CN112378367B - 可测量分布在内腔的多自由曲面反射镜面形和位置的方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种可测量分布在内腔的多自由曲面反射镜面形和位置的方法，被测工件包括内腔以及分别在内腔里的至少一面多自由曲面反射镜，所采用的测量***包括运动装置，点测量测头，数据采集处理***，标准内圆柱面和标准平面，其中，运动装置具有X轴运动导轨、Y轴运动导轨、Z轴运动导轨以及旋转主轴；点测量测头位于内腔里，可在一定夹角范围内瞄准被测表面，获得点测量测头端点至被测表面上所瞄准点的距离；数据采集处理***与点测量测头连接，能够采集和处理测量数据；通过点测量测头对分布在内腔的多自由曲面反射镜进行测量，获得多自由曲面反射镜的三维点云数据，评价多自由曲面反射镜的面形精度和位置精度。

Description

可测量分布在内腔的多自由曲面反射镜面形和位置的方法

技术领域

本发明属于机械制造技术领域，涉及利用运动装置与点测量测头，进而对分布在内腔的多个反射镜面形和位置进行高精度测量，特别是对于分布在内腔的多自由曲面反射镜而言，可测量多自由曲面反射镜的三维数据，并评价其面形精度和位置精度。

背景技术

自由曲面光学***是将多自由曲面集成安装到一起实现特定光学性能的***，可提升光学***的成像质量。在航空航天、国防安全、科学探索、信息交互和时空感知等领域具有重要的应用价值，其中，分布在内腔的多自由曲面反射镜是一类典型的自由曲面光学***结构。由于自由曲面光学***是多镜片协调配合的光学***，其最终性能的好坏不仅仅取决于单自由曲面的面形精度，还极大程度受限于多自由曲面的位置精度。

目前，非接触式光学测量方法具有高精度快速无损等优点，是主要的测量方法。目前受到广泛关注的光学自由曲面的非接触式检测形式主要包括点、线和面测量。不同测量原理及方法各有优劣，分别适用于不同加工阶段或不同成形工艺中。

而目前的研究与发明主要针对于单个自由曲面反射镜的测量，以及针对单个自由曲面反射镜测量数据的评价，测量的几何量主要用于评价自由曲面的面形精度。针对多自由曲面目前光学元件还是多以平面基底为主，如针对在同一基底上的两个自由曲面反射镜(Zhu J,Hou W,Zhang X,et al.Design ofa low F-number freeform off-axis three-mirror system with rectangular field-of-view[J].Journal of optics,2015,17(1):015605.)中，基本采用目前商用的测量设备可以完成测量。另一方面，多自由曲面测量除了常规面形测量评价外，还需要对每个自由曲面的位置进行高精度测量。多面位置测量通常需要额外增设基准平面，计算测量出的三维数据与基准平面的空间位置偏差量来获得多自由曲面的加工位置质量。然而，上述测量方法对于面形测量结构简单，大都是在平面基底上通过坐标点扫描测量，然后进行加工面形评价，对于位置的评价比较依赖于额外的参考曲面(如平面，球面)基准(专利CN201710254739.9)。而鲜有内腔的多自由曲面反射镜的测量研究，传统平面基底的多自由曲面反射镜测量方法由于内腔本身的空间约束，因而并不适用。

综合以上分析，目前的现有公开的技术存在以下缺陷：首先，对于自由曲面反射镜面形测量基本都是在平面基底上通过点测量进行评价，缺乏对具有内腔的空间约束条件下的自由曲面反射镜进行测量的技术手段；其次，对于多自由曲面反射镜的位置测量与评价依赖于额外基准，其测量结构复杂，容易产生测量误差。因此亟需一种高精度完整可靠的面形和位置测量及评价方法，对分布在内腔的多自由曲面反射镜的三维信息进行测量，在克服内腔空间约束限制的基础上进行面形测量，获得多自由曲面反射镜的三维分布信息，研究无额外基准参考的条件下，多自由曲面反射镜的面形精度和位置精度的评价方法。

发明内容

本发明的目的是针对上述现有技术存在的不足提供一种可测量分布在内腔的多自由曲面反射镜面形和位置的方法。本发明根据运动装置分布的特点，在内腔空间分布约束的条件下，构建点测量测头可旋转平移的运动装置，对分布在内腔的多自由曲面反射镜进行三维点测量，并在无需基准参考的条件下评价多自由曲面反射镜的面形精度和位置精度。为实现上述目的，本发明采用的技术方案是：

