为α，则确定非均匀B样条曲线控制点位置的具体过程如下：

a.建立曲面；

由于直线与圆弧是异面关系，直接在三维空间中构造连通异面的过渡曲线比较困难，但是，如果能在一个确定的平面或者曲面构造过渡曲线，可以降低构造曲线的难度。构造曲面的方法为：

将直线从A点平移至圆心O点，得到直线EO，构造无数层半径为R、平行于底面圆并且圆心位于直线上的圆，如图4所示；当构造的圆弧足够密集，即可形成圆柱曲面，如图5所示；利用已知的信息，将过渡曲线构造在圆柱曲面上；利用三维软件将曲面从直线BA处剪开，可得展开图如图6所示；图4中切线AD对应图6展开图中的直线AD，同样与直线BA的夹角为α，过点D作垂直于弧线

的垂线，垂足为D′；

b.构造过渡模型；

利用“直线-直线”类型的过渡模型，对弧线

与直线BA之间构造样条曲线。若按“以直代曲”的思想，将切线AD近似为弧线

如图7所示，直接在DAB中构造样条曲线，与实际在D′AB中构造曲线有一定偏差，实际的曲线将更接近拐点A，依然可以满足精度要求。由于本实施例针对的是工业机器人空间规划，适用于大行程的工作情况，大半径的圆弧对应较小的曲率，并且过渡曲线代替直线段长度为位置误差的3倍，所以对应的DD′几乎很小，理论曲线与实际曲线接近。

c.建立展开面与空间曲面映射关系；

由于实际的空间曲面是由无数层圆弧拼接而成，所以可将展开面上的点映射至实际空间曲面上的点，图6中的每一条点划线实质对应空间曲面中对应层圆弧的展开线，在展开面上的任意一个点P，只要知道点P位于哪个圆弧的展开线上即可计算该点在空间曲面上的位置；在构造过渡模型中，通过切线近似弧线的方法，简化过渡模型的确定，计算过渡曲线内的点：

过点P作一条平行于切线AD的直线，相交于直线AD于点A′如图7所示；点A′位于直线上的位置可确定在空间曲面图4上对应圆弧层圆心位于轴心线EO上的位置，直线PA′的长度d近似等同于对应展开线上的弧线长度，对应空间曲面中通过关系式θ＝d/R，求得对应圆心角θ。

S3、针对当前拐角大小，限制拐角速度；

拐角速度由三个约束速度的最小值决定，分别为用户设定速度V_user、弦高误差限制允许速度V_err、向心加速度限制允许速度V_cir，最大允许拐角速度的计算过程如下：

计算弦高误差限制允许速度V_err；

a.当曲线轨迹的曲率大，同时运行速度快时，实际的插补轨迹会与理论轨迹产生大的轨迹误差；由于模型在u＝0.5的区域曲线曲率最大，弦高误差最大，所以，通过对该点进行曲线近似弦高误差分析，从而控制整段曲线的弦高误差；将P_i与P_i+1间的曲线近似为等曲率圆弧，曲率半径为R，P_iP_i+1插补距离为L，得到弦高误差模型如图8所示；根据几何关系，在曲线u＝0.5弦高误差ε的估计公式为：

其中，P_i处的曲率半径

p′(u)和p″(u)分别为p(u)的一阶和二阶导数，插补长度L近似为P_i的规划速度V乘以插补周期T_c，代入上式，可知在弦高误差限制下的允许速度V_err为：

b.计算向心加速度限制允许速度V_cir；

由于样条曲线的曲率越高，曲率半径越小，电机需要较大的法向加速度改变运动方向，所以需要保证衔接点处的加速度超过设定值a_max；向心加速度限制允许速度V_cir为：

c.取最小值；最大允许拐角速度v_cor可得：

v_cor＝min{V_user，V_err，V_cir}。

S4、根据计算的样条曲线控制点位置，计算曲线插补点。

当前轨迹段类型为如图1所示的“直线-直线”时，运行轨迹B→A→C，使用曲线过渡模型进行优化后，当前段的运行轨迹变为B→F→C，由两段直线和样条曲线拼接，即直线Bd₀-样条d₀d₆-直线d₆C；