一种可测量分布在内腔的多自由曲面反射镜面形和位置的方法，被测工件包括内腔以及分别在内腔里的至少一面多自由曲面反射镜，所采用的测量***包括运动装置，点测量测头，数据采集处理***，标准内圆柱面和标准平面，其中，运动装置具有X轴运动导轨、Y轴运动导轨、Z轴运动导轨以及旋转主轴；点测量测头位于内腔里，可在一定夹角范围内瞄准被测表面，获得点测量测头端点至被测表面上所瞄准点的距离；数据采集处理***与点测量测头连接，能够采集和处理测量数据；通过点测量测头对分布在内腔的多自由曲面反射镜进行测量，获得多自由曲面反射镜的三维点云数据，评价多自由曲面反射镜的面形精度和位置精度。该方法包含以下步骤：

(1)将点测量测头、标准内圆柱面与标准平面分别安装在运动装置上，其中，标准平面与Z轴运动导轨垂直，标准内圆柱面的轴线与Z轴运动导轨平行，并将标准内圆柱面中心的笛卡尔坐标x(0)和y(0)分别设置为X轴运动导轨和Y轴运动导轨坐标原点，点测量测头的方向与Z轴运动导轨垂直，并能由旋转主轴带动进行旋转运动；

(2)对运动装置与点测量测头所形成的测量***进行标定，获得测量***沿着Z轴运动导轨原点z(0)，点测量测头的旋转半径R_rot以及点测量测头端点与标准圆柱面中心点连线与水平方向的夹角θ₀，采用以下步骤：

步骤1：控制Z轴运动导轨，致使点测量测头与标准平面的边缘对齐，在对齐的瞬间，即数据采集处理***采集到测量数据时，记录Z轴运动导轨的位置坐标z(0)，并将该坐标作为测量Z轴运动导轨的原点；

步骤2：通过运动控制模块控制X轴运动导轨、Y轴运动导轨与旋转主轴，使点测量测头对准标准内圆柱面，测量标准内圆柱面上的n个点，n≥3，当数据采集处理***采集到点测量测头端点至被测表面上所瞄准点的距离L(1)，L(2)，……，L(n)时，分别记录这N个点的X轴运动导轨位置，Y轴运动导轨位置以及旋转主轴角度，分别记为x(1)，x(2)，……，x(n)以及y(1)，y(2)，……，y(n)，以及θ(1)，θ(2)……，θ(n)，

其中，i＝1,2,3,……,n，采用最优化搜索方法可获得R_rot和θ₀，其优化目标函数和约束条件为

s.t.Y_c(i)＝y(i)+R_rot sin[θ(i)+θ₀]+L(i)sinθ(i)

Y_c(i)＝y(i)+R_rot sin[θ(i)+θ₀]+L(i)sinθ(i)

其中，X_c(i)和Y_c(i)为标准圆柱面上第i个点的笛卡尔坐标；

(3)控制运动装置的X轴运动导轨、Y轴运动导轨、Z轴运动导轨与旋转主轴对分布在内腔的多自由曲面反射镜进行测量，由数据采集处理***记录多自由曲面反射镜各测量数据点所对应的X轴运动导轨坐标x(i,j)、Y轴运动导轨坐标y(i,j)、Z轴运动导轨z(i,j)与旋转主轴坐标θ(i,j)，其中i＝1,2,3,……,N_m，j＝1,2,3,……,M，M是自由曲面反射镜的个数，N_m是第m个反射镜测量数据点的个数，此时各个测量数据点的笛卡尔坐标X(i,j)，Y(i,j)和Z(i,j)分别为

X(i,j)＝x(i,j)+R_rot cos[θ(i,j)+θ₀]+L(i,j)cosθ(i,j)

Y(i,j)＝y(i,j)+R_rot sin[θ(i,j)+θ₀]+L(i,j)sinθ(i,j)

Z(i,j)＝z(i,j)

(4)根据(3)所获得的各个测量数据点的笛卡尔坐标评价多自由曲面反射镜的面形误差和位置误差，采用以下步骤：

步骤1：将所有自由曲面反射镜的测量数据共同与多自由曲面反射镜***的设计模型进行坐标配准计算，完成测量坐标系与模型坐标系的统一：设第j个反射镜的第i个测量数据点的坐标为P(i,j)，则

P(i,j)＝(X(i,j),Y(i,j),Z(i,j))

多自由曲面反射镜的第j个反射镜的第i个模型数据点的坐标为Q(i,j)，并且该处的法矢为n_q(i,j)，根据自由曲面反射镜模型的方程计算得到，P(i,j)与Q(i,j)为根据点距最近原则搜索所有坐标的旋转与平移方式，搜索目标函数为

其中R_rough和t_rough分别为测量数据转化的坐标旋转矩阵和坐标平移矩阵；此时，对于测量数据点P(i,j)，经过平移旋转后所获得的第j个反射镜的第i个数据点的坐标P₁(i,j)的表达式为

P₁(i,j)＝R_roughP(i,j)+t_rough

步骤2：根据多自由曲面反射镜模型的基准方程，计算测量数据点沿法矢方向到自由曲面反射镜的空间距离，通过以下目标函数优化计算两坐标系间的坐标平移矩阵与坐标旋转矩阵：

其中R_fine和t_fine分别为测量坐标系与模型坐标***一的坐标旋转矩阵和坐标平移矩阵，D[R_fineP₁(i,j)+t_fine]为P₁(i,j)经过坐标***一后的点至反射镜理想模型的距离；经过测量坐标系与模型坐标***一后，所获得的第j个反射镜的第i个数据点的坐标T(i,j)是与模型坐标***一的测量数据，其表达式为

T(i,j)＝R_fineP₁(i,j)+t_fine

步骤3：将每个自由曲面反射镜的测量数据T(i,j)分别与其设计模型进行坐标配准计算，设第m个自由曲面反射镜经过测量坐标系与模型坐标***一后的测量数据点为T(i,m)，则该测量数据点与其理想模型坐标配准计算的变换关系按照以下目标函数进计算：

其中R_m和t_m分别为设第m个自由曲面反射镜进行坐标配准计算的坐标旋转矩阵和坐标平移矩阵，D[R_m T(i,m)+t_m]为T(i,j)经过坐标配准计算后的点至反射镜理想模型的距离；R_m和t_m表达式分别为：

t_m＝(Δx_m,Δy_m,Δz_m)

其中R_m(i,j)为坐标旋转矩阵第i行第j列的元素，Δx_m，Δy_m和Δz_m分别为第m个自由曲面反射镜沿着X轴运动导轨方向，Y轴运动导轨方向和Z轴运动导轨方向的位移偏差量；坐标配准后的测量数据记为T_reg(i,j)，该数据坐标通过以下变换得到：

T_reg(i,m)＝R_mT_reg(i,m)+t_m＝(X_reg(i,m),Y_reg(i,m),Z_reg(i,m))

其中X_reg(i,m)，Y_reg(i,m)和Z_reg(i,m)是坐标配准后的第m个自由曲面反射镜测量数据的笛卡尔坐标；

此时，面形误差为将坐标配准计算后测量数据各点到自由曲面反射镜模型的距离作为面形误差，设第m个自由曲面反射镜的面形方程为z＝F_m(x,y)，则各测量数据点对应的面形误差E(i,m)为

E(i,m)＝Z_reg(i,m)-F_m(X_reg(i,m),Y_reg(i,m))

第m个自由曲面反射镜位置误差定义为其与模型面型间的位移偏差量T_m和绕模型坐标系中某一矢量方向V_m的偏差角度θ_m；其中T_m与平移矩阵t_m一致，即

T_m＝t_m

其中Δx_m，Δy_m和Δz_m分别为第m个自由曲面反射镜沿着X轴运动导轨方向，Y轴运动导轨方向和Z轴运动导轨方向的位移偏差量；V_m与θ_m通过对旋转矩阵R_m使用下述公式计算得到：

附图说明

图1为本发明中测量***与被测件示意图。其中，1—点测量测头，运动装置由2—X轴运动导轨、3—Y轴运动导轨、4—Z轴运动导轨和5—旋转主轴组成。6—被测工件包括分布在内腔的多自由曲面反射镜。