计算曲线插补点的具体过程如下:

先计算拼接曲线的实际长度，然后根据计算的拐角速度对拼接曲线进行S型速度规划，从而得到一个固定插补周期的位置-时间序列，最后利用非均匀B样条曲线公式进行插补点的计算；

非均匀B样条曲线的构造公式为：

其中，k为样条曲线次数，样条参数u∈[0,1]，d_i为样条曲线控制点，N_i,k(u)为k次B样条基函数；通过根据每一个周期的速度规划位置，计算每一个周期对应的样条参数u，进而确定每个周期对应的空间插补点。

当前轨迹段类型为如图9所示的“直线-圆弧”时，运行轨迹B→A→C，使用曲线过渡模型进行优化后，当前段的运行轨迹变为B→F→C，由一段直线、样条曲线和圆弧拼接，即直线Bd₀-样条d₀d₆-圆弧d₆C；

计算曲线插补点的具体过程如下；

先计算拼接曲线的实际长度，然后根据计算的拐角速度对拼接曲线进行S型速度规划，从而得到一个固定插补周期的位置-时间序列，接着利用非均匀B样条曲线公式在切线AD和直线AB之间构造曲线如图7所示，，计算插补点，最后利用展开面与空间曲面的映射关系，展开面上的每个插补点都有对应的空间圆心位置和圆心角θ，通过空间圆弧方程C(θ)＝O+R·(V_tsinθ+V_rcosθ)，其中O为空间圆弧的圆心位置，R为空间圆弧的半径，V_t为圆弧起点处的插补方向的切线单位向量，即为直线AD的方向，V_r为圆心指向圆弧起点的单位向量，即为直线OA的方向，θ为从圆弧起点开始按照给定插补方向插补的圆弧对应的圆心角的大小，通过此方法，实现展开面插补点与空间圆弧的映射转换，从而得到曲面空间内每个周期的空间插补点。

为证明本实施例的有效性和优越性，下面对图10的空间轨迹进行测试，设置的运动参数：笛卡尔空间运动规划最大速度为1000mm/s，最大加速度为2000mm/s²，插补周期为1ms，拐角最大位置误差为0.1mm。在同等运动轨迹、同等运动参数条件下，使用曲线过渡法运动耗时为5607ms，不使用过渡方法运动耗时为6844ms，时间减少1237ms，优化效率达到20％。末端空间轨迹速度对比如图11所示，可见拐角过渡区域，曲线过渡法能够保持速度在较高的水平，这是提升效率的主要原因。使用分析软件对圆弧过渡轨迹和样条曲线过渡轨迹进行曲率分析如图12所示，圆弧在衔接点处有明显的曲率大小突变，而样条曲线在衔接点处曲率均匀变化。在过渡区域样条曲线和对应直线轨迹位置误差如图13所示，可见满足设定的轨迹误差要求(小于0.1mm)。

以上所述之实施例子只为本发明之较佳实施例，并非以此限制本发明的实施范围，故凡依本发明之形状、原理所作的变化，均应涵盖在本发明的保护范围内。

Claims (7)

1.一种基于非均匀B样条曲线的工业机器人轨迹段过渡方法，其特征在于，利用多轨迹段过渡方法对用户指定运动轨迹进行处理：利用曲线过渡模型，计算曲线控制点；利用速度约束模型进行轨迹过渡区域的速度估算；利用速度规划曲线，输出机器人笛卡尔空间的轨迹插补点序列，实现机器人的高速平滑加工。

2.根据权利要求1所述的一种基于非均匀B样条曲线的工业机器人轨迹段过渡方法，其特征在于，所述多段轨迹过渡方法的具体过程包括：

S1、设定工业机器人的各类参数，包括工业机器人六个关节各自的性能参数和笛卡尔空间的规划参数；创建缓存组，缓存组包括工业机器人的轨迹队列缓存、速度规划缓存和过渡轨迹信息缓存，所有缓存在创建后均设置为空；