图2为本发明所涉及的测量方法中的测量原理结构示意图；

图3为本发明的具体实施方式中采用标准环规对测量***的标定以及确定Z轴运动导轨坐标原点z(0)的示意图；

图4为本发明中点测量测头与运动装置的相对位置关系示意图：(a)为初始位置时的相对位置；(b)为当测量第i个点时的相对位置关系

具体实施方式

结合附图和实施例对本发明的一种分布在内腔的多自由曲面反射镜高精度测量与评价方法加以说明。

本发明的一种分布在内腔的多自由曲面反射镜高精度测量与评价方法所用的测量***如图1所示，其中，1—点测量测头，运动装置由2—X轴运动导轨、3—Y轴运动导轨、4—Z轴运动导轨和5—旋转主轴组成。6—被测工件包括分布在内腔的多自由曲面反射镜，不失一般性，在本实施例中选用的被测工件为分布在内腔的四个自由曲面反射镜，分别是反射镜1，反射镜2，反射镜3和反射镜4。被测工件放置在Z轴运动导轨上，点测量测头安装在旋转主轴上，点测量测头的方向与Z轴运动导轨垂直，可随着旋转主轴进行旋转。测量原理如图2所示，通过运动控制模块控制运动装置中X轴运动导轨、Y轴运动导轨、Z轴运动导轨以及旋转主轴的运动，使得点测量测头与被测工件产生相对运动，点测量测头可在一定夹角范围内瞄准被测表面，获得点测量测头端点至被测表面上所瞄准点的距离。借助标准内圆柱面和标准平面对测量***进行标定。在测量被测工件时，数据采集处理***可获得X轴运动导轨坐标、Y轴运动导轨坐标、Z轴运动导轨坐标以及旋转主轴坐标，并对测量结果评价。其操作流程包括以下几个步骤：

(1)将点测量测头、标准内圆柱面与标准平面分别安装在运动装置上。如图3左侧所示，优选地，采用标准环规的内壁与端面分别作为标准内圆柱面和标准平面，其中，标准环规的端面与Z轴运动导轨垂直，标准环规的轴线与Z轴运动导轨平行，并将环规中心轴线的笛卡尔坐标x(0)和y(0)分别设置为X轴运动导轨和Y轴运动导轨坐标原点，点测量测头的方向与Z轴运动导轨垂直，并能由旋转主轴带动进行旋转运动；

(2)控制Z轴运动导轨，致使点测量测头与标准环规的端面边缘对齐，如图3右侧所示，在对齐的瞬间，点测量测头的信号强度将会产生突然变化，此时数据采集处理***采集Z轴运动导轨的位置坐标z(0)，并将该点作为测量***Z坐标的原点；

(3)点测量测头与运动装置的相对位置如图4所示。当处在初始位置时，点测量测头与运动装置的相对位置如图4(a)所示，旋转主轴中心O_s与标准环规轴线点O重合，点测量测头与水平方向平行，点测量测头的端点与主轴中心连线与水平方向夹角为θ₀，端点与主轴中心的距离为R_rot。通过运动控制模块控制X轴运动导轨、Y轴运动导轨与旋转主轴，致使点测量测头瞄准标准内圆柱面，测量标准内圆柱面上的n个点，当测量标准环规的标准内圆柱面上的第i个点时，点测量测头、旋转主轴与标准环规的相对位置如图4(b)所示，此时旋转主轴中心点位置为O_s(i)，测头端点为A(i)，测量点为B(i)。采用数据采集处理***采集点测量测头端点至被测表面上所瞄准点的距离L(i)，并记录此时的X轴运动导轨位置x(i)，Y轴运动导轨位置y(i)以及旋转主轴角度θ(i)，那么所对应的标准环规上标准内圆柱面的测量点的笛卡尔坐标为

X_c(i)＝x(i)+R_rot cos[θ₀+θ(i)]+L(i)cos[θ(i)]

Y_c(i)＝y(i)+R_rot sin[θ₀+θ(i)]+L(i)sin[θ(i)]

其中，i＝1,2,3,……,n。采用最小二乘法可获得R_rot和θ₀，其最小二乘目标函数为

(3)控制运动装置的X轴运动导轨、Y轴运动导轨、Z轴运动导轨与旋转主轴对分布在内腔的多自由曲面反射镜进行测量，由数据采集处理***记录多自由曲面反射镜各测量数据点(其中M是自由曲面反射镜的个数，N是每个反射镜测量数据点的个数)所对应的X轴运动导轨坐标x(i,j)、Y轴运动导轨坐标y(i,j)、Z轴运动导轨z(i,j)与旋转主轴坐标θ(i,j)，点测量测头距离表面的距离L(i,j)，其中i＝1,2,3,……,N_m，j＝1,2,3,……,M，M是自由曲面反射镜的个数，N_m是第m个反射镜测量数据点的个数。此时各个测量数据点的笛卡尔坐标X(i,j)，Y(i,j)和Z(i,j)分别为