S2、针对“直线-直线”轨迹类型和“直线-圆弧”轨迹类型进行分析，使用对应的曲线过渡模型，确定非均匀B样条曲线控制点位置；

S3、针对当前拐角大小，限制拐角速度；

S4、根据计算的样条曲线控制点位置，计算曲线插补点。

3.根据权利要求2所述的一种基于非均匀B样条曲线的工业机器人轨迹段过渡方法，其特征在于，所述步骤S2中，当轨迹类型为“直线-直线”时，运行轨迹由两段相邻的直线段构成，假设B、A、C是两段直线的端点，两者相交于A点，其中两段直线之间的夹角为α，则确定非均匀B样条曲线控制点位置的具体过程如下：

a.构造样条曲线，求取曲线控制点d_i；

为了实现衔接曲线具有G³连续性，样条曲线的次数为5次，控制点d_i个数为7，分别对应d₀，d₁，...，d₆；为了保证曲线起始点和终点能与首尾控制点重合，首尾向量节点应设置6次的重复度，即u₀＝...＝u₅＝0；u₇＝...＝u₁₂＝1；为了保证曲线的对称性，u₆＝0.5.，所以该模型的节点向量设置为U＝[0 0 0 0 0 0 0.5 1 1 1 1 1 1]^T；为了实现样条曲线在衔接点处与直线相切，控制点d₀，d₁，d₂位于直线AB上，控制点d₃位于拐点A；同理，控制点d₄，d₅，d₆位于在直线AC上；为了使曲线在控制点d₀和d₆处与直线相接具有G³的连续性，在u＝0和u＝1，曲线p(u)相对于弧长s的二阶和三阶导数为零；推导后可得各个控制点间的比例关系式：

假设单位过渡长度||d₁d₂||＝l，化简上式，可得：

b.根据给定误差，计算单位过渡长度l；

由于样条曲线的节点向量中心对称，所以得到的曲线也具有中心对称的性质；当曲线参数u＝0.5时，此时样条曲线的最高点F与拐点A距离最远，曲线的位置误差最大，所以可通过控制拐点处AF的最大误差来保证过渡曲线的位置精度；该模型误差公式δ推导如下：

式中δ为给定的位置误差上限，α为两直线之间的夹角；设置曲线过渡长度不得超过原直线长度的四分之一，单位过渡长度l公式为：

c.通过直线方程计算控制点的空间坐标；

空间直线方程为P_i＝P_s-L_i·V_L；其中P_s为直线起点，V_L为起点指向终点的单位向量，L_i为起点到对应控制点的距离；求取AB段上控制点d₁时，

4.根据权利要求3所述的一种基于非均匀B样条曲线的工业机器人轨迹段过渡方法，其特征在于，所述步骤S2中，当轨迹类型为“直线-圆弧”时，运行轨迹是由空间直线和空间圆弧异面构成，假设B、A是直线的端点，A、C是半径为R的圆弧的端点，两者相交于A点，直线AD是圆弧在A点处的切线，直线BA与直线AD之间的夹角为α，则确定非均匀B样条曲线控制点位置的具体过程如下：

a.建立曲面；

将直线从A点平移至圆心O点，得到直线EO，构造无数层半径为R、平行于底面圆并且圆心位于直线上的圆；当构造的圆弧密集，即可形成圆柱曲面；利用已知的信息，将过渡曲线构造在圆柱曲面上；利用三维软件将曲面从直线BA处剪开，可得展开图；切线AD对应展开图中的直线AD，同样与直线BA的夹角为α，过点D作垂直于弧线

的垂线，垂足为D′；

b.构造过渡模型；

利用“直线-直线”类型的过渡模型，对弧线

与直线BA之间构造样条曲线；其中，按“以直代曲”的思想，将切线AD近似为弧线

直接在DAB中构造样条曲线；

c.建立展开面与空间曲面映射关系；

由于实际的空间曲面是由无数层圆弧拼接而成，所以可将展开面上的点映射至实际空间曲面上的点，每一条点划线实质对应空间曲面中对应层圆弧的展开线，在展开面上的任意一个点P，只要知道点P位于哪个圆弧的展开线上即可计算该点在空间曲面上的位置；在构造过渡模型中，通过切线近似弧线的方法，简化过渡模型的确定，计算过渡曲线内的点：