X(i,j)＝x(i,j)+R_rot cos[θ(i,j)+θ₀]+L(i,j)cosθ(i,j)

Y(i,j)＝y(i,j)+R_rot sin[θ(i,j)+θ₀]+L(i,j)sinθ(i,j)

Z(i,j)＝z(i,j)

(4)将所有自由曲面反射镜的测量数据共同与多自由曲面反射镜***的设计模型进行坐标配准计算，完成测量坐标系与模型坐标系的统一。设第j个反射镜的第i个测量数据点的坐标为P(i,j)，则

P(i,j)＝(X(i,j),Y(i,j),Z(i,j))

多自由曲面反射镜的第j个反射镜的第i个模型数据点的坐标为Q(i,j)，并且该处的法矢为n_q(i,j)，根据自由曲面反射镜模型的方程计算得到，P(i,j)与Q(i,j)为根据点距最近原则搜索所有坐标的旋转与平移方式。

搜索方式为

其中R_rough和t_rough分别为测量数据转化的坐标旋转矩阵和坐标平移矩阵。此时，对于测量数据点P(i,j)，经过平移旋转后所获得的第j个反射镜的第i个数据点的坐标P₁(i,j)的表达式为

P₁(i,j)＝R_roughP(i,j)+t_rough

(5)根据多自由曲面反射镜模型的基准方程，计算测量数据点沿法矢方向到自由曲面反射镜的空间距离，设P₁(i,j)到自由曲面反射镜的空间距离D[P₁(i,j)]。则通过以下目标函数优化计算两坐标系间的坐标平移矩阵与坐标旋转矩阵：

其中R_fine和t_fine分别为测量坐标系与模型坐标***一的坐标旋转矩阵和坐标平移矩阵。经过测量坐标系与模型坐标***一后，所获得的第j个反射镜的第i个数据点的坐标T(i,j)是与模型坐标***一的测量数据，其表达式为

T(i,j)＝R_fineP₁(i,j)+t_fine

(6)将每个自由曲面反射镜的测量数据T(i,j)分别与其设计模型进行坐标配准计算，设第m个自由曲面反射镜经过测量坐标系与模型坐标***一后的测量数据点为T(i,m)，则该测量数据点与其理想模型坐标配准计算的变换关系按照以下方式进计算：

其中R_m和t_m分别为设第m个自由曲面反射镜进行坐标配准计算的坐标旋转矩阵和坐标平移矩阵。其表达式为：

t_m＝(Δx_m,Δy_m,Δz_m)

其中R_m(i,j)为坐标旋转矩阵第i行第j列的元素，Δx_m，Δy_m和Δz_m分别为第m个自由曲面反射镜沿着X轴运动导轨方向，Y轴运动导轨方向和Z轴运动导轨方向的位移偏差量。坐标配准计算后的测量数据T_reg(i,m)坐标通过变换得到：

T_reg(i,m)＝R_mT_reg(i,m)+t_m＝(X_reg(i,m),Y_reg(i,m),Z_reg(i,m))

此时，面形误差为将坐标配准计算后测量数据各点到自由曲面反射镜模型的距离作为面形误差，设第m个自由曲面反射镜的面形方程为z＝F_m(x,y)，则各测量数据点对应的面形误差E(i,m)为

E(i,m)＝Z_reg(i,m)-F_m(X_reg(i,m)-Y_reg(i,m))

第m个自由曲面反射镜位置误差定义为其与模型面型间的位移偏差量T_m和绕模型坐标系中某一矢量方向V_m的偏差角度θ_m。其中T_m与平移矩阵t_m一致，即

T_m＝t_m

其中Δx_m，Δy_m和Δz_m分别为第m个自由曲面反射镜沿着X轴运动导轨方向，Y轴运动导轨方向和Z轴运动导轨方向的位移偏差量。V_m与θ_m通过对旋转矩阵R_m使用下述公式计算得到：

根据上述的方式可以获得表面的面形误差结果为E(i,j)；表面的位置误差的结果为：第j个自由曲面反射镜沿着笛卡尔坐标系的各个轴的位置平移误差为Δx_j，Δy_j，Δz_j，旋转误差为绕着矢量方向V_j的轴旋转，旋转角度为θ_j。

本发明的分布在内腔的多自由曲面反射镜高精度测量与评价方法，其主要用于具有空间约束下的光学***各元件表面的形状与位置测量中，但也可应用于其他具有多个表面形状与位置测量中。本实施例采用的点测量测头采用的是光学测头，而该方法也可采用其他形式的点测量测头，并且适用于原位和离线的多个元件表面的形状与位置测量及评价。

Claims (1)

1.一种测量分布在内腔的多自由曲面反射镜面形和位置的方法，被测工件包括内腔以及分别在内腔里的四面多自由曲面反射镜，所采用的测量***包括运动装置，点测量测头，数据采集处理***，标准内圆柱面和标准平面，其中，运动装置具有X轴运动导轨、Y轴运动导轨、Z轴运动导轨以及旋转主轴；点测量测头位于内腔里，可在一定夹角范围内瞄准被测表面，获得点测量测头端点至被测表面上所瞄准点的距离；数据采集处理***与点测量测头连接，能够采集和处理测量数据；通过点测量测头对分布在内腔的多自由曲面反射镜进行测量，获得多自由曲面反射镜的三维点云数据，评价多自由曲面反射镜的面形精度和位置精度，方法包含以下步骤：

(1)将点测量测头、标准内圆柱面与标准平面分别安装在运动装置上，其中，标准平面与Z轴运动导轨垂直，标准内圆柱面的轴线与Z轴运动导轨平行，并将标准内圆柱面中心的笛卡尔坐标x(0)和y(0)分别设置为X轴运动导轨和Y轴运动导轨坐标原点，点测量测头的方向与Z轴运动导轨垂直，并能由旋转主轴带动进行旋转运动；

(2)对所述的测量***进行标定，获得测量***沿着Z轴运动导轨原点z(0)，点测量测头的旋转半径R_rot以及点测量测头端点与标准圆柱面中心点连线与水平方向的夹角θ₀，采用以下步骤：

步骤1：控制Z轴运动导轨，致使点测量测头与标准平面的边缘对齐，在对齐的瞬间，即数据采集处理***采集到测量数据时，记录Z轴运动导轨的位置坐标z(0)，并将该位置坐标作为测量Z轴运动导轨的原点；

步骤2：通过运动控制模块控制X轴运动导轨、Y轴运动导轨与旋转主轴，使点测量测头对准标准内圆柱面，测量标准内圆柱面上的n个点，n≥3，当数据采集处理***采集到点测量测头端点至被测表面上所瞄准点的距离L(1)，L(2)，……，L(n)时，分别记录这N个点的X轴运动导轨位置，Y轴运动导轨位置以及旋转主轴角度，分别记为x(1)，x(2)，……，x(n)以及y(1)，y(2)，……，y(n)，以及θ(1)，θ(2)……，θ(n)，

其中，i＝1,2,3,……,n，采用最优化搜索方法可获得R_rot和θ₀，其优化目标函数和约束条件为

s.t.Y_c(i)＝y(i)+R_rotsin[θ(i)+θ₀]+L(i)sinθ(i)

Y_c(i)＝y(i)+R_rotsin[θ(i)+θ₀]+L(i)sinθ(i)

其中，X_c(i)和Y_c(i)为标准圆柱面上第i个点的笛卡尔坐标；

(3)控制运动装置的X轴运动导轨、Y轴运动导轨、Z轴运动导轨与旋转主轴对分布在内腔的多自由曲面反射镜进行测量，由数据采集处理***记录多自由曲面反射镜各测量数据点所对应的X轴运动导轨坐标x(i,j)、Y轴运动导轨坐标y(i,j)、Z轴运动导轨z(i,j)与旋转主轴坐标θ(i,j)，其中i＝1,2,3,……,N_m，j＝1,2,3,……,M，M是自由曲面反射镜的个数，N_m是第m个反射镜测量数据点的个数，此时各个测量数据点的笛卡尔坐标X(i,j)，Y(i,j)和Z(i,j)分别为

X(i,j)＝x(i,j)+R_rotcos[θ(i,j)+θ₀]+L(i,j)cosθ(i,j)