过点P作一条平行于切线AD的直线，相交于直线AD于点A′；点A′位于直线上的位置可确定在空间曲面对应圆弧层圆心位于轴心线EO上的位置，直线PA′的长度d近似等同于对应展开线上的弧线长度，对应空间曲面中通过关系式θ＝d/R，求得对应圆心角θ。

5.根据权利要求4所述的一种基于非均匀B样条曲线的工业机器人轨迹段过渡方法，其特征在于，所述拐角速度由三个约束速度的最小值决定，分别为用户设定速度V_user、弦高误差限制允许速度V_err、向心加速度限制允许速度V_cir，最大允许拐角速度的计算过程如下：

a.计算弦高误差限制允许速度V_err；

当曲线轨迹的曲率大，同时运行速度快时，实际的插补轨迹会与理论轨迹产生大的轨迹误差；由于模型在u＝0.5的区域曲线曲率最大，弦高误差最大，所以，通过对该点进行曲线近似弦高误差分析，从而控制整段曲线的弦高误差；

将P_i与P_i+1间的曲线近似为等曲率圆弧，曲率半径为R，P_iP_i+1插补距离为L，得到弦高误差模型；根据几何关系，在曲线u＝0.5弦高误差ε的估计公式为：

其中，P_i处的曲率半径

p′(u)和p″(u)分别为p(u)的一阶和二阶导数，插补长度L近似为P_i的规划速度V乘以插补周期T_c，代入上式，可知在弦高误差限制下的允许速度V_err为：

b.计算向心加速度限制允许速度V_cir；

由于样条曲线的曲率越高，曲率半径越小，电机需要较大的法向加速度改变运动方向，所以需要保证衔接点处的加速度超过设定值a_max；向心加速度限制允许速度V_cir为：

c.取最小值；最大允许拐角速度v_cor可得：

v_cor＝min{V_user，V_err，V_cir}。

6.根据权利要求5所述的一种基于非均匀B样条曲线的工业机器人轨迹段过渡方法，其特征在于，所述步骤S4中，当前轨迹段类型为“直线-直线”时，运行轨迹B→A→C，使用曲线过渡模型进行优化后，当前段的运行轨迹变为B→F→C，由两段直线和样条曲线拼接，即直线Bd₀-样条d₀d₆-直线d₆C；

计算曲线插补点的具体过程如下:

先计算拼接曲线的实际长度，然后根据计算的拐角速度对拼接曲线进行S型速度规划，从而得到一个固定插补周期的位置-时间序列，最后利用非均匀B样条曲线公式进行插补点的计算；

非均匀B样条曲线的构造公式为：

其中，k为样条曲线次数，样条参数u∈[0,1]，d_i为样条曲线控制点，N_i,k(u)为k次B样条基函数；通过根据每一个周期的速度规划位置，计算每一个周期对应的样条参数u，进而确定每个周期对应的空间插补点。

7.根据权利要求5所述的一种基于非均匀B样条曲线的工业机器人轨迹段过渡方法，其特征在于，所述步骤S4中，当前轨迹段类型为“直线-圆弧”时，运行轨迹B→A→C，使用曲线过渡模型进行优化后，当前段的运行轨迹变为B→F→C，由一段直线、样条曲线和圆弧拼接，即直线Bd₀-样条d₀d₆-圆弧d₆C；

计算曲线插补点的具体过程如下；

先计算拼接曲线的实际长度，然后根据计算的拐角速度对拼接曲线进行S型速度规划，从而得到一个固定插补周期的位置-时间序列，接着利用非均匀B样条曲线公式在切线AD和直线AB之间构造曲线，计算插补点，最后利用展开面与空间曲面的映射关系，展开面上的每个插补点都有对应的空间圆心位置和圆心角θ，通过空间圆弧方程C(θ)＝O+R·(V_tsinθ+V_rcosθ)，其中O为空间圆弧的圆心位置，R为空间圆弧的半径，V_t为圆弧起点处的插补方向的切线单位向量，即为直线AD的方向，V_r为圆心指向圆弧起点的单位向量，即为直线OA的方向，θ为从圆弧起点开始按照给定插补方向插补的圆弧对应的圆心角的大小，通过此方法，实现展开面插补点与空间圆弧的映射转换，从而得到曲面空间内每个周期的空间插补点。

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