Y(i,j)＝y(i,j)+R_rotsin[θ(i,j)+θ₀]+L(i,j)sinθ(i,j)

Z(i,j)＝z(i,j)

(4)根据步骤(3)所获得的各个测量数据点的笛卡尔坐标评价多自由曲面反射镜的面形误差和位置误差，采用以下步骤：

步骤1：将所有自由曲面反射镜的测量数据共同与多自由曲面反射镜***的设计模型进行坐标配准计算，完成测量坐标系与模型坐标系的统一：设第j个反射镜的第i个测量数据点的坐标为P(i,j)，则

P(i,j)＝(X(i,j),Y(i,j),Z(i,j))

多自由曲面反射镜的第j个反射镜的第i个模型数据点的坐标为Q(i,j)，并且该数据点处的法矢为n_q(i,j)，根据自由曲面反射镜模型的方程计算得到，P(i,j)与Q(i,j)为根据点距最近原则搜索所有坐标的旋转与平移方式，搜索目标函数为

其中R_rough和t_rough分别为测量数据转化的坐标旋转矩阵和坐标平移矩阵；此时，对于测量数据点P(i,j)，经过平移旋转后所获得的第j个反射镜的第i个数据点的坐标P₁(i,j)的表达式为

P₁(i,j)＝R_roughP(i,j)+t_rough

步骤2：根据多自由曲面反射镜模型的基准方程，计算测量数据点沿法矢方向到自由曲面反射镜的空间距离，通过以下目标函数优化计算两坐标系间的坐标平移矩阵与坐标旋转矩阵：

其中R_fine和t_fine分别为测量坐标系与模型坐标***一的坐标旋转矩阵和坐标平移矩阵，D[R_fineP₁(i,j)+t_fine]为P₁(i,j)经过坐标***一后的点至反射镜理想模型的距离；经过测量坐标系与模型坐标***一后，所获得的第j个反射镜的第i个数据点的坐标T(i,j)是与模型坐标***一的测量数据，其表达式为

T(i,j)＝R_fineP₁(i,j)+t_fine

步骤3：将每个自由曲面反射镜的测量数据T(i,j)分别与其设计模型进行坐标配准计算，设第m个自由曲面反射镜经过测量坐标系与模型坐标***一后的测量数据点为T(i,m)，则该测量数据点与其理想模型坐标配准计算的变换关系按照以下目标函数进计算：

其中R_m和t_m分别为设第m个自由曲面反射镜进行坐标配准计算的坐标旋转矩阵和坐标平移矩阵，D[R_mT(i,m)+t_m]为T(i,j)经过坐标配准计算后的点至反射镜理想模型的距离；R_m和t_m表达式分别为：

t_m＝(Δx_m,Δy_m,Δz_m)

其中R_m(i,j)为坐标旋转矩阵第i行第j列的元素，Δx_m，Δy_m和Δz_m分别为第m个自由曲面反射镜沿着X轴运动导轨方向，Y轴运动导轨方向和Z轴运动导轨方向的位移偏差量；坐标配准后的测量数据记为T_reg(i,j)，该测量数据坐标通过以下变换得到：

T_reg(i,m)＝R_mT_reg(i,m)+t_m＝(X_reg(i,m),Y_reg(i,m),Z_reg(i,m))

其中X_reg(i,m)，Y_reg(i,m)和Z_reg(i,m)是坐标配准后的第m个自由曲面反射镜测量数据的笛卡尔坐标；

此时，面形误差为将坐标配准计算后测量数据各点到自由曲面反射镜模型的距离作为面形误差，设第m个自由曲面反射镜的面形方程为z＝F_m(x,y)，则各测量数据点对应的面形误差E(i,m)为

E(i,m)＝Z_reg(i,m)-F_m(X_reg(i,m),Y_reg(i,m))

第m个自由曲面反射镜位置误差定义为其与模型面型间的位移偏差量T_m和绕模型坐标系中某一矢量方向V_m的偏差角度θ_m；其中T_m与平移矩阵t_m一致，即

T_m＝t_m

其中Δx_m，Δy_m和Δz_m分别为第m个自由曲面反射镜沿着X轴运动导轨方向，Y轴运动导轨方向和Z轴运动导轨方向的位移偏差量；V_m与θ_m通过对旋转矩阵R_m使用下述公式计算得到：

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